随机过程12(3.2) 平稳过程相关函数的性质

k 1l 1
k 1l 1
nn
E[ kX(tk)lX(tl)] k1 l1
n
n
E[ kX(tk) lX(tl)]
k1
l1
n
2
E k X(tk ) 0
k1
特别
(1) 若{X(t),t∈T}是周期平稳过程,即
X ( t T 0 ) X ( t ) ,t T , T 0 是 一 常 数 （ 称 为 周 期 ）
又 2 R X s (ts,t)(t,t) lit m 0 sR X (s,t tt) sR X (s,t)(t,t) lit m 0 sRX(tt st) sRX(ts)(t,t) lit m 0 R X (t t s t) R X (t s)(t,t) lit m 0 （ R X (t s tt) R X (t s)） (t,t)
(2) 若{X(t),t∈T}均方可导,则其导数过程 {X′ (t),t∈T} 仍然是平稳过程.且
m X (t) 0 ,R X () R X ()
证明 (2) mX(t)=E[X(t)]
X(tt)X(t)
E[l.i.m
]
t 0
t
lim E [X(t t)]E [X(t)]0
t 0
t
2 RX(s,t)=st RX(s,t)
所 以 R X ()在 0 处 连 续 .
{X(t),t∈T}均方连续
下证RX(τ)是连续函数
RX()在 0连 续 ， { X ( t) , t T } 均 方 连 续 ，
则对0有
0 R X () R X (0 ) E [ X ( t ) X ( t ) ] E [ X ( t ) X ( t 0 ) ]
R X ( ) 在 = 0 处 一 阶 , 二 阶 导 数 存 在
sR X (s ,t)s t li s m 0R X (t s ,ts ) R X (t,t)
limRX(s)RX(0)
s0
s
limRX(s)RX(0)
s 0
s
RX (0)
即 RX(s,t)在(t,t)处关于s的一阶偏导数存在. 同理可证 RX(s,t)在(t,t)处关于t的一阶偏导数存在.
(1) {X(t),t∈T}均方可导的充分条件是 RX(τ)在τ=0处一阶导数存在,二阶 导 数存在且连续. {X(t),t∈T}均方可导的必要条件是 RX(τ)
在τ=0处一阶导数,二阶导数存在.
证明 (1)（ 必 要 性 ） 由 { X ( t) ,t T } 均 方 可 导
R X ( s ,t) 在 ( t,t) 处 广 义 二 阶 可 导 R X ( s , t ) 在 ( t , t ) 处 一 阶 , 二 阶 导 数 存 在
RX (ts) (t,t) RX (0) 同 理 2 R X t (s s,t)(t,t) R X (t s)(t, t) R X (0 )
R X ( s , t ) 在 ( t , t ) 处 二 阶 混 合 偏 导 数 存 在 , 且 连 续 { X (t),t T } 均 方 可 导
RX(τ)在τ=0处连续. 此时,RX(τ)是连续函数.
证明 t T ,
E X (t) X (t)2 E [(X (t) X (t))(X (t) X (t))]
R X ( t , t ) R X ( t , t ) R X ( t , t ) R X ( t , t )
R X ( 0 ) R X ( ) R X () R X ( 0 )( )
充分性 若 R X ( ) 在 0 连 续 ， 即 R X ( ) R X ( 0 （ ) 0 ）
由 （ ） 得 E X (t) X (t)2 （ 0 0 ）
由均方连续的定义{X(t),t∈T}均方连续.
则其相关函数也是周期函数,且周期相同也 为T0.
(2)实 平 稳 过 程 的 相 关 函 数 为 偶 函 数 即
R X( )R X()
(3) 平 稳 过 程 的 协 方 差 函 数 C X()具 有 C X(0)D X(t)0; C X()C X(0)
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程.则{X(t),t∈T}均方 连 续的充要条件是
必要性 若{X(t),t∈T}均方连续.则有
0 R X () R X ( 0 ) E [ X ( t) X ( t ) ] E [ X ( t) X ( t) ]
E[X(t)(X(t)X(t))]
E[X(t)(X(t)X(t))]
1
1
(EX (t)2)2(EX (t)X (t)2)2
1
1
(R X(0))2(EX(t)X(t)2)20 ( 0)
E [X(t)(X(t)X(t0))]
E[X(t)(X(t)X(t0))]
1
1
(E X (t)2)2(EX (t) X (t0)2)2
1
1
(R X(0 ))2(EX (t )X (t 0)2)20 (0)
由 0 的 任 意 性 ， R X () 是 连 续 函 数 .
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程,
l im 0 R X ( ) R X ( 0 ) l im 0 R X ( t,t ) R X ( t,t)
t RX(s,t) st
即 RX(τ)在τ=0处一阶导数存在. 同理可证 RX(τ)在τ=0处二阶导数存在.
（ 充 分 性 ） 由 R X ( ) 在 = 0 处 二 阶 可 导
=
2 st
RX
(t
s)
=
t
[RX (t
s)]
=R X (ts)R X ()
即 导数过程{X′ (t),t∈T} 仍然是平稳过程.
推论 (1) 设{X(t),t∈T}是均方可导的实平稳过程. 则对任意的t∈T, X(t)与X′(t)不相关.
§2 平稳过程相关函数的性质
一般用数字特征描述随机过程比用分 布函数相对简便.
对于平稳过程,描述其统计特性的数 字特征是相关函数.
( 4 ) 对 n 1 , t 1 , t 2 ,, t n T 及 复 数 1 ,2 ,,n 有
n n
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k lR X (tl tk) k lE [X (tk)X (tl)]