全等三角形之倍长中线法资料讲解
全等三角形辅助线之倍长中线法
可证EFD EGC
F
(平行线夹中点)
D
E
C
G
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．若AB=5， AC=3，求AD的取值范围．
A
延长AD至E使DE=AD，连接BE
在ADC和EDB中
AD=DE，ADC=EDB，BD=CD
故ADC EDB(SAS)
B
D
C AB-BE AE AB+BE即２ AE ８
A F
E
A
1 2
F
3E
B
D
C
BDCM 全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作 EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG． 求证：EG=CG且EG⊥CG．
M
A
D
A
D
G G
F EB
F
1
4
2
3
C
EB
全等三角形辅助线之倍长中线法
倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．
AD为ABC的中线
A
B
D
C
延长AD至E使DE=AD，连接BE 在ADC和EDB中 AD=DE，ADC=EDB，BD=CD 故ADC EDB(SAS) 与此相关的重要结论AC PBE
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
AD为ABC的中线
１<AD<４
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
C
三角形全等之倍长中线(习题及答案)知识讲解
三角形全等之倍长中线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：？？FE CD B A见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？GG？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A B DCE F？？在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CBA2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．F EDC BAF ED CBA如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB 于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．GFE D CAFEDB CA➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．CDBA比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E 21ECDB A∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ． 21ECDBADCBA【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）➢ 思考小结1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略。
倍长中线法(经典例题)讲课讲稿
倍长中线法(经典例题)倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】△ABC中延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD 到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE过D作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAEBABFDEC自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD为ABC∆的中线，DE平分BDA∠交AB于E，DF平分ADC∠交AC于F. 求证：EFCFBE>+EAB C4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图 DF CBEADABCMTE。
倍长中线法(经典例题)2资料讲解
倍长中线法(经典例题)2倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+第 14 题图DF CBEAB例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABCF EABCD3、已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．ABFD E C5、如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.DA BCMTE倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
倍长中线法构造全等三角形例题
倍长中线法构造全等三角形例题《倍长中线法构造全等三角形》一、引言在数学中，全等三角形是非常重要的概念，它们具有相同的三边和三角角度，但形状和位置可能有所不同。
而倍长中线法是构造全等三角形的一种重要方法。
本文将深入探讨倍长中线法的原理和应用，通过具体的例题来演示构造全等三角形的过程。
二、倍长中线法的原理1. 什么是倍长中线法？倍长中线法是指通过将三角形中的两条边分别延长相等的长度，然后连接延长后的两条边的中点，得到一个边长为原来中线的两倍的新三角形的方法。
2. 倍长中线法的原理当我们通过倍长中线法构造全等三角形时，我们实际上是借助了中线的性质。
在三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段就是该对边的中线，中线的定义是连接三角形的一个顶点和边对面中点的线段。
对于一个三角形ABC来说，若D为AB的中点，那么有AD = BD，这就是中线的性质之一。
而倍长中线法利用了中线的这一性质，通过延长两条边相等的长度，再连接延长后的两条边的中点，可以构造出一条新的中线，新中线的长度是原中线的两倍。
这样就得到了一个边长为原三角形中线长度两倍的全等三角形。
三、倍长中线法构造全等三角形的例题现在，让我们通过具体的例题来演示倍长中线法对全等三角形的构造过程。
例题1：已知△ABC中，AB = 6cm, AC = 4cm，以AC为底边做三角形ACD，且AD = 6cm，BD = 4cm，连接BC并延长到E，使得CE = AB。
连接DE并延长到F，使得DF = AB。
证明△ADF≌△ABC。
解题步骤：1. 延长BC和DE我们根据题目要求，延长BC和DE，使得CE = AB，DF = AB。
2. 连接CD接下来，连接CD，得到三角形ACD。
3. 寻找AD和DB的中点我们在AD和DB上分别寻找其中点，分别记为G和H。
4. 连接GH连接GH，得到新的中线GH。
5. 观察三角形ADF和三角形ABC我们可以观察到，三角形ADF和三角形ABC中，AD = AB，DG = BH。
(完整版)倍长中线法(经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABF EAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
(完整版)三角形全等之倍长中线(讲义)
三角形全等之倍长中线（讲义）➢课前预习1.填空（1）三角形全等的判定有：三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明．其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．2.想一想，证一证已知：如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．（1）当OC=OD时，求证：△AOC≌△BOD；（2）当AC∥BD时，求证：△AOC≌△BOD．O BC A➢ 知识点睛1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________． 2. 中点的思考方向：①（类）倍长中线延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE②平行夹中点延长FE 交BC 的延长线于点GD CBAMAB CD F EDCBA➢精讲精练1.如图，AD为△ABC的中线．（1）求证：AB+AC >2AD．（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．D C BADBA3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．DCB AFED CA5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．GFE DB AGFE DB AFE DCB A7.如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．GFE D CB A【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 精讲精练1. （1）证明：如图，21BCDA延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ∴AE =2AD∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴BE =AC在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （2）解：由（1）可知 AE =2AD ，BE =AC 在△ABE 中， AB -BE <AE <AB +BE ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC21EDCB A3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线321MABCD EF G 321MA BCDEF6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G ∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3GAFD GFC DF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG∵AD =2.7∴CG =2.7∵AE =BE∴∠1=∠B∵AB ⊥AF∴∠1+∠2=90°∠B +∠G =90°∴∠2=∠G∴EG =AE =5∴CE =EG -CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180°∴EF ∥CD∴∠FEG =∠M∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中 1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45°∴EG =CG。
全等三角形中的倍长类中线--讲义--学生版
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．版块一、倍长中线【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCB A【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA例题精讲全等三角形中的倍长类中线【例3】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例4】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBA【例5】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DFECBA【习题2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA家庭作业。
专题09 倍长中线模型(解析版)
专题09倍长中线模型倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。
倍长中线模型模型：【倍长中线】已知点D 为∆ABC 中BC 边中点，延长线段AD 到点E 使AD=DE1）连接EC,则∆ABD ≌∆ECD ，AB ∥CE2）连接BE ,则∆ADC ≌∆EDB ，AC ∥BE证明：∵点D 为∆ABC 中BC 边中点∴BD=DC在∆ABD 和∆ECD 中AD=ED∠1=∠2∴∆ABD ≌∆ECD （SAS ）∴∠ABD=∠ECD ∴AB ∥CE BD=DC在∆ADC 和∆EDB 中AD=ED∠ADC=∠BDE∴∆ADC ≌∆EDB （SAS ）∴∠EBD=∠ACD ∴AC ∥BE BD=DC【倍长类中线】已知点D 为∆ABC 中BC 边中点，延长线段DF 到点E 使DF=DE,连接EC，则∆BDF ≌∆CDE【基础过关练】1．在ABC 中，6AC =，中线10AD =，则AB 边的取值范围是（）A ．1622AB <<B ．1426AB <<C ．1626AB <<D ．1422AB <<【答案】B【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，然后利用“边角边”证明ABD △和ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB CE =，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE 的取值范围，即为AB 的取值范围．【详解】解：如图，延长AD 至E ，使DE AD =，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在ABD △和ECD 中，BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ECD SAS ≌，∴AB CE =，∵6AC =，10AD =，∴101020AE =+=，∴206206CE -<<+，即1426CE <<∴1426AB <<．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键．2．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，点D 为BC 的中点，则AD 的长可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ．证△ADC ≌△EDB （SAS ），可得BE ＝AC ＝2，再利用三角形的三边关系求出AE 的范围即可解决问题．【详解】解：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，在△ADC 和△EDB 中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BE ＝AC ＝2，在△ABE 中，AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，即2＜2AD ＜6，解得1＜AD ＜3，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．3．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，BC 边上的中线AD ＝4，则△ABC 的面积为()A ．30B ．24C ．20D ．48【答案】B 【分析】延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ，利用SAS 得出△ADB 与△EDC 全等，得到AB=CE ，利用勾股定的面积，利用三角形的面积公式即可得出结4．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：BCD＝_____．【答案】30°【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．【详解】解：延长CD到E，使DE＝CD，连接BE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，∵D是AB的中点，5．如图，在ABC ∆中，D 是BC 上一点，连接AD ，已知CD AB =，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．求证：2AC AE =．【答案】见解析【分析】延长AE 至F ，使EF AE =，连接DF ．先证明ABE FDE ∆≅∆．得到AB FD =，B EDF ∠=∠，再利用外角性质及等式的性质得到ADC ADF ∠=∠，进而得到ADF ADC ∆≅∆，最后即可得到2AC AE =．【详解】证明：如图，延长AE 至F ，使EF AE =，连接DF ．∵AE 是ABD ∆的中线，∴BE DE =．在ABE ∆与FDE ∆中，AE EF AEB FED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE FDE ∆≅∆．∴AB FD =，B EDF ∠=∠．∵CD AB =，∴CD FD =．∵ADC B BAD ∠=∠+∠，ADB BAD ∠=∠，ADF ADB EDF B ADB ∠=∠+∠=∠+∠，∴ADC ADF ∠=∠．在ADF ∆与ADC ∆中，AD AD ADC ADF CD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADF ADC ∆≅∆．∴AC AF =．∵2AF AE EF AE =+=，∴2AC AE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．6．如图，在ABC 中，AB AC =，BE 是AC 的中线，点D 在AC 的延长线上，连接BD ，BC 平分EBD ∠．(1)求证：ABE D ∠=∠；(2)求证：2BD BE =．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由题意易得A ABC CB =∠∠，EBC DBC ∠=∠，然后可得,ACB D DBC ABC ABE EBC ∠=∠+∠∠=∠+∠，进而问题可求证；（2）延长BE 到点F ，使得EF EB =，连接CF ，易证ABE CFE ≌，然后可得ABE F D ∠=∠=∠，进而可证BCF BCD ≌，最后问题可求证．【详解】（1）证明：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BC 平分EBD ∠，∴EBC DBC ∠=∠，∵,ACB D DBC ABC ABE EBC ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴D DBC ABE EBC ∠+∠=∠+∠，∴ABE D ∠=∠；（2）证明：延长BE 到点F ，使得EF EB =，连接CF ，如图所示：∵BE 是AC 的中线，∴AE CE =，∵AEB CEF ∠=∠，∴ABE CFE ≌（SAS ），∴ABE F ∠=∠，∵ABE D ∠=∠，∴D F =∠∠，∵FBC DBC ∠=∠，BC BC =，∴BCF BCD ≌（AAS ），∴BD BF =，∴2BD BE =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．7．如图所示，AD 为ABC ∆的角平分线，,E F 分别在,BD AD 上，DC DE =，若EF AB ∥．求证：EF AC =．AC GC ∴=，EF AC ∴=.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等．8．如图，已知//AP BC ，点E 是DC 的中点，且AD BC AB +=，求证：AE BE ⊥．【答案】证明见解析【分析】延长AE 、BC 交于点M ，利用AAS 证出△ADE ≌△MCE ，从而得出AD=MC ，AE=ME ，结合已知条件即可证出BM=AB ，再利用SSS 即可证出△BAE ≌△BME ，从而得出∠BEA=∠BEM ，根据垂直定义即可证出结论．【详解】解：延长AE 、BC 交于点M ，如下图所示∵点E 是DC 的中点，∴DE=CE ，∵//AP BC∴∠1=∠M在△ADE 和△MCE 中156M DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△MCE∴AD=MC ，AE=ME∵AD BC AB+=∴MC ＋BC=AB∴BM=AB在△BAE 和△BME 中AE ME BE BE BA BM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△BME∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA ＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴AE BE⊥【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．【提高测试】1．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ⊥，5AB =，4BD =，3CD =，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（）．A ．2B ．52CD ．3【答案】C 【分析】延长BE 交CD 延长线于P ，可证△AEB ≌△CEP ，求出DP ，根据勾股定理求出BP 的长，从而求出BM 的长．【详解】解：延长BE 交CD 延长线于P ，∵AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠ECP ，在△AEB 和△CEP 中，EAB ECP AE CE AEB CEP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△CEP （ASA ）∴BE ＝PE ，CP ＝AB ＝5又∵CD ＝3，∴PD=2，∵4BD =∴2225BP DP BD =+=∴BE ＝12BP ＝5．故选：C ．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP ．2．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，点E 为BA 延长线上一点，DF DE ⊥交射线AC 于点F ，连接EF ，则BE CF +与EF 的大小关系为()A ．BE CF EF+<B ．BE CF EF +=C ．BE CF EF +>D ．以上都有可能【答案】C 【分析】如图，延长ED 到T ，使得DT ＝DE ，连接CT ，TF ，证明△EDB ≌△TDC （SAS ），推出BE ＝CT ，由CT ＋CF ＞FT ，可得BE ＋CF ＞EF ．【详解】解：如图，延长ED 到T ，使得DT DE =，连接CT ，TF ．3．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】D 【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 的度数．【详解】解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，4．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,8C AC ∠=︒=，F 为AB 边的中点，点D ，E 分别在,AC BC 边上运动，且保持AD CE =，连接,,DE DF EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DEF 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 的面积保持不变；③AD BE DE +>．其中正确的是（）A ．①②③B ．①C ．②D ．①②【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．5．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠C ．ED BC EB +=D ．2DEBC EFBS S =V 四边形【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可以得到228CD AD BC ===，且F 为DC 的中点，所以4CF BC ==,由此可判断A 选项；再结合平行线的性质可以得到CFB FBA ∠=∠，由此可判断B 选项；同时延长EF 和BC 交于点P ，,,DF CF DFE PFC D FCP =∠=∠∠=∠可以证得DFE CFP ≅ ，所以ED BC CP BC BP +=+=,由此可以判断C 选项；由于DFE CFP ≅ ，所以BEP DEBC S S =四边形V ，由此可以判断D 选项；【详解】 四边形ABCD 是平行四边形∴228CD AD BC ===∴4CF BC ==由于条件不足，所以无法证明4BF =,故A 选项错误；4CF BC ==∴CFB FBC∠=∠ DC AB∥∴CFB FBC FBA∠=∠=∠∴2ABC ABF∠=∠故B 选项错误；同时延长EF 和BC 交于点PAD BP∴D FCP∠=∠∴在DFE △和CFP 中：()DF CF DFE PFC D FCP ASA ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴DFE CFP≅ ∴ED BC CP BC BP+=+=由于条件不足，并不能证明BP BE =，故C 选项错误；DFE CFP≅ ∴BEPDEBC S S =四边形V F 为DC 的中点∴2BEP BEF DEBCS S S ==四边形V V 故D 选项正确；故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.6．如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，若△CEF 的面积为12cm 2，则S △DGF 的值为（）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．9cm 2【答案】A 【分析】取CG 的中点H ，连接EH ，根据三角形的中位线定理可得EH //AD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF =∠HEF ，然后利用“角边角”证明△DFG 和△EFH 全等，根据全等三角形对应边相等可得FG =FH ，全等三角形的面积相等可得S △EFH =S △DGF ，再求出FC =3FH ，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．【详解】解：如图，取CG 的中点H ，连接EH ，7．如图，在ABC 中，AD 为BC 边的中线，E 为AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，若AEF FAE ∠=∠，4BE =， 1.6EF =，则CF 的长为____________．【答案】2.4【分析】延长AD 到点G ，使DG AD =，首先证明()SAS BDG CDA V V ≌，然后得到G CAD ∠=∠，BG AC =，然后根据等腰三角形的性质得到4BG BE AC ===，然后根据线段的和差求解即可．【详解】如解图，延长AD 到点G ，使DG AD =，∵AD 为BC 边的中线，∴BD CD=∵BDG CDA ∠=∠，DG AD=∴()SAS BDG CDA V V ≌∴G CAD ∠=∠，BG AC=∵AEF FAE∠=∠∴G BEG∠=∠∴4BG BE AC ===∵AEF FAE ∠=∠， 1.6EF =∴ 1.6AF EF ==∴ 2.4CF AC AF =-=．故答案为：2.4．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．8．如图，已知AD 是△ABC 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于F ，AC ＝BF ，∠DAC ＝24°，∠EBC ＝32°，则∠ACB ＝_____．【答案】100°##100度【分析】延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，证△BDM ≌△CDA （SAS ），得得到BM ＝AC ＝BF ，∠M ＝∠DAC ＝24°，∠C ＝∠DBM ，再证△BFM 是等腰三角形，求出∠MBF 的度数，即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，在△BDM 和△CDA 中，=DM DA BDM CDA BD CD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△BDM ≌△CDA （SAS ），∴BM ＝AC ＝BF ，∠M ＝∠DAC ＝24°，∠C ＝∠DBM ，∵BF ＝AC ，∴BF ＝BM ，∴∠M ＝∠BFM ＝24°，∴∠MBF ＝180°﹣∠M ﹣∠BFM ＝132°，∵∠EBC ＝32°，∴∠DBM ＝∠MBF ﹣∠EBC ＝100°，∴∠C ＝∠DBM ＝100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，ABC 中，点D 在AC 上，3,10AD AB AC =+=，点E 是BD 的中点，连接,2CE ACB ABC BCE ∠=∠+∠，则CD =______________．【答案】43##113【分析】如图，延长CE 至F ，使得EF CE =，交AB 于点G ，通过“边角边”证明BEF DEC ≌ ，则,F DCE BF DC ∠=∠=，根据题意与三角形的外角性质可得AGC DCE ∠=∠，进而可得,AG AC BF BG CD ===，设BF BG CD x ===，根据题意得到关于x 的方程，然后求解方程即可．【详解】解：如图，延长CE 至F ，使得EF CE =，交AB 于点G ，∵点E 是BD 的中点，∴BE DE =，在BEF △与DEC 中，=BE DE BEF DEC EF EC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴BEF DEC ≌ ，∴,F DCE BF DC ∠=∠=，∵2ACB ABC BCE ∠=∠+∠，∴DCE ACB BCE ABC BCE ∠=∠-∠=∠+∠，∵AGC ABC BCE ∠=∠+∠，∴AGC DCE ∠=∠，∴,F DCE AGC BGF AG AC ∠=∠=∠=∠=，∴BF BG CD ==，10．如图，AB AE =，AB AE ⊥，AD AC =，AD AC ⊥，点M 为BC 的中点，3AM =，DE =______．∴()SAS AMC NMB ≌ ，∴AC BN =，C NBM ∠=∠，∴AD BN =，∵AB AE ⊥，AD AC ⊥，∴90EAB DAC ∠=∠=︒，∴180EAD BAC ∠+∠=︒，∴180ABN ABC NBM ABC C BAC EAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=∠，在EAD 和ABN 中，AE AB EAD ABN AD BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABN EAD ≌ ，∴26DE AN AM ===．故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长AM 至N ，使MN AM =，再证AN DE =即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．11．如图，ABC 中，13AB =，6AD =，5AC =，D 为BC 边的中点，则ABC S = ______．【答案】30【分析】由“SAS ”可证CDE ≌BDA △，可得13CE AB ==，ADB CDE S S = ，可得ACE CAB S S = ，由勾股定理的逆定理可求ACE △为直角三角形，即可求解．【详解】解：延长AD 到E 使6AD DE ==，连接CE ，如图所示：在CDE 和BDA △中，12．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．13．（1）如图1，在ABC 中，＝4，AC ＝6，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到点E 使DE ＝AD ，连接CE ，把AB ，AC ，2AD 集中在ACE 中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是；（2）如图2，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE ＋CF ＞EF ；（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠A 为钝角，∠C 为锐角，∠B ＋∠ADC ＝180°，DA ＝DC ，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且∠EDF ＝12∠ADC ，连接EF ，试探索线段AF ，EF ，CE 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）见解析；（3）AF +EC =EF ，见解析【分析】（1）证明CDE BDA SAS ≌（），推出CE =AB =4，在ACE △中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED 到H ，使得DH =DE ，连接DH ，FH ．证明BDE CDH SAS ≌（），推出BE =CH ，再证明EF =FH ，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）结论：AF +EC =EF ．延长BC 到H ，使得CH =AF ．提供两次全等证明AF =CE ，EF =EH 即可解决问题．【详解】（1）∵CD =BD ，AD =DE ，∠CDE =∠ADB ，∴CDE BDA ≌(SAS)，∴EC =AB =4，∵6﹣4＜AE ＜6+4，∴2＜2AD ＜10，∴1＜AD ＜5，故答案为：1＜AD ＜5；（2）如图2中，延长ED 到H ，使得DH =DE ，连接DH ，FH ．∵BD =DC ，∠BDE =∠CDH ，DE =DH ，∴BDE CDH △≌△(SAS)，∴BE =CH ，∵FD ⊥EH ，又DE =DH ，∴EF =FH ，在△CFH 中，CH +CF ＞FH ，∵CH =BE ，FH =EF ，∴BE +CF ＞EF ；（3）结论：AF +EC =EF ．理由：延长BC 到H ，使得CH =AF ．∵∠B +∠ADC =180°，∴∠A +∠BCD =180°，∵∠DCH +∠BCD =180°，∴∠A =∠DCH ，∵AF =CH ，AD =CD ，14．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AB 上一点，F 是AC 上一点．若∠EDF ＝90°，且BE 2＋FC 2＝EF 2，求证：∠BAC ＝90°．【答案】见解析【分析】延长FD 到G 使DG ＝DF ，连接BG ，EG ，先证明△BDG ≌△CDF （SAS ）得BG ＝FC ，∠GBD ＝∠C ，从而有BG AC ∥，DG ＝DF ，又由勾股定理的逆定理得90ABG ∠︒＝，再利用平行线的性质即可证明结论成立．【详解】证明：如图，延长FD 到G 使DG ＝DF ，连接BG ，EG ，∵D 为BC 中点，∴BD ＝CD ，∵在△BDG 和△CDF 中，BD CD BDG CDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDG ≌△CDF（SAS ），∴BG ＝FC ，∠GBD ＝∠C ，∴BG AC ∥，DG ＝DF ，∵ED ⊥DF ，∴EG ＝EF ，∵222BE FC EF +=，∴222BE BG EG +=，∴90ABG ∠=︒，∵BG AC ∥，∴180A ABG ∠+∠=︒，∴90BAC ∠=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质、三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键．15．已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD ⊥于D .求证：222AE BF EF +=.【答案】详见解析【分析】通过倍长线段DE ，将AE 、BF 、EF 转化到BGF ∆中，再证BGF ∆为直角三角形.【详解】延长ED 至G ，使DG DE =，连结BG 、FG ，AD BD = ，ADE BDG ∠=∠，ADE BDG ∴∆≅∆，AE BG ∴=，A DBG ∠=∠，AC BG ∴ ，180C FBG ∴∠+∠=︒，90FBG ∴∠=︒，222BG BF GF ∴+=，又ED FD ⊥ ，ED GD =，EF GF ∴=，222AE BF EF ∴+=.【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.16．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；【分析】（1）①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，△BEF ≌△CED ，∠BAE ＝∠F ，AB ＝CD ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，△BEF ≌△CEG△BAF ≌△CDG ，AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∥AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，△BAE ≌△CFE （AAS ），∠F ＝∠EDC ，CF ＝CD ，AB ＝CD ；【详解】（1）①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CED 中，BE CE BEF CED EF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△CED （SAS ），∴BF ＝CD ，∠F ＝∠CDE ，∵∠BAE ＝∠CDE ，∴∠BAE ＝∠F ，∴AB ＝BF ，∴AB ＝CD ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，∴∠F ＝∠CGE ＝∠CGD ＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CEG 中，90F CGF BEF CEG BE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△CEG （AAS ），∴BF ＝CG ，在△BAF 和△CDG 中，90BAE CDE F CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BAF ≌△CDG （AAS ），∴AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∥AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，∵E 是BC 中点，∴BE ＝CE ，在△BAE 和△CME 中，BAE CME BEA CEM BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△CFE （AAS ），∴CF ＝AB ，∠BAE ＝∠F ，∵∠BAE ＝∠EDC ，∴∠F ＝∠EDC ，∴CF ＝CD ，∴AB ＝CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．17．如图，在 ABC 中，AC=2AB ，AD 平分∠BAC ，延长CB 到点E ，使BE=BD ，连接AE ．（1）依题意补全图形；（2）试判断AE 与CD 的数量关系，并进行证明．（2）如图，判断：AE CD =证明如下：延长AB 至点F ，使得BF AB =，连接DF在ABE 和FBD 中，∵AB FBABE FBD EB DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ≌FBD∴AE FD=∵BF AB=∴2AF AB=∵2AC AB=∴AF AC=∵AD 平分∠BAC∴FAD CAD∠=∠在FAD △和CAD 中，∵AF AC FAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FAD △≌CAD∴FD CD=又∵AE FD=∴AE CD=【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．18．如图，已知AD 是ABC 的中线，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．若BE=6，求点C 到AD 的距离．【答案】6【分析】延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明()BDE CDF AAS ≅ ，再根据全等三角形的性质得到6BE CF ==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE △和CDF 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BDE CDF AAS ≅ ，∴6BE CF ==，即点C 到AD 的距离是6．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．19．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，则得到△ADC ≌△EDB ，小明证明△BED ≌△CAD 用到的判定定理是：（用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以△ABC 的边AB ，AC 为边向外作△ABE 和△ACD ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当AM ＝3时，求DE 的长．【答案】问题背景：SAS ；问题解决：完整过程见解析；拓展应用：DE ＝6．【分析】问题背景：先判断出BD =CD ，由对顶角相等∠BDE =∠CDA ，进而得出△ADC ≌△EDB （SAS ）；问题解决：先证明△ADC ≌△EDB （SAS ），得出BE =AC =3，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN =AM ，连接BN ，同（1）的方法得出△BMN ≌△CMA （SAS ），则BN =AC ，进而判断出∠ABN =∠EAD ，进而判断出△ABN ≌△EAD ，得出AN =ED ，即可求解．【详解】问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ADC 和△EDB 中，AD ED CDA BDE CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故答案为：SAS ；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，由问题背景知，△BMN ∴BN＝AC，∠CAM＝∠∴AC//BN，∵AC＝AD，∴BN＝AD，∵AC//BN，∴∠BAC+∠ABN＝180°∴∠ABN ＝∠EAD ，在△ABN 和△EAD 中，AB EA ABN EAD BN AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABN ≌△EAD （SAS ），∴AN ＝DE ，∵MN ＝AM ，∴DE ＝AN ＝2AM ，∵AM ＝3，∴DE ＝6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．20．如图，AB=AE ，AB ⊥AE ，AD=AC ，DE=2AM ，点M 为BC 的中点，连接AM ．求证：AD ⊥AC【答案】见解析【分析】延长AM 至N ，使MN=AM ，证△AMC ≌△NMB ，推出AC=BN=AD ，ED=AN ，证△EAD ≌△ABN ，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可证明AD ⊥AC ．【详解】延长AM 至N ，使MN=AM ，连接BN ，∵点M 为BC 的中点，∴CM=BM ，在△AMC 和△NMB 中，AM MN AMC NMB CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMC ≌△NMB （SAS ），∴AC=BN ，∠C=∠NBM ，∠CAM=∠N ，∵DE=2AM ，AD=AC ，∴DE=AN ，AD=BN ，在△EAD 和△ABN 中，AE AB DE AN AD BN =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△EAD ≌△ABN （SSS ），∴∠EAD=∠ABN ，∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180︒，∵AB ⊥AE ，∴∠EAB=90°，∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)=90°，∴AD ⊥AC ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM 至N ，使MN=AM ，利用“中线倍长”构造全等三角形的是解题的关键．21．如图，AB AE =，AD AC =，180BAE DAC ∠+∠=︒，点F 为DE 的中点，求证：2BC AF =.【答案】详见解析【分析】如图，延长AF 至G ，使AF FG =，连结EG ，证明ADF GEF ∆∆≌，从而可得AD GE =，ADF GEF ∠=∠，继而得GEA BAC ∠=∠，再证明AEG ACB ∆∆≌，可得AG=BC ，继而可得结论.【详解】如图，延长AF 至G ，使AF FG =，连结EG ，又DF EF = ，AFD GFE ∠=∠，ADF GEF ∴∆∆≌，AD GE ∴=，ADF GEF ∠=∠.AD GE ∴ ，180GEA DAE ∴∠+∠=︒，180BAE DAC ∴∠+∠=︒，180DAE BAC ∴∠+∠=︒，GEA BAC ∴∠=∠，又AB AE = ，AC AD =，AC GE ∴=，AEG ACB ∴∆∆≌，AG BC ∴=，即2BC AF =.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据倍长中线正确添加辅助线是解题的关键.22．如图，分别以ABC 的边向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG ，若O 为EG 的中点，求证：（1）12AO BC =；（2）AO BC ⊥．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）如图，延长AO 到M ，使OM=AO ，连接GM ，延长OA 交BC 于点H ．根据全等三角形的性质得到AE=MG ，∠MGO=∠AEO ，根据三角形的内角和得到∠MGA+∠GAE=180°，根据正方形的性质得到AG=AB ，AE=AC ，∠BAG=∠CAE=90°，根据全等三角形的性质得到AM=BC ，等量代换即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠M=∠EAO ，∠M=∠ACB ，等量代换得到∠EAO=∠ACB ，求得∠AHC=90°，根据垂直的定义即可得到结论．【详解】解：（1）如图，延长AO 到M ，使OM=AO ，连接GM ，延长OA 交BC 于点H ．∵O 为EG 的中点，∴OG=OE ，在△AOE 与△MOG 中，AO OM AOE MOG OE OG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△MOG （SAS ），∴AE=MG ，∠MGO=∠AEO ，∴∠MGA+∠GAE=180°，∵四边形ABFG 和四边形ACDE 是正方形，∴AG=AB ，AE=AC ，∠BAG=∠CAE=90°，∴AC=GM ，∠GAE+∠BAC=180°，∴∠BAC=∠AGM ，。
全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法
全等三角形问题中常见的辅助线一一倍长中线法△ ABC中,AD是BC边中线方式1 :直接倍长，（图1）:延长AD到E,使DE=AD连接BE方式2 :间接倍长1）（图2）作CF丄AD于F,作BE X AD的延长线于E,连接BE2）（图3）延长MD到N,使DN=MD连接CD【经典例题】例1已知，如图△ ABC中，AB=5 AC=3贝忡线AD的取值范围是___________ .（提示：画出图形，倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边）例2 :已知在厶ABC中, AB=AC D在AB上, E在AC的延长线上, DE 交BC于F, 且DF=EF.A例4:已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EF求证：BD=CE.（提示：方法 1 :过D作DG/ AE交BC于G 证明△ DGF^ACEF方法2 :过E作EG// AB交BC的延长线于G,证明A EFG^A DFB方法3 :过D作DGL BC于G,过E作EH丄BC的延长线于H,证明A BDG^A ECH例3、如图，△ ABC中, E、F分别在AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较BE+与EF的大小.B变式：如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E, DF平分ADC交AC于 F. A求证:（提示：方法1:在DA上截取DG=BD连结EG FQ 证明A BDE^A GDE A4A DGF所以BE=EGEF CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2:倍长ED至H,连结CH FH,证明FH=EFCDCE E CFB（提示：方法1:倍长AD至G,连接BG证明△ BDG^A CDA三角形BEG是等腰三角形。
方法2 :倍长ED.试一试，怎么证明？）例5、如图，△ ABC中, BD=DC=AC E是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.（提示：倍长AE至M,连接DM变式一：已知CD=AB / BDA H BAD AE是厶ABD的中线,求证：/ C=Z BAE提示：倍长AE至F,连结DF,证明A ABE^A FDE （SAS ,进而证明AADF^A ADC（ SAS变式二：已知CD=AB / BDA H BAD AE是厶ABD的中线，求证：2AE= ACo（提示：借鉴变式一的方法）例6:已知：如图，在ABC中，AB求证：AE平分BAC提示：方法1 :倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H,连结CH【练习】A1、在四边形ABCD中, AB// DC E为BC边的中点，/ BAE=/ EAF, AF与DC的延长线相交于点F。
初中几何模型之——倍长中线模型
初中几何模型之——倍长中线模型展开全文【方法综述】中线是三角形中的一条重要线段，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
所谓倍长中线法，就是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，再联结相应的顶点，利用中线的性质、辅助线、对顶角相等，构造出全等三角形（通常用“SAS”证明），进而证明对应边之间的关系。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。
中线倍长其实就是通过图形旋转来构造三角形全等，从而把分散的已知条件集中起来加以利用，所以中线倍长的辅助线也可以转化为添平行线，同样能达到解决问题的效果。
简单地说，倍长中线法其目的是构造一对对顶的全等三角形，其本质是转移边、转移角。
【模式变式】倍长类中线模型1、如图，点E是AC边上任意一点，延长ED到F，使DF=DE，联结BF，则△ADE≌△BDF。
模型2、如图，点E是CD边上任意一点，延长ED到F，使DF=DE，联结AF，则△ADF≌△BDE。
模型3、如图，作BE⊥CD于F，作AE⊥CD的延长线于E，则△ADE≌△BDF。
模型4、如图，点P是BC边的中点，连接EP并延长到点F，使PF=PE，联结CF，则△BPE≌△CPF。
模型5、【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造等腰△EMC，等腰△MCF。
【应用场景】题干中出现三角形一边的中线（或与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题。
类型1 、用于几何计算问题例1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．【分析】延长AF至BC延长线上交于G点，由已知可证明∠AGB ＝∠EAG，则EF为△ABG的中位线，得出EF＝3，还可证明FG＝4，由勾股定理得EG＝5，则求得CE的长为2.3．【解答】：延长AF至BC延长线上交于G点，∵AD∥BC，∴△ADF∽△GCF，∴AF：FG＝DF：CF，∵DF＝CF∴AF＝FG．∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE，∵AF⊥AB，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∠BAE+∠EAG＝90°，∴∠AGB＝∠EAG，∴A E＝EG，∴GE＝BE，∴E为BG中点，∴EF是△ABG的中位线，故可得：EF＝1/2AB＝3，FG＝AF＝4，∴AG＝8，∴BG＝10，∴EG＝5，∵AF⊥AB，AE＝BE，∴点E是BG的中点，∴EG＝BE＝5，∴可得△EFG为直角三角形，∴CE＝EG﹣CG＝EG﹣AD＝5﹣2.7＝2.3．例2.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．【分析】延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG＝CM＝2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．解：延长GE交CB的延长线于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，在△AEG和△BEM中，∠AGE＝∠M，∠AEG＝∠MEB，AB=BE，∴△AEG≌△BEM（AAS），∴GE＝EM，AG＝BM＝2，∵EF⊥MG，∴FG＝FM，∵BF＝4，∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，∴GF＝FM＝6．类型2 、用于几何证明问题例3、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，联结BE，用SAS证明△BDE≌△CDA，得BE=AC，根据三角形的三边关系的AB+BE＞AE，即可证得结论；（2）利用第（1）小题的结论以及三角形的三边关系即可解决问题.【解析】（1）证明：如图，延长AD到点E，使DE=AD，联结BE.∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，∵∠BDE=∠CDA，DE=AD，∴△BDE≌△CDA，∴BE=A C，∵DE=AD∴AE=2AD在△ABE中，AB+BE＞AE，∴AB+AC＞2AD.（2）在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB＋BE，由(1)，得AE=2AD，BE=AC，∵AB=5，AC=3，∴5-3＜AE＜5＋3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4.【点评】本题属于三角形的综合题，考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是作出倍长中线的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于常考题型.例4、已知△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，求证：CD=2CE.解析：如图，延长CE到点F，使EF=CE，联结BF，可证△AEC≌△BEF，得∠1=∠A，BF=AC，再证△BCD≌△BCF，即可得CD=2CE.如图，延长CE到点F，使EF=CE，联结BF，∵CE是AB边上的中线，∴AE=BE，∵∠AEC=∠BEF，CE=EF，∴△AEC≌△BEF，∴∠1=∠A，BF=AC，∵AB=AC，BD=AB，∴BD=BF，∵∠CBD是△ABC的外角，∴∠CBD=∠A＋∠ABC，∵∠CBF=∠1＋∠ABC，∴∠CBD=∠CBF，∵BC=BC，∴△BCD≌△BCF，∴CD=CF，∵CF=2CE，∴CD=2CE.【点评】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，解题的关键是作出倍长中线的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于常考题型.本题还可以这样添加辅助线，具体证明过程这里略.（1）如图，作BF∥AC，交CD于点F.（2）取AC的中点F，联结BF.。
(完整版)倍长中线法(经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法” 增加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线增加方法——倍长中线AAB CD △ ABC中方式1：延长AD到E，AD 是 BC 边中线使DE=AD，B C连接BED方式 2：间接倍长AFB D CEEA作 CF⊥ AD于 F，M 延长 MD到N，D作 BE⊥ AD的延长线于 E B 使 DN=MD，C连接 BEN连接 CN经典例题讲解：例 1：△ ABC中， AB=5， AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ ABC 中， AB=AC，D 在 AB 上， E在 AC的延长线上， DE 交 BC 于 F，且DF=EF，求证： BD=CEADBCFE例 3：已知在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且BE=AC，延长 BE 交 AC于F，求证： AF=EFAFEBD C例 4：已知：如图，在ABC 中， AB AC ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作 DF // BA交AE于点 F， DF=AC.A求证： AE 均分BACFB D E C例5：已知 CD=AB，∠ BDA=∠BAD，AE 是△ ABD的中线，求证：∠ C=∠ BAEAB CE D自检自测：1、如图，△ ABC中， BD=DC=AC,E是 DC的中点，求证， AD 均分∠ BAE.2、在四边形 ABCD中， AB∥ DC， E 为 BC边的中点，∠ BAE=∠EAF， AF 与 DC 的延长线订交于点 F。
试试究线段 AB 与 AF、 CF之间的数量关系，并证明你的结论 .ADBE CF3、如图，AD 为ABC 的中线，DE均分BDA 交AB于E，DF均分ADC 交AC于F.求证：BE CF EFAEFB CD第 14 题图4、已知：如图， ABC中， C=90 ， CM AB 于 M ，AT 均分 BAC交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作DE//AB 交 BC 于 E，求证： CT=BE.MAD BETC。
三角形全等专题倍长中线法
全等三角形根本剖断前提：1.三边对应相等(SSS).2.双方夹角对应相等(SAS).3.两角夹边对应相等(ASA).4.两角对边对应相等(AAS).5.直角三角形全等前提：①斜边及一向角边对应相等（HL）;②一向角边及一锐角对应相等（ASA）或斜边及一锐角对应相等（AAS）;③两直角边对应相等 (SAS).★留意：直角三角形全等,除边边边（SSS）,边角边（SAS）,角边角（ASA）,角角边（AAS）对应相等外,还有直角边及斜边（HL）.一向角边及一锐角（ASA).斜边及一锐角（AAS）.两直角边（SS）等对应相等.除以上根本剖断外,全等三角形别的剖断前提：1.三条中线对应相等,两个三角形全等.2.三条高线对应相等,两个三角形全等.3.三条角等分线对应相等,两个三角形全等.4.两个角及第三个角的角等分线对应相等,两个三角形全等.5.两条边及第三条边上的中线对应相等,两个三角形全等.6.钝角三角形中,一钝角和其一邻边对应相等,钝角所对的较大边也相等,两个三角形全等.或双方及个中一边的对角(钝角)对应相等,两个三角形全等.（SSA）7.等腰三角形中,底边和顶角分离对应相等,两个等腰三角形全等.8.等腰直角三角形中,周长相等,两个等腰直角三角形全等.（因为等腰直角三角形三边之比为1：1：√2,故周长相等时,等腰直角三角形的对应角相等,对应边相等,故全等）.9.等边三角形中,有一边对应相等,两个三角形全等.★特殊提醒：在三角形全等的剖断中,必定有边相等,必定没有AAA 和SSA（除非此角为钝角）,这两种情形都不克不及独一肯定三角形的外形.三角形全等的性质：1.全等三角形的对应角相等.4. 全等三角形的对应边上的中线相等.角等分线相等.3.全等三角形面积周长相等.6.全等三角形的对应边上的高对应相等.等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写“等边对等角”）.2.等腰三角形的顶角等分线,底边上的中线,底边上的高重合（简写“等腰三角形的三线合一性质”）.3.等腰三角形的两底角等分线相等（两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）.4.等腰三角形底边上的垂直等分线到两条腰的距离相等.5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.6.等腰三角形底边上随意率性一点到两腰距离之和等于一腰上的高（等面积法证实）.7.等腰三角形是轴对称图形（不是等边三角形的情形下）,只有一条对称轴,顶角等分线地点的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴.8.等腰三角形的腰大于高.等腰三角形的腰的平方等于高的平方加底的一半的平方.初中三角形全等专题倍长中线法倍长中线法的界说：延伸中线,使所延伸部分与中线相等,然后往往须要衔接响应的极点,则对应角对应边都对应相等.经常应用于结构全等三角形.中线倍长法多用于结构全等三角形和证实边之间的关系以便利求个中一边的规模值.1.如图,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值规模是( )A.2＜AB＜12B.4＜AB＜12C.9＜AB＜19D.10＜AB＜19 答案：C解题思绪：延伸AD至E,使DE=AD,衔接CE,可先证实△ABD≌△E CD,则AB=CE,在△ACE中,依据三角形的三边关系,得AE-AC＜CE＜AE+AC,即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.2.如图,已知CB.CD分离是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论：①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB等分∠DCE,则以上结论准确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④答案：A解题思绪：①准确,延伸CD至点F,使得DF=CD,衔接AF,可先证实△ADF≌△BDC,再证实△ACF≌△BEC,由这两个三角形全等可以得知②.④准确.由△ACF≌△BEC,得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE,则需∠E＝∠BCE,则需BC=BE,显然不成立,故③选项错误3.如图,点E是BC的中点,∠BAE=∠CDE,延伸DE到点F使得EF=DE,衔接BF,则下列说法准确的是（）①BF∥CD②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④答案：A解题思绪：可以先证实△BEF≌△CED,可以得到②准确,进而得到∠F=∠D,BF∥CD,①准确,又∵∠BAE=∠CDE=∠F,∴AB=BF,③准确.④不准确.4.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G.F分离为AD,BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为（）A.1B.2C.3D.4 答案：C解题思绪：延伸FE交DA的延伸线于点M,则可证△AEM≌△BEF,再证实△GEM≌△GEF,可以得到GF=GM=GA+BF=3,答案选C5.如图,在△ABC中,点D.E为边BC的三等分点,则下列说法准确的有（）①BD=DE=EC ②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：D解题思绪：点D.E为边BC的三等分点,∴BD=DE=CE延伸AD至点M,AE 至点N,使得DM=AD,EN=AE,衔接,则可证实△ABD≌△MED,进而可得AB+AE＞2AD,再证实△ADE≌△NCE,进而可得AD+AC＞2AE,将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均准确.6.下列命题：①有两个角和第三个角的等分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等;③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．个中准确的是（）解答：解：①准确．可以用AAS或者ASA 剖断两个三角形全等;②准确．可以用“倍长中线法”,用SAS定理,断定两个三角形全等;如图,分离延伸AD.A′D′到E.E′,使得AD=DE,A′D′=D′E′,∴△ADC≌△EDB,∴BE=AC,同理：B′E′=A′C′,∴BE=B′E′,AE=A′E′,∴△ABE≌△A′B′E′,∴∠BAE=∠B′A′E′,∠E=∠E′,∴∠CAD=∠C′A′D′,∴∠BAC =∠B′A′C′,∴△BAC≌△B′A′C′．③不准确.因为这个高可能在三角形的内部,也有可能在三角形的外部,也就是说,这两个三角形可能一个是锐角三角形,一个是钝角三角形,所以就不全等了.点评：本题考核了全等三角形的剖断办法;要依据选项供给的已知前提逐个剖析,剖析时看是否相符全等三角形的剖断办法,留意SSA 是不克不及判得三角形全等的.。
全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法
全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2DCBA全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长1) （图2）作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD【经典例题】例1已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线AD 的取值范围是_________.（提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边）例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFBEDABCFEDCBA NDCBAMFEC AB D3ED F C BA方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ，证明ΔBDG ≌ΔECH ）例3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.变式：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+（提示：方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG ， 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2：_ D_ F _ C_ B_ E _ A4倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH=EF 、CH=BE ，利用三角形两边之和大于第三边）例4：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF（提示：方法1：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形。
倍长中线法构造全等三角形
倍长中线法构造全等三角形
倍长中线法是一种构造全等三角形的方法。
下面通过具体步骤来描述该方法：
1. 给定一个三角形ABC，我们要构造一个与之全等的三角形。
2. 首先，通过点A和BC的中点D，画一条直线DE，使DE的长度等于BC的两倍。
3. 然后，以E为中心，以DE的长度为半径，画一个圆。
将圆与线段AB交于点F和点G。
4. 接着，以点F为中心，以AF的长度为半径，画一个圆。
将圆与线段AB交于点H。
5. 再以点G为中心，以AG的长度为半径，画一个圆。
将圆与线段AB交于点I。
6. 最后，连接点H、A、I，得到一条新的线段HAI。
这条线段就是与原三角形ABC全等的三角形。
通过倍长中线法，我们可以利用已知三角形的中线构造全等的三角形。
这种方法简单易行，可以帮助我们解决一些几何问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》
【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线
△ ABC中，AD是BC边中线方式1 :直接倍长延长AD至U E，
例2: ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1:作DE丄AB于E,作DF
丄AC于F,证明二次全等
方法2 :辅助线同上，利用面积
方法3 :倍长中线AD
E
方式2 :间接倍长
作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E延长MD到
C
【经典例题】
例1 :△ ABC中，AB=5, AC=3求中线AD的取值范围.
提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边
N,使DN=MD连接CN
C
例3:已知在△ ABC中，AB=AC , D在AB 上, E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF ,求证：BD=CE 方法1 :过D作DG // AE交BC于G,证明△ DGF^A CEF
使DE=AD，连接BE
方法2:过E 作EG // AB 交BC 的延长线于 G ,证明△ EFG^A DFB
方法3:过D 作DG 丄BC 于G,过E 作EHL BC 的延长线于 H,证明A BDG^A ECH
例4:已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF
例5:已知：如图，在 ABC 中，AB
求证：AE 平分 BAC
方法1倍长AE 至G ,连结DG 方法2:倍长FE 至H ，连结CH
例 6:已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 提示：倍长 AE 至F ,连结DF,证明A ABE^A FDE ( SAS ,进而证明A ADF ^A ADC( SAS
A
提示：倍长 AD 至G ,连接BG ,证明A BDG^A CDA 三角形BEG 是等腰三角形
AC , D E 在 BC 上,且 DE=EC 过 D 作 DF // BA 交 AE 于点 F , DF=AC.
第1题图
【融会贯通】
1在四边形 ABCD 中，AB // DC E 为BC 边的中点，/ BAE= / EAF , AF 与DC 的延长线相交于点 F 。
试探究线 段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
提示：延长 AE 、DF 交于G,证明AB=GC AF=GF 所以AB=AF+FC
2、如图，AD 为 ABC 的中线，DE 平分 BDA 交AB 于E ，DF 平分 ADC 交AC 于F.求证：BE CF EF
提示：方法1:在DA 上截取 DG=BD ，连结EG 、FG ,证明△ BDE^A GDE △ DCF
DGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边
方法2: 1
倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH-EF 、CH=BE ，利用三角形两边之和大于第三边 3、已知：如图， ABC 中， C=90 , CM AB 于M , AT 平分 BAC 交CM 于D ，交BC 于T ,过D 作DE//AB
交BC 于E ,求证：CT=BE.提示：过 T 作TN 丄AB 于N,证明A BTN^A ECD
f
C
E 第14题图。