苏科版七年级数学上第二章《有理数》解答题培优训练(有答案)

苏科版七上第二章《有理数》解答题培优训练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1.计算．
(1)已知|a|=3，|b|=2，且|a+b|=−(a+b)，则a+b的值
(2)计算2−4+6−8+10−12+⋯−2016+2018．
2.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为
|AB|=|a−b|．
理解：
(1)数轴上表示2和−3的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示x和−5的两点A和B之间的距离是______；
(3)当代数式|x−1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是______；最小值
是______．
应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
3.阅读解答：
(1)填空：21−20=2()，22−21=2()，23−22=2()，……
(2)探索(1)中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立．
(3)计算：20+21+22+23+⋯+21000
4.阅读理解，并解答问题：
(1)观察下列各式：1
2=1
1×2
=1−1
2
，1
6
=1
2×3
=1
2
−1
3
，1
12
=1
3×4
=1
3
−1
4
，…
(2)请利用上述规律计算(要求写出计算过程)：
①1
2+1
6
+1
12
+1
30
+1
42
+1
56
；
②1
1×3+1
3×5
+1
5×7
+1
7×9
+1
9×11
+1
11×13
+1
13×15
．
5.数轴上有两点A，B，点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运
动．
(1)如图，若点N为线段OB上一点，AB=16，ON=2，当点C，D分别运动到
AO，BN的中点时，求CD的长；
(2)若点C在线段OA上运动，点D在线段OB上运动，速度分别为每秒1cm，4cm，
在点C，D运动的过程中，满足OD=4AC，若点M为直线AB上一点，且AM−BM= OM，求AB
的值．
OM
6.观察下列解题过程：
计算：1+5+52+53+⋯+524+525的值．
解：设S=1+5+52+53+⋯+524+525.(1)
则5S=5+52+53+⋯+525+526(2)
(2)−(1)得4S=526−1，S=52n−1
4
通过阅读，你学会了一种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：
(1)1+3+32+34+⋯+39+310
(2)1+x+x2+x3+⋯+x99+x100．
7.平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化，回答下列问题：
(1)平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方形移动2
个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果______
A.(+3)+(+2)=+5
B.(+3)+(−2)=+1
C.(−3)−(+2)=−5
D.(−3)+(+2)=−1
②一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次(不改变方向)，每次移动一
个单位后到达B点，则B点表示的数是______．
③该机器人又从原点O开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单
位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依次规律跳下去，当它跳2016次时，落在数轴上的点到原点的距离是______个单位．
(2)翻折变换
①若折叠纸条，表示−1的点与表示3的点重合，则表示4的点与表示______的点
重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为8(A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且A、
B两点经折叠后重合，则A点表示______，B点表示______．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a和b，折叠中间点表示的数为______.(用
a，b的代数式表示)
8.某灯具厂计划一天生产200盏景观灯，但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与
计划每天生产景观灯数相比有出入，下表是某周的生产情况(增产记为正、减产记为负)：
(1)求该厂本周实际生产景观灯的盏数；
(2)求产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数；
(3)该厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元，若超额完成任务，则
超过部分每盏另奖25元，若未能完成任务，则少生产一盏扣30元，那么该厂这一周应付工资总额是多少元？
9.观察下列算式：
①1×3−22=3−4=−1
②2×4−32=8−9=−1
③3×5−42=15−16=−1
④______
…
(1)请你按照以上规律写出第④个算式；
(2)设n是正整数，请把上述规律用含有n的等式表示出来______；
(3)请说明(2)中所写的等式成立．
10.如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+
24|+|b+10|+(c−10)2=0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C 运动，设运动时间为t秒．
(1)求a、b、c的值；
(2)若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数；
(3)当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，
Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.在点Q开始运动后第几
秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．
11.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2−2ab+a.如：
1☆3=1×32−2×1×3+1=4．
(1)求(−2)☆5的值；
☆3=8，求a的值；
(2)若a+1
2
(3)若m=4☆x，n=(1−2x)☆3(其中x为有理数)，试比较m、n大小关系，并
说明理由．
12.数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好
满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．
(1)若点A表示数−2，点B表示数1，下列各数−1，2，4，6所对应的点分别是C1，
C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是______；
(2)点A表示数−10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，
请直接写出此时点P表示的数．
答案和解析
解：(1)∵|a|=3，|b|=2，且|a+b|=−(a+b)，即a+b≤0，
∴a=−3，b=−2或2，
当a=−3，b=−2时，a+b=−3−2=−5；
当a=−3，b=2时，a+b=−3+2=−1．
故a+b的值为−5或−1；’
(2)2−4+6−8+10−12+⋯−2016+2018
=(2−4)+(6−8)+(10−12)+⋯+(2014−2016)+2018
=−2−2−2+⋯−2+2018
=−2×(2016÷2÷2)+2018
=−2×504+2018
=−1008+2018
=1010．
2.5 |x+5|−3≤x≤1 4
解：(1)2和−3的两点之间的距离是|2−(−3)|=5，
故答案为：5．
(2)A和B之间的距离是|x−(−5)|=|x+5|，
故答案为：|x+5|．
(3)代数式|x−1|+|x+3|表示在数轴上到1和−3两点的距离的和，当x在−3和1之间时，代数式取得最小值，最小值是−3和1之间的距离|1−(−3)|=4．
故当−3≤x≤1时，代数式取得最小值，最小值是4．
故答案为：−3≤x≤1，4．
应用：根据题意，共有5种调配方案，如下图所示：
由上可知，调出的最小车辆数为：4+2+6=12辆．
3.解：(1)0；1；2；
(2)第n个等式，2n−2n−1=2n−1；
理由：
2n−2n−1=2n−1(2−1)=2n−1；
(3)设S=2°+21+22+23+24+⋯+21000，
则2S=21+22+23+24+⋯+21001，
所以S=(21+22+23+24+⋯+21001)−(20+21+22+23+24+⋯+21000) =21001−1．
解：(1)21−20=1=2(0)
22−21=2=2(1)
23−22=4=2(2)，
故答案为0；1；2；
4.解：观察阅读材料可得：
①原式=1−1
2+1
2
−1
3
+1
3
−1
4
+⋯+1
7
−1
8
=1−1
8
=7
8
；
②原式=1
2(1−1
3
+1
3
−1
5
+⋯+1
13
−1
15
)
=1
2(1−1
15
)
=7
15
5.解：(1)设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，则，b−a=16，∵点C是OA的中点，点D是BN的中点，
∴点C在数轴上表示的数为a
2，点D在数轴上表示的数为b+2
2
，
∴CD=b+2
2−a
2
=b−a+2
2
=16+2
2
=9，
答：CD的长为9；
(2)设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为−t，点D在数轴上表示的数为b−4t，∴AC=−t−a，OD=b−4t，
由OD=4AC得，b−4t=4(−t−a)，
即：b=−4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM−BM=OM得，m−a−(m−b)=
m，即：m=b−a；
∴AB
OM =b−a
m
=m
m
=1；
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM−BM=OM得，m−a−(b−m)=m，即：m=a+b；
∴AB
OM =b−a
m
=b−a
a+b
=−4a−a
a−4a
=5
3
；
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM−BM=OM得，m−a−(b−m)=−m，即：m=a+b
3=a−4a
3
=−a；
∵此时m<0，a<0，
∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM−BM=OM得，a−m−(b−m)=−m，即：m=b−a；而m<0，b−a>0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述，AB
OM 的值为1或5
3
．
6.解：(1)设S=1+3+32+33+⋯+310，两边乘以3得：3S=3+32+33+⋯+311，两式相减得：3S−S=311−1，
即S=1
2
(311−1)，
(311−1)．
则原式=1
2
(2)设S=1+x+x2+x3+⋯+x99+x100，
则xS=x+x2+x3+⋯+x99+x100+x101，
两式相减可得(x−1)S=x101−1，
当x=1时，S=1+1+⋯+1=101；
．
当x≠1时，S=x101−1
x−1
7.(1)①D，
②2或−2，
③−1008；
(2)①−2，
②−3，5，
③a+b
．
2
解：(1)①根据题意得：(−3)+(+2)=−1．
②1+1=2或(−1)+(−1)=−2，
则B点表示的数是2或−2，
③设向右跳动为正，向左跳动为负，由题意可得(+1)+(−2)+(+3)+(−4)+⋯+ (−2016)=(1−2)+(3−4)+(5−6)+⋯+(2015−2016)=−1008；
故答案为：D；2或−2；−1008，
(2)①根据题意得：表示1的点为折叠点，即4对应的点为−2；
②∵A、B两点之间的距离为8且折叠后重合，
∴A点表示的数为：1−8÷2=1−4=−3．
B点表示的数为：1+8÷2=1+4=5．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a和b，折叠中间点表示的数为a+b
，
2
故答案为：−2；−3，5；a+b
．
2
8.解：(1)3−5−2+9−7+12−3=7(盏)，
200×7+7=1407(盏)，
答：该厂本周实际生产景观灯的盏数是2107盏；
(2)12−(−7)=19盏，
产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数是19盏；
(3)根据题意200×50+25×24−17×30=70000+90=70090(元)答：该厂这一周应付工资总额是70090元．
9.4×6−52=24−25=−1n(n+2)−(n+1)2=−1
解：(1)第4个算式为：4×6−52=24−25=−1；
(2)用含字母n的式子表示出来为n(n+2)−(n+1)2=−1；
(3)n(n+2)−(n+1)2=n2+2n−(n2+2n+1)
=n2+2n−n2−2n−1=−1．
故n(n+2)−(n+1)2=−1成立．
故答案为：4×6−52=24−25=−1；n(n+2)−(n+1)2=−1
10.解：(1)∵|a+24|+|b+10|+(c−10)2=0
∴a+24=0，b+10=0，c−10=0
解得a=−24，b=−10，c=10
(2)−10−(−24)=14，
①点P在AB之间，AP=14×2
2+1=28
3
，
−24+28
3=−44
3
，
点P的对应的数是−44
3
；
②点P在AB的延长线上，AP=14×2=28，−24+28=4，
点P的对应的数是4；
(3)设在点Q开始运动后第a秒时，P、Q两点之间的距离为4，
当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3a+4=14+a，解得a=5；
当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3a−4=14+a，解得a=9；
当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+a+4+3a−34=34，a=12.5；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+a−4+3a−34=34，解得a=14.5，综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4．
11.解：(1)根据题中的新定义得：原式=−2×25+20−2=−32；
(2)根据题中新定义化简得：a+1
2×9−3(a+1)+a+1
2
=8，
去分母得：9a+9−6a−6+a+1=16，
移项合并得：4a=12，
解得：a=3；
(3)根据题中的新定义得：m=4x2−8x+4，n=9(1−2x)−6(1−2x)+1−2x=9−18x−6+12x+1−2x=4−8x，
∵m−n=4x2−8x+4−4+8x=4x2≥0，
∴m≥n．
12.C1或C3
解：(1)∵点A表示数−2，点B表示数1，C1表示的数为−1，∴AC1=1，BC1=2，∴C1是点A、B的“关联点”；
∵点A表示数−2，点B表示数1，C2表示的数为2，∴AC2=4，BC1=1，∴C2不是点A、B的“关联点”；
∵点A表示数−2，点B表示数1，C3表示的数为4，∴AC3=6，BC3=3，∴C3是点A、B的“关联点”；
∵点A表示数−2，点B表示数1，C4表示的数为6，∴AC4=8，BC4=5，∴C4不是点A、B的“关联点”；
故答案为：C1，C3；
(2)①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点P表示的数为x (Ⅰ)当点P在A的左侧时，则有：2PA=PB，即，2(−10−x)=15−x，解得，x=−35；(Ⅱ)当点P在A、B之间时，有2PA=PB或PA=2PB，即有，2(x+10)=15−x或x+
10=2(15−x)，解得，x =−53或x =
203；
因此点P 表示的数为−35或−53或203；
②若点P 在点B 的右侧， (Ⅰ)若点P 是点A 、B 的“关联点”，则有，2PB =PA ，即2(x −15)=x +10，解得，x =40；
(Ⅱ)若点B 是点A 、P 的“关联点”，则有，2AB =PB 或AB =2PB ，即2(15+10)=x −15或15+10=2(x −15)，得，x =65或x =552；
(Ⅲ)若点A 是点B 、P 的“关联点”，则有，2AB =PA ，即2(15+10)=x +10，解得，
x =40；
因此点P 表示的数为40或65或552；
1、最困难的事就是认识自己。

20.10.1110.11.202009:3009:30:00Oct -2009:30
2、自知之明是最难得的知识。

二〇二〇年十月十一日2020年10月11日星期日
3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。

09:3010.11.202009:3010.11.202009:3009:30:0010.11.202009:3010.11.2020
4、与肝胆人共事，无字句处读书。

10.11.202010.11.202009:3009:3009:30:0009:30:00
5、三军可夺帅也。

Sunday, October 11, 2020October 20Sunday, October 11, 202010/11/2020
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。

9时30分9时30分11-Oct -2010.11.2020
亲爱的用户： 烟雨江南，画屏如展。

在那桃花盛开的地方，在这醉
人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一
样美丽，感谢你的阅读。