用平方差公式分解因式

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利用完全平方差公式进行因式分解

因式分解的几种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

因式分解公式平方差公式

因式分解公式平方差公式因式分解公式中的平方差公式，那可是数学世界里的一个超级实用的工具！咱们先来看看啥是平方差公式。

简单说，就是 a² - b² = (a + b)(a - b) 。

这公式看着简单，用起来可厉害着呢！就拿我曾经教过的一个学生小明的例子来说吧。

有一次课堂练习，题目是分解因式 x² - 25 。

小明一开始抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。

我就提醒他，看看这式子像不像平方差公式的样子？他眼睛一亮，马上反应过来，25 不就是 5 的平方嘛，这式子不就是 x² - 5²嘛。

然后，他迅速写下 (x + 5)(x - 5) ，那脸上的表情，别提多得意了。

再比如，遇到 9m² - 4n²这样的式子。

咱们一看，9m²就是 (3m)²，4n²就是 (2n)²，那这就可以用平方差公式分解为 (3m + 2n)(3m - 2n) 。

平方差公式在解决实际问题中也大有用处。

比如说，要计算一个长方形场地的面积，已知它的长是 (x + 3) 米，宽是 (x - 3) 米，那面积就是 (x² - 9) 平方米。

这时候用平方差公式一分解，就能更清楚地知道具体数值。

而且啊，平方差公式还能帮我们在做数学证明题的时候找到思路。

有些看起来特别复杂的式子，一旦发现能用平方差公式分解，就好像找到了打开难题大门的钥匙。

我还记得有一次考试，有一道题是分解 16a⁴ - b⁴。

很多同学都被难住了，但那些真正掌握了平方差公式的同学，很快就把它分解为 (4a²+ b²)(2a + b)(2a - b) ，轻松拿下分数。

在数学的学习中，平方差公式就像是我们的得力助手，只要用对了地方，就能让难题变得简单。

所以同学们一定要好好掌握这个公式，多做练习，让它成为我们解题的神器！总之，平方差公式虽然简单，但是用处多多。

第1课时用平方差公式进行因式分解

当堂练习
当堂反馈
即学即用
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mnC．－x2－y2 D．－x2＋9
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
5. (1)992-1能否被100整除吗？
解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
所以，(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)解:原式＝ab(a2－4)
＝ab(a＋2)(a－2)
有公因式的先提公因式再用平方差公式
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
【例3】计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
【例4】已知x+y =7, x-y=5,求代数式x2-y2-2y+2x的值.

平方差公式因式分解课件

平方差公式的证明
以几何解释和代数推导的方式，详细介绍平方差公式的证明，并提供一些实例来巩固理解。
平方差公式的应用
展示平方差公式在解决实际数学问题中的应用，包括面积计算、数列求和和方程式的变形等。
因式分解实例1：4x^2 - 9y^2
通过实际例子演示如何应用平方差公式进行因式分解，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
平方差公式的探究
发掘更深层次的平方差公式相关概念，讨论剩余和约分等概念，并展示它们是如何相互影响的。
平方差公式的历史背景
介绍平方差公式的历史渊源和相关数学家，帮助学生了解数学知识的发展和演变。
平方差公式在实际生活中的应用
探索平方差公式在实际生活中的实际应用，如建筑设计、物理力学和经济分析等领域。
平方差公式因式分解ppt 课件
本课件将带您了解平方差公式因式分解的概念、应用和推广。深入浅出，轻松掌握这一数学难题，让您的数学技巧更上一层楼！
平方差公式介绍
通过直观的示意图，了解平方差公式是什么，并掌握其重要性以及在因式分解中的作用。
பைடு நூலகம்
什么是因式分解？
深入分析因式分解的定义，展示因式分解在数学中的重要性，以及为什么它是数学解决难题的基础。
因式分解实例5：9a^2 - 16b^2
最后一个实例将帮助学生巩固平方差公式因式分解的知识，并解决更具挑战性的方程式问题。
平方差公式的推广
探讨平方差公式的推广应用，如立方差公式和高次幂差公式，并帮助学生扩展他们的数学思维。
平方差公式的变形1：(a+b)^3
了解如何将平方差公式应用于(a+b)^ 3的展开，并解决更复杂的代数问题。
平方差公式的变形2：(a+b)^4

8用平方差公式分解因式

3
x2
y3
2

0.1z 2
4
3 x2 y3 0.1z 3 x2 y3 0.1z
4
4

附：判断
m2 4k2 m2 2k 2
m 4km4k
22
用平方差公式进行简便计算:
1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89
a4 a2b2
解二：原式 a2 2 ab2
a2 aba2 ab
aa b aa b
a2 a ba b
哪种方法好些？
多项式
分解因式的结果
（1） a2 4 a 2a 2
（2）（3）（4）
16 x2
当我们进行因式分解时，
一、如果多项式各项含有公因式，一般先提出公因式；
二、分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
1 1 a 2b2 4
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 9m2
4 x4 x
1 1 ab1 1 ab 2 2
x y3mx y3m
在如图所示的圆环中，外圆半径R=9.5cm，内圆半径r=8.5cm，求圆环（阴影部分）的面积（取3.14，结果保留三个有效数字）
分析：圆环（阴影部分）的
r
面积= S大圆面积 S小圆面积
R
R2 r 2
R2 r 2
R rR r
小结
1、因式分解的一个重要工具————平方差公式
2、我们在进行因式分解时应注意的问题
运用平方差公式分解因式
a2 b2 a ba b
a2 b2 a ba b

用完全平方差公式因式分解

x2 x1
4
(4)4x2 2xy y2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。平方差公式法：适用于平方差形式的多项式完全平方公式法：适用于完全平方式
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式是不是一个完全平方式。做一做：下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) a2 4a 4 (2) (3) m2n2 4 4mn
2 (3)a 2a 1
2 (4)4 x 4 x 1
(5)ax2 2a2 x a3
(6) 3x2 6xy 3y2
(7) (a+b)4-10(a+b)2+25
例2.用简便方法运算。
(1)2006 2 62 (2)132 213 3 9 (3)112 39 2 66 13
分解因式4x2-9 =(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？
(1)两项 (2)平方差
下面的多项式能用平方差公式分解因式吗？ (1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
完全平方公式：完全平方公式
(a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是：
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负
解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2

因式分解的平方差公式

因式分解的平方差公式
平方差公式是统计学中一个重要的概念，它可以用来计算一组数据的方差。

通常，它是用来计算数据的变异程度的指标，而且它是通过因式分解来计算的。

平方差公式（也称为样本方差公式）可以表示如下：
s² = ∑(xi - x)² / (n - 1)
其中，s²是平方差，xi是样本中每个数据，x是样本的平均数，n 是样本的数量。

从这个公式可以看出，平方差是由两部分组成的，一部分是每个样本数据与样本平均数之差的平方，而另一部分是一个常数（n-1）。

每个样本数据与样本平均数之差的平方是平方差的基本元素，它可以表示每个样本的离散程度。

而常数（n-1）是用来将每个样本的离散程度综合起来，从而得出样本整体的变异程度。

因此，可以认为平方差公式是由两个部分组成的，一部分是每个样本数据与样本平均数之差的平方，另一部分是一个常数（n-1）。

这两部分组成的公式可以用来计算一组数据的变异程度，从而可以对数据进行分析和比较。

总之，平方差公式是由两部分组成的，它可以用来计算一组数据的
变异程度，它是通过因式分解来计算的。

它的一部分是每个样本数据与样本平均数之差的平方，而另一部分是一个常数（n-1），这两部分组成的公式可以用来计算一组数据的变异程度，从而可以对数据进行分析和比较。

因式分解：平方差公式

公式法 --平方差公式
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式.
2.什么是提公因式法分解因式?
在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式没有公因式，是否就不能分解因式了？
1.计算：
(1)(x+1)(x-1)
此处运用了什么公式? 逆用平方差公式
试计算：9992 – 12 = (999+1)(999–1) = 1000×998 = 998000
因式分解:（1）x2 – 422 ;（2）y2 – 2552 = (x+2)(x–2) = (y+5)(y–5)
这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：a2 b2 a ba b
x2 1
(2) (y+4)(y-4)
y2 16
2. 根据1题的结果分解因式：
（1）x 2 1
=(x+1)(x-1)
（2） y 2 16
=(y+4)(y-4)
你能将多项式 y2-25 与多项式 x2-4 分解因式吗？
y2 -25=（y+5）（y-5） x2 -4=（x+2）（x-2）
由以上1、2两题你发现了什么？
2 4 6 8 10 12
4022 4024
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.利用平方差公式分解因式: a2－b2=（a+b)(a-b) 2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法. 3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止. 4.计算中应用因式分解,可使计算简便.
纯数学是魔术家真正的魔杖. ——诺瓦列斯
(9) 2a2－8

多次运用平方差公式因式分解(一)

多次运用平方差公式因式分解(一)平方差公式是初中数学里常见的知识点之一，它的运用范围也非常广泛。

其中最常见的一种运用是因式分解，利用平方差公式将一个多项式分解成两个平方差的形式。

本文将对多次运用平方差公式因式分解的方法进行探讨。

一、平方差公式平方差公式是指两个数的积可以表示成它们两者之差的平方加上这两个数的平均数的平方。

记作a×b=(a+b)²-(a-b)²/4。

例如，当 a=3，b=4 时，a×b=3×4=12，(a+b)²=49，(a-b)²=1，那么根据平方差公式，a×b=(a+b)²-(a-b)²/4=12。

二、平方差公式因式分解平方差公式因式分解是指将一个多项式表示成两个平方差的形式相减的结果，如a²-b²=(a+b)(a-b)。

通过这种方法，我们可以将一个多项式因式分解成两个平方差的形式。

例如，要将a²-4b² 分解，我们可以运用平方差公式将其化为(a+2b)(a-2b) 的形式。

三、多次运用平方差公式因式分解运用平方差公式因式分解将一个多项式分解成两个平方差的形式相减，我们可以继续运用平方差公式因式分解其得到的两个平方差分别。

例如，对于问题 4x⁴-25y⁴，我们可以将其分解为(2x²)²-(5y²)²，然后继续运用平方差公式因式分解，得到(2x²+5y²)(2x²-5y²)。

在多项式中多次运用平方差公式因式分解，可以大大简化得出解的过程，极大提高解决问题的效率。

因此，在进行多项式的解题时，多次运用平方差公式因式分解是非常有必要和重要的。

综上所述，平方差公式因式分解是初中数学中常见的知识点，通过多次运用平方差公式因式分解，可以在解决问题时提高解决效率，节约解决时间，是我们学习数学中常用的方法之一。

平方差公式的运用

平方差公式的运用(a+b)(a-b)=a^2-b^2其中，a和b可以是任意实数或复数。

在应用平方差公式时，我们可以将一个数表示为两个数之和和差的形式，从而简化计算过程。

下面，我们将分别讨论平方差公式在数学和物理学中的应用。

一、数学中的应用：1.因式分解：平方差公式可以用于将二次多项式进行因式分解。

例如，对于二次多项式x^2-4，可以使用平方差公式(x+2)(x-2)进行因式分解。

2.求解一元二次方程：平方差公式也可以被用来求解一元二次方程。

例如，对于方程x^2-5x+6=0，我们可以使用平方差公式(x-3)(x-2)=0进行求解，从而得到方程的根x=3和x=23. 求解三角方程：在解决一些特殊的三角方程时，平方差公式也可以被应用。

例如，对于方程sin^2(x) - cos^2(x) = 1，我们可以使用平方差公式sin^2(x) - cos^2(x) = sin^2(x) - (1 - sin^2(x)) =2sin^2(x) - 1 = 1进行求解。

二、物理学中的应用：1.力的分解：在物理学中，平方差公式可以用于解决力的分解问题。

例如，当一个力F斜向作用于一个物体时，可以将力F分解为水平方向的力F_x和垂直方向的力F_y。

通过使用平方差公式，我们可以得到力F的大小F以及F_x和F_y之间的关系，从而简化问题的求解过程。

2. 计算加速度：平方差公式也可以用于计算加速度。

例如，当一个物体以初速度v_0匀加速运动到其中一时刻时，其速度可以表示为v =v_0 + at，其中a为加速度， t为时间。

我们可以使用平方差公式v^2 - v_0^2 = 2aΔx来计算加速度。

3. 计算动能差：在物理学中，平方差公式也可以被应用于计算动能差。

例如，当一个物体从高度h自由下落到地面时，其动能的变化量可以表示为ΔE_k = mgh，其中m为物体的质量，g为重力加速度。

利用平方差公式，我们可以将ΔE_k表示为ΔE_k = mg(h - 0) = mgh，从而计算动能差。