江苏省南京市金陵中学高二数学等差数列练习试题 百度文库
等差数列题型练习题高二
等差数列题型练习题高二
1. 求等差数列的公差和通项公式：
等差数列是指数列中的每两个相邻数之差都相等的数列。
设等差数
列的首项为a，公差为d，则其通项公式为：
第n项的值 ( AN ) = a + (n - 1)d
公差的计算公式为：
d = (AN - a) / (n - 1)
2. 求等差数列的前n项和：
等差数列的前n项和可以使用以下公式求解：
Sn = (n/2)(a + AN)
其中，Sn表示等差数列的前n项和，a表示首项，AN表示第n项。
例题1：已知等差数列的首项为3，公差为5，求第10项的值。
解：首先利用通项公式来计算第10项的值：
AN = a + (n - 1)d
AN = 3 + (10 - 1) * 5
AN = 3 + 9 * 5
AN = 3 + 45
AN = 48
所以第10项的值为48。
例题2：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该等差数列的前5
项和。
解：利用前n项和的公式来计算：
Sn = (n/2)(a + AN)
Sn = (5/2)(2 + 2 + (5 - 1) * 3)/2)
Sn = (5/2)(4 + 12)/2)
Sn = (5/2)(16/2)
Sn = (5/2)(8)
Sn = 20
所以该等差数列的前5项和为20。
小结：
在求解等差数列题目时，我们需要明确已知条件，使用等差数列的
公式进行计算。
首先可以利用通项公式求出指定项的值，其次可以运
用前n项和的公式来求解前n项的和。
熟练掌握等差数列的计算方法，可以帮助我们更好地解决数学题目。
等差数列练习题高二
等差数列练习题高二在高中数学学习中，数列是一个重要的概念，而等差数列更是其中的基础和常见类型之一。
通过掌握等差数列的性质和解题技巧，不仅可以提高数学能力，还能够培养逻辑思维和解决问题的能力。
本文将围绕等差数列展开练习题，供高二学生巩固和拓展自己的知识。
题一：已知等差数列的首项为2，公差为3，前n项和为S。
1）求该数列的第n项；2）当S=50时，求n的值。
解析：1）根据等差数列的性质，第n项可以用通项公式an=a1+(n-1)d表示。
首项a1=2，公差d=3，代入公式得到an=2+(n-1)×3。
简化后可得an=3n-1。
2）前n项和公式Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，代入已知的a1=2、d=3和Sn=50，得到方程50=n/2*[2×2+(n-1)×3]。
化简方程求解，最终得到n=7。
题二：已知数列an的首项为3，公差为4，已知数列的前n项和为Sn，若Sn=120，求n的值。
解析：根据题意已知a1=3、d=4和Sn=120，代入前n项和公式Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，即120=n/2*[2×3+(n-1)×4]。
化简方程求解，可得到n=6。
题三：已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，根据已知条件回答以下问题：1）当a=2，d=5，n=10时，求Sn的值；2）当Sn=200，d=3，n=20时，求a的值；3）当a=1，Sn=100，n=8时，求d的值。
解析：1）代入Sn=n/2*[2a+(n-1)d]，得到Sn=10/2*[2×2+(10-1)×5]，化简可得Sn=45。
2）代入Sn=n/2*[2a+(n-1)d]，得到200=20/2*[2a+(20-1)×3]，化简可得a=4。
3）代入Sn=n/2*[2a+(n-1)d]，得到100=8/2*[2×1+(8-1)d]，化简可得d=6。
高二数学等差数列练习试题百度文库(1)
一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-44．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．356．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11127．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．278B ．52C ．3D ．49．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．1410．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．4511．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S 13．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（ ） A ．9B ．5C ．1D ．5914．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<15．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+D ．1111p q m nS S S S +>+ 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．317．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24018．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，则10a 等于（ ） A ．10BC ．64D ．419．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=20．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．43C ．4D ．4-二、多选题21．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =23．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >24．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值25．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <26．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列27．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为2129．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得． 【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=，故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 3．A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.4．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 5．D 【分析】设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D 6．C 【分析】 首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 7．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 8．A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=， 所以11298a d a d +=+， 即1a d =-，所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选：A 9．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 10．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 11．D【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 13．B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B 14．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 15．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 16．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++， ()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确.故选：D17．B【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解.【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==，解得88a =，所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B18．D【分析】利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值.【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，由于11a =，22a =，则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=， 所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .故选：D.19．B【分析】 由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项.【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=，由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=.故选：B.20．C【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差.【详解】解：()11111611111322a a S a +⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ．二、多选题21．AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈. 22．BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =， 所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n n S na d n ---=+=-+=， 故选：BC23．ABD【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确；所以6S 最大，故B 正确；所以()113137131302a a S a +⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a +⨯==>，故D 正确. 故选：ABD.24．BD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.25．AD【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误.【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列，∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=, 这在已知条件中是没有的，故C 错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.26．BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.27．AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确，134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确， 故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.28．BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对； 由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭*n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．29．ABD【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】 )211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.30．CD【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=， ∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD.【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二年级上册学期12月阶段检测数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二上学期12月阶段检测数学试题一、单选题1．是等差数列，，，的第（ ）项．401-5-9-13-⋯A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】C【分析】等差数列，，中，，，由此求出，令5-9-13-⋯15a =-9(5)4d =---=-41n a n =--，得到是这个数列的第100项．40141n -=--401-【详解】解：等差数列，，中，，5-9-13-⋯15a =-9(5)4d =---=-5(1)(4)41n a n n ∴=-+-⨯-=--令，得40141n -=--100n =是这个数列的第100项．401∴-故选：C ．2．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．)(12nn a n=-)(112n n a n+=-)(12nnn a =-)(112n nn a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案．【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，，11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为，1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 3．在等差数列 中，若，则等于{}*()∈n a n N 45627a a a ++=19a a +A ．9B ．27C ．18D ．54【答案】C 【详解】,4565327a a a a ++==解得，59a =则，故选C.195218a a a +==【解析】等差数列的性质——等差中项.4．等比数列为递减数列，若，，则（ ）{}n a 7146a a ⋅=4175a a +=518a a =A ．B ．C ．D ．6322316【答案】A 【解析】，可得与为方程的两个根，又，解得，7144176a a a a ⋅=⋅=4a 17a 2560x x -+=1n n a a +>4a ，再利用通项公式即可得出.17a 【详解】∵等比数列为递减数列，，，{}n a 7146a a ⋅=4175a a +=∴与为方程的两个根，4a 17a 2560x x -+=解得，或，，42a =173a =43a =172a =∵，∴，，1n n a a +>43a =172a =∴，1317423a q a ==则，51318132a a q==故选:A.5．已知为等比数列的前n 项和，若，，则（ ）n S {}n a 5312a a -=6424a a -=44S a =A ．15B ．C ．D ．14-158158-【答案】C【分析】两式联立，可求出首项和公比，代入求解即可.【详解】设公比为q ，显然，由已知得，，{}n a 1q ≠53641224a a a a -=⎧⎨-=⎩所以，故，即，64532a a q a a -==-531141612a a a a -==-11a =所以，()41434111518a q S qa a q --==故选：C.6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，{}n a {}n b 794π3a a +=26108b b b =（ ）3813481a a a b b ++=-A ．B ．C ．D ．π4π3π22π3【答案】D【分析】根据等差数列，等比数列的性质化简计算即得.【详解】因为数列是等差数列，，{}n a 79824π3a a a +==所以，，82π3a =3813832πa a a a =+=+因为数列是等比数列，，{}n b 2610368b b b b ==所以，，62b =26483141b b b =-==-所以.3813482π13a a a b b ++=-故选：D.7．设等差数列，的前n 项和分别是，，若，则（ ）{}n a {}n b n S n T 237n n S nT n =+65a b =A ．B ．651117C ．D ．31114【答案】B【分析】先由等差数列的前项和公式设出，，再按照直接计算即可.n n S n T 665554a S S b T T -=-【详解】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则n 2An Bn +2(2)2n S kn n kn =⋅=，故.2(37)37n T kn n kn kn =⋅+=+66555423622511325753167417a S S k k b T T k k k k -⨯-⨯===-⨯+⨯-⨯-⨯故选：B.8．已知数列（其中第一项是，接下来的{}2223333333441123123456712:,,,,,,,,,,,,2222222222222n a 112项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，221-222123,,222321-33333331234567,,,,,,2222222n n S 下列判断：①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等1010212-{}n a 2036M M n S <20191018S =式的正整数的最小值是.1019n S >n 2100其中正确的序号是A ．①③B ．①④C ．①③④D ．②③④【答案】B 【分析】找出数列的规律：分母为的项有项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，{}n a 2k 21k -使得第有项，每项的分母均为，并计算出每行各项之和，并计算出数列的前项k 21k -2k k b {}k b k 和，结合这些规律来判断各题的正误．k T 【详解】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉{}n a 2k 21k -{}n a 三角数阵，且使得第行每项的分母为，该行有项，如下所示：k 2k21k -122233333331212322212345672222222 对于命题①，位于数阵第行最后一项，对应于数列的项数为1010212-10{}n a ，命题①正确；()()()()10121021221212110203612--+-++-=-=- 对于命题②，数阵中第行各项之和为，则，k k b ()12121222122k kk k k k b ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭==且数列的前项之和为{}k b k ，()121212212121221222222k k k k kk T +--------=+++==当时，，因此，不存在正数，使得，命题②错误；k →+∞k T →+∞M n S M <对于命题③，易知第行最后一项位于数列的项数为9{}n a ，()()()()91292122121219101312--+-++-=-=- 第行最后一项位于数列的项数为，且，10{}n a 2036101320192036<<则位于数阵第行第项（即），2019a 101006201910131006-=所以，101010201991010101100610061210062922222222S T ⎛⎫⨯+ ⎪--⎝⎭=++++=+=，命题③错误；1110235031007101822⨯=+≠由①知，，且，11203610210210182S T --===121121124083101922T --==>则恰好满足的项位于第行，假设位于第项，1019n S >n a 11m 则有，可得出，()1011111112112101810192222m m mT +++++=+> ()14096m m +>由于，，则，，64634032⨯=64654160⨯=636440966465⨯<<⨯64m ∴=因此，满足的最小正整数，命题④正确．1019n S >2036642100n =+=故选B.【点睛】本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合性较强，属于难题．二、多选题9．已知数列{an }为等差数列，其前n 项和为Sn ，且2a 1+4a 3＝S 7，则以下结论正确的有（ ）A ．a 14＝0B ．S 14最小C ．S 11＝S 16D ．S 27＝0【答案】ACD【分析】根据题意，由2a 1+4a 3＝S 7，可得a 14＝0，然后逐项分析即可得解.【详解】因为数列{an }为等差数列，设其等差为d ，由于2a 1+4a 3＝S 7，即6a 1+8d ＝7a 1+21d ，即a 1+13d ＝a 14＝0，故A 正确；当时，Sn 没有最小值，故B 错误；0d <因为S 16﹣S 11＝a 12+a 13+a 14+a 15+a 16＝5a 14＝0，所以S 11＝S 16，故C 正确；S 27＝＝27（a 1+13d ）＝27a 14＝0，故D 正确.12727()2a a +故选：ACD .10．各项均为正数的等比数列的前n 项积为，若，公比，下列命题正确的是{}n a nT11a >1q ≠（ ）A ．若，则必有是中最小的项B ．若，则必有59T T =7T n T 59T T =141T =C ．若，则必有D ．若，则必有67T T >78T T >67T T >56T T >【答案】BC【分析】根据给定条件，结合等比数列的性质，利用计算判断A ，B ；利用推理判断59T T =67T T >C ，D 作答.【详解】正项等比数列的前n 项积为，，公比，{}n a nT11a >1q ≠当时，，而，则，即，而，有，数列59T T =67891a a a a =6978a a a a =781a a =21311a q =11a >01q <<单调递减，{}n a 因此数列前7项均大于1，从第8项起均小于1，必有是中最大的项，A 不正确；{}n a 7T nT由选项A 知，，B 正确；711421331241151069784817()1T a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅==⋅当时，，而，则，数列单调递减，，有67T T >6171a q a =<11a >01q <<{}n a 8701a a <<<，C 正确；8877T a T T =<因，由C 选项知，，数列单调递减，而与1的大小关系不确定，D 不正确.665T a T =01q <<{}n a 6a 故选：BC 11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（ ）{}n a n n S A ．若，则数列前5项的和最大211n a n =-+{}n a B ．设是等差数列的前项和，若，则n S {}n a n 4815SS =816522S S =C ．已知，则使得成等比数列的充要条件为55a c =+=-,,a b c 1b =D ．若为等差数列，且，，则当时，的最大值为2022{}n a 10110a <101110120a a +>0n S <n 【答案】AB【分析】对A ，可以采用临界法得到和的最大值；对B ，运用等差数列的和的性质易判断；对C ，等比中项的个数一般是2个；对D ，可以采用基本量法计算即可.【详解】A ：由通项公式知：数列是严格递减数列，又1234560...a a a a a a >>>>>>>所以数列前5项的和最大，A 对；{}n a B ：在等差数列中，成等差，{}n a 4841281612,,,S S S S S S S ---48481,5,5S S S S =∴=又，84412841241242()8412S S S S S S S S S S -=+-⇒=-⇒=12884161241641642()14822S S S S S S S S S S S -=-+-⇒=-⇒=B对；8165,22S S ∴=C ：成等比数列，所以不是充要条件，C 错；,,a b c 2,1,b ac b ∴=∴==±D ：为等差数列, ，{}n a 10110a <10111012101110120,0a a a a +>∴<<，所以D 错，1202210111012202220222022022a a a aS ++∴=⨯=⨯>故选：AB12．若数列满足，则称数列为斐波那契数列，斐波{}n a ()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈{}n a 那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ）A ．12321n n a a a a a +++++=- B ．202020202021S a a =+C ．135********a a a a a ++++= D ．24620202021a a a a a ++++> 【答案】AC【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断.【详解】A 选项，，.累加得，，12n n n a a a --=+ 31242311n n n a a a a a a a a a +--=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩12123n n n a a a a a a a ++--=+++ 即.又，所以，A 正确；2212n na a a a a +-=+++ 21a =12321n n a a a a a +++++=-B 选项，由A 选项可知，故，B 不正确；21n n S a +=-202020202020122211a S a a =-=-+C 选项，，.12n n n a a a --=+ 423645202220202021a a a a a a a a a -=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩累加得，，20222352021a a a a a -=+++ 所以，C 正确；21135202120222022202211a a a a a a a a a -+=-+=++++= D 选项，由C 选项中同理可知，，D 不正确.31532021201920211202246202012021()1a a a a a a a a a a a a a a =-+-++-=-=-+<+++ 故选：AC.三、填空题13．在数列中，若，，则________．{}n a 11a =1133n na a +=+n a =【答案】32n -【分析】根据题干递推关系可知数列为等差数列，由等差数列通项公式求出.{}n a n a 【详解】因为，即，1133n na a +=+13n n a a +-=所以数列是公差为的等差数列，{}n a 3又，11a =所以.()13132n a n n =+-=-故答案为：.32n -【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数17之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.【答案】556【解析】利用和表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得结果.1a d 【详解】设个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为5{}n a d则， ，解得：()3451217a a a a a ++=+5100S =()111139275451002a d a d a d ⎧⨯+=+⎪⎪∴⎨⨯⎪+=⎪⎩153556a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为：556【点睛】本题考查等差数列的实际应用问题，关键是能够利用首项和公差表示出已知的等量关系.15．若数列满足，，，则的值为__________．{}n a 12a =23a =()*21n n n a a a n +++=∈N 2021a 【答案】3-【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定.2021a 【详解】解：，则，132a a a +=3211a a a =-=，则，243a a a +=4322a a a =-=-，则，354a a a +=5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=，8763a a a =-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴数列为周期数列，且周期，{}n a 6T =又，∴．202163365=⨯+202153a a ==-故答案为：-3.16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上312述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又1421→→→称“角谷猜想”等).如取正整数，根据上述运算法则得出，6m =63105168421→→→→→→→→至少需经过个步骤变成(简称为步“雹程”).一般地，一个正整数首次变成需经过个步骤(简818m 1n 称为步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推，关系如下：已知数列满足为正整数)，n {}n a 1(a m m =，若，即步“雹程”对应的的所有可能取值的中位数为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时101a =9m __________.【答案】82【分析】由结合递推公式逆推，逐步计算可得的可能取值，再将的取值按从小到大的顺101a =m m 序排列，由中位数的定义可得中位数.【详解】因为，，101a =1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时倒推可得：；1248163264128256512←←←←←←←←←；124816326412825685←←←←←←←←←；1248163264214284←←←←←←←←←；124816*********←←←←←←←←←；124816*********←←←←←←←←←；1248165103612←←←←←←←←←故的所有可能取值为，中位数为，m 12,13,80,84,85,5128084822+=故答案为：.82四、解答题17．（1）在等差数列中，公差，前项和，求及；{}n a 13,22n d a ==n 152n S =-1a n （2）在等比数列中，已知公比，前5项和，求.{}n a 12q =5318S =15,a a 【答案】（1），；（2），.13a =-10n =12a =518a =【分析】（1）运用基本量法表示出联立方程解方程组可求出；,n n a S （2）将用基本量可以求出首项，然后代入通项公式可得的值.5318S =5a 【详解】（1）由题意得()()()113152122131222a n a n ⎧+⎪⨯=-⎪⎨⎪+-⨯=⎪⎩由得.代入后化简得()21122a n =-+()127300n n --=解得或（舍去），从而.10n =3n =-13a =-（2）由，解得，所以.515112311812a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-12a =45118a a q ==18．已知数列的前n 项和为，且满足{}n a n S ()*1N +=∈n n a S n (1)证明：数列是等比数列；{}n a (2)求的值．1100S a 【答案】(1)证明见解析；(2)1023【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；（2）根据等比数列的性质求得、，进而求得比值．10S 10a 【详解】（1）证明：由①得()*1N +=∈n n a S n ②，111n n a S +++=②①得-，12n n a a +=即，112n na a +=当时，，1n =121a =解得，112a =是以为首项，为公比的等比数列．{}n a ∴1212（2）解：由（1）知，9101011122⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ，10101011122111212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--S．101010101011221102312-∴==-=S a 19．设等差数列的公差为，前项和为，已知，，.{}n a d n n S 17a =-4n S S ≥d Z ∈（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）令，求数列的前项和.n n b a ={}n b n n T 【答案】（1）；（2）.29n a n =-()228,4*832,5n n n n T n N n n n ⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩【分析】（1）利用基本量代换，求出公差d ，写出通项公式；（2）对的正负讨论，求出的前项和..n a {}n b n n T 【详解】（1）因为，所以即4n S S ≥450,0,a a ≤⎧⎨≥⎩370,470,d d -≤⎧⎨-≥⎩解得，又，所以..7743d ≤≤d Z ∈2d =()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-（2）因为，29n n b a n ==-当时，，则，4n ≤0n a <n n n b a a ==-；()272982n n n n T S n n -+-=-=-=-+当时，，则，5n ≥0n a >n n n b a a ==.()22428216832n n T S S n n n n =-=--⨯-=-+综上所述：.()228,4*832,5n n n n T n N n n n ⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求n S n a 通项公式；（2）数列求和常用方法：①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．20．设数列的前项和为，已知，.{}n a n n S 11a =()12n n na n S +=+(1)证明：数列是等比数列；n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)求与.n S n a 【答案】(1)证明见解析(2)，()212n n a n -=+⋅12-=+n n S n 【分析】（1）利用进行整理原式，可得，即可证明为等比数列；11n n n S S a ++-=121n n S S n n +=⨯+n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）根据（1）的结论即可求，再利用即可得到.n S ()12n n n S S a n --=≥n a 【详解】（1）因为，()12n n na n S +=+所以，12n n n a S n ++=则()11121221n nn n n n n n S S n S S S S S n n n n +++++-=⇒=⇒=⨯+又，所以，11a =111S =所以数列是首项为1，公比为2的等比数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）由（1）可得，即，12n n S n -=12n n S n -=⋅当时，；2n ≥()()122121212n n n n n n a S S n n n ----=-=⋅-⋅=+⋅-当时，符合，1n =11a =()212n n a n -=+⋅所以.()212n n a n -=+⋅21．在①；②成等比数列；③；这三个条件中任21322n S n n t =++21373,,,a a a a =222n n n S a a =+-选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n 项和为，且．{}n a n S (1)求数列的通项公式；{}n a (2)定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，求在区间[1，2022]内所有“调和数”{}n a ()3log 1n a +n a 之和．n T 【答案】(1)1n a n =+(2)1086【分析】（1）选①或③，利用求得；选②，结合等比中项的知识求得等差11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 数列的公差，从而求得.{}n a {}n a （2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前项和公式求得.n n T 【详解】（1）选①解：因为，21322n S n n t =++所以当时，，1n =112a S t ==+当，时，2n ≥()()2211313112222n n n a S S n n t n n t -⎛⎫=-=++--+-+ ⎪⎝⎭1n =+因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，{}n a 所以，.0=t 1n a n =+选②解：因为成等比数列，137,,a a a 所以，2317a a a =⋅因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为，{}n a d 所以，()()212111326a a d a d a a d =+=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩所以，121a d =⎧⎨=⎩所以.()111n a a n d n =+-=+选③解：因为，222n n n S a a =+-所以当时，．1n =211122S a a =+-所以，21120a a --=所以或，12a =11a =-因为是各项均为正数的等差数列，{}n a 所以，12a =又当n ＝2时，，222222S a a =+-所以，所以，()2122222a a a a +=+-()2222222a a a +=+-所以，所以或（舍去），22260a a --=23a =22a =-其公差，211d a a =-=所以.()111n a a n d n =+-=+（2）设，所以，()3log 1n b a =+31b n a =-令，且b 为整数，12022b ≤≤又由，，67333log 31,log 3729,log 32187===6733log 32022log 3<<所以b 可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为，n a 12345631,31,31,31,31,31------所以区间[1，2022]内所有“调和数”之和()()()()()()123456313131313131n T =-+-+-+-+-+-()1234563333336=+++++-()6313613-=--＝1086.22．已知等差数列满足.{}n a 3577,26a a a =+=(1)求的通项公式；{}n a (2)若，数列满足关系式，求数列的通项公式；222n a n m +={}n b 11,1,2n n n b b m n -=⎧=⎨+≥⎩{}n b (3)设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，{}n b n n S n 恒成立，求实数的取值范围.()()()11222n n n S n n p +-⋅++++⋅<p 【答案】(1)*21,n a n n =+∈N (2)21n n b =-(3)(],1-∞-【分析】（1）由已知条件列方程组求解基本量并代入即可；（2）先代入求得数列的递推公式，再用累加法计算出的通项，并代入首项检验即可；n a {}n b {}n b （3）先求数列的前项和为，代入原不等式后将分离，再求不含的式子的最值即可.{}n b n n S p p 【详解】（1）设等差数列的公差为，{}n a d 由已知，有，112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩解得132a d =⎧⎨=⎩所以，()32121n a n n =+-=+即等差数列的通项公式为.{}n a *21,n a n n =+∈N （2）因为，2112222222n a n n n n m +-++===当时，，2n ≥112n n n b b ---=所以2123211222n n n b b b b b b ---=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 累加得，23112222n n b b --=++++ 即.211212222121nn n n b --=++++==-- 当时，也满足上式.1n =11b =所以数列的通项公式为.{}n b 21n n b =-（3）由（2），所以，21n n b =-()()231222222n n n S n n +=++++-=-+ 原不等式变为，即，∴()()111222n n n n p ++-++⋅<11222n n p ++⋅<-对任意恒成立，112n p ∴<-*n ∈N 为任意的正整数，n 1112n->-∴.1p ∴≤-的取值范围是.p ∴(],1-∞-。
高二等差等比数列练习题及答案
等差、等比数列练习一、选择题1、等差数列a n中， S10120 ，那么 a1 a10（）A. 12B.24C.36D.482、已知等差数列a， a n2n19 ，那么这个数列的前n 项和 s n（）nA. 有最小值且是整数B.有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D.有最大值且是分数3、已知等差数列a n1a4a10080 ，那么 S100的公差 d， a22A ．80B ．120C ．135D ． 160．4、已知等差数列a n中， a2 a5a9a1260 ，那么 S13A． 390B． 195C． 180D． 1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A. 0B.90C.180D.3606、等差数列a n的前m项的和为30，前2m 项的和为 100，则它的前 3m项的和为 ()A. 130B.170C.210D.2607、在等差数列a n中， a2 6 ， a8 6 ，若数列a n的前 n 项和为 S n，则（）A.S4 S5B. S4 S5C. S6 S5D. S6 S58、一个等差数列前 3 项和为 34 ，后 3 项和为 146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n 项之和 n3为，且前 n 个偶数项的和为 n 2 (4n3) ，则前 n 个奇数项的和为（）A ．3n 2 (n1) B． n2 (4n 3)C．3n 2D．1n3210 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A． 6B．8 C．10D． 12二．填空题1、等差数列a中，若 a6a3a8，则s9.n2、等差数列a n中，若 S n3n22n，则公差 d.3、在小于100的正整数中，被 3 除余 2 的数的和是4、已知等差数列{ a n}的公差是正整数，且 a 3a712, a4 a6 4 ，则前10项的和S10=5、一个等差数列共有 10 项，其中奇数项的和为25，偶数项的和为15，则这个数列的第 6 2项是*6 、两个等差数列a n和 b n的前n项和分别为S n和T n，若 S n7n 3，则a8.T n n3b82、设等差数列a n的前 n 项和为 S n，已知 a3 12 ， S12>0，S13<0，①求公差 d 的取值范围；② S1 , S2 ,L , S12中哪一个值最大并说明原因.3、己知{ a n}为等差数列，a12, a2 3 ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数组成一个新的等差数列，求：（ 1）原数列的第 12 项是新数列的第几项（ 2）新数列的第 29 项是原数列的第几项一、选择题1.(2009 年广东卷文 ) 已知等比数列 { a n } 的公比为正数，且 a 3 · a 9 =2 a 5 2 ， a 2 =1，则 a 1 = A.1B.2 C. 2222、若是1,a,b, c, 9 成等比数列，那么（）A 、 b 3, ac 9B 、 b3, ac 9 C 、 b3, ac 9 D 、 b 3, ac93、若数列 a n 的通项公式是 a n(1) n(3n 2), 则 a 1 a 2a10（ A ）15 （B ）12（C ）D）4. 设 { a n } 为等差数列，公差 d = -2 ， S n 为其前 n 项和 . 若 S 10 S 11 ，则 a 1 =（）5. （ 2008 四川）已知等比数列a n 中 a 2 1，则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是 () A.,1 B.,0 U 1,C. 3,D.,1U3,6. （ 2008 福建 ) 设｛ a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7, a 5=16, 则数列｛ a n ｝前 7 项的和为 ( )7. （ 2007 重庆）在等比数列{ a n } 中， a 2 ＝8， a 5＝ 64，，则公比q 为（）A ． 2B． 3C． 4D． 88．若等比数列 { a n } 知足 a n a n+1=16n ，则公比为A ． 2B ． 4C ． 8D ． 169．数列 { a } 的前 n 项和为 S ，若 a =1， a n+1 =3 S （n ≥ 1），则 a =nn 1 n 6（A ）3 ×44（B ）3 ×44+1（C ）44（ D ）44+110.(2007 湖南 ) 在等比数列 { a n } （ n N*）中，若 a 1 1 ， a 41 ，则该数列的前 10 项8和为（ ）A ． 21 B． 21C． 21122210D ． 22421112. （ 2008 浙江）已知 a n a 2， a 51a 2 a 3a n a n 1 =是等比数列， 2，则 a 1a 24（ ）（ 14 n ）（ 12 n ）C. 32（1 4n） D.32（ 1 2 n）33二、填空题：三、 13.（ 2009 浙江理）设等比数列{ a n}的公比q 1S4．，前 n 项和为 S n，则2a414. （ 2009 全国卷Ⅱ文）设等比数列{ a n } 的前 n 项和为s n。
等差数列练习题(有答案)百度文库
一、等差数列选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9B ．12C ．15D ．182．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米3．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 4．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2205．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11126．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83 C ．143D ．1037．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．1518．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．2409．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7B ．12C ．14D ．2110．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12B ．20C ．40D ．10013．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<14．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．515．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+16．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．1017．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24018．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 19．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，则10a 等于（ ） A ．10BC ．64D ．420．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．320二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列23．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a =C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =24．题目文件丢失！25．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．226．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．327．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1229．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A 2．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 3．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 4．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 5．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 6．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =.7．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 8．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 9．C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C 10．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log loglog n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．B【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 13．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 14．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d dS n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A 15．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 16．D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由542S S =，248a a +=，得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩，即{1132024a d a d +-+=，解得：{123a d =-=，51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选：D. 17．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 18．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +， 则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 19．D 【分析】利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，由于11a =，22a =，则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=，所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .故选：D.20．C【分析】 由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
金陵中学2022-2023学年第一学期期末考试(高二数学)含解析
1金陵中学2022-2023学年第一学期期末考试高二数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。
本试卷满分150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡上交。
2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知直线l 1:ax ＋2y ＝0与直线l 2:2x ＋(2a ＋2)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为A ．－2B ．－23C ．1D ．1或－22．已知圆锥的轴截面是斜边为23的直角三角形，则该圆锥的体积为A ．33πB ．332πC ．3πD ．33π3．已知f (x )＝f'(2023)ln x －12x 2＋x ，则f'(2023)＝A ．0B ．－2023C ．1D ．20234．曲线y ＝ln x －2x在x ＝1处的切线的倾斜角为α，则sin2α的值为A ．45B ．－45C ．35D ．－355．已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为r 1，r 2(r 1＜r 2)，若两圆的一条公切线的方程为y ＝24(x ＋3)，则r 2r 1＝A ．43B ．2C ．54D ．36．已知点P是抛物线x2＝2y上的一点，在点P处的切线恰好过点(0，－12)，则点P到抛物线焦点的距离为A．12B．1C．32D．27．已知数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，设c n＝a bn，T n为数列{c n}的前n项和，则当T n＜2023时，n的最大值为A．8B．9C．10D．1 8．在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位同学分别写下了一个命题:甲：ln3＜3ln2；乙：lnπ＜πe；丙：212＜12；丁：3e ln2＞42．所写为真命题的是A．甲和丙B．甲和乙C．丙和丁D．甲和丁二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9.设(1＋2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则下列说法正确的是A．a0＝1B．a1＋a2＋…＋a10＝310－1C．展开式中二项式系数最大的项是第5项D．a2＝9a110．已知在正四面体ABCD中，E、F、G、H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，则A．EF//平面ACD B．AC⊥BDC．AB⊥平面FGH D．E、F、G、H四点共面211．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把5－12(5－12≈0.618)称为黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线E :x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的左､右顶点分别为A 1，A 2，虚轴的上端点为B ，左焦点为F ，离心率为e ，则A ．a 2e ＝1B ．A 2B →·FB →＝0C ．顶点到渐近线的距离为eD ．△A 2FB 的外接圆的面积为2＋54π12．已知定义域为R 的函数f (x )＝x 4－x 2＋ax ＋1，则A ．存在实数a ，使函数f (x )的图象是轴对称图形B ．存在实数a ，使函数f (x )为单调函数C ．对任意实数a ，函数f (x )都存在最小值D ．对任意实数a ，函数f (x )都存在两条过原点的切线三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．13．某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法种数为______．14．已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，左顶点为A 1，若E 上的点P 满足PF 2⊥x轴，sin ∠PA 1F 2＝35，则E 的离心率为________．15．函数f (x )＝x 3－x 2－x －a 仅有一个零点，则实数a 的取值范围是_________．16．如下图所示:一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图(1)；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图(2)……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知数列{a n}中，a1，a2，a3，···，a6成等差数列，a5，a6，a7，···成等比数列，a2＝－10，a6＝2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{a n}的前n项和为S n，若S n＞0，求n的最小值．18．(本小题满分12分)－ln x(a∈R)已知函数f(x)＝x－ax(1)讨论f(x)的极值；(2)求f(x)在[1，e]上的最大值g(a)．e已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝1，数列{S na n }是公差为12的等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{2n a n}的前n项和为T n，是否存在实数t使得数列{T n＋t2n}成等差数列，若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．20．(本小题满分12分)△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足sin C＋cos C＝2，(1－cos A)b＝a cosB．(1)判断△ABC的形状；(2)若点D在BC上且BD＝3CD，点P与点A在直线BC同侧，且BC⊥DP，BC＝2PD，求cos∠ACP．设椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左､右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为33，若椭圆E 上的点到直线l :x ＝a 2c的最小距离为3－3．(1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1作直线交椭圆E 于A ，B 两点，设直线AF 2，BF 2与直线l 分别交于C ，D 两点，线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，O 为坐标原点，若M ，O ，N 三点共线，求直线AB 的方程．22．(本小题满分12分)函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax ，g (x )＝1－e x ．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≥g (x )在x ∈[0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．金陵中学2022-2023学年第一学期期末考试高二数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。
等差数列练习题(有答案) 百度文库
一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12B ．20C ．40D ．1002．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-44．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米5．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29B ．38C ．40D ．586．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．247．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 8．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n -=，则55a b =（ ） A ．3415B ．2310C ．317D ．62279．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72B ．90C ．36D ．4510．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7B ．10C ．13D ．1611．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ）A ．24B ．39C ．104D ．5212．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<13．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．514．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >D ．70S <，且80S <16．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+D ．1111p q m nS S S S +>+ 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7218．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403819．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．9二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a =C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =23．题目文件丢失！24．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >25．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =26．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =-D ．24n S n n =-27．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤ D ．当且仅当0nS <时，26n ≥28．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列29．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ）A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 3．A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.4．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案.【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 5．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 6．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 7．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 8．D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=， ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯.故选：D 9．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 10．C【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ． 12．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 13．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d dS n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A 14．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】 解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 15．A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A . 16．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m nm n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 17．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 18．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 19．B 【分析】 由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43n n n a =+-=-， 因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==， 所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题20．C【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点． 又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C 二、多选题21．ABCD【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案.【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.22．ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确； ∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确，故选：ABD.【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.23．无24．BC【分析】 根据递推公式，得到11n n n n n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n n S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】 由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解. 25．ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确； 41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3．2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．26．AD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.27．AB【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=， 又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.28．AC【分析】 由题意可知112222n n n n a a a H n -+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误.【详解】解：由112222n n n n a a a H n -+++==， 得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，② 得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确． 25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 29．AD【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误.【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列，∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=, 这在已知条件中是没有的，故C 错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 30．AD【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02d a a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误. 61656+5415392d S a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392d S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。
江苏省南京市金陵中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(答案版)
金陵中学2022-2023学年第一学期期末考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知直线1:20l ax y +=，与()2:22210l x a y +++=垂直，则实数a 的值为（）A.2-B.23-C.1D.1或2-【答案】B 【解析】【分析】根据两直线垂直可得出关于实数a 的等式，即可解得实数a 的值.【详解】由题意可得()22220a a ++=，解得23a =-.故选：B.2.已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，该圆锥的体积为（）A.B.π2C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用圆锥的结构特征求出圆锥底面圆半径和高即可计算作答.【详解】因圆锥的轴截面是斜边为所以该圆锥的体积为21π3V =⨯⨯=.故选：C3.已知()()212023ln 2f x f x x x =-+'，则()2023f '=（）A.0B.2023-C.1D.2023【答案】B 【解析】【分析】求导直接求解即可.【详解】解：求导得()()20231f f x x x=-'+'，所以()()20232023202312023f f '-'=+，解得()20232023f =-'故选:B4.曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2α的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-【答案】C 【解析】【分析】根据导数几何意义、斜率和倾斜角关系可求得tan α，结合二倍角公式和正余弦齐次式的求法可求得结果.【详解】212y x x '=+ ，tan 123α∴=+=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos 1tan 195ααααααα∴====+++.故选：C.5.已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为()1212,r r r r <，若两圆的一条公切线的方程为()34y x =+，则21r r =（）A.43B.2C.54D.3【答案】B 【解析】【分析】设出两圆的标准方程，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系列式求解，【详解】设圆1C ：()2221x a y r -+=，圆2C ：()2222x b y r -+=，其中3a b -<<，两圆的公切线方程为30x -+=，则133a r +==，233b r +==，两圆外切，则121233|33|a b C C b a r r ++=-=+=+，化简得23b a =+，326b a +=+，即212r r =，∴212r r =，故选：B6.已知点P 是抛物线22x y =上的一点，在点P 处的切线恰好过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点P 到抛物线焦点的距离为（）A.12B.1C.32D.2【答案】B 【解析】【分析】设P 坐标为00(,)x y ，由导数求出线斜率，再由切线过点1(0,)2-，可求得0x ，0y ，然后可求得焦半径．【详解】抛物线方程为212y x =，y'x =，设切点P 坐标为00(,)x y ，∴切线斜率为0k x =，又切线过点1(0,2-，∴00012y x x +=，∴22001122x x +=，01x =±．012y =．即1(1,)2P 或1(1,2P -，抛物线标准方程为22x y =，1p =，∴P 点到焦点的距离为11112222p +=+=．故选：B ．【点睛】本题考查直线与抛物线相切问题，考查导数的几何意义，考查抛物线的几何性质．利用导数几何意义求出切点坐标，利用焦半径公式求出焦半径，本题难度一般．7.已知数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为2，数列{}n b 为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2023n T <时，n 的最大值为（）A.8B.9C.10D.1【答案】B 【解析】【分析】利用等差和等比的通项公式，求出12nn c =-，然后利用分组求和求出n T ，即可得出结果.【详解】依题意得：12(1)21n a n n =+-=-，12n n b -=，122121n n n n b c a -==⋅-=-，则数列{}n c 为递增数列，其前n 项和123(21)(21)(21)(21)nn T =-+-+-+⋅⋅⋅+-1212(12)(222)2212n nn n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---，当9n =时，10132023n T =<，当10n =时，20362023n T =>，所以n 的最大值为9.故选：B8.在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位同学分别写下了一个命题：甲：ln3<；乙：lnπ<；丙：12<；丁：3eln2>的是（）A.甲和乙B.甲和丙C.丙和丁D.甲和丁【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln ,0xf x x x=>，则()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由()2ff <可判断甲；由f f >可判断乙；由(4)f f <可判断丙；由()e ff <可判断丁．【详解】令()ln ,0x f x x x=>，则()21ln x f x x -'=，由()0f x ¢>得0e x <<，则()f x 在()0,e 上单调递增，由()0f x '<得e x >，则()f x 在()e,+∞上单调递减，()ln22e,2,2ff <<∴<∴ln2<，即ln3<，故甲正确；l e,n πf f <<∴>∴>，故乙错误；4e >>，(4)f f ∴<，即ln4ln 12412<，则ln2ln12,122<<∴<，故丙正确；e >，()e ff ∴<，lnee<，则eln83eln2<∴<∴<故丁错误，故选：B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9.设()102100121012x a a x a x a x +=++++ ，则下列说法正确的是（）A.01a = B.10121031a a a +++=- C.展开式中二项式系数最大的项是第5项 D.219a a =【答案】ABD 【解析】【分析】根据赋值法即可求解AB ，根据二项式系数的性质即可求解C ，根据通项特征即可求解D.【详解】对于A 令0x =得01a =，故A 正确；对于B,令1x =得10012103a a a a ++++= ，而由A 知：01a =，因此10121031a a a +++=- ，故B 正确；对于C ，因为()1012x +的展开式中二项式系数最大为510C ，为第6项，故C 不正确；对于D,因为()1012x +的展开式中，1102C ,010,N r r rr T x r r +=≤≤∈，所以121012C 20,20T x x a ==∴=，22223102C 180T x x ==，2180a =，因此120a =，2180a =，所以219a a =，故D 正确，故选:ABD10.已知在正四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB ，BC ，CD ，AD 的中点，则（）A.//EF 平面ACDB.AC BD⊥C.AB ⊥平面FGH D.E 、F 、G 、H 四点共面【答案】ABD【分析】把正四面体ABCD 放到正方体里，对于A 项根据线面平行的判定定理证明对于B 项，从正方体的角度上看易得对于D 项，证明四边形EFGH 是平行四边形可验证对于C 项，反证法证明，矛盾点是AB 与HE 的夹角.【详解】把正四面体ABCD 放到正方体里，画图为：对于A 项， E 、F 分别为AB ，BC 的中点，//EF AC∴又AC ⊂ 平面ACD 且EF ⊄平面ACD//EF ∴平面ACD ，故A 正确对于B 项，从正方体的角度上看易得AC BD ⊥，故B 正确.对于D 项， E 、F 、G 、H 分别是棱AB ，BC ，CD ，AD 的中点//EF AC 且12EF AC =//GH AC 且12GH AC=所以//,EF GH EF GH=所以四边形EFGH 是平行四边形，故E 、F 、G 、H 四点共面，所以D 正确.对于C 项，若AB ⊥平面FGH 成立，即AB ⊥平面EFGH 又因为HE ⊂平面EFGH 所以AB HE⊥又因为E 、H 分别为AB ，AD 的中点，所以//EH BD 所以AB BD⊥而ABD △为等边三角形，与AB BD ⊥矛盾，所以C 不正确.11.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把51510.61822⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭称为黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线222:1(0)x E y a a-=>的左､右顶点分别为12,A A ，虚轴的上端点为B ，左焦点为F ，离心率为e ，则（）A.a 2e =1B.20A B FB ⋅=C.顶点到渐近线的距离为eD.2A FB 的外接圆的面积为254π+【答案】ABD 【解析】【分析】由黄金双曲线的定义列方程求,a c ，由此判断A ，根据数量积的坐标运算判断B ，计算顶点到渐近线的距离判断C ，判断2A FB 的形状，确定其外接圆半径，由此求圆的面积，判断D.【详解】设双曲线的半焦距为c ，则c =，c a=，由题意知221515151,222a c a +-+=⇒=∴=，21a e ac ∴==，A 正确．()()()()()2222,0,0,1,,0,,1,,1,10A a B F c A B a FB c A B FB ac -=-=∴⋅=-=，B 正确．对于C ，双曲线2221x y a-=的渐近线方程为0x ay ±=，所以顶点到渐近线距离1a d c e===，C 错．对于D ，因为20A B FB ⋅=，所以2A F FB ⊥，所以2A FB 为直角三角形，且2290,A BF A F a c ∠==+，所以2A FB 的外接圆半径为2a c+，故2A FB 外接球面积()222π25π2π244a c S a c ac +⎛⎫=⋅=++= ⎪⎝⎭，D 正确．故选：ABD ．12.已知定义域为R 的函数()421f x x x ax =-++，则（）A.存在位于R 上的实数a ，使函数()f x 的图象是轴对称图形B.存在实数a ，使函数()f x 为单调函数C.对任意实数a ，函数()f x 都存在最小值D.对任意实数a ，函数()f x 都存在两条过原点的切线【答案】ACD 【解析】【分析】举特例证明选项A 判断正确；利用导函数判断选项B ；利用极限思想判断选项C ；求得函数()f x 过原点的切线的条数判断选项D.【详解】对于A ，当0a =时，()421f x x x =-+是R 上的偶函数，函数()f x 的图象有对称轴y 轴，则函数()f x 的图象是轴对称图形.判断正确；对于B ，()342f x x x a =-+'，()f x '值域为R ，()f x '至少有一个变号零点，∴()f x 不可能为单调函数，判断错误；对于C ，当x →-∞以及x →+∞时，()f x 均→+∞，由()f x 在R 上连续，∴中间()f x 必存在最小值.判断正确；对于D ，设切点()420000,1P x x x ax -++，()342f x x x a =-+'，则30042k x x a=-+∴()f x 在P 处切线方程为()()342000000421y x x ax x xx ax =-+-+-++∵它过原点，∴42420000004210x x ax x x ax -+-+-++=，即4200310x x --=由4200310x x --=有两解：0x =0x =可得，对任意实数a ，函数()f x 存在两条过原点的切线.判断正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法种数为________.【答案】240【解析】【分析】由题意，结合分组分配问题，即可求解.【详解】由题意知，5名教师可分为4组，4组人数分别为2人，1人，1人，1人，将这4组分配到4所不同的学校，共有211145321433C C C C A 240A =种分配方法.故答案为：24014.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为2F ，左顶点为1A ，若E 上的点P 满足2PF x ⊥轴，123sin 5PA F ∠=，则E 的离心率为________.【答案】14##0.25【解析】【分析】根据2PF x ⊥轴，设()0,P c y ，代入椭圆方程确定2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在12Rt A F P 中，由123tan 4PA F ∠=与边的关系得关于e 的方程求e【详解】2PF x ⊥轴，∴设()0,P c y ，不妨设00y >，∴220221y c a b +=，解得20b y a =所以2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，123sin 5PA F ∠= ，123tan 4PA F ∴∠=，2123tan 4b a PA F ac ∴∠==+，即24310e e +-=，解得14e =或1e =-，又01e <<Q 14e ∴=.故答案为：1415.函数32()f x x x x a =---仅有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】()5,1,27⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U 【解析】【分析】根据题意求出函数的导函数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因为函数仅有一个零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值小于0或极小值大于0，即可得到答案.【详解】解：由题意可得：函数32()f x x x x a =---，所以()2321f x x x '=--，令()0f x ¢>，则1x >或13x <-，令()0f x '<，则113-<<x ，所以函数的单调增区间为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭所以当13x =-时函数有极大值，15327f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x =时函数有极小值，()11f a =--，因为函数32()f x x x x a =---仅有一个零点，，所以150327f a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭或()110f a =-->，解得527a >或1a <-.所以实数a 的取值范围是()5,1,27⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭U故答案为：()5,1,27⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U 16.如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图（1）；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图（2）……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为_________.【答案】7813256【解析】【分析】设第n 次挖去的正三角形个数为n a ，对应的每一个正三角形面积为n b ，进而得第n 次挖去的正三角形总面积为n n a b ⋅，进而根据题意得13n n a -=，114n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，134n n n a b -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，再求{}n n a b ⋅的前5项和即可.【详解】解：设第n 次挖去的正三角形个数为n a ，对应的每一个正三角形面积为n b ，所以第n 次挖去的正三角形总面积为n n a b ⋅，由题知，1211,3,3n n a a a a -=== ，即{}n a 为等比数列，公比为3，首项为1，所以13n n a -=；设原正三角形的面积为S ，由于原正三角形边长为4，故14422S =⨯⨯⨯=.由题知，1211111,,,444n n b S b b b b -=== ，即{}n b 为等比数列，公比为14，首项为1b =，所以114n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以134n n n a b -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，由于1134n n n n a b a b ++⋅=⋅，故{}n n a b ⋅为等比数列，所以{}n n a b ⋅的前n项和为314313414n n n T ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以当5n =时，图中被挖掉的所有正三角形面积的和为553781314256T ⎤⎛⎫=-=⎥ ⎪⎝⎭⎥⎣⎦故答案为：7813256四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，1236,,,,a a a a ⋅⋅⋅成等差数列，567,,,a a a ⋅⋅⋅成等比数列，210a =-，62a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n S >，求n 的最小值.【答案】（1）()5316,162,7n n n n a n --≤≤⎧⎪=⎨--≥⎪⎩（2）12【解析】【分析】（1）根据已知条件及等差数列的通项公式，结合等比数列的通项公式即可求解;（2）根据（1）的结论及等差和等比数列的前n 项和公式即可求解.【小问1详解】当16n ≤≤时，设{}n a 公差为d ，∴6234a a d -==，∴()1032316n a n n =-+-=-，而51a =-，62a =，∴5n ≥时，设{}n a 公比为q ，2q =-∴此时()()55122n n n a --=-⋅-=--，∴()5316,162,7n n n n a n --≤≤⎧⎪=⎨--≥⎪⎩.【小问2详解】显然7n >，∴()()()()66412132644332021233n n n S n --⎡⎤----+⋅⎣⎦=+=--+⋅->⇒--为偶数，()6103266124n n n -->⇒-≥⇒≥，∴n 的最小值为12.18.已知函数()ln (R)x a f x x a x -=-∈.（1）讨论()f x 的极值；（2）求()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值()g a .【答案】（1）答案见解析（2）(),ee 1ln ,e e 12e ,e a a g a a a a a ⎧-≥⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩【解析】【分析】（1）对()f x 求导，根据a 的范围讨论单调性，求极值；（2）根据单调性求函数在区间上的最值.【小问1详解】定义域(0,)+∞，2()x x a xf -'=①0a ≤时，()0f x '<成立，所以()f x 在(0,)+∞上递减，所以()f x 无极值；②0a >时，当x a >时，()0f x '<，当0x a <<时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)a 上单调递增，(,)a +∞单调递减，所以()f x 的极大值为()ln f a a =-，无极小值；【小问2详解】1e a ≤时，()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以max 1()2e e f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；1e e a <<时，()f x 在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，[,e]a 单调递减，所以max ()()ln f x f a a ==-；e a ≥时，()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单增，所以max ()(e)e a f x f ==-；综上：,ee 1()ln ,e e 12e ,e a a g a a a a a ⎧-≥⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩.19.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）记数列{}2n n a 的前n 项和为n T ，是否存在实数t 使得数列2n n T t +⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，若存在，求出实数t 的值;若不存在，说明理由．【答案】（1）n a n =；（2）存在，2t =-.【解析】【分析】（1）由等差数列通项公式得出12n n n S a +=，再由n a 与n S 的关系可得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）的结论结合错位相减求出n T ，先得出2n n T t +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前三项，由等差数列的性质得出方程解出t ，再检验即可．【小问1详解】因为111S a =，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，则()111122n n S n n a +=+-⨯=，因此12n n n S a +=，当2n ≥时，112n n n S a --=，则有()11122n n n n n n n a S S a a --+=-=-，因此()11n n n a na --=，即11n n a a n n -=-，数列{}n a n 是常数列，有111n a a n ==，所以数列{}n a 的通项公式n a n =．【小问2详解】由（1）知，2·2n nn a n =，则1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，于是得234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯L ，两式相减得：123122222n n n T n +-=++++-⨯ 1122212n n n +-=⨯-⨯-()1122n n +=--，因此()1122n n T n +=-+，有1222T t t ++=，21044T t t ++=，33488T t t ++=，若数列2n n T t +⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，则102342428t t t +++⨯=+，解得2t =-，当2t =-时，2222n n T n -=-，则()()112221222222n n n n T T n n ++--⎡⎤-=+---=⎣⎦，从而数列2n n T t +⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，所以存在2t =-，使得数列2n n T t +⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列．20.ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos C C +=，()1cos cos A b a -=B .（1）判断ABC 的形状;（2）若点D 在BC 上且3BD CD =，点P 与点A 在直线BC 同侧，且BC DP ⊥，2BC PD =，求cos ACP ∠．【答案】（1）等腰直角三角形（2）10【解析】【分析】（1）由sin cos C C +=，可得角4C π=，利用正弦定理及两角和的正弦公式可得sin sin B C =，即可判断ABC 的形状；（2）不妨设AC AB ==，4BC k =，可得CD k =，2PD k =，再利用两角和差的正切公式计算即可．【详解】解：()1因为sin cos C C +=，4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 14C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．又因为0C π<<，所以4C π=．在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =得，sin sin a A b B =，又因为()1cos cos A b a B -=，所以()1cos sin sin cos A B A B -=，所以()sin sin cos cos sin sin B A B A B A B =+=+．又因为A B C π++=，所以()()sin sin πsin A B C C +=-=，所以sin sin B =C .因为4C π=，所以4B π=，2A π=，所以ABC 的形状是等腰直角三角形．()2因为ABC 的形状是等腰直角三角形，所以不妨设AC AB ==，4BC k =．因为3BD CD =，2BC PD =，所以CD k =，2PD k =．在直角CPD 中，tan 2PD PCD CD∠==，所以()tan tan 211tan tan 1tan tan 123PCD ACB PCA PCD ACB PCD ACB ∠-∠-∠=∠-∠===+∠∠+．因为sin 1tan cos 3PCA PCA PCA ∠∠==∠，22sin cos 1PCA PCA ∠+∠=，所以310cos 10ACP ∠=．21.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，离心率为33，若椭圆E 上的点到直线2:a l x c=的最小距离为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）过F 1作直线交椭圆E 于A ，B 两点，设直线AF 2，BF 2与直线l 分别交于C ，D 两点，线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，O 为坐标原点，若M ，O ，N 三点共线，求直线AB 的方程．【答案】（1）22132x y +=（2）=1x -或10x y -+=或10x y ++=【解析】【分析】（1）列出关于a ，c 的方程组，求出a ，c ，进而求出b ，即可得到椭圆的方程；（2）设直线AB 的方程为1x my =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出AB 的中点M 的坐标，得到直线OM 的斜率，利用直线AF 2和BF 2的方程，求出C ，D 的坐标，进而求出CD 的中点N 的坐标，得到直线ON 的斜率，利用OM ON k k =，求出m 的值，即可得到答案．【小问1详解】由题意知233c a a a c⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1 a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以2222b a c =-=，所以椭圆E 的方程为22132x y +=．【小问2详解】由（1）知，()()121,0,1,0F F -，由题意知，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =-，联立221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 并整理得，()2223440m y my +--=设()()1122,,,A x y B x y ，则12122244,2323m y y y y m m -+==++．所以212223,123232M M M m y y y x my m m +-=-=+==+，2232,2323m M m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭所以直线OM 的斜率为23M OM M y m k x ==-．直线2AF 的方程为()1111y y x x =--，直线l 的方程为3x =，则1123,1y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，直线2BF 的方程为()2211y y x x =--，同理有2223,1y D x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭．所以121212121122N y y y y y x x my my =+=+----()()()()()()12211212212121222222224y my y my my y y y my my m y y m y y -+--+==---++222222442242323443242323m m m m m m m m m m m -⋅-⨯++==--⋅-⋅+++．243,3m N m ⎛⎫∴ ⎪-⎝⎭，所以直线ON 的斜率为()2433N ON N y m k x m ==-．由,,M O N 三点共线可得，OM ON k k =，即()224333m m m -=-，解得0m =或1m =±．故直线AB 的方程为=1x -或10x y -+=或10x y ++=．22.函数()()ln 1f x x ax =+-，()1xg x e =-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],2∞-.【解析】【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域为()1,-+∞，求得()11ax a f x x -+-'=+，分0a =、a<0、0a >三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）构造函数()()()h x f x g x =-，由题意可知()()0h x h ≥恒成立，对实数a 分2a ≤和2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()y h x =在区间[)0,+∞上的单调性，验证()()0h x h ≥是否成立，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()ln 1f x x ax =+-的定义域为()1,-+∞，()1111ax a f x a x x -+-=-='++.（i ）当0a =时，()101f x x +'=>，函数()y f x =在()1,-+∞上单调递增；（ii ）当0a ≠时，令()0f x '=得111a x a a -==-.若a<0，则11a a -<-；若0a >，则11a a ->-.①当a<0时，()101f x a x =->+'，函数()y f x =在()1,-+∞上单调递增；②当0a >时，()11a a x a f x x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=+，当11,a x a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增；当1,a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减；综上，可得，当0a ≤时，函数()y f x =在()1,-+∞上单调递增；当0a >时，函数()y f x =在11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）设()()()()ln 11x h x f x g x x e ax =-=++--，0x ≥，则()11x h x e a x =+-+'.当0x ≥时，()()211x h x e x '=-+'单调递增，则()()''''00h x h ≥=.所以，函数()y h x ='在[)0,+∞上单调递增，且()()02h x h a ''≥=-.当2a ≤时，()101x h x e a x '=+-≥+，于是，函数()y h x =在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h ≥=恒成立，符合题意；。
高二数学等差数列练习试题 百度文库
一、等差数列选择题1．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S2．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．144．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．05．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45B ．50C ．60D ．806．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21B ．20C ．19D ．19或208．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．79．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．13910．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．2413．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25 B ．11 C ．10 D ．9 14．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）A ．24B ．23C ．17D ．1615．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<16．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．517．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2118．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m na a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 19．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2220．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7B ．10C ．13D ．16二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n=B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 22．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列23．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列24．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列25．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=26．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=27．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--28．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列29．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列30．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B.【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 3．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C 4．A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即5．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 6．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．7．B 【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 8．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 9．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 10．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．A 【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A 13．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 14．A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 15．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 16．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d dS n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A 17．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 18．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 19．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则712514716a a d --===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 20．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C二、多选题21．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 22．BD根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n aa ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234nn n nn aa----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断. 23．ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.故选：AB 【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解. 25．BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 26．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 27．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC 28．AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误.解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 29．ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 30．ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．。
江苏省南京市金陵中学高二数学理月考试卷含解析
江苏省南京市金陵中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图如果输入n=3,则输出的s=A. B.C. D.参考答案：D2. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是( )A． B．C． D．参考答案：A3. 有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A．24 B．72 C．144 D．288参考答案：C 【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用捆绑法将甲、乙、丙三人看成一个整体，并考虑三人之间的顺序，②、将这个整体与其他三人全排列，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求甲、乙、丙三人站在一起，将3人看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A33=6种情况，②、将这个整体与其他三人全排列，有A44=24种不同顺序，则不同的排法种数为6×24=144种；故选：C．4. 直线过抛物线的焦点F，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则（）．A. B.C.D．参考答案：C略5. 若是函数的零点，则属于区间（）A. B． C． D．参考答案：A6. 以下关于排序的说法中，正确的是（）A．排序就是将数按从小到大的顺序排序B．排序只有两种方法，即直接插入排序和冒泡排序C．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最小的数逐趟向上漂浮D．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最大的数逐趟向上漂浮参考答案：C7. 设，，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.8. 已知m，n为直线，α为平面，下列结论正确的是（）A．若m⊥n，n?α，则m⊥αB．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】在A中：m与α相交、平行或m?α；在B中：n与α相交、平行或n?α；在C中：m与n 相交、平行或异面；由直线与平面垂直的性质得D正确．【解答】解：由m， n为直线，α为平面，知：若m⊥n，n?α，则m与α相交、平行或m?α，故A错误；若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n?α，故B错误；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间位置关系的合理运用．9. 设{a n}是等比数列，m，n，s，t∈N*，则“m+n=s+t”是“a m?a n=a s?a t”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】等差数列与等比数列；简易逻辑．【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由通项公式可得a m?a n=，a s?a t=，若m+n=s+t，则a m?a n=a s?a t成立，即充分性成立，当q=1时，若a m?a n=a s?a t，则m+n=s+t不一定成立，即必要性不成立，故“m+n=s+t”是“a m?a n=a s?a t”充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键．10. 在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，点M（2，）的直角坐标是（）A．（2，1）B．（，1）C．（1，）D．（1，2）参考答案：B【考点】Q6：极坐标刻画点的位置；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把点M（2，）化为直角坐标．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，可得点M（2，）的直角坐标为（，1），故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对具有线性相关关系的变量和，测得一组数据如表：若它们的回归直线方程为，则的值为.参考答案：12. a 是三个正数a 、b 、c 中的最大的数，且＝，则a+d 与b+c 的大小关系是_______________．参考答案： a+d>b+c解析：设＝=k ，依题意可知d>0，k>1，且c>d ，b>d ，∴（a+d ）－（b+c ）＝bk+d-b-dk ＝(b-d)(k-1)>013. 点P 在正方体ABCD －A1B1C1D1的面对角线BC1上运动， 则下列四个命题：①三棱锥A －D1PC 的体积不变； ②A1P∥平面ACD1； ③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确命题的序号是________．参考答案：①②④ 略14. 点Ｐ是椭圆上第二象限的一点，以点P 以及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积等于１，则点P 的坐标为___参考答案：15. 函数f （x ）=xlnx 的减区间是．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．分析： 先求定义域，再令导数≤0解不等式，取交集可得． 解答： 解：由题意函数的定义域为（0，+∞）， 求导数可得f′（x ）=x′lnx+x（lnx ）′ =1+lnx ，令f′（x ）=1+lnx≤0，解之可得x≤故函数的减区间为：故答案为：点评： 本题考查导数法研究函数的单调性，注意定义域是解决问题的关键，属中档题．16. 在中，若，则___________．参考答案：17. 已知函数y = g (x)的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
南京市金陵中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷含解析
2022-2023学年南京市金陵中学高二下学期期末考试一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．已知集合{|11}A x lnx =-剟，{|(2)0}B x x x =-…，则(A B = )A ．1[,2]eB ．[0，]eC ．1[0,]eD ．[2，]e2．已知O 为坐标原点，复数11z i =+，22z mi =+，分别表示向量OA ，OB ，若A B O C ⊥，则(m = ) A ．-1B ．0C ．1D ．23．已知函数()f x x =，()22x x g x -=+，则大致图象如图的函数可能是( )A ．()()f x g x +B ．()()f x g x -C ．()()f x g xD ．()()f xg x 4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( ) A ．120B ．60C ．40D ．305．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为( )A ．12B C D 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n T ，数列{}n T 是递增数列是20232022a a >的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<同时满足下列三个条件： ①当12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的最小值为2π； ②())3f x π+是偶函数；③(0)()6f f π>．若()f x 在[0，)m 上有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．713(,]1212ππ B ．713[,)1212ππ C ．75[,)126ππ D ．1319(,]1212ππ8．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||8PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e 的取值范围是( ) A ．1(,)9+∞B ．1(,)3+∞C ．1(,)2+∞D ．5(,)3+∞二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9．某次测试，经统计发现测试成绩服从正态分布， ()290,10X N 则( )A ．这次测试的平均成绩为90B ．这次测试的成绩的方差为10C ．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同D ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．若用x 表示红色骰子的点数，若用y 表示绿色骰子的点数，用(,)x y 表示一次试验的结果，定义事件：A = “x y +为奇数”， B = “x y =”， C = 4x >”，则下列结论正确的是( ) A ．P （A ）3P =（B ） B ．A 与B 互斥C ．A 与B 独立D ．B 与C 独立11．若抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线交C 于不同的两点A 、B ，直线l 为抛物线的准线，下列说法正确的是( )A ．点B 关于x 轴对称点为C ，当A 、C 不重合时，直线AC ，x 轴，直线交于一点 B ．若||||8AF BF ⋅=，则直线AB 斜率为12±C ．3||2||AF BF +的最小值为5+D ．分别过A 、B 做切线，两条切线交于点M ，则22||||AM BM +的最小值为16 12．已知0a >，1a e lnb +=，则( )A ．0a lnb +<B ．2a e b +>C ．0b lna e +<D ．1a b +>三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．在361(2)x x-的展开式中，2x 项的系数为 ．14．过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若||8OP =，则p 的值为 ．15．有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为 ．16．已知函数()()y f x x R =∈的图象是连续不间断的，函数(1)y f x =-的图象关于点(1,1)对称，在区间(1,)+∞上单调递增．若(cos 4cos 2)(4cos2)2f m f θθθ+-+->对任意[,]42ππθ∈恒成立，则下列选项中m 的取值范围_____ 四．解答题（共6小题,共70分）17．（10分）设n S 为公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若1a ，4a ，13a 成等比数列，6333S S -=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n a n n na b lna +=+，求数列}b 的前n 项和n T ． 18（12分）．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//CD AB ，1AD DC CB ===，2AB =，DP = （1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．19（12分）．记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且1132AC AB AB BC BC CA ==⋅． （1）求b c； （2）已知3B C =，1c =，求ABC ∆的面积．20（12分）．．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评” )，从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）:（1）请将22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的男性观众的人数，求X 的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取(*)m m N ∈人．现从这(10)m +人中，随机抽出2人，用随机变量Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y 的数学期望不小于1，求m 的最大值．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：21．（12分）已知双曲线C 中心为坐标原点，左焦点为(-0) （1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M在第二象限，直线1MA 与2NA 交于P ，证明P 在定直线上． 22．（12分）已知函数()af x ax lnx x=--． （1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：12|()()|f x f x -<2022-2023学年南京市金陵中学高二下学期期末考试参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知集合{|11}A x lnx =-剟，{|(2)0}B x x x =-…，则(A B = )A ．1[,2]eB ．[0，]eC ．1[0,]eD ．[2，]e【解答】解：111lnx ln lnx lne e -⇔剟剟，根据对数函数的单调性可知上述不等式的解集为1[,]e e， 而{|(2)0}{|02}B x x x x x =-=剟?，根据交集的运算，1[,2]A B e=．故选：A ．2．已知O 为坐标原点，复数11z i =+，22z mi =+，分别表示向量OA ，OB ，若A B O C ⊥，则(m = ) A ．-1B ．0C ．1D ．2【解答】解：复数11z i =+，22z mi =+，分别表示向量OA ，OB ， 则(1,1)OA =，(2.)OB m =， AB OC ⊥，20m +=，解得2m =-，故选：D ．3．已知函数()f x x =，()22x x g x -=+，则大致图象如图的函数可能是( )A ．()()f x g x +B ．()()f x g x -C ．()()f x g xD ．()()f xg x【解答】解：根据题意，设所给的函数为()h x ，由函数的图象，()h x 为奇函数，当x →+∞时，函数值()0h x →， 由此分析选项： 对于A ，()()()22x xh x f x g x x -=+=++，其定义域为R ，有()()()2xxh x f x g x x h x --=-+-=-++≠-，()h x 不是奇函数，不符合题意；对于B ，()()()22x xh x f x g x x -=-=--，其定义域为R ，有()()()2xxh x f x g x x h x --=-+-=--+≠-，()h x 不是奇函数，不符合题意；对于C ，()()()(22)x x h x f x g x x -==+，当x →+∞时，()h x →+∞，不符合题意； 对于D ，()()()22x xf x x h xg x -==+，其定义域为R ，有()()22x x xh x h x --=-=-+，()h x 是奇函数，且当x →+∞时，()0h x →，符合题意． 故选：D ．4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( ) A ．120B ．60C ．40D ．30【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有155C =种选法， 然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有114312C C ⋅=种选法，根据分步乘法计数原理可得共有51260⨯=种选法． 故选：B ．5．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为( )A ．12B C D 【解答】解：设圆锥和圆柱的底面半径为r ， 因为圆锥的轴截面是等边三角形， 所以圆锥的母线长为2l r =，则圆锥和圆柱的高为h ， 所以圆锥的侧面积为211222S r l r ππ=⨯⨯=，圆柱的侧面积为222S r h r π=⨯=，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为12S S =， 故选：C ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n T ，数列{}n T 是递增数列是20232022a a >的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若{}n a 是等比数列，且10a >，01q <<，则数列{}n T 是递增数列， 但20232022a a <，若20232022a a >，有可能10a >，0q <，则数列{}n T 不是单调数列， 则数列{}n T 是递增数列是20232022a a >的既不充分也不必要条件． 故选：D ．7．已知()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<同时满足下列三个条件： ①当12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的最小值为2π； ②())3f x π+是偶函数；③(0)()6f f π>．若()f x 在[0，)m 上有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．713(,]1212ππ B ．713[,)1212ππ C ．75[,)126ππ D ．1319(,]1212ππ【解答】解：当12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的最小值为2π； ∴当1()1f x =，2()1f x =-时，满足条件，此时，12||x x -的最小值为22T π=， 即T π=，即2ππω=，即2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+，())3f x π+是偶函数，2()sin[2()]sin(2)333f x x x πππϕϕ∴+=++=++， 则232k ππϕπ+=+，k Z ∈， 得6k πϕπ=-+，k Z ∈，||ϕπ<，∴当0k =时，6πϕ=-，当1k =时，56πϕ=． 当6πϕ=-时，()s i n (2)6f x x π=-，此时1(0)2f =-，1()sin 662f ππ==，此时不满足③(0)()6f f π>．故6πϕ=-不成立．当56πϕ=时，5()sin(2)6f x x π=+，此时1(0)2f =，71()sin sin 6662f πππ==-=-，此时满足③(0)()6f f π>．故56πϕ=成立．即5()sin(2)6f x x π=+． 当[0x ∈，)m 时，2[0x ∈，2)m ，552[66x ππ+∈，52)6m π+， 若()f x 在[0，)m 上有两个零点，则 52236m πππ<+…，得7131212m ππ<…， 故选：A ．8．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||8PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e 的取值范围是( ) A ．1(,)9+∞B ．1(,)3+∞C ．1(,)2+∞D ．5(,)3+∞【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c ，1||PF m =，2||PF n =，()m n >， 由于△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||8PF =， 即有8m =，2n c =，由椭圆的定义可得12m n a +=， 由双曲线的定义可得22m n a -=，即有14a c =+，24a c =-，(4)c <，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2248c c c +=>， 则2c >，即有24c <<．由离心率公式可得2122122116161c c c e e a a c c ===--， 由于21614c <<，则有2111631c >-． 则1213e e >．12e e ∴的取值范围为1(3，)+∞．故选：B ．二．多选题（共4小题）9．某次测试，经统计发现测试成绩服从正态分布， ()290,10X N 则( )A ．这次测试的平均成绩为90B ．这次测试的成绩的方差为10C ．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同D ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同【解答】解：由题意可得：~(90X N ，210)，其中90μ=，10σ=，即正态分布的对称轴为90X =，所以A 正确，C 错误，D 正确． 因为10σ=，方差为100，B 错误． 故选：AD ．10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．若用x 表示红色骰子的点数，若用y 表示绿色骰子的点数，用(,)x y 表示一次试验的结果，定义事件：A = “x y +为奇数”， B = “x y =”， C = “4x >”，则下列结论正确的是( ) A ．P （A ）3P =（B ） B ．A 与B 互斥C ．A 与B 独立D ．B 与C 独立【解答】解：由题意可知，事件A 为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共18种情况，事件B 为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6种情况，事件C 为(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12种情况， P （A ）181662==⨯，P （B ）61366==，故P （A ）3P =（B ），故A 正确， 事件A 与B 不同时发生，故A 与B 互斥，故B 正确，()0P AB =，P （A ）P ⋅（B ）1112612=⨯=，故C 错误， P （C ）121663==⨯，21()6618P BC ==⨯，P （B ）P ⋅（C ）1116318=⨯=，故D 正确． 故选：ABD ．11．若抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线交C 于不同的两点A 、B ，直线l 为抛物线的准线，下列说法正确的是( )A ．点B 关于x 轴对称点为C ，当A 、C 不重合时，直线AC ，x 轴，直线交于一点 B ．若||||8AF BF ⋅=，则直线AB 斜率为12±C ．3||2||AF BF +的最小值为5+D ．分别过A 、B 做切线，两条切线交于点M ，则22||||AM BM +的最小值为16 【解答】解：抛物线2:4C y x = 的焦点(1,0)F ，准线:1l x =-，显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为1x ty =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440y ty --=，于是124y y t +=，124y y =-，对于A ，点2(D x ，2)y -，准线l 交x 轴于点(1,0)K -，则1(1KA x =+，1)y ，2(1KD x =+，2)y -，有211221121212(1)(1)(2)(2)22()880x y x y ty y ty y ty y y y t t +++=+++=++=-+=，即得//KD KA ，因此点K ，D ，A 共线，即直线AD ，x 轴，直线l 交于一点，故A 正确；对于B ，2222212121212111||||(1)(1)(1)(1)()144164y y AF BF x x y y y y +⋅=++=++=++ 22121212()2()24844y y y y y y +-+=+=+=，解得124y y +=±，直线AB 的斜率122212124144AB y y k y y y y -===±+-，故B 错误；对于C ，由选项B 知，22221212311||2||3(1)2((1)54442y y AF BF y y +=+++=++1255|5y y +=+=+ (22)12342y y =，即221232y y =时取等号，故C 正确；对于D ，显然抛物线C 在点A 处的切线斜率存在且不为0，设此切线方程为11()y y k x x -=-，由112()4y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x 得：21104ky y y kx -+-=，则△222111111()1(1)042y yk y kx k ky k =--=-+=-=， 解得12k y =，同理抛物线C 在点B 处的切线斜率22k y '=，显然12221kk y y '=⋅=-，于是A⊥，因此2221212||||||(A M B M A B x+==++=…， 当且仅当0t =时取等号，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知0a >，1a e lnb +=，则( ) A ．0a lnb +<B ．2a e b +>C ．0b lna e +<D ．1a b +>【解答】解：由1a e lnb +=，可得1a e lnb =-， 0a >，11lnb ∴->，01b ∴<<，令()1x f x e x =--，则()1x f x e '=-，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()(0)f x f …，即1x e x +…， 由0a >知1a e a >+，11a e lnb a lnb ∴=+>++，0a lnb ∴+<，A 正确；由1x e x +…可得(1)x ln x +…，可得1(1x lnx x -=…时取等号）， 因为01b <<，所以1lnb b <-，11a a e lnb e b =+<+-，2a e b ∴+>，B 正确； 1b e =时，11a e -=，则12,2a l n l n e =>，∴1(2)()1ln ln ln e>=-，1110b b lna e e ∴+>-+>-+=，C 错误；1a e e lnb ln b =-=，∴(),()e ea ln ln ab ln ln b b b =+=+，令eln x b=，则1x b e -=，1x >，1x a b lnx e -+=+，设1()x h x lnx e -=+，1x >，则111()0x x x xe e exh x e x x e xe --'=-=-=>， ()h x ∴在(1,)+∞单调递增，()h x h >（1）1=， 1a b ∴+>，故D 正确．故选：ABD ．三．填空题（共4小题）13．在361(2)x x-的展开式中，2x 项的系数为 60 ．【解答】解：二项式361(2)x x-的展开式的通项为3661841661(2)()2(1)r r r rr r r r T C x C x x---+=⋅-=⋅⋅-⋅，令1842r -=得，4r =，2x ∴项的系数为42462(1)60C ⋅⨯-=． 故答案为：60．14．过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若||8OP =，则p 的值为 6 ． 【解答】解：如图，由题意，不妨设直线方程为(0)y kx k =>，即0kx y -=， 由圆22:(2)3C x y ++=的圆心(2,0)C -到0kx y -==0)k k =>，则直线方程为y =，联立22y y px ⎧⎪⎨=⎪⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或23p x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(3p P ．可得||8OP ==，解得6p =． 故答案为：6．15．有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为 25π ．【解答】解：由题意得正方体上底面到水面的高为431-=，设球体的半径为R ，由题意如图所示：三角形OAA '为Rt △，A 为球与正方体的交点， 则1OA R '=-，422AA '==，OA R =， 所以：222(1)2R R =-+，解得52R =， 所以球的表面积2425S R ππ==， 故答案为：25π．16．已知函数()()y f x x R =∈的图象是连续不间断的，函数(1)y f x =-的图象关于点(1,1)对称，在区间(1,)+∞上单调递增．若(cos 4cos 2)(4cos2)2f m f θθθ+-+->对任意[,]42ππθ∈恒成立，则下列选项中m 的取值范围_____【解答】解：因为函数(1)y f x =-的图象关于点(1,1)对称且在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数()()y f x x R =∈的图象关于(0,1)对称，函数()f x 在R 上单调递增， 由(cos 4cos 2)(4cos2)2f m f θθθ+-+->，可得(cos 4cos 2)(4cos2)(4cos2)(4cos2)f m f f f θθθθθ+-+->-+， 也即(cos 4cos 2)(4cos2)f m f θθθ+->，则有cos 4cos 24cos2m θθθ+->恒成立，即cos 4cos24cos 2m θθθ>-+，因为[,]42ππθ∈，所以cos θ∈， 当cos 0θ=时，得到02>-恒成立；当cos 0θ≠时，则有24cos224cos 8cos 4cos 228cos 4cos cos cos m θθθθθθθθ+--->==--，令cos t θ=∈，则284y t t=--， 因为函数284y t t=--在(0,)+∞上单调递增，且t ∈，所以4max y =，则4m >四．解答题（共6小题）17．设n S 为公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若1a ，4a ，13a 成等比数列，6333S S -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n a n n na b lna +=+，求数列{}nb 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，1a ，4a ，13a 成等比数列，∴24113a a a =，即2111(3)(12)a d a a d +=+， ∴21230a d d -=，0d ≠，1230a d ∴-=①，又6333S S -=，则45633a a a ++=， 1411a d ∴+=②，联立①②解得13a =，2d =，∴数列{}n a 的通项公式*21()n a n n N =+∈；（2）由（1）得*21()n a n n N =+∈， 则2121123222(23)(21)21n a n n n n n a n b lnln ln n ln n a n ++++=+=+=++-++， 123n n T b b b b ∴=++++35212532752(23)(21)n ln ln ln ln ln n ln n +=+-++-++++-+3521222(23)3n ln n ln +=+++++-8(14)23143n n ln -+=+-*8(41)23()33n n ln n N -+=+∈．18．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//CD AB ，1AD DC CB ===，2AB =，DP =（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【解答】解：（1）证明：PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，PD BD ∴⊥，取AB 中点E ，连接DE ， 1AD DC CB ===，2AB =，60DAB ∴∠=︒，又112AE AB AD ===， 1DE ∴=，12DE AB ∴=， ABD ∴∆为直角三角形，且AB 为斜边， BD AD ∴⊥， 又PDAD D =，PD ⊂面PAD ，AD ⊂面PAD ，BD ∴⊥面PAD ， 又PA ⊂面PAD ，BD PA ∴⊥；（2）由（1）知，PD ，AD ，BD 两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，BD则(0,0,0),(1,0,0),D A B P ，∴(0,0,3),(1,0,3),(1,PD PA AB =-=-=-，设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n PA x n AB x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，则可取(3,1,1)n =，设PD 与平面PAB 所成的角为θ，则5sin |cos ,|||5||||PD n PD n PD n θ⋅=<>==，PD ∴与平面PAB19．记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且1132AC AB AB BC BC CA ==⋅．（1）求bc； （2）已知3B C =，1c =，求ABC ∆的面积． 【解答】（1）解：因为1132AC AB AB BC BC CA ==⋅， 由平面向量数量积的定义可得3cos 4cos cos cb A ca B ba C +=，即22222222234222b c a a c b a b c bc ac ab bc ac ab +-+-+-⋅+⋅=⋅，整理可得2b c =，可得2bc =．（2）3B C =，1c =，所以2b =， 由正弦定理可得：32122sin sin sin 33sin 4B C C C sin C===-， 解得1sin 2C =，30C =︒，90B =︒，ABC ∆的面积：112⨯． 20．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评” )，从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）:（1）请将22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的男性观众的人数，求X 的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取(*)m m N ∈人．现从这(10)m +人中，随机抽出2人，用随机变量Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y 的数学期望不小于1，求m 的最大值．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【解答】解：（1）22⨯列联表补充完整如下：2216(60684048)7.448 6.635100116108108K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”．（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率4021005==，且各次抽取之间互相独立，故2~(3,)5X B ，其概率3323()()()55k k k P X k C -==，0k =，1，2，3．其分布列为：（3）随机变量Y 的取值为0，1，2，则24210(0)m m C P Y C ++==，1146210(1)m m C C P Y C ++==，26210(2)mC P Y C +==，21124466222101010()0121m m m m mC C C C E Y C C C +++++∴=⨯+⨯+⨯…，化为：27180m m +-…，解得92m -剟， 又*m N ∈，12m ∴剟， 故m 的最大值为2．21．已知双曲线C 中心为坐标原点，左焦点为(-0)，离心率为（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于P ，证明P 在定直线上．【解答】解：（1）双曲线C 中心为原点，左焦点为(-0)， 则222c a b c ce a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪==⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，故双曲线C 的方程为221416x y -=； （2）证明：过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点， 则可设直线MN 的方程为4x my =-，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 记C 的左，右顶点分别为1A ，2A ， 则1(2,0)A -，2(2,0)A ，联立224416x my x y =-⎧⎨-=⎩，化简整理可得，22(41)32480m y my --+=， 故△222(32)448(41)2641920m m m =--⨯⨯-=+>且2410m -≠，1223241m y y m +=-，1224841y y m =-， 直线1MA 的方程为11(2)2y y x x =++，直线2NA 方程22(2)2y y x x =--，故21211212(2)(2)22(2)(6)y x y my x x y x y my +-+==--- 121211212()26my y y y y my y y -++=-12212483222414148641mm y m m m y m ⋅-⋅+--=⋅--1212162141483641my m m y m -+-==---， 故2123x x +=--，解得1x =-， 所以1P x =-，故点P 在定直线1x =-上运动． 22．已知函数()af x ax lnx x=--． （1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是函数()f x的两个极值点，证明：12|()()|f x f x -<【解答】解：（1）由于f （1）1101ax ln =⨯--=， 若1x >，()0f x >，则须有()0f x '…， 又21()a f x a x x'=-+，210a ∴-…，解得12a …， 当12a …时，222211111(1)()(1(1)022x f x a x x x x x -'=+-+-=>…， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递增，()f x f >（1）0=， 当12a <时，由于f '（1）210a =-<，∴存在0x 使得在0(1,)x 上，()0f x '<， ()f x 单调递减，此时()f x f <（1）0=，()0f x ∴>不成立， 综上所述：实数a 的取值范围为1(2，)+∞；（2）证明：由（1）得221()a ax x af x a x x x-+'=-+=，当0a …时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不成立， 当0a >时，△214a =-，①当2140a -…，即12a …，()0f x '…，()f x 单调递增，不成立， ②当2140a ->，即102a <<，()0f x '=，解得1x =或2x =在1(0,)x 上()f x 单调递增，在1(x ，2)x 上()f x 单调递减，在2(x ，)+∞上()f x 单调递增， 又121x x a+=，121x x =， 不妨设120x x <<，则12()()f x f x >，要证明：1212|()()|||f x f x x x -<=-， 故只需证11222112()a aax lnx ax lnx x x x x -----<-， 只需证1212212112()()a x x a x x lnx lnx x x x x --++-<-，需证22121112212()2()(1)x x x lnx x x x x x x -<-+=+++， 令21(1)x t t x =>，则只需证2(1)(*)1t lnt t -<++， 由（1）知12a =，1x >时，11()2lnx x x<-， 1t ∴>时，12，则lnt <，又1t >时，2(1)01t t ->+，2(1)1t lnt t -∴<<++， 即(*)成立，故原式得证．。
江苏南京市金陵中学高中数学等差数列练习题百度文库
一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83 C ．143D ．1032．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．803．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13B ．14C ．15D ．164．定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++=（ ） A ．817 B ．1021C ．1123 D ．9195．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ） A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝26．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．1627．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．6758．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．911．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=12．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．1613．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +14．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10016．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）A ．7B ．9C ．21D ．4217．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7218．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．919．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24020．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．1112二、多选题21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦22．题目文件丢失！ 23．题目文件丢失！24．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 25．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23 C ．32D ．326．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =27．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a < 28．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列29．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 2．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 3．A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 4．D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n=，则：22n S n =， 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-， 且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-， 故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有：12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选：D 5．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 6．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.7．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.8．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-， 所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．9．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 10．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C 11．B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 13．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 14．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 15．B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即21212k k b --=， 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B. 16．C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.17．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 18．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 19．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解.【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 20．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C二、多选题21．BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项，12+为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭11515()n F F n n -+=++， 令1nn n Fb -=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=-， 所以n b⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列，所以1n n b -+， 所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．22．无 23．无24．ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题. 25．BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ．【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题． 26．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 27．AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 28．ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212nn n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 29．AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 30．CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
江苏省南京市金陵中学高二数学等差数列练习试题 百度文库
一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．278B ．52C ．3D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7B ．12C ．14D ．213．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．05．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．147．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．49 8．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21B ．20C ．19D ．19或2011．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．912．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24014．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +15．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 16．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32017．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．2418．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7219．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2120．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．35二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列22．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =23．题目文件丢失！24．题目文件丢失！25．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+26．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=27．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =28．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列29．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+30．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=， 所以11298a d a d +=+， 即1a d =-， 所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++.故选：A 2．C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C 3．C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=， 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 4．A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 5．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 6．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 7．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 8．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B.10．B 【分析】 由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 11．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 12．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120nn n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 13．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 14．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 15．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 16．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
江苏金陵中学河西分校等差数列专题(有答案)
一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．132．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．143．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．04．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．1625．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．6756．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 7．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．1610．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ）A ．15B ．20C ．25D ．3011．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24B ．39C ．104D ．5212．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．10513．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．614．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．1015．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7216．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2217．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24018．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 19．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403820．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．320二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．题目文件丢失！23．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．224．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为825．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-26．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 27．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列28．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S29．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B 2．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 3．A 【分析】 转化条件为122527n n a an n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 4．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.5．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.6．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 7．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案.【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 8．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 9．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ，末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解． 【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=． 故选：D ． 12．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 13．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】 因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 14．D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由542S S =，248a a +=，得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩，即{1132024a d a d +-+=， 解得：{123a d =-=，51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选：D. 15．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 16．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 17．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 18．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +， 则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 19．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 20．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
等差数列练习题(有答案)doc(1)
一、等差数列选择题1．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S2．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11 B ．10C ．6D ．33．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++=（ ） A ．817 B ．1021C ．1123 D ．9194．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列6．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．1627．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29B ．38C ．40D ．588．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．859．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤10．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．2B ．43C ．4D ．4-11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24012．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．5513．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．1314．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4B ．6C ．7D ．815．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10016．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．617．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．918．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．519．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩20．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7B ．10C ．13D ．16二、多选题21．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =22．题目文件丢失！23．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+24．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．325．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =26．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 27．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列28．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-30．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 2．A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 3．D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n=，则：22n S n =， 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-， 且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-， 故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有：12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选：D 4．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 5．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 6．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.7．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 8．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ． 9．C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=， 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 10．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 11．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 12．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =， 所以()1111161111552a a S a +===.故选：D.13．B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B 14．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 15．B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m +=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即21212k k b --=， 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B. 16．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 17．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 18．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A 19．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 20．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C二、多选题21．AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.22．无23．BD【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin 2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.24．BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-， 212131()2a ∴==--； 32131a a ==-；4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ．【点睛】 本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．25．BD【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ．【详解】因为1937538a a a a +=+=+=，所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD26．BCD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确；因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+， 所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈，所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确.故选：BCD.27．AC【分析】 由题意可知112222n n n n a a a H n -+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误.【详解】解：由112222n n n n a a a H n -+++==， 得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，② 得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确． 25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 28．AD【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误，由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题29．AC【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-== 故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．30．AD【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<，由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.。
江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题1．已知()3f x x =，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆（ ） A ．0 B ．3- C ．2 D ．32．若关于x 的不等式220x x m -->的解集为{2x x <-∣或}x n >，则C n m =（ ）A ．70B ．90C ．180D ．4953．已知{}n a 是单调递增的等比数列，且453627,162a a a a +==，则公比q 的值是（ ） A ．3 B ．－3C ．2D ．－2 4．已知随机变量X 服从正态分布()()24,0N σσ>，则“3m =”是“()()241P X m P X m ≥+>-=”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5πcos 4θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ）A ．13B ．C ．23D ．43- 6．已知点()4,0A ，圆()()221C x a y a -+-=：，若圆C 上存在点P 使得3PA =，则实数a 的最小值是（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．27．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为,63T T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间[]0,2上恰有8个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．7π,4π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．9π4π,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．9π4π,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．7π9π,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 8．已知实数,x y 满足14x x y y +=，则2x y +的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎣D ．(二、多选题9．已知动点,A B 分别在直线1:3460l x y -+=与2:34100l x y -+=上移动，则线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离可能为（ ）AB ．75CD 10．设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知94,5,cos 16a c C ===，则（ ）A ．ABC VB ．sin A =C ．6b =D ．ABC V 为锐角三角形 11．围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一．东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是1p ，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是2p ，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是()P A 和()P B ，则（ ）A ．112p > B ．当121p p +=时，()()21p P A p P B =C ．当()()P A P B =时，22112243p p p p ++> D ．存在1p ，对任意的2p ，都有()()P A P B >三、填空题12．()24211x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是．（用数字作答） 13．已知等边ABC V 的边长为1，若平面内一点M 满足1123AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则AM u u u u r 与C A u u u r 夹角的余弦值为．14．一个顶点为P ，底面中心为O 的圆锥的体积为π，若正四棱锥O ABCD -内接于该圆锥，平面ABCD 与该圆锥底面平行，点,,,A B C D 都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O ABCD -的体积的最大值是．四、解答题15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ． (1)求C 的离心率；(2)若射线1AF 交椭圆C 于点B ，且43AB =，求a 的值． 16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB AA AB AC D =⊥为11AC 的中点．(1)证明：1AB ⊥平面1A BD ；(2)若二面角A BC D --AC 的长度． 17．设函数()322,,R f x x ax b a b =-+∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)是否存在0,R a b >∈，使得()f x 在区间[]0,1上的最小值为2-且最大值为2？若存在，求实数,a b 的值；若不存在，请说明理由．18．已知数列{}{},n n a b ，其中数列{}n a 是等差数列，且满足()21nn n b a n -=-，111a b +=，*228,a b n +=∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S ； (3)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，记集合{|100=≤A n n 且100}n T ≤，求集合A中所有元素的和S ．19．已知函数()cos f x x =，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求()2πf f αα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的最大值； (2)判断()()sin f ααβ++与()f β的大小关系，并说明理由；(3)判断()f α，()f β，()sin αβ+能否作为ABC V 三边长？若能，给出证明，并探究ABC V 的外接圆的半径是否为定值；若不能，请说明理由．。
江苏南京市金陵中学高中数学数列的概念练习题百度文库
一、数列的概念选择题1．已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n=--，则6a =（ ）A ．35B ．11-C ．35-D ．112．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 3．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+4．数列{}n a 的通项公式是276n a n n =-+，4a =（ ）A ．2B ．6-C ．2-D ．15．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192C ．1119892D ．1120192 6．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12nn n a a n +=+⋅，则15a =（ ）A ．151422⋅+B ．141322⋅+C ．151423⋅+D ．151323⋅+7．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+B ．21n +C ．2(1)1n -+D ．2n8．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．89B ．23C ．6481D ．1252439．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1B ．3C ．2D ．3-10．在数列{}n a 中，()1111,1(2)nnn a a n a --==+≥，则5a 等于A ．32B ．53C ．85D ．2311．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4012．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174B ．184C ．188D ．16013．设数列{},{}n n a b 满足*172700,,105n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（ ） A ．43a a >B ．43<b bC ．33>a bD ．44<a b14．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．180B ．160C ．150D ．14015．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．616．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1017．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202218．设数列{}n a 的通项公式为2n n a n+=，要使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．919．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n的最小值为（ ） A ．21B ．10C ．212 D ．17220．数列{}n a 满足 112a =，111n na a +=-，则2018a 等于( )A ．12B ．－1C ．2D ．3二、多选题21．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =22．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 23．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21FF ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦24．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值26．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列27．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值28．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥ 29．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 30．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列31．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2232．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-33．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+34．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 35．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()211nn a n=--，所以626(1)(61)35a =--=.故选：A 【点睛】本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.2．A解析：A 【分析】运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，121n n n n a a a a +++∴≥--，设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，∴数列{}n d 是递减数列.对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，所以1220182018d d d +++=，又1232018d d d d ≥≥≥≥，所以1122018201820182018d d d d d ≥+++≥，故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++≤++++=即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；结合A ，故B 不正确；对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.3．C解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， ()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.4．B解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】令4n =，2447466a =-⨯+=-故选：B. 【点睛】数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.5．C解析：C 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.6．D解析：D 【分析】在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减法求15a . 【详解】12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅， 12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅，34332a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=-⋅，以上1n -个等式，累加得12311122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅++-⋅①又2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②①- ②得23112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，故选：D 【点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦-=+++==+--，又11a =，所以21n a n n =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.8．A解析：A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.10．D解析：D 【解析】分析：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，． 详解：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．故选D 点睛：对于含有()1n-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．11．B解析：B 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=.故选：B.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.12．A解析：A【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a .【详解】依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++ ()()()11113322n n n n -+--=+=+. 所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.13．C解析：C【分析】 由题意有1328010n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小.【详解】 由题意知：1328010n n a a +=+，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=，∴34300b b ==，故选：C【点睛】本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.14．B解析：B【分析】根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和.【详解】由n a 为421167n n +的个位数，可得n a 为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期，即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期，第38项至第69项共32项，共8个周期，所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=.故选：B15．A解析：A【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。
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一、等差数列选择题1．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ）A ．4B ．6C ．7D ．82．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 3．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝24．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2206．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．2407．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +8．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸9．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．8010．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项12．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）A ．24B ．23C ．17D ．1613．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<14．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．515．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7216．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2217．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．319．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．30二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =23．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，()21212n n a a -=++-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列24．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列25．题目文件丢失！26．题目文件丢失！27．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 28．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝029．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 2．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 3．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 4．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 5．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 6．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =， 故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 7．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 8．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 9．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 10．A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 11．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 12．A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 13．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 14．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A 15．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 16．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 17．C【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 18．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 19．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 20．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B二、多选题21．BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.22．AD【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.23．ABC【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确； 数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC24．BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错;选项B: 2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11n n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.25．无26．无27．ABD【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a <<设()()ln 2f x x x =+-，则()11122x f x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD【点睛】 本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.28．ABD【分析】 对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 29．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.30．BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。