面面垂直的性质
面面垂直的判定定理课件
Part
04
面面垂直的判定定理在几何中 的应用
应用场景一：多面体
在多面体中，如果一个平面与多面体的一个面相交，并且交线与多面体的一个顶 点垂直，则该平面与多面体的所有面都垂直。这个判定定理在证明多面体的性质 和解决相关问题时非常有用。
例如，利用面面垂直的判定定理可以证明正方体的六个面都是正方形，也可以证 明长方体的相对两面平行。
复杂几何问题的思考
问题1
在长方体中，如果一个顶点上的 三条棱分别与另一个顶点上的三 条棱垂直，那么这两个顶点是否
在同一平面上？
问题2
在四面体中，如果一个顶点上的三 条棱分别与另一个顶点上的三条棱 垂直，那么这两个顶点是否在同一 平面上？
问题3
在球体中，是否存在两个点，使得 从一个点出发的三条射线分别与从 另一个点出发的三条射线垂直？
符号表示
设平面α内有两条相交直线$a$和$b$， 平面β内有一直线$c$，若$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，则平面α与平面β互相垂直，记 作α⊥β。
定理证明
• 证明过程：首先，由于直线$a$和$b$在平面α内相交，且都与直线$c$垂直，根据空间几何的性质，我们知道两条相 交的直线确定一个平面。因此，我们可以确定直线$a$和$b$确定的平面记作γ。接下来，由于直线$c$与平面γ内的 两条相交直线$a$和$b$都垂直，根据面面垂直的判定定理，我们可以得出结论：平面α与平面γ互相垂直。
相关定理与公式的关联性探讨
定理1
如果一个平面内的两条相交 直线分别与另一个平面垂直 ，那么这两个平面垂直。
定理2
如果一个平面内的任意一条 直线都与另一个平面垂直， 那么这两个平面垂直。
公式1
在直角三角形中，斜边的 平方等于两直角边的平方 和。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
高中数学必修二6.面面垂直性质判定
授课内容 面面垂直的判定性质教学内容知识梳理一、面面垂直的判定定理1、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,3、图形语言：二、面面垂直的性质定理1、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。
2、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,3、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。
2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。
4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。
②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。
③垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角专题精讲二、面面垂直的判定定理4、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
5、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,6、图形语言：三、面面垂直的性质定理4、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。
5、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,6、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。
2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。
4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。
②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB DE ⊥ 9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PADVDCBA SA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
面面垂直的判定与性质课件
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
面面垂直的性质
面面垂直的性质
面面垂直性质定理如下：
性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。
其判定定理是：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。
即一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。
面面垂直的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
垂直的性质是如下：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂直一定会出现90°。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
垂直是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。
通常用符号“⊥”表示。
对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。
面面垂直的性质_讲课课件人教新课标
α β
两个平面垂直，其 中一个平面的直线 不一定垂直于另一 个平面。
问题2：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平 面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1 内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？
C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
两个平面垂直，其中
α A
β B
新知探究
思考：平面⊥平面β，点P在平面内， 过点P作平面β的垂线PC， 直线PC与平面具有什么位置关系？
α
P B
DC
A
结论：直线PC在平面内
β ⊥β，∩β=AB,P∈，
PC ⊥ β， PC
说明: 这个结论是面面垂直的另一个性质，
α
P B
β
DC
文字语言： A
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一 点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
P
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不 同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°
∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC
C
∴BC⊥平面PAC
A
B
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
①若a⊥b，a∥α，则b⊥α；
②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β；
④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。
其中不正确的命题的个数是（ D ）．
A．1 B．2
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF并证明你的结论6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.B7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD证明:AB⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD中，60DAB︒∠=，2,4AB AD==,将CBD∆沿BD折起到EBD∆的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB DE⊥9、如图，在四棱锥ABCDP-中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PADVD CBA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
面面垂直的基本定义与性质
面面垂直的基本定义与性质在几何学中，面面垂直是指两个平面之间的相对关系。
当两个平面互相垂直时，它们的法线向量之间的夹角为90度。
本文将详细探讨面面垂直的基本定义和性质。
一、基本定义面面垂直的定义可以用如下方式描述：给定两个平面P和Q，如果P与Q的法线向量垂直，则称P与Q是面面垂直的。
二、性质1.垂直平面的法线向量根据定义，当两个平面互相垂直时，它们的法线向量也垂直。
设P 的法线向量为n1=(a1, b1, c1)，Q的法线向量为n2=(a2, b2, c2)，则有以下关系：a1*a2 + b1*b2 + c1*c2 = 02.平面的垂直性与法线向量对于给定的平面P，任意一条与P垂直的直线的方向向量都与P的法线向量平行。
也就是说，如果v=(x, y, z)是P的法线向量，那么对于任意一条在P上的点A，向量OA=(x1, y1, z1)也与v平行。
3.平面的垂直性与交线如果两个平面P和Q是面面垂直的，那么它们的交线与它们的法线向量垂直。
设P与Q的交线为L，则L与P的法线向量n1以及L与Q的法线向量n2都垂直。
4.垂直平面的距离对于两个垂直平面P和Q，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = |(D1-D2)·n1/|n1||其中D1和D2分别表示平面P和Q到原点的距离，n1是P的法线向量。
5.垂直平面的投影当两个平面相互垂直时，它们的投影也相互垂直。
设平面P的法线向量为n1，点A在平面Q上，设Q的法线向量为n2，则A在Q上的投影点B与P的法线向量垂直。
6.垂直平面的内角两个垂直平面的夹角为90度。
由于两个平面的法线向量垂直，它们之间的夹角是90度。
总结：面面垂直是几何学中的一个重要概念，涉及到两个平面之间的相对关系。
本文介绍了面面垂直的基本定义和性质，包括垂直平面的法线向量、平面的垂直性与法线向量、平面的垂直性与交线、垂直平面的距离、垂直平面的投影以及垂直平面的内角等方面。
对于深入理解几何学中的垂直关系以及应用到实际问题中具有重要意义。
面面垂直面垂直的判定和性质
面面垂直的判定和性 质
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REPORTING
2023
目录
• 面面垂直的判定 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的应用 • 面面垂直的证明
2023
PAORTING
定义与定理
定义
两个平面相互垂直，如果它们的法线 互相垂直。
在几何学中，垂直角是两个 平面之间的最小角度，其度
数为90度。
当两平面垂直时，它们之间的 任意一条直线与另一平面都垂
直。
性质二：线面垂直的判定定理
01
如果一条直线与某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条 直线与该平面垂直。
02
线面垂直的判定定理是几何学中的一个重要定理，它用于确定
一条直线是否与某一平面垂直。
在实际应用中，线面垂直的判定定理被广泛应用于建筑、工程
03
等领域中，以确保结构的稳定性和安全性。
性质三：面面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面互相 平行。
面面平行的判定定理是几何学中的一个基本定理，它用于确定两个平面是 否平行。
在解决几何问题时，面面平行的判定定理常常与其他几何定理一起使用， 以确定物体的位置关系和性质。
工程学中的应用
机械工程
在机械工程中，面面垂直的判定和性质是设计和制造机械设 备的基础，如机床、加工中心、机器人等的垂直度调整和检 测。
土木工程
在土木工程中，面面垂直的判定和性质是建设桥梁、隧道、 高层建筑等的基础，如桥墩、隧道壁、高层建筑立面的垂直 度检测。
数学解题中的应用
几何证明
在几何证明中，面面垂直的判定和性质是证明几何命题的基础，如证明两个平面垂直的命题。
面面垂直的判定及性质
ED C BA PABCDABC DE F 线面垂直、线面夹角垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小： （1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --.例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点， （1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 DNCBMAP新课标高考真题例6. （2011.18．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．例7. （2012全国）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
面面垂直的投影性质与应用
面面垂直的投影性质与应用在几何学中，面面垂直是一个重要的概念。
它们的投影性质和应用可以在许多实际问题中发挥作用。
本文将介绍面面垂直的定义、性质和应用，并探讨它们在现实生活中的实际应用。
一、面面垂直的定义在空间几何学中，我们将两个平面称为面面垂直，如果它们的法线相互垂直。
换句话说，如果两个平面的法线之间的夹角为90度，则这两个平面被称为面面垂直。
二、面面垂直的性质1. 垂直平面的法线垂直于它们的交线。
这意味着，如果两个平面相交于一条直线，那么这个直线就是两个平面的交线，并且与两个平面的法线都垂直。
2. 垂直平面的投影性质。
如果一个平面与另一个平面垂直，那么这两个平面的投影也是垂直的。
这意味着，如果一条线在一个平面上垂直于另一个平面，那么它在两个平面的投影也是垂直的。
3. 垂直平面的距离。
如果两个平面垂直，那么它们的距离可以通过从一个平面上取任意一点，然后沿着垂直于另一个平面的方向移动，直到达到另一个平面为止来确定。
三、面面垂直的应用1. 建筑设计。
在建筑设计中，面面垂直的概念可以用于确定建筑物之间的夹角，以确保建筑物的结构稳定。
例如，在设计一座大厦时，建筑师需要保证楼层平面与立面平面之间是面面垂直的，以确保建筑物的稳定性和美观性。
2. 数学问题。
面面垂直的概念在解决数学问题中也很常见。
例如，在解析几何中，我们可以使用面面垂直的性质来求解两个平面的交线、共面条件等问题。
3. 图形投影。
面面垂直的概念在图形投影中也有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用面面垂直的概念来确定平行投影矩阵，实现三维物体在二维平面上的投影效果。
4. 光学问题。
在光学中，面面垂直的概念被广泛应用于反射和折射问题。
例如，在光的折射中，根据斯涅尔定律，入射光线与平面界面垂直，可以使得光线在两个不同介质之间的传播方向发生改变。
四、结论面面垂直是几何学中一个重要的概念，它的投影性质和应用可以在许多实际问题中发挥作用。
本文简要介绍了面面垂直的定义、性质和应用，并探讨了它们在建筑设计、数学问题、图形投影和光学问题中的实际应用。
面面垂直的垂线性质与应用
面面垂直的垂线性质与应用面面垂直的垂线是几何中重要的概念，它涉及到垂直关系、垂直性质和垂直应用等方面。
本文将对面面垂直的垂线的性质及其应用进行探讨。
一、面面垂直的垂线性质1. 垂直关系的定义在几何学中，两条直线相互垂直表示它们之间存在90度的夹角。
同样地，面面垂直的垂线指的是两个平面相互垂直。
2. 角度的特点面面垂直的垂线所形成的角度称为锐角、直角或钝角。
锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度。
3. 垂直线段的特性当一条线段垂直于一平面时，它与该平面的交点是这个平面上距离该线段一定距离的点。
这个垂直线段被称为高。
4. 垂线的相交关系两个垂直的面在某一点相交，那么所在平面上的直线相互垂直。
根据这一性质，我们可以利用垂直关系解决一些几何问题。
5. 平面内的垂线关系如果两个线段在平面内相交，且他们与该平面垂直，那么这两个线段也相互垂直。
二、面面垂直的垂线应用1. 三维建模设计在建筑设计、机械设计等领域，面面垂直的垂线plays a key role。
通过垂直线可以确定建筑物或机器中的各个部分的垂直关系，确保设计的完成度和精准度。
垂直线的应用可使设计更加稳定、均衡。
2. 数学推理在空间几何中，利用垂直关系可以进行一些重要的数学推理。
例如，通过垂直线的性质，我们可以利用垂直线段与平面的夹角大小来计算其他未知角度的大小。
这对于解决几何问题非常有帮助。
3. 垂直投影垂直关系的应用还可以体现在物体的投影上。
在投影学中，我们经常使用垂直投影，以确定物体在不同角度下的阴影或投影效果。
这对于艺术、建筑设计等领域都有很大的应用价值。
结语面面垂直的垂线是几何学中重要的概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过对垂直关系的认识和理解，我们可以在解决几何问题、进行建筑设计、进行数学推理等方面发挥重要的作用。
因此，深入研究并灵活应用面面垂直的垂线，对于我们的学习和应用都具有重要的意义。
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平面与平面垂直的性质
一、教学重点
对性质定理的理解
二、教学难点
性质定理的引入和证明
三、教学设计
（一）复习回顾
1、面面垂直的定义；
2、面面垂直的判定。
（二）探究新知
1、探究问题：教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一
条直线与地面垂直？
2、猜想
在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3、推理证明
已知：α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥AB.
求证：CD⊥β.
证明：
此命题就是面面垂直的性质定理。
定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直；
（2）为判定和作出线面垂直提供依据。
（三）概念巩固
练习：判断下列命题的真假
1、若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于β。
2、两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直。
3、两平面互相垂直，分别在两平面且互相垂直的两直线一定分别与另一个平面垂直。
4、两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面内作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面。
（四）巩固深化、发展思维
思考：设平面α⊥平面β，点C在平面α内，过点C作平面β的垂线CD，直线CD与平面α具有什么位置关系？
猜想：直线CD必在平面α内。
推理证明
（引导）要证直线在平面内，直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平面内.已知只有一点C∈α，再找合题意的点很困难.应该采用什么对策?
证明：
注：（1）此题运用了“同一法”来证明；
（2）这是面面垂直的另一个性质，它的作用是判定直线在平面内.
3、用语言叙述就是:；
（五）应用巩固
上面我们研究了面面垂直的两个性质定理。
定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法。
已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。
求证:a⊥γ.
（引导）本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选择适当的判定线面垂直的方法，给出证明.
证明：
此题还可采用间接的证明方法，请同学们课下尝试着用同一法来证明此题。
（六）课堂总结
1．这节课我们学习了哪些内容？我们是如何得到这些结论的？
2．空间垂直关系有哪些？如何实现垂直关系的相互转化？指出下图中空间垂直关系转化的依据？
线线垂直线面垂直面面垂直
（七）课堂作业
1、课本73页练习
2、课本74页习题B组第3题
四．目标检测：
（一）基础达标
1．P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（）.
A. PA⊥BC
B. BC⊥平面PAC
C. AC⊥PB
D. PC⊥BC
2．（1998上海卷）在下列说法中，错误的是（）.
A. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β
B. 若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β
C. 若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l⊥β
D. 若平面α∥平面β，任取直线l ⊄α，则必有l ∥β
3．给出下列说法：①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α； ④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等.
其中正确的两个说法是（ ）.
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②④
4．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB =8，60BAC ∠=︒，PC ⊥面ABC ，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为（
）.
A. 27
B. 7
C. 19
D. 5
5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列说法：
①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中正确说法的个数是（ ）.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的说法的序号依次是 .
7．P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是P 在平面α内的射影. 若P 到△ABC 的三个顶点距离相等，则O 是△ABC 的__________心；若P 到△ABC 的三边的距离相等，则O 是△ABC 的_______心；若P A ,PB ,PC 两两垂直，则O 是△ABC 的_______心.
（二）能力提高
1、把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面
所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？
2、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，P A ⊥平面ABC .
（1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；
（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.
A C α
B a。