苏教版版高考数学一轮复习第二章函数函数性质的综合问题教学案
苏教版函数性质复习课教案教案
苏教版函数性质复习课教案教案苏教版函数性质复习课教案教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2 函数复习的教学设计江苏省邗江中学数学组王祥作者小传：1988年毕业于徐州师范学院数学系，开过多次县、区级公开课，曾获县、区级数学课“二等奖”， 2001年辅导学生参加数学联赛，1人获江苏省“二等奖”，1人获全国“二等奖”，获数学竞赛“优秀辅导教师” 奖，参编了教铺材料《一课三练》，2005年被评为“扬州市高三数学教学先进个人” 。
一、教学目标：1、知识与技能：（1）巩固函数知识，形成知识与知识、知识与方法的联系，帮助学生构建函数的知识结构。
（2）会判断函数的奇偶性、单调性，并能用定义证明、会用图象观察法、函数单调性求函数的值域。
（3）初步形成全面分析、研究函数的能力。
2、过程与方法：通过对函数)0()(≠+=x xa x x f 的研究，使学生会用适当的方法分析、解决问题。
3、情感、态度、价值观：激发学生学习的热情，培养学生的探究能力和认真严谨的科学态度。
二、设计思路：从学生熟悉的问题情景入手，通过设计变式问题，逐步加大问题的难度，让学生在自主探求、合作交流中分析、解决问题，同时把函数的主要知识即：定义域、值域、图象、性质以及有关方法由“点”成“串”形成联系，构建成知识网络，实现对数学知识与方法的整合，提高解决问题的能力。
三、教学重点、难点：3重点：整合函数知识与方法，构建知识结构。
难点：问题若函数)0()(>+=a xa x x f 在]2,0(上是减函数、在),2[+∞上是增函数，求a 的值中的a 值确定。
四、教学资源：学生已经学习了函数的概念、图象和性质，初步会求函数的定义域、值域，会判断函数的奇偶性、单调性，并能用定义证明。
五、过程设计：1．提出问题，创设情景问题：已知函数xx x f 1)(+=（1）求函数的定义域（2）判断函数的奇偶性（3）证明函数在]1,0(上是减函数、在),1[+∞上是增函数。
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.8 函数的图象教学案 苏教版-苏教版高三全册数学教学案
第八节 函数的图象[最新考纲] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．1．利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象②y ＝f (x )的图象(4)翻转变换[常用结论]1．关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称． ( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√二、教材改编1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称C [∵f (x )＝1x－x 是奇函数， ∴图象关于原点对称．]2．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图象是( )A BC DC [距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．]3.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________． (－1,1] [在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．]考点1 作函数的图象函数图象的常用画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出图象．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作出．作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. [解](1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分． ① ②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，如图③.③ ④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.(1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．考点2 函数图象的辨识辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(1)(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A BC D(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )A BC D(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为S ＝f (t )，则f (t )的图象大致为( )A B C D(1)D (2)B (3)A [(1)∵f (－x )＝sin －x －x cos －x ＋－x2＝－sin x ＋x cos x ＋x2＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．又∵f (π)＝sin π＋πcos π＋π2＝π－1＋π2＞0，∴选D. (2)当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项可知，应选B.(3)当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，CQ ＝8－2t ，则S ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24；当4＜t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为45t ，CQ ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t ＝45(t 2－4t )；当6＜t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×CP sin∠ACB ＝12(2t －8)(14－t )×35＝35(t －4)(14－t )．综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A ，故选A.]由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．1.(2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝2x32x ＋2－x 在[－6,6]的图象大致为( )A B C DB [设f (x )＝2x 32x ＋2－x (x ∈[－6,6])，则f (－x )＝2－x 32－x ＋2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除选项C ；当x ＝－1时，f (－1)＝－45＜0，排除选项D ；当x ＝4时，f (4)＝12816＋116≈7.97，排除选项A.故选B.]2.如图，圆与两坐标轴分别切于A ，B 两点，圆上一动点P 从A 开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A 点，则与△OBP 的面积随时间变化的图象相符合的是( )A B C DA [当P 从A 运动到B 的过程中，△OBP 的面积逐渐减小，在点B 处，△OBP 的面积为零，当P 从B 运动到圆的最高点的过程中，△OBP 的面积又逐渐增大，且当P 位于圆的最高点时，△OBP 的面积达到最大值，当P 从最高点运动到A 点的过程中，△OBP 的面积又逐渐减小，故选A.]考点3 函数图象的应用利用函数图象的直观性求解相关问题，关键在于准确作出函数图象，根据函数解析式的特征和图象的直观性确定函数的相关性质，特别是函数图象的对称性等，然后解决相关问题．研究函数的性质(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．(1)C (2)32 [(1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32. ]利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系．如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．解不等式设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)D [因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x ＜0可化为f x x＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．]当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．求参数的取值范围(1)已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．(1)(0,1] (2)[－1，＋∞) [(1)作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示， 由图可知k ∈(0,1]．(2)如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．]当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围．1.(2019·贵阳市监测考试)已知函数f (x )＝2xx －1，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称B ．函数f (x )在(－∞，1)上是增函数C ．函数f (x )的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB ∥x 轴D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称A [因为y ＝2x x －1＝2x －1＋2x －1＝2x －1＋2，所以该函数图象可以由y ＝2x的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称，A 正确，D 错误；易知函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，故B 错误；易知函数f (x )的图象是由y ＝2x的图象平移得到的，所以不存在两点A ，B 使得直线AB ∥x 轴，C 错误．故选A.]2.已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )＞f (－x )－2x 的解集是________．(－1,0)∪(1，2] [由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )＞－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]3．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时， k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.]。
苏教版版高考数学一轮复习第二章函数对数与对数函数教学案
１．对数的概念如果a x＝N（a＞0且a≠１），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．２．对数的性质、换底公式与运算性质（１）对数的性质：１a log a N＝N；２log a a b＝b（a＞0，且a≠１）．（２）换底公式：log a b＝错误!（a，c均大于0且不等于１，b＞0）．（３）对数的运算性质：如果a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：１log a（M·N）＝log a M＋log a N；２log a错误!＝log a M—log a N；３log a M n＝n log a M（n∈R）．３．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝log a x（a＞0且a≠１）叫做对数函数图象a＞１0＜a＜１性质定义域：（0，＋∞）值域：R当x＝１时，y＝0，即过定点（１,0）当0＜x＜１时，y＜0；当x＞１时，y＞0当0＜x＜１时，y＞0；当x＞１时，y＜0在（0，＋∞）上为增函数在（0，＋∞）上为减函数４．反函数指数函数y＝a x（a＞0且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．错误!１．换底公式的两个重要结论（１）log a b＝错误!；（２）log am b n＝错误!log a b.其中a＞0且a≠１，b＞0且b≠１，m，n∈R，m≠0．２．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝１，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜１＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝log２（x＋１）是对数函数．（）（２）log２x２＝２log２x. （）（３）函数y＝ln错误!与y＝ln（１＋x）—ln（１—x）的定义域相同．（）（４）对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象过定点（１,0），且过点（a,１），错误!，函数图象不在第二、三象限．（）[答案]（１）×（２）×（３）√（４）√二、教材改编１．（log２9）·（log３４）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．４D[（log２9）·（log３４）＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝４．故选Ｄ．]Ａ．a＞b＞cＢ．a＞c＞bＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞bD[因为0＜a＜１，b＜0，c＝log错误!错误!＝log２３＞１．所以c＞a＞b.故选Ｄ．]３．函数y＝的定义域是________．[由（２x—１）≥0，,得0＜２x—１≤１．,∴错误!＜x≤１．,∴函数y＝的定义域是.]４．函数y＝log a（４—x）＋１（a＞0，且a≠１）的图象恒过点________．（３,１）[当４—x＝１即x＝３时，y＝log a１＋１＝１．,所以函数的图象恒过点（３,１）．]考点１对数式的化简与求值对数运算的一般思路（１）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．（２）合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．１．设２a＝５b＝m，且错误!＋错误!＝２，则m等于（）Ａ．错误!Ｂ．１0Ｃ．２0 Ｄ．１00A[由已知，得a＝log２m，b＝log５m，,则错误!＋错误!＝错误!＋错误!,＝log m２＋log m５＝log m １0＝２．,解得m＝错误!.]２．计算：错误!÷１00错误!＝________.—２0 [原式＝（lg ２—２—lg ５２）×１00错误!＝lg错误!×１0＝lg １0—２×１0＝—２×１0＝—２0．]３．计算：错误!＝________.１[原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝１．]对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．考点２对数函数的图象及应用对数函数图象的识别及应用方法（１）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项．（２）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．（１）（２0１9·浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y＝错误!，y＝log a（a ＞0，且a≠１）的图象可能是（）A BC D（２）当0＜x≤错误!时，４x＜log a x，则a的取值范围是（）Ａ．0，错误!Ｂ．错误!，１Ｃ．（１，错误!）Ｄ．（错误!，２）（１）D（２）B[（１）对于函数y＝log a，当y＝0时，有x＋错误!＝１，得x＝错误!，即y＝log a的图象恒过定点错误!，0，排除选项A、C；函数y＝错误!与y＝log a在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选Ｄ．（２）构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a＞１时不满足条件，当0＜a＜１时，画出两个函数在的图象，可知f＜g，即２＜log a错误!，则a＞错误!，所以a的取值范围为.][母题探究]１．（变条件）若本例（２）变为：若不等式x２—log a x＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．[解] 由x２—log a x＜0得x２＜log a x，设f１（x）＝x２，f２（x）＝log a x，要使x∈时，不等式x２＜log a x恒成立，只需f１（x）＝x２在上的图象在f２（x）＝log a x图象的下方即可．当a ＞１时，显然不成立；当0＜a＜１时，如图所示．要使x２＜log a x在x∈上恒成立，需f１≤f２，所以有错误!≤log a错误!，解得a≥错误!，所以错误!≤a＜１．即实数a的取值范围是.２．（变条件）若本例（２）变为：当0＜x≤错误!时，错误!＜log a x，求实数a的取值范围．[解] 若错误!＜log a x在x∈成立，则0＜a＜１，且y＝错误!的图象在y＝log a x图象的下方，如图所示，由图象知错误!＜log a错误!，所以解得错误!＜a＜１．即实数a的取值范围是.１．（２0１9·合肥模拟）函数y＝ln（２—|x|）的大致图象为（）,A BC DA[令f（x）＝ln（２—|x|），易知函数f（x）的定义域为{x|—２＜x＜２}，且f（—x）＝ln（２—|—x|）＝ln（２—|x|）＝f（x），,所以函数f（x）为偶函数，排除选项C，Ｄ．,当x＝错误!时，f错误!＝ln 错误!＜0，排除选项B，故选Ａ．]２．已知函数y＝log a（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠１）的图象如图，则下列结论成立的是（）Ａ．a＞１，c＞１Ｂ．a＞１,0＜c＜１Ｃ．0＜a＜１，c＞１Ｄ．0＜a＜１,0＜c＜１D[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜１,0＜c＜１．]３．设方程１0x＝|lg（—x）|的两个根分别为x１，x２，则（）Ａ．x１x２＜0 Ｂ．x１x２＝0Ｃ．x１x２＞１Ｄ．0＜x１x２＜１D[作出y＝１0x与y＝|lg（—x）|的大致图象，如图．显然x１＜0，x２＜0．不妨令x１＜x２，则x１＜—１＜x２＜0，所以１0x１＝lg（—x１），１0x２＝—lg（—x２），此时１0x１＜１0x２，即lg（—x１）＜—lg（—x２），由此得lg（x１x２）＜0，所以0＜x１x２＜１，故选Ｄ．]考点３对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的３个关注点（１）定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．（２）底数与１的大小关系．（３）复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．比较大小（１）（２0１9·天津高考）已知a＝log５２，b＝log0．５0．２，c＝0．５0．２，则a，b，c 的大小关系为（）Ａ．a＜c＜bＢ．a＜b＜cＣ．b＜c＜aＤ．c＜a＜b（２）已知a＝log２e，b＝ln ２，c＝log错误!错误!，则a，b，c的大小关系为（）Ａ．a＞b＞cＢ．b＞a＞cＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞b（１）A（２）D[（１）因为a＝log５２＜log５错误!＝错误!，b＝log0．５0．２＞log0．５0．５＝１，c＝0．５0．２＝错误!错误!＞错误!，0．５0．２＜１，所以a＜c＜b，故选Ａ．（２）因为a＝log２e＞１，b＝ln ２∈（0,１），c＝log错误!错误!＝log２３＞log２e＞１，所以c ＞a＞b，故选Ｄ．]对数值大小比较的主要方法（１）化同底数后利用函数的单调性．（２）化同真数后利用图象比较．（３）借用中间量（0或１等）进行估值比较．解简单对数不等式（１）若log a错误!＜１（a＞0且a≠１），则实数a的取值范围是________．（２）若log a（a２＋１）＜log a２a＜0，则a的取值范围是________．（１）错误!∪（１，＋∞）（２）错误![（１）当0＜a＜１时，log a错误!＜log a a＝１，∴0＜a＜错误!；当a＞１时，log a错误!＜log a a＝１，∴a＞１．∴实数a的取值范围是错误!∪（１，＋∞）．（２）由题意得a＞0且a≠１，故必有a２＋１＞２a，又log a（a２＋１）＜log a２a＜0，所以0＜a＜１，同时２a＞１，所以a＞错误!.综上，a∈错误!.]对于形如log a f（x）＞b的不等式，一般转化为log a f（x）＞log a a b，再根据底数的范围转化为f（x）＞a b或0＜f（x）＜a b.而对于形如log a f（x）＞log b g（x）的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f（x）＝log a（３—ax）．（１）当x∈[0,２]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（２）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解]（１）因为a＞0且a≠１，设t（x）＝３—ax，则t（x）＝３—ax为减函数，x∈[0,２]时，t（x）的最小值为３—２a，当x∈[0,２]时，f（x）恒有意义，即x∈[0,２]时，３—ax＞0恒成立．所以３—２a＞0．所以a＜错误!.又a＞0且a≠１，所以a∈（0,１）∪错误!.（２）t（x）＝３—ax，因为a＞0，所以函数t（x）为减函数．因为f（x）在区间[１,２]上为减函数，所以y＝log a t为增函数，所以a＞１，当x∈[１,２]时，t（x）最小值为３—２a，f（x）最大值为f（１）＝log a（３—a），所以错误!即错误!故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与１的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．１．已知函数f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，则a的取值范围为（）Ａ．（—∞，４] Ｂ．[４，＋∞）Ｃ．[—４,４] Ｄ．（—４,４]D[令g（x）＝x２—ax＋３a，因为f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，所以函数g（x）在区间[２，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以错误!a≤２且g（２）＞0，所以a≤４且４＋a＞0，所以—４＜a≤４．故选Ｄ．]２．函数y＝log a x（a＞0且a≠１）在[２,４]上的最大值与最小值的差是１，则a＝________.２或错误![分两种情况讨论：１当a＞１时，有log a４—log a２＝１，解得a＝２；２当0＜a＜１时，有log a２—log a４＝１，解得a＝错误!.所以a＝２或错误!.]３．设函数f（x）＝若f（a）＞f（—a），则实数a的取值范围是________．（—１,0）∪（１，＋∞）[由题意得错误!或解得a＞１或—１＜a＜0．]。
【优化方案】高考数学一轮复习 第2章第二节 函数的定义域、值域和最值课件 文 苏教
(5)令 x＝ 5sinθ(－π2≤θ≤π2)，
得 y＝ 5sinθ＋ 5－ 5sinθ2 ＝ 5sinθ＋ 5cosθ＝ 10sin(θ＋π4)． ∵－π2≤θ≤π2，∴－π4≤θ＋π4≤34π.
于是－ 22≤sin(θ＋π4)≤1， 则－ 5≤ 10sin(θ＋π4)≤ 10， 即－ 5≤y≤ 10. ∴所求值域为[－ 5， 10]．
解析：分别画出三个函数 y＝－x＋3，y＝32x＋12， y＝x2－4x＋3 的图象(如图)，得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数 f(x)的表达式：
x2－4x＋3x≤0， －x＋30＜x≤1，
f(x)＝
32x＋211＜x≤5， x2－4x＋3x＞5.
f(x)的 图 象 是
∴f(x)的值域为[－52，－2]∪[－32，32]．
【名师点评】 求某个函数的最值或值域时，首 先要仔细、认真地观察其解析式的特征，然后再 选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数的 单调性法．
互动探究4 例4条件不变，设函数g(x)＝ax－2， x∈[－2，2]，若对于任意的x1∈[－2,2]，总存 在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a 的取值范围．
3．函数值域的主要求法 (1)利用函数的单调性 若y＝f(x)是[a，b]上的单调增(减)函数，则f(a)、 f(b)分别是f(x)在区间[a，b]上的最_小__(_大__)值， 最_大__(_小__) 值． (2)利用配方法
将函数配成一个完全平方式与一个常量和形式， 用此种方法，特别要注意对于x在定义域内的 值是否能使完全平方式取得__零__．__
第二节 函数的定义域、值域和最值
第
二
节
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的单调性与最值教学案 苏教版-苏教版高三全册数学教学案
第二节 函数的单调性与最值[最新考纲] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2定义当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．2．函数的最值前提函数y ＝f (x )的定义域为A ，存在x 0∈A条件 任意x ∈A ，都有 f (x )≤f (x 0) 任意x ∈A ，都有 f (x )≥f (x 0) 结论 f (x 0)为y ＝f (x )的最大值f (x 0)为y ＝f (x )的最小值记法 y max ＝f (x 0)y min ＝f (x 0)[常用结论]1．函数单调性的结论 (1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋a x(a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减〞． 2．函数最值存在的2个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰〞函数一定存在最大(小)值．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)假设定义在R 上的函数f (x )有f (－1)＜f (3)，那么函数f (x )在R 上为增函数．( ) (3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，那么函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先递减后递增D ．先递增后递减C [因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x ＝3，所以函数y ＝x 2－6x ＋10在(2,3)上为减函数，在(3,4)上为增函数．]2．以下函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4A [y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，应选A.]3．假设函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，那么k 的取值X 围是________．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0， 即k ＜－12.]4．函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，那么f (x )的最大值为________，最小值为________． 2 25 [易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]考点1 确定函数的单调性(区间) 确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和〞或“，〞连接，不能用“∪〞连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减〞的原那么时，需先确定简单函数的单调性．求函数的单调区间(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________． (1)B(2)[2，＋∞) (－∞，－3] [(1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如下图，函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.应选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，那么y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．](1)求复合函数的单调区间的步骤一般为：①确定函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减〞．(2)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．含参函数的单调性[一题多解]判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1,2]上的单调性．[解] 法一：(定义法)设1≤x 1＜x 2≤2，那么f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 1＋x 2－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14. 又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 法二：(导数法)因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x2， 因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8， 又1＜a ＜3， 所以2ax 3－1＞0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．定义法证明函数单调性的一般步骤：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f (x 1)－f (x 2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性)．1.函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)A [由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2，当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ＜2时，(－∞，1]是函数f (x )的单调递增区间，[1,2]是函数f (x )的单调递减区间．] 2．判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [解] 法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：(导数法)f ′(x )＝a x －1－ax x －12＝－ax －12，所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为单调减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为单调增函数．考点2 函数的最值求函数最值的5种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等〞的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x ＞0的最小值为f (0)，那么实数a 的取值X 围是( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2](2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．(3)函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．(1)D (2)3 (3)14 [(1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．故当x ＝1时取得最小值2＋a ， ∵f (x )的最小值为f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2单调递减，故a ≥0， 此时的最小值为f (0)＝a 2，故2＋a ≥a 2，得－1≤a ≤2. 又a ≥0，得0≤a ≤2.应选D.(2)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝3－log 21＝3.(3)令t ＝x ，那么t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.][逆向问题] 假设函数f (x )＝－a x ＋b (a ＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，那么a ＝________，b ＝________.1 52 [∵f (x )＝－a x ＋b (a ＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.](1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．如本例(3)．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．如本例(1)．(3)假设函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，那么必在区间的端点处取得最值．如本例(2)；假设函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，那么最小值为函数f (x )在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数f (x )在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值．1.函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．(－∞，－4]∪[4，＋∞) [当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x≥4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ＜0时，－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x≤－4，当且仅当x ＝－2时取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．]2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，那么函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．1 [法一：(图象法)在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )图象， 依题意，h (x )的图象如下图．易知点A (2,1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：(单调性法)依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.]考点3 函数单调性的应用比较大小比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，假设自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [根据可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，f (2)＞f (2.5)＞f (3)，所以b ＞a ＞c .]本例先由[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0得出f (x )在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－12，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．解不等式求解含“f 〞的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f 〞，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．此时要特别注意函数的定义域．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，那么实数a 的取值X 围为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,1)C [因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，应选C.]本例在求解时，应注意隐含条件为a 2－a ∈[－2,2]，2a －2∈[－2,2]．[教师备选例题]f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，那么不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]根据函数的单调性求参数利用单调性求参数的X 围(或值)的方法(1)视参数为数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与单调区间比较求参数．(2)需注意假设函数在区间[a ，b ]上是单调的，那么该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(1)(2019·某某模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，那么a 的取值X 围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.假设函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，那么实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)(1)C (2)D [(1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.所以a 的取值X 围是a ≤－3.(2)作出函数f (x )的图象如下图 ，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，应选D.]分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)．1.假设函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，那么a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]B [因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a ，－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，且函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a ＞1.所以a 的取值X 围是(1，＋∞)．应选B.]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，假设f (2－x 2)＞f (x )，那么实数x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)D [因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，word - 11 - / 11 函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.]3．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值X 围是( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 C [由条件得f (x )为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ＞0，a ＞1，2－a ×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2， 所以a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.应选C.]。
高中数学 第二章 函数单元综合小结教案 苏教版必修1
【解析】
例பைடு நூலகம்对于任意非零实数 ，已知函数 满足 .
（1）求 ；（2）判断 的奇偶性；
【解析】
三、总结提升
1、本节课你主要学习了
因材施教：
教学后记：
（3）已知函数 是偶函数，且在区间 上单调递增，则函数 在区间 上的增减性为
（4）已知函数 是奇函数，在区间 上单调递增，且最大值为9，则
（5）已知函数 是偶函数，在区间 上单调递增，且最大值为10，则
(6)已知函数 是定义在R上的偶函数，函数 是定义在R上的奇函数，则下列说法一定正确的是（）
A. 是偶函数B. 是奇函数
第二章函数
明确目标
对函数及其性质进行系统性总结
重点难点
函数的性质
课型
□讲授□习题□复习□讨论□其它
教学内容设计
师生活动设计
一、知识回顾
（一）知识要点
1.函数：①函数的概念；②三要素：定义域，值域，对应法则；
2.函数的表示：①表示法：解析法，列表法，图象法；②求函数的解析式；③求函数的定义域；④求一些简单函数的值域和最值.
【点评】要判断函数的奇偶性记得定义域优先的原则；要证明函数单调性须记住证明函数单调性的步骤；函数在闭区间D上的最值，通常在端点处取得，但解答题要经过证明，证明其在区间D上严格单调.
3.抽象函数的性质
例3（1）已知函数 是定义域为R的奇函数，则
（2）已知函数 是奇函数，且在区间 上单调递减，则函数 在区间 上的增减性为
2.函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③实际问题要考虑实际意义等.
苏教版版高考数学一轮复习第二章函数函数与方程教学案
１．函数的零点（１）函数零点的定义对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．（２）三个等价关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．（３）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１,0），（x２,0）（x１,0）无交点零点个数２１0有关函数零点的３个结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0．（）（３）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）＜0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）（４）二次函数y＝ax２＋bx＋c在b２—４ac＜0时没有零点．（）[答案]（１）×（２）×（３）×（４）√二、教材改编１．已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数yＡ．２个Ｂ．３个Ｃ．４个Ｄ．５个B[∵f（２）·f（３）＜0，f（３）·f（４）＜0，f（４）·f（５）＜0，故函数f（x）在区间[１,6]内至少有３个零点．]２．函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点所在的区间是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,３）Ｄ．（３,４）C[由题意得f（１）＝ln １＋２—6＝—４＜0，f（２）＝ln ２＋４—6＝ln ２—２＜0，f（３）＝ln ３＋6—6＝ln ３＞0，f（４）＝ln ４＋8—6＝ln ４＋２＞0，∴f（x）的零点所在的区间为（２,３）．]３．函数f（x）＝e x＋３x的零点个数是________．１[由已知得f′（x）＝e x＋３＞0，所以f（x）在R上单调递增，又f（—１）＝错误!—３＜0，f （0）＝１＞0，因此函数f（x）有且只有一个零点．]４．函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为________．１[作函数y１＝x错误!和y２＝错误!错误!的图象如图所示．由图象知函数f（x）有１个零点．]考点１函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法（１）解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．（２）零点存在性定理．（３）数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．１．函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的区间为（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,３）Ｄ．（３,４）B[由题意知函数f（x）是增函数，因为f（１）＜0，f（２）＝ln ２—错误!＝ln ２—ln 错误!＞0，所以函数f（x）的零点所在的区间是（１,２）．故选Ｂ．]２．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x—a）（x—b）＋（x—b）（x—c）＋（x—c）（x—a）的两个零点分别位于区间（）Ａ．（a，b）和（b，c）内Ｂ．（—∞，a）和（a，b）内Ｃ．（b，c）和（c，＋∞）内Ｄ．（—∞，a）和（c，＋∞）内A[∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a—b）（a—c）＞0，f（b）＝（b—c）（b—a）＜0，f（c）＝（c—a）（c—b）＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间（a，b）（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内，故选Ａ．]３．已知函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点在错误!（k∈Z）内，那么k＝________.５[∵f′（x）＝错误!＋２＞0，x∈（0，＋∞），∴f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，且f错误!＝ln 错误!—１＜0，f（３）＝ln ３＞0，∴f（x）的零点在错误!内，则整数k＝５．]（１）f（a）·f（b）＜0是连续函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．（２）若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，且f（x）的图象连续不断，则f（a）·f（b）＜0⇒函数f（x）在区间[a，b]上只有一个零点．考点２函数零点个数的判断函数零点个数的讨论，基本解法有（１）直接法，令f（x）＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点．（２）定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．（３）图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．（１）（２0１9·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝２sin x—sin ２x在[0,２π]的零点个数为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５（２）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３（３）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e x＋x—３，则f（x）的零点个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（１）B（２）D（３）C[（１）由f（x）＝２sin x—sin ２x＝２sin x—２sin x cos x＝２sin x·（１—cos x）＝0得sin x＝0或cos x＝１，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,２π]，∴x＝0，π，２π，即零点有３个，故选Ｂ．（２）依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x２—２x的图象（如图），可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f（x）＝２x＋１与x轴只有一个交点，综上，函数f（x）有３个零点．故选Ｄ．（３）因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，即x＝0是函数f（x）的１个零点．当x＞0时，令f（x）＝e x＋x—３＝0，则e x＝—x＋３，分别画出函数y＝e x和y＝—x＋３的图象，如图所示，两函数图象有１个交点，所以函数f（x）有１个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f（x）也有１个零点．综上所述，f（x）的零点个数为３．]（１）利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．（２）图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．１．函数f（x）＝２x|log0．５x|—１的零点个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４B[令f（x）＝２x|log0．５x|—１＝0，可得|log0．５x|＝错误!错误!.设g（x）＝|log0．５x|，h（x）＝错误!错误!.在同一坐标系下分别画出函数g（x），h（x）的图象，可以发现两个函数图象一定有２个交点，因此函数f（x）有２个零点．故选Ｂ．]２．已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝—２，f（—１）＝１，则函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为________．３[依题意得错误!由此解得错误!由g（x）＝0得f（x）＋x＝0，该方程等价于错误!１或错误!２解１得x＝２，解２得x＝—１或x＝—２．因此，函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为３．]考点３函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的３种常用方法（１）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（２）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（３）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．根据函数零点个数求参数已知函数f（x）＝|x２＋３x|，x∈R，若方程f（x）—a|x—１|＝0恰有４个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．（0,１）∪（9，＋∞）[设y１＝f（x）＝|x２＋３x|，y２＝a|x—１|，在同一直角坐标系中作出y１＝|x２＋３x|，y２＝a|x—１|的图象如图所示．由图可知f（x）—a|x—１|＝0有４个互异的实数根等价于y１＝|x２＋３x|与y２＝a|x—１|的图象有４个不同的交点且４个交点的横坐标都小于１，所以错误!有两组不同解，消去y得x２＋（３—a）x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝（３—a）２—４a＞0，即a２—１0a＋9＞0，解得a＜１或a＞9．又由图象得a＞0，∴0＜a＜１或a＞9．]由函数的零点个数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．根据函数有无零点求参数已知函数f（x）＝错误!则使函数g（x）＝f（x）＋x—m有零点的实数m的取值范围是________．（—∞，0]∪（１，＋∞）[函数g（x）＝f（x）＋x—m的零点就是方程f（x）＋x＝m的根，画出h（x）＝f（x）＋x＝错误!的大致图象（图略）．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞１时，有交点，即函数g（x）＝f（x）＋x—m有零点．]函数有无零点问题⇔函数图象与x轴有无公共点问题．根据零点的范围求参数若函数f（x）＝（m—２）x２＋mx＋（２m＋１）的两个零点分别在区间（—１,0）和区间（１,２）内，则m的取值范围是________．错误![依题意，结合函数f（x）的图象分析可知m需满足错误!即错误!解得错误!＜m＜错误!.]此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１,２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１,３）Ｂ．（１,２）Ｃ．（0,３）Ｄ．（0,２）C[因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则由题意得f（１）·f（２）＝（0—a）（３—a）＜0，解得0＜a＜３，故选Ｃ．]２．方程log错误!（a—２x）＝２＋x有解，则a的最小值为________．１[若方程log错误!（a—２x）＝２＋x有解，则错误!错误!＝a—２x有解，即错误!错误!错误!＋２x＝a有解，因为错误!错误!错误!＋２x≥１，故a的最小值为１．]３．已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．（—１,0）[关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，等价于函数y１＝f（x）与函数y２＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是（—１,0）．]。
高中数学第二章《函数性质的综合应用》导学案苏教版必修1
高中数学第二章《函数性质的综合应用》导学案苏教版必修1 江苏响水中学数学第二章“函数性质的综合应用”指导案例苏教育版必修11。
归纳函数的单调性、奇偶性和判断方法。
2。
利用函数的单调性和奇偶性解决综合问题。
3年，我们通过结合基本函数的性质、函数的单调性和奇偶性，总结了一些特殊函数的性质。
在之前，我们学习了函数的单调性、奇偶性和最大值。
对于单调性，我们主要需要掌握增函数和减函数的定义和证明，图像特征，以及单调性的综合应用。
对于奇偶性，应掌握奇偶性的定义、判断方法和图像特征。
寻找最大值的方法是这一部分的重点之一。
应该注意通过一些典型的话题来掌握一些常用的方法。
在学习性质上的综合应用是本部分的重点和热点。
这堂课将讨论性质的综合应用。
问题1:函数单调性的证明或判断方法的归纳:(1)定义(差分法)；→号码固定；(2)直接使用已知函数的单调性(如，，反比例函数等。
)；(3)如果f(x)是区间D上的增(减)函数，那么f(x)也是任何非空区间D上的增(减)函数；(4)图像法:根据图像的上升或下降趋势判断函数的单调性；(5)对称单调性区间中奇数函数的单调性和对称单调性区间中偶数函数的单调性。
问题2:判断函数的奇偶性:(1)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称；如果域关于原点不对称，函数f(x)；(2)在定义域关于原点对称的前提下，研究了f(x)与f(-x)或-f(x)之间的关系。
如果是这样，函数f(x)是一个偶数函数；如果是这样，函数f(x)就是奇数函数。
问题3:求函数f(x)的值域或最大值的常用方法有:、、单调性判断法等。
问题4:两个重要函数的性质:(1)y=ax+(a>0，b>0的性质):这个函数的定义域是，满足f(-x)=-f(x)，所以这个函数是，当x>0时，函数可以变形为y=(-)2+2≥2，并且当且仅当x=且定义域为时，才获得最小值如果f(m)+f(m-1)>0，则现实数的取值范围m.已知函数f(x)=取值范围。
苏教版版高考数学一轮复习第二章函数函数模型及其应用教学案
１．常见的几种函数模型（１）一次函数模型：y＝kx＋b（k≠0）.（２）反比例函数模型：y＝错误!＋b（k，b为常数且k≠0）.（３）二次函数模型：y＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）.（４）指数函数模型：y＝a·b x＋c（a，b，c为常数，b＞0，b≠１，a≠0）.（５）对数函数模型：y＝m log a x＋n（m，n，a为常数，a＞0，a≠１，m≠0）.（6）幂函数模型：y＝a·x n＋b（a≠0）.２．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝a x（a＞１）y＝log a x（a＞１）y＝x n（n＞0）在（0，＋∞）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（３）解模：求解数学模型，得出数学结论；（４）还原：将数学问题还原为实际问题.错误!形如f（x）＝x＋错误!（a＞0）的函数模型称为“对勾”函数模型：（１）该函数在（—∞，—错误!］和［错误!，＋∞）内单调递增，在［—错误!，0）和（0，错误!］上单调递减.（２）当x＞0时，x＝错误!时取最小值２错误!，当x＜0时，x＝—错误!时取最大值—２错误!.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝２x与函数y＝x２的图象有且只有两个公共点.（）（２）幂函数增长比直线增长更快. （）（３）不存在x0，使ax0＜x错误!＜log a x0. （）（４）f（x）＝x２，g（x）＝２x，h（x）＝log２x，当x∈（４，＋∞）时，恒有h（x）＜f（x）＜g（x）. （）［答案］（１）×（２）×（３）×（４）√二、教材改编１．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（）（注：结余＝收入—支出）Ａ．收入最高值与收入最低值的比是３∶１Ｂ．结余最高的月份是7月Ｃ．１至２月份的收入的变化率与４至５月份的收入的变化率相同Ｄ．前6个月的平均收入为４0万元D［由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为３0万元，其比是３∶１，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80—２0＝60（万元），故B正确；由题图可知，１至２月份的收入的变化率与４至５月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为错误!×（４0＋60＋３0＋３0＋５0＋60）＝４５（万元），故D错误.］２．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：x0．５00．99２．0１３．98y—0．990．0１0．98２．00则对x，yＡ．y＝２xＢ．y＝x２—１Ｃ．y＝２x—２Ｄ．y＝log２xD［根据x＝0．５0，y＝—0．99，代入计算，可以排除A；根据x＝２．0１，y＝0．98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log２x，可知满足题意，故选Ｄ．］３．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝错误!x２＋２x＋２0（万元）.一万件售价为２0万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为万件.１8 ［利润L（x）＝２0x—C（x）＝—错误!（x—１8）２＋１４２，当x＝１8时，L（x）有最大值.］４．用长度为２４的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为.３［设隔墙的长度为x（0＜x＜6），矩形面积为y，则y＝x×错误!＝２x（6—x）＝—２（x—３）２＋１8，∴当x＝３时，y最大.］考点１用函数图象刻画变化过程判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的２种方法（１）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.（２）验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.１．（２0１9·遵义模拟）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是４m和a m（0＜a＜１２）.不考虑树的粗细，现用１6 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f（a）（单位：m２）的图象大致是（）A B C DB［设AD的长为x m，则CD的长为（１6—x）m，则矩形ABCD的面积为x（１6—x）m２.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤１２．当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝6４；当8＜a ＜１２时，u＝a（１6—a）.画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选Ｂ．］２．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是（）A B C DB［由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细.再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选Ｂ．］３．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗１升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）Ａ．消耗１升汽油，乙车最多可行驶５千米Ｂ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多Ｃ．甲车以80千米/小时的速度行驶１小时，消耗１0升汽油Ｄ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D［根据图象知消耗１升汽油，乙车最多行驶里程大于５千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为１0千米/升，行驶１小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.］准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键.考点２应用所给函数模型解决实际问题求解所给函数模型解决实际问题的３个关注点（１）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.（２）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.（３）利用该模型求解实际问题.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为３万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）＝错误!x２＋x（万元）.在年产量不小于8万件时，W（x）＝6x＋错误!—３8（万元）.每件产品售价为５元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.（１）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入—固定成本—流动成本）（２）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？［解］（１）因为每件商品售价为５元，则x万件商品销售收入为５x万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L（x）＝５x—错误!—３＝—错误!x２＋４x—３；当x≥8时，L（x）＝５x—错误!—３＝３５—错误!.所以L（x）＝错误!（２）当0＜x＜8时，L（x）＝—错误!（x—6）２＋9．此时，当x＝6时，L（x）取得最大值L（6）＝9万元，当x≥8时，L（x）＝３５—错误!≤３５—２错误!＝３５—２0＝１５，此时，当且仅当x＝错误!，即x＝１0时，L（x）取得最大值１５万元.因为9＜１５，所以当年产量为１0万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为１５万元.解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x∈（0，＋∞）.一个容器装有细沙a cm３，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e—bt（cm３），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.１6 ［当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝a e—8b＝错误!a，∴e—8b＝错误!，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e—b t＝错误!a，e—b t＝错误!＝（e—8 b）３＝e—２４b，则t＝２４，所以再经过１6 min.］考点３构建函数模型解决实际问题构建函数模型解决实际问题的步骤构造二次函数、分段函数模型国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在３0或３0以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于３0，则给予优惠：每多１人，机票每张减少１0元，直到达到规定人数7５为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费１５000元.（１）写出每张飞机票的价格关于人数的函数；（２）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？［解］（１）设每团人数为x，由题意得0＜x≤7５（x∈N*），每张飞机票价格为y元，则y＝错误!即y＝错误!（２）设旅行社获利S元，则S＝错误!即S＝错误!因为S＝900x—１５000在区间（0,３0］上为增函数，故当x＝３0时，S取最大值１２000．又S＝—１0（x—60）２＋２１000，x∈（３0,7５］，所以当x＝60时，S取得最大值２１000．故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.解题过程——谨防２种失误（１）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.（２）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解.构造y＝x＋错误!（a＞0）模型某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料２00千克，每千克饲料的价格为１．8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0．0３元，购买饲料每次支付运费３00元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.［解］设该养殖场x（x∈N*）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少２00×0．0３＝6（元），所以x天饲料的保管费与其他费用共是6（x—１）＋6（x—２）＋…＋6＝（３x２—３x）（元）.从而有y＝错误!（３x２—３x＋３00）＋２00×１．8＝错误!＋３x＋３５7≥２错误!＋３５7＝４１7，当且仅当错误!＝３x，即x＝１0时，y有最小值.故该养殖场１0天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.利用模型f（x）＝ax＋错误!求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.构建指数函数、对数函数模型（１）世界人口在过去４0年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（参考数据lg ２≈0．３0１0,１00．007 ５≈１．0１7）（）Ａ．１．５% Ｂ．１．6%Ｃ．１．7% Ｄ．１．8%（２）十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从５４万亿元增加到8２．7万亿元，年均增长7．１%，占世界经济比重从１１．４%提高到１５%左右，对世界经济增长贡献率超过３0%,发展的预期目标是国内生产总值增长6．５%左右.如果从开始，以后每年的国内生产总值都按6．５%的增长率增长，那么的国内生产总值约为（提示：１．06５３≈１．２08）（）Ａ．9３．8万亿元Ｂ．99．9万亿元Ｃ．97万亿元Ｄ．１06．３9万亿元（１）C（２）B［（１）设每年人口平均增长率为x，则（１＋x）４0＝２，两边取以１0为底的对数，则４0lg（１＋x）＝lg ２，所以lg（１＋x）＝错误!≈0．007 ５，所以１00．007 ５＝１＋x，得１＋x≈１．0１7，所以x≈１．7%.故选Ｃ．（２）由题意可知，我国国内年生产总值约为：8２．7×（１＋6．５%）３≈99．9（万亿元）.故选Ｂ．］（１）与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型（底数大于１）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.（２）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.１．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0．１%，若初时含杂质２%，每过滤一次可使杂质含量减少错误!，至少应过滤次才能达到市场要求.（已知lg ２≈0．３0１0，lg ３≈0．４77 １）8 ［设至少过滤n次才能达到市场要求，则２%错误!错误!≤0．１%，即错误!错误!≤错误!，所以n lg 错误!≤—１—lg ２，所以n≥7．３9，所以n＝8．］２．某景区提供自行车出租，该景区有５0辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日１１５元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过１元，租不出的自行车就增加３辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）.（１）求函数y＝f（x）的解析式；（２）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？［解］（１）当x≤6时，y＝５0x—１１５，令５0x—１１５＞0，解得x＞２．３，∵x为整数，∴３≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝［５0—３（x—6）］x—１１５＝—３x２＋68x—１１５．令—３x２＋68x—１１５＞0，有３x２—68x＋１１５＜0，结合x为整数得6＜x≤２0，x∈Z.∴y＝错误!（２）对于y＝５0x—１１５（３≤x≤6，x∈Z），显然当x＝6时，y max＝１8５；对于y＝—３x２＋68x—１１５＝—３错误!错误!＋错误!（6＜x≤２0，x∈Z），当x＝１１时，y max ＝２70．∵２70＞１8５，∴当每辆自行车的日租金定为１１元时，才能使一日的净收入最多.。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第四节函数的图象教案文解析版
１．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：（１）１确定函数的定义域；２化简函数的解析式；３讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）．（２）列表（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点）．（３）描点，连线．２．图象变换（１）平移变换１y＝f（x）的图象错误!y＝f（x—a）的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（x）＋b的图象．（２）对称变换１y＝f（x）的图象错误!y＝—f（x）的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（—x）的图象；３y＝f（x）的图象错误!y＝—f（—x）的图象；４y＝a x（a＞0且a≠１）的图象错误!y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象．（３）伸缩变换１y＝f（x）的图象２y＝f（x）的图象错误!y＝af（x）的图象．（４）翻转变换１y＝f（x）的图象错误!y＝|f（x）|的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（|x|）的图象．[小题体验]１．f（x）的图象如图所示，则f（x）＝________.答案：f（x）＝错误!２．函数f（x）的图象向右平移１个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝________.解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e—x，将函数y＝e—x的图象向左平移１个单位长度即得y＝f（x）的图象，所以f（x）＝e—（x＋１）＝e—x—１.答案：e—x—１３．（２0１8·扬州期末）若函数y＝f（x）的图象经过点（１,２），则函数y＝f（—x）＋１的图象必经过的点的坐标是________．解析：把函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，再向上平移１个单位，可得函数y＝f（—x）＋１的图象．把函数y＝f（x）的图象上的点（１,２）关于y轴对称，再向上平移１个单位，可得点（—１,３），故函数y＝f（—x）＋１的图象必定经过的点的坐标是（—１,３）．答案：（—１,３）１．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f（—２x）的图象到f（—２x＋１）的图象是向右平移错误!个单位，其中是把x变成x—错误!.２．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y＝f（|x|）的图象属于自身对称，而y＝f（x）与y ＝f（—x）的图象关于y轴对称是两个函数．[小题纠偏]１．函数y＝５x与函数y＝—错误!的图象关于________对称．答案：原点２．把函数y＝f（２x）的图象向右平移________个单位得到函数y＝f（２x—３）的图象．答案：错误!错误!错误![题组练透]分别画出下列函数的图象：（１）y＝|lg x|；（２）y＝２x＋２；（３）y＝x２—２|x|—１．解：（１）y＝错误!图象如图１．（２）将y＝２x的图象向左平移２个单位．图象如图２．（３）y＝错误!图象如图３．[谨记通法]作函数图象的３种常用方法错误!错误![典例引领]１．若函数f（x）＝错误!的图象如图所示，则f（—３）＝________.解析：由图象可得—a＋b＝３，ln（—１＋a）＝0，得a＝２，b＝５，所以f（x）＝错误!故f（—３）＝２×（—３）＋５＝—１．答案：—１２．（２0１9·启东检测）若函数f（x）＝|a x＋b|（a＞0，a≠１，b∈R）的图象如图所示，则a＋b 的取值范围是________．解析：由图可得，函数f（x）的零点为错误!，即错误!＋b＝0．由图可得，当x＞错误!时，函数f（x）为增函数，故a＞１，所以a＋b＝a—错误!＝错误!２—错误!∈（0，＋∞）．答案：（0，＋∞）[由题悟法]识图３种常用的方法[即时应用]１．已知y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的值域为________．解析：由图象易知f（x）的值域为（—∞，—１]∪（１,３）．答案：（—∞，—１]∪（１,３）２．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0），（１,２），（３,１），则f错误!＝________.解析：由图象知f（３）＝１，所以错误!＝１，所以f错误!＝f（１）＝２．答案：２错误!错误![锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有：（１）研究函数的性质；（２）求参数的值或范围；（３）研究不等式；（４）确定方程根（零点）的个数．（详见本章第八节考点二）[题点全练]角度一：研究函数的性质１．已知函数f（x）＝|x２—４x＋３|.（１）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（２）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．解：f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．（１）由图知函数f（x）的单调递增区间为[１,２]和[３，＋∞），单调递减区间为（—∞，１]和[２,３]．（２）由图象可知，若y＝f（x）与y＝m图象有四个不同的交点，则0＜m＜１，所以集合M＝{m|0＜m＜１}．角度二：求参数的值或范围２．（２0１9·苏州实验中学测试）定义min{a，b}＝错误!已知函数f（x）＝min{x，x２—４x＋４}＋４，若动直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有３个交点，则实数m的取值范围为________．解析：设g（x）＝min{x，x２—４x＋４}，则f（x）＝g（x）＋４，故把g（x）的图象向上平移４个单位长度，可得f（x）的图象，函数f（x）＝min{x，x２—４x＋４}＋４的图象如图所示，由直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有３个交点，可得m的取值范围为（４,５）．答案：（４,５）角度三：研究不等式３．（２0１8·启东中学测试）如图所示，函数y＝f（x）的图象是圆x２＋y２＝２上的两段弧，则不等式f（x）＞f（—x）—２x的解集是________．解析：由图象可知，函数f（x）为奇函数，故原不等式可等价转化为f（x）＞—x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝—x的图象，由图象可知不等式的解集为（—１,0）∪（１，错误!]．答案：（—１,0）∪（１，错误!]４．若不等式（x—１）２＜log a x（a＞0，且a≠１）在x∈（１,２）内恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：要使当x∈（１,２）时，不等式（x—１）２＜log a x恒成立，只需函数y＝（x—１）２在（１,２）上的图象在y＝log a x的图象的下方即可．当0＜a＜１时，显然不成立；当a＞１时，如图，要使x∈（１,２）时，y＝（x—１）２的图象在y ＝log a x的图象的下方，只需（２—１）２≤log a２，即log a２≥１，解得１＜a≤２，故实数a的取值范围是（１,２]．答案：（１,２][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略（１）研究函数性质：１根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．２从图象的对称性，分析函数的奇偶性．３从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．４从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．（２）研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值（范围）：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．（３）研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]１．已知函数f（x）＝错误!若f（３—a２）＜f（２a），则实数a的取值范围是________．解析：如图，画出f（x）的图象，由图象易得f（x）在R上单调递减，因为f（３—a２）＜f（２a），所以３—a２＞２a，解得—３＜a＜１．答案：（—３,１）２．（２0１9·扬州中学高三调研）已知函数f（x）＝错误!的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是________．解析：若x＞0，则—x＜0，∵x＜0时，f（x）＝sin错误!—１，∴f（—x）＝sin错误!—１＝—sin错误!—１，则若f（x）＝sin错误!—１，x＜0关于y轴对称，则f（—x）＝—sin错误!—１＝f（x），设g（x）＝—sin错误!—１，x＞0，作出函数g（x）的大致图象如图所示．要满足题意，则须使g（x）＝—sin错误!—１，x＞0与f（x）＝log a x，x＞0的图象恰有9个交点，则0＜a＜１，且满足f（１7）＞g（１7）＝—２，f（２１）＜g（２１）＝—２，即—２＜log a１7，log a２１＜—２，解得错误!＜a＜错误!.答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．已知函数f（x）＝x２＋１，若0＜x１＜x２，则f（x１）与f（x２）的大小关系为________．解析：作出函数图象（图略），知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x１）＜f（x２）．答案：f（x２）＞f（x１）２．（２0１8·常州一中期末）将函数y＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移２个单位，所得函数的解析式为________．解析：将函数y＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y＝e２x，再向右平移２个单位，可得y＝e２（x—２）＝e２x—４.答案：y＝e２x—４３．（２0１8·前黄中学月考）设函数y＝f（x＋１）是定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）的偶函数，在区间（—∞，0）是减函数，且图象过点（１,0），则不等式（x—１）f（x）≤0的解集为________．解析：y＝f（x＋１）向右平移１个单位得到y＝f（x）的图象，由已知可得f（x）的图象的对称轴为x＝１，过定点（２,0），且函数在（—∞，１）上递减，在（１，＋∞）上递增，则f（x）的大致图象如图所示．不等式（x—１）f（x）≤0可化为错误!或错误!由图可知符合条件的解集为（—∞，0]∪（１,２]．答案：（—∞，0]∪（１,２]４．使log２（—x）＜x＋１成立的x的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１,0）．答案：（—１,0）５．若关于x的方程|x|＝a—x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意a＝|x|＋x令y＝|x|＋x＝错误!图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a＞0．答案：（0，＋∞）6．设函数f（x）＝错误!若f（f（a））≤２，则实数a的取值范围是________．解析：函数f（x）的图象如图所示，令t＝f（a），则f（t）≤２，由图象知t≥—２，所以f（a）≥—２，当a＜0时，由a２＋a≥—２，即a２＋a＋２≥0恒成立，当a≥0时，由—a２≥—２，得0≤a≤错误!，故a≤错误!.答案：（—∞，错误!]二保高考，全练题型做到高考达标１．已知f（x）＝错误!x，若f（x）的图象关于直线x＝１对称的图象对应的函数为g（x），则g（x）的表达式为________．解析：设g（x）上的任意一点A（x，y），则该点关于直线x＝１的对称点为B（２—x，y），而该点在f（x）的图象上．所以y＝错误!２—x＝３x—２，即g（x）＝３x—２.答案：g（x）＝３x—２２．如图，定义在[—１，＋∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________．解析：当—１≤x≤0时，设解析式为f（x）＝kx＋b（k≠0），则错误!解得错误!∴当—１≤x≤0时，f（x）＝x＋１．当x＞0时，设解析式为f（x）＝a（x—２）２—１（a＞0），∵图象过点（４,0），∴0＝a（４—２）２—１，∴a＝错误!，∴当x＞0时，f（x）＝错误!（x—２）２—１＝错误!x２—x.故函数f（x）的解析式为f（x）＝错误!答案：f（x）＝错误!３．（２0１9·江阴中学检测）方程x２—|x|＋a＝１有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．解析：方程解的个数可转化为函数y＝x２—|x|的图象与直线y＝１—a交点的个数，作出两函数的图象如图，易知—错误!＜１—a＜0，所以１＜a＜错误!.答案：错误!４．（２0１9·启东中学期中）设奇函数f（x）的定义域为[—５,５]，若当x∈[0,５]时，f（x）的图象如图，则不等式错误!≤0的解集为________．解析：不等式错误!≤0，等价于错误!或错误!由图象可知：当１＜x≤５时，由f（x）≤0，解得２≤x≤５．当0≤x＜１时，由f（x）≥0，解得0≤x＜１，因为f（x）为奇函数，当—２＜x＜0时，由f（x）≥0，此时无解，当—５≤x≤—２时，由f（x）≥0，解得—５≤x≤—２，故不等式的解集为[—５，—２]∪[0,１）∪[２,５]．答案：[—５，—２]∪[0,１）∪[２,５]５．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝错误!若方程f（x）＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．解析：x≤0时，f（x）＝２—x—１，0＜x≤１时，—１＜x—１≤0，f（x）＝f（x—１）＝２—（x—１）—１．故x＞0时，f（x）是周期函数，如图所示．若方程f（x）＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a＜１，即a的取值范围是（—∞，１）．答案：（—∞，１）6．（２0１9·镇江中学测试）已知函数f（x）＝错误!若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是________．解析：作出函数f（x）的图象如图所示，不妨设a＜b＜c，则b＋c＝２×１２＝２４，a∈（１,１0），则a＋b＋c＝２４＋a∈（２５,３４）．答案：（２５,３４）7．（２0１9·徐州调研）设函数f（x）＝错误!其中[x]表示不超过x的最大整数，如[—１．２]＝—２，[１．２]＝１，若直线y＝kx＋k（k＞0）与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：∵函数f（x）＝错误!∴作出函数f（x）的图象如图所示．∵y＝kx＋k＝k（x＋１），故该直线的图象一定过点（—１,0），若y＝kx＋k与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，则f（x）＝kx＋k有三个不同的根，∵k＞0，∴当y＝kx＋k过点（２,１）时，k＝错误!，当y＝kx＋k过点（３,１）时，k＝错误!，要使f（x）＝kx＋k有三个不同的根，则实数k的取值范围是错误!.答案：错误!8．（２0１9·金陵中学月考）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域均为[—π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f（x）·g（x）＜0的解集是________．解析：f（x）·g（x）＜0⇒f（x）与g（x）在同一区间内符号相反，由图可知，当x∈[0，π]时，两者异号的区间为错误!.又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴当x∈[—π，0）时，两者异号的区间为错误!，∴f（x）·g（x）＜0的解集是错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!9．（２0１8·盐城一中测试）已知函数f（x）＝x|m—x|（x∈R），且f（４）＝0．（１）求实数m的值；（２）作出函数f（x）的图象并判断其零点个数；（３）根据图象指出f（x）的单调递减区间；（４）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集；（５）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有三个不相等的实根}．解：（１）因为f（４）＝0，所以４|m—４|＝0，即m＝４．（２）因为f（x）＝x|４—x|＝错误!即f（x）＝错误!所以函数f（x）的图象如图所示．由图象知函数f（x）有两个零点．（３）从图象上观察可知：f（x）的单调递减区间为[２,４]．（４）从图象上观察可知：不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜４或x＞４}．（５）由图象可知若y＝f（x）与y＝m的图象有三个不同的交点，则0＜m＜４，所以集合M＝{m|0＜m＜４}．１0．已知函数f（x）＝２x，x∈R.（１）当m取何值时方程|f（x）—２|＝m有一个解？两个解？（２）若不等式f２（x）＋f（x）—m＞0在R上恒成立，求m的取值范围．解：（１）令F（x）＝|f（x）—２|＝|２x—２|，G（x）＝m，画出F（x）的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥２时，函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m＜２时，函数F（x）与G（x）的图象有两个交点，原方程有两个解．（２）令f（x）＝t（t＞0），H（t）＝t２＋t，因为H（t）＝错误!２—错误!在区间（0，＋∞）上是增函数，所以H（t）＞H（0）＝0．因此要使t２＋t＞m在区间（0，＋∞）上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为（—∞，0]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校解析：因为函数f（x）＝lg（|x—２|＋１），所以函数f（x＋２）＝lg（|x|＋１）是偶函数；由y＝lg x错误!y＝lg（x＋１）错误!y＝lg（|x|＋１）错误!y＝lg（|x—２|＋１），如图，可知f（x）在（—∞，２）上是减函数，在（２，＋∞）上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0．所以１２正确．答案：２２．已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋错误!＋２的图象关于点A（0,１）对称．（１）求f（x）的解析式；（２）若g（x）＝f（x）＋错误!，且g（x）在区间（0,２]上为减函数，求实数a的取值范围．解：（１）设f（x）图象上任一点P（x，y），则点P关于（0,１）点的对称点P′（—x,２—y）在h （x）的图象上，即２—y＝—x—错误!＋２，所以y＝f（x）＝x＋错误!（x≠0）．（２）g（x）＝f（x）＋错误!＝x＋错误!，g′（x）＝１—错误!.因为g（x）在（0,２]上为减函数，所以１—错误!≤0在（0,２]上恒成立，即a＋１≥x２在（0,２]上恒成立，所以a＋１≥４，即a≥３，故实数a的取值范围是[３，＋∞）．命题点一函数的概念及其表示１．（２0１8·江苏高考）函数f（x）＝错误!的定义域为________．解析：由log２x—１≥0，即log２x≥log２２，解得x≥２，所以函数f（x）＝错误!的定义域为{x|x≥２}．答案：{x|x≥２}２．（２0１6·江苏高考）函数y＝错误!的定义域是________．解析：要使函数有意义，需３—２x—x２≥0，即x２＋２x—３≤0，得（x—１）（x＋３）≤0，即—３≤x≤１，故所求函数的定义域为[—３,１]．答案：[—３,１]３．（２0１6·浙江高考）设函数f（x）＝x３＋３x２＋１，已知a≠0，且f（x）—f（a）＝（x—b）（x—a）２，x∈R，则实数a＝____，b＝________.解析：因为f（x）＝x３＋３x２＋１，所以f（a）＝a３＋３a２＋１，所以f（x）—f（a）＝（x—b）（x—a）２＝（x—b）（x２—２ax＋a２）＝x３—（２a＋b）x２＋（a２＋２ab）x—a２b＝x３＋３x２—a３—３a２.由此可得错误!因为a≠0，所以由２得a＝—２b，代入１式得b＝１，a＝—２．答案：—２１４．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）设函数f（x）＝错误!则满足f（x＋１）＜f（２x）的x的取值范围是________．解析：法一：１当错误!即x≤—１时，f（x＋１）＜f（２x），即为２—（x＋１）＜２—２x，即—（x＋１）＜—２x，解得x＜１．因此不等式的解集为（—∞，—１]．２当错误!时，不等式组无解．３当错误!即—１＜x≤0时，f（x＋１）＜f（２x），即为１＜２—２x，解得x＜0．因此不等式的解集为（—１,0）．４当错误!即x＞0时，f（x＋１）＝１，f（２x）＝１，不合题意．综上，不等式f（x＋１）＜f（２x）的解集为（—∞，0）．法二：∵f（x）＝错误!∴函数f（x）的图象如图所示．结合图象知，要使f（x＋１）＜f（２x），则需错误!或错误!∴x＜0．答案：（—∞，0）命题点二函数的基本性质１．（２0１6·江苏高考）[—１,１）上，f（x）＝错误!其中a∈R.若f错误!＝f错误!，则f（５a）的值是________．解析：因为函数f（x）的周期为２，结合在[—１,１）上f（x）的解析式，得f错误!＝f错误!＝f错误!＝—错误!＋a，f错误!＝f错误!＝f错误!＝错误!＝错误!.由f错误!＝f错误!，得—错误!＋a＝错误!，解得a＝错误!.所以f（５a）＝f（３）＝f（４—１）＝f（—１）＝—１＋错误!＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１３·江苏高考）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）＝x２—４x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为________．解析：由于f（x）为R上的奇函数，所以当x＝0时，f（0）＝0；当x＜0时，—x＞0，所以f（—x）＝x２＋４x＝—f（x），即f（x）＝—x２—４x，所以f（x）＝错误!由f（x）＞x，可得错误!或错误!解得x＞５或—５＜x＜0，所以原不等式的解集为（—５,0）∪（５，＋∞）．答案：（—５,0）∪（５，＋∞）３．（２0１8·全国卷Ⅱ改编）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f（１—x）＝f （１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝________.解析：法一：∵f（x）是奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（１—x）＝—f（x—１）．由f（１—x）＝f（１＋x），得—f（x—１）＝f（x＋１），∴f（x＋２）＝—f（x），∴f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），∴函数f（x）是周期为４的周期函数．由f（x）为奇函数得f（0）＝0．又∵f（１—x）＝f（１＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝１对称，∴f（２）＝f（0）＝0，∴f（—２）＝0．又f（１）＝２，∴f（—１）＝—２，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＝f（１）＋f（２）＋f（—１）＋f（0）＝２＋0—２＋0＝0，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＋…＋f（４9）＋f（５0）＝0×１２＋f（４9）＋f（５0）＝f（１）＋f（２）＝２＋0＝２．法二：由题意可设f（x）＝２sin错误!，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为４，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（４9）＋f（５0）＝１２×0＋f（１）＋f（２）＝２．答案：２４．（２0１7·全国卷Ⅱ改编）函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的单调递增区间是________．解析：由x２—２x—8＞0，得x＞４或x＜—２．因此，函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的定义域是（—∞，—２）∪（４，＋∞）．注意到函数y＝x２—２x—8在（４，＋∞）上单调递增，由复合函数的单调性知，f（x）＝ln（x２—２x—8）的单调递增区间是（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）５．（２0１7·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（—∞，0）时，f（x）＝２x３＋x２，则f（２）＝________.解析：由已知得，f（—２）＝２×（—２）３＋（—２）２＝—１２，又函数f（x）是奇函数，所以f（２）＝—f（—２）＝１２．答案：１２6．（２0１7·山东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋４）＝f（x—２）．若当x∈[—３,0]时，f（x）＝6—x，则f（9１9）＝________.解析：因为f（x＋４）＝f（x—２），所以f（x＋6）＝f（x），所以f（x）的周期为6，因为9１9＝１５３×6＋１，所以f（9１9）＝f（１）．又f（x）为偶函数，所以f（9１9）＝f（１）＝f（—１）＝6．答案：6命题点三函数的图象１．（２0１6·全国卷Ⅱ改编）已知函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），若函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!（x i＋y i）＝________.解析：因为f（—x）＝２—f（x），所以f（—x）＋f（x）＝２．因为错误!＝0，错误!＝１，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0,１）对称．函数y＝错误!＝１＋错误!，故其图象也关于点（0,１）对称．所以函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m）成对出现，且每一对均关于点（0,１）对称，所以错误!i＝0，错误!i＝２×错误!＝m，所以错误!（x i＋y i）＝m.答案：m２．（２0１５·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝ax３—２x的图象过点（—１,４），则a＝________.解析：因为f（x）＝ax３—２x的图象过点（—１,４），所以４＝a×（—１）３—２×（—１），解得a＝—２．答案：—２。
2021版高考数学一轮复习 第二章 函数 2.1 函数及其表示教学案 苏教版
第二章函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般为2～3个客观题.2.考查内容高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握．主要涉及函数奇偶性的判断，函数的图象，函数的奇偶性、单调性及周期性综合，指数、对数运算以及指数、对数函数的图象与性质，分段函数求函数值等.3.备考策略(1)重视函数的概念和基本性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念．研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图象的作用. (2)重视对基本初等函数的研究，复习时通过选择、填空题加以训练和巩固，将问题和方法进行归纳整理.第一节函数及其表示[最新考纲] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数的概念函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 映射f：A→B(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．所有输出值y组成的集合称为函数的值域．函数的值域可以用集合{y|y＝f(x)，x∈A}表示．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但是它表示的是一个函数．[常用结论]1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}．(7)y＝tan x的定义域为.2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a ＜0时，值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .(3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B . ( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数． ( )(3)函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]的值域为[0,4]． ( )(4)若A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝|x |，则对应f 可看作从A 到B 的映射．( )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的． ( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、教材改编1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )A B C DB [由函数定义可知，选项B 正确．] 2．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1B [y ＝3x 3＋1＝x ＋1，且函数定义域为R ，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139.]5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________． 12 [由f (a )＝5得2a ＋1＝5，解得a ＝12.]考点1 求函数的定义域已知函数解析式求定义域已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．1.(2019·济南模拟)函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( )A ．(0,2)B ．[0,2)C ．(0,1]D ．[0,2]B [由题意知，x ≥0且2－x ＞0，解得0≤x ＜2， 故其定义域是[0,2)．] 2．函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) [要使函数f (x )有意义，则(log 2x )2－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜12，故所求函数的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．][逆向问题] 若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．－92 [∵函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}． ∴不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}． 可知a ＜0，不等式化为a (x －1)(x －2)≥0， 即ax 2－3ax ＋2a ≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＝ab ，2a ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝－32.∴a ＋b ＝－92.]求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“∪”连接．(如T 2)．抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．已知函数f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________．[1,3] [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，解得1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．][逆向问题] 已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[－1,2] [因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]函数f (g (x ))的定义域指的是自变量x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．(如本例[逆向问题])1.函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13A [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.]2．函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域为________．[－2,1)∪(1,2 018] [∵函数f (x －1)的定义域为[0，2 020]，∴－1≤x －1≤2 019.∴要使函数g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，解得－2≤x ≤2 018且x ≠1.∴函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]．]3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________． [－2,2] [∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为R ， ∴a 2－4≤0，即－2≤a ≤2.]考点2 求函数的解析式求函数解析式的4种方法及适用条件(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)[一题多解]已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；(2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )． [解](1)法一：(待定系数法)因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 法二：(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 法三：(配凑法)因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．(2)(解方程组法) 由f (－x )＋2f (x )＝2x， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x， ②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x，即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R )． 谨防求函数解析式的2种失误(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围．(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．1.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1B [(换元法求解)令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠0且t ≠1)，∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1(t ≠0且t ≠1)，∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．] 2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1C [(配凑法求解)f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.]3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________. 2x －1x(x ≠0) [(解方程组法求解)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x ，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．]4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． [解] (待定系数法求解)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．考点3 分段函数求函数值解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题．(1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11(2)(2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3(1)C (2)B [(1)因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.(2)由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12-3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B.] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．[教师备选例题]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2c os πx ，x ≤0，f x －1＋1，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1 C.32 D.52B [依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1.故选B.]求参数或自变量的值解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.(1)－32 (2)2 [(1)当a ≤1时，f (a )＝2a－2＝－3，无解；当a ＞1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8， 解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－2＝－32.(2)当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)．当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．故a ＝ 2.]求解本题的关键是就a 的取值讨论f (a )的情形，另本题也可作出f (x )的图象，数形结合求解，即f (a )＝0或f (a )＝－2，从而求得a 的值．分段函数与方程、不等式问题解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．(2019·深圳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x ＜2.则不等式f (x )＜0的解集是________．(1,4) [不等式f (x )＜0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x 2－4x ＋3＜0，即2≤x ＜4或1＜x ＜2，故不等式f (x )＜0的解集为(1,4)．]本例借助图象较直观地求解得出不等式的解集，另注意求解时要思考全面，需考虑变量可能落在同一区间，也可能落在不同区间的情况．[教师备选例题]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [根据分段函数的性质分情况讨论，当x ≤0时，则f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x －12＋1＞1，解得－14＜x ≤0.当x ＞0时，根据指数函数的图象和性质以及一次函数的性质与图象可得，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1恒成立，所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.] 1.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ＞0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4B [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝4.] 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝2的x 的集合是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B ．{1,4} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4 A [由f (x )＝2得①⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝2，x ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧ |log 2x |＝2，x ＞0.由①知无解．由②得x ＝14或x ＝4.故选A.]3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.] 课外素养提升① 数学抽象——函数的新定义问题念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．【典例】 (2019·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④ C [对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ； 对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.][评析] 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．【素养提升练习】 1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个C[由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．]2．若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2xD[A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x ＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x ＝±2，满足题意，故选D.]。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第三节函数的奇偶性及周期性教案文解析版
１．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（—x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（—x）＝—f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数关于原点对称（１）周期函数对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．（２）最小正周期如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．[小题体验]１．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x２＋错误!，则f（—１）＝________.答案：—２２．若函数f（x）是周期为５的奇函数，且满足f（１）＝１，f（２）＝２，则f（8）—f（１４）＝________.答案：—１３．若函数f（x）＝（a—１）x２＋（a＋１）x＋a２—１是奇函数，则实数a的值是________．解析：由于函数f（x）的定义域为R，又函数f（x）是奇函数，故f（0）＝0，解得a＝１或a＝—１（舍去），经检验a＝１时符合题意．答案：１１．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．２．判断函数f（x）的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f（—x）＝—f（x）或f（—x）＝f（x），而不能说存在x0使f（—x0）＝—f（x0）或f（—x0）＝f（x0）．３．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]１．已知f（x）＝ax２＋bx是定义在[a—１,２a]上的偶函数，那么a＋b＝________.解析：因为f（x）＝ax２＋bx是定义在[a—１,２a]上的偶函数，所以a—１＋２a＝0，所以a＝错误!.又f（—x）＝f（x），所以b＝0，所以a＋b＝错误!.答案：错误!２．函数f（x）＝错误!的奇偶性为________．解析：因为x≠0，故f（x）的定义域关于原点对称．当x＞0时，—x＜0，所以f（—x）＝log２x＝f（x）．当x＜0时，—x＞0，所以f（—x）＝log２（—x）＝f（x）．故f（—x）＝f（x），所以f（x）为偶函数．答案：偶函数错误!错误![题组练透]判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝错误!＋错误!；（２）f（x）＝错误!＋错误!；（３）f（x）＝３x—３—x；（４）f（x）＝错误!；（５）（易错题）f（x）＝错误!解：（１）因为由错误!得x＝±１，所以f（x）的定义域为{—１,１}．又f（１）＋f（—１）＝0，f（１）—f（—１）＝0，即f（x）＝±f（—x）．所以f（x）既是奇函数又是偶函数．（２）因为函数f（x）＝错误!＋错误!的定义域为错误!，不关于坐标原点对称，所以函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（３）因为f（x）的定义域为R，所以f（—x）＝３—x—３x＝—（３x—３—x）＝—f（x），所以f（x）为奇函数．（４）因为由错误!得—２≤x≤２且x≠0．所以f（x）的定义域为[—２,0）∪（0,２]，所以f（x）＝错误!＝错误!＝错误!，所以f（—x）＝—f（x），所以f（x）是奇函数．（５）易知函数的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，又当x＞0时，f（x）＝x２＋x，则当x＜0时，—x＞0，故f（—x）＝x２—x＝f（x）；当x＜0时，f（x）＝x２—x，则当x＞0时，—x＜0，故f（—x）＝x２＋x＝f（x），故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的３种常用方法（１）定义法（２）图象法（３）性质法１设f（x），g（x）的定义域分别是D１，D２，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．２复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] （１）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．（２）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f（—x）与f（x）的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．错误!错误![典例引领]设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋２）＝—f（x），当x∈[0,２]时，f （x）＝２x—x２.（１）求证：f（x）是周期函数；（２）计算f（0）＋f（１）＋f（２）＋…＋f（２0１8）．解：（１）证明：因为f（x＋２）＝—f（x），所以f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x）．所以f（x）是周期为４的周期函数．（２）因为f（0）＝0，f（１）＝１，f（２）＝0，f（３）＝—f（１）＝—１．又f（x）是周期为４的周期函数，所以f（0）＋f（１）＋f（２）＋f（３）＝f（４）＋f（５）＋f（6）＋f（7）＝…＝f（２0１２）＋f（２0１３）＋f（２0１４）＋f（２0１５）＝0．所以f（0）＋f（１）＋f（２）＋…＋f（２0１8）＝f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）＝f（0）＋f（１）＋f（２）＝１．[由题悟法]１．判断函数周期性的２个方法（１）定义法．（２）图象法．２．周期性３个常用结论（１）若f（x＋a）＝—f（x），则T＝２a.（２）若f（x＋a）＝错误!，则T＝２a.（３）若f（x＋a）＝—错误!，则T＝２a（a＞0）．[即时应用]１．（２0１8·镇江调研）已知f（x）是定义在R上周期为４的函数，且f（—x）＋f（x）＝0，当0＜x＜２时，f（x）＝２x—１，则f（—２１）＋f（１6）＝________.解析：由f（—x）＋f（x）＝0，知f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0．又f（x＋４）＝f（x），且当0＜x＜２时，f（x）＝２x—１，∴f（—２１）＋f（１6）＝f（—１）＋f（0）＝—f（１）＝—（２１—１）＝—１．答案：—１２．已知f（x）是R上最小正周期为２的周期函数，且当0≤x＜２时，f（x）＝x３—x，则函数y＝f （x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．解析：因为当0≤x＜２时，f（x）＝x３—x，又f（x）是R上最小正周期为２的周期函数，且f（0）＝0，所以f（6）＝f（４）＝f（２）＝f（0）＝0．又f（１）＝0，所以f（３）＝f（５）＝0．故函数y＝f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．答案：7错误!错误![锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有：（１）奇偶性的应用；（２）单调性与奇偶性结合；（３）周期性与奇偶性结合；（４）单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用１．（２0１8·连云港模拟）函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝２x，则当x＞0时，f（x）＝________.解析：x＞0时，—x＜0，因为x＜0时，f（x）＝２x，所以当x＞0时，f（—x）＝２—x.因为f（x）是R上的奇函数，所以当x＞0时，f（x）＝—f（—x）＝—２—x.答案：—２—x角度二：单调性与奇偶性结合２．已知函数f（x）＝错误!是奇函数，且函数f（x）在区间[—１，a—２]上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：当x＜0时，—x＞0，f（x）＝—f（—x）＝—[—（—x）２＋２×（—x）]＝x２＋２x，x＜0，所以m＝２，所以f（x）的单调递增区间为[—１，１]，因此[—１，a—２]⊆[—１,１]⇒—１＜a—２≤１⇒１＜a≤３．答案：（１,３]角度三：周期性与奇偶性结合３．（２0１9·江阴期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x＋２）＝—错误!，当１≤x≤２时f（x）＝x—２，则f（6．５）＝________.解析：∵f（x＋２）＝—错误!，∴f（x＋４）＝f[（x＋２）＋２]＝—错误!＝f（x），即函数f（x）的周期为４．∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（—x）＝f（x），∴f（6．５）＝f（—１．５）＝f（１．５）＝—0．５．答案：—0．５角度四：单调性、奇偶性与周期性结合１f（１）＝0；２f（x）在区间[—２,２]上有５个零点；３点（２0１8,0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心；４直线x＝２0１8是函数y＝f（x）图象的一条对称轴．则正确命题的序号为________．解析：在f（x—１）＝f（x＋１）中，令x＝0，得f（—１）＝f（１），又f（—１）＝—f（１），∴２f（１）＝0，∴f（１）＝0，故１正确；由f（x—１）＝f（x＋１），得f（x）＝f（x＋２），∴f（x）是周期为２的周期函数，∴f（２）＝f（0）＝0，又当x∈（0,１）且x１≠x２时，有错误!＜0，∴函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，可作出函数f（x）的大致图象如图所示．由图知２３正确，４不正确，故正确命题的序号为１２３.答案：１２３[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略（１）函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（２）周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（３）周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]１．（２0１8·启东中学月考）已知函数f（x）在定义域[２—a,３]上是偶函数，在[0,３]上单调递减，且f错误!＞f（—m２＋２m—２），则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f（x）在定义域[２—a,３]上是偶函数，所以２—a＋３＝0，所以a＝５，所以f错误!＞f（—m２＋２m—２），即f（—m２—１）＞f（—m２＋２m—２）．由题意知偶函数f（x）在[—３,0]上单调递增，而—m２—１＜0，—m２＋２m—２＝—（m—１）２—１＜0，所以由f（—m２—１）＞f（—m２＋２m—２），得错误!解得１—错误!≤m＜错误!.答案：错误!２．设f（x）是定义在R上周期为４的奇函数，若在区间[—２,0）∪（0,２]上，f（x）＝错误!则f （２0１8）＝________.解析：设0＜x≤２，则—２≤—x＜0，f（—x）＝—ax＋b.f（x）是定义在R上周期为４的奇函数，所以f（—x）＝—f（x）＝—ax＋１＝—ax＋b，所以b＝１．而f（—２）＝f（—２＋４）＝f（２），所以—２a＋１＝２a—１，解得a＝错误!，所以f（２0１8）＝f（２）＝２×错误!—１＝0．答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通中学高三测试）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（—１）＝２，那么f（0）＋f（１）＝________.解析：因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（—x）＝—f（x），f（１）＝—f（—１）＝—２，f（0）＝0，所以f（0）＋f（１）＝—２．答案：—２２．（２0１8·南京三模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝２x—２，则不等式f（x—１）≤２的解集是________．解析：偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝２．所以f（x—１）≤２，即f（|x—１|）≤f（２），即|x—１|≤２，所以—１≤x≤３．答案：[—１,３]３．函数f（x）＝x＋错误!＋１，f（a）＝３，则f（—a）＝________.解析：由题意得f（a）＋f（—a）＝a＋错误!＋１＋（—a）＋错误!＋１＝２．所以f（—a）＝２—f（a）＝—１．答案：—１４．函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）＝错误!＋１，则当x＜0时，f（x）＝________.解析：因为f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）＝错误!＋１，所以当x＜0时，—x＞0，f（x）＝—f（—x）＝—（错误!＋１），即x＜0时，f（x）＝—（错误!＋１）＝—错误!—１．答案：—错误!—１５．（２0１9·连云港高三测试）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝错误! x，则f（—２＋log３５）＝________.解析：由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（—２＋log３５）＝—f（２—log３５），由于当x＞0时，f（x）＝错误!x，故f（—２＋log３５）＝—f错误!＝—错误!39log5＝—错误!.答案：—错误!6．（２0１8·南通一调）若函数f（x）＝错误!（a，b∈R）为奇函数，则f（a＋b）＝________.解析：法一：因为函数f（x）为奇函数，所以错误!即错误!解得错误!经验证a＝—１，b＝２满足题设条件，所以f（a＋b）＝f（１）＝—１．法二：因为函数f（x）为奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称，由题意知，当x≥0，二次函数的图象顶点坐标为错误!，当x＜0，二次函数的图象顶点坐标为（—１，—a），所以错误!解得a＝—１，b＝２，经验证a＝—１，b＝２满足题设条件，所以f（a＋b）＝f（１）＝—１．答案：—１二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·抚顺期末）设f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，且在[—２b,0]上为增函数，则f（x—１）≥f（３）的解集为________．解析：∵f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，∴—２b＋３＋b＝0，∴b＝３，∴f（x）是定义在[—6,6]上的偶函数，且在[—6,0]上为增函数，∴f（x）在[0,6]上为减函数，∴由f（x—１）≥f（３），得|x—１|≤３，解得—２≤x≤４，∴f（x—１）≥f（３）的解集为{x|—２≤x≤４}．答案：{x|—２≤x≤４}２．（２0１9·常州一中模拟）设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋１）＋f（x）＝１，且当x∈[１,２]时，f（x）＝２—x，则f（—２0１8．５）＝________.解析：由f（x＋１）＋f（x）＝１在R上恒成立，得f（x—１）＋f（x）＝１，两式相减得f（x＋１）—f（x—１）＝0，即f（x＋１）＝f（x—１）恒成立，故函数f（x）的周期是２，∴f（—２0１8．５）＝f（—0．５）＝f（１．５），又当x∈[１,２]时，f（x）＝２—x，∴f（—２0１8．５）＝f（１．５）＝２—１．５＝0．５．答案：0．５３．已知函数f（x）是定义在[—２,２]上的奇函数，且在区间[0,２]上是单调减函数．若f（２x＋１）＋f（１）＜0，则x的取值范围是________．解析：∵函数f（x）是定义在[—２,２]上的奇函数，且在区间[0,２]上是单调减函数，∴函数f（x）在区间[—２,２]上是单调减函数．∵f（２x＋１）＋f（１）＜0，即f（２x＋１）＜—f（１），∴f（２x＋１）＜f（—１）．则错误!解得—１＜x≤错误!.∴x的取值范围是错误!.答案：错误!４．（２0１8·泰州期末）设f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝２x＋ln错误!，记a n＝f（n—５），则数列{a n}的前8项和为________．解析：数列{a n}的前8项和为f（—４）＋f（—３）＋…＋f（３）＝f（—４）＋（f（—３）＋f（３））＋（f（—２）＋f（２））＋（f（—１）＋f（１））＋f（0）＝f（—４）＝—f（４）＝—错误!＝—１6．答案：—１6５．（２0１8·徐州期中）已知函数f（x）＝e x—e—x＋１（e为自然对数的底数），若f（２x—１）＋f（４—x２）＞２，则实数x的取值范围为________．解析：令g（x）＝f（x）—１＝e x—e—x，则g（x）为奇函数，且在R上单调递增．因为f（２x—１）＋f（４—x２）＞２，所以f（２x—１）—１＋f（４—x２）—１＞0，即g（２x—１）＋g（４—x ２）＞0，所以g（２x—１）＞g（x２—４），即２x—１＞x２—４，解得x∈（—１,３）．答案：（—１,３）6．（２0１9·镇江中学测试）已知奇函数f（x）在定义域R上是单调减函数，若实数a满足f（２|２a—１|）＋f（—２错误!）＞0，则a的取值范围是________．解析：由f（２|２a—１|）＋f（—２错误!）＞0，可得f（２|２a—１|）＞—f（—２错误!）．因为f（x）为奇函数，所以f（２|２a—１|）＞f（２错误!）．因为f（x）在定义域R上是单调减函数，所以２|２a—１|＜２错误!，即|２a—１|＜错误!，解得—错误!＜a＜错误!.答案：错误!7．（２0１9·苏州调研）已知奇函数f（x）在（—∞，0）上单调递减，且f（２）＝0，则不等式错误!＞0的解集为________．解析：由错误!＞0，可得错误!或错误!因为奇函数f（x）在（—∞，0）上单调递减，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（２）＝f（—２）＝0，所以当x＞１时，f（x）＞0的解集为（１,２）；当x＜１时，f（x）＜0的解集为（—２,0）．所以不等式错误!＞0的解集为（—２,0）∪（１,２）．答案：（—２,0）∪（１,２）8．函数f（x）在R上满足f（—x）＝—f（x），当x≥0时，f（x）＝—e x＋１＋m cos（π＋x），记a＝—πf（—π），b＝—错误!·f错误!，c＝e f（e），则a，b，c的大小关系为________．解析：∵函数f（x）为R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝—e x＋１＋m cos（π＋x），∴f（0）＝—１＋１—m＝0，即m＝0，∴f（x）＝—e x＋１（x≥0）．令g（x）＝xf（x），有g（—x）＝（—x）f（—x）＝xf（x）＝g（x），∴函数g（x）为偶函数，当x≥0时，g（x）＝xf（x）＝x（１—e x），g′（x）＝f（x）＋xf′（x）＝１—（１＋x）e x＜0，∴函数g（x）在[0，＋∞）上为减函数，∵a＝—πf（—π）＝g（—π）＝g（π），b＝—错误!f错误!＝g错误!＝g错误!，c＝e f（e）＝g（e），又e＜π＜错误!，∴b＜a＜c.答案：b＜a＜c9．已知函数f（x）＝错误!是奇函数．（１）求实数m的值；（２）若函数f（x）在区间[—１，a—２]上单调递增，求实数a的取值范围．解：（１）设x＜0，则—x＞0，所以f（—x）＝—（—x）２＋２（—x）＝—x２—２x.又f（x）为奇函数，所以f（—x）＝—f（x），于是x＜0时，f（x）＝x２＋２x＝x２＋mx，所以m＝２．（２）要使f（x）在[—１，a—２]上单调递增，结合f（x）的图象（如图所示）知错误!所以１＜a≤３，故实数a的取值范围是（１,３]．１0．（２0１8·大同期末）已知函数f（x）＝log a（x＋１），g（x）＝log a（１—x），其中a＞0，a≠１．（１）求函数F（x）＝f（x）—g（x）的定义域；（２）判断F（x）＝f（x）—g（x）的奇偶性，并说明理由；（３）当a＞１时，求使F（x）＞0成立的x的取值范围．解：（１）∵F（x）＝f（x）—g（x）＝log a（x＋１）—log a（１—x），∴错误!解得—１＜x＜１，∴函数F（x）的定义域为（—１,１）．（２）F（x）为（—１,１）上的奇函数．理由如下：由（１）知F（x）的定义域为（—１,１），关于原点对称，F（—x）＝log a（—x＋１）—log a（１＋x）＝—[log a（x＋１）—log a（１—x）]＝—F（x），∴函数F（x）为（—１,１）上的奇函数．（３）根据题意，F（x）＝log a（x＋１）—log a（１—x），当a＞１时，由F（x）＞0，得log a（x＋１）＞log a（１—x），即错误!解得0＜x＜１，故x的取值范围为（0,１）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·南通模拟）已知定义在R上的奇函数y＝f（x）满足f（２＋x）＝f（２—x），当—２≤x ＜0时，f（x）＝２x，若a n＝f（n）（n∈N*），则a２0１8＝________.解析：∵f（２＋x）＝f（２—x），以２＋x代替上式中的x，得f（４＋x）＝f（—x），又函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（４＋x）＝f（—x）＝—f（x），再以４＋x代替上式中的x，得f（8＋x）＝—f（４＋x）＝f（x），∴函数f（x）的周期为8．∴a２0１8＝f（２0１8）＝f（２５２×8＋２）＝f（２），而f（２）＝—f（—２）＝—错误!，∴a２0１8＝—错误!.答案：—错误!２．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f错误!＝—f错误!成立．（１）证明y＝f（x）是周期函数，并指出其周期；（２）若f（１）＝２，求f（２）＋f（３）的值；（３）若g（x）＝x２＋ax＋３，且y＝|f（x）|·g（x）是偶函数，求实数a的值．解：（１）由f错误!＝—f错误!，且f（—x）＝—f（x），知f（３＋x）＝f错误!＝—f错误!＝—f（—x）＝f（x），所以y＝f（x）是周期函数，且T＝３是其一个周期．（２）因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，且f（—１）＝—f（１）＝—２，又T＝３是y＝f（x）的一个周期，所以f（２）＋f（３）＝f（—１）＋f（0）＝—２＋0＝—２．（３）因为y＝|f（x）|·g（x）是偶函数，且|f（—x）|＝|—f（x）|＝|f（x）|，所以|f（x）|为偶函数．故g（x）＝x２＋ax＋３为偶函数，即g（—x）＝g（x）恒成立，于是（—x）２＋a（—x）＋３＝x２＋ax＋３恒成立．于是２ax＝0恒成立，所以a＝0．。
高中数学第二章函数本章复习教案苏教版必修120170628312
第二章 函数（1）注意数形结合方法的应用，如借助于函数图像研究函数的性质（单调性、值域、最值 对称性）（2）对于具体函数要有探究该函数性质的基本意识.（3）对于含字母的要有分类讨论的意识.三、小题训练(1)设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________(2)函数1)(0-=x x x f 的定义域为(3)函数2)(-=x x x f 在区间[]6,3上的最大值是 ，最小值是(4)已知函数2)1(2(2+-+=x a ax x f ）在区间]3-，（∞上为减函数，则实数a 的取值范围为(5)函数223x x y -+=的值域为(6)已知函数)(x f 为奇函数，当0>x 时，x x x f 2)(2+=，则当0<x 时，)(x f 解析式为(7)函数[]1,1,1)(2-∈--=x x x x f 的单调增区间是四、典型例题题型一 利用函数图像研究函数的性质【例1】画出下列函数的图象．指出函数的单调区间.并求出函数的最值.(1)|32|)(2--=x x x f (2)1)(+=x x f (3) 32)(2--=x x x f(4)⎩⎨⎧<--≥-=0,20,2)(x x x x x f (5)[)⎪⎩⎪⎨⎧∞∈-+-+∞∈-+=），（0-,12,0,12)(22x x x x x x x f题型二 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式的相关问题【例2】（1）已知函数)(x f 为奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是（2）已知函数)(x f 是定义R 在上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为（3）已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=的值域为[)∞+，0，若关于x 的不等式c x f <)(的解集为()6,0，则实数c 的值为（4）已知函数xa x x x f ++=2)(2[)+∞∈,1x .若对任意[)+∞∈,1x ,0)(>x f 恒成立,试求实数a 的取值范围.题型三 函数性质的综合应用【例3】 1. 若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b 的值为 ．2.已知函数x x y 22+-=，是否存在实数m ，n ，使得定义域值域都是[]n m ,？如果存在，求出实数n m ,，如果不存在，说明理由。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第八节函数与方程教案文解析版
１．函数的零点（１）函数零点的定义对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．（２）几个等价关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．（３）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个错误!也就是方程f （x）＝0的根．２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0图象与x轴的交点（x１,0），（x２,0）（x１,0）无交点零点个数错误!错误!错误![小题体验]１．（２0１9·苏州调研）函数y＝e２x—１的零点是________．答案：0２．函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点个数是______．答案：１３．（２0１9·海门中学月考）若方程错误!x—２x＝6的解所在的区间是（k，k＋１），则整数k＝________.解析：令f（x）＝错误!x—２x—6，根据方程错误!x—２x＝6的解所在的区间是（k，k＋１），f（x）在（k，k＋１）上单调递减，可得f（x）＝错误!x—２x—6在区间是（k，k＋１）上有唯一零点，故有f（k）f（k＋１）＜0，再根据f（—２）＝２＞0，f（—１）＝—２＜0，可得k＝—２．答案：—２１．函数f（x）的零点是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标．２．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]１．函数f（x）＝（x２—２）（x２—３x＋２）的零点为______．答案：—错误!，错误!，１,２１函数f（x）＝x２—１的零点是（—１,0）和（１,0）；２函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则一定有f（a）·f（b）＜0；３二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac＜0时没有零点；４若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）＜0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________（填序号）．答案：３４错误!错误![题组练透]１．已知定义在R上的函数f（x）图象的对称轴为x＝—３，且当x≥—３时，f（x）＝２x—３．若函数f（x）在区间（k—１，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为________．解析：当x≥—３时，由f（x）＝２x—３＝0，解得x＝log２３．因为１＜log２３＜２，即函数的零点所在的区间为（１,２），所以k＝２．又函数f（x）的图象关于x＝—３对称，所以另外一个零点在区间（—8，—7）上，此时k＝—7．答案：—7或２２．设f（x）＝ln x＋x—２，则函数f（x）的零点所在的区间为________．解析：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝ln x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１,２）．答案：（１,２）３．函数f（x）＝x２—３x—１8在区间[１,8]上______（填“存在”或“不存在”）零点．解析：法一：因为f（１）＝１２—３×１—１8＝—２0＜0，f（8）＝8２—３×8—１8＝２２＞0，所以f（１）·f（8）＜0，又f（x）＝x２—３x—１8在区间[１,8]的图象是连续的，故f（x）＝x２—３x—１8在区间[１,8]上存在零点．法二：令f（x）＝0，得x２—３x—１8＝0，所以（x—6）（x＋３）＝0．因为x＝6∈[１,8]，x＝—３∉[１,8]，所以f（x）＝x２—３x—１8在区间[１,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f（x）的零点所在区间的２种常用方法（１）定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f（x）必须在区间[a，b]上是连续的，当f（a）·f（b）＜0时，函数在区间（a，b）内至少有一个零点．（２）图象法：若一个函数（或方程）由两个初等函数的和（或差）构成，则可考虑用图象法求解，如f（x）＝g（x）—h（x），作出y＝g（x）和y＝h（x）的图象，其交点的横坐标即为函数f（x）的零点．错误!错误![典例引领]１．（２0１8·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝cos错误!在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意可知，当３x＋错误!＝kπ＋错误!（k∈Z）时，f（x）＝0．∵x∈[0，π]，∴３x＋错误!∈错误!，∴当３x＋错误!取值为错误!，错误!，错误!时，f（x）＝0，即函数f（x）＝cos错误!在[0，π]的零点个数为３．答案：３２．函数f（x）＝错误!的零点个数是________．解析：当x＞0时，由ln x—x２＋２x＝0，得ln x＝x２—２x.作出函数y＝ln x，y＝x２—２x的图象（图略），由图象可知有两个交点．当x≤0时，由４x＋１＝0，解得x＝—错误!.所以函数的零点个数是３．答案：３[由题悟法]判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（３）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]１．（２0１8·上海徐汇区检测）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝lg（x２—３x＋３），则f（x）在R上的零点个数为________．解析：当x≥0时，f（x）＝lg（x２—３x＋３），由lg（x２—３x＋３）＝0，得x２—３x＋３＝１，解得x＝１或x＝２．因为函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，所以函数的零点个数为４．答案：４２．函数f（x）＝e x＋错误!x—２的零点个数为________．解析：因为f′（x）＝e x＋错误!＞0，所以f（x）在R上单调递增，又f（0）＝１—２＜0，f（１）＝e—错误!＞0，所以函数在区间（0,１）上有且只有一个零点．答案：１错误!错误![典例引领]（２0１9·南通中学高三学情调研）已知函数g（x）＝错误!若函数y＝g（g（x））—２m有３个不同的零点，则实数m的取值范围是________．解析：当x＜0时，g（x）＝—x＋１＞0，此时g（g（x））＝（—x＋１）２—１＝x２—２x，当0≤x＜１时，g（x）＝x２—１＜0，此时g（g（x））＝—（x２—１）＋１＝—x２＋２，当x≥１时，g（x）＝x２—１≥0，此时g（g（x））＝（x２—１）２—１＝x４—２x２，所以函数y＝g（g（x））＝错误!画出函数y＝g（g（x））的图象如图所示．结合图象可知，若函数y＝g（g（x））—２m有３个不同的零点，则１＜２m≤２，即错误!＜m≤１，所以实数m的取值范围是错误!.答案：错误![由题悟法]已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围常用方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解１．（２0１8·南京、盐城高三一模）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝错误!若函数y＝f （x）—m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________．解析：作出当x≥0时f（x）的图象，根据偶函数的图象关于y轴对称可得x＜0时的图象，由图象可得m∈错误!.答案：错误!２．（２0１8·启东中学检测）已知f（x）＝x２—２x—１，若函数y＝f（|a x—１|）＋k·|a x—１|＋４k（a＞１）有三个不同的零点，则实数k的取值范围是________．解析：设t＝|a x—１|，t≥0，则函数y＝f（|a x—１|）＋k·|a x—１|＋４k＝t２＋（k—２）t＋４k—１．设h（t）＝t２＋（k—２）t＋４k—１，若函数g（x）有三个不同的零点，则方程h（t）＝0有两个不等的实数解t１，t２，且解的情况有如下三种：１t１∈（１，＋∞），t２∈（0,１），此时有h（0）＞0，且h（１）＜0，解得错误!＜k＜错误!.２t１＝0，t２∈（0,１），此时由h（0）＝0，得k＝错误!，所以h（t）＝t２—错误!t，即t２＝错误!，不符合t２∈（0,１）;３t１＝１，t２∈（0,１），此时由h（１）＝0，得k＝错误!，所以h（t）＝t２—错误!t＋错误!，即t＝错误!，符合t２∈（0,１）．２综上，实数k的取值范围是错误!.答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为______．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!２．已知关于x的方程x２＋mx—6＝0的一个根比２大，另一个根比２小，则实数m的取值范围是______．解析：设函数f（x）＝x２＋mx—6，则根据条件有f（２）＜0，即４＋２m—6＜0，解得m＜１．答案：（—∞，１）３．已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝—２，f（—１）＝１，则函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为______．解析：依题意得错误!由此解得b＝—４，c＝—２．由g（x）＝0得f（x）＋x＝0，该方程等价于错误!１或错误!２解１得x＝２，解２得x＝—１或x＝—２．因此，函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为３．答案：３４．（２0１9·连云港调研）已知函数f（x）＝错误!—x＋b有一个零点，则实数b的取值范围为________．解析：由已知，函数f（x）＝错误!—x＋b有一个零点，即函数y＝x—b和y＝错误!的图象有１个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为y＝x＋２，过点（0，错误!）的直线方程为y＝x＋错误!，所以满足条件的b的取值范围是b＝—２或—错误!＜b≤ 错误!.答案：{—２}∪（—错误!，错误!]５．（２0１8·苏州质检）已知函数f（x）＝错误!x—cos x，则f（x）在[0,２π]上的零点个数为________．解析：作出g（x）＝错误!x与h（x）＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0,２π]上的交点个数为３，所以函数f（x）在[0,２π]上的零点个数为３．答案：３6．（２0１8·泰州中学上学期期中）已知函数y＝f（x）的周期为２，当x∈[—１,１]时，f（x）＝x２，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有________个．解析：在同一直角坐标系中分别作出y＝f（x）和y＝|lg x|的图象，如图，结合图象知，共有１0个交点．答案：１0二保高考，全练题型做到高考达标１．设x0为函数f（x）＝２x＋x—２的零点，且x0∈（m，n），其中m，n为相邻的整数，则m＋n＝________.解析：函数f（x）＝２x＋x—２为R上的单调增函数，又f（0）＝１＋0—２＝—１＜0，f（１）＝２＋１—２＝１＞0，所以f（0）·f（１）＜0，故函数f（x）＝２x＋x—２的零点在区间（0,１）内，故m＝0，n＝１，m＋n＝１．答案：１２．（２0１8·镇江中学检测）已知函数f（x）＝２x＋２x—6的零点为x0，不等式x—４＞x0的最小的整数解为k，则k＝________.解析：函数f（x）＝２x＋２x—6为R上的单调增函数，又f（１）＝—２＜0，f（２）＝２＞0，所以函数f（x）＝２x＋２x—6的零点x0满足１＜x0＜２，故满足x0＜n的最小的整数n＝２，即k—４＝２，所以满足不等式x—４＞x0的最小的整数解k＝6．答案：6３．已知方程２x＋３x＝k的解在[１,２）内，则k的取值范围为________．解析：令函数f（x）＝２x＋３x—k，则f（x）在R上是增函数．当方程２x＋３x＝k的解在（１,２）内时，f（１）·f（２）＜0，即（５—k）（１0—k）＜0，解得５＜k＜１0．当f（１）＝0时，k＝５．综上，k的取值范围为[５,１0）．答案：[５,１0）４．（２0１9·太原模拟）若函数f（x）＝（m—２）x２＋mx＋（２m＋１）的两个零点分别在区间（—１,0）和区间（１,２）内，则实数m的取值范围是________．解析：依题意并结合函数f（x）的图象可知，错误!即错误!解得错误!＜m＜错误!.答案：错误!５．（２0１8·无锡期末）设函数f（x）＝错误!若方程f（x）—mx＝0恰好有３个零点，则实数m的取值范围为________．解析：当x≥１时，方程f（x）—mx＝0变为１—mx＝0，解得x＝错误!；当—１＜x＜１时，方程f（x）—mx＝0变为x[log２（x＋１）—m]＝0，解得x＝0或x＝２m—１．因为f（x）—mx＝0恰好有３个零点，所以错误!≥１，且—１＜２m—１＜１，解得0＜m＜１，故实数m的取值范围为（0,１）．答案：（0,１）6．（２0１9·镇江调研）已知k为常数，函数f（x）＝错误!若关于x的方程f（x）＝kx＋２有且只有４个不同的解，则实数k的取值范围为________．解析：作出函数y＝f（x）的大致图象如图所示，若关于x的方程f（x）＝kx＋２有且只有４个不同解，当直线y＝kx＋２与y＝ln x的图象相切时，设切点为（m，n），可得n＝ln m，y＝ln x的导数为y′＝错误!（x＞１），可得k＝错误!，则n＝km＋２，解得m＝e３，k＝e—３，则实数k的取值范围为（0，e—３）．答案：（0，e—３）7．（２0１8·苏州调研）已知函数f（x）＝错误!若直线y＝ax与y＝f（x）交于三个不同的点A（m，f（m）），B（n，f（n）），C（t，f（t））（其中m＜n＜t），则n＋错误!＋２的取值范围是________．解析：由已知条件可得错误!所以错误!所以n＋错误!＋２＝n＋错误!，令g（n）＝n＋错误!，当f（x）＝ln x，x＞0与y＝ax相切时，由f′（x）＝错误!，得错误!＝a，又ln x＝ax，解得x＝e，所以要满足题意，则１＜n＜e.由g′（n）＝１＋错误!＞0，所以g（n）＝n＋错误!在（１，e）上单调递增，所以g（n）＝n＋错误!＋２∈错误!.答案：错误!8．（２0１8·南京、盐城一模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝２x＋错误!，设g（x）＝错误!若函数y＝g（x）—t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是________．解析：因为f（x）为奇函数，所以f（—x）＝—f（x），即２—x＋m·２x＝—（２x＋m·２—x），解得m＝—１，故g（x）＝错误!作出函数g（x）的图象（如图所示）．当x＞１时，g（x）单调递增，此时g（x）＞错误!；当x≤１时，g（x）单调递减，此时g（x）≥—错误!，所以当t∈错误!时，y＝g（x）—t有且只有一个零点．答案：错误!9．已知二次函数f（x）＝x２＋（２a—１）x＋１—２a，（２）若y＝f（x）在区间（—１,0）及错误!内各有一个零点，求实数a的取值范围．解：（１）“对于任意的a∈R，方程f（x）＝１必有实数根”是真命题．依题意，f（x）＝１有实根，即x２＋（２a—１）x—２a＝0有实根，因为Δ＝（２a—１）２＋8a＝（２a＋１）２≥0对于任意的a∈R恒成立，即x２＋（２a—１）x—２a＝0必有实根，从而f（x）＝１必有实根．（２）依题意，要使y＝f（x）在区间（—１,0）及错误!内各有一个零点，只需错误!即错误!解得错误!＜a＜错误!.故实数a的取值范围为错误!.１0．（２0１8·通州中学检测）已知二次函数f（x）＝ax２＋bx＋１，g（x）＝a２x２＋bx＋１．若函数f（x）有两个不同零点x１，x２，函数g（x）有两个不同零点x３，x４.（１）若x３＜x１＜x４，试比较x２，x３，x４的大小关系；（２）若x１＝x３＜x２，m，n，p∈（—∞，x１），错误!＝错误!＝错误!，求证：m＝n＝p.解：（１）因为函数g（x）的图象开口向上，且零点为x３，x４，故g（x）＜0⇔x∈（x３，x４）．因为x１，x２是f（x）的两个不同零点，故f（x１）＝f（x２）＝0．因为x３＜x１＜x４，故g（x１）＜0＝f（x１），于是（a２—a）x错误!＜0．注意到x１≠0，故a２—a＜0．所以g（x２）—f（x２）＝（a２—a）x错误!＜0，故g（x２）＜f（x２）＝0，从而x２∈（x３，x４），于是x３＜x２＜x４.（２）证明：记x１＝x３＝t，故f（t）＝at２＋bt＋１＝0，g（t）＝a２t２＋bt＋１＝0，于是（a—a ２）t２＝0．因为a≠0，且t≠0，故a＝１．所以f（x）＝g（x）且图象开口向上．所以对∀x∈（—∞，x１），f′（x）递增且f′（x）＜0，g（x）递减且g（x）＞0．若m＞n，则f′（n）＜f′（m）＜0，错误!＞错误!＞0，从而g（p）＞g（n）＞0，故n＞p.同上，当n＞p时，可推得p＞m.所以p＞m＞n＞p，矛盾．所以m＞n不成立．同理，n＞m亦不成立．所以m＝n.同理，n＝p.所以m＝n＝p.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·镇江期中）函数f（x）＝错误!若关于x的方程f２（x）＋bf（x）＋４b＋１＝0有４个不同的实数根，则实数b的取值范围是________．解析：令t＝f（x），则原方程等价于t２＋bt＋１＋４b＝0．作出函数f（x）的图象如图所示．由图象可知，当t＞３，—２≤t＜—１时，函数y＝t和y＝f（x）各有两个交点，要使方程f２（x）＋bf（x）＋４b＋１＝0有４个不同的实数根，则方程t２＋bt＋１＋４b＝0有两个根t１，t２，且t１＞３，—２≤t２＜—１．令g（t）＝t２＋bt＋１＋４b，则由根的分布可得错误!解得—错误!≤b＜—错误!.答案：错误!２．（２0１9·南京调研）设函数f k（x）＝２x＋（k—１）·２—x（x∈R，k∈Z）．（１）若f k（x）是偶函数，求不等式f k（x）＞错误!的解集；（２）设不等式f0（x）＋mf１（x）≤４的解集为A，若A∩[１,２]≠∅，求实数m的取值范围；（３）设函数g（x）＝λf0（x）—f２（２x）—２，若g（x）在x∈[１，＋∞）上有零点，求实数λ的取值范围．解：（１）因为f k（x）是偶函数，所以f k（—x）＝f k（x）恒成立，即２—x＋（k—１）·２x＝２x＋（k—１）·２—x，所以k＝２．由２x＋２—x＞错误!，得４·２２x—１7·２x＋４＞0，解得２x＜错误!或２x＞４，即x＜—２或x＞２，所以不等式f k（x）＞错误!的解集为{x|x＜—２或x＞２}．（２）不等式f0（x）＋mf１（x）≤４，即为２x—２—x＋m·２x≤４，所以m≤错误!，即m≤错误!２＋４·错误!—１．令t＝错误!，x∈[１,２]，则t∈错误!，设h（t）＝t２＋４t—１，t∈错误!，则h（t）max＝h错误!＝错误!.由A∩[１,２]≠∅，即不等式f0（x）＋mf１（x）≤４在[１,２]上有解，则需m≤h（t）max，即m≤错误!.所以实数m的取值范围为错误!.（３）函数g（x）＝λ（２x—２—x）—（２２x＋２—２x）—２在x∈[１，＋∞）上有零点，即λ（２x—２—x）—（２２x＋２—２x）—２＝0在x∈[１，＋∞）上有解，因为x∈[１，＋∞），所以２x—２—x＞0，所以问题等价于λ＝错误!在x∈[１，＋∞）上有解．令p＝２x，则p≥２，令u＝p—错误!，则u在p∈[２，＋∞）上单调递增，因此u≥错误!，λ＝错误!.设r（u）＝错误!＝u＋错误!，则r′（u）＝１—错误!，当错误!≤u≤２时，r′（u）≤0，即函数r（u）在错误!上单调递减，当u≥２时，r′（u）≥0，即函数r（u）在[２，＋∞）上单调递增，所以函数r（u）在u＝２时取得最小值，且最小值r（２）＝４，所以r（u）∈[４，＋∞），从而满足条件的实数λ的取值范围是[４，＋∞）．。
(苏教版)高考数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值教案文(解析版)
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值[小题体验]1．(2019·常州一中月考)f (x )＝|x ＋2|的单调递增区间为________． 答案：[－2，＋∞)2．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，因为[2，a ]⊆(0，＋∞)，所以f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，所以12＋1a ＝34，所以a ＝4.答案：43．函数f (x )是在区间(－2,3)上的增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是________． 解析：由－2＜x ＋5＜3，得－7＜x ＜－2，故y ＝f (x ＋5)的递增区间为(－7，－2)． 答案：(－7，－2)1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]1．(2019·海安期中)函数f (x )＝x ＋12x ＋1的单调递减区间为________． 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12和⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 2．已知函数f (x )＝log 5(x 2－3x －4)，则该函数的单调递增区间为________． 解析：由题意知x 2－3x －4＞0，则x ＞4或x ＜－1， 令y ＝x 2－3x －4，则其图象的对称轴为x ＝32，所以y ＝x 2－3x －4的单调递增区间为(4，＋∞)．单调递减区间为(－∞，－1)，由复合函数的单调性知f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞)考点一 函数单调性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．讨论函数f (x )＝xx 2－1在x ∈(－1,1)上的单调性．解：设－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21－1－x 2x 22－1＝x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.因为－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＋1＞0，(x 21－1)(x 22－1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数．2．已知函数f (x )＝a ＋22x －1(a ∈R)，判断函数f (x )的单调性，并用单调性的定义证明．解：f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，证明如下： 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 在定义域内任取x 1，x 2，使0＜x 1＜x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝22x 2－1－22x 1－1＝22x 1－2x 22x 1－12x 2－1.因为0＜x 1＜x 2，所以2x 1＜2x 2，2x 2＞1,2x 1＞1， 所以2x 1－2x 2＜0,2x 1－1＞0,2x 2－1＞0， 从而f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)， 所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数， 同理可证f (x )在(－∞，0)上为减函数．[谨记通法]1．定义法判断函数单调性的步骤 取值作差商变形确定符号与1的大小得出结论2．导数法判断函数单调性的步骤 求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间重点保分型考点——师生共研[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．函数f (x )＝log 2(x 2－4)的单调递增区间为________． 解析：令t ＝x 2－4＞0，解得x ＜－2或x ＞2，故函数f (x )的定义域为{x |x ＜－2或x ＞2}，且f (x )＝log 2t .利用二次函数的性质可得，t ＝x 2－4在定义域{x |x ＜－2或x ＞2}内的单调递增区间为(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132231x x －＋的单调递增区间为________． 解析：令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18. 因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上单调递减． 所以y ＝⎝⎛⎭⎫132231x x －＋在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，34 考点三 函数单调性的应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中． 常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较数值的大小； (3)利用单调性解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．(2019·启东中学检测)设m ∈R ，若函数f (x )＝|x 3－3x －2m |＋m 在x ∈[0,2]上的最大值与最小值之差为3，则m ＝________.解析：令y ＝x 3－3x ，x ∈[0,2]，则y ′＝3x 2－3. 由y ′＞0，得1＜x ＜2；由y ′＜0，得0＜x ＜1， 所以y ＝x 3－3x 在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以当x ∈[0,2]时，y ＝x 3－3x 的值域为[－2,2]，y ＝x 3－3x －2m 的值域为[－2－2m,2－2m ]． ①当m ＝0时，f (x )max ＝2，f (x )min ＝0，不符合题意；②当m ≥1时，f (x )max ＝f (－2)＝2＋3m ，f (x )min ＝f (2)＝3m －2，f (x )max －f (x )min ＝4，不符合题意； ③当0＜m ＜1时，f (x )max ＝f (－2)＝2＋3m ，f (x )min ＝m ，f (x )max －f (x )min ＝2＋2m ＝3，解得m ＝12，符合题意；④当－1＜m ＜0时，f (x )max ＝f (2)＝2－m ，f (x )min ＝m ，f (x )max －f (x )min ＝2－2m ＝3，解得m ＝－12，符合题意；⑤当m ≤－1时， f (x )max ＝2－m ，f (x )min ＝－2－m ，f (x )max －f (x )min ＝4，不符合题意． 综上可得，m ＝±12.答案：±12角度二：比较数值的大小2．设函数f (x )定义在实数集R 上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫23的大小关系为________________(用“＜”号表示)．解析：由题设知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ＜1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，又13＜12＜23＜1，所以f ⎝⎛⎭⎫13＞f ⎝⎛⎭⎫12＞f ⎝⎛⎭⎫23，即f ⎝⎛⎭⎫13＞f ⎝⎛⎭⎫32＞f ⎝⎛⎭⎫23. 答案：f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13角度三：利用单调性解函数不等式3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]4．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，求不等式f (log 19x )＞0的解集．解：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增． ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，知f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 故原不等式f (log 19x )＞0可化为f (log 19x )＞f ⎝⎛⎭⎫12或f ⎝⎛⎭⎫－12＜f (log 19x )＜f ()0， ∴log 19x ＞12或－12＜log 19x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜13或1＜x ＜3. 角度四：利用单调性求参数的取值范围或值5．(2019·南通调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＜0，a －3x ＋4a ，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，a 0a －30＋4a ，解得0＜a ≤14.答案：⎝⎛⎦⎤0，14 [通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数最值(五种常用方法)(2)比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解．(3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]1．(2019·连云港调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1x ＋2，x ≤1，－5－2lg x ，x ＞1是在R 上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，a －1＋2≥－5，解得－6≤a ＜1.答案：[－6,1)2．函数f (x )＝－ax ＋b (a ＞0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. 解析：因为f (x )＝－ax ＋b (a ＞0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.答案：1 523．已知函数f (x )＝ln(2＋|x |)－41＋x 2，则使得f (x ＋2)＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________． 解析：由f (－x )＝f (x )可得函数f (x )是定义域R 上的偶函数，且x ＞0时函数f (x )单调递增， 则不等式等价于f (|x ＋2|)＞f (|2x －1|)，即|x ＋2|＞|2x －1|，两边平方化简得3x 2－8x －3＜0， 解得－13＜x ＜3.答案：⎝⎛⎭⎫－13，3一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如皋中学月考)函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|的增区间是________． 解析：因为函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|＝|(x －1)2＋1|＝(x －1)2＋1， 所以函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|的增区间是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)2．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14. 答案：143．(2018·徐州质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：因为y ＝⎝⎛⎭⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)是在区间[－1,1]上的减函数，所以最大值为f (－1)＝3.答案：34．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f (2x －1)＜f (5)的x 的取值范围是________． 解析：因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，且f (2x －1)＜f (5)，所以|2x －1|＞5，即x ＜－2或x ＞3.答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)5．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数，所以a ≤1. 又g (x )＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．所以a ＋1＞1，所以a ＞0.综上可知0＜a ≤1. 答案：(0,1]6．(2019·海门中学高三检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立，那么实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立， ∴函数f (x )在定义域上是增函数，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，a ＞1，a ≥32，解得32≤a ＜2.答案：⎣⎡⎭⎫32，2二保高考，全练题型做到高考达标1．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，因为函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)2．(2019·江阴高三检测)设a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,5]上是单调增函数，则实数a 的取值范围为______________．解析：∵a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |＝log a |x ·(ax －1)|在[3,5]上是单调增函数， ∴当a ＞1时，y ＝x ·(ax －1)在[3,5]上是单调增函数，且y ＞0，满足f (x )是增函数；当0＜a ＜1时，要使f (x )在[3,5]上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3≥12a，5＜1a ，解得16≤a ＜15.综上可得，a ＞1或16≤a ＜15.答案：⎣⎡⎭⎫16，15∪(1，＋∞)3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝－x ＋3是减函数，所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.答案：14．(2018·徐州一模)已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在区间[a ，b ]上同时递增或者同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1,2]为函数f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x －t |.因为区间[1,2]为函数f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，所以函数f (x )＝|2x －t |和函数g (x )＝|2－x －t |在[1,2]上单调性相同，因为y ＝2x －t 和函数y ＝2－x －t 的单调性相反，所以(2x －t )(2－x －t )≤0在[1,2]上恒成立，即2－x ≤t ≤2x 在[1,2]上恒成立，解得12≤t ≤2.答案：⎣⎡⎦⎤12，25．(2018·金陵中学月考)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a .所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，所以0≤a ＜1.答案：[0,1)6．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)， f (－3)的大小关系为____________(用“＜”表示)．解析：因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (π)＞f (3)＞f (2)，所以f (－2)＜f (－3)＜f (π)． 答案：f (－2)＜f (－3)＜f (π)7．(2018·苏州高三暑假测试)已知函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)，当x ∈[1,3]时，函数f (x )的值域为A ，若A⊆[8,16]，则a 的值等于________．解析：因为A ⊆[8,16]，所以8≤f (x )≤16对任意的x ∈[1,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤16x －x 2，a ≥8x －x 2对任意的x ∈[1,3]恒成立，当x ∈[1,3]时，函数y ＝16x －x 2在[1,3]上单调递增，所以16x －x 2∈[15,39]，函数y ＝8x －x 2在[1,3]上也单调递增，所以8x －x 2∈[7,15]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤15，a ≥15，即a 的值等于15.答案：158．若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1＜x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，所以2－1x 1x 2＞0， 所以h (x 1)＜h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．10．(2019·江阴期中)设函数f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫13＝310.(1)求函数f (x )的解析式；(2)用单调性定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)．解：(1)因为f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f (0)＝b ＝0，所以f (x )＝ax1＋x 2，而f ⎝⎛⎭⎫13＝13a 1＋19＝310， 解得a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2，x ∈(－1,1)． (2)证明：任取x 1，x 2∈(－1,1)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22. 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，又因为x 1，x 2∈(－1,1)，所以1－x 1x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)由题意，不等式f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)可化为f (|t |－1)＋f (t 2)＜0，即f (t 2)＜－f (|t |－1)，因为f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f (t 2)＜f (1－|t |)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜t 2＜1，－1＜1－|t |＜1，t 2＜1－|t |， 解得1－52＜t ＜5－12且t ≠0， 所以该不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是____________．解析：因为f (9)＝f (3)＋f (3)＝2，所以由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x x －89，解得8＜x ≤9.答案：(8,9]2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0. (1)证明：f (x )为单调递减函数；(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫x1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
2021版高考数学一轮复习 第二章 函数 2.4 函数性质的综合问题教学案 苏教版
第四节 函数性质的综合问题考点1 函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)＞f (x 2)或f (x 1)＜f (x 2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．(1)(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )(2)(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3](1)C (2)D [(1)∵f (x )是定义域为R 的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又∵log 34＞log 33＝1，且1＞2-23＞2-32＞0， ∴log 34＞2-23＞2-32＞0.∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2-32)＞f (2-23)＞f (log 34)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314.故选C.(2)∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1. 故由－1≤f (x －2)≤1， 得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.][逆向问题] 设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( )A ．[－3,3]B ．[－2,4]C ．[－1,5]D ．[0,6]B [因为f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数， 所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f (x )在[－6,0]上为增函数，得f (x )在(0,6]上为减函数，故f (x －1)≥f (3)⇒f (|x －1|)≥f (3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x ≤4.](1)函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f (x 1)＞f (x 2)的形式，再结合单调性脱去法则“f ”变成常规不等式，如x 1＜x 2(或x 1＞x 2)求解．1.已知函数f (x )满足以下两个条件：①任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0；②对定义域内任意x 有f (x )＋f (－x )＝0，则符合条件的函数是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝1－|x |C ．f (x )＝－x 3D ．f (x )＝ln(x 2＋3)C [由条件①可知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A 、D 选项，由条件②可知，f (x )为奇函数，则可排除B 选项，故选C.]2．函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B [∵函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数y ＝f (x )在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y ＝f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，∴f (1)＝f (3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.]3．(2019·滨州模拟)设奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式3f x －2f －x5x＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)D [∵奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，∴函数f (x )的图象关于原点对称，且过点(1,0)和(－1,0)，且f (x )在(－∞，0)上也是增函数．∴函数f (x )的大致图象如图所示．∵f (－x )＝－f (x )，∴不等式3fx －2f －x5x＜0可化为f xx＜0，即xf (x )＜0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x 的范围，据图象可知x ∈(－1,0)∪(0,1)．]考点2 函数的周期性与奇偶性已知f (x )是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．(2019·福州质量检测)已知函数f (x )对任意的x ∈R 都满足f (x )＋f (－x )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32为偶函数，当0＜x ≤32时，f (x )＝－x ，则f (2 017)＋f (2 018)＝________.－2 [依题意，f (－x )＝－f (x )，f ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (2 017)＝f (1)＝－1，f (2 018)＝f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32＝f (1)＝－1，所以f (2 017)＋f (2 018)＝－2.]解奇偶性、周期性的综合性问题的2个关键点(1)利用奇偶性和已知等式求周期．(2)将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解．1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 018)＝________.－2 [因为f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．所以f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.]2．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3，则实数a 的取值范围为________．(－∞，2) [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，∴f (5)＝2a －3＜1，即a ＜2.]考点3 单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50 C [法一：(直接法)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 法二：(特例法)由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.](1)函数的奇偶性与对称性的关系①若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则其函数图象关于直线x ＝a 对称；当a ＝0时可以得出f (x )＝f (－x )，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．②若函数f (x )满足f (2a －x )＝2b －f (x )，则其函数图象关于点(a ，b )对称；当a ＝0，b ＝0时得出f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．(2)函数的对称性与周期性的关系①若函数f (x )关于直线x ＝a 与直线x ＝b 对称，那么函数的周期是2|b －a |. ②若函数f (x )关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2|b －a |. ③若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|b －a |. (3)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系其中a ≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．[教师备选例题](1)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数(2)已知定义在R 上的连续奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，有下列命题：①函数f (x )的图象关于直线x ＝4k ＋2(k ∈Z )对称； ②函数f (x )的单调递增区间为[8k －6,8k －2](k ∈Z )； ③函数f (x )在区间(－2 018,2 018)上恰有1 008个极值点；④若关于x 的方程f (x )－m ＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8.其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(1)D (2)C [(1)根据题意，因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2.又因为f (x )在定义域R 上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，所以函数f (x )在[0,1]上是增函数，所以函数f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，所以f (x )在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.(2)①正确，∵定义在R 上的连续奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f [(x －4)－4]＝－f (x －4)＝f (x )，即f (x －8)＝f (x )，∴f (x )是以8为周期的周期函数，8k (k ∈Z 且k ≠0)也是其周期．又f (x )为R 上的连续奇函数，由f (x －4)＝－f (x )，即f (x )＝－f (x －4)，得f (x )＝f (4－x )，∴函数f (x )的一条对称轴为x ＝42＝2.又8k (k ∈Z 且k ≠0)是f (x )的周期， ∴f (x )＝f (x ＋8k )＝f (4－x )，∴函数的对称轴为x ＝8k ＋42＝4k ＋2(k ∈Z 且k ≠0)．综上，函数f (x )的图象关于直线x ＝4k ＋2(k ∈Z )对称，故①正确； ②错误，作图如下：由图可知，函数f (x )的单调递减区间为[8k －6,8k －2](k ∈Z )，故②错误；③正确，由图可知，f (x )在一个周期内有两个极值点，在区间(－2 016,2 016)上有504个完整周期，有1 008个极值点，在区间(－2 018，－2 016]和[2 016,2 018)上没有极值点，故在区间(－2 018,2 018)上有1 008个极值点，③正确；④正确，由图中m 1，m 2，m 3，m 4，m 5五条直线可知， 关于x 的方程f (x )－m ＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8，故④正确．综上所述，①③④正确，故选C.]1.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m i ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4mB [函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝2，可得f (x )的图象关于点(0,1)对称，函数y ＝x ＋1x ，即y ＝1＋1x 的图象关于点(0,1)对称，∴函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点也关于(0,1)对称，关于(0,1)对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为2.当交点不在对称轴上时，m 为偶数，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0×m 2＋2×m2＝m ；当有交点在对称轴上时，m 为奇数，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0×m －12＋0＋2×m －12＋1＝m .综上，∑mi ＝1(x i ＋y i )＝m .]2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)D [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．]课外素养提升② 数学运算——用活函数性质中的三个结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展．通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．奇函数的最值性质已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】 设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.2 [显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.]【素养提升练习】 已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2D [设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )，易知函数的定义域为R ，关于原点对称，∵g (x )＋g (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＝ln(1＋9x 2－3x )(1＋9x 2＋3x )＝ln 1＝0，∴g (x )为奇函数，∴g (lg 2)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝g (lg 2)＋g (－lg 2)＝0， 又∵f (x )＝g (x )＋1，∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝g (lg 2)＋1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋1＝2.]抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f x(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . 【例2】 已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0C [因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (－2 017)＝－f (2 017)， 因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1， ∴f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝1.]【素养提升练习】 (2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1fx ，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________.52 [∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.]抽象函数的对称性已知函数f (x )(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．【例3】 函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．4 [因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称， 所以函数y ＝f (x )的图象关于原点对称， 所以f (x )是R 上的奇函数，则f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4. 所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4)＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0， 所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.]【素养提升练习】 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )， 故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于直线x ＝1对称，故函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点也关于直线x ＝1对称，且相互对称的两点横坐标和为2.当f (x )不过点(1,4)时，∑mi ＝1x i ＝m2×2＝m ，当f (x )过点(1,4)时，∑mi ＝1x i ＝m －12×2＋1＝m .综上，∑mi ＝1x i ＝m .]。
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考点１函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路（１）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．（２）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x１）＞f（x２）或f （x１）＜f（x２）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响．（１）（２0１9·全国卷Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，＋∞）单调递减，则（）（２）（２0１7·全国卷Ⅰ）函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数．若f（１）＝—１，则满足—１≤f（x—２）≤１的x的取值范围是（）Ａ．[—２,２] Ｂ．[—１,１]Ｃ．[0,４] Ｄ．[１,３]（１）C（２）D[（１）∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（—x）＝f（x）．∴f错误!＝f（—log３４）＝f（log３４）．又∵log３４＞log３３＝１，且１＞２错误!＞２错误!＞0，∴log３４＞２错误!＞２错误!＞0．∵f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（２错误!）＞f（２错误!）＞f（log３４）＝f错误!.故选Ｃ．（２）∵f（x）为奇函数，∴f（—x）＝—f（x）．∵f（１）＝—１，∴f（—１）＝—f（１）＝１．故由—１≤f（x—２）≤１，得f（１）≤f（x—２）≤f（—１）．又f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，∴—１≤x—２≤１，∴１≤x≤３．][逆向问题] 设f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，且在[—２b,0]上为增函数，则f（x—１）≥f（３）的解集为（）Ａ．[—３,３] Ｂ．[—２,４]Ｃ．[—１,５] Ｄ．[0,6]B[因为f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，所以有—２b＋３＋b＝0，解得b＝３，由函数f（x）在[—6,0]上为增函数，得f（x）在（0,6]上为减函数，故f（x—１）≥f（３）⇒f（|x—１|）≥f（３）⇒|x—１|≤３，故—２≤x≤４．]（１）函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．（２）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x１）＞f（x２）的形式，再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式，如x１＜x２（或x１＞x２）求解．１．已知函数f（x）满足以下两个条件：１任意x１，x２∈（0，＋∞）且x１≠x２，（x１—x２）·[f（x１）—f（x２）]＜0；２对定义域内任意x有f（x）＋f（—x）＝0，则符合条件的函数是（）Ａ．f（x）＝２xＢ．f（x）＝１—|x|Ｃ．f（x）＝—x３Ｄ．f（x）＝ln（x２＋３）C[由条件１可知，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则可排除A、D选项，由条件２可知，f（x）为奇函数，则可排除B选项，故选Ｃ．]２．函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，则下列结论成立的是（）Ａ．f（１）＜f错误!＜f错误!Ｂ．f错误!＜f（１）＜f错误!Ｃ．f错误!＜f错误!＜f（１）Ｄ．f错误!＜f（１）＜f错误!B[∵函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，∴函数y＝f（x）在[２,４]上单调递减，且在[0,４]上函数y＝f（x）满足f（２—x）＝f（２＋x），∴f（１）＝f（３），f错误!＜f（３）＜f错误!，即f错误!＜f（１）＜f错误!.]３．（２0１9·滨州模拟）设奇函数f（x）定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）上，f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，则不等式错误!＜0的解集为（）Ａ．（—１,0）∪（１，＋∞）Ｂ．（—∞，—１）∪（0,１）Ｃ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｄ．（—１,0）∪（0,１）D[∵奇函数f（x）定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）上，在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，∴函数f（x）的图象关于原点对称，且过点（１,0）和（—１,0），且f（x）在（—∞，0）上也是增函数．∴函数f（x）的大致图象如图所示．∵f（—x）＝—f（x），∴不等式错误!＜0可化为错误!＜0，即xf （x）＜0．不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图象可知x∈（—１,0）∪（0,１）．]考点２函数的周期性与奇偶性已知f（x）是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．（２0１9·福州质量检测）已知函数f（x）对任意的x∈R都满足f（x）＋f（—x）＝0，f错误!为偶函数，当0＜x≤错误!时，f（x）＝—x，则f（２0１7）＋f（２0１8）＝________.—２[依题意，f（—x）＝—f（x），f错误!＝f错误!，所以f（x＋３）＝f（—x）＝—f（x），所以f（x＋6）＝f（x），所以f（２0１7）＝f（１）＝—１，f（２0１8）＝f（２）＝f错误!＝f错误!＝f（１）＝—１，所以f（２0１7）＋f（２0１8）＝—２．]解奇偶性、周期性的综合性问题的２个关键点（１）利用奇偶性和已知等式求周期．（２）将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解．１．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝—f错误!，且f（１）＝２，则f（２0１8）＝________.—２[因为f（x）＝—f错误!，所以f（x＋３）＝f错误!＝—f错误!＝f（x）．所以f（x）是以３为周期的周期函数．则f（２0１8）＝f（67２×３＋２）＝f（２）＝f（—１）＝—f（１）＝—２．]２．已知f（x）是定义在R上以３为周期的偶函数，若f（１）＜１，f（５）＝２a—３，则实数a 的取值范围为________．（—∞，２）[∵f（x）是定义在R上的周期为３的偶函数，∴f（５）＝f（５—6）＝f（—１）＝f （１），∵f（１）＜１，∴f（５）＝２a—３＜１，即a＜２．]考点３单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[一题多解]（２0１8·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f （１—x）＝f（１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝（）Ａ．—５0 Ｂ．0 Ｃ．２Ｄ．５0C[法一：（直接法）∵f（x）是奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（１—x）＝—f（x—１）．由f（１—x）＝f（１＋x），得—f（x—１）＝f（x＋１），∴f（x＋２）＝—f（x），∴f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），∴函数f（x）是周期为４的周期函数．由f（x）为奇函数得f（0）＝0．又∵f（１—x）＝f（１＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝１对称，∴f（２）＝f（0）＝0，∴f（—２）＝0．又f（１）＝２，∴f（—１）＝—２，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＝f（１）＋f（２）＋f（—１）＋f（0）＝２＋0—２＋0＝0，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＋…＋f（４9）＋f（５0）＝0×１２＋f（４9）＋f（５0）＝f（１）＋f（２）＝２＋0＝２．法二：（特例法）由题意可设f（x）＝２sin错误!，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为４，所以f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（４9）＋f（５0）＝１２×0＋f（１）＋f（２）＝２．]（１）函数的奇偶性与对称性的关系１若函数f（x）满足f（a＋x）＝f（a—x），则其函数图象关于直线x＝a对称；当a＝0时可以得出f（x）＝f（—x），函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．２若函数f（x）满足f（２a—x）＝２b—f（x），则其函数图象关于点（a，b）对称；当a＝0，b ＝0时得出f（—x）＝—f（x），函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．（２）函数的对称性与周期性的关系１若函数f（x）关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是２|b—a|.２若函数f（x）关于点（a,0）对称，又关于点（b,0）对称，那么函数的周期是２|b—a|.３若函数f（x）关于直线x＝a对称，又关于点（b,0）对称，那么函数的周期是４|b—a|.（３）函数的奇偶性、周期性、对称性的关系其中a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．[教师备选例题]（１）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋１）＝—f（x），若f（x）在[—１,0]上单调递减，则f（x）在[１,３]上是（）Ａ．增函数Ｂ．减函数Ｃ．先增后减的函数Ｄ．先减后增的函数１函数f（x）的图象关于直线x＝４k＋２（k∈Z）对称；２函数f（x）的单调递增区间为[8k—6,8k—２]（k∈Z）；３函数f（x）在区间（—２0１8,２0１8）上恰有１008个极值点；４若关于x的方程f（x）—m＝0在区间[—8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±４或±8．其中真命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（１）D（２）C[（１）根据题意，因为f（x＋１）＝—f（x），所以f（x＋２）＝—f（x＋１）＝f（x），所以函数f（x）的周期是２．又因为f（x）在定义域R上是偶函数，在[—１,0]上是减函数，所以函数f（x）在[0,１]上是增函数，所以函数f（x）在[１,２]上是减函数，在[２,３]上是增函数，所以f （x）在[１,３]上是先减后增的函数，故选Ｄ．（２）１正确，∵定义在R上的连续奇函数f（x）满足f（x—４）＝—f（x），∴f[（x—４）—４]＝—f（x—４）＝f（x），即f（x—8）＝f（x），∴f（x）是以8为周期的周期函数，8k（k∈Z且k≠0）也是其周期．又f（x）为R上的连续奇函数，由f（x—４）＝—f（x），即f（x）＝—f（x—４），得f （x）＝f（４—x），∴函数f（x）的一条对称轴为x＝错误!＝２．又8k（k∈Z且k≠0）是f（x）的周期，∴f（x）＝f（x＋8k）＝f（４—x），∴函数的对称轴为x＝错误!＝４k＋２（k∈Z且k≠0）．综上，函数f（x）的图象关于直线x＝４k＋２（k∈Z）对称，故１正确；２错误，作图如下：由图可知，函数f（x）的单调递减区间为[8k—6,8k—２]（k∈Z），故２错误；３正确，由图可知，f（x）在一个周期内有两个极值点，在区间（—２0１6,２0１6）上有５0４个完整周期，有１008个极值点，在区间（—２0１8，—２0１6]和[２0１6,２0１8）上没有极值点，故在区间（—２0１8,２0１8）上有１008个极值点，３正确；４正确，由图中m１，m２，m３，m４，m５五条直线可知，关于x的方程f（x）—m＝0在区间[—8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±４或±8，故４正确．综上所述，１３４正确，故选Ｃ．]１．（２0１6·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），若函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!（x i＋y i）＝（）Ａ．0 Ｂ．mＣ．２mＤ．４mB[函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），即f（x）＋f（—x）＝２，可得f（x）的图象关于点（0,１）对称，函数y＝错误!，即y＝１＋错误!的图象关于点（0,１）对称，∴函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点也关于（0,１）对称，关于（0,１）对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为２．当交点不在对称轴上时，m为偶数，∴错误!（x i＋y i）＝错误!x i＋错误!y i＝0×错误!＋２×错误!＝m；当有交点在对称轴上时，m为奇数，则错误!（x i＋y i）＝错误!x i＋错误!y i＝0×错误!＋0＋２×错误!＋１＝m.综上，错误!（x i＋y i）＝m.]２．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x—４）＝—f（x），且在区间[0,２]上是增函数，则（）Ａ．f（—２５）＜f（１１）＜f（80）Ｂ．f（80）＜f（１１）＜f（—２５）Ｃ．f（１１）＜f（80）＜f（—２５）Ｄ．f（—２５）＜f（80）＜f（１１）D[因为f（x）满足f（x—４）＝—f（x），所以f（x—8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（—２５）＝f（—１），f （80）＝f（0），f（１１）＝f（３）．由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x—４）＝—f（x），得f（１１）＝f（３）＝—f（—１）＝f（１）．因为f（x）在区间[0,２]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，所以f（x）在区间[—２,２]上是增函数，所以f（—１）＜f（0）＜f（１），即f（—２５）＜f（80）＜f（１１）．]课外素养提升２数学运算——用活函数性质中的三个结论论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．奇函数的最值性质已知函数f（x（x）＋f（—x）＝0．特别地，若奇函数f（x）在D上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝0，且若0∈D，则f（0）＝0．【例１】设函数f（x）＝错误!的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.２[显然函数f（x）的定义域为R，f（x）＝错误!＝１＋错误!，设g（x）＝错误!，则g（—x）＝—g（x），∴g（x）为奇函数，由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，∴M＋m＝[g（x）＋１]max＋[g（x）＋１]min＝２＋g（x）max＋g（x）min＝２．]【素养提升练习】已知函数f（x）＝ln（错误!—３x）＋１，则f（lg ２）＋f错误!＝（）Ａ．—１Ｂ．0 Ｃ．１Ｄ．２D[设g（x）＝ln（错误!—３x），易知函数的定义域为R，关于原点对称，∵g（x）＋g（—x）＝ln（错误!—３x）＋ln（错误!＋３x）＝ln（错误!—３x）（错误!＋３x）＝ln １＝0，∴g（x）为奇函数，∴g（lg ２）＋g错误!＝g（lg ２）＋g（—lg ２）＝0，又∵f（x）＝g（x）＋１，∴f（lg ２）＋f错误!＝g（lg ２）＋１＋g错误!＋１＝２．]抽象函数的周期性（１）如果f（x＋a）＝—f（x）（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T＝２a.（２）如果f（x＋a）＝错误!（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.（３）如果f（x＋a）＋f（x）＝c（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.【例２】已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x＋３）＝—f（x），且当x∈（0,３）时，f（x）＝x＋１，则f（—２0１7）＋f（２0１8）＝（）A．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0C[因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（—２0１7）＝—f（２0１7），因为当x≥0时，有f（x＋３）＝—f（x），所以f（x＋6）＝—f（x＋３）＝f（x），即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈（0,３）时，f（x）＝x＋１，∴f（２0１7）＝f（３３6×6＋１）＝f（１）＝２，f（２0１8）＝f（３３6×6＋２）＝f（２）＝３．故f（—２0１7）＋f（２0１8）＝—f（２0１7）＋３＝１．]【素养提升练习】（２0１9·山西八校联考）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x＋２）＝—错误!，当２≤x≤３时，f（x）＝x，则f错误!＝________.错误![∵f（x＋２）＝—错误!，∴f（x＋４）＝f（x），∴f错误!＝f错误!，又２≤x≤３时，f（x）＝x，∴f错误!＝错误!，∴f错误!＝错误!.]抽象函数的对称性已知函数f（x（１）若f（a＋x）＝f（b—x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝错误!对称，特别地，若f （a＋x）＝f（a—x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．（２）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（a—x）＝0，即f（x）＝—f（２a—x），则f（x）的图象关于点（a,0）对称．【例３】函数y＝f（x）对任意x∈R都有f（x＋２）＝f（—x）成立，且函数y＝f（x—１）的图象关于点（１,0）对称，f（１）＝４，则f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）的值为________．４[因为函数y＝f（x—１）的图象关于点（１,0）对称，所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）是R上的奇函数，则f（x＋２）＝f（—x）＝—f（x），所以f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），故f（x）的周期为４．所以f（２0１7）＝f（５0４×４＋１）＝f（１）＝４，所以f（２0１6）＋f（２0１8）＝—f（２0１４）＋f（２0１４＋４）＝—f（２0１４）＋f （２0１４）＝0，所以f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）＝４．]【素养提升练习】已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（２—x），若函数y＝|x２—２x—３|与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!x i＝（）Ａ．0 Ｂ．mＣ．２mＤ．４mB[∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（２—x），故函数f（x）的图象关于直线x＝１对称，函数y＝|x２—２x—３|的图象也关于直线x＝１对称，故函数y＝|x２—２x—３|与y＝f（x）图象的交点也关于直线x＝１对称，且相互对称的两点横坐标和为２．当f（x）不过点（１,４）时，错误!x i＝错误!×２＝m，当f（x）过点（１,４）时，错误!x i＝错误!×２＋１＝m.综上，错误!x i＝m.]。