几种特殊性质的函数的周期
三角函数的周期性及性质
三角函数的周期性及性质三角函数是数学中重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们具有周期性的特点，这是三角函数的一个重要性质。
本文将探讨三角函数的周期性及其相关性质。
一、正弦函数的周期性正弦函数是三角函数中最常见的一种函数。
它的图像是一条波浪线，具有周期性的特点。
正弦函数的周期是2π，也就是说，当自变量增加2π时，函数值会重复。
这是因为正弦函数的图像是在坐标系中以原点为中心的一个圆的边界上的点的纵坐标值。
正弦函数的周期性可以用数学公式来表示，即sin(x + 2π) = sin(x)。
这个公式表明，在自变量增加2π的情况下，正弦函数的值保持不变。
这是正弦函数周期性的数学表达。
二、余弦函数的周期性余弦函数也是一种常见的三角函数。
它的图像是一条波浪线，与正弦函数的图像非常相似。
余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
这是因为余弦函数的图像是在坐标系中以原点为中心的一个圆的边界上的点的横坐标值。
余弦函数的周期性可以用数学公式来表示，即cos(x + 2π) = cos(x)。
这个公式表明，在自变量增加2π的情况下，余弦函数的值保持不变。
这是余弦函数周期性的数学表达。
三、正切函数的周期性正切函数是三角函数中另一种重要的函数。
它的图像是一条无限延伸的直线，具有周期性的特点。
正切函数的周期是π，也就是说，当自变量增加π时，函数值会重复。
这是因为正切函数的图像是在坐标系中以原点为中心的一个圆的边界上的点的纵坐标值与横坐标值的比值。
正切函数的周期性可以用数学公式来表示，即tan(x + π) = tan(x)。
这个公式表明，在自变量增加π的情况下，正切函数的值保持不变。
这是正切函数周期性的数学表达。
四、三角函数的性质除了周期性外，三角函数还具有其他一些重要的性质。
其中一个是奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这意味着正弦函数的图像关于y轴对称，而余弦函数的图像关于x轴对称。
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的周期性则是函数中一种特殊的性质，它在数学推导和实际应用中具有广泛的应用价值。
本文将对函数周期性公式进行总结，以帮助读者加深对这一概念的理解。
一、正弦函数与余弦函数的周期性公式正弦函数与余弦函数是最常见的周期函数之一，它们在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
它们的周期性公式如下：1. 正弦函数的周期性公式：\[sin(x+2πn)=sin(x)\]其中 \(n\) 为整数。
这个公式意味着正弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。
2. 余弦函数的周期性公式：\[cos(x+2πn)=cos(x)\]同样地，这个公式说明了余弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。
二、指数函数的周期性公式指数函数是另一类常见的函数，其公式如下：\[f(x)=a^x\]其中 \(a\) 为常数，又称为底数。
指数函数不同于正弦函数和余弦函数，它通常不具备周期性。
然而，我们可以通过引入“模”的概念，使指数函数具备周期性。
3. 指数函数的周期性公式：\[a^{x+ln(a)n}=a^x\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。
这个公式说明了指数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。
三、对数函数的周期性公式对数函数是指数函数的逆运算，其公式如下：\[f(x)=log_{a}(x)\]其中 \(a\) 为底数。
对数函数也可以借助模的概念引入周期性。
4. 对数函数的周期性公式：\[log_{a}(x+ln(a)n)=log_{a}(x)\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。
这个公式说明了对数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。
四、三角函数的周期性公式除了正弦函数和余弦函数外，还有其他几种常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
它们同样具备周期性，并可以通过以下公式进行表示。
对抽象函数周期性的认识
对抽象函数周期性的认识麻城实验高中 阮 晓 锋对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。
几种特殊的抽象函数的周期：设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足：（1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k єZ)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。
（2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。
(3）()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（5）1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（6）()+1(+)=()-1f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（7）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（8）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b|推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。
三角函数的周期与周期函数
三角函数的周期与周期函数三角函数是数学中重要的函数之一，它具有很多特性和性质，其中之一就是周期性。
在本文中，我将探讨三角函数的周期以及周期函数的相关知识。
一、三角函数的周期1. 正弦函数的周期正弦函数（sin）是最常见的三角函数之一，其周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。
这意味着当自变量x增加2π时，正弦函数的值重复出现。
2. 余弦函数的周期余弦函数（cos）和正弦函数非常相似，其周期也是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。
与正弦函数不同的是，余弦函数在自变量增加2π时，其值也会重复出现。
3. 正切函数的周期正切函数（tan）是另一个常见的三角函数，其周期是π，即tan(x + π) = tan(x)。
当自变量x增加π时，正切函数的值会重新开始。
二、周期函数的性质1. 周期函数的定义周期函数是指当自变量增加一个周期时，函数值会重复出现的函数。
三角函数就是典型的周期函数。
2. 周期函数的图像特点周期函数的图像在一个周期内呈现出循环的形式。
对于正弦函数和余弦函数来说，它们的图像在一个周期内上升和下降，并且对称于坐标轴。
而正切函数的图像则在一个周期内交替地趋近于正无穷和负无穷。
3. 周期函数的性质周期函数具有一些特殊的性质。
例如，正弦函数具有奇对称性质，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数则具有偶对称性质，即cos(-x)=cos(x)。
这些性质使得周期函数在数学和物理中应用广泛。
三、常见的周期函数1. 方形波函数方形波函数是一种以方形波形进行周期性重复的函数。
它在每个周期内的一半时间内取常数值，另一半时间内则取相反的常数值。
2. 锯齿波函数锯齿波函数是一种以锯齿形状进行周期性重复的函数。
它在一个周期内不断上升或下降，然后在下一个周期重新从起点开始。
3. 指数函数指数函数也可以是周期函数，例如指数函数f(x) = e^x。
尽管指数函数本身并不是周期函数，但可以通过在指数函数中引入复数来使其变成周期函数。
常见特殊函数性质归纳
常见特殊函数性质归纳一、常见特殊函数列表在数学中，常见的特殊函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等。
这些函数在各种数学问题中都有重要的应用，其性质也各不相同。
二、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，其周期都是$2\\pi$。
正弦函数的取值范围在[−1,1]之间，是奇函数；而余弦函数的取值范围也在[−1,1]之间，是偶函数。
两者的关系可以用三角关系式$\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1$来表示。
三、指数函数和对数函数指数函数以自然对数e为底，表达式为y=e x，其图像呈现指数增长的特点。
对数函数则是指数函数的反函数，以e为底时称为自然对数函数。
对数函数的定义域需要是正实数，而自然对数函数定义域则是全体实数。
四、特殊函数的性质总结1.特殊函数的周期性：正弦函数和余弦函数周期为$2\\pi$，指数函数没有周期性，而对数函数的定义域限制导致其不具备周期性。
2.特殊函数的奇偶性：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，指数函数和对数函数均为奇函数。
3.特殊函数的单调性：正弦函数和余弦函数在各自的定义域内是周期性单调函数，指数函数和对数函数在其定义域内分别是增函数和减函数。
4.特殊函数的导数和积分：正弦函数和余弦函数的导数仍为正弦函数和余弦函数，对数函数的导数是1/x，指数函数的导数是其本身；积分则尊从各种函数的积分规则进行计算。
5.特殊函数的极限性质：各种特殊函数在不同趋近点的极限计算和性质会有所不同，需要具体逐个考察。
五、结语常见特殊函数的性质归纳是数学中基础的一环，对于理解数学问题和解题具有重要意义。
在具体运用中，针对每种特殊函数的性质，要有系统地理解和掌握，才能更好地应用于解决实际问题。
特殊函数(黎曼,狄利克雷函数)性质
Ａ）有界性：０－１
Ｂ）周期性：任何正数都是其周期 不过没有最小周期
Ｃ）奇偶性：偶函数
Ｄ）单调性：无
Ｅ）连续性：在任何一点都没极限（用柯西准则思考） 所以在任何一点都不连续
关于特殊函数（黎曼，狄利克雷函数）性质谈
一）黎曼函数Βιβλιοθήκη Ａ）有界性：有界 下确界０ 上确界２分之一（不好意思 我没有用编辑器 ）
Ｂ）周期性：无周期 因为定义域有界
Ｃ）奇偶性：谈不上 看看它的定义域就知道了
Ｄ）单调性：无
Ｅ）连续性：因为在任何一点的极限都为０（考虑０点的右极限 １点的左极限）所以本函数在定 义内任何无理点连续 但是在 任何有理点间断（属于是第一类间断点）
三角函数中的奇偶性与周期性
三角函数中的奇偶性与周期性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在学习三角函数时，我们会发现它们具有一些特殊的性质，即奇偶性与周期性。
本文将对三角函数中的奇偶性与周期性进行详细的探讨。
一、正弦函数的奇偶性与周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，记作sin(x)。
我们来分别讨论正弦函数的奇偶性与周期性。
1. 奇偶性：正弦函数的图像关于y轴对称，即满足f(-x) = -f(x)。
这意味着当x取正值时，正弦函数取相应的正值；当x取负值时，正弦函数取相应的负值。
当x取0时，正弦函数的值为0。
因此，正弦函数是一个奇函数。
2. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复，一个完整的周期是2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x + 2π) = sin(x)。
所以正弦函数的周期为2π。
二、余弦函数的奇偶性与周期性余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的函数，记作cos(x)。
现在我们来研究余弦函数的奇偶性与周期性。
1. 奇偶性：余弦函数的图像关于y轴对称，即满足f(-x) = f(x)。
这意味着当x取正值时，余弦函数取相应的正值；当x取负值时，余弦函数取相应的正值。
当x取0时，余弦函数的值为1。
因此，余弦函数是一个偶函数。
2. 周期性：余弦函数的图像在一个周期内重复，一个完整的周期是2π。
也就是说，对于任意实数x，有cos(x + 2π) = cos(x)。
所以余弦函数的周期为2π。
三、正切函数的奇偶性与周期性正切函数是另一种重要的三角函数，记作tan(x)。
我们来探讨正切函数的奇偶性与周期性。
1. 奇偶性：正切函数不具备奇偶性，即不满足f(-x) = ± f(x)。
也就是说，当x取正值时，正切函数可以是正值或负值；当x取负值时，正切函数也可以是正值或负值。
当x取0时，正切函数的值为0。
因此，正切函数是一个既非奇函数也非偶函数。
2. 周期性：正切函数的图像在一个周期内重复，一个完整的周期是π。
函数的周期性的知识点总结
函数的周期性的知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数，即在一定的区间内，函数的数值在一定的时间间隔内重复出现。
更具体地说，对于函数f(x)来说，如果存在一个常数T>0，使得对任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，而这个常数T被称为函数的周期。
二、周期函数的性质1. 周期函数的性质：周期函数的周期T是一个正数，且函数的周期性对于所有的自变量都成立，即对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。
2. 周期函数的图像性质：周期函数的图像通常具有重复出现的特点，这使得它在图像上形成规律的波形。
3. 周期函数的特殊性质：有些周期函数具有特殊的对称性，比如正弦函数、余弦函数等。
三、周期函数的分类1. 固定周期函数：在一个确定的周期内，函数的数值是固定的，比如正弦函数、余弦函数等。
2. 变周期函数：在一个周期内，函数的数值是变化的，比如三角函数的变型函数、指数函数、对数函数等。
四、周期的求法对于周期函数，我们通常需要求解它的周期T，有以下几种方法：1. 观察法：通过观察函数的图像特征，找到函数的周期性。
2. 公式法：对于一些已知的周期函数，可以直接利用其性质和公式来求解周期。
3. 方程求解法：将周期函数的周期T代入函数的周期性公式中，得到关于T的方程，然后求解方程得到周期T。
五、周期函数的图像特征1. 周期函数的波形特点：周期函数的图像通常呈现出规律性的波形，如正弦函数、余弦函数的波形特点。
2. 周期函数的振幅：周期函数的振幅代表了波形的最大振幅，它决定了函数波形的高低。
3. 周期函数的相位：周期函数的相位代表了波形的平移特征，它决定了函数波形的水平位置。
六、周期函数的应用周期函数在很多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等，常见的应用包括：1. 物理波动：周期函数常常用于描述物理中的波动现象，如声波、光波等。
2. 电路分析：在电路分析中，周期函数可用于描述电流、电压的周期性变化。
关于周期函数的几个重要性质
关于周期函数的几个重要性质周期函数是一类在数学中非常常见的函数，具有一些重要的性质。
以下是关于周期函数的几个重要性质的详细介绍。
1.周期性：周期函数以一定的间隔重复自己。
形式地说，对于函数f(x)来说，如果存在正实数T，使得对于所有的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，其中T称为函数f(x)的周期。
周期性是周期函数最基本的性质，使得我们可以通过研究函数的一个周期就可以推导出整个函数的性质。
2. 周期的唯一性：如果一个函数是周期函数，那么它的周期可以有很多个，但这些周期之间必然存在其中一种数学关系。
具体来说，如果T和T'是函数f(x)的两个周期，那么必有T'-T是f(x)的周期。
这意味着，两个周期的差值也是函数的一个周期，也就是说，周期的差值可以是无限的。
例如，sin(x)的周期是2π，而cos(x)的周期也是2π，它们的差值2π-(-2π) = 4π也是它们的周期。
3. 最小正周期：对于周期函数来说，最小正周期指的是所有周期中最小的一个。
最小正周期是周期函数中最常用的一个概念，因为它可以通过最小正周期来推导出其他的周期。
例如，sin(x)和cos(x)的最小正周期都是2π。
4.奇偶性：周期函数可以根据其奇偶性进行分类。
一个函数如果满足f(x)=f(-x)，那么它被称为偶函数；如果满足f(x)=-f(-x)，那么它被称为奇函数。
周期函数中的任何周期都可以是偶函数或奇函数，因为周期性使得函数的对称性得到了保持。
5.周期函数的图像性质：周期函数的图像具有一些特殊的性质。
例如，周期函数的图像在一个周期内是有限的，也就是说，函数在一个周期内不会有无穷大或无穷小的值。
此外，周期函数的图像具有对称性，在一个周期内可以有多个对称轴。
6.周期函数的傅里叶级数展开：由于周期性，周期函数可以使用傅里叶级数进行展开。
傅里叶级数是一种表达任意周期函数的方法，通过将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的线性组合来表示。
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法定积分中的奇偶函数和周期函数是一种特殊类型的函数，它们在积分计算中有着特殊的性质和处理方法。
在下面的文章中，我们将详细介绍奇偶函数和周期函数在定积分中的处理方法。
一、奇偶函数奇偶函数是指满足以下性质的函数：1.奇函数：对于任意实数x，如果f(-x)=-f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数关于原点对称。
2.偶函数：对于任意实数x，如果f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数关于y轴对称。
奇偶函数在定积分中有以下性质和处理方法：1. 奇函数的定积分：对于奇函数f(x)，其在[-a, a]上的定积分为0，即∫[-a, a]f(x)dx = 0。
这是因为奇函数的左右两边面积相等且符号相反，所以其定积分为0。
2.奇函数的奇偶性：若f(x)为奇函数，则f(x)的积分区间[-a,a]上f(x)的定积分为0。
反过来，若函数f(x)在[-a,a]上的定积分为0，则f(x)为奇函数。
这是因为对于奇函数来说，其在[-a,0]上的面积与在[0,a]上的面积互为相反数，所以两边面积相等。
3.函数的奇偶分解：任何函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)为偶函数，h(x)为奇函数。
这是因为一个函数可以分解为其奇部分和偶部分的和。
二、周期函数周期函数是指满足以下性质的函数：对于函数f(x)，如果存在一个正数T，对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为其周期。
周期函数在定积分中有以下性质和处理方法：1. 周期函数的定积分：对于周期函数f(x)，其在一个周期内的定积分等于其周期内定积分的任意整数倍，即∫[0, T]f(x)dx = n∫[0,T]f(x)dx（n为任意整数）。
这是因为周期函数在一个周期内的面积是重复的，所以其定积分是周期的整数倍。
2. 定积分与周期函数的周期性：对于周期函数f(x)，其在整个实数轴上的定积分为其一个周期内定积分的整数倍，即∫(-∞, +∞)f(x)dx = n∫[0, T]f(x)dx（n为任意整数）。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的一种重要工具，用来描述两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们通常会遇到一些特殊类型的函数，比如奇函数、偶函数以及周期函数。
本文将讨论函数的奇偶性与周期性，并探究它们在数学和实际应用中的作用。
一、奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数在自变量取相反数时所具有的性质。
具体来说，一个函数 f(x) 是奇函数，当且仅当对于任意的 x，有 f(-x) = -f(x)。
反之，若对于任意的 x 有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 是偶函数。
奇函数和偶函数的性质如下：1. 对于奇函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = -b。
2. 对于偶函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = b。
3. 奇函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后与原图像重合。
4. 偶函数关于 y 轴对称，即图像关于 y 轴对称。
在实际应用中，奇函数和偶函数广泛存在。
例如，奇函数在描述电路中的交流信号的正负变化、对称图形的性质等方面有广泛的应用。
而偶函数则在描述偶对称的物理现象、对称图形的性质等方面发挥重要作用。
二、周期函数周期函数是指函数在自变量增加或减少一个周期后，函数值保持不变的函数。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数等三角函数。
周期函数的性质如下：1. 周期性：如果函数 f(x) 是周期为 T 的周期函数，那么对于任意的x 和正整数 k，都有 f(x + kT) = f(x)。
2. 周期的计算：对于三角函数，周期 T 可以通过函数的周期公式推导得出，例如正弦函数的周期为2π。
周期函数在科学和工程领域有广泛的应用，在描述物体振动、电磁波传播等现象时发挥重要作用。
周期函数的性质使得我们能够更好地理解和分析这些周期性的现象。
三、函数的奇偶性与周期性的关系奇函数和偶函数可以看作是周期函数的特殊形式。
事实上，任何一个周期函数都可以表示为奇函数和偶函数的和。
具体来说，如果一个函数 f(x) 是奇函数或偶函数，并且具有周期 T，那么它也是一个周期函数。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中一种重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在数学中，我们经常对函数的性质进行研究，其中包括奇偶性和周期性。
本文将探讨函数的奇偶性与周期性，并讨论它们在实际问题中的应用。
一、奇偶函数的定义与性质奇函数定义：对于任意实数x，若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。
换句话说，奇函数关于原点对称。
偶函数定义：对于任意实数x，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。
换句话说，偶函数关于y轴对称。
奇偶函数的性质：1. 若函数f(x)是偶函数，则f(0) = f(-0)，即函数在原点对称，图像关于y轴对称。
2. 若函数f(x)是奇函数，则f(0) = -f(-0)，即函数在原点对称，图像关于原点对称。
3. 若函数f(x)是偶函数，则可以推导出f(-x) = f(x)，即偶函数的性质在整个定义域内成立。
4. 若函数f(x)是奇函数，则可以推导出f(-x) = -f(x)，即奇函数的性质在整个定义域内成立。
二、周期函数的定义与性质周期函数定义：对于任意实数x，若存在正常数T，使得f(x+T) =f(x)，则称f(x)为周期函数。
换句话说，周期函数在自身的一个周期内，函数值具有相同的周期性重复。
周期函数的性质：1. 若函数f(x)是周期函数，则任意一个周期内的函数值都相同。
2. 若函数f(x)是周期函数，则其所有周期的长度都是T的整数倍。
3. 周期函数可以是正弦函数、余弦函数等传统函数，也可以是其他基于数学模型得出的函数。
三、奇偶函数与周期性的应用奇偶函数与周期函数在实际问题中具有广泛的应用，特别是在物理学和工程学领域。
以下是一些具体的应用案例：1. 电信号的表示在电子工程中，信号可以表示为奇函数或偶函数的组合。
根据信号的特性，我们可以通过分析奇偶性来判断信号的对称性和周期性，从而更好地进行信号处理和调整。
2. 物理振动奇函数和周期函数经常用来描述物体的振动情况。
正弦函数、余弦函数的性质—周期性
T ?
2
2
解： f x Asin x
Asin x 2 Asin x 2
Asin
x
2
f
x
2
T
2
归纳:
一般地，函数y Asin(x ), x R及函
数y Acos(x ), x R(其中A,,为常
数,且A
0,
>
0)的周期为 : T
2
.
推广：
(3) y 2sin(1 x ), x R
26
解:(1) ∵对任意实数 x有
f(x ) 3 cos x 3 cos(x 2 ) f(x 2 )
cos x 是以2π为周期的周期函数.
(2) Q sin(2x) sin(2x 2 )
sin2(x ),
y sin 2x 是以π为周期的周期函数.
即 f(x k • 2 ) f(x )
余弦函数y cos x(x R )是周期函数，周期是 k • 2 ,
性质1：正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx 都是周期函数，且它们的周期为k • 2(k z,k 0) 最小正周期是 2
例2：求下列函数的周期：
(1) y 3cosx, x R (2) y sin 2x, x R
A、y sin 1 x 2
C、y cosx
B、y cos x 2
D、y cos2x
（2）函数 y sinx 的最小正周期为__2___。
（3）已知函数 y
_6__
sin(x
3
),
0
的周期为
3
，则
课堂小结 ----本节课所学知识方法：
(1)周期函数、周期及最小正周期的概念. (2)正（余）弦函数的周期. (3)函数 y=Asin(ωx+φ) 及y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数，且 A≠0, ω>0 ）的
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。
高三数学周期函数知识点
高三数学周期函数知识点数学是一门需要不断学习和理解的学科，而高三数学是中学阶段最后一年的内容，对于学生们来说尤为重要。
其中，周期函数是数学中的重要知识点之一。
本文将详细介绍高三数学中周期函数的相关知识。
一、什么是周期函数周期函数是指具有周期性的函数。
所谓周期性，即函数在一定的区间内具有重复的特征。
具体说，对于函数f(x)，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么我们称f(x)为周期函数，T为它的周期。
二、常见的周期函数1. 正弦函数正弦函数是最常见的周期函数之一。
它的函数图像是一条在坐标系上波浪形状的曲线。
常见的正弦函数表示为y =A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
2. 余弦函数余弦函数与正弦函数非常类似，也是一种周期函数。
它的函数图像同样是在坐标系上呈波浪形状的曲线。
常见的余弦函数表示为y = A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
3. 正切函数正切函数是另一种常见的周期函数。
它的函数图像呈现出波浪形状的周期性变化。
常见的正切函数表示为y = A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
三、周期函数的性质周期函数具有许多重要的性质，下面介绍其中几个常见的性质。
1. 周期的性质周期函数的最显著特点就是它具有周期性。
函数图像在一个周期内呈现出相同的特点和变化规律。
周期可以通过函数的表达式或函数图像的观察得到。
2. 奇偶性周期函数可以是奇函数或偶函数。
奇函数的特点是在函数图像上关于坐标原点对称，即满足f(-x)=-f(x)。
偶函数的特点是在函数图像上关于y轴对称，即满足f(-x) = f(x)。
3. 对称轴周期函数的对称轴是指函数图像中的一条直线，使得将图像分为两部分后，对称轴上的对应点在函数图像上关于对称轴对称。
对称轴可以通过函数的表达式或函数图像的观察得到。
四、应用举例周期函数广泛应用于实际生活和工程领域中，下面以几个具体的例子来说明。
函数的奇偶性与周期性知识点总结
函数的奇偶性与周期性知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在学习函数的过程中，我们会遇到一些特殊的函数类型，包括奇函数、偶函数和周期函数。
本文将对这些函数类型的特点进行总结，并介绍函数的奇偶性和周期性的相关知识点。
一、奇函数和偶函数1. 奇函数：奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数以原点对称，图像在坐标系的左右两侧关于原点对称。
例如，f(x) = x^3 和 f(x) = sin(x) 都是奇函数。
2. 偶函数：偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数以y轴对称，图像在坐标系的左右两侧关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2 和 f(x) = cos(x) 都是偶函数。
二、奇偶性的性质1. 奇函数的性质：（1）奇函数的图像关于原点对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, -y）也在图像上。
（2）奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）奇函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数。
2. 偶函数的性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, y）也在图像上。
（2）偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）偶函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为偶函数。
三、周期函数周期函数是指在一定范围内，函数值呈现重复的规律性变化。
具体来说，对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)。
T称为函数的周期，一个周期内的函数值是相同的。
例如，f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 都是周期函数。
周期函数的性质：1. 周期函数的图像以某个区间为一个完整的重复单位。
2. 周期函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
3. 周期函数的一个重要性质是：周期函数与周期函数的乘积仍为周期函数。
六种三角函数性质
六种三角函数性质、公式三角函数包括。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx.反三角函数：arcsinx arccosxarctanx arccotx函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+2π,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2π时y max=1x=2kπ-2π时y min=-1［-1,1］x=2kπ时y max=1x=2kπ+π时y min=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数在(kπ-2π，在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)y=secx的性质：(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；（6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；(7) 正割函数是无界函数；（8）正割函数的导数：（secx）′=secx×tarx；（9正割函数的不定积分：∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+Cy=cscx的性1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}2、值域：{y|y≤-1或y≥1}3、奇偶性：奇函数4、周期性：最小正周期为2π5、图像：图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z 余割函数与正弦函数互为倒数第一部分三角函数公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)=sinα/(1-cosα) ·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinαsec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot21+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2。
特殊的三角函数数值
特殊的三角函数数值特殊三角函数是指不同于常见三角函数的一些特殊函数，它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
下面介绍一些常见的特殊三角函数及其性质。
1. 周期函数：三角周期函数是指满足f(x) = f(x + k2π)，其中k为任意整数的函数。
正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)是最常见的周期函数，它们的周期均为2π。
而其他特殊三角函数的周期则需要根据函数定义进行求解。
2. 周期延拓：对于一个具有周期T的函数f(x)，可以将其延拓为周期为2T、3T等的函数。
常见例子包括：tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x)等。
3. 数学定义：特殊三角函数的定义方式多种多样，有些函数是通过基本三角函数的组合得到的，例如：tan(x) = sin(x)/cos(x)，其他函数则是通过对三角函数进行反函数运算，如正割函数sec(x) = 1/cos(x)，余切函数cot(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x)。
4. 常用恒等式：特殊三角函数在计算中经常用到各种恒等式，其中最基本的恒等式是：sin2(x) + cos2(x) = 1，还有tan(x) + cot(x) = sec(x) ×csc(x)，以及sec2(x)−1 = tan2(x)。
掌握这些恒等式在解题和证明中都非常实用。
5. 特殊值：特殊三角函数在某些点上有特殊的取值，比如sin(0) = 0，cos(0) = 1，tan(0) = 0，cot(0) = ∞等。
此外，在π/2，-π/2等点上，有些函数的取值为无穷大或是未定义，需要特别注意。
6. 图像特征：特殊三角函数的图像特征也是我们需要了解的内容。
例如，正弦函数的图像是关于y轴对称的奇函数，余弦函数是关于x轴对称的偶函数。
而tan(x)和cot(x)的图像在某些点上会有铅直渐近线，sec(x)和csc(x)的图像则有水平渐近线等等。
在数学学习中，特殊三角函数是必不可少的内容，它们在解题、证明和应用中都有着重要的作用。
sancostan的函数值
sancostan的函数值在数学中，函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
而sancostan的函数值，则是一个具有特殊性质的函数，它在数学中有着广泛的应用。
sancostan的函数值定义为：f(x) = sin(x) + cos(x) + tan(x)，其中x为实数。
这个函数可以看做是三个基本三角函数的和，它具有以下几个特点：1. 周期性：由于sin(x)和cos(x)都是周期函数，所以f(x)也是周期函数。
它的周期为π。
2. 奇偶性：由于tan(x)是奇函数，而sin(x)和cos(x)是偶函数，所以f(x)是奇函数。
3. 渐近线：当x趋向于π/2或者-x趋向于π/2时，函数值会趋向于正无穷或负无穷。
这就是函数的渐近线。
除了这些特点之外，sancostan的函数值还具有其他一些性质。
例如，它是一个连续函数，可以在整个实数域上取值。
它也是一个可导函数，其导数为f'(x) = cos(x) - sin(x) + sec^2(x)。
在实际应用中，sancostan的函数值有着广泛的应用。
例如，在物理学中，振动的周期可以用这个函数来描述。
在工程学中，它可以用来描述机械系统的运动。
在计算机科学中，它可以用来生成各种图形和动画效果。
除此之外，sancostan的函数值还有一些有趣的性质。
例如，它的最大值为3，最小值为-3。
这意味着它的取值范围在[-3,3]之间。
此外，它在x=π/4和x=5π/4时取得最小值-1，而在x=3π/4和x=7π/4时取得最大值3。
总之，sancostan的函数值是一个具有特殊性质的函数，它在数学中有着广泛的应用。
它的周期性、奇偶性、渐近线等特点，使它在实际应用中具有很高的价值。
同时，它的有趣的性质也使它成为了数学中的一个有趣的研究对象。
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几种特殊性质的函数的周期：
①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；
②y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )
(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；
③若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；
④y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数
y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；如：正弦函数
sin y x =
⑤若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则
f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；
⑦正（余）弦型函数定义域为R ，周期为T ，那么，对于任意R m ∈，区间[)T m m +,内有且只有两个量21,x x ，满足()()21x f x f =。
正切型函数则只有一个。
⑧0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(()
(1)(≠=
+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 例1．若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，
-上是增函数，且)()2(x f x f -=+，则 ①)(x f 关于 对称；
②)(x f 的周期为 ；
③)(x f 在（1，2）是 函数（增、减）；
④）时，，（若10∈
x )(x f =x 2，则=)(log 18
21f 。
例2．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间
[2，3]上
)(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x )(x f = 。
4．函数（图象）的对称性
1）证明一个函数图象自身的对称问题及证明两个函数图象的对称关系问题
①证明函数)(x f y =图像对称性：即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
②证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然；
1） 函数图象的对称性与相应函数或方程间的关系
①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C 2方程为：f(－x,－y)=0;
②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为：f(－x, y)=0;
曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为：f(x, －y)=0;
曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为：f(y, x)=0
③f(a+x)=f(b －x) （x ∈R ）⇒y=f(x)图像关于直线x=2
b a +对称； 特别地：f(a+x)=f(a －x) （x ∈R ）⇒y=f(x)图像关于直线x=a 对称；
④两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2
b a x +=
对称. ⑤若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2
(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. ⑥函数()x a f y +=，()y f b x =-的图像关于直线2
b a x -=（由a x b x +=-确定）对称. 函数图象（或方程曲线）对称性的证明思路 详见＜我的论文集＞
曲线自身的对称问题 详见＜我的论文集＞
两条曲线的对称问题 详见＜我的论文集＞
例。
（1）已知函数)(x f y =的图象过点（1，1），则)4(x f -的反函数的图象过点 。
（2）由函数x y )2
1
(=的图象，通过怎样的变换得到2log y x =的图象？。