北师大版八年级数学上册第二章实数计算题
北师大版八年级数学(上)第二章 实数 二次根式(2)
（2）
；
（3）
．
解：（1）原式＝6×（﹣3）×
＝﹣18×4＝﹣72．
（2）原式＝ + ＝
；
（3）原式＝3+2﹣2 ﹣3+2＝
．
例4：计算
(1)
3 2
2 (2) 18 3
81 8(3)(来自24 1) 63
(4)
25 2
99 18
练习：计算． （1） （2）
（3）
； ；
．
解：（1）原式＝
﹣3
（2）原式＝2 ﹣2 +
3
(2) 5 27 3 125
(3) 1.53 0.17
解：（1） （2）
=
= =6；
=
=
=；
（3）
=
= =3；
例3：计算
(1)3 2 2 3
(2) 12 3 5
(3)( 5 1)2
(4)( 13 3)( 13 3) (5)( 12 1 ) 3
3
(6) 8 18 2
练习：计算
（1）6 ×（﹣3 ）；
解：（1）原式＝2× × ×
＝；
（2）原式＝ ﹣2 +3 ﹣（ ﹣3）（5﹣9） ＝ ﹣2 +3 +4 ﹣12 ＝6 ﹣12．
4．计算：
（1）
；
（2）
．
（3）
．
解：（1）原式＝3 ﹣4 + ＝0； （2）原式＝2﹣（3+2﹣2 ）＝﹣3+2 ．
（3）原式＝
＝
＝
．
C．5
解：原式＝
＝ ＝4 ，故选：B．
D．6
2.(1) 3 5
(2) 1 108 3
北师大版八年级上第2章《实数》练习题及答案解析
第二章实数2.1认识无理数专题无理数近似值的确定1. 设面积为3的正方形的边长为x，那么关于x的说法正确的是（）A．x是有理数B．x取0和1之间的实数C．x不存在 D．x取1和2之间的实数2．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？（2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．3.你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗？你能估测或实际测量一下数学课本的长、宽和厚度吗？请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书？这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢？请你对每一个问题给出估测的数据，再把估算的过程结果一一写出来．答案：1．D 【解析】 ∵面积为3的正方形的边长为x ，∴x 2=3，而12=1，22=4，∴1＜x 2＜4，∴1＜x ＜2，故选D. 2．解：（1）边长为5cm.（2）设大正方形的边长为x ，∵大正方形的面积=32+32=18，而42=16，52=25，∴16＜x 2＜25，∴4＜x ＜5,故正方形的边长不是整数,它的值在4和5之间.3．解：估算的过程：教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来；数学课本的长、宽和厚度可以用我们的手指估计出来，也可以用直尺测量出来；我们用长宽高相乘估计出教室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书，就是能供多少名学生使用，再用本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数，然后相处就可以估计出这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了．估测的数据、估算的结果略.2.2平方根专题一 非负数问题1. 若2(2)a +与1+b 互为相反数，则a b -的值为（ ）A ．2B ．21+C ．21-D ．12-2． 设a ，b ，c 都是实数，且满足（2-a ）2+2a b c +++|c+8|=0，ax 2+bx+c=0，求式子x 2+2x 的算术平方根．3. 若实数x ，y ，z x 1y -2z -= 14(x+y+z+9)，求xyz 的值．专题二 探究题 4. 研究下列算式，你会发现有什么规律？131⨯+=4 =2；241⨯+=9=3；351⨯+=16=4；461⨯+=25=5；…请你找出规律，并用公式表示出来．5.先观察下列等式，再回答下列问题： ①2211112++=1+ 11111-+- =112；②2211123++ =1+ 11221-+=116； ③2211134++=1+ 11331-+=1112． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想2211145++的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式（n 为正整数）．答案：1．D 【解析】 ∵2(2)a +与|b+1|互为相反数，∴2(2)a ++|b+1|=0， ∴2+a =0且b+1=0， ∴a=2，b=﹣1，a b -=12-，故选D.2．解：由题意，得2-a=0，a 2+b+c=0，c+8=0． ∴a=2，c=-8，b=4． ∴2x 2+4x-8=0． ∴x 2+2x=4．∴式子x 2+2x 的算术平方根为2．3．解：将题中等式移项并将等号两边同乘以4得x-4x +y-41y -+z-42z -+9=0，∴(x-4x +4)+(y-1-41y -+4)+(z-2-42z -+4)=0, ∴(x-2)2+(1y --2)2+(2z --2)2=0,∴x-2=0且1y --2=0且2z --2=0, ∴x=21y -=2 2z -=2,∴x=4,y-1=4 ,z-2=4,∴x=4,y=5,z=6.∴xyz=120．4.解：第n 项a n =(2)1n n ++=2(1)n +=n+1，即a n =n+1． 5.解：（1）2211145++=1+ 11441-+=1120． 验证：2211145++=1111625++=25161400400++=441400=1120． （2）22111(1)n n +++=1+111n n -+=1+1(1)n n +（n 为正整数）．2.3立方根专题 立方根探究性问题1. （1）填表：a 0.000001 0.001 1 1000 10000003a（2）由上表你发现了什么规律（请你用语言叙述出来）；（3）根据发现的规律填空：①已知33=1.442，则33000=_____________；②已知30.000456=0.07696，则3456=_____________．2．观察下列各式：（1）223=223；（2）338=338；（3）4415=4415．探究1：判断上面各式是否成立．（1）________；（2）________；（3）________ .探究2：猜想5524= ________ ．探究3：用含有n的式子将规律表示出来，说明n的取值范围，并用数学知识说明你所写式子的正确性．拓展:3227=2327，33326=33326，34463=43463,…根据观察上面各式的结构特点，归纳一个猜想，并验证你的猜想．答案：1.解：（1）直接开立方依次填入：0.01；0.1；1；10；100．（2）从表中发现被开方数小数点向右移动三位，立方根向右移动一位．（3）①14.42 ②7.6962.解：探究1：（1）成立 （2）成立 （3）成立 探究2：5524探究3：21n nn -=21nn n -（n≥2,且n 为整数）．理由如下： 21n n n -=321n n n n -+-=221n n n ⨯-=21n n n -. 拓展：331n nn -=331n n n -．理由如下： 331n n n -=4331n n n n -+-=3331n n n ⨯-=331n n n -.2.4估算专题 比较无理数大小1. 设a=1003+997，b=1001+999，c=21001，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a2. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题：(2+1)(2-1)=1，(3+2 )(3- 2)=1，(4+3)(4-3)=1，(5+4)(5-4)=1…（1）观察上面的规律，计算下列式子的值． (121++132++143++…+ 120132012+)•( 2013+1).（2）利用上面的规律，试比较1211-与1312-的大小．3. 先填写下表，通过观察后再回答问题．问：（1）被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根a 的小数点位置移动有无规律？ 若有规律，请写出它的移动规律；（2）已知：a =1800，- 3.24 =-1.8，你能求出a 的值吗？（3）试比较a 与a 的大小．答案：1． D 【解析】 ∵a 2=2000+21003997⨯，b 2=2000+21001999⨯，c 2=4004=2000+2×1002，1003×997=1 000 000-9=999 991，1001×999=1 000 000-1=999 999，10022=1 004 004． ∴c ＞b ＞a ．故选D ．2．解：（1）由上面的解题规律可直接写出111n n n n=+-++，则(121++132++143++…+ 120132012+)•( 2013+1) =[(2-1)+ (3- 2)+(4-3)+…+(2013-2012)](2013+1) =( 2013-1) ( 2013+1) =.（2）∵11211-=1211+，11312-=1312+,又1211+＜1312+，∴11211-＜11312-， ∴1211-＞1312-.3．解：依次填:0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000． （1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，算术平方根的小数点向左（或向右）移动1位.（2）观察1.8和1800，小数点向右移动了3位，则a 的值为3.24的小数点向右移动6位,即a=3240000； （3）当0＜a ＜1时，a ＞a ；当a=1或0时，a =a ；当a ＞1时，a ＜a ．2.6实数专题 实数与数轴1.如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是（ ） A ．2 B ．22 C ．12 D ．122.如图所示，直线L 表示地图上的一条直线型公路，其中A 、B 两点分别表示公路上第140公里处及第157公里处．若将直尺放在此地图上，使得刻度15，18的位置分别对准A ，B 两点，则此时刻度0的位置对准地图上公路的第（ ）公里处 A ．17 B ．55 C ．72 D ．853. 一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点C 和A 在数轴上的位置表示的实数为-1和1．那么当顶点C 下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是___________．4. 如图，已知A 、B 、C 三点分别对应数轴上的数a 、b 、c ．（1）化简：|a-b|+|c-b|+|c-a|； （2）若a=4x y ，b=-z 2，c=-4mn ．且满足x 与y 互为相反数，z 是绝对值最小的负整数，m 、n 互为倒数，试求98a+99b+100c 的值；（3）在（2）的条件下，在数轴上找一点D ，满足D 点表示的整数d 到点A ，C 的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．答案：1．B 【解析】由勾股定理得：正方形的对角线为2，设点A表示的数为x，则2-x=2，解得x=2-2．故选B．2．B 【解析】根据题意，数轴上刻度15，18的位置分别对准A，B两点，而AB两点间距离157-140=17（公里），即数轴上的3个刻度对应实际17公里的距离.又有数轴上刻度0与15之间有15个刻度，故刻度0的位置对准地图上公路的位置距A点有15×173=85(公里), 140-85=55,故刻度0的位置对准地图上公路的55公里处.故选B．3．3+22【解析】在直角△ABC中，AC=CB=2，根据勾股定理可以得到AB=22，则当顶点C下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是4+22-1=3+22．故答案为：3+22．4．解：（1）由数轴可知：a-b＞0，c-b＜0，c-a＜0，所以原式=（a-b）-（c-b）-（c-a）=a-b-c+b-c+a=2a-2c.（2）由题意可知：x+y=0，z=-1，mn=1，所以a=0，b=-（-1）2=-1，c=-4，∴98a+99b+100c=-99-400=-499.（3）满足条件的D点表示的整数为-7、3，它们的和为-4．2.7二次根式专题一 与二次根式有关的规律探究题1.将1、2、3、6按如图所示的方式排列.若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ）A.1B.2C. 23D.6 2. 观察下列各式及其验证过程：322322=+，验证：228222223333⨯+===． 333388+=，验证：2327333338888⨯+===．（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想1544+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证；（3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证．3. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=221）（+，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2+2mn 2, ∴a=m 2+2n 2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = ，b = ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + 3 =（ ＋ 3）2；（3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值.专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式22a aa 的结果是（ ） A.2a B.2a C. 2a D.2a5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置， 化简：222)(b a b a -+-．答案：1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）所表示的数是6.∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210个数，∴（21，2）表示的是第210+2=212个数.∵这些数字按照1、2、3、6的顺序循环出现，212÷4=53，∴（21，2）表示的数是6.∴（4，2）与（21，2）表示的两数之积是666⨯=.2.解：（1）44441515+=．验证：24644444415151515⨯+===． （2）2211a a a a a a +=--（a 为任意自然数，且2a ≥）． 验证：3322221111a a a a a aa aa a a a -++===----． （3）333311-=-+a a a a a a （a 为任意自然数，且2a ≥）． 验证：33334433331111aa a aa aa aa a a a -++===----． 11nnn na aa a a a +=--（a 为任意自然数，且2a ≥）． 验证：n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a 111111-=-=-+-=-+++. 3. 解：(1)223n m + 2mn (2)21 12 3 2(3) ∵223n m a +=,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n 为正整数，∴m=1,n=2或m=2,n=1, ∴a=13或a=7.4.B 【解析】若二次根式有意义，则22a a+-≥0，-a-2≥0，解得a≤-2，∴原式=2a a a=2a ．故选B ．5.解：由图知，a ＜0，b ＞0，∴a ﹣b ＜0，∴222)(b a b a -+-=|a |﹣|b |+|a ﹣b |=（﹣a ）﹣b +（b ﹣a ）=﹣2a ．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第二单元《实数》测试(有答案解析)(4)
一、选择题1．若表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b a b -++的结果等于（ ）A ．2b -B ．2bC ．2a -D ．2a2．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如图，则输出结果应为（ ）A ．8B ．4C ．12D ．143．81的算术平方根是（ ） A ．3B ．﹣3C ．±3D ．64．下列运算中错误的是（ ） A ．235+=B ．236⨯=C ．822÷=D ．2 (3)3-=5．若方程2(1)5x -=的解分别为,a b ，且a b >，下列说法正确的是（ ） A ．a 是5的平方根 B ．b 是5的平方根 C ．1a -是5的算术平方根D ．1b -是5的算术平方根6．式子1x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．1x ≤C ．1x ≥-D ．1≥x7．在数227，7，0，18，2(2)，316，112π-，3.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）中，无理数有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个8．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式2-a b a +的结果是（ ）．A ．-bB ．2aC ．-2aD ．-2a-b9．1x -x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x≥1D ．x≤11013( ) A ．1与2之间B ．2与3之间C ．3与4之间D ．5与6之间11．已知﹣1＜a ＜0，化简2211()4()4a a a a+---+的结果为（ ） A ．2aB ．﹣2aC ．2a-D ．2a12．如图，在数轴上作长、宽分别为2和1的长方形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点A ．若点A 对应的数字为a ，则下列说法正确的是（ ）A ．a>-2.3B ．a<-2.3C ．a=-2.3D ．无法判断二、填空题13．若x ＝2﹣1，则x 3＋x 2﹣3x ＋2035的值为_____． 14．计算：()235328-+---=__________．15．对于正整数n ，规定111()(1)1f n n n n n ==-++，例如：111(1)1212f ==-⨯，111(2)2323f ==-⨯，111(3)3434f ==-⨯，…则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++= _______16．若一个正数的平方根是3m +和215m -，n 的立方根是2-，则2n m -+的算术平方根是______． 17．已知223y x x =-+-+，则xy 的值为__________．18．比较大小：23_____32（填“＞”、“＜”或“＝”）．19．如图所示，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为____________________．20．4102541025-+++=_______．三、解答题21．计算． （1503288⨯（2． 22．计算：（102021； （2）求x 值：2425x =． 23．24．本学期第四章《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：（类比探索）（1）探索定义：填写下表． （2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③8116的四次方根是 ；④12的四次方根是 ； ⑤0的四次方根是 ；⑥625- （填“有"或"“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ． （拓展应用）（1）（2= ；（3．25．计算：21-．26．先阅读，后回答问题：x 解：要使该二次根式有意义，需x(x-3)≥0， 由乘法法则得030? x x ≥⎧⎨-≥⎩或030x x ≤⎧⎨-≤⎩，解得x 3≥或x 0≤，即当x 3≥或x 0≤体会解题思想后，解答：x【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由数轴可判断出a ＜0＜b ，|a|＞|b|，得出a−b ＜0，a ＋b ＜0，然后再根据这两个条件对式子化简． 【详解】解：∵由数轴可得a ＜0＜b ，|a|＞|b|， ∴a−b ＜0，a ＋b ＜0，∴a b -|a−b|＋|a ＋b|＝b- a −（a ＋b ） ＝b- a –a-b =−2a ． 故选：C ．此题考查数轴，二次根式的化简，绝对值的化简，先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，掌握求绝对值的法则以及二次根式的性质，是解题的关键．2．D解析：D 【分析】根据2ndf 键是功能转换键列算式，然后解答即可． 【详解】14==． 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用计算器进行数的开方，是基础题，要注意2ndf 键的功能．3．A解析：A 【分析】9，再利用算术平方根的定义求出答案. 【详解】 ∵9，∴3，故选：A . 【点睛】.4．A解析：A 【分析】根据合并同类二次根式的法则对A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断． 【详解】==2÷，故此项正确，不符合要求；D. 2 (3=，故此项正确，不符合要求； 故选A ． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．5．C解析：C 【分析】根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可. 【详解】∵方程2(1)5x -=的解分别为,a b ， ∴2(1)5a -=，2(1)5b -=，∴a-1，b-1是5的平方根， ∵a b >， ∴11a b ->-，∴a-1是5的算术平方根， 故选C. 【点睛】本题考查了方程解的定义，算术平方根的定义，熟记定义，灵活运用定义是解题的关键.6．D解析：D 【分析】利用二次根式有意义的条件可得x-1≥0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x-1≥0， 解得：x≥1， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．7．C解析：C 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】227，0，22=，这些数都是有理数；，=112π-，3.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0），是无理数，无理数共有5个． 故选：C ．【点睛】本题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义和各种类型．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．8．A解析：A【分析】根据数轴得b<a<0，判断a+b<0，即可化简绝对值及二次根式，计算加减法即可得到答案．【详解】由数轴得b<a<0，∴a+b<0，∴a b+=-a-b+a=-b，故选：A．【点睛】此题考查数轴与数的表示，利用数轴比较数的大小，化简绝对值，化简二次根式，依据数轴化简绝对值及二次根式是解题的关键．9．C解析：C【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【详解】∵∴x−1≥0，解得：x≥1．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．10．C解析：C【分析】【详解】解：<∴<<，34故选：C．【点睛】本题考查无理数的估算，掌握几个非负整数的算术平方根的大小比较方法是解决问题的关键．11．A解析：A 【分析】先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据a 的取值范围去根号再合并即可． 【详解】解：2211()4()4a a a a+---+2222112()42()4a a a a =++---++2222112()2()a a a a=-+-++2211()()a a a a=--+∵-1＜a ＜0，∴2110a a a a--=>，10a a +<∴原式1111()2a a a a a a a a a⎡⎤=---+=-++=⎢⎥⎣⎦． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形，是解答此题的关键．12．A解析：A 【分析】先利用勾股定理求出长方形对角线OB 的长，即为OA 的长，然后根据A 在原点的左边求出数轴上的点A 所对应的实数为5-，再根据22.3 5.295=>判断出5 2.3->-即可得答案． 【详解】解：如图，连接OB ，长方形对角线的长OB =OA OB ∴==，点A 在原点的左边，∴点A 所对应的实数为a =又∵22.3 5.295=>， ∴2.3，∴2.3>-，即 2.3a >-． 故选A ． 【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理、比较无理数大小，求出OA =题的关键．二、填空题13．2034【分析】直接利用二次根式的混合运算法则代入计算即可【详解】解：x3＋x2﹣3x ＋2035＝x2（x ＋1）﹣3x ＋2035∵x ＝﹣1∴原式＝（﹣1）2（﹣1＋1）﹣3（﹣1）＋2035＝（3﹣解析：2034 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则代入计算即可． 【详解】解：x 3＋x 2﹣3x ＋2035， ＝x 2（x ＋1）﹣3x ＋2035， ∵x﹣1，∴1）2﹣1＋1）﹣3﹣1）＋2035，＝（3﹣）3＋2035，＝4﹣＋3＋2035， ＝2034． 故答案为：2034． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键．14．7-【分析】首先利用绝对值的性质和二次根式算术平方根立方根的性质化简然后再计算加减即可【详解】解：【点睛】此题主要考查了实数运算关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质解析：【分析】首先利用绝对值的性质和二次根式、算术平方根、立方根的性质化简，然后再计算加减即可．【详解】3()=322--=32+2=7【点睛】此题主要考查了实数运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．15．【分析】根据题意可得：原式=再根据加法的结合律相加计算即可【详解】解：原式=故答案为：【点睛】本题考查了数字类规律探究和新定义问题正确理解题意准确计算是关键解析：2021 2022【分析】根据题意可得：原式=111111112233420212022-+-+-++-，再根据加法的结合律相加计算即可．【详解】解：原式=111111112021 11223342021202220222022 -+-+-++-=-=．故答案为：2021 2022．【点睛】本题考查了数字类规律探究和新定义问题，正确理解题意、准确计算是关键．16．4【分析】首先根据平方根的定义求出m值再根据立方根的定义求出n代入-n+2m求出这个值的算术平方根即可【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15∴m+3+2m-15=0解得：m=4∵解析：4【分析】首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入-n+2m，求出这个值的算术平方根即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15，∴m+3+2m-15=0，解得：m=4，∵n的立方根是-2，∴n=-8，把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16，所以-n+2m的算术平方根是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m、n值，然后再求-n+2m的算术平方根．17．6【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组进而可求出xy 然后把xy的值代入所求式子计算即可【详解】由题意得：所以x=2当x=2时y=3所以故答案为：6【点睛】本题考查了二次根式有意义的条解析：6【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，进而可求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．【详解】由题意得：2020xx-≥⎧⎨-≥⎩，所以x=2，当x=2时，y=3，所以236xy=⨯=．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、代数式求值和一元一次不等式组，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．18．＜【分析】先把根号的外的因式移入根号内再比较大小即可【详解】∵==＜∴＜故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键解析：＜【分析】先把根号的外的因式移入根号内，再比较大小即可．【详解】∵，∴故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．19．【分析】根据图示得到圆的半径为所以A点表示的数为【详解】∵圆的半径为∴A点表示的数为故答案为【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系关键是要判断出圆的半径然后根据实数计算法则求解即可解析：1-【分析】A点表示的数为1--【详解】∵圆的半径为，∴A点表示的数为1--故答案为1【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，关键是要判断出圆的半径，然后根据实数计算法则求解即可．20．【分析】设将等式的两边平方然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论【详解】解：设由算术平方根的非负性可得t≥0则故答案为：【点睛】此题考查的是二次根式的化简掌握完全平方公式和二次根式的性【分析】t=，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】t=，由算术平方根的非负性可得t≥0，则244t=+8=+=+8=+81)=+62=1)∴=．t1．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．三、解答题21．（1）2）【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【详解】解：（1＝﹣＝（2）原式＝＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．22．（1）0；（2）52x =±． 【分析】（1）先求算术平方根、立方根、0指数，再计算；（2）方程两边除以4，再开方即可．【详解】解：（102021=4-3-1=0（2）2425x =，系数化为1得，2254x =， 开方得，52x =±． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根和0指数，解题关键是熟练的运用相关知识求值，并准确计算，注意：一个正数的平方根有两个．23．－4【分析】利用立方根的定义、二次根式的乘法法则及二次根式的性质进行化简，再合并化简结果即可．【详解】1342=-+--4=-．【点睛】此题考查了实数的混合运算，掌握立方根的定义、二次根式的乘法法则以及二次根式的性质是解题的关键．24．【类比探索】（1）依次为：±1，±2，±3；一般地，如果一个数x 的四次方等于a ，即4x a =，那么这个数x 就叫做a 的四次方根；（2）①±1；②2±；③32±；④⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等．【拓展应用】（1）4±；（2）25；（3）>． 【分析】（1）先计算填表，在类比平方根，立方根的定义，即可给四次方根下定义；（2）根据四次方根的定义求解，类比平方根，立方根的的性质即可得到四次方根的性质特征；（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，利用四次方根的定义求解，再计算并比较两个数的四次方，进而得出答案．【详解】（1）类比平方根，立方根的定义，当41x =时1x =±，当416x =时2x =±，当481x =时3x =±，所以填表如下：四次方根等于a ，那么这个数叫做a 的四次方根，这就是说，如果4x a =，那么x 叫做 a 的四次方根．（2）根据四次方根的定义计算：①1的四次方根是±1；②16的四次方根是2±；③8116的四次方根是32±；④12的四次方根是；⑤0的四次方根是0；⑥625-没有四次方根；类比平方根，立方根的性质可得四次方根的性质为：一个正数由两个四次方根，他们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根．（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，【拓展应用】根据四次方根的定义计算得：（1）4=±；（225=（3）49=，48=，98>，>【点睛】本题考查了方根的定义，类比平方根，立方根的定义和性质，学习四次方根，解题关键是在求四次方根时，注意正数的四次方根有2个，它们互为相反数．25．1.【分析】按照二次根式性质，立方根的定义，绝对值的意义，化简即可.【详解】解：原式12412=-⨯=1.【点睛】本题考查了二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的化简，熟记性质是解题的关键. 26．x 2≥或1x 3<-． 【分析】根据题目信息，列出不等式组求解即可得到x 的取值范围．【详解】 解：要使该二次根式有意义，需x 23x 1-≥+0， 由乘法法则得20310x x -≥⎧⎨+>⎩或20310x x -≤⎧⎨+<⎩， 解得x 2≥或1x 3<-，即当x 2≥或1x 3<- 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．。
北师大版八年级上册数学第二章-实数练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第二章实数练习题（带解析）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四<五总分得分[1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释评卷人得分.一、单选题(注释)1、下列各式计算正确的是A．B．（＞）C．=、D．2、下列计算中，正确的是（）A．B．C．5=5·D．=3a(3、实数a在数轴上的位置如图所示，则a,－a,,a2的大小关系是（）A．a<－a<<a2B．－a<<a<a2 C．<a<a2<－a D．<a2<a<－a 4、下列各式中，计算正确的是（）A．+=~B．2+=2C．a－b=(a－b)D．=+=2+3=55、在实数中，有（）A．最大的数B．最小的数C．绝对值最大的数。
D．绝对值最小的数6、下列说法中正确的是（）A．和数轴上一一对应的数是有理数B．数轴上的点可以表示所有的实数C．带根号的数都是无理数D．不带根号的数都不是无理数（7、一个正方形的草坪，面积为658平方米，问这个草坪的周长是（）A．B．C．D．8、下列各组数，能作为三角形三条边的是（）A．,,<B．,,C．，，D．,, 9、将，，用不等号连接起来为（）A．<<B．<<C．<<@D．<<10、用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．B．±C．D．－！11、2nd x2 2 2 5 ) enter显示结果是（）A．15B．±15C．－15D．25更多功能介绍、一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（）A．22厘米B．27厘米*C．厘米D．40厘米13、设=,=,下列关系中正确的是（）A．a>b B．a≥b C．a<b D．a≤b-14、化简的结果为（）A．－5B．5－C．－－5D．不能确定15、在无理数，，，中，其中在与之间的有（）^A．1个B．2个C．3个D．4个16、的算术平方根在（）A．与之间B．与之间，C．与之间D．与之间17、下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C．负数没有立方根D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1。
北师大版八年级数学上册《第二章实数》单元测试题(含答案)
第二章实数测试题一、选择题(每题3分，共30分)1．有一组数如下：－π，13，|－2|，4，7，39，0.808008…(相邻两个8之间0的个数逐次加1)．其中无理数有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个2．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①－64的立方根是－4； ②49的算术平方根是±7； ③127的立方根是13； ④116的平方根是14. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．下列各组数中，互为相反数的一组是( )A ．－3与3－27 B ．－3与（－3）2 C ．－3与－13D .||－3与34．下列各式计算正确的是( )A .2＋3＝ 5B ．43－33＝1C ．23×33＝6 3D .27÷3＝35．下列各式中，无论x 为任何数都没有意义的是( )A .－7xB .－1999x3C .－0.1x2－1D .3－6x2－56．若a ＝15，则实数a 在数轴上的对应点P 的大致位置是( )图17．如图2是一数值转换机，若输出的结果为－32，则输入的x的值为( )图2A．－4B．4C．±4D．±58．若a，b均为正整数，且a>7，b>320，则a＋b的最小值是( )A．6 B．5 C．4 D．39．实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图3所示，且||a>||b，则化简a2－||a＋b 的结果为( )图3A．2a＋b B．－2a＋bC．b D．2a－b10．已知x＝2－3，则代数式(7＋4 3)x2＋(2＋3)x＋3的值是( )A．2＋ 3 B．2－ 3 C．0 D．7＋4 3请将选择题答案填入下表：第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每题3分，共18分) 11．计算：252－242＝________．图412．如图4，正方形ODBC 中，OC ＝1，OA ＝OB ，则数轴上点A 表示的数是________． 13．用计算器计算并比较大小：39________7.(填“＞”“＝”或“＜”) 14．若|x －y|＋y －2＝0，则xy －3的值是________．15．若规定一种运算为a ★b ＝2(b －a)，如3★5＝2×(5－3)＝22，则2★3＝________．16．设a ，b 为非零实数，则a |a|＋b2b所有可能的值为________． 三、解答题(共52分)17．(6分)实数a ，b 在数轴上所对应的点的位置如图5所示，试化简：a2－b2－（a －b ）2.图518．(6分)计算：(1)()－62－25＋（－3）2；(2)50×8－6×32；(3)(3＋2－1)(3－2＋1)．19．(6分)已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 是2的平方根，求5（a ＋b ）a2＋b2－2cd＋x 的值．20.(6分)如果a 是100的算术平方根，b 是125的立方根，求a2＋4b ＋1的平方根．21．(6分)某中学要在操场的一块长方形土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长为510 m ，宽为415 m .(1)求该长方形土地的面积(精确到0.1 m 2)；(2)如果绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，那么绿化该长方形土地所需资金约为多少元？22．(6分)如图6所示，某地有一地下工程，其底面是正方形，面积为405 m2，四个角是面积为5 m2的小正方形渗水坑，根据这些条件如何求a的值？与你的同伴进行交流．图6下面是小康提供的解题方案，根据解题方案请你完成本题的解答过程：①设大正方形的边长为x m，小正方形的边长为y m，那么根据题意可列出关于x的方程为__________，关于y的方程为__________；②利用平方根的意义，可求得x＝________(取正值，结果保留根号)，y＝________(取正值，结果保留根号)；③所以a＝x－2y＝____________＝__________(结果保留根号)；④答：________________________．23．(8分)如图7，在Rt△OA1A2中，∠A1＝90°，OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边向外作直角三角形，…，使A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A n－1A n＝1.(1)计算OA2和OA3的长；(2)猜想OA75的长(结果化到最简)；(3)请你用类似的思路和方法在数轴上画出表示－3和10的点．图724．(8分)先阅读材料，再回答问题：因为(2－1)(2＋1)＝1，所以12＋1＝2－1；因为(3－2)(3＋2)＝1，所以13＋2＝3－2；因为(4－3)(4＋3)＝1，所以14＋3＝4－ 3.依次类推，你会发现什么规律？请用你发现的规律计算式子12＋1＋13＋2＋…＋1100＋99的值．答案1．A 2.B 3.B 4.D 5．C 6．B 7.C 8.A 9.C 10．A 11．7 12．－213．＜ 14.1215.6－2 16．±2，017．解：由数轴易知a ＜0，b ＞0，|a |＜|b |， 所以原式＝－a －b －(b －a )＝－2b . 18．解：(1)原式＝6－5＋3＝4.(2)原式＝5 2×2 2－3 22＝20－3＝17. (3)(3＋2－1)(3－2＋1)＝[]3＋（2－1）[]3－（2－1） ＝3－(2－1)2＝3－3＋2 2 ＝2 2.19．解：由题意知a ＋b ＝0，cd ＝1，x ＝±2. 当x ＝2时，原式＝－2＋2＝0； 当x ＝－2时，原式＝－2－2＝－2 2， 故原式的值为0或－2 2.20．[解析] 先根据算术平方根、立方根的定义求得a ，b 的值，再代入所求代数式即可计算．解：因为a 是100的算术平方根，b 是125的立方根， 所以a ＝10，b ＝5，所以a2＋4b＋1＝121，所以a2＋4b＋11＝11，所以a2＋4b＋11的平方根为±11.21．[解析] (1)根据这块长方形土地的长为5 10 m，宽为415 m，直接得出面积即可；(2)利用绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，即可求出绿化该长方形土地所需资金．解：(1)该长方形土地的面积为510×415＝100 6≈244.9(m2)．(2)因为绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，所以180×244.9＝44082(元)．答：绿化该长方形土地所需资金约为44082元．22．解：①x2＝405 y2＝5②9 55③9 5－2 57 5④a的值为7 523．解：(1)OA2＝12＋12＝2，OA3＝()22＋12＝3.(2)OA75＝75＝5 3.(3)如图所示：24．解：规律：当n是正整数时，1n＋1＋n＝n＋1－n，故12＋1＋13＋2＋…＋1100＋99＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(100－99)＝100－1＝9.。
北师大版八年级数学上册第二章实数计算题
北师大版八年级数学上册第二章实数计算题（1）900； （2）1； （3）6449； （4）14． 一、填空题：1．若一个数的算术平方根是7,那么这个数是 ；．9的算术平方根是 ；3．2)32(的算术平方根是 ；4．若22=+m ,则2)2(+m = ．二、求下列各数的算术平方根：36,144121,15,0.64,410-,225,0)65(．三、如图,从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米,地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米,则帐篷支撑竿的高是多少米？例2 求下列各数的平方根:(1)64； (2)49121； (3) 0.0004； (4)()225-； (5) 11()25-的平方根是,2==,==2a。
20≥=当a , 例3求下列各数的立方根：（1）27－； （2）1258 ； （3）833 ； （4）216.0 ； （5）5－.1．求下列各数的立方根： ().1656464125.03333333 ；；－；；-（1）3332-； （2）2122313⋅+⋅； （3）2)52(．（1）5312-⨯； （2）236⨯； （3）2)15(-；（4）)12)(12(-+； （5）)82(23-⋅．化简：（1）2095⨯； （2）8612⨯； （3）2)323(-；（4）2)132(-； （5）)32)(31(-+．﹡1．化简：（1）250580⨯-⨯； （2）)25)(51(-+；（3）2)313(-； （4）10405104+； （5）)82(2+．﹡2．一个直角三角形的两条直角边的长分别是cm 5和cm 45,求这个直角三角形的面积．化简：（1）45； （2）27； （3）54； （4）98； （5）16125． （1）50； （2）348-； （3）515-． ． ﹡例8 化简：（1）81； （2）278； （3）2.1； （4）62⨯． 化简：（1）128； （2）9000； （3）48122+；（4）325092-+； （5）5145203--； （6）3223+．。
北师大版八年级数学上册第二章测试题(附答案)
北师大版八年级数学上册第二章测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.实数a，b，c满足a>b且ac<bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是( )A. B.C. D.2.-8的立方根是（）A. -2B. 2C.D.3.在-1.414，，，，3.142，2- ，2．121121112…中，无理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.下列各式中，无论为任何数都没有意义的是（）A. B. C. D.5.下列式子为最简二次根式的是（）A. B. C. D.6.下列各数中,无理数是( )A. 0.121221222B.C. πD.7.下列各数中，是无理数的是（）A. B. C. D.8.下列二次根式中为最简二次根式的是（）A. B. C. D.9.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.下列计算正确的为（）A. B. C. D.11.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.12.下列各式中，运算正确的是（）A. B. C. D.二、填空题13.用一组a , b 的值说明式是错误的，这组值可以是a=________，b=________14.写出一个满足的整数a的值为：________.15.计算：________16.化简：=________。
17.大于且小于的所有整数的和是________。
18.如图，数轴上的点表示的数是，，垂足为，且，以点为圆心. 为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为________.19.中的取值范围为________.20.化简二次根式的结果是________.三、计算题21.计算：22.计算：（1）（2）23.计算：（1）; （2）24.已知4x2=81，求x的值.25.计算: 226.求下列各式中的x：（1）2x2－1＝9；（2）(x＋1)3＋27＝0．四、综合题（共2题；共20分）27. （1）化简:（2）如图,数轴上点A和点B表示的数分别是1和.若点A是BC的中点。
最新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
最新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题知识点一、平方根平方根是指一个数的平方等于另一个数时，这个数就是另一个数的平方根。
记作x=±a(a≥0)。
根据这个定义，可以得出以下结论：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是本身；2.当a>0时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x=±a。
3.当a<0时，它不存在平方根。
例1：1.(1)的平方是64，所以64的平方根是±8；2.(2)的平方根是它本身，即1；3.若2x的平方根是±2，则x=±1；16的平方根是±4；4.当x≥1时，3-2x有意义；5.一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是8，这个正数是16.知识点二、算术平方根如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“√a”，其中，a称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0.算术平方根的性质是具有双重非负性，即：a≥0(√a≥0)。
算术平方根与平方根的关系是算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：√a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：±√a。
例2：1.下列说法正确的是：C，81的平方根是±9；2.下列各式正确的是：A，81=±9；B，3.14-π=π-3.14；C，-27=-93；D，5-3=2；3.(-3)的算术平方根是0；4.若x+2√a- x有意义，则x+1=√a；5.已知△ABC的三边分别是a,b,c，且a,b满足a-3+(b-4)²=49，求c的取值范围是[4,∞)；6.如果x、y分别是4-3的整数部分和小数部分，求x-y的值是0.01；7.求下列各数的平方根和算术平方根：64的平方根是±8，算术平方根是8；49的平方根是±7，算术平方根是7；0.0004的平方根是±0.02，算术平方根是0.02；(-25)²的平方根是±25，算术平方根是25；11的平方根是±√11，算术平方根是√11；8.(64)²=4096，(-64)²=4096；9.(7.2)²=51.84；10.对于正数a，(a)²=a²。
第二章实数单元测试卷 2024-2025学年北师大版八年级数学上册
第二章实数单元测试卷一、选择题(每题 3分，共30分)1.下列式子中，是二次根式的是 ( ) A.√−3 B √9 C √3 D √a2.9的平方根是 ( ) A.3 B.±3 C.±√3 D.81 3 下列各数是无理数的是 ( ) A.-2 024 B.√20242 C.|-2024| D.√202434. 某同学利用科学计算器进行计算，其按键顺序如下：SHIFT 显示结果为( )A.32B.8C.4D.25.下列运算正确的是 ( ) A.3+√3=3√3 B.√2+√3=√5 C.√273÷√3=√3 D.√12−√102=√6−√56.估计 5−√13的值在 ( ) A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和 4 之间7. 我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”.在如图所示的“九宫格”中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M 代表的实数为( )A.6√2B.2√3 C √6 D. √68.一个等腰三角形，已知其底边长为 √5 分米，底边上的高 √15分米，那么它的面积为 ( ) A.45√52平方分米 B.45√3平方分米 C.45√32平方分米 D.45√5平方分米9.若x 是整数，且 √x −3⋅√5−x 有意义，则 √x −3⋅√5−x 的值是 ( ) A.0或1 B.±1 C.1或2 D.±210.如果一个三角形的三边长分别为 12,k,72,则化简 √k 2−12k +36−|2k −5|的结果是( )A.-k--1B. k+1C.3k-11D.11-3k+)二、填空题(每题3分，共15分)11.计算√−198−13=¯.12 √64₄的倒数是，|π−11|=¯,√5−3的相反数是.13. 手工制作手工课上老师拿走了一块大的正方形布料做教学材料，小红和小芸按照如图所示的方式各剪下一块面积为42cm²和28cm²的小正方形布料做沙包，那么剩下的两块长方形布料的面积和为.14.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的三斜求积公式, 即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,那么该三角形的面积. S=√14[a2b2−(a2+b2−c22)2],现已知△ABC的三边长分别为2, √6,3,则△ABC的面积为.15.若等式(√x3−2)x−1=1成立，则x的取值可以是.三、解答题(16, 17题每题8分, 19, 21题每题12分, 22题15分, 其余每题10分, 共75分)16.计算: (1)(√3+2)(√3−1)+|√3−2|;(2)√48÷√3−2√15×√30+(2√2+√3)2.17.解方程: 2√3x−√48=√3x+√12.18.先化简，再求值：(√2x+√y)(√2x−√y)−(√2x−√y)2,其中x=34,y=12.19.(1)若|2x−4|+(y+3)2+√x+y+z=0,求. x−2y+z的平方根；(2)如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简√c33+|c−b|−√(a−b)2+|a+c|.20.已知7+√5和7−√5的小数部分分别为a，b，试求代数式. ab−a+4b−3的值.21. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足式子t=√ℎ(不考虑风速的影响).5(1)从50 m高空抛物，落地所需时间l₁是多少秒? 从100m高空抛物，落地所需时间l₂是多少秒?(2)t₂是t₁的多少倍?22. 一只蜗牛A从原点出发向数轴负方向运动，同时，另一只蜗牛B 也从原点出发向数轴正方向运动，3√2秒后，两蜗牛相距15个单位长度.已知蜗牛A，B的速度比是1：4.(速度单位：单位长度/秒)(1)求两只蜗牛的运动速度，并在如图所示的数轴上标出蜗牛A，B从原点出发运动3√2秒时的大致位置.(2)若蜗牛A，B从(1)中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两只蜗牛的正中间?(3)若蜗牛A，B从(1)中的位置同时向数轴负方向运动时，另一只蜗牛C也同时从蜗牛B 的位置出发向蜗牛A 运动，当遇到蜗牛A后，立即返回向蜗牛B运动，遇到蜗牛B后又立即返回向蜗牛A运动，如此往返，直到蜗牛B追上蜗牛A 时，蜗牛C立即停止运动.若蜗牛C一直以2√5单位长度/秒的速度匀速运动，那么蜗牛C从开始运动到停止运动，运动的路程是多少个单位长度?一、1. C 2. B 3. D 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C 9. A10. D 【点拨】因为一个三角形的三边长分别 12₂, k 72所以 72−12<k <12+72,所以3<k<4,所以k-6<0,2k-5>0.所以 √k 2−12k +36−|2k −5|=√(k −6)2−|2k −5|=6-k-(2k-5)=11-3k.二、11. 3212 14₄;11-π;3 √5 13.2 √6 cm14.√954【点拨】因为△ABC 的三边长分别为2 √6₆,3所以 S ADC =√14{22×(√6)2−[22+(√6)2−322]2} =√954. 15.1或3 或27 【点拨】①当底数为1时，无论指数为何数，等式都成立.令 √x3−2=1,解得x=27.②当底数 为 一1，指数 为偶数时，等式成立. 由 √x3−2=−1,得x=3.当x=3时,x--1=2,则x=3符合题意. ③当指数为0，底数不为0时，等式成立. 令x-1=0,得x=1.将x=1代入 √x3−2,得 √13− 2=√33−2≠0,所以当x=1时，等式成立.综上可知,x 的值为1或3或27.三、16.【解】(1)原式 =(√3)2−√3+2√3−2+2− √3=3. (2)原式 =4−2√6+8+3+4√6=2√6+15. 17.【解】移项,得 2√3x −√3x =√48+√12,所以 √3x =4√3+2√3, 所以 √3x =6√3,解得x=6.18.【解】原式 =(√2x)2−(√y)2−(√2x −√y)2=2x −y −2x +2√2xy −y =2√2xy −2y.当 x =34,y =12时，原式 =2√2×34×12−2× 12=√3−1, 19.【解】(1)因为 |2x −4|+(y +3)2+√x +y +z =0,所以2x-4=0,y+3=0,x+y+z=0, 所以x=2,y=-3,z=1, 所以x-2y+z=2+6+1=9,所以x-2y+z的平方根为±3.(2)由数轴可知,b<a<0<c,|c|>|a|,所以c--b>0,a-b>0,a+c>0,所以√c33+|c−b|−√(a−b)2+|a+c| =c+c-b-(a-b)+a+c=c+c-b-a+b+a+c=3c.20.【解】因√5₅的整数部分为2所以7+√5=9+a,7−√5=4+b即a=−2+√5,b=3−√5.所以ab−a+4b−3=(−2+√5)×(3−√5)−(−2+√5)+4×(3−√5)−3=−11+5√5+2−√5+12−4√5−3=0.21. 【解】(1)当h=50m时, t1=√505=√10(s).当h=100m时, ι2=√1005=√20=2√5(s).(2)因为l2t1=√5√10=√2,所以l₂是l₁√2₂倍22.【解】(1)设蜗牛A的速度为x单位长度/秒，蜗牛B的速度为4x单位长度/秒.依题意，得3√2(x+4x)=15.解得x=√22.所以4x=2√2.所以蜗牛A的运动速度√2₂单位长度/秒，蜗牛的运动速度为√2₂单位长度/秒运动√2₂秒时，蜗牛A的位置在一3处，蜗牛B的置在12处.在图上标注略.(2)设t秒时原点恰好处在两只蜗牛的正中间.依题意，得12−2√2t=3+√22t.解得t=9√25.答：9√25秒时，原点恰好处在两只蜗牛的正中间.(3)设y秒时蜗牛B 追上蜗牛A，依题意，得2√2y−√22y=15,解得y=5√2.所以蜗牛C从开始运动到停止运动，运动的路程为2√5×5√2=10√10(个).单位长度.。
(完整版)北师大版八年级数学上册第二章实数计算题
北师大版八年级数学上册第二章实数计算题一、算术平方根：例1 求下列各数的算术平方根：（1）900； （2）1； （3）6449； （4）14． 答案：解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30，即30900=；（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即11=；（3）因为6449872=⎪⎭⎫ ⎝⎛，所以 6449的算术平方根是87， 即876449=； （4）14的算术平方根是14． 反馈练习：一、填空题：1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； 2．9的算术平方根是 ； 3．2)32(的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则2)2(+m = ． 二、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.64，410-，225，0)65(．三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？答案：一、1.7；2.3 ；3.32；4．16；二、6；1211；15；0.8；210-；15；1；三、解：由题意得 AC =5.5米，BC =4.5米，∠ABC =90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得105.45.52222=-=-=BC AC AB （米）．所以帐篷支撑竿的高是 10米． 识.对学生的回答，教师要给予评价和点评。
二、平方根例2 求下列各数的平方根:(1)64；(2)49121；(3) 0.0004；(4)()225-；(5) 11（1）解：()2648=±，648∴±的平方根是8±=±即(2)解：()24949771211211111,=∴±±的平方根为711±=±即（3）解：()20.0004,0.00040.020.02=∴±±的平方根是0.02±=±即(4) 解：()()()22,25252525=∴±±--2的平方根是25=±即(5) 解：11的平方根是思考提升()25-的平方根是 ，2== ，==2a 。
(北师大版)北京市八年级数学上册第二单元《实数》测试题(答案解析)
一、选择题1．计算132252⨯+⨯的结果估计在（ ） A ．10到11之间 B ．9到10之间C ．8到9之间D ．7到8之间 2．将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD 的长为（ ）A ．2192+B ．194+C ．2194+D ．192+ 3．如图，长方形ABCD 中，43,4AB BC ==，点E 是DC 边上的动点，现将BCE 沿直线BE 折叠，使点C 落在点F 处，则点D 到点F 的最短距离为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．24．下列选项中，属于无理数的是（ ）A ．πB ．227-C 4D ．05．下列各数中，介于6和7之间的数是（ ） A 72+ B 45 C 472 D 356．下列运算中正确的是（ ）A 623=B ．233363+=C 826=D ．221)3-= 7．计算))202020203232⨯的结果为( ) A ．-1B ．0C ．1D ．±1 8．已知||3a =，216b =，且0a b +<，则代数式-a b 的值为（ ） A ．-1或-7 B ．1或-7 C ．1或7 D ．±1或7±9．下列数中，比3大的实数是（ ） A ．﹣5 B ．0 C ．3 D ．210．已知三角形的三边长a 、b 、c 满足2(2)a -＋ 3b -＋|c －7|＝0，则三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不能确定 11．下列说法正确的是（ ） A ．4的平方根是2B ．16的平方根是±4C ．-36的算术平方根是6D ．25的平方根是±512．已知x ＝5+2，则代数式x 2﹣x ﹣2的值为（ ）A ．9+55B ．9+35C ．5+55D ．5+35二、填空题13．实数a 、b 在数轴上所对应的点如图所示，则|3﹣b |+|a +3|+2a 的值_____．14．若202120212a b -++=，其中a ，b 均为整数，则符合题意的有序数对(),a b 的组数是______．15．计算：23-=______ ；364=______．16．如图，设AB 是已知线段，经过点B 作BD AB ⊥，使12BD AB =，连接DA ，在DA 上截取DE DB =；在AB 上截取AC AE =．点C 就是线段AB 的黄金分割点．已知线段AB 的长为80cm ，则线段AC 的长为____cm ．17．如图，已知OA OB =，若点A 对应的数是a ，则a 与52-的大小关系是a ____52-．18．如图，已知圆柱体底面圆的半径为a π，高为2,AB CD 、分别是两底面的直径，,AD BC 是母线．若一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）19．若2(1)10a b -++=，则20132014a b +=___________． 20．有一列数3，6，3，23，15，，则第100个数是_______．三、解答题21．化简求值：21a，21b =+，求1a b b a ++的值． 22．计算：（1）8a 6÷2a 2﹣4a 3•3a ﹣（4a 2）2；（2）（312﹣21483+）÷23． 23．（1）计算:①27123+；②(23＋32)(23 -32)．（2）解方程:①4(x -1)2-9 =0；②8x 3＋125=0．24．（1）计算：(23)(23)123+-+÷；（2）解方程组：1327x y x y +=-⎧⎨-=⎩． 25．计算：（1）316132722581------ ．（2）2433(32)()x x x x x x ⋅---÷-()． 26．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．例如222÷÷，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-，记作()3-④，读作“3-的圈4次方”；一般地，把n a a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷个（0a ≠，n 为大于等于2的整数）记作，读作“a 的圈n 次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：7=③_______________，14⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤__________； （2）关于除方，下列说法错误的是____________；A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何大于等于2的整数c ，；C ．89=⑨⑧；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方211112222222222⎛⎫→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭④乘方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：(5)-=⑥___________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭⑨___________； （2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为____________；（3）将（m 为大于等于2的整数）写成幂的形式为_________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先根据二次根式的乘法计算得到原式为41010的范围，即可得出答案．【详解】解：原式1322516104102=⨯⨯== ∵3104<<，∴74108<<，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．解析：C【分析】设木块的长为x ，结合图形知阴影部分的边长为x-2，根据其面积为19得出（x-2）2=19，利用平方根的定义求出符合题意的x 的值，由AD=2x 可得答案．【详解】解：设木块的长为x ，根据题意，知：（x-2）2=19， 则219x -=±，∴219x =+或2192x =-<（舍去）则22194BC x ==+，故选：C ．【点睛】本题主要考查算术平方根，解题的关键是结合图形得出木块长、宽与阴影部分面积间的关系．3．B解析：B【分析】连接DB ，DF ，根据三角形三边关系可得DF+BF ＞DB ，得到当F 在线段DB 上时，点D 到点F 的距离最短，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接DB ，DF ，在△FDB 中，DF+BF ＞DB ，由折叠的性质可知，FB=CB=4，∴当F 在线段DB 上时，点D 到点F 的距离最短，在Rt △DCB 中，228BD DC BC +=，此时DF=8-4=4，故选：B ．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，勾股定理，三角形三边关系．翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解析：A【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】解：A.π是无理数； B.227-是分数，属于有理数；是整数，属于有理数；D.0是整数，属于有理数．故选：A ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 5．B解析：B【分析】根据夹逼法逐项判断即得答案．【详解】解：A 、47<<425∴<<，故本选项不符合题意；B 、∵<<67∴<<，故本选项符合题意；C 、36<425∴<<，故本选项不符合题意；D 、25<<56∴<<，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的估算，属于常考题型，掌握夹逼法解答的方法是关键．6．A解析：A【分析】根据二次根式的除法法则对A 进行判断；根据二次根式的加减法对B 、C 进行判断；利用二次根式的乘法法则对D 进行判断．【详解】A =B 、=C ==D 、221)11=-=，原计算错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题的关键是熟悉二次根式的四则运算方法． 7．C解析：C【分析】利用二次根式的运算法则进行计算，即可得出结论．【详解】解：))2020202022⨯ 202022)⎡⎤⎦⎣=2020222⎡⎤=-⎣⎦ 2020(1)=-1=．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，并能结合乘法公式进行简便运算是解答此题的关键．8．C解析：C【分析】分别求出a 与b 的值，再利用0a b +<这一条件判断出a 、b 的值，进而分情况讨论即可解题．【详解】 解 ||3a =，216b =，3,4a b ∴=±=±，0a b +<，3,4a b ∴==-或3,4a b =-=-，7a b ∴-=或1，故选C ．【点睛】本题考查了去绝对值和求平方根，正确的确定a 、b 的值是解答本题的关键．9．C解析：C【详解】1.732≈ ，A,B,D 选项都比1.732小，只有故选C.10．C解析：C【分析】根据非负数的性质可知a ，b ，c 的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形．【详解】解：()220a c -+-=∴ 0a =，30b -= ， 0c =∴a =，3b = ，c =又∵ 222279a c b +=+==∴该三角形为直角三角形故选C ．【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a ，b ，c 的值，并正确运用勾股定理的逆定理．11．D解析：D【分析】 根据平方根和算术平方根的定义判断即可．【详解】解：A. 4的平方根是±2，故错误，不符合题意；±2，故错误，不符合题意；C. -36没有算术平方根，故错误，不符合题意；D. 25的平方根是±5，故正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的概念，解题关键是熟悉相关概念，准确进行判断． 12．D解析：D【分析】把已知条件变形得到x 2=4x+1，利用降次的方法得到原式=3x-1，然后把 x 的值代入计算即可．【详解】∵x，∴x﹣2∴（x ﹣2）2＝5，即x 2﹣4x +4＝5，∴x 2＝4x +1，∴x 2﹣x ﹣2＝4x +1﹣x ﹣2＝3x ﹣1，当x 时，原式＝3）﹣1＝．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，运用整体代入的方法可简化计算．二、填空题13．﹣2a ﹣b 【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案【详解】解：由数轴可得：a ＜﹣0＜b ＜故|﹣b|+|a+|+＝﹣b ﹣（a+）﹣a ＝﹣b ﹣a ﹣﹣a ＝﹣2a ﹣b 故答案为：﹣2a ﹣b 【解析：﹣2a ﹣b【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【详解】解：由数轴可得：a 0＜b ，故﹣b |+|ab ﹣（a ）﹣ab ﹣a ﹣a＝﹣2a ﹣b ．故答案为：﹣2a ﹣b ．【点睛】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．14．5【分析】由绝对值和算术平方根的非负性求出ab 所有的可能值即可得到答案【详解】解：∵且均为整数又∵∴可分为以下几种情况：①解得：；②解得：或；③解得：或；∴符合题意的有序数对共由5组；故答案为：5【 解析：5【分析】由绝对值和算术平方根的非负性，求出a 、b 所有的可能值，即可得到答案．【详解】解：∵20212a -=，且a ，b 均为整数，又∵20210a -≥0≥，∴可分为以下几种情况：①20210a -=2=，解得：2021a =，2017b =-；②20211a -=1=，解得：2020a =或2022a =，2020b =-；③20212a -=0=解得：2019a =或2023a =，2021b =-；∴符合题意的有序数对(),a b 共由5组；故答案为：5．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握非负的性质进行解题．15．-94【分析】分别根据乘方和开方的意义即可求解【详解】解：：-9故答案为：-9；4【点睛】本题考查了乘方和开方的意义理解乘方和开方的意义是解题关键注意在计算-32时底数为3解析：-9 4【分析】分别根据乘方和开方的意义即可求解．【详解】解：：23-=-94=．故答案为：-9；4．【点睛】本题考查了乘方和开方的意义，理解乘方和开方的意义是解题关键，注意在计算-32时，底数为3．16．【分析】根据通过勾股定理计算得AD ；结合计算得AE 从而得到AC 的值即可得到答案【详解】∵∴∵的长为80cm ∴cm ∴cm ∵∴cm ∴cm ∴cm 故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理二次根式线段和与差的知识解析：)401 【分析】 根据BD AB ⊥、12BD AB =，通过勾股定理计算得AD ；结合DE DB =，计算得AE ，从而得到AC 的值，即可得到答案．【详解】∵BD AB ⊥ ∴90ABD ∠= ∵12BD AB =，AB 的长为80cm ∴40BD =cm∴AD ==cm∵DE DB =∴40DE =cm∴)401AE AD DE =-=cm∴)401AC AE ==cm故答案为：)401． 【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解． 17．＞【分析】根据勾股定理求出OB 长确定点A 表示的数再用估算法比较大小即可【详解】解：由图可知∴则点A 表示的数为∵∴∴故答案为：＞【点睛】本题考查了勾股定理实数在数轴上的表示和实数大小的比较熟练的运用勾 解析：＞【分析】根据勾股定理求出OB 长，确定点A 表示的数，再用估算法比较大小即可．【详解】解：由图可知，OB = ∴OA OB ==A 表示的数为∵225()2<，∴52<，∴52>-， 故答案为：＞．【点睛】 本题考查了勾股定理、实数在数轴上的表示和实数大小的比较，熟练的运用勾股定理求出OB 长，确定A 点表示的数，能够利用算术平方根与被开方数大小之间的关系是解题关键．18．【分析】要求一只蚂蚁从A 点出发从侧面爬行到C 点蚂蚁爬行的最短路线利用在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求【详解】解：圆柱的展开图如下在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求在Rt △ABC 中AB=【分析】要求一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，蚂蚁爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求．【详解】解：圆柱的展开图如下，在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求，在Rt △ABC 中，AB=π•a π=a ，BC=2，则：2222=+=4AC AB BC a +，所以2+4a 2+4a 2+4a ．【点睛】本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图． 19．2【分析】先根据算术平方根的非负性绝对值的非负性求出ab 的值再代入计算有理数的乘方运算即可得【详解】由算术平方根的非负性绝对值的非负性得：解得则故答案为：2【点睛】本题考查了算术平方根的非负性绝对值 解析：2【分析】先根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性求出a 、b 的值，再代入计算有理数的乘方运算即可得．【详解】由算术平方根的非负性、绝对值的非负性得：10a -=，10b +=，解得1a =，1b =-，则()201420132014201311112a b +=+-=+=，故答案为：2．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键． 20．【分析】原来的一列数即为于是可得第n 个数是进而可得答案【详解】解：原来的一列数即为：∴第100个数是故答案为：【点睛】本题考查了数的规律探求属于常考题型熟练掌握二次根式的性质找到规律是解题的关键 解析：103【分析】 3691215，于是可得第n 3n进而可得答案．【详解】，∴第100=．故答案为：【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．三、解答题21．()2a b abab+-；7【分析】将a、b进行分母有理化，然后求出+a b、ab的值，对代数式变形，采用整体代入的方法求值【详解】∵21a，b=，∴1a==，1b==，∴)()21211ab=+=，11a b+=++=∴1a bb a++221a bab+=+22a b abab++=()2a b abab+-=(2171-==．故1a bb a++的值为7.【点睛】本题考察二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法则进行二次根式有理化，代数式求值的问题可以先对代数式进行变形，采用整体代入的方法，可使运算简便22．（1）424a-；（2）14 3【分析】（1）根据整式运算法则运算即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并，最后进行二次根式的除法运算．【详解】解：（1）原式＝4a4﹣12a4﹣16a4＝﹣24a4；（2）原式＝（3＝143．【点睛】本题考查了整式的运算和二次根式的运算，解题关键是熟练运用法则进行准确计算．23．（1）①5；②6-；（2）52x=或12x=-；②52x=-．【分析】（1）①先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算；②根据平方差公式计算即可；（2）①将方程移项，再整理为2x a=的的形式，再根据平方根定义求解即可；②将方程移项，再整理为3x a=根据立方根定义求解即可；【详解】解：（1）解：①原式==5=．②原式1218=-6=-．（2）解：①原方程可化为29(1)4 x-=则312x-=或312x-=-，解得，52x=或12x=-．②原方程可化为31258x =-， 解得，52x =-． 【点睛】 本题考查了平方根、立方根及实数的运算，主要考查学生的运算能力，题目比较好，解题关键是理解平方根、立方根的意义．24．（1）1，（2）12x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）按照二次根式的运算法则计算即可；（2）用加减消元法解方程组即可．【详解】解：（1）=222-+=232-+=1（2）1327x y x y +=-⎧⎨-=⎩①② ①×2+②得，55=x ，1x =,把1x =代入①得，1+y=-1，y=-2，∴方程组的解为：12x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二次根式计算和解二元一次方程组，解题关键是熟练运用二次根式运算法则和加减消元法解方程组．25．（1）4-；（2）2x【分析】（1）先去绝对值号，去根号，再进行合并同类项，加减运算；（2）先进行单项式和多项式的乘除运算，再进行加减运算 ．【详解】解：（1）原式=)()413----41312=+-4=-（2）原式=()()23323332x x x x x x ---÷-23323332x x x x =-+-2x =．【点睛】这道题考查的是实数的运算法则和整式的乘除法．熟练掌握整式和实数的运算法则是解题的关键．26．【初步探究】（1）17，64-；（2）C ；【深入思考】（1）415⎛⎫- ⎪⎝⎭，72；（2）21n a -⎛⎫⎪⎝⎭；（3）4m n a +-【分析】初步探究：（1）根据新定义的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）根据新定义的运算法则进行判断，即可得到答案；深入思考：（1）由题目中的运算法则转换成幂的形式，即可得到答案；（2）把幂的形式转换为一般形式即可；（3）先把代数式进行化简，然后写成幂的形式即可．【详解】解：【初步探究】（1）177777=÷÷=③；111111()()()()()44444464⎛⎫-=-÷-÷-÷-÷-= ⎪⎭-⎝⑤；故答案为：17；64-；（2）由题意：A 、任何非零数的圈2次方都等于1；正确；B 、对于任何大于等于2的整数c ，；正确；C 、7188888888888=÷÷÷÷÷÷÷÷=⑨，619999999999=÷÷÷÷÷÷÷=⑧，∴89≠⑨⑧，则C 错误；D 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确；故选：C ．【深入思考】（1）4111111(5)(5)()()()()()()555555-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-⑥；71122222222222⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⑨； 故答案为：41()5-；72；（2）由（1）可知，根据乘方的运算法则，则将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为：21n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 故答案为：21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）=224m n m n a a a --+-•=； 故答案为：4m n a +-．【点睛】本题考查了新定义的运算法则，幂的乘方，有理数的乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则、乘方的运算法则进行解题．。
北师大版八年级数学上册第二章《实数》章末练习题含答案解析 (22)
一、选择题1.计算√5×√10的结果为( )A．10√5B．5√2C．3√2D．2√52.下列运算正确的是( )A．a2⋅a3=a5B．x3−x=x2C．√52+42=5+4D．(a−1)2=a2−13.现有a，b，c，d四个正整数，将它们随机抽取两个并相加，所得的和都是6，7，8，9中的一个，并且6，7，8，9这4个数都能取到，那么a，b，c，d这四个正整数( )A．各不相等B．有且只有两个数相等C．有且只有三个数相等D．全部相等4.已知m=1+√2，n=1−√2，则代数式√m2+n2−3mn的值为( )A．±3B．3C．5D．95.下列四个实数中是无理数的是( )A．√16B．πC．227D．06.下列各式中，一定成立的是( )A．√(a+b)2=a+b B．√(a2+1)2=a2+1C．√a2−1=√a+1⋅√a−1D．√ab =1b√ab7.对于任意的正数m，n，定义运算⋇如下：m⋇n={√m−√n(m≥n),√m+√n(m<n).计算(3⋇2)×(8⋇12)的结果为( )A．2−4√6B．2C．2√5D．208.计算2a √a3b−ab√b39a(a>0,b>0)的结果是( )A．53√ab B．23√ab C．179√ab D．89√ab9.将一组数√3，√6，3，2√3，√15，⋯，3√10，按下面的方式进行排列：√3，√6，3，2√3，√15．3√2，√21，2√6，3√3，√30． ⋯若 2√3 的位置记为 (1,4)，2√6 的位置记为 (2,3)，则这组数中最大的有理数的位置记为 ( ) A ． (5,2)B ． (5,3)C ． (6,2)D ． (6,5)10. 在有理数 1，12，−1，0 中，最小的数是 ( ) A ． 1B ． 12C ． −1D ． 0二、填空题11. 将一组数 √3，√6，3，2√3，√15⋯√103按下面的方法进行排列：√3，√6，3，2√3，√15 3√2，√21，2√6，3√3，√30若 2√3 的位置记为 (1,4)，2√6 的位置记为 (2,3)，则这组数中最大的有理数的位置记为 ．12. 定义运算“※”法则为 a ※b =2√a +√b ，则 8※32= ．13. 阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2√2=(1+√2)2，我们来进行以下的探索：设 a +b √2=(m +n √2)2（其中 a ，b ，m ，n 都是正整数），则有 a +b √2=m 2+2n 2+2mn √2，所以 a =m 2+2n 2，b =2mn ，这样就得出了把类似 a +b √2 的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当 a ，b ，m ，n 都为正整数时，若 a −b √5=(m −n √5)2，用含 m ，n 的式子分别表示 a ，b ，得 a = ，b = ．（2）利用上述方法，找出一组正整数 a ，b ，m ，n 填空： − √5=( − √5 )2．14. 若 √(x +3y +1)+∣2x −y −5∣=0，则 xy = ．15. 实数 a ，b 在数轴上所对应的点如图所示，则 ∣√3−b ∣+∣a +√3∣+√a 2 的值 ．16. 计算：√15√3．17. 81 的算术平方根是 ．三、解答题 18. 计算：(1) √33−∣∣−√33∣∣．(2) √3(√3√3)．19. 计算．(1) (13√27+2√23−√24)×2√3．(2) (√3+2)(√3−2)+(2√3−1)2． 20. x √x−y √y x−y√xy+y √x+√y．21. 求下列问题．(1) 图中的阴影部分的面积 S 1 既可以用 r 表示为 ；也可以用 a ，b 表示为 ． (2) 阴影部分的面积 S 2 表示为 ． (3) 请比较 S 1 与 S 2 的大小，并说明理由．22. 计算：√33+√3√12−(√3+1)2+4√34÷√513．23. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如 (√5+3)(√5−3)=−4，(√3+√2)(√3−√2)=1，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如√3=√3√3×√3=√33√32−√3=√3)(2+√3)(2+√3)(2−√3)=7+4√3．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题：(1) 3+√7 的有理化因式是 ，将 3√2分母有理化得 ．(2) 计算：4√2+4+6√4+4√68√6+6√8⋯100√98+98√100．(3) 已知实数 x ，y 满足 (x +√x 2−2020)(y +√y 2−2020)−2020=0，求 x ，y 的值．24. 已知 √16−x 2−√x 2+4=2，求 √16−x 2+√x 2+4 的值．25. 我们用 [a ] 表示不大于 a 的最大整数，例如：[2.5]=2，[3]=3，[−2.5]=−3；用 ⟨a ⟩ 表示大于 a 的最小整数，例如：⟨2.5⟩=3，⟨3⟩=4，⟨−2.5⟩=−2．根据上述规定，解决下列问题： (1) [−4.5]= ，⟨3.01⟩= ；(2) 若 x 为整数，且 [x ]+⟨x ⟩=2017，求 x 的值；(3) 若 x ，y 满足方程组 {3[x ]+2⟨y ⟩=3,3[x ]−⟨y ⟩=−6,求 x ，y 的取值范围．答案一、选择题1. 【答案】B【知识点】二次根式的乘法2. 【答案】A【解析】A、a2⋅a3=a5，本选项正确；B、x3−x=x2，不能计算，本选项错误；C、√52+42=√41，故本选项错误；D、(a−1)2=a2−2a+1，故本选项错误．【知识点】完全平方公式、二次根式的性质与化简、同底数幂的乘法3. 【答案】B【解析】∵四个正整数a，b，c，d具有同等不确定性，不妨设a≤b≤c≤d，故a+b=6，c+d=9，（1）当a=1时，得b=5，∵a≤b≤c≤d，∴c，d为4或5，不合题意舍去，所以a≠1；（2）当a=2时，得b=4，∴c=4，d=5，符合题意，四个数是：2，4，4，5；（2）当a=3时，得b=3，∴c=3，d=6，不符合题意，两数之和不能得7；或c=4，d=5，符合题意，四个数是：3，3，4，5；综上所述：这四个数只能是：2，4，4，5或3，3，4，5．【知识点】实数的大小比较4. 【答案】B【解析】由已知可得：m+n=2，mn=(1+√2)(1−√2)=−1，原式=√(m+n)2−5mn=√22−5×(−1)=√9=3．【知识点】二次根式的加减、二次根式的乘法、完全平方公式5. 【答案】B【知识点】无理数6. 【答案】B【知识点】二次根式的乘除法则、二次根式的性质7. 【答案】B【解析】原式=(√3−√2)×(√8+√12) =(√3−√2)×(2√2+2√3)=2(√3−√2)×(√3+√2)=2×[(√3)2−(√2)2]=2×(3−2)= 2.【知识点】二次根式的混合运算8. 【答案】A【解析】∵(a>0)，(b>0)∴2a √a3b−ab√b39a=2a ×a×√ab−ab×b3a√ab=2√ab−13√ab=53√ab.故选A．【知识点】二次根式的混合运算9. 【答案】C【解析】最大的有理数是9，且√81=√3×27．由数的排列规律可以发现第n个数可表示为√3n，且每一行都是5个数，所以9是第27个数，在第6行、第2列的位置上．【知识点】二次根式的乘法10. 【答案】C【解析】根据有理数比较大小的方法，可得−1<0<12<1，∴在1，12，−1，0这四个数中，最小的数是−1．【知识点】实数的大小比较二、填空题11. 【答案】(6,2)【知识点】二次根式的乘法12. 【答案】8√2【知识点】二次根式的加减13. 【答案】 m 2+5n 2 ； 2mn ； 9（答案不唯一）； 4（答案不唯一）； 2（答案不唯一）； 1（答案不唯一）【解析】（1）因为 a −b √5=(m −n √5)2，所以 a −b √5=m 2−2mn √5+5n 2，所以 a =m 2+5n 2，b =2mn ．（2）取 m =2，n =1，则 a =4+5=9，b =4（答案不唯一）． 【知识点】二次根式的乘法14. 【答案】−2【解析】∵√(x +3y +1)+∣2x −y −5∣=0，∴x +3y +1=0,2x −y −5=0， 解得 x =2,y =−1． ∴xy =2×(−1)=−2． 【知识点】二次根式的概念15. 【答案】 −2a −b【解析】由已知数轴可知：a <−√3，0<b <√3， ∴√3−b >0，a +√3<0，√a 2=−a ， 则∣√3−b ∣+∣a +√3∣+√a 2=√3−b −(a +√3)−a =√3−b −a −√3−a =−2a −b.【知识点】二次根式的化简、绝对值的化简、二次根式的加减16. 【答案】 √5【解析】 原式=√5×√3√3√5． 【知识点】二次根式的除法17. 【答案】 9【知识点】算术平方根的概念，性质及运算三、解答题 18. 【答案】(1) 原式=√33−√33=0.(2) 原式=3+1=4.【知识点】二次根式的除法、实数的简单运算、二次根式的乘法19. 【答案】(1) 原式=(13×3√3+2×√63−2√6)×2√3=(√3−43√6)×2√3=6−83×3√2=6−8√2.(2) 原式=3−4+12−4√3+1 =12−4√3.【知识点】二次根式的混合运算20. 【答案】1．【知识点】二次根式的混合运算21. 【答案】(1) π4r2；π16(a+b)2(2) π4ab (3) S1>S2，∵S1−S2=π16(a+b)2−π4ab=π16(a−b)2>0，∴S1>S2．【解析】(1) S1=12πr2−2×12π(r2)2=π4r2．(2) S2=12π(a+b2)2−12π(a2)2−12π(b2)2=π4ab．【知识点】简单列代数式、实数的大小比较、完全平方公式22. 【答案】√3−72【知识点】二次根式的混合运算23. 【答案】(1) 3−√7；√26(2) 原式=√2−4)(4√2+4)(4√2−4)√4−4√6)(6√4+4√6)(6√4−4√6)√6−6√8)(8√6+6√8)(8√6−6√8)⋯√98−98√100)(100√98+98√100)(100√98−98√100)=4√2−42×4+6√4−4√66×4+8√6−6√88×6+⋯+100√98−98√100100×98 =√22−12+12−√66+√66+√88+⋯+√9898−√100100 =√22−110.(3) ∵(x+√x2−2020)(y+√y2−2020)−2020=0，∴(x+√x2−2020)(y+√y2−2020)=2020，∴x+√x2−2020=y+√y2−2020=2020(y−√y2−2020)(y+√y2−2020)(y−√y2−2020)=y−√y2−2020, ⋯⋯①y+√y2−2020=x+√x2−2020=2020(x−√x2−2020)(x+√x2−2020)(x−√x2−2020)=x−√x2−2020, ⋯⋯②由①②可得√x2−2020+√y2−2020=0，∴x2=y2=2020，∴x=±2√505，y=±2√505．【解析】(1) 3+√7的有理化因式是3−√7，将3√2分母有理化为：√23√2×√2=√26．【知识点】有理化因式、分母有理化、二次根式的混合运算24. 【答案】设a=√16−x2≥0，b=√x2+4>0，则a+b>0且a2+b2=20，而a−b=2，所以a+b=6，即√16−x2+√x2+4=6．【知识点】二次根式的乘法25. 【答案】(1) −5；4(2) ∵[x]≤x，且x为整数，∴[x]=x，∵⟨x⟩>x，且x为整数，∴⟨x⟩=x+1，∵[x]+⟨x⟩=2017，∴x+(x+1)=2017，解得x=1008．(3) 解原方程组，得{[x]=−1,⟨y⟩=3,又∵[x]表示不大于x的最大整数，⟨x⟩表示大于x的最小整数，∴−1≤x<0，2≤y<3．【知识点】实数的大小比较、解二元一次方程组。
北师大版八年级数学上册第二章《实数》章末练习题含答案解析 (26)
一、选择题1.估算9−√10的值，下列结论正确的是( )A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间2.现有a，b，c，d四个正整数，将它们随机抽取两个并相加，所得的和都是6，7，8，9中的一个，并且6，7，8，9这4个数都能取到，那么a，b，c，d这四个正整数( )A．各不相等B．有且只有两个数相等C．有且只有三个数相等D．全部相等3.如图，点A，B，C分别是同一数轴上的三个点，且AB=AC，A，B两点对应的实数分别是1和−√3，则点C位于下列哪两个相邻整数之间( )A．3和4B．2和3C．1和2D．4和54.若最简二次根式√x+4与最简二次根式√3x是同类二次根式，则x的值为( )A．x=0B．x=1C．x=2D．x=−25.已知√x2=4，则x的值为( )A．4B．16C．±2D．±46.下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是( )A．√12B．√4C．√12D．√247.已知a，b分别是6−√5的整数部分和小数部分，则( )A．a=2，b=3−√5B．a=3，b=3−√5C．a=4，b=2−√5D．a=6，b=3−√58.下列计算，正确的是( )A．√8+√3=√11B．√9÷√3=3C．√18−√2=2√2D．√914=3129.对任意两个正实数a，b，定义新运算a★b为：若a≥b，则a★b=√ab；若a<b，则a★b=√ba．则下列说法中正确的有( )① a ★b =b ★a ； ② (a ★b )(b ★a )=1； ③ a ★b +1a ★b<2．A ．①B ．②C ．①②D ．①②③10. 将一组数 √3，√6，3，2√3，√15，⋯，3√10，按下面的方式进行排列：√3，√6，3，2√3，√15． 3√2，√21，2√6，3√3，√30． ⋯若 2√3 的位置记为 (1,4)，2√6 的位置记为 (2,3)，则这组数中最大的有理数的位置记为 ( ) A ． (5,2) B ． (5,3) C ． (6,2) D ． (6,5)二、填空题11. 如果两个最简二次根式 √3a −4 与 2√16−a 可以合并，那么使 √5a −2x 有意义的 x 的取值范围是 ．12. 三个数 a =266，b =344，c =622 中，最小的一个是 ．13. 若 √13 的整数部分为 a ，小数部分为 b ，求 a 2+b −√13 的值为 ．14. 已知 x 1=√3+√2，x 2=√3−√2，则 x 12−x 22= ．15. 比大小．√65 8．16. 已知 x =√4(√5+1)3−√4(√5−1)3，则 x 3+12x 的算术平方根是 ．17. 规定用符号 [m ] 表示一个实数 m 的整数部分，例如：[23]=0，[3.14]=3．按此规定，则[√3+√5] 的值为 ．三、解答题 18. 阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：(2+√3)(2−√3)=1，(√5+√2)(√5−√2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：√3=√3√3×√3=√33，√32−√3=√3)(2+√3)(2+√3)(2−√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题：(1) 4−√7 的有理化因式可以是 ，2√3 分母有理化得 ．(2) 计算：①已知 x =√3+1√3−1，y =√3−1√3+1，求 x 2+y 2 的值；②1+√2+√2+√3√3+√4⋯+√1999+√2000．19. 先化简，再求值：a 2−1a−1−√a 2−2a+1a 2−a，其中 a =2+√3．20. 化简：√3−√2√3+√2．21. 先阅读第（1）题的解题过程，再完成后面的题目．(1) 化简：√23−√3； 解：√23−√3=√2(3+√3)(3−√3)(3+√3)=3√2+√632−(√3)2=3√2+√69−3=3√2+√66.第①步用 性质，第②步用 公式． (2) 化简下列各式：①√2+1；② √3√7+√5；③ √23−2√2．22. 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果 ax +b =0，其中 a ，b 为有理数，x 为无理数，那么 a =0 且 b =0． 运用上述知识，解决下列问题：(1) 如果 (a −2)√2+b +3=0，其中 a ，b 为有理数，那么 a = ，b = ．(2) 如果√2a−(1−√2)b=5，其中a，b为有理数，求a+2b的值．23.记R(x)表示正数x四舍五入后的结果，例如R(2.7)=3，R(7.11)=7，R(9)=9．(1) R(π)=，R(√3)=．x−1)=3，则x的取值范围是．(2) 若R(12)=4，则x的取值范围是．(3) 若R(R(x+2)224.计算：×√12+√24；(1) √48÷√12(2) (√5+√2)2−(√5+√2)．25.阅读下面的文字，解答问题：大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，∵√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：√4<√7<√9，即2<√7<3，∴√7的整数部分为2，小数部分为√7−2．(1) 如果√5的小数部分为a，√13的整数部分为b，则a=，b=；(2) 已知5+√11的小数部分为a，5−√11的小数部分为b，求a+b的值；(3) 已知a是√10的整数部分，b是它的小数部分，求a+(b+3)2的值．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】因为√9<−√10<√16，所以3<√10<4，所以−4<−√10<−3，所以9−4<9−√10<9−3，即5<9−√10<6．【知识点】平方根的估算2. 【答案】B【解析】∵四个正整数a，b，c，d具有同等不确定性，不妨设a≤b≤c≤d，故a+b=6，c+d=9，（1）当a=1时，得b=5，∵a≤b≤c≤d，∴c，d为4或5，不合题意舍去，所以a≠1；（2）当a=2时，得b=4，∴c=4，d=5，符合题意，四个数是：2，4，4，5；（2）当a=3时，得b=3，∴c=3，d=6，不符合题意，两数之和不能得7；或c=4，d=5，符合题意，四个数是：3，3，4，5；综上所述：这四个数只能是：2，4，4，5或3，3，4，5．【知识点】实数的大小比较3. 【答案】A【解析】设点C所表示的数为x，∵点B与点C到点A的距离相等，∴AC=AB，即x−1=1+√3，解得：x=2+√3．∵1<√3<2，∴3<2+√3<3，即点C位于3和4之间．【知识点】其它(D)、平方根的估算4. 【答案】C【解析】由题意得x+4=3x，解得x=2．【知识点】同类二次根式5. 【答案】D【知识点】算术平方根的概念，性质及运算6. 【答案】A【知识点】同类二次根式7. 【答案】B【解析】 ∵2<√5<3， ∴−3<−√5<−2， ∴3<6−√5<4，∴a =3，b =6−√5−3=3−√5． 【知识点】平方根的估算8. 【答案】C【解析】A. √8+√3=2√2+√3，该选项错误； B. √9÷√3=3÷√3=√3，该选项错误； C. √18−√2=3√2−√2=2√2，该选项正确； D. √914=√374=√372，该选项错误． 【知识点】二次根式的加减9. 【答案】A【解析】由定义可知：当 a ≥b 时，a ★b =√ab ，b ★a =√ab ； 当 a <b 时，a ★b =√ba，b ★a =√ba．①当 a ≥b 时，a ★b =b ★a ，当 a <b 时，a ★b =b ★a ， ∴ ①正确；②当 a ≥b 时，(a ★b )(b ★a )=√ab ⋅√ab =√a 2b 2=ab ， 则 (a ★b )(b ★a ) 不一定等于 1， 当 a <b 时，(a ★b )(b ★a )=√ba⋅√ba =√b 2a 2=ba，则 (a ★b )(b ★a ) 不一定等于 1， ∴ ②错误；③当 a ≥b 时，a ★b +1a ★b=√a b+√ab=√a b+√ba， 若 a =16，b =4，则 a ★b +1a ★b =2+12>2，当a<b时，a★b+1a★b =√ba√ba=√ba+√ab，若a=4，b=16，则a★b+1a★b =2+12>2，∴③错误．【知识点】二次根式的混合运算10. 【答案】C【解析】最大的有理数是9，且√81=√3×27．由数的排列规律可以发现第n个数可表示为√3n，且每一行都是5个数，所以9是第27个数，在第6行、第2列的位置上．【知识点】二次根式的乘法二、填空题11. 【答案】x≤252【解析】∵两个最简二次根式√3a−4与2√16−a可以合并，∴3a−4=16−a，解得a=5，∴√5a−2x=√25−2x．要使√25−2x有意义，必须25−2x≥0，解得x≤252．故答案为x≤252．【知识点】二次根式有意义的条件、同类二次根式12. 【答案】c【解析】∵a=266=(23)22=822，b=344=(32)22=922，c=622．故最小的一个是622．【知识点】幂的乘方、实数的大小比较13. 【答案】6【解析】因为√9<√13<√16，所以3<√13<4，所以√13的整数部分为：a=3，小数部分为：b=√13−3，所以a2+b−√13=32+√13−3−√13=6．故答案为：6．【知识点】平方根的估算14. 【答案】4√6【解析】 ∵x 1=√3+√2，x 2=√3−√2，∴x 12−x 22=(x 1−x 2)(x 1+x 2)=(√3+√2−√3+√2)(√3+√2+√3−√2)=2√2×2√3=4√6.【知识点】二次根式的混合运算15. 【答案】大于【知识点】平方根的估算16. 【答案】2√2【解析】令 a =√4(√5+1)3，b =√4(√5−1)3． ∴x =a −b ．∴x 3+12x =(a −b )3+12(a −b )=a 3−3a 2b +3ab 2−b 3+12(a −b )=a 3−b 3−3ab (a −b )+12(a −b )=a 3−b 3+(12−3ab )(a −b ).∵a =√4(√5+1)3，b =√4(√5−1)3，∴a 3−b 3+(12−3ab )(a −b )=4(√5+1)−[4(√5−1)]+(12−3√643)(√4(√5+1)3−√4(√5−1)3)=4√5+4−4√5+4+(12−12)(√4(√5+1)3−√4(√5−1)3)=8.【知识点】其他公式、二次根式的混合运算17. 【答案】 3【解析】方法一： ∵3<√3+√5<4， ∴[√3+√5] 的值为 3． 故答案为：3． 方法二：√3≈1.732，√5≈2.236， ∴[√3+√5]≈3.968， ∴[√3+√5]=3． 【知识点】平方根的估算三、解答题18. 【答案】(1) 4+√7；√32(2) ①当x=√3+1√3−1=√3+1)(√3+1)(√3−1)(√3+1)=4+2√32=2+√3，y=√3−1√3+1=√3−1)(√3−1)(√3+1)(√3−1)=4−2√32=2−√3时，x2+y2=(x+y)2−2xy=(2+√3+2−√3)2−2×(2+√3)×(2−√3)=16−2×1=14.②原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2000−√1999 =√2000−1.【解析】(1) 4−√7的有理化因式可以是4+√7，2√3=√3×√32√3=√32．【知识点】二次根式的除法19. 【答案】5．【知识点】二次根式的混合运算20. 【答案】2√3．【知识点】二次根式的加减、分母有理化21. 【答案】(1) 分式基本；平方差(2) ① √2−1；② 12√21−12√15；③ 17+12√2．【知识点】二次根式的除法22. 【答案】(1) 2；−3(2) √2a−(1−√2)b=5，可整理为(a+b)√2−b−5=0，∵a，b为有理数，∴a+b和−b−5均为有理数，∵√2是无理数，由题意可知a+b=0，−b−5=0，∴b=−5，a=5，∴a+2b=5+(−10)=−5．【解析】(1) ∵a，b为有理数，∴a−2和b+3均为有理数，∵√2是无理数，由题意可知a−2=0且b+3=0，∴a=2，b=−3．【知识点】有理数、无理数、简单的代数式求值23. 【答案】(1) 3；2(2) 7≤x<9(3) 4.5≤x<6.5【解析】(1) ∵π≈3.14，∴R(π)=3；∵√3≈1.73，∴R(√3)=2，即：R(π)=3；R(√3)=2．(2) ∵R(12x−1)=3，∴2.5≤12x−1<3.5，解得：7≤x<9．(3) ∵R(R(x+2)2)=4，∴3.5≤R(x+2)2<4.5，∴7≤R(x+2)<9，∵R(x+2)为整数，∴R(x+2)=7或R(x+2)=8，∴6.5≤x+2<8.5，∴4.5≤x<6.5．【知识点】解连不等式、实数的大小比较24. 【答案】(1) 原式=√48×2×12+2√6 =24√2+2√6.(2) 原式=5+2√10+2−√5−√2 =7+2√10−√5−√2.【知识点】二次根式的混合运算25. 【答案】(1) √5−2；3(2) 5+√11的小数部分为a=√11−3；5−√11的小数部分为b=4−√11，∴a+b=1；(3) √10的整数部分a=3，小数部分b=√10−3，∴a+(b+3)2=3+10=13．【解析】(1) ∵√4<√5<√9，∴√5的整数部分是2，小数部分a=√5−2；∵√9<√13<√16，∴√13的整数部分b=3；【知识点】平方根的估算11。
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北师大版八年级数学上册第二章实数计算题
一、算术平方根：
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）900； （2）1； （3）
64
49
； （4）14． 答案：解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30，即30900=；
（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即11=；
（3）因为6449
872
=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛，所以 6449的算术平方根是87， 即876449=； （4）14的算术平方根是14． 反馈练习：
一、填空题：
1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； 2．9的算术平方根是 ； 3．2)3
2(的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则2)2(+m = ． 二、求下列各数的算术平方根：
36，
144
121，15，，410-，225，0)65
(．
三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是米，则帐篷支撑竿的高是多少米？
答案：一、；2.3 ；3.32
；4．16；二、6；12
11；15；；
210-；15；1；
三、解：由题意得 AC =米，BC =米，∠ABC =90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得105.45.52222=-=-=BC AC AB （米）．所以帐篷支撑竿的高是 10米． 识.对学生的回答，教师要给予评价和点评。
二、平方根
例2 求下列各数的平方根:
(1)64；(2)49121
；(3) ；(4)()2
25-；(5) 11
C
B A
（1）解：()2648=±，648∴±的平方根是
648±
=±即
(2)解：()
24949771211211111
,=∴±±的平方根为
497121
11±
=±即
（3）解：()20.0004,0.00040.020.02=∴±±的平方根是
0.00040.02±=±即
(4) 解：
()()()22,25252525=∴±±--2的平方根是
()22525=±-即
(5) 解：
1111的平方根是思考提升
()25-的平方根是 ，2
64=
()25=- ，64=
=2a 。
(2
0a ≥=当a 时， ，
三、立方根
例3求下列各数的立方根：
（1）27－； （2）1258 ； （3）8
3
3 ； （4）216.0 ； （5）5－.
解：（1）因为
2733
＝－）（－，所以27－的立方根是3－，即3273＝－－； （2）因为1258523
=⎪⎭
⎫
⎝⎛，所以1258的立方根是52，即5212583＝；
（3）因为
8338272
3
3
＝＝）（，所以833的立方根是23，即2
38333＝；
（4）因为
216.06.03
＝）（，所以216.0的立方根是6.0，即6.0216.03＝； （5）5－的立方根是35－. 例4 求下列各式的值：=
（1）;83- （2）;064.03 （3）3
125
8
-； （4）()33
9．
解：（1）38-=()2233
-=-； （2）3064.0=()4.04.033
=；
（3）31258-=525233
-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-； （4）
()3
3
9=9．
随堂练习
1．求下列各数的立方根： ().1656464125.03
3
3333
3
；；－；；
-
2．通过上面的计算结果，你发现了什么规律？ 四、实数
例5 计算： （1）3332-； （2）2
1223
13⋅
+⋅
； （3）2
)52(．
解：（1）3332-＝3)32(-＝3-； （2）2
1223
13⋅
+⋅
＝1＋2＝3；
（3）2)52(＝2
2)5(2⨯＝54⨯＝20．
例6 化简
（1）5312-⨯； （2）
2
36⨯； （3）2
)15(-；
（4）)12)(12(-+； （5）)82(23-⋅． 解：（1）5312-⨯＝5312-⨯＝536-＝6－5＝1； （2）
2
36⨯＝
2
36⨯＝
2
18＝
2
18
＝9＝3； （3）2)15(-＝2
21152)5(+⋅⋅-＝1525+-＝526-； （4）)12)(12(-+＝2
21)2(-＝2－1＝1；
（5）)82(23-⋅＝82)2(3⨯⋅-⨯＝166-＝46⨯-＝－24．
练习：
化简：（1）2095⨯
； （2）8
6
12⨯； （3）2)323(-
； （4）2
)132(-； （5）)32)(31(-+．
解：（1）2095⨯
＝20
95⨯＝49＝23
；
（2）
8
612⨯＝
8
612⨯＝
8
72＝
872
＝9＝3； （3）2)3
23(-＝22)3
2(
3
232)3(+⋅
⋅-＝3443+
-＝3
1； （4）2)132(-＝2
211322)32(+⋅⋅-＝13412+-＝3413-； （5）)32)(31(-+＝2
)3(3232-+-＝33232-+-＝31+-
练习：
﹡1．化简：（1）250580⨯-⨯； （2）)25)(51(-+； （3）2)3
13(-
； （4）
10
40
5104+； （5）)82(2+．
解：（1）250580⨯-⨯＝250580⨯-⨯＝100400-＝1020-＝10；
（2）)25)(51(-+＝52)5(252
-+-＝52525-+-＝53-；
（3）2)3
13(-
＝22)3
1
(
3
132)3(+⋅
⋅-＝3123+-＝34
；
（4）
10
40
5104+＝
10
40510
104+
＝10
40
510104⨯+⨯
＝454+＝254⨯+＝14； （5）)82(2+＝8222⋅+⋅＝8222⨯+⨯＝164+＝42+＝6． ﹡2．一个直角三角形的两条直角边的长分别是cm 5和cm 45，求这个直角三角形的面积． 解：S ＝
45521⨯⨯＝45521⨯⨯＝22521＝152
1
⨯＝7.5cm 2． 化简：（1）45；（2）27；（3）54；（4）
98
；（5）16
125．
答案：（1）5353595945=⨯=⨯=⨯=；
（2）3333393927=⨯=⨯=⨯=； （3）6363696954=⨯=⨯=⨯=；
（4）
32
23223243249898=
⨯=⨯=⨯==； （5）
45
54554525452516
12516125=
⨯=⨯=⨯==．
例7 化简：
（1）50；（2）348-；（3）5
1
5-． 解：（1）252522522550=⨯=⨯=⨯=
；
（2）3333433433163316348=-=-⨯=-⨯=-⨯=-； （3）554
55525
552555515=-=-=-=-
． 课堂练习1：
化简：（1）18；（2）7533-；（3）7
2
． 解：（1）2323292918=⨯=⨯=⨯=
；
（2）7533-
32353335333253332533-=-=⨯-=⨯-=⨯-=；
（3）
7
14
477272=⨯=． ﹡例8 化简：（1）
81；（2）27
8
；（3）2.1；（4）62⨯． 解：（1）
42
16
2282181=
=⨯⨯=；
（2）
69296281
64816432738278=⨯=⨯=⨯=⨯⨯=； （3）530
25
302530562.1=
===
； （4）323234346262=⨯=⨯=⨯=⨯=
⨯．
注：（1）中，分子与分母同乘2即可，若同乘8会对后面的计算增加麻烦；（2）中，分
子8中含有开得尽方的因数4，应化简彻底；（3）中，要先把小数化成分数，再考虑下一步的化简；（4）中，62⨯要观察出能进一步化简．
﹡课堂练习2：
化简：（1）128； （2）9000； （3）48122+；
（4）
325092-+； （5）5145203--； （6）3
2
23+． 解：（1）2828264264128=⨯=⨯=⨯=；
（2）1030103010900109009000=⨯=⨯=⨯=
；
（3）48122+
＝34322316342316342⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯
383434=+=；
（4）
32509
2
-+ ＝
23
4242532216225322162259
2=-+=⨯-⨯+=
⨯-⨯+； （5）5
145203-
- ＝551455535625
55954325559543=--=-⨯-⨯⨯=-
⨯-⨯； （6）
665
36269
64696463223=+=+=+=+．。