随机过程期末复习试题

期末复习试题
一、填空题
1. 假设()0.4,P A =()0.7P A B =， 若A 与B 互不相容，则()________P B =； 若A 与B 相互独立，则()________P B =.
2.设0<P (A )<1,0<P (B )<11=+)|()|(B A P B A P ,则A 与B 满足什么关系__________.
3．设A 与B 为两个事件，()0.9P A =，()0.3P AB =，则()P AB =___________.
4. 设()0.5P A =，()0.3P B =()0.2P B A =，则()P B A ⋃=___________. 5．设随机变量X 的分布率为{}7
a
P X k ==
，（ 1, 2, ,7k =）则常数a =_______.
6．设随机变量X 的密度函数为, 01,
()0, ax x f x <<⎧=⎨⎩其它.则常数a =_________
7. 设X 和Y 是两个随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7
P X P Y ≥=≥=， 则{max(,)0}P X Y ≥= ______________
8. 设随机变量()X
πλ,且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=___________.
9．设随机变量(,)X
B n p 的二项分布，且()4,()3,E X D X ==则n =___，p =___
10. 设X 服从2
(,)N μσ，随σ增大，概率{}P X μσ-<的值________________. 11. 设X 服从(1,4)N ，则2()E X 为 ________________.
12．设随机变量X 和Y 独立，且都服从(,1)N μ，若{1}0.5P X Y +≤=，则μ为
____
13．设随机变量X 和Y 独立，且X 服从(1,2)N ，Y 服从(0,1)N ，则23
Z X Y =-+服从_________
14. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，
则由切比雪夫不等式，有{||6}P X Y +≥≤_______________.
15. 某人不断地掷骰子．设n X 表示前n 次抛掷中出现的最大点数，那么随机序列
{},1n X n ≥的状态空间是____________________.
16．设计数过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的泊松过程，令00t =，则均值函数为_____，方差函数为_____.
17．设{(),0}W t t ≥是以2
σ为参数的维纳过程，则0, ()
t W t ∀>___________________.
18．已知1{,}n X n T ∈为马尔可夫链，12{,,}I a a =为状态空间，对于120,r t t t m ≤<<
<<
（1,,i t m m n T +∈），都有1122{,,
,,}r r m n t i t i i i m i p X a X a X a X a X a +======______
二、简单计算题
1. 已知1()()(),4P A P B P C ===1
()0, ()(),8
P AC P AB P BC ===求,,A B C 至少有一个发生的概率
2．设X 的密度函数为, 0 1,()0, .
ax x f x <<⎧=⎨
⎩其他试求：（1）常数a ；（2）1
{0}2P X ≤≤．
3．设X 的密度函数为1
2
1, 0,
()20, .x e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩
其他求以a 为未知数的一元二次方程
2240a Xa ++=有实根的概率。

4．设随机变量101,(1,2)111424i
X i -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
，且满足12(0) 1.P X X ==求12max(, )Z X X =的分布率
5．设随机变量X 的期望()E X 非负，且2
1{1}22
E X -=，11
{
1}22
D X -=，求()
E X 。

6. 设随机变量X 和Y 独立，且X 服从(150,4)N ，Y 服从(0,1)N ，令12Z X Y =+，
22Z X Y =-，求12ov(,)C Z Z 。

三、计算题
1. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02， B
被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传送的频繁程度为,1:2试求：（1）收到信号B 的概率是多少？（2）若接收站收到的信息为A ，问原发信息是A 的概率是多少？
2.设随机向量(, )X Y 的分布律为
验证：X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.
3．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其密度函数分别为
,0,()0x X e x f x λλ-⎧>=⎨⎩，其他.,0,
()0,
0.y Y e y f y y μμ-⎧>=⎨
≤⎩ （1）写出X 和Y 的联合密度函数；（2）令1, 0, X Y
Z X Y >⎧=⎨≤⎩
，求Z 的分布率与分布函数；（4）()E Z 和()D Z .
4. 某单位内部有260部电话分机，每部分机有4%的时间使用外线与外界通话，可以认为
每部电话分机用不用外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95%把握保证各分机在用外线时不必等候．（(1.64)0.9495Φ=，(1.65)0.9505Φ=，(1.66)0.9515Φ=） 5. 设(),,X t At B t =+-∞<<+∞式中,A B 是相互独立，且都服从正态2(0,)N σ分布的随机变量，试说明()X t 是一正态过程，并讨论它的平稳性．
6．设齐次马氏链{, 1}n X n ≥的状态空间{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为
1/43/40P 1/41/21/401/43/4⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，初始状态的概率分布为1{(0)}, 1,2,33
P X i i ===
试求：（1）判断马氏链是否具有遍历性；（2）03{1,2}P X X ==（3）3{1}P X =.。