考研数学模拟测试题及答案解析数三

2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三）

一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。

（1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b

a

M xf x dx =⎰，

01

[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+⎰⎰，则必有（ ）

（A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =；

（2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为

则其导数的图像为（ ）

(A) (B)

(C) (D)

(3)设有下列命题：

①若2121

()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1

n n u ∞=∑收敛； ②若1

n n u ∞=∑收敛，则10001

n n u ∞

+=∑收敛；

③若1

lim

1n n n

u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散； ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞

=∑收敛 正确的是（ ）

（A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④

(4)设22

0ln(1)()

lim

2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）50,2

a b ==-；（D ）1,2a b ==-

(5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）

T A x b =，对任何12(,,)T n b b b b =L

（A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解；

（C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解

(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020

T

A B -⎡⎤

-⎢

⎥⎣⎦

的值为 （A ）1

(2)n A B --； （B ）2T A B -； （C ）12A B --； （D ）1

2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ）

（A ）22

11()~(1)1n i i X X n n χ=---∑； （B ）221

1(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑； （C ）22

12()~()2n

i i X n χ=-∑； （D ）221

()~()2n i i X X n χ=-∑； (8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，若概率1

()2

P aX bY μ-<=则（ ）

（A ）11,22a b ==；（B ）11,22a b ==-；（C ）11,22a b =-=；（D ）11

,22

a b =-=-；

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。

(9)已知3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭

，2

()arcsin f x x '=，则0

x dy dx == 。

(10) 方程3

01()()3

x

x f x t dt x f t dt -=+⎰

⎰满足(0)0f =的特解为 。

(11) 22

22()D

x y d a b σ+=⎰⎰ 。其中D 为221x y +≤。

(12)246

1

0(1)1!2!3!

x x x x dx -+-+=⎰L 。

(13)设A 是三阶矩阵，已知0,20,30A E A E A E +=+=+=，B 与A 相似，则B 的相似对角形为 。

(14) 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。

三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。 (15)（本题满分10分）设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式

22222430u u u x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。确定,a b 的值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20u

ξη

∂=∂∂。 (16) （本题满分10分）求幂级数1

(1)n n n x ∞

=-∑的收敛域及其在收敛域内的和函数；

(17) （本题满分10分）设()f x 在[0,)+∞连续，且1

01()2f x dx <-⎰，()

lim 0x f x x

→+∞=。证

明：至少0,ξ∃∈(+∞)，使得()f ξξ+=0。

(18) （本题满分10分）过椭圆223231x xy y ++=上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。

(19) （本题满分10分）设()0()0

x f x e x

x g x x

ax b x ⎧--<⎪

=⎨⎪+≥⎩

，其中()f x 在0x =处二阶可导，

且(0)(0)1f f '==。

（I ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处连续？