对数函数知识点总结(供参考)

对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；

○2 x N N a a x

=⇔=log ；

○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○

2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：

○

1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N M

a log M a log －N a log ； ○

3 n

a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）b m

n

b a n a m log log =

；

（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函

数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5

log 5x y = 都不是对数函数，而只能称

其为对数型函数．

○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

对数函数·例题解析

例1．求下列函数的定义域：

（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2

x y a -=．

解：（1）由2

x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}

0x x ≠；

（2）由04>-x 得4

4x x <；

（3）由9-02

>-x 得-33<

{}

33x x -<<．例2．求函数251-⎪⎭

⎫

⎝⎛=x

y 和函数2211

2+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(

解：（1）125x

y ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭ ∴115

()log (2)f x x -=+ (-2)x >；

（2） 21

1-22x y +⎛⎫= ⎪

⎝⎭

∴-1()f x = 5

(2)2x <<．

例4．比较下列各组数中两个值的大小：

（1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . 解：（1）对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，于是2log 3.4<2log 8.5；

（2）对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数，于是0.3log 1.8>0.3log 2.7； （3）当1a >时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是增函数，于是log 5.1a log 5.9a ． 例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

（1）6log 7，7log 6； （2）3log π，2log 0.8； （3）0.9

1.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； （4）5log 3，6log 3，7log 3． 解：（1）∵66log 7log 61>=， 77log 6log 71<=，∴6log 7>7log 6； （2）∵33log log 10π>=， 22log 0.8log 10<=，∴3log π>2log 0.8． (3

）

∵

0.901.1 1.11

>=，

1.1 1.1log 0.9log 10

<=，

0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=，

∴0.9

1.1

>0.7log 0.8> 1.1log 0.9．

（4）∵3330log 5log 6log 7<<<， ∴5log 3>6log 3>7log 3． 例7．求下列函数的值域：

（1）2log (3)y x =+； （2）22log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．

解：（1）令3t x =+，则2log y t =， ∵0t >， ∴y R ∈，即函数值域为R ． （2）令2

3t x =-，则03t <≤， ∴2log 3y ≤， 即函数值域为2(,log 3]-∞． （3）令2

2

47(2)33t x x x =-+=-+≥， 当1a >时，log 3a y ≥， 即值域为

[log 3,)a +∞，

当01a <<时，log 3a y ≤， 即值域为(,log 3]a -∞． 例8．

判断函数2()log )f x x =的奇偶性。

x >恒成立，故()f x 的定义域为(,)-∞+∞，

2()log )f x x -=

2

log =-

2

log =-

2log ()x f x =-=-，所以，()

f x 为奇函数。

例9．求函数213

2log (32)y x x =-+的单调区间。

解：令2

2

3

132()2

4

u x x x =-+=--

在3[,)2+∞上递增，在3

(,]2-∞上递减，

又∵2

320x x -+>， ∴2x >或1x <，

故2

32u x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 又∵13

2log y u =为减函数，

所以，函数213

2log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减。

例10．若函数2

2log ()y x ax a =---

在区间(,1-∞-上是增函数，a 的取值范围。

解：令2

()u g x x ax a ==--， ∵函数2log y u =-为减函数，

∴2

()u g x x ax a ==--在区

间(,1-∞上递减，且满足0u >，

∴

12

(10a

g ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩

，解得22a -≤≤， 所以，a

的取值范围为[22]-．

解 (2)∵1－log a (x ＋a)＞0，∴log a (x ＋a)＜1．