考研数学模拟测试题及答案解析数三

2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三）一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。

（1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()baM xf x dx =⎰，01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+⎰⎰，则必有（ ）（A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =；（2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为则其导数的图像为（ ）(A) (B)(C) (D)(3)设有下列命题：①若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛； ②若1n n u ∞=∑收敛，则10001n n u ∞+=∑收敛；③若1lim1n n nu u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散； ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑收敛 正确的是（ ）（A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④(4)设220ln(1)()lim2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）50,2a b ==-；（D ）1,2a b ==-(5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =，对任何12(,,)T n b b b b =L（A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解；（C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020TA B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为 （A ）1(2)n A B --； （B ）2T A B -； （C ）12A B --； （D ）12(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ）（A ）2211()~(1)1n i i X X n n χ=---∑； （B ）2211(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑； （C ）2212()~()2ni i X n χ=-∑； （D ）221()~()2n i i X X n χ=-∑； (8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，若概率1()2P aX bY μ-<=则（ ）（A ）11,22a b ==；（B ）11,22a b ==-；（C ）11,22a b =-=；（D ）11,22a b =-=-；二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

把答案填在题中的横线上。

(9)已知3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，2()arcsin f x x '=，则0x dy dx == 。

(10) 方程301()()3xx f x t dt x f t dt -=+⎰⎰满足(0)0f =的特解为 。

(11) 2222()Dx y d a b σ+=⎰⎰ 。

其中D 为221x y +≤。

(12)24610(1)1!2!3!x x x x dx -+-+=⎰L 。

(13)设A 是三阶矩阵，已知0,20,30A E A E A E +=+=+=，B 与A 相似，则B 的相似对角形为 。

(14) 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。

三、解答题15~23小题，共94分。

解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。

(15)（本题满分10分）设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式22222430u u u x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。

确定,a b 的值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20uξη∂=∂∂。

(16) （本题满分10分）求幂级数1(1)n n n x ∞=-∑的收敛域及其在收敛域内的和函数；(17) （本题满分10分）设()f x 在[0,)+∞连续，且101()2f x dx <-⎰，()lim 0x f x x→+∞=。

证明：至少0,ξ∃∈(+∞)，使得()f ξξ+=0。

(18) （本题满分10分）过椭圆223231x xy y ++=上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。

(19) （本题满分10分）设()0()0x f x e xx g x xax b x ⎧--<⎪=⎨⎪+≥⎩，其中()f x 在0x =处二阶可导，且(0)(0)1f f '==。

（I ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处连续？（II ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处可导？ (20) （本题满分11分）(21)（本题满分11分）设A 为三阶方阵，123,,ααα为三维线性无关列向量组，且有123A ααα=+，213A ααα=+，312A ααα=+。

求（I ）求A 的全部特征值。

（II ）A 是否可以对角化？（22）（本题满分11分）设,A B 为相互独立的随机事件，已知()(01)P A p p =<<，且A 发生B 不发生与B 发生A 不发生的概率相等，记随机变量 （I ）求(,)X Y 的联合分布律；（II ）在0Y =的条件下，求X 的条件分布律； （Ⅲ）计算XY ρ.（23）（本题满分11分）设两随机变量(,)X Y 在区域D 上均匀分布，其中{(,):1}D x y x y =+≤，又设U X Y =+，V X Y =-，试求： （I ）U 与V 的概率密度()U f u 与()V f v ； （II ）U 与V 的协方差cov(,)U V 和相关系数UV ρ数三参考答案二、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。

（1） A解：设0()(),0xF x x f t dt x =>⎰，则所以，001()[()()]2b b a a M xf x dx b f x dx a f x dx N =≥+=⎰⎰⎰(2)B解：由于函数可导（除0x =）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与x 轴有且仅有两个交点，故A ，C 不正确。

又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D 不正确。

(3)B解：因级数10001n n u ∞+=∑是1n n u ∞=∑删除前1000项而得，故当1n n u ∞=∑收敛时，去掉有限项依然收敛，因此10001n n u ∞+=∑收敛，若1lim1n n nu u +→∞>，则存在正整数N ，使得n N ≥是，n u 不变号。

若0n u >，有正项级数的比值判别法知n n Nu ∞=∑发散。

同理可知，如果0n u <，则正项级数()n n Nu ∞=-∑发散，因此nn Nu ∞=∑发散。

故②③正确，选B （4）A解：2200ln(1)()1/(1)(2)lim lim 22x x x ax bx x a bx x x→→+-++-+==，因0lim 0x x →=，则 0lim1/(1)(2)0x x a bx →+-+=，故1a =。

而22200ln(1)()ln(1)lim lim 2x x x x bx x x b x x →→+-++-=+=，故122b +=-，所以52b =- 【也可以用泰勒公式计算】 （5）A解：0Ax =有非零解，充要条件是()r A n <，由此即可找到答案。

（6）D解：1020T A B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=11202202TT A A B B --⎡⎤-=--⎢⎥-⎣⎦=12(2)nA B -- （7）C解：由于2~(2,2)i X N ，所以2~(0,1)2i X N - 故222~(1)2i X χ-⎛⎫ ⎪⎝⎭，2212~()2ni i X n χ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑（8）B因为aX bY -服从正态分布，股根据题设1()2P aX bY μ-<=知， ()()()()E aX bY aE X bE Y a b μμ-=-=-=，从而有1a b -=，显然只有（B ）满足要求。

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

把答案填在题中的横线上。

（9）应填32π。

解：由3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，2()arcsin f x x '=得 (10)应填()2(1)2x f x x e =+-解：令x t u -=，原方程变为30001()()()3x x x x f u du uf u du x f t dt -=+⎰⎰⎰方程两边对x 求导得20()()xf u du x f x =+⎰再两边对x 求导得()2()f x x f x '=+，即2dyy x dx-=- 由(0)0y =得2C =-，故()2(1)2x y f x x e ==+- (11)应填2211()4a b π+(12)应填11(1)2e --解：因224622223()()(1)[1]1!2!3!1!2!3!x x x x x x x x x xe -----+-+=++++=L L 故 原式22211121000111(1)222xx x xe dx e dx e e ----===-=-⎰⎰(13)应填123-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】 解：由0,20,30A E A E A E +=+=+=，知A 的特征值为11231,2,3λλλ=-=-=-，相似矩阵具有相同的特征值，所以B 的特征值也为11231,2,3λλλ=-=-=-，故B 相似的标准形为123-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (14)应填解：设A ：“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”，B ：“所取的两件都是不合格品”因为226102()1()1(/)3P A P A C C =-=-=，224102()/)15P B C C ==所以()()1()()()5P AB P B P B A P A P A ===三、解答题15~23小题，共94分。

解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。

(15) （本题满分10分）解：2222222,2u u u u u u u x x ξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂， 222222222,2u u u u u u u a b a ab b y y ξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂， 将以上各式代入原等式，得2222222(341)[64()2](341)0u u u a a ab a b b b ξξηη∂∂∂+++++++++=∂∂∂∂，由题意，令223410,3410,a ab b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩且64()20ab a b +++≠ 故1,1,31,1,3a a b b =-⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨=-⎪⎪=-⎩⎩或 (16) （本题满分10分）解：（I ）由于lim11n nn →∞=+，所以11x -<，即02x <<， 当0x =和2x =时幂级数变为1(1)nn n ∞=-∑及1n n ∞=∑，均发散，故原级数的收敛域为(0,2)设1111()(1)(1)(1)(1)()nn n n s x n x x n x x s x ∞∞-===-=--=-∑∑则11111()(1)1(1)2xn n x x s x dx x x x∞=--=-==---∑⎰，所以1211()2(2)x s x x x '-⎛⎫== ⎪--⎝⎭，则21()(2)x s x x -=- (17) （本题满分10分）证明：作函数()()F x f x x =+，有1111()[()]()02F x dx f x x dx f x dx =+=+<⎰⎰⎰。