随机过程期末复习试题

期末复习试题

一、填空题

1. 假设()0.4,P A =()0.7P A B =， 若A 与B 互不相容，则()________P B =； 若A 与B 相互独立，则()________P B =.

2.设0

3．设A 与B 为两个事件，()0.9P A =，()0.3P AB =，则()P AB =___________.

4. 设()0.5P A =，()0.3P B =()0.2P B A =，则()P B A ⋃=___________. 5．设随机变量X 的分布率为{}7

a

P X k ==

，（ 1, 2, ,7k =）则常数a =_______.

6．设随机变量X 的密度函数为, 01,

()0, ax x f x <<⎧=⎨⎩其它.则常数a =_________

7. 设X 和Y 是两个随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7

P X P Y ≥=≥=， 则{max(,)0}P X Y ≥= ______________

8. 设随机变量()X

πλ,且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=___________.

9．设随机变量(,)X

B n p 的二项分布，且()4,()3,E X D X ==则n =___，p =___

10. 设X 服从2

(,)N μσ，随σ增大，概率{}P X μσ-<的值________________. 11. 设X 服从(1,4)N ，则2()E X 为 ________________.

12．设随机变量X 和Y 独立，且都服从(,1)N μ，若{1}0.5P X Y +≤=，则μ为

____

13．设随机变量X 和Y 独立，且X 服从(1,2)N ，Y 服从(0,1)N ，则23

Z X Y =-+服从_________

14. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，

则由切比雪夫不等式，有{||6}P X Y +≥≤_______________.

15. 某人不断地掷骰子．设n X 表示前n 次抛掷中出现的最大点数，那么随机序列

{},1n X n ≥的状态空间是____________________.

16．设计数过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的泊松过程，令00t =，则均值函数为_____，方差函数为_____.

17．设{(),0}W t t ≥是以2

σ为参数的维纳过程，则0, ()

t W t ∀>___________________.

18．已知1{,}n X n T ∈为马尔可夫链，12{,,}I a a =为状态空间，对于120,r t t t m ≤<<

<<

（1,,i t m m n T +∈），都有1122{,,

,,}r r m n t i t i i i m i p X a X a X a X a X a +======______

二、简单计算题

1. 已知1()()(),4P A P B P C ===1

()0, ()(),8

P AC P AB P BC ===求,,A B C 至少有一个发生的概率

2．设X 的密度函数为, 0 1,()0, .

ax x f x <<⎧=⎨

⎩其他试求：（1）常数a ；（2）1

{0}2P X ≤≤．

3．设X 的密度函数为1

2

1, 0,

()20, .x e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩

其他求以a 为未知数的一元二次方程

2240a Xa ++=有实根的概率。

4．设随机变量101,(1,2)111424i

X i -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎣⎦

，且满足12(0) 1.P X X ==求12max(, )Z X X =的分布率

5．设随机变量X 的期望()E X 非负，且2

1{1}22

E X -=，11

{

1}22

D X -=，求()

E X 。 6. 设随机变量X 和Y 独立，且X 服从(150,4)N ，Y 服从(0,1)N ，令12Z X Y =+，

22Z X Y =-，求12ov(,)C Z Z 。 三、计算题

1. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02， B

被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传送的频繁程度为,1:2试求：（1）收到信号B 的概率是多少？（2）若接收站收到的信息为A ，问原发信息是A 的概率是多少？

2.设随机向量(, )X Y 的分布律为

验证：X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.

3．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其密度函数分别为

,0,()0x X e x f x λλ-⎧>=⎨⎩，其他.,0,

()0,

0.y Y e y f y y μμ-⎧>=⎨

≤⎩ （1）写出X 和Y 的联合密度函数；（2）令1, 0, X Y

Z X Y >⎧=⎨≤⎩

，求Z 的分布率与分布函数；（4）()E Z 和()D Z .

4. 某单位内部有260部电话分机，每部分机有4%的时间使用外线与外界通话，可以认为

每部电话分机用不用外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95%把握保证各分机在用外线时不必等候．（(1.64)0.9495Φ=，(1.65)0.9505Φ=，(1.66)0.9515Φ=） 5. 设(),,X t At B t =+-∞<<+∞式中,A B 是相互独立，且都服从正态2(0,)N σ分布的随机变量，试说明()X t 是一正态过程，并讨论它的平稳性．

6．设齐次马氏链{, 1}n X n ≥的状态空间{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为

1/43/40P 1/41/21/401/43/4⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，初始状态的概率分布为1{(0)}, 1,2,33

P X i i ===

试求：（1）判断马氏链是否具有遍历性；（2）03{1,2}P X X ==（3）3{1}P X =.