几种特殊性质的函数的周期

几种特殊性质的函数的周期：

①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；

②y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )

(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；

③若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；

④y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数

y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；如：正弦函数

sin y x =

⑤若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则

f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；

⑦正（余）弦型函数定义域为R ，周期为T ，那么，对于任意R m ∈，区间[)T m m +,内有且只有两个量21,x x ，满足()()21x f x f =。正切型函数则只有一个。

⑧0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(()

(1)(≠=

+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 例1．若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，

-上是增函数，且)()2(x f x f -=+，则 ①)(x f 关于 对称；

②)(x f 的周期为 ；

③)(x f 在（1，2）是 函数（增、减）；

④）时，，（若10∈

x )(x f =x 2，则=)(log 18

21f 。 例2．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间

[2，3]上

)(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x )(x f = 。

4．函数（图象）的对称性

1）证明一个函数图象自身的对称问题及证明两个函数图象的对称关系问题

①证明函数)(x f y =图像对称性：即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

②证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然；

1） 函数图象的对称性与相应函数或方程间的关系

①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C 2方程为：f(－x,－y)=0;

②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为：f(－x, y)=0;

曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为：f(x, －y)=0;

曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为：f(y, x)=0

③f(a+x)=f(b －x) （x ∈R ）⇒y=f(x)图像关于直线x=2

b a +对称； 特别地：f(a+x)=f(a －x) （x ∈R ）⇒y=f(x)图像关于直线x=a 对称；

④两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2

b a x +=

对称. ⑤若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2

(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. ⑥函数()x a f y +=，()y f b x =-的图像关于直线2

b a x -=（由a x b x +=-确定）对称. 函数图象（或方程曲线）对称性的证明思路 详见＜我的论文集＞

曲线自身的对称问题 详见＜我的论文集＞

两条曲线的对称问题 详见＜我的论文集＞

例。（1）已知函数)(x f y =的图象过点（1，1），则)4(x f -的反函数的图象过点 。

（2）由函数x y )2

1

(=的图象，通过怎样的变换得到2log y x =的图象？