苏教版版高考数学一轮复习第二章函数函数性质的综合问题教学案

考点１函数的单调性与奇偶性

函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路

（１）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

（２）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x１）＞f（x２）或f （x１）＜f（x２）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响．

（１）（２0１9·全国卷Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，＋∞）单调递减，则（）

（２）（２0１7·全国卷Ⅰ）函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数．若f（１）＝—１，则满足—１≤f（x—２）≤１的x的取值范围是（）

Ａ．[—２,２] Ｂ．[—１,１]

Ｃ．[0,４] Ｄ．[１,３]

（１）C（２）D[（１）∵f（x）是定义域为R的偶函数，

∴f（—x）＝f（x）．

∴f错误!＝f（—log３４）＝f（log３４）．

又∵log３４＞log３３＝１，且１＞２错误!＞２错误!＞0，

∴log３４＞２错误!＞２错误!＞0．

∵f（x）在（0，＋∞）上单调递减，

∴f（２错误!）＞f（２错误!）＞f（log３４）＝f错误!.故选Ｃ．

（２）∵f（x）为奇函数，

∴f（—x）＝—f（x）．

∵f（１）＝—１，∴f（—１）＝—f（１）＝１．

故由—１≤f（x—２）≤１，

得f（１）≤f（x—２）≤f（—１）．

又f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，

∴—１≤x—２≤１，

∴１≤x≤３．]

[逆向问题] 设f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，且在[—２b,0]上为增函数，则f（x—１）≥f（３）的解集为（）

Ａ．[—３,３] Ｂ．[—２,４]

Ｃ．[—１,５] Ｄ．[0,6]

B[因为f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，

所以有—２b＋３＋b＝0，解得b＝３，

由函数f（x）在[—6,0]上为增函数，得f（x）在（0,6]上为减函数，故f（x—１）≥f（３）⇒f（|x—１|）≥f（３）⇒|x—１|≤３，故—２≤x≤４．]

（１）函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．（２）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x１）＞f（x２）的形式，再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式，如x１＜x２（或x１＞x２）求解．

１．已知函数f（x）满足以下两个条件：１任意x１，x２∈（0，＋∞）且x１≠x２，（x１—x

２）·[f（x１）—f（x２）]＜0；２对定义域内任意x有f（x）＋f（—x）＝0，则符合条件的函数是（）Ａ．f（x）＝２xＢ．f（x）＝１—|x|

Ｃ．f（x）＝—x３Ｄ．f（x）＝ln（x２＋３）

C[由条件１可知，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则可排除A、D选项，由条件２可知，f（x）

为奇函数，则可排除B选项，故选Ｃ．]

２．函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，则下列结论成立的是（）Ａ．f（１）＜f错误!＜f错误!

Ｂ．f错误!＜f（１）＜f错误!

Ｃ．f错误!＜f错误!＜f（１）

Ｄ．f错误!＜f（１）＜f错误!

B[∵函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，

∴函数y＝f（x）在[２,４]上单调递减，且在[0,４]上函数y＝f（x）满足f（２—x）＝f（２＋x），∴f（１）＝f（３），f错误!＜f（３）＜f错误!，

即f错误!＜f（１）＜f错误!.]

３．（２0１9·滨州模拟）设奇函数f（x）定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）上，f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，则不等式错误!＜0的解集为（）

Ａ．（—１,0）∪（１，＋∞）

Ｂ．（—∞，—１）∪（0,１）

Ｃ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）

Ｄ．（—１,0）∪（0,１）

D[∵奇函数f（x）定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）上，在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，∴函数f（x）的图象关于原点对称，且过点（１,0）和（—１,0），且f（x）在（—∞，0）上也是增函数．∴函数f（x）的大致图象如图所示．∵f（—x）＝—f（x），∴不等式错误!＜0可化为错误!＜0，即xf （x）＜0．不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图象可知x∈（—１,0）∪（0,１）．]

考点２函数的周期性与奇偶性

已知f（x）是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求

函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．

（２0１9·福州质量检测）已知函数f（x）对任意的x∈R都满足f（x）＋f（—x）＝0，f错误!为偶函数，当0＜x≤错误!时，f（x）＝—x，则f（２0１7）＋f（２0１8）＝________.

—２[依题意，f（—x）＝—f（x），f错误!＝f错误!，所以f（x＋３）＝f（—x）＝—f（x），所以f（x＋6）＝f（x），所以f（２0１7）＝f（１）＝—１，f（２0１8）＝f（２）＝f错误!＝f错误!＝f（１）＝—１，所以f（２0１7）＋f（２0１8）＝—２．]

解奇偶性、周期性的综合性问题的２个关键点

（１）利用奇偶性和已知等式求周期．

（２）将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解．

１．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝—f错误!，且f（１）＝２，则f（２0１8）＝________.

—２[因为f（x）＝—f错误!，所以f（x＋３）＝f错误!＝—f错误!＝f（x）．

所以f（x）是以３为周期的周期函数．

则f（２0１8）＝f（67２×３＋２）＝f（２）＝f（—１）＝—f（１）＝—２．]

２．已知f（x）是定义在R上以３为周期的偶函数，若f（１）＜１，f（５）＝２a—３，则实数a 的取值范围为________．

（—∞，２）[∵f（x）是定义在R上的周期为３的偶函数，∴f（５）＝f（５—6）＝f（—１）＝f （１），∵f（１）＜１，∴f（５）＝２a—３＜１，即a＜２．]

考点３单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题

函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

[一题多解]（２0１8·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f （１—x）＝f（１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝（）Ａ．—５0 Ｂ．0 Ｃ．２Ｄ．５0