高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答(可编辑修改word版)

1 2 1

2

2 5 L

L

⎰

⎝

⎭ 第十章曲线积分与曲面积分习题简答

习题 10—1

1 计算下列对弧长的曲线积分：

（1） I =

⎰

L

xds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B (

, - ) 之间的一段劣弧；

解: (1 +

) ．

（2） ⎰

L

(x + y +1)ds ，其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0)

及 B (0,1) 所成三角形的边界；

解: ⎰L (x - y + 1)ds = 3 + 2 ．

（3）

⎰

x 2 + y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ；

解: ⎰ x 2 + y 2 ds = 2 ．

（4） x 2 yzds ，其中 L 为折线段 ABCD ，这里 A (0, 0, 0) ， B (0, 0, 2), C (1, 0, 2),

L

D (1, 2, 3) ；

解:

⎰

L

x 2 yzds =

8

．

3

z

B (0, 0, 2)

D (1, 2,3)

C (1, 0, 2)

2 求八分之一球面 x 2

+ y 2 + z 2

= 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心，设曲线的密

度

= 1 。

解 故所求重心坐标为⎛

4 , 4 ,

4 ⎫ ．

A (0, 0, 0)

y

x

3 3 3⎪

习题 10—2

1 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b （ b 为常数），证明

1

2

y

A

C o

x

B

⎰

⎰

⎰L x - y + z = 2 , ⎰

证明：略.

2 计算下列对坐标的曲线积分： ⎰L

Q (x , y )dy = 0 。

（1） ⎰

L

xydx ，其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。 2

4

解 : ⎰

L

xydx = 5

。

（2） (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ，其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到

L

x = 2 时的点的一段弧；

解

(x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y

2 )dy = 4 ． L 3

（3） ⎰

L

ydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧；

解 ⎰L ydx + xdy = 0.

（4） xy 2dy - x 2 ydx ，其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点，经过点C (a , 0) L

到终点 B (0, -a ) 的路径；

解 ⎰L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4

。

4

（5）

⎰

L x dx + 3zy dy - x ydz ，其中 L 为从点 A (3, 2,1) 到点 B (0, 0, 0) 的直线段 AB ； 3

2 2

0 3 87 解

⎰ x 3dx + 3zy 2dy - x 2 ydz = 87⎰ t dt = - 。 L 1 4

⎧x 2 + y 2 = 1 ,

（6） I = (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz ， L 为椭圆周⎨ 且从 z 轴

⎩

正方向看去， L 取顺时针方向。

解: = -2

。

习题 10—3

1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

⎩

L

2

⎰

+ + - ⎧x = a cos 3 t ,

(1) 星形线⎨ y = a sin 3

t , ( 0 ≤ t ≤ 2)；）

解: = 3a 2 。

8

(2) 圆 x 2 + y 2 = 2by ，（ b > 0 ）；

解: =

b 2 。

2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1)

方向；

⎰ ( y - x )dx + (3x + y )dy ，其中 L 是圆(x - 1)2 + ( y - 4)2 = 9 ，方向是逆时针

(2)

(2)

解:

= 18。

ydx + ( 3 sin y - x )dy ，其中 L 是依次连接 A (-1, 0), B (2,1), C (1, 0) 三点的折线 L

段，方向是顺时针方向。解 :2 .

(3)

(3)

(e x sin y - my )dx + (e x

cos y - m )dy ，其中 m 为常数， L 为圆 L

x 2 + y 2 = 2ax 上从点 A (a , 0) 到点O (0, 0) 的一段有向弧；

解 : = 1

m

a 2 -0 = 1

m a 2 。

(4) (4)

针方向； 2 ⎰L

xdy - ydx x 2 + y 2 2

，其中 L 为椭圆4x 2 + y 2

= 1 ，取逆时 解

= ⎰0 d = 2．

∂u

2 2 2 2 ∂u

(5)

⎰L

∂n ds ，其中u (x , y ) = x

u 沿 L 的外法线方向导数。

+ y ， L 为圆周 x + y

= 6x 取逆时针方向，

∂n

是

解

⎰ ∂u

ds = 36。

L ∂n

3 证明下列曲线积分在整个 xOy 面内与路径无关，并计算积分值:

(1)

(2,1)

(0,0)

(2x y )dx (x 2 y )dy ；

∂P ∂Q

解 令 P = 2x + y ， Q = x - 2 y ，则 ∂y = 1 = ∂x

在整个

y

0(0, 0)

o

A (2a , 0) x

y

B (2,1)

⎰ ⎰