9矩阵桁架例题解析
结构力学课后习题解答：9矩阵位移法习题解答.docx
第9章矩阵位移法习题解答习题9.1是非判断题（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。
（）（2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。
（）（3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。
（）（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。
（）（5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。
（）（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。
（）【解】（1）正确。
（2）错误。
位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。
（3）错误。
不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。
（4）正确。
（5）错误。
结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。
（6）错误。
二者只产生相同的结点位移。
习题9.2填空题（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的,其二是分析，其三是分析。
（2）已知某单元的定位向量为[3 5 6 7 8 9]七则单元刚度系数炫应叠加到结构刚度矩阵的元素中去。
（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是。
（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成矩阵和_________________ 列阵。
（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为4=[. V2 ft]T=[0.8 0.3 0.5]T,单元①的始、末端结点码为3、2,单元定位向量为尸＞=[0 0 0 3 4 5]T ,设单元与x轴之间的夹角为a =买，则2 尹＞ =O（6 ）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为F e =[7.5 -48 -70.9 -7.5 48 -121.09]T ,则该单元的轴力心=kN。
【解】（1）离散化，单元，整体；（2）灯8；（3）结点位移相等；（4）结构刚度，综合结点荷载；（5）[0 0 0 0.3 -0.8 0.5]。
（6）-7.5o离、空的值以及K ⑴中元素妍、愚、姒的值。
【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.3图所示。
第五章 桁架及组合布局习题解答
I
3m
3m
C
P
0 0
N CD
10 10
Nb
3 3
N
4 5
FE
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
用矩阵位移法计算桁架结构支座反力的简便方法
2012 年第 21 卷第 2 期 84 高等建筑教育
F HA = F VA = F WA =
∑ （ e） ∑ （ e） ∑ （ e）
± F N cosα － F Px ± F N cosβ － F Py ± F N cosγ － F Pz 。 （ a）
（ e） 珔 和末结点杆端力 F 它们与桁杆轴力 F N 的关系为 Nj ， （ e） （ e） 珔 珔 F = － FN ， F = FN Ni Nj
F VA 和 F WA 分别为支座 A 沿整体坐标 式中： F HA 、 x、 y 和 z 方向的支座反力； α 、 β 和 γ 分别是单元坐标 （ e） 珋 轴 x （ 图 1 中标于单元上的箭头为其方向 ） 相对于
（ e） （ e） 珋 对于 x 轴沿其他象限延伸的情况， 以及平面
珋 的方 现设始结点 i 连于支座 A， 单元坐标轴 x （ e） 珋 轴沿第一象限延伸 ） ， 向余弦均为正 （ 即 x 如图 2 （ a） 所示可得
式（ e） 亦均适用。 桁架支座反力的计算， 三、 桁架支座反力计算流程图和算例 （ 一） 桁架支座反力计算流程图
A simple solution of truss reactions with matrix displacement method
WANG Daquan， WEN Guozhi （ College of Civil Engineering，Chongqing University，Chongqing 400045 ，P． R． China） Abstract: A truss reactions often need to be solved after the structure is calculated by matrix displacement method． It is inconvenience that the rational solution based on the truss axial force needs to determine the sign of sum terms according to whether the beginning joint or the ending joint is connected to the support． But if the convention is changed to matrix displacement method， a new reaction formula based on elementend forces can be deduced and efficiently solve the deficiency， and then， can also decrease the complication in teaching and programming． Keywords: truss; reactions; matrix displacement method
有限元原理 结构矩阵分析(平面桁架 平面应力) 变分
第二章 结构矩阵分析由于有限元方法起源于力学中的结构分析，本章的作用是通过三个典型问题说明有限元方法应用于结构分析时的一般步骤，并借此了解有限元方法的一些基本概念。
§2-1平面桁架（直接法，结构矩阵分析中常用的力法，处理静定问题，位移法，可处理静定&静不定）本节讨论的对象是图2-1所示的平面桁架。
组成桁架的各杆为等截面直杆，外载荷p 直接作用于杆的铰接点（结点）上。
为简单起见不妨设各杆的截面积均为Ａ，材料的弹性模量均为Ｅ。
我们可按下述步骤求得桁架的变形和内力。
１、结构的离散化 对结点及单元编号取组成桁架的每根杆为一个单元(该问题本身为一离散结构的力学问题)，以①, ②, ③ 加以编号；取杆的铰接点为结点，以１、２、３加以编号（总体结点序号）。
如图２－２所示，即：我们所讨论的桁架包括三个单元、三个结点。
各单元（杆）仅在结点处连接。
２、建立总体坐标系 并确定结点坐标和自由度为了描述结构的平衡需要建立一个坐标系，称为总体坐标系，以区别于以后出现的“局部坐标系”。
总体坐标系的选择原则上不受限制，但希望使用方便。
本节所选的总体坐标系示于图２－２，坐标原点与结点１重合。
以u, v 分别表示沿 x, y 方向的位移分量， p, q 分别表示力沿 x, y 轴的力分量（投影）。
在总体坐标系中各结点的坐标为：它们将作为程序的输入数据（几何参数）。
每个结点有两个自由度，对结点１、２、３分别为图２－１x 图２－２（x 1, y 1）=(0, 0 )、（x 2, y 2）=(a, a )、（x 3,若暂时不考虑支承约束条件，整个结构的结点自由度为 ３、单元分析（建立结点力与结点位移之间的关系） 取一个一般性的单元，设它的两个结点在结构中的编号为i, j （单元内部的结点序号）。
由材料力学可知，杆的轴向刚度为EA/L 。
其中Ｌ为杆的长度：（１）单元局部坐标系现选取一典型单元对其进行单元分析，对所分析的单元按如下方式建立一个坐标系： 原点：与结点i 重合, x ’轴：沿 i ,j 方向, y ’轴：与x ’轴垂直。
第二章桁架梁问题
序号
EPSWAXL
EPINAXL
LEPTH
LEPTH
2
3
-
-
EPPLAXL
EPCRAXL SEPL SRAT HPRES EPEQ MFORX
LEPPL
LEPCR NLIN NLIN NLIN NLIN SMISC
1
1 1 2 3 4 1
-
-
FLUEN
TEMP
NMISC
LBFE
-
1
1
2
2
Name EL NODES MAT
应变
应力：
2.2 梁问题 2.2.1概述 桁架结构假设杆只考虑拉压力，不考虑弯曲，扭转力， 计算精度低，梁考虑了弯曲、扭转效应，计算精度和 适应范围比桁架高。 Beam3:二维单轴等截面梁,考虑拉压,弯曲力,不考虑扭 转力. Beam4:三维单轴等截面梁,考虑拉压,弯曲力,扭转力. Beam23:2表示塑性变形,3:Beam3 Beam24:2表示塑性变形,4:Beam4 Beam44:三维不对称锥形梁，受力后横截面不再假设为 平面。 Beam54:二维不对称锥形梁 Beam161:用于动力学分析
计算每个节点合力，合力应为0或外力，比如节点1处。 [( xk x1 ), ( yk y1 ), ( zk z1 )] E1,k A1,k l1,k l1,k k [( x1 xk )(u1 uk ) ( y1 yk )(v1 vk ) ( z1 zk )( w1 wk )] 0或F1外力 其中E1,k，A1,k，l1,k 为杆o1ok的弹性模量，截面积，长度。
位移计算结果
桁架杆的应力应变必须通过单元表显示。 步骤如下： （A）通过 by Sequence Number定义单元表输出 项 （B）选择单元表绘制显示计算结果
第九章 矩阵位移法例题
Cy
=
3 5
⎡ 192
[k](4) =
EA
⎢ ⎢
144
3000 ⎢−192
⎢⎣− 144
144 108 − 144 − 108
− 192 − 144 192 144
− 144⎤
− 108⎥⎥
144 ⎥
108
⎥ ⎦
贡献刚度矩阵
⎡192 144 0 0⎤
[K ](4) = EA ⎢⎢144 108 0 0⎥⎥
⎪⎪ ⎨ ⎪
40 0
⎪⎪ ⎬
=
⎪⎪ ⎨
⎪⎪
0 0
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎢0 − 3 − 6 0 3 − 6⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 60 ⎪ ⎪ 22.74 ⎪
⎢ ⎢⎣0 6
8
0
−6
⎥ 16 ⎥⎦
⎪⎪⎩ 12.033 ⎪⎪⎭
⎪⎪⎩− 40⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩−10.98⎪⎪⎭
{ } 单元（2）{δ }(2) = δ (2) = 1 {− 50.081 0 12.033 − 50.081 0 11.382}T EI
结点 4 荷载
荷载贡献
{P}= {0 0 0 20}T
总荷载向量
{P}= {−10 −13.33 13.33 10}T
解结构方程，求出位移向量
{∆} = 1 {− 50.081 −19.350 12.033 11.382}T
EI 求单元内力
{ } 单元（1）{δ }(1) = δ (1) = 1 {− 50.081 0 −19.350 − 50.081 0 12.033}T EI
⎢ ⎢⎣0 6
⎥ 8 0 − 6 16 ⎥⎦
⎪⎪⎩11.382⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩ 10 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩ 2.60 ⎪⎪⎭
桁架结构的建模与分析计算PPT课件
D4
C
a
a
a
a
nm F
先用截面m。
MC 0, 求出杆1的内力F1。
再用截面n。 M D 0, 求出杆2的内力F2。
Thank you for your attention!
Fx 0 F1 F3 F2 cos 600 0
F1
4 9
3P(压)2 F2来自 9 3P（拉）F3
3P 3
（拉）
截面法求解要点 假想用一截面截取出桁架的某一部分 作为研究对象，此时被截杆件的内力作为研究对象的外力， 可应用一般力系的平衡条件列平衡方程求出被截杆件的未 知内力。
焊接(φ12) 焊接(φ14) -369.702 -396.562 -642.960 -793.124 -916.218 -1007.482
第8杆件内力测量结果
铆接 -353.628 -707.256 -878.712
理论计算 -377.202 -754.404 -943.005
加载980N 加载1960N 加载2450N
应用相应的汇交力系的平衡条件列平衡方程求30cos60cos用截面mn分桁架为两部分取桁架左边部分截面法60sin假想用一截面截取出桁架的某一部分作为研究对象此时被截杆件的内力作为研究对象的外力可应用一般力系的平衡条件列平衡方程求出被截杆件的未知内力
桁架结构的建模与分析计算
一、引言 桁架结构
桁架是由若干直杆在两端通过焊接、铆接 所构成的几何形状不变的工程承载结构。
例16-1 已知:平面桁架节点E处受载荷P，各杆长度均为l； 求: 1、2、3杆受力。
解: 取整体,求支座约束力
由平面力系平衡条件列平衡方程
Fx 0 FAx 0
有限元原理 结构矩阵分析(平面桁架 平面应力) 变分
设平面桁架单元在总体坐标系中刚度矩阵的一般形式为
由（2-1-8），当单元结点位移为{1 0 0 0 }T时，在单元各结点上施加的力刚好为单元刚度矩阵中的第一列：{k11k21k31k41}T。对[k]的其他各列也可做出类似的解释。即单元刚度矩阵的每一列相当于一组特定位移下的结点力，如表2-1所示。由图2-4可以获得更为直观的理解。
它们将作为程序的输入数据（几何参数）。
每个结点有两个自由度，对结点１、２、３分别为
若暂时不考虑支承约束条件，整个结构的结点自由度为
3、单元分析（建立结点力与结点位移之间的关系）
取一个一般性的单元，设它的两个结点在结构中的编号为i, j（单元内部的结点序号）。由材料力学可知，杆的轴向刚度为EA/L。其中Ｌ为杆的长度：
单元结点自由度{u}＝{uiviujvj}T
结点给单元的力{r}＝{piqipjqj}T
在图2-3中，x’轴与x轴的夹角为α
结点的位移分量的坐标变换为
单元的位移分量的坐标变换为
或缩写为
类似，{r’}与{r}之间的转换关系为
由于
是正交矩阵，因此
也是正交矩阵。所以有
将（2-1-4）、（2-1-5）代入（2-1-2）有
为了描述结构的平衡需要建立一个坐标系，称为总体坐标系，以区别于以后出现的“局部坐标系”。总体坐标系的选择原则上不受限制，但希望使用方便。本节所选的总体坐标系示于图２－２，坐标原点与结点１重合。以u, v分别表示沿x, y方向的位移分量，p, q分别表示力沿x, y轴的力分量（投影）。
在总体坐标系中各结点的坐标为：
对结点１：
对结点２：
对结点３；
可以合并成
式（2-1-14）的右边为外载荷和支反力。左边则为单元给结点的力，它们是未知的，但可以借助单元刚度矩阵以结点位移来表示。
静定桁架结构内力分析典型例题(附详细解题过程)
静定桁架结构的内力分析——典型例题【例1】求如图1(a)所示桁架中所有杆件的轴力。
图1【解】（1）取截面Ⅰ-Ⅰ以右部分作研究，由有：，解得：从而有：（2）再依次由结点8、4、3、7、6、5、1的平衡条件，求得其它杆轴力，如图1(b)所示。
【例2】求如图2所示桁架中杆件a 、b 的轴力。
图2【解】经几何组成分析，此结构为三铰桁架。
（1）求支座反力取铰7右边部分为隔离体分析，由有：10M =∑89230x F d F d F d ⨯-⨯-⨯=892x F F=892)3N F F d ==拉力70M =∑22x y F F =由整体平衡条件有：从而有： ， 再分别由整体平衡条件、有：， （2）作截面Ⅰ-Ⅰ，取左边作为隔离体研究，由得：（3）作截面Ⅱ-Ⅱ，取右边作为隔离体研究，由有：，解得： 从而得：。
【例3】求如图3所示桁架中杆件a 、b 的轴力。
图3【解】经几何组成分析，此结构为主从结构，截面Ⅰ-Ⅰ左边为附属部分，右边为基本部分。
杆件58、78为零杆。
（1）作截面Ⅰ-Ⅰ，取左边作为隔离体研究，由得：10M =∑2224x y F d F d F d ⨯+⨯=⨯()223x F F =←()223y F F =↑0x F =∑0y F =∑()123x F F =→()113y F F =↑0y F =∑()13Na F F =-压力80M =∑222xb x y F d F d F d ⨯+⨯=⨯23xb F F =-()Nb F =压力0y F =∑()1V F F =↑由整体平衡条件得 ，由有 （2）作截面Ⅱ-Ⅱ，取右边作为隔离体研究研究 由有：，从而得： 由有：，从而得：【例4】求如图5-7所示桁架中杆件a 、b 的轴力。
图4【解】（1）取截面Ⅰ-Ⅰ以上部分为隔离体分析，由有：，从而得：（2）取截面Ⅱ-Ⅱ以左部分为隔离体，由有：，从而得：【例5】求如图5(a)所示桁架中杆件a 、b 的轴力。
机械优化设计之桁架优化问题及解答
优化设计是工程设计的一种重要的科学设计方法。
本文结合优化模型及优化方法对简单的桁架优化设计问题进行了分析。
如图所示，两杆桁架结构，40cm, =30cm, F=1.2 MN s b =。
两杆的许用应力均为2[]16,000 N/cm σ=，两杆的应力应满足12[]; []σσσσ≤≤。
杆的横截面形状不限，现欲寻求该结构的最轻重量设计。
假设两杆的截面积分别为11x A =，22x A =（2cm ），欲求最轻重量即求最小总体积。
结构的总体积为2122114050A A V x x l l +=+=（3cm ） 对节点处的受力分析图如下：1.2F =2F 1= 1.6F 2=求得两杆上的受力分别为2MN F 1=， 1.6MN F 2=，由应力条件][A F 111σσ≤=，][A F 222σσ≤=，得约束条件125][11=≥σF x ，100][22=≥σF x 。
故优化模型⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=≤+-=+=0100)(0125)(..4050),(min 22112121x x g x x g t s x x x x fsb(1)(2)F对优化模型绘出MATLAB 函数图像即可得到其设计空间，此即一线性规划问题，得到最优解为1251=x ，1002=x 时取得。
作Lagrange 函数：)100()125(4050),,,(2211212121-+-++=x x x x x x L λλλλ其KKT 条件为0)50(,0,0501111111=+=∂∂≥≤+=∂∂λλx x L x x x L 0)40(,0,0402222222=+=∂∂≥≤+=∂∂λλx x L x x x L 0)125(,0,01251111111=-=∂∂≥≥-=∂∂x x L x x L λλλ 0)100(,0,01002222222=-=∂∂≥≥-=∂∂x x L x x L λλλ 解得501-=λ，402-=λ，1251=x ，1002=x通过建模，KKT 条件分析及编程求解，得出桁架的最优设计：当（1）杆截面积1252cm ，（2）杆截面积1002cm 时的方案是最优的。
理论力学课件(桁架计算)
刚度矩阵法
总结词
通过建立刚度矩阵，将节点位移和杆件内力之间的关系进行数学描述，方便进行数值计 算。
详细描述
刚度矩阵法是理论力学中常用的方法之一，它通过建立刚度矩阵来描述节点位移和杆件 内力之间的关系。在桁架计算中，根据杆件的几何特性和材料属性，可以建立相应的刚 度矩阵。通过求解线性方程组，可以得到节点位移和杆件内力的数值解。这种方法适用
实例分析
以一个简单的组合结构为例，通过分 析其受力情况，可以计算出各结构形 式的内力和变形，从而判断结构的稳 定性和安全性。
谢谢聆听
于求解大型复杂结构的静力和动力问题。
桁架的应力与稳定性
05
应力计算
01
节点应力
根据力的平衡原理，计算节点处的应力，包括拉应力和 压应力。
02
杆件应力
根据杆件受力情况，采用截面法或能量法计算杆件内部 的应力分布。
03
应力分布规律
分析不同类型桁架的应力分布规律，如三角形、四边形 、多边形等。
稳定性分析
虚功原理
总结词
基于虚功原理，通过分析力和位移的关系，推导出节点位移和杆件内力的关系。
详细描述
虚功原理是理论力学中的基本原理之一，它指出在理想约束条件下，一个系统处于平衡状态时，任何一个虚位移 都不会对任何外力做功。在桁架计算中，利用虚功原理可以推导出节点位移和杆件内力的关系，为后续的位移计 算和内力分析提供基础。
02
截面法适用于任何形式的桁架，包括三角形、矩形、梯 形等。
03
在使用截面法时，需要特别注意截面的选择，因为不同 的截面会导致不同的结果。
节点法
节点法是通过分析节点之间的相 互作用力和外力，从而求出整个
桁架的内力。
9矩阵法_5
§9-6 忽略轴向变形时矩形 轴向变形 刚架的整体分析 单元定位向量 xT T0 1A 22{λ }1 = [1 {λ } = [120 2 1 0 3]3 C2 1 1 C1 1 4 03 D010 2 0 0 0]0 4 0 0 0]y{λ }3= [11 1 0 2 2 30 0B0 0T01 1 1 2 0 3 4 4 0 5 0 6 0 0 2 4 300 41 1 0 2 2 3 1 4 0 5 3 61 40 53 61 1 1 0 2 2 3 0 4 0 5 0 60 22 30 40 50 60 50 6k1k2k31 1 0 2 2 3 1 4 0 5 3 61 10 22 31 40 53 61 1 1 0 2 2 3 0 4 0 5 0 60 22 30 40 50 6 1 2 0 3 4 4 0 5 0 6 01 10 24 30 40 502 6k11 2k220 0 0 0k340 0 0 010 0 0 030 0 0 0[K]=3 4§9-7 桁架及组合结构的整体分析 一、桁架X1eX131u1e2u2X 2eY1X1 α⎡ EA ⎧ X1 ⎫ ⎢ l ⎨ ⎬ = ⎢ EA ⎩ X 2 ⎭ ⎢− ⎣ lEA ⎤ − l ⎥ ⎧u1 ⎫ EA ⎥ ⎨u2 ⎬ ⎥⎩ ⎭ l ⎦eye ⎡ ⎡ 1cos α− 1 0 ⎧ X1 ⎫ ⎢ ⎪ e ⎪ EA ⎢ ⎢ α sinα cos 0 0 Y1 = [⎪ ] ⎪ = EA ⎢ 0 2 k ⋅ ⎨ ⎬ l ⎢ − cos α l ⎢− 1 0 1 ⎪X 2 ⎪ ⎢⎢ ⎪ Y2 ⎪ ⎩ ⎭ ⎢− cosα sinα ⎣⎣ 0 0 02Y2⎧ X1 ⎫ ⎪Y ⎪ {F }e= ⎪ 1 ⎪ ⎨ ⎬ X2 ⎪X2 ⎪ xT e X2 e [ k] = [T ] ⎡k ⎤ [T ] ⎪ Y2 ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭x⎧ u1 ⎫ ⎪v ⎪ e ⎪ 1⎪ {Δ} = ⎨ ⎬ ⎪u2 ⎪ ⎪ v2 ⎪ ⎩ ⎭e− cos α − cosα sinα ⎤ 0 2 0 ⎥⎤ 0⎤ ⎧u1 ⎫ 2 ⎡ cos α sin α − sin α 0 ⎥ ⎥ ⎪ ⎢ −− cosα sinα 0⎥ ⎪ vsin α sin α cos α 0 ⎥ ⎪ 1 ⎪ [T ] = ⎢ ⎥ 2 ⎬ ⎨cosα sinα cosα sin ⎥ ⎥⎪ 0− u 2 ⎪ cos α sinα α ⎥ ⎢ 0 cos α 0 ⎥⎥ ⎥ ⎪ 0⎦ ⎪v2 sin2 α ⎢ cosα sin0 − sin α2 α α ⎦ 0 cos ⎥ ⎩− ⎭ α sin ⎣ ⎦2cosα sinα e例：试用后处理法计算图示桁架各杆内力，设各杆EA为常数。
工程力学--平面一般力系 之专题《物系的平衡、桁架实例及分析》
例6：各杆自重不计，F＝40kN，求 ABC在A、B、C三处所受的力。
提示：先分析杆DEF，此时，杆CD和BE 均可以视为二力杆。
平面一般力系平衡条件应用(三) -------桁架
建筑用塔吊
吊臂的杆与节点
电 线
塔
电线塔的杆与节点
某建筑物门楼顶棚的桁架结构
某建筑物门楼顶棚的桁架结构的杆与节点
取D节点为研究对象，进行受力分析，并假设受力，得 平衡方程：
X 0
' S5 S 2 0
' 代入S2 S2后
解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
' 10 kN, 解得S 3
恰与 S 3相等,计算准确无误。
X 0 Y 0
q
YD D E XD NE
可以考虑1)先研究DE，在此基础上再取AD为 研究对象或者取整体为研究对象；2)取DE和AD为 研究对象，或者取DE和整体为研究对象，联立求 解。
例2：求图示结构中A、D、 E三处的约束反力
M XD YD XE YE
杆DEF的受力图。因为无法预 先确定D、E处的受力方向，所以不 能利用“力偶只能被力偶平衡”的 结论。所以不宜先取DEF为研究对 象
X A 0 Y A 1000 ( N ) N 1000 ( N ) B
S1 A
30°
S2 YA
再，取铰A为研究对象，进 行受力分析，并假设受力， 得平衡方程：
X S1 cos 30 S2 0 Y S1 sin 30 Y A 0
F
A C B D
q
E
a
a
9矩阵桁架例题
x M2 v2 Fx2
v1
Fx1 u1 Fy1
θ2
u2
Fy1
（１）、轴向位移与轴向力 Fex1 1 2 2’ 1’
EA
e l
u1e
e = EA/l k 11 1 1’
u2e
F ex2
e = -EA/l k 2 21
1
e = - EA/l k 12 1
EA l
2
EA l
e = EA/l k 2’ 22
二、需讨论的问题：
• 1、单元分析，在矩阵位移法中取何 种单元，并找出各单元的杆端位移和杆 端力之间的关系。 • 2、整体分析，如何由单元分析直接 集成整体分析。 • 3、建立结构的刚度方程，求解并找 出各杆端内力。
§10-2、单元刚度矩阵（局部坐标系）
• 单元分析的主要任务：研究单元杆端 位移与杆端力之间的关系。 • 推导方法：根据变形与力之间的物理 关系，采用矩阵形式。
eT
用{Δ}e代表单元 e 的杆端位移列向量:
{} (1) (2) (3) (4) (5) (6)
e 1
u
eT
v1 1 u 2 v 2 2
eT
( 10-1）
3、局部坐标中等截面直杆单元的单元刚度方程
• •
•
推导过程如位移法，注意几点：
①、重新规定正负号；②、采用矩阵形式。
e
u1 v1 1 u 2 v2 2
e
（ 10-4 ）
式（12-4）可简写为 :
{ F }e = [ k ] e { Δ } e ( 10-5)
EA EA 0 0 0 0 l l 令： 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI 0 0 3 3 2 2 l l l l 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI 0 0 2 2 e l l l l [k ] EA EA 0 0 0 0 l l 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI 0 3 2 0 2 3 l l l l 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI 0 2 0 2 l l l l
桁架求解的几种方法
静定平面桁架 本章内容 桁架的特点及分类，结点法、截面法及其联合应用， 对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组合结构的 计算。 目的要求 1. 了解桁架的受力特点及其分类。 2. 熟练运用结点法和截面法计算桁架内力。 3. 掌握组合结构的计算方法。
NAE
§5-3 截面法
用截面法计算内力时，由于隔离体上所作用的力为平 面一般力系，故可建立三个平衡方程。若隔离体上的未知 力数目不超过三个，则可将它们全部求出，否则需利用解 联立方程的方法才能求出所有未知力。为此，可适当选取 矩心及投影轴，利用力矩法和投影法，尽可能使建立的平 衡方程只包含一个未知力，以避免解联立方程。 例5-2 用截面法计算图5-8(a)所示桁架中a、b、c、d 各 杆的内力。 解： 1.求支座反力。
故知反力计算无误。 2.计算a杆内力。 (1) 作Ⅰ-Ⅰ截面，取左部分为
FA=40kN
a A G III 20kN II H III 20kN I 20kN
6x3m =18m F B= 20kN
C
隔离体，由ΣMF=0，得： F ×4-20×3-40×3 = 0，
图5-12
4m
B
(2) 取结点H为隔离体，由ΣFx = 0， 得：FNGH =FNHC = 45 kN (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，仍取左部分为隔离体，由ΣMF = 0，得 FNa×3/ 13 ×4+45×4-40×3 = 0， FNa = -513 = -18.0 kN 在该题中，若取截面Ⅲ-Ⅲ所截取的一部分为隔离体(图 5-12)，由于ED杆为零，FNED = 0。 由平衡方程ΣMC = 0，可得 FNa×2/ 13 ×3+FNa×3/ ×2+20×3法计算更简单。
zAAA4-1109 平面桁架结构的矩阵位移
0
0
1
0(e)
u1
(e)
0 1 0
0
0 0
v1 u2 v2
……(4-3)
称为单元杆端力列阵
平面桁架单元在局部坐标系中的单元刚 度矩阵
1 0 1 0(e) ……(4-4)
[k ](e)
EA
0
0
0
0 平面桁架单元在局部坐标系
l 1 0 1 0 中的单元刚度矩阵
0
0
0
0
{F}(e) [k](e){}(e)
cos2 sincos cos2 sincos
[k](e)E lAsi nc oc so 2 s
sin2 sincos sincos cos2
sin2
sincos
sincos sin2 sincos
sin2
……(4-14)
3、轴力单元刚度矩阵的性质： 单元刚度矩阵一定是对称矩阵（根据反力互等定理）。
其结点位移列阵为
§4.2轴力单元分析
• 4.2.1局部坐标系中的轴力单元刚度矩阵 1、局部坐标系中杆端力和杆端位移
2、局部坐标系中单元刚度矩阵
• 根据虎克定律（见$2.4拉压虎克定律），杆件的伸长量与
杆件所受的轴力之间有如下关系
l (u2 u1) FNl EA
EA EA
Fx1FN l
sin
0
0
sin cos
0 0
0
0 Fx1(e)
0
cos sin
csoin0sFFFxyy212
杆整 端体 力座 向标 量系
下 单 元
局部座标系下单 元杆端力向量
单元坐标转换矩阵
{}(e) [T]{}(e)
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x M2 v2 Fx2
v1
Fx1 u1 Fy1
θ2
u2
Fy1
（１）、轴向位移与轴向力 Fex1 1 2 2’ 1’
EA
e l
u1e
e = EA/l k 11 1 1’
u2e
F ex2
e = -EA/l k 2 21
1
e = - EA/l k 12 1
EA l
2
EA l
e = EA/l k 2’ 22
e
l2
12EI l3
6EI
l2
l3
2EI 2EI
4EI
4EI
l
l
l
6EI l2
e
l
-6EI l2
v2e=1
12EI e 6EI θ e e Fy 1 = 3 v 1+ 2 1 l l M1
e=
6EI e 4EI θ e v + 1 1 2 l l
12EI e 6EI e θ2 v + l3 2 l2 6EI e 2EI e θ2 v + l2 2 l
12EI 12EI 6EI 6EI θ e e e e e θ + Fy 2 = v v 1 1 l3 l2 l3 2 l2 2 M2
e=
6EI e 2EI θ e v 1+ 1 2 l l
6EI e 4EI e θ2 v + 2 2 l l
( 10-3 )
由此可得：
F x1
e=
EA
12EI 6EI e θ1 F ye1 = v e1+ v e2+ l3 l2 l3 6EI 6EI 4EI e θ1 M e1 = v e1+ v e2+ l2 l l2 EA e e F x2 = （u e1 + u 2 ） l 12EI 12EI 6EI e θ1+ F ye2 = v e1 v e2 l3 l2 l3
第 十 章
矩阵位移法
§10-1、概述
• 一、结构矩阵分析方法要点 • 结构矩阵分析方法是电子计算机计 算技术进入结构分析领域后，产生的一 种结构计算方法。 • 结构矩阵分析方法与传统的结构分 析方法原理上完全一致。但由于计算工 具不同，作法上有所差异。
• 传统人工手算： • • 电子计算机计算： • • • • •
• • 根据单元分析（杆件）与整体（结构）分析 的不同需要，采用两种直角坐标系。
1
局部坐标系以杆轴为x轴，“ 1”为始端， “ 2 ”为终端。1 2为正方向。 • 局部坐标系下所有量值的正负号规定：杆端 位移和杆端力分量与局部坐标方向一致为正。 x e x e
1
y
EA , EI, l
EA , EI, l 2
速度低，精度差。 忌繁重的计算工作量。 速度快，精度高。 忌无规律可循。
学习结构矩阵分析，先修课为： 1、结构力学 （理论基础） 2、线性代数矩阵运算 （建模工具） 3、电算语言 （机算方法）
•
矩阵分析方法的理论基础是传统结 构力学，说明结构矩阵方法与传统结构 力学同源。由于形成的年代和条件不同， 引来了方法上的差异。因此，学习中我 们应该注意，两种方法的共同点和结构 矩阵方法新的着眼点（矩阵符号的运用、 坐标的引入、未知量的判断与单元类型 的关系、刚度集成的概念等）。 • 矩阵运算用简洁的符号代替传统的 运算表达式，公式单一、紧凑、统一， 便于计算机计算程序的自动化运算。
一、单元的划分
• 杆系结构中，任何相邻两个结点之间的杆段 都是一个杆件单元，一般采用等截面直杆单元。 • 结点：
•
构造结点：杆件折转点，交汇点，支承点，自由
端，截面突变处等。 • 非构造结点：集中荷载作用点；曲线杆件计算时， 可将一个曲杆视为由许多折杆组成，其人为设定折点 处。
2、局部坐标系（单元坐标系、杆件坐标系）
2
y
1
EA , EI
e
2 M2 v2
x
M1
Fy1 u1
l θ1 θ2
v1
Fx1
u2
Fx2 Fy1
y
用{F}e代表单元 e 的杆端力列向量:
{F } F (1) F (2) F (3) F (4) F (5) F (6)
e
eT
= ( F x1 F y1 M 1 F x 2 F y 2 M 2 )
1
EA e） e u （ Fx1 u1 2 l EA e e） Fx2 = + u （u e 1 2 l
e=
(10-2)
（2）、横向位移、转角位移与杆端力
6EI v1e=1 -6EI l2 -12EI -6EI l2
e
12EI l3 θ1e=1 e 6EI l2 -6EI l2 -12EI l3
eT
用{Δ}e代表单元 e 的杆端位移列向量:
{} (1) (2) (3) (4) (5) (6)
e 1
u
eT
v1 1 u 2 v 2 2
eT
( 10-1）
3、局部坐标中等截面直杆单元的单元刚度方程
• •
•
推导过程如位移法，注意几点：
①、重新规定正负号；②、采用矩阵形式。
结构矩阵分析方法又称为：杆件 有限单元法；计算结构力学。包括： • 矩阵力法（柔度法），以力法为 基础。 • 矩阵位移法（刚度法），以位移 法为基础。 • 矩阵混合法，以混合法为基础。
•
矩阵位移法方法要点：
• （1）、离散化（单元分析）：先把 结构整体拆开，分成若干有限数目的单 元体，进行单元分析。找出单元杆端力 与杆端位移的关系，建立单元刚度方程。 • （2）、集合（整体分析）：利用静 力平衡条件和变形协调条件，将各离散 单元在结点上相互连接起来。使结点上 的受力变形情况与原结构完全相同，进 行整体分析。建立整体刚度方程。
等截面直杆单元，在变形过程中，考虑弯曲变 形和轴向变形的影响。因此，在左右两端各有三 个独立的位移分量（两个线位移，一个角位移）。 杆件共有六个杆端位移分量，相应的有六个杆端 力分量。 单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端 力时所建立的方程 —— 记为“ Δ → F ”方程。
Байду номын сангаас
e 1 M1
θ1
2
二、需讨论的问题：
• 1、单元分析，在矩阵位移法中取何 种单元，并找出各单元的杆端位移和杆 端力之间的关系。 • 2、整体分析，如何由单元分析直接 集成整体分析。 • 3、建立结构的刚度方程，求解并找 出各杆端内力。
§10-2、单元刚度矩阵（局部坐标系）
• 单元分析的主要任务：研究单元杆端 位移与杆端力之间的关系。 • 推导方法：根据变形与力之间的物理 关系，采用矩阵形式。
计算过程示意：
•
• • • •
由于位移法有其自身的优点,易于实现计 算过程的程序化,目前在工程界应用广泛。 故在此只介绍矩阵位移法。 矩阵位移法与传统位移法力学概念完全 一致。其中： 基本未知量：结构的独立结点位移。 基本体系：加上人为约束的动定结构。 基本方程：根据结点（或截面）平衡条 件和变形协调条件建立的刚度方程。