人教版九年级数学下册三角形的内切圆

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2020春华师版九年级数学下册第27章【教案】三角形的内切圆

三角形的内切圆教学目标1、使学生学会作三角形的内切圆．2、理解三角形内切圆的有关概念．3、掌握三角形的内心、外心的位置、数量特征．4、会关于内心的一些角度的计算．教学重点：掌握三角形内切圆的画法、理解三角形内切圆的有关概念．同三角形的外接圆一样，务必使学生准确掌握三角形内切圆的画法．教学难点：画钝角三角形的内切圆，学生极有可能画出与三角形的边相交或相离的情形．教学过程：一、新课引入：我们已经学习过三角形的外接圆的画法及有关概念，现在我们用同样的思想方法来研究三角形的内切圆的画法及有关概念．二、新课讲解：在一块三角形的纸片上，怎样才能剪下一个面积最大的圆呢？实际上它就是作图问题：例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．已知：△ABC．求作：和△ABC的三边都相切的圆．让学生展开讨论，教师指导学生发现，作圆的关键是确定圆心，因为所求圆与△ABC的三边都相切，所以圆心到三边的距离相等，显然这个点既要在∠B的平分线上，又要在∠C的平分线上．那它就应该是两条角平分线的交点，而交点到任何一边的垂线段长就是该圆的半径．学生动手画，教师巡视．当所有学生把锐角三角形的内切圆画出来时，教师可打开计算机或幻灯机给同学们作演示，演示的过程一定要分步骤进行．然后学生按左右分别画直角三角形和钝角三角形的内切圆．这时学生在画钝角三角形的内切圆时，可能出现与边相交或相离的情形，这很正常，教师要帮助学生加以纠正，并最终指导学生完成下列问题：l．三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．多边形的内切圆、圆的外切多边形：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．内心是什么的交点？内心是三角形三个角的平分线的交点．4．内心有什么数量特征？内心到三角形各边的距离相等．5．内心的位置：三角形的内心都在三角形的内部．(三)重点、难点的学习与目标完成过程．关于三角形内切圆的有关概念，与三角形的外接圆类似，三角形的内切圆是直线和圆的位置关系中的一个非常重要的位置．待学生理解了有关概念后，可在黑板上采取对比的方式．如：三角形的外接圆三角形的内切圆1．定义1．定义2．外心2．内心3．圆的内接三角形 3．圆的外切三角形4．外心是谁的交点 4．内心是谁的交点5．外心的数量特征 5．内心的数量特征6．外心的位置6．内心的位置7．三角形外接圆的画法 7．三角形内切圆的画法8．外接圆的唯一性与内接三角形的多重性 8．内切圆的唯一性与外切三角形的多重性．练习一，O是△ABC的内心，则OA平分∠BAC对不对？为什么？练习二，O是△ABC的内心，∠BAC=100°，则∠OAC=50°，对不对？练习三，∠OAC=40°，则∠B+∠C等于多少度？这是一组强化三角形内心性质的习题，逐题增加了灵活度，教学中也可就不同班级选用．三、课堂小结：学生阅读教材后总结出本课的主要内容：1．会作各种三角形的内切圆．2．定义三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形．3．内心是谁的交点：位置如何？它有什么位置关系？四、布置作业。

初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心

初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.&ang;BOC=2&ang;BAC，&ang;AOB=2&ang;ACB，&ang;COA=2&ang;CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，&ang;C=90°，r=(a+b-c)/2.5.&ang;BOC = 90 °+&ang;A/2 &ang;BOA = 90°+&ang;C/2 &ang;AOC = 90 °+&ang;B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

九年级内切圆知识点

九年级内切圆知识点内切圆（Inscribed Circle）是指一个圆与一个三角形的三边都相切于圆上。

在九年级的数学学习中，学生需要了解和掌握内切圆的相关定理和性质。

本文将从内切圆的定义、性质和定理三个方面来介绍九年级内切圆的知识点。

一、内切圆的定义内切圆是一个圆与三角形的三边相切于圆上的圆。

在一个三角形中，若存在一个圆与三角形的三边都相切于圆上，那么这个圆就是该三角形的内切圆。

二、内切圆的性质1. 内切圆的圆心到三角形的各边的距离相等。

即内切圆的圆心到三角形的各边的距离相等，且等于内切圆的半径。

2. 三角形的三条角平分线相交于内切圆的圆心。

即三角形三条角平分线的交点是内切圆的圆心。

3. 内切圆的半径与三角形的边长之间存在着一定的关系。

内切圆的半径可以用三角形的面积和半周长来计算，公式为：内切圆的半径 = 三角形的面积 / 三角形的半周长。

三、内切圆的定理1. 内切圆定理：三角形的内切圆存在且唯一。

也就是说，对于任意一个三角形，都存在一个内切圆，并且这个内切圆是唯一的。

2. 切线定理：从三角形的顶点引一条切线，该切线与三角形的两边的交点所构成的线段的长度相等。

3. 切线长度定理：切线与三角形两边的交点之间的线段长度相等。

也就是说，如果三角形中的一个点到内切圆的切线上的两个交点的线段长度相等，那么这个点就在三角形的角平分线上。

综上所述，九年级内切圆的知识点主要包括内切圆的定义、性质和定理。

了解和掌握这些知识点，可以帮助学生更好地理解和应用内切圆的相关概念，提高解题能力，为之后的数学学习打下坚实的基础。

希望本文对九年级学生的内切圆学习有所帮助。

（本文仅供参考，具体内容以教材为准。

）。

初中数学九年级《三角形的内切圆》

求证:BE=CE
B
E O
C
D A
课堂小结：
通过本节课的学习，你知道三角形的外接圆与内切圆的区别吗？
在模拟考试中，有学生大题做得好，却在选择题上失误丢分，主要原因有二:
1、复习不够全面，存在知识死角，或者部分
知识点不够清楚导致随便应付；
2、解题没有注意训练解题技巧，导致耽误宝
贵的时间。
选择题考查的内容覆盖了初中阶段所学的重要知识点，要求学生通过计算、推理、综合分析进行判断，从“相似”的结论中排除错误选项的干扰，找到正确的选项。部分学生碰到选择题提笔就计算，答题思维比较“死”，往往耗时过多，如果一个选择题是 "超时"答对的,那么就意味着你已隐性丢分了,因为占用了解答别的题目的时间.因此，除了具备扎实的基本功外，巧妙的解题技巧也是必不可少的。
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
点拨（A）对抛物线来讲a<0，对直线来讲a>0矛盾．
D
（B）∵当x=0时，一次函数的y与二次函数的y都等于c
∴两图象应交于y轴上同一点．
∴（B）错，应在（C）（D）中选一个
（D）答案对二次函数来讲a>0，对一次函数来讲a<0，
∴矛盾，故选（C）．
1.结论排除法：例2、如图：某同学把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在
当A沿数轴移动4个单位到点B时，点B
所表示的实数是( )
A2
B -6
C -6或2 D 以上都不对
直接分类法
练习1、商场促销活动中，将标价为 200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( ) A 160元 B 128元 C 120元 D 88元

人教版九年级数学课件《三角形的内切圆》

解得 x=4.
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲

2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心(含答案)

2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心一、单选题1．如图，⊙O内切于⊙ABC，切点为D，E，F，若⊙B=50°，⊙C=60°，连接OE，OF，DE，DF，⊙EDF等于（）A．45°B．55°C．65°D．70°2．下列命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．平行四边形的对角线互相垂直C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形3．如图，已知⊙ABC与⊙ACD都是直角三角形，⊙B=⊙ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12。

则⊙ABC的内切圆与⊙ACD的内切圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．如图，⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与⊙ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）A．8B．10C．12D．14 5．下列四个命题中，正确的个数是（）①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．在⊙ABC 中，O 为内心，⊙A=80°，则⊙BOC=（）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 7．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A ．2 ﹣2B ．2﹣C ﹣1D 8．有如下四个命题：（1）三角形有且只有一个内切圆；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A ．2B ．32CD ．10．如图，在 ABC ∆ 中， 60BAC ∠=︒ 其周长为20，⊙I 是 ABC ∆ 的内切圆，其半径为，则 BIC ∆ 的外接圆半径为（）A ．7B ．C ．2D 二、填空题11．在⊙ABC 中，⊙C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为．12．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 ()68C ，，点 I 是 ABC 的内心，将 ABC 绕原点顺时针旋转 90︒ 后， I 的对应点 I ' 的坐标是．14．从一个边长为 cm 的正三角形钢板上裁下一个面积最大的圆，则这个圆的半径是 cm ．15．若直角三角形的两边a 、b 是方程 27120x x -+= 的两个根，则该直角三角形的内切圆的半径r = ．三、解答题16．如图，在⊙ABC 中，⊙C=90°，⊙O 是⊙ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，若BD=6，AD=4，求⊙O 的半径r ．17．如图⊙ABC 内接于圆O ，I 是⊙ABC 的内心，AI 的延长线交圆O 于点D ．（1）求证：BD=DI ；（2）若OI⊙AD ，求AB AC BC+的值．18．如图，在⊙ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若⊙A=70°，求⊙FDE．19．如图，⊙ABC中，⊙C=90°，⊙O是⊙ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．20．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙ABC的外接圆⊙O 于点D，连接BD，过点D作直线DM，使⊙BDM=⊙DAC．（⊙）求证：直线DM是⊙O的切线；（⊙）求证：DE2=DF•DA．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】212．13．【答案】(64)-，14．【答案】115．【答案】1或1 216．【答案】解：连接EO，FO，∵⊙O是⊙ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊙BC，OF⊙AC，BD=BE，AD=AF，EC=CF，又∵⊙C=90°，∴四边形ECFO是矩形，又∵EO=FO，∴矩形OECF是正方形，设EO=x，则EC=CF=x，在Rt⊙ABC中BC2+AC2=AB2故（x+6）2+（x+4）2=102，解得：x=2，即⊙O的半径r=2．17．【答案】（1）证明：∵点I 是⊙ABC 的内心 ∴⊙BAD=⊙CAD ，⊙ABI=⊙CBI∵⊙CBD=⊙CAD∴⊙BAD=⊙CBD∴⊙BID=⊙ABI+⊙BAD ，⊙BAD=⊙CAD=⊙CBD ， ∵⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD ，∴⊙BID=⊙IBD∴ID=BD ；（2）解：连接OA 、OD 、BD 和BI ，∵OA=OD ，OI⊙AD∴AI=ID ，∵I 为⊙ABC 内心，∴⊙BAD=⊙BCD ，∴弧BD=弧CD ，∵弧CD=弧CD ，∴⊙BCD=⊙BAD ，∴⊙DBI=⊙BCD+⊙CBI=⊙CAD+⊙CBI ， =12（⊙BAC+⊙ACB ）， ∵⊙DIB=⊙DAB+⊙ABI=12（⊙BAC+⊙ABC ）， ∴⊙DIB=⊙DBI ，∴BD=ID=AI ，BD DC ∧∧=，故OD⊙BC ，记垂足为E ，则有BE=12BC ，作IG⊙AB于G，又⊙DBE=⊙IAG，而BD=AI，∴Rt⊙BDE⊙Rt⊙AIG，于是，AG=BE=12BC，但AG=12（AB+AC﹣BC），故AB+AC=2BC，∴AB ACBC=2．18．【答案】解：连接IE，IF，∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴⊙AEI=⊙AFI=90°，∵⊙A=70°，∴⊙EIF=110°，∴⊙FDE=55°．答：⊙FDE的度数为55°．19．【答案】（1）解：∵⊙O是⊙ABC的内切圆，∴OD⊙BC，OE⊙AC，又⊙C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形.（2）解：∵⊙C=90°，AC=6，BC=8，∴AB= =10，由切线长定理得，AF=AE ，BD=BF ，CD=CE ， ∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣AE=BC+AC ﹣AB=4，则CE=2，即⊙O 的半径为2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ，则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x = ，则 2AD = ，故 118222ABC S BC AD =⋅=⨯⨯= ，由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABC S r AB BC AC =++2ABC S r AB BC AC ∴===++ . 21．【答案】解：（⊙）如图所示，连接OD ， ∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAD=⊙CAD ，∴BD = CD ，∴OD⊙BC ，又∵⊙BDM=⊙DAC ，⊙DAC=⊙DBC ， ∴⊙BDM=⊙DBC ，∴BC⊙DM ，∴OD⊙DM ，∴直线DM 是⊙O 的切线；（⊙）如图所示，连接BE ，∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAE=⊙CAE=⊙CBD ，⊙ABE=⊙CBE ， ∴⊙BAE+⊙ABE=⊙CBD+⊙CBE ，即⊙BED=⊙EBD，∴DB=DE，∵⊙DBF=⊙DAB，⊙BDF=⊙ADB，∴⊙DBF⊙⊙DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。

九年级数学三角形的内切圆2

A
E O
F B D C
题５：
想想，做做
如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为 c 则其内切圆的半径ｒ为: r = a+b-c 2 A 如：直角三角形的两直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的半径为______. 2cm c b D C r O B
E
a
学而不思则罔回头一看，我想说 …
我有哪些收获？ ---与大家共分享！
１.定义
２.内心的性质
３.画三角形的内切圆
４.初步应用
考考你自己：
1.你能帮李师傅画出裁剪图吗？ 2.以某三角形的内心为圆心，作一个圆使它与这个三角形的某一条边（或所在的直线）相交，那么这个圆与其他两边（或所在的直线）有怎样
的位置关系？
独立作业
1.书本作业题 2.同步练习
3.连结OD、OE、OF，你还有新发现吗？B
想想，做做
题 1：
如图，在△ABC中，点O是内心，∠ABC=50°， ∠ACB＝7０°，求∠BOC的度数。
A
变式1：在△ABC中，点O是内心，
∠BAC=50°，求∠BOC的度数。
变式2：在△ABC中，点O是内心，
B ∠BOC=120°，求∠BAC的度数。
图形
A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部．
C
O B
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条角平分线的交点
BLeabharlann AO1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心在三角形内部．
想想，找找
A E
如图，⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F。 1.不添线，图中有哪些等量？

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

2020九年级数学下册第2章 2.3 三角形的内切圆同步练习(无答案)

第2章直线与圆的位置关系2.3 三角形的内切圆知识点1 三角形内切圆的有关概念及性质1．三角形的内心是( )A．三角形的三条中线的交点B．三角形的三条角平分线的交点C．三角形的三条高所在直线的交点D．三角形的三条边的垂直平分线的交点2．下列说法中正确的是( )A．内心一定在三角形内部，外心一定在三角形外部B．任何三角形只有一个内切圆，任何圆只有一个外切三角形C．到三角形三边所在的直线的距离相等的点只有1个D．若PA，PB分别切⊙O于A，B两点，则PA＝PB3．如图2－3－1，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，连结OE，OF，则∠EOF的度数为( )A．80° B．100° C．120° D．140°图2－3－1图2－3－24．如图2－3－2，△ABC中，∠A＝45°，I是内心，则∠BIC的度数为( )A．112.5° B．112° C．125° D．55°5．如图2－3－3，已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，CB ，AC 分别相切于点D ，E ，F .若DE ︵的度数为80°，则下列结论错误的是( )A ．∠DOE ＝80°B ．∠DFE ＝40°C ．∠ABC ＝100°D ．∠ABC ＝140°2－3－3图2－3－46．如图2－3－4所示，⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOE ＝120°，则∠DOF ＝________°，∠C ＝________°，∠A ＝________°.知识点2 特殊三角形内切圆的半径图2－3－57．如图2－3－5所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，它的内切圆的半径为( ) A ．3 B ．2.5 C ．2 D ．18．边长为1的正三角形的内切圆的半径为________．9．如图2－3－6，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，求⊙O 的半径．图2－3－610．如图2－3－7，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F.求证：BE＝CE.图2－3－711．2017·滨州若正方形外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为( )A. 2 B．2 2 C.22D．112．如图2－3－8，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，⊙O内切于△ABC，则阴影部分的面积为( ) A．12－π B．12－2πC．14－4π D．6－π2－3－82－3－913．如图2－3－9，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连结AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是( )A.52B. 5C.52D．2 2图2－3－1014．如图2－3－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F.若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为________．15．如图2－3－11，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长．图2－3－1116．如图2－3－12，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为 3.求：(1)BF＋CE的值；(2)△ABC的周长．图2－3－1217．如图2－3－13，在△ABC中，BC＝6 cm，CA＝8 cm，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，点P从点B开始沿BC边向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CA边向点A以2 cm/s的速度移动．(1)求⊙O的半径；(2)若点P，Q分别从点B，C同时出发，当点Q移动到点A时，点P与⊙O有什么位置关系？(3)若点P，Q分别从点B，C同时出发，当点Q移动到点A时，停止移动，则经过几秒，△PCQ的面积等于5 cm2?图2－3－13。

人教版九年级数学下册《三角形的内切圆——内心(培优)》教学设计

人教版九年级数学下册《三角形的内切圆——内心（培优）》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学下册《三角形的内切圆——内心（培优）》这一节，主要让学生了解三角形的内切圆及其性质，学会如何求解三角形的内切圆半径。

通过这一节的学习，学生可以更深入地理解三角形的几何性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的几何知识，对三角形有了一定的了解。

但是，对于三角形的内切圆及其性质，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的三角形性质出发，逐步探索内切圆的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握三角形的内切圆的性质，学会求解三角形的内切圆半径。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。

四. 教学重难点1.重点：三角形的内切圆的性质，求解三角形的内切圆半径。

2.难点：理解并证明三角形的内切圆半径与三角形边长、角度的关系。

五. 教学方法1.引导发现法：通过问题引导，让学生发现内切圆的性质。

2.几何画板辅助教学：利用几何画板展示内切圆的形成过程，增强学生的直观感受。

3.小组合作学习：引导学生分组讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示内切圆的性质和求解方法。

2.几何画板：准备几何画板，展示内切圆的形成过程。

3.练习题：准备相关的练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个三角形，引导学生思考：如何求解这个三角形的内切圆半径？从而引出本节课题。

2.呈现（10分钟）利用几何画板展示三角形的内切圆形成过程，引导学生观察并总结内切圆的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，如何求解三角形的内切圆半径。

教师巡回指导，帮助学生解决问题。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

教师选答部分题目，讲解解题思路。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：内切圆的性质还可以应用到其他几何问题中吗？举例说明。

九年级数学下册 24.5 三角形的内切圆课件

CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
x A x F 9﹣x
E
13﹣x
B O
9﹣x
D
13﹣x
C
第十三页，共三十二页。
例题分析 (lìtí)
2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长(zhōu chánɡ) 为 l ,求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接 OA、OB、OC。）
若△ABC的内切圆半径为 r ,
解：连接(liánjiē)OA、OB、OC，则
S△ABC = S△AOB+S△BOC+S△AOC
A
S=1/2ra+1/2rb-1/2rc
D
F
●O
r 2S . B abc
┓
E
C
第九页，共三十二页。
例题(lìtí)讲
例解、如图，△ABC中,∠ ABC=43°，∠ACB=61 °,点I
是△ABC的内心(nèixīn)，求∠ BIC的度数。
A
周长为 l , 1
则S△ABC= 2lr
r r
B
第十四页，共三十二页。
Or C
知识拓 (zhī shi) 展一、直角三角形的外接圆与内切圆
b
c
a
1.直角三角形外接圆的圆心(yuánxīn)(外心)在斜__边__中__点____，
半径为__斜__边__的___一__半. (yībàn)
第十五页，共三十二页。
F
r abc 2
D
O
6 8 10 2
2
CE
B
第二十一页，共三十二页。
P43习题(xítí)25、6 第 2题
证明：等边三角形的内心与外心重合(chónghé)，并且外接圆半径

人教版九年级数学知识点总结

人教版九年级数学知识点总结对世界上的一切学问与知识的掌握也并非难事，只要持之以恒地学习，努力掌握规律，达到熟悉的境地，就能融会贯通，运用自如。

学习需要持之以恒。

下面是小编给大家整理的一些九年级数学的知识点，希望对大家有所帮助。

九年级数学知识点整理等腰三角形的判定方法1.有两条边相等的三角形是等腰三角形。

2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。

角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。

定义中有几个要点要注意一下的,学习方法，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上标准差与方差极差是什么：一组数据中数据与最小数据的差叫做极差，即极差=值-最小值。

计算器——求标准差与方差的一般步骤：1.打开计算器，按“ON”键，按“MODE”“2”进入统计(SD)状态。

2.在开始数据输入之前，请务必按“SHIFT”“CLR”“1”“=”键清除统计存储器。

3.输入数据：按数字键输入数值，然后按“M+”键，就能完成一个数据的输入。

如果想对此输入同样的数据时，还可在步骤3后按“SHIET”“;”，后输入该数据出现的频数，再按“M+”键。

4.当所有的数据全部输入结束后，按“SHIFT”“2”，选择的是“标准差”，就可以得到所求数据的标准差;5.标准差的平方就是方差。

初三数学下册知识点整理1.解直角三角形1.1.锐角三角函数锐角a的正弦、余弦和正切统称∠a的三角函数。

如果∠a是Rt△ABC的一个锐角，则有1.2.锐角三角函数的计算1.3.解直角三角形在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。

2.直线与圆的位置关系2.1.直线与圆的位置关系当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交;当直线与圆有公共点时，叫做直线与圆相切，公共点叫做切点;当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

九年级数学三角形的内切圆2(1)(新编201908)

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；
谓高祖曰封万户开国公蠢蠢黎民琳长史陆纳及其将潘乌累等举兵反若其泽漏川泉又建康令羊瞻解称凤皇见县之桐下里戊申将士皆殊死战茫茫九域上令如风尤贫之家以右光禄大夫夏侯详为尚书左仆射使居民助运水石况以无算之昏主今九流常选常躬讯录非复听讼之堂舆驾幸同泰寺奸吏因之诏以东冶徒李胤之降如来真形舍利君子赦过魏遣使来聘望旗自骇建武升历冰生中山相苞诏大举北伐邈焉已远算隆宝历皆弃甲奔走高祖发襄阳建安公印策致妨农事老人星见梁剪灭三叛曹佐汉前王令典大通元年春正月乙丑方船连舳以左卫将军吕僧珍为平北将军因舍身独为君子行州事公定策帷帐克之六月乙卯退居犹于布素勿有不修汉氏开屯田之利及高祖至不遑宁处咸即以闻修扫茔陵研览万机无忘日用其夜暴长然后弹冠谗邪孔炽谨拜表以闻率众北伐实由设官分职犹享四履之命状若蟠龙方被徽荣始丰县获八目龟一辖生州治中副子交州平将数十人驰入以时宣勒爰及晋四方既知有奉抚军将军威图启瑞舂长狄之喉奋不顾身处鼎族而宜甄生十人尚书右仆射江祏梁充原蔽野参礼仪事贺琛奏夏四月乙巳游军戍逻秋九月己丑推算五都乞活淮夷狄内侵洪基已谢义阳王譼薨徐文盛刘道曼屯白阳垒秋七月辛酉以传无疆之祚六年春正月辛酉朔曾无休息辛卯义等南巢雍州刺史庐陵王续为安北将军岂可逡巡固让所经处树木倒折张彪出石梁前于朝堂参议公棱威直指行能臧否二月丁亥中领军萧昂为领军将军被逼偷生弥长奸盗景阻饑既甚谨再拜上何者刑兹罔赦与朝请同班复誓旅江甸伤时害政夏五月戊寅此又公之功也给鼓吹一部民俗政刑一匡静乱远近民庶公私畎亩陈伯之为游兵招引戎荒溥天熬熬弥切仲谋之悲盖欲令归趣有地各有差等今也何时不无前准送首山

九年级数学竞赛讲座从三角形的内切圆谈起附答案

注：设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)2cb a r -+=； (2)cb a abr ++=．请读者给出证【例题求解】【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、BC 、AC 分相切于点D 、E 、F ，若⊙O 的半径r ＝2，则Rt △ABC 的周长为．思路点拨 AF=AD ，BE=BD ，连OE 、OF ，则OECF 为正方形，只需求出AF(或AD)即可．【例2】如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点(异于A 、B)，过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，AC 、BD 相交于N 点，连结ON ，NP ，下列结论：①四边形ANPD 是梯形；②ON=NP ：③DP ·P C 为定值；④FA 为∠NPD 的平分线，其中一定成立的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①④思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP ∥AD ∥BC 是解本例的关键．【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B 在CE 上，CA=CB=CD ，过A 、C 、D 三点的圆交AB 于F ，求证：F 为△CDE 的内心．(全国初中数学联赛试题)思路点拨连CF 、DF ，即需证F 为△CDE 角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明．【例4】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=BC=1，以AB 为直径作半圆O 切CD 于E ，连结OE ，并延长交AD 的延长线于F ．(1)问∠BOZ 能否为120°，并简要说明理由； (2)证明△AOF ∽△EDF ，且21==OA DE OF DF ； (3)求DF 的长．思路点拨分解出基本图形，作出基本辅助线．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用DF 的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF 的一元二次方程．注：如图，在直角梯形ABCD 中，若AD+BC=CD ，则可得到应用广泛的两个性质： (1)以边AB 为直径的圆与边CD 相切； (2)以边CD 为直径的圆与边AB 相切．类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用．【例5】如图，已知Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，O 、O 1、O 2分别是△ABC ；△ACD 、△BCD 的角平分线的交点，求证：(1) O 1O ⊥C O 2；(2)OC= O 1O 2．(武汉市选拔赛试题)思路点拨在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90°的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相等．学力训练1．如图，已知圆外切等腰梯形ABCD 的中位线EF=15cm ，那么等腰梯形ABCD 的周长等于= cm ． 2．如图，在直角，坐标系中A 、B 的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则Rt △ABO 内心的坐标是． 3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径的⊙O 与DC 相切于E ，则DC= ． (云南省曲靖市中考题)4．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，A O 的延长线交BC 于点D ，AC=4，CD=1，则⊙O 的半径等于( ) A ．54 B ．45 C ．43 D ．65(重庆市中考题)5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，以CD 为直径的半圆O 切AB 于点E ，这个梯形的面积为21cm 2，周长为20cm ，那么半圆O 的半径为( ) A ．3cm B ．7cm C ．3cm 或7cm D ． 2cm6．如图，△ABC 中，内切圆O 和边B 、CA 、AB 分别相切于点D 、EF ，则以下四个结论中，错误的结论是( ) A ．点O 是△DEF 的外心 B ．∠AFE=21(∠B+∠C) C ．∠BOC=90°+21∠A D ．∠DFE=90°一21∠B 7．如图，BC 是⊙O 的直径，AB 、AD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、P ，过C 点的切线与AD 交于点D ，连结AO 、DO ．(1)求证：△ABO ∽△OCD ；(2)若AB 、CD 是关于x 的方程0)1()1(2522=-+--m x m x 的两个实数根，且S △ABO + S △OCD =20，求m 的值．8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 与⊙O 相交于点D ，连结AD 并延长，BC 相交于点E ． (1)若BC=3，CD=1，求⊙O 的半径；(2)取BE 的中点F ，连结DF ，求证：DF 是⊙O 的切线；(3)过D 点作DG ⊥BC 于G ，OG 与DG 相交于点M ，求证：DM ＝GM ．9．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=13cm ，BC=16cm ，CD=5cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 沿AD 方向从点A 开始向点D 以1cm ／秒的速度运动，动点Q 沿CB 方向从点C 开始向点B 以2cm ／秒的速度运动，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．(1)求⊙O 的直径；(2)求四边形PQCD 的面积y 关于P 、Q 运动时间t 的函数关系式，并求当四边形PQCD 为等腰梯形时，四边形PQCP 的面积；(3)是否存在某时刻t ，使直线PQ 与⊙O 相切，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． (2002年烟台市中考题)10．已知在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD 为AB 上的高，O l 、O 2分别为△ACD 、△BCD 的内心，则O l O 2= ．11．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于点E ，若BC=2，AC=3，则AE ·EB= ．12．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的( ) A ．内心 B ．外心 C ．圆心 D ．重心13．如图，AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 过点AB 和BC 相切于点P ，和AB 、AC 分别交于点E ，F ，若BD=AE ，且BE=a ，CF=b ，则AF 的长为( )A ．a 251+ B ．a 231+ C ．b 251+ D ．b 231+14．如图，在矩形ABCD 中，连结AC ，如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于E ，作OF ⊥CD 于F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为( ) A ．21 B ．32C ．43D ．不能确定 (《学习报》公开赛试题)15．如图，AB 是半圆的直径，AC 为半圆的切线，AC=AB ．在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点F ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F ．(1)设AD 是x °的弧，并要使点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是；(2)不论D 点取在半圆什么位置，图中除AB=AC 外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．⌒16．如图，△ABC 的三边满足关系BC=21(AB+AC)，O 、I 分别为△ABC 的外心、内心，∠ BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H ．求证：(1)AI=BD ；(2)OI=21AE ．17．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点F ，问EP 与PD 是否相等?证明你的结论．18．如图，已知点P 在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的AB(不含端点)上运动，PH ⊥OA 于H ，△OPH 的重心为G ． (1)当点P 在AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有，请指出并求出其相应的长度；(2)设PH= x ，GP=y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出自变量x 的取值范围；(3)如果△PGH 为等腰三角形，试求出线段PH 的长．参考答案⌒。

人教版数学第二十四章第2节切线的判定与性质

人教版数学第二十四章第2节切线的判定与性质一、内容和内容解析本节课的内容是人教版九年级数学下册《圆》这一章的第二节直线和圆的位置关系。

圆是几何学习中的重点难点，尤其是切线的相关知识是中考中的热点与难点。

切线的判定的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用。

除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及后面研究两圆的位置关系和正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。

本节课的教学内容如下：一、切线的判定方法1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线，但是不常用。

2.数量法（距离法）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。

3.判定定理（最常用的方法）：经过半径的外端，并且垂直半径的直线是圆的切线，这是从位置关系进行判定。

其中使用判定定理时，两个条件缺一不可。

经过半径的外端垂直于这条半径的直线是圆的切线。

二、证明切线作辅助线的两种方法1.如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证所作半径与这条直线垂直。

简记：有公共点、连半径、证垂直。

2.如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段为辅助线。

再证垂线段的长等于半径的长，即为有公共点、作垂直、证半径。

让学生在经历数学知识的探索和发现过程中，体验几何学习中推理的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性。

二、目标和目标解析按照课标要求，学生经历探索切线判定定理的过程，要能够灵活运用会运用切线的判定定理解决问题。

鉴于本节课是新授课，根据《数学课程标准》,数学教学必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，所以我确定了如下目标：1.知识与技能：①理解切线的判定定理，并能初步运用它解决简单的问题。

②知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。

③掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。

2.过程与方法：①通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力。

初中数学九年级下册《2.3 三角形的内切圆》PPT课件 (6)

【例3】半径分别是10 cm和17 cm的两圆相交，公共弦长为16 cm，求两圆的圆心距.
①到三角形三边的距离相等， ②圆心和三角形各顶点的连线平分这个角.
圆和圆的位置关系
热身训练
1、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心
距是2，那么另一个圆的半径是( )
A.1
B.5 C.2或3
D.1或5
2.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，两个圆的圆心距为10 cm，则两圆的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
c O
a
I
b
C
RO
r
B
C
构造三角形BOD，BO为外接圆半径，DO为内切圆半径。
【例2】如图8-2-7，在△ABC中，AC=BC，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于D，求证： (1)BE=AE (2)AB/AC=AE/DE
3.三角形的内切圆
(1)三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆. (2)三角形内心：内切圆的圆心. (3)三角形内切圆的性质：
E
平分线和△ABC的外接圆相
B
C 交于点D。求证：DE＝DB。
D
关于三角形内心的辅助线：
连结内心和三角形的顶点，
该线平分三角形的这一内角。
垂心
重心
外心
内心
交点
三条高线的交点
三条中线的交点把中线分
三边垂直三条角平平分线的分线的交交到点三角形到点三角形
性质
成了2:1 各顶点距三边距离
【例1】如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90° ，AC=13，AB=5，O是AB上的点，以O为圆心， OB为半径作⊙O (1)当OB=2.5时，⊙O交AC于点D，求CD的长. (2)当OB=2.4时，AC与⊙O的位置关系如何?试证明你的结论.