2020届天津市高三上学期期末六校联考数学试题
天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析) (2)
高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共9小题）1.记全集U =R ，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()UA B =（ ）A. [)4,+∞B. (]1,4C. [)1,4D. ()1,4【答案】C 【解析】 【分析】求得集合{|4A x x =≤-或4}x ≥，{|1}B x x =≥，求得{|44}UA x x =-<<，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{}2|16{|4A x x x x =≥=≤-或4}x ≥， 集合{}|22{|1}xB x x x =≥=≥， 所以{|44}UA x x =-<<，所以()[){|14}1,4U AB x x =≤<=.故选：C .【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知直线1l ：()230a x ay -++=，2l ：()240x a y +-+=，其中a R ∈，则“1a =-”是“12l l ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由12l l ⊥时，得到(2)1(2)0a a a -⨯+-=，解得1a =-或2a =，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】由题意，直线1l ：()230a x ay -++=，2l ：()240x a y +-+=，当12l l ⊥时，可得(2)1(2)(2)(1)0a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =， 所以“1a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记两直线的位置关系，结合充分条件和必要条件的关系进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知3log 2a =，5log 6b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b <<B. c a b <<C. a b c <<D.c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，求得(0,1)a c <∈，(1,)b ∈+∞，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的性质，可得3log 2(0,1)a =∈，5log 6(1,)b =∈+∞， 又由321log 2log 3a ==，21ln 2log c e==， 因为3e >，所以22log 3log 1e >>，可得1a c <<， 所以a c b <<. 故选：A .【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，a =2b =，则ABC ∆的面积为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理化简得222b c a bc +-=，再由余弦定理得1cos 2A =，进而得到sin A =，利用余弦定理，列出方程求得4c =，最后结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在ABC ∆中，()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-， 由正弦定理，可得()22b c a bc -=-，即222b c a bc +-=，又由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得sin A ==，因为a =2b =，由余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，即22222c c =+-， 即2280c c --=，解得4c =，所以三角形的面积为11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 故选：B .【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 2211641x y -=C. 2214116y x -=D.221916y x -= 【答案】D 【解析】 分析】 由抛物线2120x y =，求得(0,5)F ，得到5c =，再由焦点(0,5)F 到渐近线的距离为4，求得4b =，进而得到9a =，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线2120x y =可化为220x y =，可得焦点坐标为(0,5)F ， 即双曲线22221y x a b-=的焦点坐标为(0,5)F ，即5c =，又由双曲线22221y x a b-=的一条渐近线的方程为a y x b =，即0ax by -=，所以焦点(0,5)F 到0ax by -=54bc==， 所以4b =，又由9a ==，所以双曲线的方程为221916y x -=.故选：D .【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ） A. 4天 B. 5天C. 6天D. 7天【答案】B 【解析】 【分析】由蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为318()2n n S -=-，又由莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为21n n T =-，根据4n n T S =，列出方程，即可求解.【详解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为314[1()]128()1212n n n S -⨯-==--， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为1[12]2112nn n T ⨯-==--，又因为4n n T S =，即31214[8()]2n n --=⨯-，解得5n =.故选：B .【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.已知函数()sin f x x x ωω=（0>ω，x ∈R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的命题中正确的是（ ） A. 函数()g x 是奇函数 B. ()g x 的图象关于直线6x π=对称C. ()g x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 D. 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]0,2 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换的公式和三角函数的图象变换，得到()4sin(2)3g x x π=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 2sin()3f x x x x πωωω==-，因为函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列， 可得22T π=，即T π=，所以2ω=，即()2sin(2)3f x x π=-，把函数()f x 沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，可得函数()4sin[2()]4sin(2)333g x x x πππ=+-=+， 可得函数()4sin(2)3g x x π=+为非奇非偶函数，所以A 不正确；由()4sin(2)663g πππ=⨯+=6x π=不是函数的对称轴，所以B 不正确；由,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,332x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，可得函数()g x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以C 正确； 由,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当203x π+=时，即6x π=-，函数取得最小值，最小值为()06g π-=， 当232x ππ+=时，即12x π=，函数取得最大值，最大值为()412g π=， 所以函数的值域为[]0,4，所以D 不正确. 故选：C .【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数图象与性质的综合应用，其中解答中先根据三角恒等变换的公式和三角函数的图象变换得到函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8.在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =，2CN NB =，若AM AC AN λμ=+，则11λμ+=（ ）A.1312B.6413 C. 3512-D. 4013-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算法则，化简得到131124AM AC AN =-，得到131,124λμ==-，即可求解. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：11()66AM AC CM AC AB AC AC CB =+=-=-+ 515151131()666464124AC CB AC CN AC AN AC AC AN =-=-=--=-， 又因为AM AC AN λμ=+，所以131,124λμ==-， 所以11124041313λμ+=-=-. 故选：D .【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9.已知函数()23323xxf x x -=++-，若函数()()()log 2a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. ()2,+∞C. 373,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.373,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得函数()f x 为偶函数，利用导数得到函数的单调性，把函数()g x 在区间[]1,1-上有4个不同的零点，转化为()y f x =与()log 2a y x =+的图象在[]1,1-上有4个不同的交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()23323xxf x x -=++-，[]1,1x ∈-可得()()22332()33323xxxxf x x x f x ---=++--=++-=，所以函数()f x 为[]1,1-上的偶函数，当[]0,1x ∈时，()ln3ln34ln3()43333xxxxf x x x --'=-=⋅-++，可得()0f x '>，所以函数在[]0,1上单调递增，所以在[]1,0-单调递减， 又由()()701,13f f =-=， 所以函数()y f x =的图象，如图所示，要使得函数()()()log 2a g x f x x =-+在区间[]1,1-上有4个不同的零点， 即函数()y f x =与()log 2a y x =+的图象在[]1,1-上有4个不同的交点， 则满足0log 12a <<，解得2a >， 即实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的性质的应用，其中解答中熟练应用导数和函数的基本性质，把方程的零点的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（共6小题） 10.已知复数21iz i+=-，则复数z 的虚部为______. 【答案】32【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简得1322z i =+，进而求得复数的虚部，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()2121311122i i i z i i i i +++===+--+，所以复数z 的虚部为32. 故答案为：32. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.二项式1022x ⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______. 【答案】180 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项10521102r rrr TC x-+=⋅，令2r ，即可求解展开式的常数项，得到答案.【详解】由题意，二项式1022x ⎫⎪⎭的展开式的通项为1051021101022()2rrrr r rr T C C x x--+==⋅， 令2r，可得223102180T C ==，即展开式的常数项是180.故答案为：180.【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知圆C ：222260x y x y +---=.直线l 过点()0,3，且与圆C 交于A 、B 两点，AB 4=，则直线l 的方程______.【答案】3y =或4390x y -+= 【解析】 【分析】由圆C 得到圆心(1,1)C，半径为R =2d =，再由圆心到直线的距离，列出方程，求得k 的值，即可求得直线的方程，得到答案. 【详解】由题意，圆C ：222260x y x y +---=，可化为22(1)(1)8x y ，可得圆心(1,1)C，半径为R =设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，又由圆的弦长公式，可得AB =，即4=2d =，根据圆心到直线的距离为2d ==，解得0k =或43k =，所以直线l 的方程3y =或4390x y -+=.【点睛】本题主要考查了圆的方程，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13.底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥.已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】1694π【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积，求得棱锥的底面边长，再在SAC ∆中，利用正弦定理和余弦定理，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，正四棱锥S ABCD -，设正方形ABCD 的底面边长a ， 因为四棱锥S ABCD -的体积为12，即221121233a SO a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a =， 再正方形ABCD 中，可得6AC =，在直角SAO ∆中，2,3SO AO ==，可得SA =， 在直角SOC ∆中，2,3SO OC ==，可得SC ==在SAC ∆中，由余弦定理可得2225cos 13ASC ∠==-，所以12sin 13ASC ∠==，则SAC ∆外接圆的直径为132sin 2AC R ASC ==∠，解得134R =，即四棱锥S ABCD -外接球的半径为134R =，所以外接球的表面积为221316944()44S R πππ==⨯=，故答案为：1694π.【点睛】本题主要考查了正四棱锥的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记正四棱锥的结构特征，结合正弦定理和余弦定理，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.14.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种. 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意，小赵和小赵智能从事两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.【详解】根据题意可分2种情况讨论：（1）若小张或小赵入选，则有11322324C C A =种不同的选法；（2）若小张，小赵都入选，则有222312A A =种不同的选法，综上可得，共有241236+=种不同的选法. 故答案为：36.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意分类讨论，结合排列组合的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是______.【答案】23【解析】 【分析】将2222282xy xyx y x y +++化简、变形为43()42()4x y y xx yx y y x y x++++，然后利用基本不等式和对勾函数，即可求解.【详解】由题意，33222242242243()2312821016()16()10x y xy xy x y xy y xx y x y x y x x y y y x+++==++++++2443()3()442()2()4x y x yy x y x x y x y x y y x y x y x++==+++++， 设4x y t y x =+，则44x y t y x =+≥=，当且仅当4x y y x =，即2x y =取等号，又由2y t t=+在[4,)+∞上单调递增， 所以2y t t =+的最小值为92，即292t t +≥，所以43()324223()4x yy xx yt x y y x t y x+≤=++++， 所以2222242xy xy x y x y +++的最大值是23.故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（共5小题）16.某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在[]100,150内，其中语文成绩分组区间是：[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150.其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：分组区间[)100,110[)110,120[)120130, [)130140, []140,150:x y1:22:13:53:4语文人数x 24 3 数学人数y124（1）求图中a 的值及数学成绩在[)130140,的人数； （2）语文成绩在[]140,150的3名学生均是女生，数学成绩在[]140,150的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件M 发生的概率；（3）若从数学成绩在[]130,150的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在[]140,150的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .【答案】（1）数学成绩在[)130140,的人数为8人（2）3135（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）由根据频率分布直方图的性质，求得0.030a =，再根据频率分布直方图数据，即可求解；（2）由事件M 可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生三种情况，即可求解相应的概率；（3）由题意，得到X 可能取值有0,1,2，求得相应的概率，求得随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）由题意，根据频率分布直方图的性质，可得()0.0050.0200.0400.005101a ++++⨯=，解得0.030a =.则语文成绩在[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150中的人数分别为3,24,18,12,3，则数学成绩在[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150中的人数分别 为6,12,30,8,4，所以数学成绩在[)130140,的人数为8人. （2）从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”， 可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生，三种情况：所以事件M 发生的概率()2234434341743135C C C C C P M C ++==. （3）由题意可知X 可能取值有0，1，2.()208421214033C C P X C ===，()118421216133C C P X C ===，()02842123123311C C P X C ====， X 的分布列为所以()1416120123333113E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的性质，以及准确求解随机变量对应的概率，得到随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S nn N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a+，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈;2n nb=，*n N ∈（2）21nn + 【解析】 【分析】（1）由数列的通项n a 和n S 的关系，求得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列{}n b 的首项和公比，即可求得数列{}n b 的通项公式，得到答案.（2）由（1）可得()()()12122121nn c n n n =-+-+，利用 “裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列{}n c 的前n 项和，得到答案.【详解】（1）由题意，数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，当1n =时，11a =当2n ≥时∴121n n n a S S n -=-=-， 当1n =时也满足上式所以数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n N=-∈.设数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，则22124311418a b b q a b b q +===⎧⎨+===⎩，∴12b =，2q，∴2n n b =，*n N ∈.（2）由（1）可得11n n n n n c a b a a +=+，所以()()()12122121nnc n n n =-+-+设(){}212nn -前n 项和为成n A ，()()12121n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭前n 项和为n B ，()23123252212n n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+- ()23412123252212n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯∴()2312222222212nn n A n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()11822221212n n n ++-⨯=+---()16322n n -=-+-∴()16232n n A n +=+-⨯，*n N ∈∵()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭∴111111123352121n B n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ ∴()1623221n n nT n n +=+-⨯++ 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前n 项和，其中解答中熟记数列的通项n a 和n S 的关系，熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；（3）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（225（3）存在,13CM CA =或523CM CA =.【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得1C B ⊥平面ABC .（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面1AB E 和平面11A B E 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，根据CM CA λ=，得到EM 的坐标，结合平面11A B E 的法向量为列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，∴13BC又∴22211BC BC CC +=，∴1BC BC ⊥，∵AB ⊥侧面11BB C C ，∴1AB BC ⊥. 又∵AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ∴直线1C B ⊥平面ABC（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A，()1B -，1,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1A -， 设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =()12AB =--，122AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∵100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴111111201202x z x y z ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，令1y =11x =，∴()1,3,1n = 设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =，()110,0,2A B =-，13,22A E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∵11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴203202z x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令y =1x =，∴()1,3,0m =， 2m =，5n =，4m n ⋅=，∴cos ,25m n m n m n⋅===. 设二面角11A EB A --为α，则25cos cos ,mn α==∴设二面角11A EB A --. （3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，∵CM CA λ=，[]0,1λ∈， ∴()()1,,1,0,2xy z λ-=-，∴()1,0,2M λλ-∴1,22EM λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面11AB E 的一个法向量为()1,3,0m=，∴11=，得2693850λλ-+=.即()()312350λλ--=，∴13λ=或523λ=，∴13CM CA =或523CM CA =.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M 到2F 21，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （1）求椭圆C的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-（3）存在，()2,0P【解析】 【分析】（1）由椭圆C 的离心率2e =，且椭圆上一动点M 到2F 21，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+，联立方程组，求得k 的值，即可求得直线的方程；（3）设AB l ：()1y k x =-，联立方程组，根据根与系数的关系，求得12x x +，12x x ，再由斜率公式和以0AP BP k k +=，即可求解点P 的坐标，得到答案.【详解】（1）由题意，椭圆C的离心率e =，且椭圆上一动点M 到2F1，可得22221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a cb ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+， ∴()()111y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，得()2211k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ ∴()()()222222218211kk kk-+=++，427610k k --=，∴21k =，直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-.（3）设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222124220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， ∵11AP y k x m =-，22BP y k x m =-，所以()()()()1221120AP BPy x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知函数()()sin 1ln f x m x x =-+.（1）当1m =时，求函数()f x 在()0,1的单调性； （2）当0m =且1a e ≥-时，()()1g x af x x=-+，求函数()g x 在(]0,e 上的最小值； （3）当0m =时，()()1(2h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>. 【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递增（2）()min 1g x a e=-（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()()1cos 1f x x x'=--+，结合导数的符号，即可求得函数的单调性； （2）由()1ln g x a x x=-，求得()21ax g x x +'=-，分类讨论求得函数的单调性与极值，进而求得函数的最小值，得到答案.（3）由()1ln 2h x x b x=+-，根据题意，得到111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=， 两式相减，1212122ln x x x x x x -=，令()120,1x t x =∈，得到函数()12ln l t t t t =--，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()()sin 1ln f x x x =-+，则()()1cos 1f x x x'=--+， 又∵()0,1x ∈，∴11x>，()cos 11x -<，∴()0f x '>， ∴()f x 在()0,1上单调递增. （2）由()()11ln g x af x a x x x =-+=-，则()2211a ax g x x x x+'=--=-， （1）当0a ≥时，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时图数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，∴函数()g x 在x e =处取得最小值，即()()min 1(g x g e a e==-； （2）当0a <时，令()10g x x a'=⇒=-，当1e a -≥时，即当10a e-≤<，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时函数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，函数()g x 在x e =处取得最小值， 即()()min 1g x g e a e==-； 综上所得()()min1g x g e a e==-.（3）证明：根据题意，()()1ln 02h x x b x x=+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点， ∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=. 令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=.又∵()0,1t ∈，∴()0l t '≥恒成立，故()()1l t l <，即12ln 0t t t--<.可得112ln t t t->，∴121x x +>.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
天津市2020届高三数学上学期期末联考试题理
第（3）题第一学期期末六校联考 高三数学（理）试卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．（1）若集合{}{}22,R ,230,R x A y y x B x x x x ==∈=-->∈，那么R A B （）ð=（ ）.（A ）(]3,0 （B ）[]3,1- （C ）()+∞,3（D ）()()0,13,-+∞（2）已知实数y x ,满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≥，则目标函数12--=y x z 的最大值为（ ）.（A ）3-（B ）21（C ）4（D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为（ ）.（A ）64 （B ）73 （C ）512 （D ）585（4）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知双曲线 与抛物线x y 42=共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为 ，则22b e -的值是（ ）. （A1（B）2e)0,(12222>=-b a b ya x第（12）题（C ）4-（D ）4（6）已知函数2()2cos f x x x =-，则f ,13(log 2)f ,2(log 3)f 的大小关系是（ ）.（A ）)2(log 31f <)3(log 2f <)2(2f（B ）)2(log 31f <)2(2f <)3(log 2f（C ）)3(log 2f <)2(log 31f <)2(2f（D ）)2(2f <)3(log 2f <)2(log 31f（7）已知O 是ABC △的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且5102=+y x )0(≠x ，则ABC △的面积为（ ）.（A ）24（B（C ）18（D ）220（8）已知函数211)(--+=x x x f ，函数1)(2+-=x ax x g ．若函数)()(x g x f y -=恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）． （A ）),0(+∞（B ）),2()0,(+∞-∞（C ）),1()21,(+∞--∞（D ）)1,0()0,( -∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上． （9）在复平面内，复数2)21(1i ii+++的共轭复数对应的点位于第______象限． （10）直线l 的参数方程为为参数），，t t y t x (33⎩⎨⎧=-=.以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ（ρ＞0，02θπ≤<），则圆心C 到直线l 的距离为______. （11）已知二项式nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+3的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数等于______． （12）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为r 的半球拼接组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为1620π+，则r =______.（13）在锐角ABC △中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且A c a sin 23=，c ＝7，且ABC △，则b a +=______． （14）设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R ∈x ，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>，若(2)()22f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =++. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期，并求当[,]62x ππ∈时，函数()f x 的值域；（Ⅱ）当[,]62x ππ∈时，若8()5f x =，求()12f x π-的值.（16）（本小题满分13分）已知盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；（Ⅱ）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为321,,x x x ，随机变量X 表示321,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望)(X E ．（17）（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）设AB 的中点为Q ，求证：PQ ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为60°，求CPCM的值．（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和112(N*)2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足n n n a b 2=．（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n a n c 2l og =，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+22n n c c 的前n 项和为n T ，求满足25(N*)21nT n <∈的n 的最大值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为2，且与椭圆1222=+y x 有相同离心率，直线m kx y l +=:与椭圆C 交于不同的B A ,两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若在椭圆C 上存在点Q ，满足λ=+，（O 为坐标原点），求实数λ取值范围．（20）（本小题满分14分）已知函数)1(ln )(44--=x a x x x f ，R ∈a ． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）()f x 的极小值为()a ϕ,当0a >时，求证：()11414104a a e e a ϕ--⎛⎫-< ⎪⎝⎭≤．（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．（1）A ．提示：{}{}13,0-<>=>=x x x B y y A 或（2）C ．提示： ⎩⎨⎧-==+11y y x 相交于点)1,2(-A∴41122=-+⨯=y ．（3）B ．提示： 1,1;2,9;4,7350x S x S x S ======>． （4）B ．必要而不充分条件．（5）D ．提示：由抛物线的焦点.1),0,1(22=+b a F 得到①设公共点00000(,),12,1P x y x x ∴+=∴=，代入到抛物线方程得到420=y ， 从而.14122=-ba ②由①②可得到2232a b =-=．于是11ca e a==，，224e b ∴-=． （6）A ．提示：()22cos f x x x =- 是偶函数，()22sin f x x x '=+在)2,0(π上恒大于零， 所以()22cos f x x x =-在)2,0(π单调递增.∵13333(log 2)(log 2)(log 2),0log 21f f f =-=<<，21log 32<<，22,π<<∴)2(log 31f <)3(log 2f <)2(2f .（7）D ．提示：取AC 中点D ，因为O 是ABC △的外心，则⊥.50105,=⨯==⋅+⋅=⋅∴+= .又y x +=，=⋅∴AC AO AC AC y AB x ⋅+)(=AB AC x +⋅=60cos 10050x A y +=．又5102=+y x ，322sin ,31cos ,2cos 6=∴==∴A A x A x ． 22032210621=⨯⨯⨯=∴S ．（8）D ．提示：由2()(1)0f x ax x --+=，得2()1f x x ax +-=．2(1),()121(11),(1).x x f x x x x x x -<-⎧⎪∴+-=--≤≤⎨⎪>⎩作函数()1y f x x =+-与函数2y ax =的图象， 当0<a 时，两个函数图象恒有两个公共点； 当0=a 时, 两个函数图象仅有一个公共点； 当0>a 时，①若01a <<，此时函数2ax y =图象与函数()1y f x x =+-，有两个公共点； ②若1=a ，此时函数2ax y =图象与函数12-=x y 相切，函数2ax y =与函数()1y f x x =+-的图象仅有一个公共点；③若1a >时，此时函数2ax y =与函数()1y f x x =+-的图象无公共点． 所以∈a )1,0()0,( -∞．二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分． （9）三． 提示：i z i z 2925,2925--=+-=． （10）235．提示：圆C 和直线l 的直角坐标方程分别是22430x y x +-+=，0y -+=，则圆心C 到直线l 的距离235133332=++=d ． （11）135．提示：令1x =，由已知6164:264,6,n n rr r r n T C -+=∴==，361,2,13522r rr T x -∴-==∴=．（12）2．提示：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积ππππ2016222222S 22+=+⋅+⋅+=r rr r r r ，得到2=r ．（13）52sin sin ,sin 0sin A C A A C =≠∴．又三角形是锐角三角形，∴3C π=．1sin 62S ab C ab ==∴=．再由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，有27()126a b =+--，2()25,5a b a b ∴+=+=．（14）1≤m ．提示：令()22()(),()().22x x g x f x g x f x -=--=--得到0)()(=-+x g x g ，)(x g ∴为奇函数． 又∵在(0,)+∞上()()0g x f x x ''=->，),0()(+∞∴在x g 单调递增．而由奇函数性质得到()R g x 在上单调递增.已知(2)()22f m f m m --≥-，且22(2)2222m m m --=-， 有22(2)(2)()22m m f m f m ----≥，即(2)()0g m g m --≥． ∴m m ≥-2．解得1≤m ．三、解答题：本大题6小题，满分80分． （15）本题满分13分．解：(Ⅰ)211cos 21()cos cos 2222x f x x x x x +=++=++sin(2)16x π=++ ，……………………3分 22T ππ∴==． ……………………4分 又[,]62x ππ∈，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+67,262πππx ，且()y f x =在[]62ππ，上单调递减．又1()2,()622f f ππ==，所以()f x 的值域为1[2]2，．……………………7分 (Ⅱ)由8()5f x =，则3sin(2)65x π+=． ……………………8分又7[,],2,62266x x πππππ∈≤+≤4cos(2)65x π∴+=-．……………………9分又7()sin 21sin[(2)]1.1266105f x x x πππ-=+=+-+=+……………13分 （16）本题满分13分．解：(Ⅰ) 取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以2224322963153618C C C P C ++++===． …………………………4分 （Ⅱ）随机变量X 所有可能的取值为2，3，4，1261)4(4944===C C x P ； 6313)3(4916331534=+==C C C C C x P ； 于是1411)4()3(1)2(==-=-==x P x P x P ． ………………………10分 所以随机变量X因此随机变量X 的数学期望E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209. ………………………………13分 （17）本题满分13分．（Ⅰ）证明：∵侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，∴AB PQ ⊥．∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB底面ABCD AB =，PQ ⊂侧面PAB ，∴PQ ⊥底面ABCD ． ……………………3分（Ⅱ）连接AC ，设A C B D O =，以O 为原点，分别以,,OB OC QP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -， 则)3,21,233(),3,21,23(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(--=--P D C B O ．……………………4分设平面PBC 的法向量(,,)u x y z ==0,0,1022y u BC u BP x y ⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=--+=⎪⎪⎩⎩，则(1,3,1)u =．…………6分6sin |cos |u PD θ=<>=……………………8分另解：可求得四棱锥的体积=2V ，三棱锥P BCD -的体积=1，PBC S =△，进而可得三棱锥D PBC -的高h =．又PD =sin h PD θ===． （Ⅲ）设33(,)22CM tCP t ==-，(0<t <1)，……………………9分 则M )3,123,23(t t t +-，=)3,123,323(t t t +--，)0,0,32(=， 设平面MBD 的法向量为),,(z y x n =， 由0,0=∴=⋅⇒⊥x ．由0n MB n MB ⊥⇒⋅=， 可取z =6(0,32tn t =-．……………………11分 又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m ，2160cos ,cos ==><=． 12=．解得22()5t t ==舍或 ． 所以，此时52=CP CM ． ……………………13分 （18）本题满分13分．解：（Ⅰ）在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得11112S a a =--+=，即112a =．当2n ≥时，2111()22n n n S a ---=--+，∴121111()22n n n n n n n a S S a a ----=-=-+-+（）， 1112()2n n n a a --=+．即11221n n n n a a --=+．而n nn a b 2=， ∴11n n b b -=+．即当2n ≥时，11n n b b --=．又1121b a ==，∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列．…………………………4分于是1(1)1=2n n n b n n a =+-⨯=，∴2n nna =． ……………………………6分 （Ⅱ）∵22log log 2n n n n c n a ===，∴22211(2)2n n c c n n n n +==-++ ． ………………8分 ∴111111111111)()()()()132435112212n T n n n n n n =+-+-++-+-=+---++++（1- ………………10分由2521n T <，得11125121221n n +--<++，即11131242n n +>++， 又∵11()12f n n n =+++单调递减，且111313(4),(5)304242f f =>=， ∴n 的最大值为4． ………………………………13分 （19）本题满分14分．解：（I ）由已知可⎪⎩⎪⎨⎧==2222ac c 解得1,12=∴⎩⎨⎧==b c a ． ………………………3分 （II ）由⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y 得0224)21(222=-+++m kmx x k ， )21(8)22)(21(416Δ222222m k m k m k -+=-+-=∴．由直线直线l 与椭圆C 交于不同的B A ,两点，由2221,0Δm k >+∴>． ① ……………………………6分设点),y x B,y x A 2211(),(，则122212241222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 当0=m 时，易知点B A ,关于原点对称，则0=λ； ……………9分 当0≠m 时，易知点B A ,不关于原点对称，则0≠λ．由OA OB OQ λ+=，得12121(),1(),Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即224,(12)2.(12)Q Q km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩． ……………11分Q 点在椭圆上，∴2])21(2[2])21(4[2222=+++-k m k km λλ． ……………12分 化简得22222)21()21(4k k m +=+λ．)21(4,0212222k m k +=∴≠+λ ． ② 由①②两式可得022,42≠<<-∴<λλλ且．综上可得实数λ的取值范围是22<<-λ． ……………14分（20）本题满分14分．解：（Ⅰ）333()4ln 4f x x x x ax '=+-， …………………………………1分 则(1)14f a '=-. 又(1)0f =，所以，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(14)(1)y a x =--. …………3分 （Ⅱ）由(Ⅰ)得3()(4ln 14)f x x x a '=+-.因为4ln 14y x a =+-为增函数，所以当1x …时， 4ln 144ln11414x a a a +-+-=-…， ①当14a …时，()0f x '…，当且仅当14a =，且1x =时等号成立. 所以()f x 在[1,)+∞上为增函数.因此，当1x …时，()(1)0f x f =…. 所以，14a …满足题意． …………………………………6分 ②当14a >时，由3()(4ln 14)0f x x x a '=+-=，得1ln 4x a =-. 解得14e a x -=. 因为14a >，所以104a ->，所以104e e 1.a ->= 当14(1,e )a x -∈时，()0f x '<，因此()f x 在14(1,e)a -上为减函数. 所以当14(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是1(,]4-∞．……………………………………9分 （Ⅲ）由3()(4ln 14)0f x x x a '=+-=，得1ln 4x a =-，14e a x -=. 当14(0,e)a x -∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当14(e ,)a x -∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()f x 的极小值14()(e)a a f ϕ-=411e 4a a -=-． ………………………………10分 由()a ϕ'=411e 0a --=，得14a =． 当1(0,)4a ∈时，()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数； 当1(,)4a ∈+∞时，()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数， 所以0)41()=<ϕϕa （． …………………………………11分 而114141()(e e )4a a a ϕ----114141411e (e e )44a a a a ---=---1141e 4a a -=-． 下证：0a >时，1141e 04a a --…． 1141e 04a a --…⇔1144e a a -…⇔1ln(4)14a a -…⇔1ln(4)104a a +-…．………………12分 令1()ln(4)14r a a a =+-，则221141()44a r a a a a-'=-=. 当1(0,)4a ∈时，()0r a '<，()r a 为减函数； 当1(,)4a ∈+∞时，()0r a '>,()r a 为增函数， 所以1()()=04r a r …，即1ln(4)104a a +-…．所以1141e 04a a --…，即114141()(e e )0.4a a a ϕ----…所以114141()(e e ).4a a a ϕ---… 综上所述，要证的不等式成立． ……………………………………………14分。
【精准解析】天津市六校2020届高三上学期期初检测数学试题+Word版含解析
可得 a 4, c 6 ，
由余弦定理可得： b2 a2 c2 2ac cosB 16 36 2 6 4 ( 1) 64 ，得 b 8 ，
4
由正弦定理 a b ，可得： sin A 15 ,cos A 7 ．
sin A sin B
8
8
所以 cos 2 A 2cos2 A 1 17 ， sin 2 A 2sin Acos A 7 15 ，
3.已知
a
ln
，b
lg125
，
c
1 e
0.3
，则
a
，b
，
c
的大小关系是（
）
A. a b c
B. b a c
C. c a b
D. 以上选项都不对
【答案】B
【解析】
只要坚持 梦想终会实现
-1-
高中学习讲义
【分析】
利用指数对数函数的图像和性质确定 a, b, c 的范围即得它们的大小关系.
【详解】由题得
x甲
=
18+26+28+28+31+33 6
=
82 3
，
只要坚持 梦想终会实现
-2-
高中学习讲义
x乙
=
12+18+19+25+26+32 6
=22
，
所以 x甲 x乙 .
从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，
所以要派甲参加.
故选：B
【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和
A. x R ， 2x2 3x
B. x R ， 2x2 3x
C. x R ， 2x2 3x
天津市六校2020学年度高三数学文科联考试卷
天津市六校2020学年度高三年级联考数学试题（文科）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，共10个小题，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数)1)(1ln()(>-=x x x f 的反函数是（ ） A ．)(1)(1R x e x f x ∈+=- B ．)(110)(1R x x f x ∈+=-C ．)1(110)(1>+=-x x fxD ．)1(1)(1>+=-x e x fx2．已知条件265:,2|1:|x x q x p >->+条件，则q p ⌝⌝是的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．设α是三角形的一个内角，且,51cos sin =+αα则方程1cos sin 22=-ααy x 表示（ ）A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆4．设x x f x x f x a x f x =⎩⎨⎧>-≤-=-)(,0),1(0,2)(若有且只有两个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．)2,1[C ．),1[+∞D ．]1,(-∞5．m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （ ）（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m I （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβαI I （3）αγβγαβα⊥=⊥⊥m m 则,,,I（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）6．若多项式=+++++++=+910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则Λ（ ）A ．9B ．10C ．－9D ．－107．若函数)(,0)(21,0)1,0)(2(log )(2x f x f a a x x x f a 则内恒有在区间>⎪⎭⎫ ⎝⎛≠>+=的单调递增区间是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-41, B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41 C ．()+∞,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,8．如果直线N M my kx y x kx y ,04122交于与圆=-++++=两点，且M 、N 两点关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 所表示的平面区域的面积是（ ）A ．41 B ．21 C ．1 D ．29．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且21PF PF ⋅的最大取值范围是,],3,[2222b a c c c -=其中则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2110．设)(),(22222)(1031074n f N n n f n 则∈+++++=+Λ等于（ ）A ．)18(72-nB ．)18(721-+n C ．)18(723-+n D ．)18(724-+n第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分）11．已知抛物线方程为,2ax y =则其准线方程为 . 12．向量θ夹角与则满足,6||,2||,=-=+的最小值为 .13．点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB的中点，△ABC 、△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB ，则△ABC 的边长为 . 14．设3log log 2log ,10=-+<<y a x y x a x x a 满足和，如果y 有最大值,42则此时a = ，x = .15．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689），则五位“渐升数”共有 个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为 . 16．函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且只有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共76分）17．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积为2,32=⋅- （1）求A tan 的值；（2）求)4cos(12cos 2sin 22sin 22A AA A --+π的值. 18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二等奖；摸出两个红球获得一等奖。
天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析) (3)
高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共9小题）1.设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2S =，{}2,3T =，则()US T 等于（ ）A. {}2B. {}3C. {}4D. {}2,3,4【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合()US T .【详解】由题意可得{}3,4US =，因此，(){}3U S T =.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-考点：全称命题与特称命题3.下列函数中是偶函数，且在0∞+（，）上单调递增的是 （）A. 3y x = B. 2y lgx =-C. 2xy = D. y =【答案】D 【解析】 【分析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可.【详解】.A 函数为奇函数,不满足条件．B .函数的定义域为{|0}x x ≠,函数为偶函数,当0x >时,22y lgx lgx =-=-为减函数,不满足条件．C .2x y =为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．D .令()f x =定义域为R ，()()f x f x -===，该函数为偶函数，当0x >时，y =,满足条件,故选：D ．【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.4.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“3542S S S +>”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据前n 项和n S 与通项之间的关系化简判断即可. 【详解】等差数列{}n a 的公差为d ,3542S S S +>,345344S S a S a S ∴++>++,540a a d ∴-=>则“0d >”是“3542S S S +>”的充要条件, 故选：C ．【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和n S 的关系与充分必要条件的判断,属于基础题型.5.设0.231012143a b og c lg =-==，，，则a ，b ，c 的大小关系是 （） A. a c b <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】判断每个数的大致范围再分析即可. 【详解】0.20221,0a >=∴<,331031,13log log b >=∴>, 1410,01lg lg lg c <<∴<<,a cb ∴<<,故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.6.过点A （-1，0），斜率为k 的直线，被圆（x-1）2+y 2=4截得的弦长为23，则k 的值为（ ）A. 3±B.3 C. 3± D. 3【答案】A 【解析】试题分析：设直线为,根据弦长公式,可得：,,解得：,故选A.考点：直线与圆的位置关系 7.函数ππ30966x xy sin cos x =≤≤（）的最大值与最小值之和为 （）A. 13--B. 1-C. 0D. 23-【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式合一变形,再分析 【详解】函数1332662626xxx xy sincossin cos ππππ==-（）263x sin ππ=-（）,由09x ≤≤,得73636x ππππ-≤-≤,所以163x sin ππ≤-≤（）, 所以y的最大值为2,最小值为所以y 的最大值与最小值之和为2-． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了辅助角公式应用以及三角函数范围的问题,属于中等题型.8.已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A. 2 B. 1:2C. 1:D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0），∴直线FA 为：x +2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FP FN∴==， :FM MN =9.四边形ABCD 中，129090BC AC ABC ADC ∠∠====，，，，则AC BD ⋅的取值范围是（ ）A. []13-，B. 31--（，）C. ()31-， D.33⎡⎤-⎣⎦， 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分析数量积的取值范围即可.【详解】画出图象,因为90,90ABC ADC ∠∠=︒=︒,故,,,A B C D 四点共圆.又1,2BC AC ==,易得3,60,30AB ACB CAB =∠=︒∠=︒.AC BD ⋅()32332AC BA AD AC BA AC AD AC AD AC AD ⎛⎫=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯-+⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.易得当D 在A 时3AC AD -+⋅取最小值3-,当D 在C 时3AC AD -+⋅取最大值2321-+=.故AC BD ⋅的取值范围是()31-，.故选：C【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析D 的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型. 二、填空题（本大题共6小题） 10.复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 【答案】i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - .11.曲线21xy x =-在点（1，1）处的切线方程为 . 【答案】20x y +-= 【解析】()()2221212121x x y x x --⋅-=--'=，故切线方程的斜率()211211k -==-⨯-又()111211f ==⨯- ，故曲线21x y x =-在点处的切线方程为()111y x -=--整理得20x y +-= 即答案为20x y +-=12.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，2AB =，则此球的表面积等于______． 【答案】17π 【解析】 【分析】根据该四棱锥内嵌于长方体中,计算长方体体对角线再算外接球表面积即可. 【详解】因为四边形ABCD 是正方形,且PA ⊥平面ABCD , 所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中,因为棱锥体积212433V h h =⨯⨯=⇒=. 则该长方体的长、宽、高分别为2、2、3, 它们的外接球是同一个,设外接球直径为D ,所以222222317D =++=,所以表面积为22417S R D πππ===． 故答案为：17π【点睛】本题主要考查了四棱锥外接球表面积的计算,其中外接球直径为内嵌长方体的体对角线,属于中等题型.13.设双曲线经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 . 【答案】；【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.14.已知正数x ，y 满足23x y xy+=，则当x ______时，x y +的最小值是______． 【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】 【分析】将x y +化简成只关于y 的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x ,y 满足23x y xy +=, 2031y x y ∴=>-,可得13y >,2243131y y y x y y y y -∴+=+=--,令31t y =-则13ty +=且0t >, 22114451111133455241999t t t t x y t t t t t t++⎛⎫- ⎪++⎝⎭+===++≥+⋅=（）（）, 当且仅当14t t =即12t =,此时12x y ==取最小值1,故答案为：1(1)2(2)1【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型. 15.对于实数a和b，定义运算“*”：33*a ab a ba bb b a a b⎧-≤=⎨->⎩（），（），，设21*1f x x x=--（）（）（），若函数2g x f x mx m R=-∈（）（）（）恰有三个零点123x x x，，，则m的取值范围是______；123x x x的取值范围是______．【答案】 (1).14（，） (2).13-（，）【解析】【分析】分析21x-与1x-的大小关系,再化简2f x mx-（）画图分析求解即可.【详解】当211x x-≤-时,即30,21x f x x x≤=-（）（）,当211x x->-时,即30,1x f x x x>=--（）（）,所以3321,01,0x x xf xx x x⎧-≤=⎨-->⎩（）（）（）,因为g x（）有三个零点,所以f x（）与2y mx=的图象有三个交点,即21,010x x xk xx x x-≤⎧=⎨-->⎩（）（）（）与函数y m=有三个交点,作出k x（）的图象,如图,其中0x>时，函数()k x最大值为111(1)224--⨯=.所以14m<<,不妨设123x x x<<,易知2x>,且231x x+=,所以22323124x xx x+<<=（）由12140x x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩（）解得x =,所以1104x <<1230x x x <<． 且当m 无限接近14时123x x x当m 无限接近0时123x x x 趋近于0. 故答案为：10,4（）；.） 【点睛】本题主要考查了函数新定义的理解以及数形结合求解零点取值范围的问题等.需要根据题意分析123x x x 随m 的变化情况,属于中等题型. 三、解答题（本大题共5小题）16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且113b c cosA ABC -==，，的面积为（Ⅰ）求a 及sinC 的值； （Ⅱ）求π26cos A -（）的值． 【答案】（Ⅰ）3a =， 9sinC =（Ⅱ 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A 与2cos A ,再根据余弦的差角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且11,,33b c cosA sinA -==∴==ABC的面积为16,3,22233bc bc sinA bc b c ⋅=⋅===∴==, 3a ∴===．再根据正弦定理可得a c sinA sinC=,即242,9223sinCsinC=∴=．（Ⅱ22142222,339sin A sinAcosA∴==⨯⨯=）272219cos A cos A=-=-,故734214273 222666992cos A cos Acos sin Asinπππ--=+=-⋅+⋅=（）．【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，已知直三棱柱111ABC A B C-的底面是直角三角形，1190223ACB AA AB BC DC CD∠=︒====，，．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1A BD；（Ⅱ）求二面角1A BD A--的余弦值；（Ⅲ）求点1B到平面1A BD的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ6）（Ⅲ2）【解析】【分析】(Ⅰ)根据直三棱柱中90ACB∠=︒可以C为坐标原点建立空间直角坐标系,求解平面1A BD 的法向量m并证明1//AB m即可.(Ⅱ)分别求解ABD的一个法向量与平面1A BD的一个法向量,利用二面角的向量公式求解即可.(Ⅲ)根据线面垂直的关系可得点1B 到平面1A BD 的距离为112AB ,再求解即可. 【详解】依题意,以C 为原点,CB 为x 轴,1CC 为y 轴,CA 为z 轴,建立空间直角坐标系,则1110,0,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,3,3C B C B A A （）（）（）（）（）（）, 13DC CD =，10,,02D∴（）, （Ⅰ）证明：1111,2,3,1,2,3,1,,02AB A B BD =-=--=-（）（）（）, 设平面1A BD 的一个法向量为,,m x y z =（）,则123012m A B x y z m BD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3z =则1,3m =--（）, 1AB m ∴=-,即1//AB m ,1AB ∴⊥平面1A BD ；（Ⅱ11,0,3,1,,02AB BD =-=-）（）（）, 设平面ABD 的一个法向量为,,n a b c =（）,则3012n AB a c n BD a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3c =,则3,6,3n =（）, 又平面1A BD 的一个法向量为1,3m =--（）,,14m n cos m n m n ⋅∴<>==+⋅,即二面角1A BD A --的余弦值为4（Ⅲ）设点1B 到平面1A BD 的距离为d ,则易知112B d A =,而11AB =+=∴点1B 到平面1A BD ．【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明空间中的垂直问题以及二面角的计算方法等.需要根据题意找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再利用对应的公式求解即可.属于中等题型.18.已知椭圆C 的一个顶点为01A -（，），焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ．i （）当00k m >≠，时，射线OE 交直线3x =-于点3D n O -（，）（为坐标原点），求22k n +的最小值；ii （）当0k ≠，且AM AN =时，求m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）（i ）2；（ii ）()0,2.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用点到线的距离公式与222a b c =+求解即可.（Ⅱ）i （）联立直线与椭圆的方程,求出关于两点M ,N 的二次方程与韦达定理,继而得出点E 的坐标,再化简求得22n k +的解析式,利用,n k 的关系换元求最值即可.ii （）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,再表达出斜率的关系式化简利用,n k 的关系求m 的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）,设椭圆的右焦点,0,0c c >（）,由题意得：2221,3b a b c ===+,解得：223,1a b ==,所以椭圆的方程：2213x y +=；（Ⅱ）（i ）设()11,M x y ,()22,N x y ,将直线与椭圆联立整理得：2222222136330,36413330k x kmx m k m k m +++-==-+->（）（）（）,即2213m k <+,且122631km x x k +=-+，()121222231my y k x x m k ∴+=++=+, 所以MN 的中点223,1313km m E k k -++（）, 所以射线OE ：13y x k =-,与直线3x =-的交点13,k -（）,所以1n k =, 所以222212n k k k+=+≥,当且仅当21,0k k =>,所以1k =时22n k +有最小值2．（ii ）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,所以1AE MNk k =-,即22221113,213,2313mk m k m m km kk++=-∴=+∴>-+,解得02m <<, 所以m 取值范围,2（0）．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,需要联立方程求韦达定理,进而表达出对应的关系式化简求解即可.属于难题.19.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且122538433a b a b a b a ===+=，，，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令23nn a c log =，证明：233411111*2n n n N n c c c c c c +++⋯+<∈≥（，）；（Ⅲ）求1*ni n N =∈）． 【答案】（Ⅰ132n n a -=⋅）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ323223nn +-⋅） 【解析】 【分析】(Ⅰ) 设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,再利用基本量法根据题意求解对应的公比公差即可.(Ⅱ)先求得n c ,再利用裂项相消求和证明即可. (Ⅲ)代入n b ,再利用错位相减求解即可.【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,由12253843,,3,a b a b a b a ===+=,可得231113,433,73b d q b d q b d q +=+=++=,解得12,3,3q d b ===,则132,3313n n n a b n n -=⋅=+-=（）； （Ⅱ）证明：122213n nn a c log log n -===-, 23341111111111111111122312231n n c c c c c c n n n n n+++⋯+=++⋯+=-+-+⋯+-=-<⨯⨯--； （Ⅲ）23n n==,可设1246239273nn n i nT ===+++⋯+, 1124623927813n n nT +=+++⋯+, 相减可得12222223392733n n n n T +=+++⋯+-11111223332113313n n n n n ++-+=⋅-=--（）,化简可得1323223nn i n =+=-⋅．【点睛】本题主要考查了等比、等差数列的综合运用,需要根据题意列式求解对应的基本量,同时也考查了裂项相消以及错位相减等求和方法.属于中等题型.20.已知函数f x lnx ax a R =-∈（）（）． （Ⅰ）讨论f x （）的单调性； （Ⅱ）若2f x x ≤（）对0x ∞∈+（，）恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1a =时，设1f x g x xe x e -=--（）（）（为自然对数的底.）若正实数12λλ，满足12121210x x x x λλ∞+=∈+≠，，（，）（），证明：11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（） 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ[1∞-+），）（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后讨论a 的取值范围进行分析即可 （Ⅱ）参变量分离后有lnxa x x≥-恒成立,再设函数求导分析最大值即可. （Ⅲ）先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）,利用导数的几何意义列构造函数,代入所证明的表达式中的自变量化简分析即可. 【详解】（Ⅰ）函数的定义域为{}10,'x x f x a x=-（）, ①当0a ≤时,'0f x >（）,函数f x （）在0,∞（+）上单调递增； ②当0a >时,令'0f x >（）解得10x a <<,令'0f x <（）解得1x a>,故此时函数f x （）在10,a （）上单调递增,在1,a∞+（）上单调递减；（Ⅱ2f x x ≤）（）对0,x ∈+∞（）恒成立,即为对任意的0,x ∈+∞（）,都有lnxa x x≥-, 设0lnx F x x x x =->（）（）,则22211'1lnx lnx x F x x x ---=-=（）,令210G x lnx x x =-->（）（）,则1'20G x x x =--<（）, G x ∴（）在0,∞（+）上单调递减,且10G =（）,∴当0,1x ∈（）时,0,'0,G x F x F x >>（）（）（）单调递增；当1,,0,'0,x G x F x F x ∞∈+<<（）（）（）（）单调递减,11max F x F∴==-（）（）, ∴实数a 的取值范围为[1,-+∞）．（Ⅲ）证明：当1a =时,111,'100lnx x x lnx x x g x xe x xe x e x g x e x ---=--=--=--=->>（）（）（）（）,不妨设120x x <<,下先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 构造函数211121g x g x Hx g x g x x x x x -=----（）（）（）（）（）（）,显然12H x H x =（）（）,且2121''g x g x H x g x x x -=--（）（）（）（）,则由导数的几何意义可知,存在12,x x ξ∈（）,使得2121''0g x g x H g x x ξξ-=-=-（）（）（）（）,即存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 又'1xg x e =-（）为增函数, 2121121''g x g x g x x g x x x ξ∴-=->-（）（）（）（）（）（）,即21121'g x g x g x x x >+-（）（）（）（）,设31122121x x x λλλλ=++=（）,则1311222322111,1x x x x x x x x λλλλ-=---=--（）（）, []133********''1g x g x g x x x g x g x x x λλ∴>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）①, []23323332211''1g x g x g x x x g x g x x x λλ>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）②,由12λλ⨯+⨯①②得,112231122g x g x g x g x x λλλλ+>=+（）（）（）（）, 即11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（） 【点睛】本题主要考查了导数单调性的分情况讨论以及利用导数分析最值与恒成立的问题等,需要构造函数,代入所给的自变量进行分析证明,属于难题.。
天津市部分区2020-2021学年高三上学期期末数学试题附答案
天津市部分区2020~2021学年度第一学期期末练习高三数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．圆锥的侧面积公式S rl π=，其中r 表示圆锥底面圆的半径，l 表示圆锥的母线长． 圆锥的体积公式213V r h π=，其中r 表示圆锥底面圆的半径，h 表示圆锥的高． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{1,2,3,4}U =，且{4}UA =，则集合A 的子集共有（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个2．设i 是虚数单位，若复数z 满足(2)z i i -=，则z =（ ）A ．1B ．1+C ．13i -D ．13i +3．已知sin()4πα-=，则cos 2α=（ ） A ．78 B ．78-C ．34D ．34-4．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3421S a =+，2321S a =+，则1a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．随着人口红利的消失和智能制造趋势的演进，工业机器人逐渐成为企业提高产品质量、向智能化转型升级的核心力量．经过多年的发展，我国的工业机器人产业已经达到了定的规模，不仅在焊接、装配、搬运、冲压、喷涂等专业领域涌现出大量的机器人产品，同时机器人关键零部件方面也已经接近或达到了世界领先水平．下图是“中投产业研究院”发布的《2020-2024年中国机器人产业投资分析及前景预测报告》中关于2019年全国工业机器人产量数据的统计图数据来源：国家统计局|，根据统计图分析，以下结论不正确．．．的是（ ）A ．2019年3~12月，全国工业机器人本月同比增长最低的是8月份，最高的是12月份B ．2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长均在0%以下C ．2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是4月份D ．2019年3~12月，全国工业机器人在12月份同比增长超过15% 6．“22log log a b >”是“11a b<”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0x >，0y >，且21x y +=，则12y x y y++（ ）A ．有最大值为73B 12C ．有最小值为2D ．无最小值8．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，M 为双曲线左支上一点，且满足1122MF F F =，若125cos 16MF F ∠=-，则该双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D ．929．已知函数2e ()||x f x x =（e 为自然对数的底数），关于x 的方程2[()]2()20f x af x a -+-=()a R ∈恰有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．2e ,2e 1⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭D ．24e 2,4e 1⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．在52x ⎛ ⎝的展开式中，x 的系数是________．（用数字作答）11．已知直线50x y ++=与圆22420x y x y m ++-+=相交于A ，B 两点，若||2AB =，则实数m =________．12．从11至14世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为________．13．将函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，所得函数的部分图象如图所示，则()f x =________．14．在平行四边形A BCD 中，1AD =，3BAD π∠=，点EF 在CD 上且满足13DE DC =，23DF DC =，若M 为AB 的中点，且1AF ME ⋅=，则AB 的长为________．15．如图，在圆锥SO中，SO =，ABC 是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P为SO 上一点，且90APC ∠=︒，则圆锥SO 的体积为________，三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为________．三、解答题：本大题共5小题共75分解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC 中，已知2sin sin sin 6B C A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求角B 的大小；（2）若4AB =，ABCsin 2A 的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱锥D-ABC 中，已知2AB AD ==，1AC =，CD =BD =，90BAC ∠=︒，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点．（1）求证：AD BC ⊥；（2）求直线BD 与平面DEF 所成角的余弦值； （3）求平面DEF 与平面DAC 所成二面角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*31n n S a n =-∈N ．（1）求{}n a 的通项公式； （2）对任意的正整数n ，设221log n n b n a +=-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点且离心率为3．设P 为圆223x y +=上任意一点，过点P 作该圆的切线交椭圆于E ，F 两点．（1）求椭圆的方程；（2）试判断PE PF ⋅是否为定值？若为定值，则求出该定值；否则，请说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数()ln esin xf x a x a x -=⋅+，e 是自然对数的底数，若0a >，且0x =恰为()f x 的极值点.（1）证明：112a <<； （2）求()f x 在区间(,)π-∞上零点的个数．天津市部分区2020～2021学年度第一学期期末练习高三数学参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共9个小题，每小题5分，共45分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）10．10 11．4- 12．710 13．2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 14．94 15．3；92π 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分） 16．解：（1）在ABC 中，2sin sin sin 6B C A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin sin cos sin()B C B C B C +=+．sin sin cos sin cos cos sin B C B C B C B C +=+，sin cos sin B C B C =．又sin 0C ≠，所以tan B =，又0B π<<，所以6B π=．（2）设BC t =．由题意及（1）得，14sin 26ABCSt π=⨯=解得t =BC =． 在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅⋅2242476π=+-⨯=所以AC =．由正弦定理，得sin sin AC BCB A=，所以1sin sin 6214BC A AC π=⋅==．因为AC BC =>=，所以B A ∠>∠，所以06A π<∠<．所以cos 14A ===，所以sin 22sin cos 2A A A ===．17．（1）证明：在ABD 中，2AB AD ==，BD =，所以222BD AB AD =+，所以AD AB⊥．在ACD 中，因为1AC =，2AD =，CD = 所以222CD AC AD =+，所以.AD AC ⊥ 因为AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，且AB AC A =，所以AD ⊥平面ABC ．又因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥．（2）解：由（1）知，AD AB ⊥，AD AC ⊥，又90BAC ∠=︒，以点A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,0,0)C ，(0,0,2)D ，因为E ，F 分别为AB ，CB 的中点，所以(0,1,0)E ，1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 所以(0,1,2)DE =-，1,1,22DF ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(0,2,2)DB =-， 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则有00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即201202y z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z =，得2y =，0x =，所以(0,2,1)n =． 设直线BD 与平面DEF 所成角为θ．因为0422DB n ⋅=+-=，||22DB =||5n =，所以2sin ||||22BD n BD n θ⋅===⋅⨯．因为02πθ<<，所以cos 10θ==． 即所求直线BD 与平面DEF 所成角的余弦值为10． （3）解：由（1）知，AB ⊥平面DAC ，所以平面DAC 的一个法向量为(0,2,0)AB =． 因为4n AB ⋅=，||2AB =，所以cos ,||||5n AB n AB n AB ⋅〈〉===⋅设平面DEF 与平面DAC 所成的二面角为φ，因为0φπ<<．所以5sin 5φ==故所求平面DEF 与平面DAC 所成的二面角的正弦值为5． 18．解：（1）由题意，知31n n S a =-，*N n ∈，①令1n =得，1131S a =-， 因为11S a =，所以112a =-． 当2n ≥时，1131n n S a --=-，②所以-①②，得()()113311n n n n S S a a ---=---， 即13n n n a a a -=-，所以11(2)2n n a n a -=-≥． 所以数列{}n a 是首项为12-，以12-为公比的等比数列， 所以12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）得12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以2211111log (2)22n n b n a n n n n +⎛⎫=-==- ⎪++⎝⎭．所以111111111112132435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． 因为*N n ∈，所以1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭，所以34n T <． 19．解：（1）由题可得222223621c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=+⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 所以椭圆的方程为221124x y +=． （2）①当过点P 且与圆223x y +=相切的切线斜率不存在时，由对称性，不妨设切线方程为x =则P，E，F ，所以3PE PF ⋅=-． ②当过点P 且与圆223x y +=相切的切线斜率存在时， 不妨设切线的方程为y kx m =+， 设点()11,E x y ，()22,F x y ，()00,P x y ． 将直线方程与圆的方程联立并整理， 得()2221230kxkmx m +++-=，由直线与圆相切易得()2231m k =+，021kmxk =-+， 联立直线和椭圆的方程并整理， 得()2221363120kxkmx m +++-=，则()()2222364133120k m km∆=-+->，所以21212226312,1313km m x x x x k k -+=-=++．所以()()10102020,,PE PF x x y y x x y y ⋅=--⋅--()()()()10201020x x x x y y y y =--+--()()()210201k x x x x =+--()()221201201k x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()222222263121113131km km m km k k kk k ⎡⎤⎛⎫⋅- ⎪⎢⎥-+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2293313k k--==-+． 综上可知，PE PF ⋅为定值3-．20．解:（1）由题意，得()ln (1)ecos xf x a x a x -'=⋅-+．因为0x =为函数()f x 的极值点， 所以(0)ln 0f a a '=+=．令()ln (0)g x x x x =+>，显然a 是()g x 的零点．则1()10g x x'=+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 因为(1)0g >，111ln 0222g ⎛⎫=+=<⎪⎝⎭， 所以()ln (0)g x x x x =+>在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点a ， 所以112a <<． （2）由（1）知，()ln ,()sin exa a f x a x x -=-=-，()cos (1)e xf x a x x -⎡⎤=--⎣'⎦． ①当(,0)x ∈-∞时，由0a >，1cos 1x -≤≤，11x ->，e 1x->得，()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，()(0)0f x f >=，所以()f x 在区间(,0)-∞上不存在零点．②当(0,)x π∈时，设()cos (1)e x h x x x -=--，则()(2)e sin x h x x x --'=-， （ⅰ）若0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()(2)esin x m x x x -=--， 则()(3)ecos 0x m x x x -=-'-<， 所以()m x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． 因为(0)20m =>，22e 1022m πππ-⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()0m α=． 当(0,)x α∈时，()()0m x h x '=>，()h x 在(0,)α上单调递增； 当,2x πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()0m x h x '=<，()h x 在,2πα⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． （ⅱ）若,22x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()(2)e x x x ϕ-=-，,22x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则()(3)e0x x x ϕ-=-<'， 所以()x ϕ在区间,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 所以21()2e 22e x πππϕϕ-⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 又因为1sin sin 2sin(2)sin 62x ππ≥=->=， 所以()(2)e sin 0x h x x x -=-'-<，()h x 在,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． （ⅲ）若(2,)x π∈，则()(2)e sin 0x h x x x -=-'-<，()h x 在(2,)π上单调递减．由（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）得，()h x 在(0,)α上单调递增，()h x 在(2,)π单调递减．因为()(0)0h h α>=，()(1)e10h πππ-=--<，所以存在(,)βαπ∈使得()0h β=， 所以，当(0,)x β∈时，()()0f x h x '=>，()f x 在(0,)β上单调递增， 所以()(0)0f x f >=；当(,)x βπ∈时，()()0f x h x '=<，()f x 在(,)βπ上单调递减， 因为()(0)0f f β>=，()0f π<，所以()f x 在区间(,)βπ上有且只有一个零点，综上，()f x 在区间(,)π-∞上的零点个数为2．。
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题(解析版)(20200612185555)
础题•3 .设 x R ，则 “x 2 2x 0 ”是“ x 2 ”的（）A .充分不必要条件B .充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题、单选题8}，则 A (C u B)(【答案】B【解析】先求出C u B 再与A 取交集，即可得到答案 【详解】因为 C u B {235,6} , A {2, 3, 4, 6}, 所以 A (C u B) {2,3,6 }. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题【答案】【详解】抛物线y 2 4X 的准线方程为X 即X 1，故选A . 【点睛】【答案】A1 .设全集 U { 1,2 , 3,4, 5, 6, 7, 8}，集合 A {2, 3,4, 6}， B { 1，4, 7,A . {4}B. {2, 3, 6}C. { 2, 3, 7}D. { 2, 3, 4, 7}2 .抛物线y 2 4x 的准线方程为（A . XB . y 1C. X 1D.【解析】利用 2 px 的准线方程为2，能求出抛物线4x 的准线方程•2Q y 4x, 2p4, p 2 ,本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质, 意在考查对基础知识的掌握与应用， 是基【解析】分别解两个不等式得到集合A, B，再利用集合间的关系，即可得到答案【详解】解不等式x22x 0得；A {x| 0x2},解不等式x 1 2 得：B {x| 1x3},因为A是B的真子集，所以“ x22x 0 ”是“|x 1 2 ”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了•4•直线x y 1 0与圆x2(y 1)24相交于A、B，则弦AB的长度为( ) A. . 2 B. 2\ 2 C. 2 D. 4【答案】B【解析】先求圆心到直线的距离d，再利用弦长公式，即可求得答案.【详解】圆心到直线的距离d |0 1 11、、2 ,V2所以|AB| 2.r2 d22、、厂2 2 2.故选：B.【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.5.已知数列｛a n｝中，a1 1 , 2a n 1 a.(n N*)，记｛a.｝的前n项和为S n ,则( )A. S n 2a n 1B. S n 1 2a nC. S n a n 2D. S n 2务【答案】D【解析】根据递推关系求得等比数列｛a n｝的通项公式，再求出前n项和为S n，化简可得S n 2 a n .【详解】故选：D. 【点睛】简找到S n 与a n 的关系.根据题意得f(x)在区间(1,)上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得C ,从而利用函数的单调性可得答案【详解】 因为偶函数f(x)在区间(，1)上单调递增,1 c log 1 -25故选：A.【点睛】本题考查对数函数的图象与性质、 函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和f (a), f(b), f (c)的大小关系为( )f(a) f(b) f (c) B . f(b)f (c) f(a) f(c)f (b)f (a)D. f (a)f (c)f(b)则 A .C.A Q 2a n 1 a n (n N ),an 11云2，数列｛a n ｝是以1为首项, a n G )n 12S n1 —为公比的等比数列,21更1丄22“ 12 an .本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查基本量运算,求解时要注意通过化已知偶函数f(x)在区间(，1)上单调递增,In3，b log ?1 ,c 砸订，325【答案】所以 f (x)在区间(1, )上单调递减.因为 Iog 3e log 3 2 log 3 elog 3 2ln3 log 2 3，即 1 a b 2 ,【解析】因为 所以所以 f (a) f(b)f (c).逻辑推理能力7•将函数f（x） sin2x的图象向右平移—个单位长度后得到函数g（x）的图象，则下6列说法正确的是（）1A. g（—） 2 B・g（x）的最小正周期是45c. g（x）在区间［0 ,］上单调递增 D. g（x）在区间［—,—］上单调递减3 3 6【答案】C【解析】根据函数的平移变换求出g（x）的解析式，再一一对照选项验证是否成立【详解】函数f （x） sin2x的图象向右平移个单位长度得:6g(x) S^x 3).对A，g(—) sin(2 -）3，故A错误;3 2对B,最小正周期为，故B错误;对C,当0 x -3正确；3 2x 3 3，因为（甌）是（?，2）的子区间，故C对D,当x —3 6 误；4 4 33 2x 3 IT，（SE）不是口三）的子区间，故D错故选：C.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质,能力•考查数形结合思想和运算求解2 28.已知双曲线C : - J2 ,2a b1（a 0 , b 0）的右焦点为F（、6 , 0），点P在C的一条渐近线上，若PO PF（O是原点），且POF的面积为铉，则C的方程是4( )2 222O 22A. X y1B.x' 1C. x_ y_ 1D. — y214 224 3 35【解析】根据三角形的面积及PO PF，求出点p的坐标，再利用点P的坐标求渐【答案】A近线的斜率，从而得到 b的值，再观察选项，即可得到答案a【详解】因为 POF 的面积为 L2，设点P 在第一象限,4所以 1；6y p 342 y 今， 2 42所以b -I -1 -1，只有选项A 符合.a 222故选：A.【点睛】 本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求K解能力，求解时只要得到 一的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量aln(x 2) 2x3 9.已知函数f(x)2,若关于x 的方程f(x) kx 恰有三个x 2 15x 36 x 3互不相同的实数解，则实数 k 的取值范围是() A . [3 , 12] B. (3, 12)C. (0,12)D. (0 , 3)【答案】D【解析】 画出函数f(x)的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题,【详解】因为|P0PF ，所以点P 的横坐标等于西，2求出直线与抛 物线相切时的临界值，再结合图象得到k 的取值范围.15x 236 得：x (k 15)x 36函数f(x)的图象如图所示:2当直线y kx与抛物线相切时，(k 15) 144 0 k 3或k 27,由于方程f(x) kx恰有三个互不相同的实数解，所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以0 k 3.故选：D.【点睛】本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解二、填空题10. i是虚数单位，若复数z满足(1 3i)z 4i，则z ______________ .【答案】6 2i5 56 2【解析】利用复数的除法运算，求得z i .5 5【详解】4i 4i(1 3i) 12 4i 6 2.z i.1 3i (1 3i)(1 3i) 10 5 5故答案为：6 2i .5 5【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题1 6 311 • (2x —)的展开式中含x3项的系数是____________ (用数字作答)•x【答案】192【解析】根据二项展开式得T r 1C6(2x)6 r( 2)r(r 0,1 L ,6)，进而得到r 1时x会出现x3项，再计算其系数•【详解】T r1 C6r (2x)6 r ( W)r C6 26 r ( 1)r x63r(r 0,1,L ,6),x当6 3r 3时，即r 1 ,所以T2 C；25( 1)x3192x3.故答案为：192.【点睛】 本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题 4 3a 0,b 0，且a 3b 1，则的最小值是a b【详解】等号成立当且仅当 故答案为：25. 【点睛】二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件13 .已知半径为2的球的球面上有 A 、B 、C 、D 不同的四点,等边三角形，且 DO 平面ABC （O 为球心，D 与0在平面ABC 的同一侧），则三棱 锥D ABC 的体积为 _________ . 9 3 4作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到如图所示，点E 为ABC 的中心，则BE — AC 2 乙,2 30B 2，所以 OE OB 2 BE 2/T~3 1，11 12 39.3所以 V S ABC DE（一3 ） 3 .33 22 4故答案为：1J.412 .已知【答案】 25【解析】利用1的代换，将求式子 3的最小值等价于求（上3）（a 3b ）的最小值,ba b再利用基本不等式, 即可求得最小值3b ）（a 3b ）12b 3a 13 2 12b 3a a b25 ,本题考查1的代换和基本不等式求最值,考查转化与化归思想的运用, 求解时注意一正、ABC 是边长为3的【答案】 【解析】 答案•本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力, 确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键14 •设｛a n ｝是等差数列，若a 5 9 , a 2 a ? 16，则a .【解析】利用等差数列通项公式求得 a 1,d ，进而求得a n ；求出b n【详解】运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写、.2o15 .设点M 、N 、P 、Q 为圆x y【点睛】 因为b n(2n 1)(2n 1) 12n 1 2n 11，所以b1 11, b 21 1 1 , L ,b n1 33 52n 112n 2 3n 所以Sn1n2n 12n 1故答案为:2n 1;2n 23n2n 1缶1,2b na n a n 11(n N )，则数列｛b n ｝的前n 项和S n 【答案】2n2n 2 3n 2n 1;若再利用分组求和法及裂项相消法求 S n . 12n 1由题意得:a 1 4d 9, 2a 7d 16,2, 1,a n2n 1.本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和, 考查方程思想的2r (r 0)上四个互不相同的点，若【答案】、、2 uuu得|PQ |的值.【详解】弦定理证得2b a c ，从而证明结论成立; （2）利用余弦定理 a 2 b 2+ab 49,再由（1） auuir uuuruu u rMP PN 0，且(PM LUU T PN )uu u uuurPQ 2，则 PQ … ,uuur 【解析】根据MP UUUT PN0得到 MN 过圆的圆心0 , 再利用向量的加法法则得uuuu uuur uuuPM PN 2P0 ，由向量数量积的几何意义得到等式 uuu | PO | cos1 uuu 2|PQ|，最后求 因为 uuur uuurMP PN 0，所以uuir MP uuur PN，所以 MN 过圆的圆心0,所以 uuuu uuur uuur 因为 uuur (PM PN) PQ 2P0 UU U PQuur 2| P0 | uuur | PQ | cos 2，uuu uuu ,PO 在PQ 向量方向上的投影为: unr | PO | cos1 unr 2|PQ|，代入上式得: uuu2 |PQ |2 1 2uuu PQ2.故答案为: 【点睛】本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、 数量积的几何意义等知识，考 查方程思想的运用， 求解时注意向量几何意义的灵活运用， 考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题16.在 ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2（si n AcosC cos Asi nC ） si nA sinC .⑴求证：a 、b 、c 成等差数列；2⑵若c7, C ，求b 和sin 2B 的值.3【答案】（1）证明见解析（2） b 5 , sin2B55 3 98【解析】（1 ）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到2sinB sin A sinC ，再利用正2b 7，联立求得b 的值；由正弦定理求得sin B ，再利用倍角公式求得 sin 2B 的值. 【详解】（1）因为 2 sin AcosC cosAsinC sin A sinC , 所以 2si n A Csi nA sinC .所以 2sin B sin A sinC .由正弦定理芒 - —，得2b a c .sin A sin B sinC 所以a,b,c 成等差数列.(2)在 ABC 中，c 7,C即 a 2 b 2+ab 49.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形, 解能力，求cosB 的值时，注意角 B 0,— 这一条件的应用.217 •每年的12月4日为我国“法制宣传日’.天津市某高中团委在 2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果， 现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全由于在 ABC 中，A+C =B ，所以 sin A Csin B ，由余弦定理，得72a 2b 22abcos —3，由（1）知 a 2b 7，所以2b 227b 2+ 2b7 b 49，解得 b 5.由正弦定理，得sinBbsi n 2-3 c5、3 . 142在ABC 中，因为于C=—，所以B3,2，所以cosB,1 sin 2B15勺 1411 14所以sin2B2sin BcosB 55L 398考查方程思想的运用和运算求部答对的学生将在全校给予表彰 ⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；⑶若被选取的10人中的某学生能答对 10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望•【答案】（1）高一年级应选取 4人，高二年级应选取 3人，高三年级应选取 3人.（2）3—（3 ）详见解析10【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；3（2）利用计算原理求得基本事件的总数为 C w ，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式;（3）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，利用超几何分计算 P X k（k 1.2.3.4 ），最后求得期望值• 【详解】（1） 由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4:3:3 ，由于采用分层抽样方法从中选取10人，因此，高一年级应选取 4人，高二年级应选取 3人，高三年级应选取 3 人. （2） 由（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有 4人、3人、3人， 所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为c 4 Q c 33 3・C 1010（3） 由题意知，随机变量 X 的所有可能取值为1,2,3,4，X1 2 3 41311P ————3010 2 6所以，随机变量X 的数学期望为且X 服从超几何分布,k 4 k C 7C3Cw(k 1,2,3,4 )k 4 C7 C3k1 丄2 —3 14 1 30 10 26【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考 查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型 18 •如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，P 、O 分别为AC 、AG 的中点,PA PC 1 2y[2 , AB 1 B 1C 1 PB 1 2/3 , AG 4. 线段PH 的长度.【详解】（1）在三角形PA|G 中，P AI P C 1且O 为AG 的中点,145⑴求证： PO 平面⑵求二面角B 1 PA 1 C 1的正弦值；uuuu ⑶已知H 为棱BiG 上的点，若B 1H【答案】（1）证明见解析（2）二5 1 uuuuB 1C 1，求线段PH 的长度. 3（3） 2 2【解析】（1）证明PO AG , PO OB 1，再根据AG I OB 1 O ，从而得到线面垂直的证明;（2）以点O 为坐标原点，分别以 OA 1,OB 1, 0岁的方向为x, y,z 轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值;（3）结合（2）中G 2,0,0 ，求得点H 2 442 uuur -, ------- ,0 ，再求PH 的值，从而求得 3 35)0在 Rt PAO 中，AO 2 A 1C i 2, PA 2.2 , PO 、 —2.连接 OB !，在 ABQ 中，A 1B 1=BC 1 2 3 , OB A® 所以 OBA iB l 2 AO 2 2伍.又 PB 1 2、、3，所以 PB ； PO 2 OB i 2，所以 PO OB i .② 又因为AiC 1 I OB 1 O ,③由①②③，得PO 平面A 1B 1C 1._ 一 一 uuu uuu unu(2)以点O 为坐标原点，分别以 OA 1,OB 1, OP 的方向为x, y,z 轴的正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系 O xyz ，则 O 0,0,0，A 2,0,0,B 1 0,2&,0 ,P 0,0,2，UUULT UULT 所以 AB 1二 2,2 .2,0 ,AP 二 2,0,2 T 设n x, y,z 为平面PAE 的法向量, v uuuv nAB 0, 则有 v uuu/ 即 n AP 0.2x 2&y 0, 2x 2z 0. 令x=1,得y 冬所以n z 1. 101, 2 ,1UULT 「易得，OB^ 0,2、、2,0且为平面PAG 的法向量, T UULT 所以ngOB 1Hi UUUT2 , n OB 1 2=5 ,tT uuuq 所以 cos ：；.n,OB1]TUULT ngOB t r U UU 1n OB 1故所求二面角B1PA C i的正弦值为2*5 ~5(3)由(2)知G 2,0,0 .设点Huuuu凶』1忆，则B1H X1, V1 2、2, Z1uuuu r uuuur 1 uujurB1G ,3又B1C12, 2、一2,0 ,B1H所以X1—1,V1 2、2,Z1 3 2,2,2,0，从而23,2、20.2.2~T即点所以uuirPH2 4^2 22 .3 3所以unrPH4.2【点睛】2, 2 -本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度,考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性19 •设椭圆X2V22 21（a b 0）的左、右焦点分别为F1（a bc，0）、F2（C, O），点P在椭圆上,⑴若PO C，F2OP 3，求椭圆的离心率;⑵若椭圆的右顶点为A，短轴长为2,1 且满足率）.①求椭圆的方程;②设直线I : y kx 2与椭圆相交于【答案】（1）.3 1OF2P、Q两点，若.72OA 3|F料心为椭圆的离心POQ的面积为1，求实数k的【解析】（1）由题意得PF i PF ?，利用勾股定理得PF i J3c ,再利用椭圆的定义②设点P x i ,y i ,Q X 2,y 2，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求 得PQ 关于k 的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积S POQ 4胡丫 3，从4k 2 1而求得k 的值. 【详解】所以 POF 2是等边三角形，所以 PF 2 c, PF 2O又 OP OF 2 OF 1，所以 PF 1 PF 2,所以 PF 1整理，得c 2 3b 2.y kx 2,联立方程组x 22T y 1.消去y ，并整理得 4k 2 1 x 2 16kx 12 0. 则256k 2 48 4k 2 116 4k 2 30，（）得到a,c 的关系，从而求得离心率；1(2)①由OFkJr 21 e得 2OA 3|F 2A |，得c3b 2，求出a,b,c 后，即可得到椭圆的方程;(1)连接PF i .因为OP OF ?c, F 2OP是，有2a PF PF 2.3 1 c ，所以e3 a 43 11，即所求椭圆的离心率为（2）①由e 3F 2A1，得—c又因为2b 2，所以b 1，c 2 3,a 2 b 2 c 2 4.2故所求椭圆的方程为 —4y 2 1.②依题意，设点 P 捲，％,Q X 2,y 2 .经验证k工满足2故所求实数【点睛】椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合 运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力1 220 •已知函数f(x) ln(ex) ax (a 1)x(e 为自然对数的底数).⑴当a 1时， 求曲线y f (X)在点(1 , f(1))处的切线方程；⑵讨论 f (X )的单调性；⑶当a 0时,证明f (X)3 1.2a【答案】 (1) 8X 2y 10 (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】(1) 当a 1时，f X1X 2，利用导数的几何意义求得切线方程;Xax 1X 1(2)对函数进行求导得 f '(x)，对a 分a 0和a 0两种情况进行分X类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间；数进行证明 【详解】且X X ?16k 12 所以 PQ 又点 所以 因为 .rvX 1 X 2O 到直线l 的距离为d S POQ S POQ4k 2 1，.1 k 2 ■ x 1X 22厂k 2，4%X 24 1 k 2 . 4k 2 324k 12PQ d 4、1 k 24k 2 34k 2 12 1 k 24 “4k 2 3 4k 2 11，解得k本题考查椭圆的离心率、 (3)证明不等式f X32a1成立等价于证明 3X max1成立，再构造函2aa 12 a 2In 1丄a 2a—1等价于f :x —1，即 In - 131， 2a max2a a2a2a1 1即 In1 0.(探)a a1令 t —,则 t 0.不妨设 g tInt t 1( t 0)，a(1)当 a 1 时，f x In ex -x 2 2x .2所以f x 1 x 2,x所以 k f 111 2 4 又 fl 71 ' 2'所以曲线在点hf 1处的切线方程为y 7 4 x 1 ,即 8x 2y 10.(2)易得1 ax a 1 x 1ax a 1 -xx ax 1 x 1 x①当 a 0时, f :x 0，此时f X 在 0,上单调递增；②当 a 0时， 令f x10，得 x —.a则当 0 x1 时，fx 0，此时fx 在 1 0,上单调递增;aa1当x 时,a1x 0，此时f x 在 ,a上单调递减综上所述，当a 0时，函数f x 在区间0,上单调递增;当a 0时，函数f x 在区间0, 1上单调递增，在区间a上单调递减(3)由(2)知，当a 0时,1处取得最大值,amaxIn所以g t 1 1 (t 0)t从而，当t 0,1时，g t 0 ；当t 1, 时，g t 0,所以函数g t在区间0,1上单调递增；在区间1, 上单调递减•故当t 1时g t max g 10.所以当t 0时，总有g t g t max 0.即当a 0时，不等式（探）总成立，3故当a 0时，f x 1成立.2a【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.。
2020届天津市六校高三上学期期初检测数学试题(解析版)
2020届天津市六校高三上学期期初检测数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}|02A x N x =∈≤<，{}|1B x N x =∈>，则()R A C B =（ ） A.{}0,1 B.{}0C.{}|01x x ≤≤D.{}|01x x ≤<【答案】A【解析】先求出R C B 再求()R A C B I 得解. 【详解】由题得{|2}{|2,}R C B x x x x x N =<>∉且, 所以()={0,1}R A C B .故选：A 【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．命题“x R ∀∈，223x x =”的否定是（ ） A.x R ∀∉，223x x ≠ B.x R ∀∈，223x x ≠ C.x R ∃∉，223x x ≠ D.x R ∃∈，223x x ≠ 【答案】D【解析】因为","x p ∀ 的否定为,x p ∃⌝ ,所以命题“x R ∀∈，223x x =”的否定是x R ∃∈，223x x ≠,选D.3．已知ln a π=，lg125b =，0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.以上选项都不对【答案】B【解析】利用指数对数函数的图像和性质确定,,a b c 的范围即得它们的大小关系.由题得2ln ln ln 2e a e π<=<=， 所以12a <<.2lg125lg102b =>=,0.3011()1c e e⎛⎫=<= ⎪⎝⎭, 所以b a c >>. 故选：B 【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）A.x x >甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B.x x >甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C.x x <甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D.x x <甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 【答案】B【解析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解. 【详解】 由题得18+26+28+28+31+3382==63x 甲，12+18+19+25+26+32==226x 乙，所以x x >甲乙.从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定， 所以要派甲参加.【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．已知直线m ，n ，平面α，n ⊂α，那么“m α”是“m n ” （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用线面的位置关系先考虑充分性，再考虑必要性得解. 【详解】先考虑充分性，当m α时，m 有可能和n 平行或异面，所以“m α”是“m n ”的非充分条件；再考虑必要性，当m n 时，m 有可能平行α，也有可能在平面α内，所以“m α”是“m n ”非必要条件. 故选：D 【点睛】本题主要考查充要条件的判定和空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析能力.6．函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >，0>ω， 2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）A.()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6π-，所以3πϕ=，即()sin(2)3f x x π=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3f x x π=+，故选A.7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为，3sin 2sin A C =，1cos 4B =-，则cos 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）【答案】C【解析】通过三角形的面积以及已知条件求出a ，c ，利用正弦定理求解sin ,cos A A 的值；再利用二倍角公式可求cos2A ，sin2A 的值，进而利用两角和的余弦化简cos(2)3A π+得解.【详解】在ABC ∆中，由1cos 4B =-，可得：sin B =，由1sin 2ABC S ac B ∆==24ac =，∵3sin 2sin A C =， ∴32a c =. 可得4,6a c ==，由余弦定理可得：22212cos 1636264()644b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯-=，得8b =，由正弦定理sin sin a b A B=，可得：7sin 8A A =．所以217cos22cos 132A A =-=，sin 22sin cos A A A ==可得：1117cos(2)cos22()32232A A A π+==⨯=． 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式、二倍角公式和和角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 8．已知1F ，2F 分别为双曲线()222330x y aa -=>的左右焦点，P 是抛物线28y ax =-与双曲线的一个交点，若1218PF PF +=，则抛物线的准线方程为（ ） A.2x = B.3x =- C.3x = D.2x =-【答案】C【解析】求出P 点坐标，计算1||PF ，2||PF ，列方程计算a 的值即可得出答案． 【详解】双曲线的标准方程为222213x y a a-=，∴双曲线的左焦点1(2,0)F a -为抛物线28y ax =-的焦点，联立方程组2222338x y a y ax⎧-=⎨=-⎩，消元可得2238+30x ax a -=，解得3ax =（舍)或3x a =-．不妨设P 在第二象限，则(3P a -，)，又2(2,0)F a ，1||5PF a ∴==，2||7PF a ， 12||||1218PF PF a ∴+==，即32a =． 所以抛物线的方程为212y x =-∴抛物线的准线方程为112=34x =⨯．故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．定义在R 上的函数()f x 满足：()()2'xf x f x e -<，()ln 24f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）A.(),ln 2-∞B.(),2-∞C.()ln 2,+∞D.()2,+∞【答案】A【解析】由题得()()[']0xxe f x f x e ---<，构造函数()()xxg x e f x e -=-，求出函数()g x 的单调性得解. 【详解】由题得()()[']0xxe f x f x e ---<构造函数()()xxg x e f x e -=-，所以()()[()]0xxg x e f x f x e -''=--<所以函数()g x 在R 上单调递减.ln 2ln 21(ln 2)(ln 2)4202g e f e -=-=⨯-=,由函数的单调性得，当ln 2x <时，()(ln 2)0g x g >=， 即当(,ln 2)x ∈-∞时，恒有()0>g x ， 即()20,()xxxe f x e f x e -->∴>.所以不等式()2xf x e >的解集为(),ln 2-∞.故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题10．二项式5的展开式的常数项是______. 【答案】-40【解析】先写出二项式展开式的通项，再求常数项. 【详解】由题得15555362155()(1)2r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-， 令550,362r r -=∴=故答案为：-40 【点睛】本题主要考查二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．i 是虚数单位，则()()3411i i i+-=+______.【答案】5【解析】先化简复数()()3411i i i+-+，再求模得解.【详解】 由题得()()3417(7)(1)=4311+(1+)(1)i i i i i iiii i +-++-==-+-，所以()()3411i i i+-=+.故答案为：5 【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.12．如图，在三棱柱的侧棱1A A 和1B B 上各有一动点P ，Q 且满足1A P BQ =，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥C ABQP -与三棱柱111A B C ABC -的体积比为______.【答案】1:3【解析】由已知中1A P BQ =，我们可得四边形PQBA 与四边形11PQB A 的面积相等，等于侧面11ABPQB A 的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱椎C PQBA -的体积转化三棱锥1C ABA -的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的13，求出四棱椎C PQBA -的体积，进而得到答案． 【详解】设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，侧棱1AA 和1BB 上各有一动点P ，Q 满足1A P BQ =，∴四边形PQBA 与四边形11PQB A 的面积相等，故四棱椎C PQBA -的体积等于三棱锥1C ABA -的体积等于13V ，所以四棱锥C ABQP -与三棱柱111A B C ABC -的体积比为体积比为1:3. 故答案为：1:3 【点睛】本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中根据四边形PQBA 与四边形11PQB A 的面积相等，等于侧面11ABPQB A 的面积的一半，将四棱椎C PQBA -的体积转化三棱锥1C ABA -的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的13，是解答本题的关键． 13．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O .若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ACAB=______.【解析】首先用AB 、AC 表示出AD 、EC ，结合3AB AC AD EC ⋅=⋅得221322AB AC =，进一步可得结果． 【详解】 由题得1()2AD AB AC =+， 13EC AC AE AB AC =-=-+，因为3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以331))223AB AC AB AC AB AC ⋅=+⋅+（（- ∴221322AB AC =， ∴2213AC AB=，∴AC AB故答案为： 3【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查三角形加法和减法法则和平面向量的基底法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．设0a ≥，0b ≥，则32a b++的最小值是______.【答案】2【解析】由题得,a b 不能同时为零，当0a >时，先令0bt b at a=≥=，，原式，再2(0)t x x =≥，原式=1333x x x +≥+++，再利用导数求()0)f x x =≥的最小值得解. 【详解】由题得,a b 不能同时为零， 当0a =时，0,b >原式=1, 当0a >时，可令0bt b at a=≥=，，原式令2(0)t x x =≥，原式=1333x x x +≥+++，当且仅当1x =时取等.设1，所以()f x '=所以函数()f x 在[0,1)单调递增，在1+∞（，）单调递减， 所以max 1()(1)2f x f ==，所以原式当且仅当x=1时取等)所以最小值是2.故答案为：2【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.15．设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数，当(]0,2x ∈时，()f x =()()2,010.5,12k x x g x x ⎧+<≤=⎨<≤⎩，设函数()()()h x f x g x =+，若在区间(]0,13x ∈上，函数()h x 有11个零点，则k 的取值范围是______.【答案】143⎛⎤-- ⎥ ⎝⎦【解析】先作出函数()f x 与()g x -的图象，得到函数()f x 与1()(122g x x -=-<…，34x <…，56x <…，78910,1112x x x <<≤<≤，…仅有3个实数根，则()f x (0x ∈，2]与()(2)y g x k x =-=-+，(0x ∈，1]的图象有2个不同交点，再通过数形结合得解. 【详解】令()()()h x f x g x =+=0，所以()()f x g x =-在区间(]0,13x ∈上，函数()f x x y 和=-g()的图像有11个交点，()()2,01k x x y g x ⎧-+<≤=-=⎨作出函数()f x 与()y g x =-的图象如图，由图可知，函数()f x 与1()(122y g x x =-=-<…，34x <…，56x <…，78910,1112x x x <<≤<≤，）…仅有3个实数根；所以要使关于x 的方程()()f x g x =-有8个不同的实数根，则()y f x ==(0x ∈，2]与()(2)y g x k x =-=-+，(0x ∈，1]的图象有2个不同交点，由(1,0)到直线+20kx y k +=的距离为11=，解得0)k k =<，两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k -=，所以13k =-∴13k <≤-．故答案为：143⎛⎤-- ⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题16．某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末联考数学理科
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末联考数学理科创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设i 是虚数单位，复数z 满足()()12z i i i +-=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -2、七位裁判各自对一名跳水运动员打分后，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，关于剩余分数的说法一定正确的是（ ）A ．众数不变B ．方差不变C ．平均值不变D ．中位数不变 3、函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()1f =（ ） A ．32-B ．12-C ．12D ．32 4、已知x 、y 满足约束条件230230x ax y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，且2z x y =+的最大值为11，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为35x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为()4cos sin ρθθ=+，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为（ ） A ．22B ．32 C ．42D ．526、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π7、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．108、“1a =”是“直线y x =与函数()ln y x a =+的图象有且仅有一个交点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9、若函数()f x 满足()21f =且()()32f x f x +=，则()2015f =（ ）A ．6702B ．6712C ．6722D ．673210、将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、6x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是．12、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且2462532a a a ++=，则9S =．13、过焦点为F 的抛物线24y x =上一点P 向其准线作垂线，垂足为Q ，若Q F 120∠P =，则F P =．14、已知a 、b 是单位向量，其夹角为120，若实数x 、y 满足6xa yb +=，则22x y +的取值范围是．15、在三棱柱111C C AB -A B 中，C ∆AB 为正三角形，1AA ⊥底面C AB ，E 是AB的中点，F 是1C B 的中点．下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）． ①F//E 平面11CC A A ； ②平面C F E ⊥平面11ABB A ；③平面C F E 截该三棱柱所得大小两部分的体积比为11:1； ④若该三棱柱有内切球，则13AB =BB ；⑤若1BB 上有唯一点G ，使得1G CG A ⊥，则12BB =AB ．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且()sinC 2sin =A-B ．()I 证明：tan 3tan A =B ； ()II 若2c b =，求角A 的值．17、（本小题满分12分）如图所示的是某母婴用品专卖店根据以往销售奶粉的销售记录绘制的日销售量的频率分布直方图．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． ()I 估计日销售量的平均值；()II 求未来连续三天里，有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋的概率；()III 记X 为未来三天里日销售量不低于150袋的天数，求X 的分布列和均值（数学期望）．18、（本小题满分12分）如图，在四棱台1111CD C D AB -A B 中，1DD ⊥底面CD AB ，四边形CD AB 为正方形，1DD D 2=A =，111A B =，1C //E 平面11DD A A ．()I 证明：E 为AB 的中点；()II 求二面角1C D A -E -的余弦值．19、（本小题满分13分）设函数()()1x f x a x e =--（e 为自然对数的底数）．()I 当1a =时，求()f x 的最大值；()II 当()(),00,x ∈-∞+∞时，()1f x x<恒成立，证明：1a =．20、（本小题满分13分）已知椭圆C:22221x y a b +=（ ）0a b >>的离心率为12，． ()I 求椭圆C 的方程；()II 设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ．请问：在x 轴上是否存在定点M ，使得Q MP ⋅M 为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，且()224n n S n n T =-+，n *∈N ．()I 证明：数列{}1n a +为等比数列； ()II 设11n n n b a +=+，证明：123n b b b ++⋅⋅⋅+<． 参考答案一、选择题：本题有10小题，每小题5分，共50分。
2020届天津市高三上学期期末六校联考数学试题(解析版)
【答案】A
【解析】根据 以及充分不必要条件的定义可得.
【详解】
因为 ，
所以 ,
所以 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选A．
【点睛】
本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.
3．过点 作圆 的切线 ，则 的方程为（）
A． B． 或
②当
⑴当 时，
⑵当 时，
③当
综上
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的性质，等比数列求出公式的应用，裂项相消法求和，错位相减法求和，分组求和，属于中档题.
20．已知 ，
（1）求 在 处的切线方程以及 的单调性；
（2）对 ，有 恒成立，求 的最大整数解；
（3）令 ，若 有两个零点分别为 ， 且 为 的唯一的极值点，求证： .
【详解】
解：定义在 上的函数 满足 ， ，函数的周期为4，
且 时， ，画出函数的图象如图
函数 在 上有四个零点，等价于函数 与 在 有四个交点，
由图（1）可知当 时，即 解得
图（1）
由图（2）可知当 时，即 解得
图（2）
综上可得， 或 ，即
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的零点求参数的取值范围，函数方程思想，数形结合思想，属于中档题.
17．菱形 中， 平面 ， ， ，
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）线段 上是否存在点 使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2） （3）存在，
【解析】（1）建立以 为原点，分别以 ， （ 为 中点）， 的方向为 轴， 轴， 轴正方向的空间直角坐标系，求出直线 的方向向量，平面 的法向量，证明向量垂直，得到线面平行；
天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{|13}A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，则集合()RA B =（ ）A. {}1,0-B. ()1,1(2,3]-⋃C. (0,1)(1,2)(2,3]⋃⋃D. {}0,3【答案】D 【解析】 【分析】根据集合{|13}A x Z x =∈-<≤，写出集合中的元素，然后根据交并补的定义计算即可. 【详解】解：{}{|13}=0,1,2,3A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，{}|12R B=x x x ≠≠且，则()RAB ={}0,3.故选：D.【点睛】本题考查集合交并补的定义和运算，考查列举法表示集合，属于基础题. 2.设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果.【详解】解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3.奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，则()()63f f +-的值为（ ）A. -10B. 15C. 10D. 9【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分析，可知()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，进而可以求出()()63f f +-的值.【详解】解：()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，即()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，所以()()639f f +-=.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题.4.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A. 22230x y x +--= B. 2240x y x ++= C. 22230x y x ++-= D. 2240x y x +-=【答案】D 【解析】 【分析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ．【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5.设0.22a =，3log 0.9b =，0.11log 4c =+，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a c b >>B. b c a >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算可以化简0.14og .l 0c =，所以可得01c <<.同理可知12a <<，10b -<<，由此可以比较,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.22a =，则12a <<，333log 0.9log 9log 10b ==-，10b -<<，0.10.11log 4.log 04c =+=，所以01c <<，所以a c b >>.故选：A.【点睛】本题考查指对函数大小的比较，考查中间值法的应用，涉及对数函数的运算性质，属于基础题. 6.将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A. 34π-B. 4π-C.4π D. 54π【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意化简sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到()1sin 22y x ϕ=+，再沿x 轴向左平移8π，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据得到的函数为偶函数，所以可知,42k k Z ππϕπ+=+∈，由此解出,4k k Z πϕπ=+∈，逐一判断选项即可得出结果.【详解】解：()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，沿x 轴向左平移8π个单位后，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，解得：,4k k Z πϕπ=+∈，所以ϕ的取值不可能是4π-. 故选：B.【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式、考查三角函数平移以及三角函数的奇偶性，熟悉三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.7.抛物线28y x =的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，()(),0A m n n >为抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为（ ）C. 2【答案】C 【解析】 【分析】由直线AF 与双曲线有且只有一个交点可知，直线AF 与双曲线的渐近线平行.又抛物线与双曲线共焦点，||8AF =，所以利用抛物线的定义，可求出A 点坐标，从而求出直线AF 的斜率，从而求出双曲线渐近线的斜率ba=. 【详解】解：()(),0A m n n >，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，所以直线AF 与双曲线的渐近线平行. ||8AF =，F 为抛物线的焦点，所以6m =，代入28n m =，则n =即(6,A ，AF k ==，所以b a =，所以该双曲线的离心率为2e ==.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及到直线与双曲线的位置关系，以及抛物线定义的转化，属于中档题.8.某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（ ） A.136B.112C.16D.13【答案】C 【解析】 【分析】3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为12，13，16，计算结果即可. 【详解】解：3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有33A 种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为111123636⋅⋅=，则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A ⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，涉及分类加法的思想，属于基础题.9.已知函数21)110()20x x f x x x x x ++-<≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩.若方程()1f x kx =+有两个实根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭B. 2(1,]ln 2C. (1,2]D.12,2ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】 【分析】逐段分析函数()f x 的单调性和最值，)x ∈+∞时，22()x x f x x++=，以1y x =+为渐近线，所以1k >时，与22()x x f x x++=，)x ∈+∞有一个交点.当1y kx =+与()1)1f x x =++相切时，即2ln 2k <时，1y kx =+与()1)1f x x =++有一个交点，由此，可求出k 的取值范围.【详解】解：当10x -<≤时，()1)1f x x =++，在(]1,0-上单调递增，在0x =处有最大值1．当0x >时，22()x x f x x++=，在(上单调递减，在)+∞上单调递增，在x处取得最小值1．以1y x =+为渐近线，直线1y kx =+与()1)1f x x =++必有一个交点，若方程()1f x kx =+有两个实根，则令一根在)+∞上，所以斜率1k >，且不能与()1)1f x x =++相交，'()f x =，'2(0)ln 2f ==.所以斜率k 的取值范围是2(1,]ln 2. 【点睛】本题考查直线与曲线的交点问题，分析函数的单调性以及切线是常用的方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 10.设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】 【分析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.【详解】由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a ＝3．故答案为3【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11.已知a ＞0，62(?)a x x 的二项展开式中，常数项等于60，则(x –)6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）． 【答案】1 【解析】试题分析：62(?)a x x 展开式通项为6631662()()r r r r r rr a T C x a C x x--+=-=-，由630,2r r -==得常数项2226()60,()1560,2(0)a C a a a -=-⨯==>，所以，令1x =得622(?)x x的展开式中各项系数和为1 考点：二项式定理.12.设随机变量X 的概率分布列如下表，则随机变量X 的数学期望EX =__________．X1 2 3 4P13m14 16【答案】94【解析】 【分析】利用分布列中概率和为1可求出14m =，然后通过求期望的公式即可求出期望值.【详解】解：1111346m +++=，所以14m =.所以11119123434464EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：94. 【点睛】本题考查求分布列的期望，解题的关键是熟记期望的公式，属于基础题.13.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于______． 【答案】8π 【解析】【详解】试题分析：由已知条件得：01121sin 6032AA ⨯⨯⨯⨯=，∴12AA =， ∵22202cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴3BC =， 设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R =， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于24(2)8ππ=. 考点：1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；3.球的表面积.14.如图，在ABC 中，3AB =,4AC =,45BAC ∠=︒,2CM MB =，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若AP mAB =，AQ nAC =，则当32m =时，n =___________,AP AQ ⋅=__________．【答案】 (1). 35 (2). 25【解析】 【分析】(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，根据平行线等分线段成比例，求出13BN AQ =，12NB CQ =，进而得出1123CQ QA =，从而推导出,AQ AC 之间的关系. (2).根据第(1)问求出的比例关系，计算出||AP ，||AQ 的长，又45BAC ∠=︒，由向量的数量积公式即可计算结果.【详解】解：(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，32AP AB =，则13BN AQ = .又2CM MB =，则12NB CQ =，∴ 1123CQ QA =，35AQ AC =. (2). 32AP AB =，所以39||322AP =⨯=，35AQ AC =，312||455AQ =⨯=，AP AQ ⋅=9122272||||cos 452525AP AQ ⋅=⨯⨯=. 故答案为：35，2725.【点睛】本题考查平行线等分线段成比例，考查平面向量数量积的应用，熟悉数量积公式是解题的关键，属于基础题.15.已知正实数,x y 满足22412x y xy +=+，则当x =__________时，121x y xy++的最小值是__________． 【答案】 (1). 12(2). 6 【解析】 【分析】利用基本不等式可知12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号.而121x y xy ++运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在122y x ==时取得最小值，由此得解.【详解】解：由题意可知：224124x y xy xy +=+≥=，即12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号，2121112x y xy xy xy ++≥=+=-∴226≥-=，当且仅当“122y x ==”时取等号. 故答案为：12，6. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共1421516275⨯++⨯=分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.已知2224cos c a b bc C =+-，且2A C π-=.（1）求cos C 的值； （2）求cos 3B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）cos C =（2【解析】 【分析】（1）2224cos c a b bc C =+-，由余弦定理可得2a c =，再由正弦定理可得sin 2sin A C =,将2A C π-=，代入化简可得2sin cos C C =，从而求出cos C 的值. （2）由条件2A C π-=，可知5cos cos 236B C ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又cos C =，进而可求出sin C ，sin 2C ，以及cos 2C 的值，利用两角差的余弦即可求出结果.【详解】解：（1）∵2224cos c a b bc C =+-,由余弦定理可得2a c =， ∴由正弦定理得sin 2sin A C =,又∵2A C π-=,∴sin sin cos 2A C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, ∴2sin cos C C =，又∵22sin cos 1C C +=, 解得25cos C =. （2）由（1）知5sin C =, ∴4sin 22sin cos 5C C C ==,23cos 22cos 15C C =-=, ∴5cos cos cos 2336B A C C ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭55coscos 2sin sin 266C C ππ=+ 3314433525-=-⋅+⋅=【点睛】本题考查利用正余弦定理转化解三角形，考查两角和与差的余弦以及二倍角公式，属于中档题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（325．【解析】试题分析：（1）因为顶点在1A 在底面ABC 上的的射影恰好为B 得到1A B AC ⊥，又AB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）建立空间直角坐标系，求出()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，利用向量的数量积公式求出棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）求出平面PAB 的法向量1n ，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值． 试题解析：（1）证明：1A B ABC ⊥面，1A B AC ∴⊥，又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，1AC AB B ∴⊥面，1AC A AC ⊂面，11A AC AB B ∴⊥平面平面．（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ，()10,4,2B ，()12,2,2C ，()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，1111cos ,288AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，故1AA 与棱BC 所成的角是3π． （3）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P ．设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =，则110,{0n AP n AB ⋅=⋅=，由()()1,3,2{0,2,0AP AB ==，得320{20x y z y ++==，令1z =，则()12,0,1n =-，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =．则12121225cos ,5n n n n n n ⋅〈〉==-=-⋅．由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是25．考点：利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1M 作直线1l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O :2224a x y +=于另一点N .若ABN 的面积为3，求直线1l 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）12±【解析】 【分析】（1）由题意可知：当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △面积取最大值，又离心率为12，则可以列出方程22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解出,,a b c 的值即可求出椭圆的方程.（2）首先讨论两条直线中斜率为0和斜率不存在的情况，判断三角形的面积是否为3；然后讨论一般情况，设直线1l 的方程为1y kx =+，直线2l 的方程为11y x k=-+，分别与椭圆和圆联立，用K 表示出线段AB 的长和点N 到直线1l 的距离，表示出ABN 的面积，即可求出斜率的值. 【详解】解：（1）∵椭圆C离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时， 12PF F △.∴22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C的方程为：22143x y +=.（2）若1l 的斜率为0，则||3AB =，||2MN =， ∴ABN 的面积为3，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0. 设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11,A x y ，()22,B xy ， 则122834k x x k -+=+，122834x x k-=+， ∴||AB ==直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=， ∴||MN ==.∴ABN 的面积211||||32234S AB MN k =⋅=⋅=+， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±.【点睛】本题考查根据基本量求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的表示，同时考查了学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题.19.已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528++=a a a ，42a +是3a 、5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试比较()()11211nk k k k a a a =++--∑与12的大小，并说明理由；（3）若数列{}n b 满足()*21log n n b a n N+=∈，在每两个kb与1k b +之间都插入()1*2k k N -∈个2，使得数列{}n b 变成了一个新的数列{}p c ，试问：是否存在正整数m ，使得数列{}p c 的前m 项和2019=m S ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.【答案】（1）12n n a （2）111112212n +⎛⎫-< ⎪-⎝⎭,详见解析（3）存在992m =，使得2019=m S【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程组，解基本量即可.（2）由（1）可知通项为：()()1211k k k a a a ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，对通项裂项可得：()()1112111221212121k k k k k -++⎛⎫=- ⎪----⎝⎭，从而可求出前n 项和，即可比较出大小关系.（3）由（2）可知：212log log 2nn n b a n +===数列{}p c 中含有12,,,n b b b 含有个2，所以数列{}pc 中，kb 的前所有项之和为()0122(123)22222k S k -=+++++++++，求出S ，代入k 的具体值，可知当10k =时，1077S =，当11k =时，2112S =，所以在10k =的基础之上加上471个2可得2019S =，把前面所有项的个数加起来即可得到m 的值.【详解】解：（1）由42a +是3a ，5a 的等差中项，得35424a a a +=+， ∴34543428a a a a ++=+=,解得48a =. ∴3520a a +=，从而1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵1q >，∴解得2q . ∴11a =，从而12n na .（2）由（1）知()()()()11112211111221212121k k k k k k k k a a a -++++⎛⎫==- ⎪------⎝⎭. ∴()()11211nkk k k a a a =++--∑12231111111111221212212122121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭ （3）212log log 2nn n b a n +===.根据题意，数列{}p c 中，k b （含k b 项）前的所有项的和为：()0122(1)(123)22222222k k k k S k -+=+++++++++=+-. 当10k =时，10552210772019S =+-=<， 当11k =时，11662221122019S =+-=>， 又∵201910779424712-==⨯, ∴()28101222471992m =++++++=时，2019=m S ，∴存992m =，使得2019=m S .【点睛】本题考查用基本量求数列的通项，考查裂项相消求和，考查根据数列的和求数列的项数，属于数列新定义题型，同时考查了学生的计算能力以及学生分析问题的能力，属于难题.20.设函数()xf x ae =，()lng x x b =+，其中,a b ∈R ,e 是自然对数的底数.（1）设()()F x xf x =，当1a e -=时，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a e -=，1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切； （3）当22a e≥时，证明：()[()]f x x g x b >-. 【答案】（1）最小值2e --（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()F x 的解析式，求导求单调性，然后则可求出最小值.（2）总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切，及()y f x =与()y g x =永远都存在两条公切线，分别设出切点求出切线方程，根据切线方程为同一条，列出方程组求解，证明等式恒成立即可. （3）即证明当22a e ≥时，ln 0x ae x x->.令()ln (0)x ae G x x x x =->，求导求令()G x 的最小值大于0即可.【详解】解：（1）1()x F x xe-=，1()(1)x F x x e'-=+，当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，()F x 单调递减； 当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增， 故1x =-时，()F x 取得最小值()21F e --=-.（2）∵()1x f x e -'=，∴()1x f x e -=在点()1,m m e-处的切线方程为11(1)m m y ex m e --=+-；∵()1g x x'=， ∴()ln g x x b =+在点(),ln n n b +处的切线方程为1ln 1y x n b n=++-. 由题意得111(1)ln 1m m e nm e n b --⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，则1(1)e 0m m m b ---+=. 令1()(1)n h m m em b -=--+，则1()1m h m me '-=-，由（1）得1m <-时，()h m '单调递增，又()10h '=，1m <时，0h m ，∴当1m <时，0h m ，()h m 单调递减； 当1m 时，0h m，()h m 单调递增.由（1）得21(1)(2)110b h b b ee--=-+-+>，又2233(3)(2)23(2)(3)23024bh b b eb b b b b -⎛⎫-=-+->--+-=-+> ⎪⎝⎭，()110h b =-<，所以函数()h m 在()1,1b -和()1,3b -内各有一个零点，故当1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（3）()[()]ln 0xae f x x g x b x x>-⇔->.令()ln (0)xae G x x x x=->，以下证明当22a e ≥时，()G x 的最小值大于0.求导得22(1)1(1)()x x a x e a x e xG x x x x '---=-=. ①当01x <≤时，()0G x '<，()(1)0G x G ae =>；②当1x >时，2(1)()(1)x a x x G x e x a x '⎡⎤-=-⎢⎥-⎣⎦， 令()(1)xx H x e a x =--，21()0(1)xH x e a x '=+>-， 又2222(2)0ae H e a a -=-=，取()1,2t ∈且使2(1)t e a t >-，即2211ae t ae <<-， 则22()0(1)ttH t e e e a t =-<-=-，∵()()20H t H <,故()H x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()G x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae G x x x =-， 且()()000001xx H x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-，故()0001ln 1G x x x =--， ∵()()0201101G x x x '=-<-，故()0G x 是()1,2上的减函数. ∴()0(2)1ln 20G x G >=->,所以()0G x >. 综上，当22a e≥时，()[()]f x x g x b >- 【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查利用导数求曲线的切线，设计到了公切线问题和导数的零点代换问题，考查了学生的计算能力和转化问题的能力，属于难题.1、在最软入的时候，你会想起谁。
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题及答案
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{U =1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{A =2，3，4，6}，{B =1，4，7，8}，则()U A C B ⋂（ ） A ．{4} B ．{2，3，6} C ．{2，3，7} D ．{2，3，4，7}【答案】B【解析】先求出U C B 再与A 取交集，即可得到答案. 【详解】因为{2,3,5,6}U C B =，{A =2，3，4，6}， 所以{2,3,6)}(U A C B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2．抛物线24y x =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．1y =- C ．1x = D ．1y =【答案】A【解析】利用22y px =的准线方程为2p x =-，能求出抛物线24y x =的准线方程. 【详解】24,24,2y x p p =∴==Q ， ∴抛物线24y x =的准线方程为2p x =-， 即1x =-，故选A . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.3．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分别解两个不等式得到集合A ，B ，再利用集合间的关系，即可得到答案. 【详解】解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<， 因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.4．直线10x y -+=与圆22(1)4x y ++=相交于A 、B ，则弦AB 的长度为（ ）A ．B ．C ．2D ．4【答案】B【解析】先求圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式，即可求得答案. 【详解】圆心到直线的距离d ==，所以||AB ===故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.5．已知数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．21n n S a =-B ．12n n S a =-C ．2n n S a =-D ．2n n S a =-【答案】D【解析】根据递推关系求得等比数列{}n a 的通项公式，再求出前n 项和为n S ，化简可得2n n S a =-. 【详解】*12()n n a a n N +=∈Q ，112n n a a +∴=， ∴数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列， ∴11()2n n a -=，∴11112221212nn n n S a --==-=--. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查基本量运算，求解时要注意通过化简找到n S 与n a 的关系.6．已知偶函数()f x 在区间(-∞，1)-上单调递增，若ln3a =，21log 3b =，121log 5c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f c f b f a >> D ．()()()f a f c f b >>【答案】A【解析】根据题意得()f x 在区间(1,)+∞上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得a b c <<，从而利用函数的单调性可得答案.【详解】因为偶函数()f x 在区间(-∞，1)-上单调递增， 所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递减. 因为3323311log log 20ln 3log 3log log 2e e >>⇒<⇒<，即12a b <<<， 因为112211log log 254c =>=， 所以a b c <<，所以()()()f a f b f c >>. 故选：A. 【点睛】本题考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和逻辑推理能力.7．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．1()22g π=B ．()g x 的最小正周期是4πC ．()g x 在区间[0，]3π上单调递增D ．()g x 在区间[3π，5]6π上单调递减 【答案】C【解析】根据函数的平移变换求出()g x 的解析式，再一一对照选项验证是否成立. 【详解】函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得：()sin(2)3g x x π=-.对A ，sin()3()2g πππ-==，故A 错误； 对B ，最小正周期为π，故B 错误； 对C ，当023333x x ππππ<-<-<⇒<，因为(,)33ππ-是(,)22ππ-的子区间，故C正确； 对D ，当54263333x x πππππ<<<⇒-<，4(,)33ππ不是3(,)22ππ的子区间，故D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力.8．已知双曲线C ：22221(0x y a a b-=>，0)b >的右焦点为F 0)，点P 在C 的一条渐近线上，若(PO PF O =是原点），且∆POF 的面积为4，则C 的方程是（ ）A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22133y x -=D ．2215x y -=【答案】A【解析】根据三角形的面积及PO PF =，求出点P 的坐标，再利用点P 的坐标求渐近线的斜率，从而得到ba的值，再观察选项，即可得到答案. 【详解】因为PO PF =，所以点P 的横坐标等于62， 因为∆POF 的面积为324，设点P 在第一象限， 所以1323624p p y y ⋅⋅=⇒=， 所以362b a =÷=，只有选项A 符合. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求解能力，求解时只要得到ba的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量. 9．已知函数2ln(2)23()15363x x f x x x x ⎧-<≤=⎨-+->⎩，若关于x 的方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[3，12] B ．(3，12)C ．(0，12)D ．(0，3)【答案】D【解析】画出函数()f x 的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题，求出直线与抛物线相切时的临界值，再结合图象得到k 的取值范围. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：将直线y kx =代入2()1536f x x x =-+-得：215)360(x k x -++=，当直线y kx =与抛物线相切时，215)1440(3k k --=⇒==∆或27k =， 由于方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解， 所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以03k <<. 故选：D. 【点睛】本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解.二、填空题10．i 是虚数单位，若复数z 满足(13)4i z i +=，则z =________.【答案】6255+i 【解析】利用复数的除法运算，求得z =6255+i . 【详解】44(13)1246213(13)(13)1055i i i i z i i i i -+====+++-. 故答案为：6255+i . 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 11．621(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是________（用数字作答）. 【答案】192-【解析】根据二项展开式得61621(2)()(0,1,,6)rrrr T C x r x-+=-=L ，进而得到1r =时会出现3x 项，再计算其系数. 【详解】666316621(2)()2(1)(0,1,,6)rr r r r r rr T C x C x r x---+=-=⋅⋅-⋅=L ， 当633r -=时，即1r =，所以1533262(1)192T C x x =-=-.故答案为：192-. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题. 12．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 【答案】25【解析】利用1的代换，将求式子43a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】因为4343123()(3)491325b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=， 等号成立当且仅当21,55a b ==. 故答案为：25. 【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.13．已知半径为2的球的球面上有A 、B 、C 、D 不同的四点，ABC ∆是边长为3的等边三角形，且DO ⊥平面(ABC O 为球心，D 与O 在平面ABC 的同一侧），则三棱锥D ABC -的体积为______.【解析】作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到答案. 【详解】如图所示，点E 为ABC ∆的中心，则223BE AC =⋅⋅=，2OB =，所以1OE ===，所以2111(33332ABC V S DE ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=.【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，准确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键.14．设{}n a 是等差数列，若59a =，2716a a +=，则n a =_______；若*121()n n n b n N a a +=+∈，则数列{}n b 的前n 项和n S =________. 【答案】21n -22321n nn ++ 【解析】利用等差数列通项公式求得1,a d ，进而求得n a ；求出1112121n b n n =-+-+再利用分组求和法及裂项相消法求n S . 【详解】 由题意得：11149,2,212716,1,n a d d a n a d a +==⎧⎧⇒⇒=-⎨⎨+==⎩⎩.因为21111(21)(21)2121n b n n n n =+=-+-+-+，所以111113b =-+，211135b =-+，11,12121n b n n =-+-+L ， 所以212312121n n nS n n n +=-+=++. 故答案为：21n -；22321n nn ++. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写. 15．设点M 、N 、P 、Q 为圆222(0)x y r r +=>上四个互不相同的点，若0MP PN ⋅=u u u r u u u r，且(PM +uuu u r )2PN PQ ⋅=u u u r u u u r ，则PQ =u u u r _______.【解析】根据0MP PN ⋅=u u u r u u u r得到MN 过圆的圆心O ，再利用向量的加法法则得2PM PN PO +=u u u u r u u u r u u u r ，由向量数量积的几何意义得到等式1||cos ||2PO PQ θ=u u u r u u ur ，最后求得||PQ uuu r的值.【详解】因为0MP PN ⋅=u u u r u u u r，所以MP PN ⊥u u u r u u u r ，所以MN 过圆的圆心O ，所以()22||||cos 2PM PN PQ PO PQ PO PQ θ+⋅=⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因为PO uuu r 在PQ uuu r 向量方向上的投影为：1||cos ||2PO PQ θ=u u u r u u ur ，代入上式得：2||12PQ PQ =⇒=u u u r u u u r【点睛】本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、数量积的几何意义等知识，考查方程思想的运用，求解时注意向量几何意义的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2(sin cos cos sin )sin A C A C A +=sin C +.⑴求证：a 、b 、c 成等差数列； ⑵若7c =，23C π=，求b 和sin 2B 的值.【答案】（1）证明见解析（2）5b =，sin 2B =【解析】（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到2sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理证得2b a c =+，从而证明结论成立；（2）利用余弦定理22+49+=a b ab ，再由（1）27=-a b ，联立求得b 的值；由正弦定理求得sin B ，再利用倍角公式求得sin 2B 的值. 【详解】（1）因为()2sin cos cos sin sin sin +=+A C A C A C ， 所以()2sin sin sin A C A C +=+.由于在ABC ∆中，+=A C B π-，所以()sin sin A C B +=， 所以2sin sin sin B A C =+. 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2b a c =+. 所以,,a b c 成等差数列. （2）在ABC ∆中，27,3c C π==， 由余弦定理，得222272cos 3a b ab π=+-, 即22+49+=a b ab .由（1）知27=-a b ，所以()()2227+2749-+-=b b b b ，解得5b =.由正弦定理，得2sin3sin b B c π==. 在ABC ∆中，因为于2=3C π，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11cos 14B ===.所以sin 22sin cos 98B B B ==. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运算求解能力，求cos B 的值时，注意角0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭这一条件的应用. 17．每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）310（3）详见解析【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；（2）利用计算原理求得基本事件的总数为310C，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式；（3）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，利用超几何分计算()4 73410k k C CP X kC -==（1,2,3,4k=），最后求得期望值.【详解】（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4:3:3，由于采用分层抽样方法从中选取10人，因此，高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）由（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有4人、3人、3人，所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为111433310310 C C CC⋅⋅=.（3）由题意知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，且X服从超几何分布，()4 73410k k C CP X kC -==（1,2,3,4k=）. 所以，随机变量X的分布列为所以，随机变量X的数学期望为()13111412343010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，1122PA PC ==，1111A B B C =123PB ==，114A C =.⑴求证：PO ⊥平面111A B C ； ⑵求二面角111B PA C --的正弦值；⑶已知H 为棱11B C 上的点，若11113B H BC =u u u u r u u u u r，求线段PH 的长度.【答案】（1）证明见解析（225（3）2【解析】（1）证明11PO A C ⊥，1PO OB ⊥，再根据111A C OB O =I ，从而得到线面垂直的证明；（2）以点O 为坐标原点，分别以11,,OA OB u u u r u u u r OP uuu r的方向为,,x y z 轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值；（3）结合（2）中()12,0,0C -，求得点2423⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭H ，再求PH u u u r 的值，从而求得线段PH 的长度. 【详解】（1）在三角形11PA C 中，11PA PC =且O 为11A C 的中点， 所以11PO A C ⊥.①在1Rt PAO ∆中，11112,2AO AC ==122PA =,22112PO PA AO =-=. 连接1OB ，在111A B C ∆中，1111=23A B BC =111OB AC ⊥ 所以22111122OB A B AO =-=又123PB =22211PB PO OB =+，所以1PO OB ⊥.②又因为111A C OB O =I ，③ 由①②③，得PO ⊥平面111A B C .（2）以点O 为坐标原点，分别以11,,OA OB u u u r u u u r OP uuu r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O ，()()()112,0,0,0,22,0,0,0,2A B P ， 所以()()111=2,22,0,=2,0,2A B A P --u u u u r u u u r.设(),,n x y z =r为平面11PA B 的法向量，则有111·0,·0.n A B n A P ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u v v u u u v v 即2220,220.x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令=1x ，得21.y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以21,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r .易得，()1=0,22,0OB u u u r且为平面11PA C 的法向量，所以12n OB =r u u u rg ，125n OB =r u u u r ，所以1115cos ,5n OB n OB n OB ==r u u u rr u u u r g r u u u r .故所求二面角111B PA C --=（3）由（2）知()12,0,0C -.设点()111,,H x y z =，则()1111,B H x y z =-u u u u r.又()112,B C =--u u u u r ，11113B H BC =u u u u r u u u u r ，所以()()1111,2,3x y z -=--，从而1112,30.x y z ⎧=-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩即点23⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭H .所以2,233PH ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .所以PH ==u u u r 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性.19．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(F c -，0)、2(F c ，0)，点P在椭圆上，O 为原点. ⑴若PO c =，23F OP π∠=，求椭圆的离心率；⑵若椭圆的右顶点为A ，短轴长为2，且满足2211(3ee OF OA F A+=为椭圆的离心率）. ①求椭圆的方程；②设直线l ：2y kx =-与椭圆相交于P 、Q 两点，若POQ ∆的面积为1，求实数k 的值.【答案】（11（2）①2214x y +=②2k =±【解析】（1）由题意得12PF PF ⊥，利用勾股定理得1PF =，再利用椭圆的定义得到,a c 的关系，从而求得离心率；（2）①由22113eOF OA F A+=，得223c b =，求出,,a b c 后，即可得到椭圆的方程； ②设点()()1122,,,P x y Q x y ，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求得PQ 关于k 的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积POQ S ∆=从而求得k 的值. 【详解】（1）连接1PF .因为22,3OP OF c F OP π==∠=， 所以2POF ∆是等边三角形，所以22,3PF c PF O π=∠=. 又21OP OF OF ==，所以12PF PF ⊥,所以1PF =.于是，有)1221a PF PF c =+=，所以1c e a ==-1. （2）①由22113e OF OA F A +=，得()113cc a a a c +=-， 整理，得223c b =.又因为22b =，所以1b =，22223,4c a b c ==+=.故所求椭圆的方程为2214x y +=.②依题意，设点()()1122,,,P x y Q x y .联立方程组222,1.4y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，并整理得()224116120k x kx +-+=.则()()222256484116430k k k ∆=-+=->，（）且1212221612,4141k x x x x k k +==++，所以12241PQ x k =-==+.又点O 到直线l 的距离为d =，所以1122POQS PQ d ∆=⋅==因为1POQS ∆=1=，解得2k =±.经验证2k =±满足（）式，故所求实数k =【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 20．已知函数21()ln()(1)(2f x ex ax a x e =+++为自然对数的底数）. ⑴当1a =时，求曲线()y f x =在点(1，(1))f 处的切线方程； ⑵讨论()f x 的单调性； ⑶当0a <时，证明3()12f x a≤--. 【答案】（1）8210x y --=（2）见解析（3）证明见解析 【解析】（1）当1a =时，()12f x x x'=++，利用导数的几何意义求得切线方程； （2）对函数进行求导得()()'11()ax x f x x++=，对a 分0a ≥和0a <两种情况进行分类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间； （3）证明不等式()312f x a ≤--成立等价于证明()max 312f x a≤--成立，再构造函数进行证明. 【详解】（1）当1a =时，()()21ln 22f x ex x x =++. 所以()12f x x x '=++， 所以()111241k f '==++=，又()712f =. 所以曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()7412y x -=-， 即8210x y --=.（2）易得()()21111ax a x f x ax a x x+++'=+++=()()11ax x x ++=（0x >）. ①当0a ≥时，()0f x '>，此时()f x 在()0,∞+上单调递增； ②当0a <时，令()0f x '=，得1x a=-. 则当10x a <<-时，()0f x '>，此时()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；当1x a >-时，()0f x '<，此时()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数()f x 在区间10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （3）由（2）知，当0a <时，()f x 在1x a=-处取得最大值， 即()()2max111ln 12e a f x f a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11ln 2a a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()312f x a ≤--等价于()max 312f x a ≤--，即113ln 122a aa ⎛⎫--≤-- ⎪⎝⎭， 即11ln 10a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭.（※） 令1t a=-，则0t >.不妨设()lnt 1g t t =-+（0t >），所以()111tg t t t-'=-=（0t >）. 从而，当()0,1t ∈时，()0g t '>；当()1,t ∈+∞时，()0g t '<， 所以函数()g t 在区间()0,1上单调递增；在区间()1,+∞上单调递减. 故当1t =时()()max 10g t g ==.所以当0t >时，总有()()max 0g t g t ≤=. 即当0a <时，不等式（※）总成立， 故当0a <时，()312f x a≤--成立. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.。
天津市南开区2020届高三数学上学期期末考试试题
天津市南开区2020届高三数学上学期期末考试试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{1，2}，T＝{2，3}，则（∁U S）∩T等于（）A．{2} B．{3} C．{4} D．{2，3，4}2．命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0＝x0﹣1”的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1B．∀x∉（0，+∞），ln x＝x﹣1C．∃x0∈（0，+∞），ln x0≠x0﹣1D．∃x0∉（0，+∞），ln x0＝x0﹣13．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝﹣lgx2C．y＝2x D．y4．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S3+S5＞2S4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．设a＝1﹣20.2，b＝1og3，c＝lg4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．过点A（﹣1，0），斜率为k的直线，被圆（x﹣1）2+y2＝4截得的弦长为2，则k的值为（）A．±B．C．±D．7．函数y＝sincos（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（）A．﹣1 B．﹣1 C．0 D．28．已知点A（2，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：39．四边形ABCD中，BC＝1，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，则的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．（﹣3，﹣1）C．[﹣3，1] D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
10．复数的共轭复数是．11．曲线y在点（1，1）处的切线方程为．12．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，AB＝2，则此球的表面积等于．13．设双曲线C经过点（2，2），且与x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为．14．已知正数x，y满足3，则当x时，x+y的最小值是．15．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b，设f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1），若函数g（x）＝f（x）﹣mx2（m∈R）恰有三个零点x1，x2，x3，则m的取值范围是；x1x2x3的取值范围是．三、解答题：本大题共5题，共75分。
2020届 天津市 部分区高三上学期期末 数学试题(解析版)
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{U =1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{A =2，3，4，6}，{B =1，4，7，8}，则()U A C B ⋂（ ） A ．{4} B ．{2，3，6} C ．{2，3，7} D ．{2，3，4，7}【答案】B【解析】先求出U C B 再与A 取交集，即可得到答案. 【详解】因为{2,3,5,6}U C B =，{A =2，3，4，6}， 所以{2,3,6)}(U A C B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2．抛物线24y x =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．1y =- C ．1x = D ．1y =【答案】A【解析】利用22y px =的准线方程为2p x =-，能求出抛物线24y x =的准线方程. 【详解】24,24,2y x p p =∴==Q ， ∴抛物线24y x =的准线方程为2p x =-， 即1x =-，故选A . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.3．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分别解两个不等式得到集合A ，B ，再利用集合间的关系，即可得到答案. 【详解】解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<， 因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.4．直线10x y -+=与圆22(1)4x y ++=相交于A 、B ，则弦AB 的长度为（ ）A ．B ．C ．2D ．4【答案】B【解析】先求圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式，即可求得答案. 【详解】圆心到直线的距离d ==，所以||AB ===故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.5．已知数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．21n n S a =-B ．12n n S a =-C ．2n n S a =-D ．2n n S a =-【答案】D【解析】根据递推关系求得等比数列{}n a 的通项公式，再求出前n 项和为n S ，化简可得2n n S a =-. 【详解】*12()n n a a n N +=∈Q ，112n n a a +∴=， ∴数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列， ∴11()2n n a -=，∴11112221212n n n n S a --==-=--. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查基本量运算，求解时要注意通过化简找到n S 与n a 的关系.6．已知偶函数()f x 在区间(-∞，1)-上单调递增，若ln3a =，21log 3b =，121log 5c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f c f b f a >> D ．()()()f a f c f b >>【答案】A【解析】根据题意得()f x 在区间(1,)+∞上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得a b c <<，从而利用函数的单调性可得答案.【详解】因为偶函数()f x 在区间(-∞，1)-上单调递增， 所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递减.因为3323311log log 20ln 3log 3log log 2e e >>⇒<⇒<，即12a b <<<， 因为112211log log 254c =>=， 所以a b c <<，所以()()()f a f b f c >>. 故选：A. 【点睛】本题考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和逻辑推理能力.7．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．1()22g π=B ．()g x 的最小正周期是4πC ．()g x 在区间[0，]3π上单调递增D ．()g x 在区间[3π，5]6π上单调递减 【答案】C【解析】根据函数的平移变换求出()g x 的解析式，再一一对照选项验证是否成立. 【详解】函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得：()sin(2)3g x x π=-. 对A，sin()3()2g πππ-==，故A 错误； 对B ，最小正周期为π，故B 错误； 对C ，当023333x x ππππ<-<-<⇒<，因为(,)33ππ-是(,)22ππ-的子区间，故C正确； 对D ，当54263333x x πππππ<<<⇒-<，4(,)33ππ不是3(,)22ππ的子区间，故D 错误； 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力.8．已知双曲线C ：22221(0x y a a b-=>，0)b >的右焦点为F 0)，点P 在C 的一条渐近线上，若(PO PF O =是原点），且∆POF 的面积为4，则C 的方程是（ ）A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22133y x -=D ．2215x y -=【答案】A【解析】根据三角形的面积及PO PF =，求出点P 的坐标，再利用点P 的坐标求渐近线的斜率，从而得到ba的值，再观察选项，即可得到答案. 【详解】因为PO PF =，所以点P 的横坐标等于2因为∆POF 的面积为4，设点P 在第一象限，所以12p p y y =⇒=，所以b a ==，只有选项A 符合. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求解能力，求解时只要得到ba的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量. 9．已知函数2ln(2)23()15363x x f x x x x ⎧-<≤=⎨-+->⎩，若关于x 的方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[3，12]B ．(3，12)C ．(0，12)D ．(0，3)【答案】D【解析】画出函数()f x 的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题，求出直线与抛物线相切时的临界值，再结合图象得到k 的取值范围. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：将直线y kx =代入2()1536f x x x =-+-得：215)360(x k x -++=，当直线y kx =与抛物线相切时，215)1440(3k k --=⇒==∆或27k =，由于方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解， 所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以03k <<. 故选：D. 【点睛】本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解.二、填空题10．i 是虚数单位，若复数z 满足(13)4i z i +=，则z =________. 【答案】6255+i 【解析】利用复数的除法运算，求得z =6255+i . 【详解】44(13)1246213(13)(13)1055i i i i z i i i i -+====+++-. 故答案为：6255+i . 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 11．621(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是________（用数字作答）. 【答案】192-【解析】根据二项展开式得61621(2)()(0,1,,6)rrrr T C x r x -+=-=L ，进而得到1r =时会出现3x 项，再计算其系数. 【详解】666316621(2)()2(1)(0,1,,6)rr r r r r r r T C x C x r x---+=-=⋅⋅-⋅=L ， 当633r -=时，即1r =，所以1533262(1)192T C x x =-=-.故答案为：192-. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题. 12．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 【答案】25【解析】利用1的代换，将求式子43a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】因为4343123()(3)491325b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=，等号成立当且仅当21,55a b ==. 故答案为：25. 【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.13．已知半径为2的球的球面上有A 、B 、C 、D 不同的四点，ABC ∆是边长为3的等边三角形，且DO ⊥平面(ABC O 为球心，D 与O 在平面ABC 的同一侧），则三棱锥D ABC -的体积为______. 【答案】93【解析】作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到答案. 【详解】如图所示，点E 为ABC ∆的中心，则32323BE AC =⋅⋅=， 2OB =，所以22431OE OB BE =-=-=，所以2111393(3)3332ABC V S DE ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=. 故答案为：93.【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，准确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键.14．设{}n a 是等差数列，若59a =，2716a a +=，则n a =_______；若*121()n n n b n N a a +=+∈，则数列{}n b 的前n 项和n S =________. 【答案】21n -22321n nn ++ 【解析】利用等差数列通项公式求得1,a d ，进而求得n a ；求出1112121n b n n =-+-+再利用分组求和法及裂项相消法求n S . 【详解】由题意得：11149,2,212716,1,n a d d a n a d a +==⎧⎧⇒⇒=-⎨⎨+==⎩⎩.因为21111(21)(21)2121n b n n n n =+=-+-+-+，所以111113b =-+，211135b =-+，11,12121n b n n =-+-+L ， 所以212312121n n nS n n n +=-+=++. 故答案为：21n -；22321n nn ++. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写. 15．设点M 、N 、P 、Q 为圆222(0)x y r r +=>上四个互不相同的点，若0MP PN ⋅=u u u r u u u r，且(PM +uuu u r )2PN PQ ⋅=u u u r u u u r ，则PQ =u u u r _______.【解析】根据0MP PN ⋅=u u u r u u u r得到MN 过圆的圆心O ，再利用向量的加法法则得2PM PN PO +=u u u u r u u u r u u u r ，由向量数量积的几何意义得到等式1||cos ||2PO PQ θ=u u u r u u ur ，最后求得||PQ uuu r的值.【详解】因为0MP PN ⋅=u u u r u u u r ，所以MP PN ⊥u u u r u u u r， 所以MN 过圆的圆心O ，所以()22||||cos 2PM PN PQ PO PQ PO PQ θ+⋅=⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因为PO uuu r 在PQ uuu r 向量方向上的投影为：1||cos ||2PO PQ θ=u u u r u u ur ，代入上式得：2||12PQ PQ =⇒=u u u r u u u r【点睛】本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、数量积的几何意义等知识，考查方程思想的运用，求解时注意向量几何意义的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2(sin cos cos sin )sin A C A C A +=sin C +.⑴求证：a 、b 、c 成等差数列； ⑵若7c =，23C π=，求b 和sin 2B 的值.【答案】（1）证明见解析（2）5b =，sin 2B =【解析】（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到2sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理证得2b a c =+，从而证明结论成立；（2）利用余弦定理22+49+=a b ab ，再由（1）27=-a b ，联立求得b 的值；由正弦定理求得sin B ，再利用倍角公式求得sin 2B 的值. 【详解】（1）因为()2sin cos cos sin sin sin +=+A C A C A C ， 所以()2sin sin sin A C A C +=+.由于在ABC ∆中，+=A C B π-，所以()sin sin A C B +=，所以2sin sin sin B A C =+. 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2b a c =+. 所以,,a b c 成等差数列. （2）在ABC ∆中，27,3c C π==， 由余弦定理，得222272cos 3a b ab π=+-, 即22+49+=a b ab .由（1）知27=-a b ，所以()()2227+2749-+-=b b b b ，解得5b =.由正弦定理，得2sin3sin b B c π==. 在ABC ∆中，因为于2=3C π，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11cos 14B ===.所以sin 22sin cos B B B ==. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运算求解能力，求cos B 的值时，注意角0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭这一条件的应用.17．每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰. ⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）310（3）详见解析【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；（2）利用计算原理求得基本事件的总数为310C，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式；（3）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，利用超几何分计算()4 73410k k C CP X kC -==（1,2,3,4k=），最后求得期望值.【详解】（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4:3:3，由于采用分层抽样方法从中选取10人，因此，高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）由（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有4人、3人、3人，所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为111433310310 C C CC⋅⋅=.（3）由题意知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，且X服从超几何分布，()4 73410k k C CP X kC -==（1,2,3,4k=）. 所以，随机变量X的分布列为所以，随机变量X的数学期望为()13111412343010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，1122PA PC ==，1111A B B C =123PB ==，114A C =.⑴求证：PO ⊥平面111A B C ； ⑵求二面角111B PA C --的正弦值；⑶已知H 为棱11B C 上的点，若11113B H BC =u u u u r u u u u r，求线段PH 的长度.【答案】（1）证明见解析（225（3）2【解析】（1）证明11PO A C ⊥，1PO OB ⊥，再根据111A C OB O =I ，从而得到线面垂直的证明；（2）以点O 为坐标原点，分别以11,,OA OB u u u r u u u rOP uuu r的方向为,,x y z 轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值；（3）结合（2）中()12,0,0C -，求得点2423⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭H ，再求PH u u u r 的值，从而求得线段PH 的长度. 【详解】（1）在三角形11PA C 中，11PA PC =且O 为11A C 的中点， 所以11PO A C ⊥.①在1Rt PAO ∆中，11112,2AO AC ==122PA =,22112PO PA AO =-=. 连接1OB ，在111A B C ∆中，1111=23A B BC =111OB AC ⊥ 所以22111122OB A B AO =-=又123PB =22211PB PO OB =+，所以1PO OB ⊥.②又因为111A C OB O =I ，③ 由①②③，得PO ⊥平面111A B C .（2）以点O 为坐标原点，分别以11,,OA OB u u u r u u u r OP uuu r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O ，()()()112,0,0,0,22,0,0,0,2A B P ， 所以()()111=2,22,0,=2,0,2A B A P --u u u u r u u u r.设(),,n x y z =r为平面11PA B 的法向量，则有111·0,·0.n A B n A P ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u v v u u u v v 即2220,220.x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令=1x ，得221.y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r .易得，()1=0,22,0OB u u u r且为平面11PA C 的法向量，所以12n OB =r u u u rg，1n OB =r u u u r ，所以111cos ,5n OB n OB n OB ==r u u u rr u u u r g r u u u r . 故所求二面角111B PA C --=（3）由（2）知()12,0,0C -.设点()111,,H x y z =，则()1111,B H x y z =-u u u u r.又()112,B C =--u u u u r ，11113B H BC =u u u u r u u u u r ，所以()()1111,2,3x y z -=--，从而1112,30.x y z ⎧=-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩即点2,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭H .所以223PH ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .所以PH ==u u u r 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性.19．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(F c -，0)、2(F c ，0)，点P在椭圆上，O 为原点. ⑴若PO c =，23F OP π∠=，求椭圆的离心率；⑵若椭圆的右顶点为A ，短轴长为2，且满足2211(3ee OF OA F A+=为椭圆的离心率）. ①求椭圆的方程；②设直线l ：2y kx =-与椭圆相交于P 、Q 两点，若POQ ∆的面积为1，求实数k 的值.【答案】（11（2）①2214x y +=②k =【解析】（1）由题意得12PF PF ⊥，利用勾股定理得1PF =，再利用椭圆的定义得到,a c 的关系，从而求得离心率；（2）①由22113eOF OA F A+=，得223c b =，求出,,a b c 后，即可得到椭圆的方程； ②设点()()1122,,,P x y Q x y ，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求得PQ 关于k 的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积241POQ S k ∆=+，从而求得k 的值. 【详解】（1）连接1PF .因为22,3OP OF c F OP π==∠=， 所以2POF ∆是等边三角形，所以22,3PF c PF O π=∠=. 又21OP OF OF ==，所以12PF PF ⊥,所以1PF =.于是，有)1221a PF PF c =+=，所以1c e a ==-1. （2）①由22113e OF OA F A +=，得()113cc a a a c +=-， 整理，得223c b =.又因为22b =，所以1b =，22223,4c a b c ==+=.故所求椭圆的方程为2214x y +=.②依题意，设点()()1122,,,P x y Q x y .联立方程组222,1.4y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，并整理得()224116120k x kx +-+=.则()()222256484116430k k k ∆=-+=->，（）且1212221612,4141k x x x x k k +==++，所以12241PQ x k =-==+.又点O 到直线l的距离为d =，所以2211224141POQS PQ d k k ∆=⋅=⨯=++. 因为1POQ S ∆=1=，解得k =经验证2k =±满足（）式，故所求实数2k =±【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 20．已知函数21()ln()(1)(2f x ex ax a x e =+++为自然对数的底数）. ⑴当1a =时，求曲线()y f x =在点(1，(1))f 处的切线方程； ⑵讨论()f x 的单调性；⑶当0a <时，证明3()12f x a≤--. 【答案】（1）8210x y --=（2）见解析（3）证明见解析 【解析】（1）当1a =时，()12f x x x'=++，利用导数的几何意义求得切线方程； （2）对函数进行求导得()()'11()ax x f x x++=，对a 分0a ≥和0a <两种情况进行分类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间； （3）证明不等式()312f x a ≤--成立等价于证明()max 312f x a≤--成立，再构造函数进行证明. 【详解】（1）当1a =时，()()21ln 22f x ex x x =++. 所以()12f x x x '=++， 所以()111241k f '==++=，又()712f =. 所以曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()7412y x -=-， 即8210x y --=.（2）易得()()21111ax a x f x ax a x x+++'=+++=()()11ax x x ++=（0x >）. ①当0a ≥时，()0f x '>，此时()f x 在()0,∞+上单调递增； ②当0a <时，令()0f x '=，得1x a=-. 则当10x a <<-时，()0f x '>，此时()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；当1x a >-时，()0f x '<，此时()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x 在区间10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （3）由（2）知，当0a <时，()f x 在1x a=-处取得最大值， 即()()2max 111ln 12e a f x f a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11ln 2a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()312f x a ≤--等价于()max 312f x a ≤--，即113ln 122a aa ⎛⎫--≤-- ⎪⎝⎭， 即11ln 10a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭.（※） 令1t a=-，则0t >.不妨设()lnt 1g t t =-+（0t >）， 所以()111tg t t t-'=-=（0t >）. 从而，当()0,1t ∈时，()0g t '>；当()1,t ∈+∞时，()0g t '<， 所以函数()g t 在区间()0,1上单调递增；在区间()1,+∞上单调递减. 故当1t =时()()max 10g t g ==.所以当0t >时，总有()()max 0g t g t ≤=. 即当0a <时，不等式（※）总成立， 故当0a <时，()312f x a≤--成立. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.。
天津市六校2020届高三数学第三次模拟联考试题 理(无答案)新人教A版
天津市六校2020届高三数学第三次模拟联考试题 理（无答案）新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷，共 4页满分150分.考试时间120分钟.，将I 卷答案填涂在，答题卡上，将第II 卷答案填写在答题纸上，答在试卷上无效。
一、选择题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
）1.若复数i12i a +-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为 （ ） A. 15 B. 2 C. 12-D. 25-2.设x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+22142y x y x y x ， 则y x z +=（ ）A ．有最小值2,无最大值B ．有最小值2,最大值3C ．有最大值3,无最大值D ．既无最小值,也无最大值 3.已知函数sin()y A x k ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ）A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2)62sin(2+-=πx y C ．2sin(4)23y x π=++ D ．2)62sin(2++=πx y4.执行如图所示的程序框图．若输出31=s ， 则框图中?处可以填入( )A. 4n >B. 8n >C. 16n >D. 16n <5. 在38(1)(1)x x -+的展开式中,含2x 项的系数是n ，若0122(8)n n n nx a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则12n a a a ++⋅⋅⋅+=( )A. 1B. -1C. 1-78 D. -1+786.已知函数()1,021,0.xx f x x ->=+≤⎪⎩，若关于x 的方程()20f x x k +-=有且只有一个的实根，则实数k 的取值范围为 （ ）[ A.(]1,2-B. )2(]1(∞+⋃--∞C.(]0,1 D.[)1,+∞7.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为12,l l ,点P 在第一象限内且在1l 上,若2l ⊥PF1,2l//PF2,则双曲线的离心率（ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ． 2 8.设*{1,2,3}()n X n n N =∈L ，对nX 的任意非空子集A ，定义()f A 为A 中的最大元素，当A 取遍n X的所有非空子集时，对应的()f A 的和为n S ，则=5S （ ）[来A. 104B.120C. 124D.129 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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8．设函数 在 上可导， ，有 且 ；对 ，有 恒成立，则 的解集为（）
A． B．
C． D．
9．在四边形 中， ， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，点 在边 所在直线上，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
解：由题意可得 ，直线 的斜率 ，设 ，
联立得 消去 整理得
，
故选：
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用，双曲线的简单几何性质，属于中档题.
8．C
【解析】
【分析】
构造函数 ，由 ，可得函数 为奇函数．利用导数可得函数 在 和 上是增函数，结合函数的单调性解不等式即可．
【详解】
解：解：令 ，
，
函数 为奇函数．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）线段 上是否存在点 使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由.
18．已知点 ， 分别是椭圆 的左顶点和上顶点， 为其右焦点， ，且该椭圆的离心率为 ；
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点 为直线 与 轴的交点，线段 的中垂线与 轴交于点 ，若直线 斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 （ 为坐标原点），求直线 的方程.
利用排除法，正确答案 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的化简以及最值的判断单调性以及对称性的判断，是中档题．
7．D
【解析】
【分析】
由题意可得 ，直线 的斜率 ，设 ，
表示出直线 ，联立直线方程与抛物线方程，消去 ，列出韦达定理，由 得 ，即可得到 的关系，求出离心率.
【详解】
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过三角函数的最值判断 的正误；三角函数的对称性判断 的正误；三角函数图象变换判断 的正误，推出结果即可．
【详解】
解：由已知得： ，最小值是 ，故 选项错误；
， ，解得 ，对称中心为 ，所以 选项错误；
将 的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 ， ，故 选项错误；
A． B． C． D．
6．已知函数 ，则下列说法中，正确的是（）
A． 的最小值为
B． 的图像关于点 对称
C． 在区间 上单调递增
D．将 的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 ，得到
7．抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点 重合，且相交于 ， 两点，直线 交抛物线于另一点 ，且与双曲线的一条渐近线平行，若 ，则双曲线的离心率为（）
14．若 ，则 的最小值为______．
15．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若函数 ， 在 上有四个零点，则实数 的取值范围为_____________.
评卷人
得分
三、解答题
16．在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（I）求 的值；
（II）求 的值.
17．菱形 中， 平面 ， ， ，
二、填空题
10．设 ，则 ______.
11．曲线 在点 处的切线方程为______________.
12．在 的二项展开式中， 的项的系数是_______.（用数字作答）
13．已知六棱锥 的七个顶点都在球 的表面上，若 ， 底面 ，且六边形 是边长为 的正六边形，则球 的体积为____________________.
2．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．过点 作圆 的切线 ，则 的方程为（）
A． B． 或
C． D． 或
4．已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若 ， ，则 的值是（ ）
A．1B． C． D．
5．设正实数 ， ， 分别满足 ， ， 则 ， ， 的大小关系为（）
5．B
【解析】
【分析】
由 ， 可得 或 ．将 ， 变形为： ， ．分别作出函数： ， ， 的图象．即可得出大小关系．
【详解】
解： ，
解得 或
，
，
分别作出函数： ， ， 的图象．
由图可知
故选：
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的图象及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．C
【解析】
【分析】
2020届天津市高三上学期期末六校联考数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号一Biblioteka 二三总分得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．设集合 .则
A． B． C． D．
20．已知 ，
（1）求 在 处的切线方程以及 的单调性；
（2）对 ，有 恒成立，求 的最大整数解；
（3）令 ，若 有两个零点分别为 ， 且 为 的唯一的极值点，求证： .
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
解二个不等式，化简集合 ，先求出 ,最后求出 .
【详解】
因为 ， ，
所以 ，因此 ，
所以 ，故本题选A.
【详解】
解：
即 在圆上
则过 点的切线方程为
整理得
故选：
【点睛】
本题考查求过圆上一点的切线方程，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
根据等比数列和等差数列的性质求得 和 ，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于 ，利用诱导公式可求得结果.
【详解】
是等比数列
是等差数列
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题.
时， ，
故函数 在 上是增函数，故函数 在 上也是增函数，
【点睛】
本题考查了集合的交集、补集运算，正确解不等式是解题的关键.
2．A
【解析】
【分析】
根据 以及充分不必要条件的定义可得.
【详解】
因为 ，
所以 ,
所以 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选A．
【点睛】
本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.
3．C
【解析】
【分析】
将圆的方程配成标准式，可判断点在圆上，根据过圆 上一点 的切线方程为 整理可得.
19．已知数列 是公比大于 的等比数列， 为数列 的前 项和， ，且 ， ， 成等差数列.数列 的前 项和为 ， 满足 ，且 ，
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和为 ；
（3）将数列 ， 的项按照“当 为奇数时， 放在前面；当 为偶数时， 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，求这个新数列的前 项和 .