随机过程12(3.2) 平稳过程相关函数的性质
随机过程课程第五章 平稳过程
（1）均值函数为常数： m(t) E[X (t)] m
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记
B( ) R(t1,t2 )
证 只对连续型的情况
m(t) E[ X (t)] xf (t；x)dx
xf (x)dx m
首页
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
而与时间起点无关。
证
首页
一对维任意的 ，必有 f (t；x) f (t ；x) 若令 t ，得
f (t；x) f (0；x) f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
即 F(t；x) F(0；x)
证 二维 对于二维概率密度，有
f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 ,t2 ；x1, x2 )
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第三节 平稳正态过程与正交增量过程
一、平稳正态过程
定义1 若正态随机过程{ X (t) ,t (,) }，满足
E[X (t)] m
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] B( )
则称 X (t)为平稳正态过程。
t1 t2
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证
由于
第五章 平稳过程
第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节 基本概念
一、严平稳过程
定义1 设随机过程{ X (t) ,t T }， 若对任意n，任意 t1，t2 , , tn T t1 t2 tn 当t1 ，t2 ，…，tn T 时，有 F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn ) P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )}
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念引言在随机过程中，平稳随机过程是一个非常重要的概念。
它是随机过程中的一种特殊情况，具有统计性质保持不变的特点。
本文将对平稳随机过程的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是随机过程？随机过程是一种随时间变化的随机现象。
它可以用数学模型来描述，在数学上通常用随机函数的集合来表示。
随机过程通常包括一个样本空间、一个时间索引集和一组定义在样本空间上的随机变量。
平稳随机过程的定义平稳随机过程是指在统计平均意义下不随时间变化的随机过程。
也就是说，对于平稳随机过程的任意时刻，其统计性质都保持不变。
具体而言，平稳随机过程要求满足以下两个条件：1.均值稳定性：随机过程的均值在时间上保持不变。
2.自相关性稳定性：随机过程的自相关函数在时间上保持不变。
平稳随机过程的类型根据时间独立性和样本独立性的条件，平稳随机过程可以分为以下几种类型：宽平稳随机过程宽平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，并且在不同时刻的随机变量之间是独立的。
宽平稳随机过程是最理想的平稳随机过程，但在实际中很难满足宽平稳的条件。
严平稳随机过程严平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，但随机变量之间不一定是独立的。
严平稳随机过程是宽平稳随机过程的一种特殊情况。
近似平稳随机过程近似平稳随机过程是指在短时间尺度上，随机过程的统计性质是平稳的，但在长时间尺度上可能出现变化。
近似平稳随机过程在实际中比较常见。
平稳随机过程的性质平稳随机过程具有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：平均值稳定性平稳随机过程的均值不随时间变化，这意味着随机过程的平均水平保持不变。
自相关性稳定性平稳随机过程的自相关函数不随时间变化，这意味着随机过程的相关性保持不变。
谱密度稳定性平稳随机过程的谱密度函数不随时间变化，这意味着随机过程的频谱特性保持不变。
时不变性平稳随机过程在时间上是不变的，这意味着随机过程的统计性质与时间无关。
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
平稳随机过程及其遍历性
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
第四章 随机过程中的平稳过程
RX ( ) E[ X (t )X (t )] =E[ X (t ) X (t )] RX ( )
R(s, t ) E[ X (s)X (t )] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽 平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二
阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。
而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机
过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给
出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇
到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意
若令 t 2 ，得
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0；x1 , x2 ) f (；x1 , x2 )
其中 同理
t1 t2
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关，即
t1 t2
有关，
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) F (；x1 , x2 )
j [ l ( t ) k t ] E X X e k l k 1 l 1
bk e jk
k 1
RY ( )
所以， {Y (t ), t }具有平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
P
k 0
2平稳过程相关函数性质及各态历经性
事实上
Xt , Xt +
Cov( Xt , Xt ) D( Xt )D( Xt )
RX (t,t ) mX (t)mX (t ) CX (t,t)CX (t ,t )
RX
( ) | mX
CX (0)
|2
CX CX
( )
(0)
rX
( )
此外，由Cauchy-Schwarz不等式易得
|rX ( )| 1
rX
(
)
CX CX
( )
(0)
e2|| ,
rY
(
)
CY CY
( )
(0)
sin(
)
于是
X 0
e2 d 1 ,
0
2
Y 0
sin d 0
2
因
X 0
Y 0
故
X
随时间的变化程度要比
Y
剧烈.
(2) / 时 rX ( ) e2 , rY ( ) 0 ，故此时 X 是相关
而 Y 已不相关.
T
X (t)X (t )dt
2T T
T
l.i.m a2
T
cos(t )cos((t ) )dt
2T T
T
l.i.m a2
T
[cos(2t 2) cos( )dt
4T T
T
l.i.m [ a2 sin(2T ) cos( 2) a2 cos( )]
T 4T
2
a2 cos
对参数集为非负实数的平稳过程 X {X (t) : t 0}
时间平均
1T
X (t) l.i.m
X (t)dt
T0
T
概率论第三章 平稳随机过程
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
二平稳过程相关函数的性质
(E X (t ) ) ( E X (t ) X (t 0 ) )
1 2 1 2 2
(R X (0)) (E X (t ) X (t 0 ) ) 0 ( 0 )
由 0的任意性，RX ( )是连续函数.
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程,
b
a
b
a
f (s) f (t ) RX (s, t )dsdt存在
f (t ) X (t )dt存在
又 E[ g (s) X (s)ds f (t ) X (t )dt ]
a a
* * lim g (sk ) f (tl )E[ X (sk ) X (tl )]sk tl 0 k 1 l 1 n n
n n k l
2 2
0
, tn T 及复数1 , 2 ,
X
, n有
R
k 1 l 1
(tl t k ) 0
证明 (1) RX (0) E[ X (t )X (t )]
E X (t )
2 2 2
D[ X (t )] mX mX 0
(2) RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
E[ X (t )X (t )] RX ( )
(3) RX ( ) E[ X (t )X (t )]
E X (t ) X (t ) (E X (t ) ) (E X (t ) )
1 2 2 1 2 2
( RX (0)) ( RX (0)) RX (0)
b
b
b
a
b
a
RX (t s) f (t ) g (s)dsdt
平稳过程的定义
平稳过程的定义平稳过程是概率论和统计学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍平稳过程的定义、特性以及其在实际中的应用。
一、平稳过程的定义平稳过程是指在统计意义上具有不变性的随机过程。
换句话说，无论观察这个随机过程的哪一段，其统计特性都是不发生变化的。
具体而言，平稳过程要满足两个条件：其一是均值不变性，即随机过程的均值在时间上是恒定的；其二是自协方差函数不变性，即随机过程的自协方差函数只与时间差有关，而与具体的时间点无关。
二、平稳过程的特性平稳过程具有许多重要的特性，下面将逐一介绍。
1. 均值不变性：平稳过程的均值在时间上是恒定的，即随机过程的均值不随时间变化而变化。
2. 自协方差函数不变性：平稳过程的自协方差函数只与时间差有关，而与具体的时间点无关。
这意味着随机过程的协方差结构是不变的，不会随时间的推移而发生变化。
3. 自相关函数的性质：平稳过程的自相关函数具有一些特殊的性质。
首先，自相关函数是偶函数，即关于时间差的自相关系数关于原点对称。
其次，自相关函数在时间差为零时达到最大值，随着时间差的增加逐渐减小。
4. 平稳过程的谱密度函数：平稳过程的谱密度函数是描述随机过程在频域上的性质的函数。
对于平稳过程，其谱密度函数是实数函数，并且具有正定性和对称性。
三、平稳过程的应用平稳过程在许多领域中都有广泛的应用，下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 金融领域：平稳过程在金融领域中有着重要的应用。
例如，股票价格的随机波动可以用平稳过程来建模，从而为投资者提供决策依据。
此外，利率、汇率等金融指标的变动也可以通过平稳过程来进行建模和预测。
2. 信号处理：平稳过程在信号处理领域中被广泛应用。
例如，通过分析语音信号的平稳过程，可以实现语音识别和语音合成等功能。
此外，平稳过程还可以用于图像处理、雷达信号处理等领域。
3. 通信系统：平稳过程在通信系统中也有重要的应用。
例如，通过建立信道模型的平稳过程，可以分析和优化通信系统的性能。
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。
具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。
平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。
弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。
对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。
具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。
2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。
强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。
这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。
平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。
由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。
第十二章 平稳随机过程
{ X t }是严平稳过程当且仅当 （）所有的X t同分布。 1 （2）对任意n ≥ 2, ( X t1 , X t2, ..., X tn )的分布 仅与时间差t2 − t1,t3 − t2, ..., tn − tn −1有关， 而与起始时间t1无关。
严平稳过程的数字特征：
设严平稳过程 { X ( t )} 是二阶矩过程，则 （1）µ X ( t ) = E X ( t ) = E X ( 0 ) ＝＝ µ X ( 常数 ) （2）RX ( t1 , t2 ) = E X ( t1 ) X ( t2 ) = E X ( 0 ) X ( t2 − t1 ) ＝＝ RX ( t2 − t1 )
解： X ( t ) > = lim 1 < T →+∞ 2T
将Θ看作一定值
X ( t ) = acos (ω t + Θ )的时间平均
T
∫
−T
acos (ω t + Θ ) dt
a sin (ωT + Θ ) − sin ( −ωT + Θ ) ＝＝＝＝ lim T →+∞ 2T ω
20
独立同分布平稳序列的均值遍历性
设X 1 ,K , X n， , 独立同分布，EX 1 = µ , DX 1 = σ 2 > 0, K 则大数定理成立：
1 p → ∑ X i µ n i =1
n
定理一： (均值各态历经定理 ) P{< X (t ) >= µ X } = 1 ⇔ 1 lim T →+∞ T
1 2 n
t1 , t2 ,L tn ∈ T 和任意实数h，当t1 + h, t2 + h,L , tn + h ∈ T 时,
随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性
随机过程的遍历性
1 a x(t ) lim T T
T 2
T 2
x(t ) dt
1 T2 R( ) x(t ) x(t ) lim x(t ) x(t )dt T T T 2
如果平稳过程使下式成立
a a R( ) R( )
随机过程
1 2
平稳性 遍历性 正交性、不相关性与独立性 正态随机过程的主要性质
3
4
随机过程的平稳性 ， f ( x, y, z, t ) f ( x, y, z, t )，当 x x x 的特性不变，就称 f ( x, y, z, t ) 关于 x 函数是平稳的。 平稳性：若一个函数 判断方法： 方法一： 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )]与时间t 无关。 方法二：若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。 实际意义：
严格平稳
一定
广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
随机过程的遍历性
• 实际意义： 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计 平均，但在实际过程中很难测得大量的样本。因此，我们想在满足一定条件下， 从一次试验中得到一个样本函数来决定平稳过程的数字特征，这就是各态历经 性，又称遍历性。
3.高斯过程有很多与高斯变量类似的统计特征，如：
•
• • • •
高斯过程通过线性系统或高斯过程的线性组合仍为高斯型。
如果高斯过程是广义平稳的，则等价于平稳。 如果高斯过程的时间进程中两个不同时刻的随机变量不相关，则等价于统计独立。 高斯过程的线性积分则为相应的高斯随机变量。 两个高斯分布律的随机变量的卷积是高斯分布律，它的均值和方差是原来两个高斯分 布律的均值和方差的代数和。
2.2.4平稳随机过程的相关性分析
1 xT (t )的平均功率：w 2
1 2
2
1 2 E[ X T ( ) ] d Tlim 2T
S X ( ) d
1 对于平稳过程 : W E[ X (t )] RX (0) 2
证明 : 因为 : RXY ( ) RX (0) RY (0)
任何正数的几何平均值小 于等于它的算术平均值。
2
1 ab (a b) 2
RXY ( )
1 RX (0) RY (0) [ RX (0) RY (0)] 2
17
2 X
e (1 ) 0 e (1 ) 2 X
2 X
6
三、互相关函数性质
1 、R
XY
( ) RYX ( )
同理 : CXY ( ) CYX ( )
2
2、 互相关函数的幅度平方满足 : RXY ( ) RX (0) RY (0)
2 2 X RX (0) mX
2 X RX (0) RX ()
RX ( )
RX (0)
2 X
2 mX
3
例2.2.5 非周期平稳随机过程 X (t )的自相关函数 9 RX ( ) 16 , 求数学期望及方差 . 2 1 3
9 m RX () lim RX ( ) lim[16 ] 16 2 1 3
S X ( )d
12
维纳—辛钦定理
S X ( ) RX ( )e j d FT[ RX ( )]
平稳随机过程
平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。
一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。
简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。
通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。
以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。
二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。
设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。
因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。
三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。
例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。
试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。
证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。
随机过程课后习题答案
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211ττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a a⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t t at at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：→∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N kkN N k kN N kN kq t qtN N k N kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦N k k k k kN k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!!N kkN kqt P X t k N q t q t N k k qt ek -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
简述平稳随机过程自相关函数的主要性质
简述平稳随机过程自相关函数的主要性质
平稳随机过程自相关函数（SCF）是一个强大的统计工具，用于描述一个随机过稳的序列
的特征。
一般来说，它由一个拉基斯蒂（ρ）系数表示，该系数用于衡量每个序列中的自
相关，并给出了自相关度。
平稳随机过程在数学中被定义为具有概率分布的对数经验分布，其中每个值都是彼此独立的，而且它们的联系仅由自相关函数确定。
平稳随机过程自相关函数主要用于测量序列特征和特征之间的关联。
它可以用来识别一个
序列中是否存在某种类型的模式或季节性变化。
它还可以测量时间序列的稳定性，即在整
个序列中，特定序列的自相关是否保持不变。
此外，平稳随机过程自相关函数还可以用于帮助确定一个模型可以被称为“平稳”的统计属性，这一属性是许多机器学习算法代码的基础条件。
它们还可以帮助确定是否一个序列属
于有效或无效的情况。
平稳随机过稳的主要特性是其分布图是对数经验分布，它的特征之间的联系仅由自相关函
数定义。
该函数的参数由拉基斯蒂（ρ）系数确定，它用于衡量自相关的程度。
此外，它
可以用来检测某种模式或季节性变化，并用于序列的稳定性测试并验证一个模型是否平稳，以及时间序列是有效序列还是无效序列。
随机过程中的平稳性和自相关函数
随机过程中的平稳性和自相关函数随机过程是描述随机现象演化的数学对象，随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
平稳性和自相关函数是研究随机过程性质的重要工具。
一、平稳性平稳性是指随机过程的一些统计性质在时间的平移下不变。
对于离散时间随机过程，平稳性可以根据不同的定义分为弱平稳性和强平稳性。
弱平稳性指随机过程的一阶和二阶矩在时间上无规律变化，而强平稳性则要求随机过程所有阶的矩在时间上均不变。
对于连续时间随机过程，平稳性的定义有所不同。
连续时间随机过程的平稳性通常指它的概率分布在时间的平移下不变。
这种平稳性也称为稳定性。
例如，如果一个随机过程是平稳的，那么在任意时间t，它的统计特性必须与它在时间t+n的统计特性相同，其中n是任意整数。
平稳性是研究随机过程的基本性质之一。
它在信号处理和时间序列分析中有着广泛的应用。
例如，通过分析一个随机过程的平稳性，可以在背景噪声中提取出有用的信号。
二、自相关函数自相关函数是研究随机过程的另一个重要工具。
自相关函数指的是随机过程在时间t和另一个时间t+h上的取值之间的相关性。
一般地，随机过程X(t)的自相关函数可以表示为：R(h) = E[X(t)X(t+h)]其中，E表示期望。
自相关函数描述了随机过程在时间上的依赖关系。
自相关函数可以帮助我们研究随机过程的基本性质。
例如，自相关函数越快地衰减，那么随机过程就越具有独立性。
通过比较不同随机过程的自相关函数，还可以研究它们的相似性和差异性。
总之，平稳性和自相关函数是研究随机过程的基本工具。
它们在许多领域中都有着重要的应用，包括信号处理、时间序列分析、金融建模等。
对于数学、统计学等领域的学生和从事相关工作的人来说，理解和掌握这些概念至关重要。
相关函数的性质精选全文
前面已经指出，作为随机过程的基本 数字特征是均值函数和相关函数。对平稳 过程而言，由于它的均值函数是常数，经 中心化后为零，所以基本特征实际就是相 关函数。
下面我们专门研究一下平稳过程相关函数 的性质。
1
一、自相关函数的性质
性质１
RX 0
E[
X
2
t
]
2 X
0
即平稳过程的均方值可以由自相关函
续，这对于一般连续函数是不具备这样 的性质的。
12
二、互相关函数的性质 设 X (t) 和 Y (t) 为联合平稳过程，
其互相关函数为：
RXY ( ) E[ X (t)Y (t )]
RXY (t ) 具有下列性质：
13
性质 1 RXY ( ) RYX ( )
事实上
RXY ( ) E[ X (t)Y (t )] E[Y (t )X (t)] RYX ( )
增大时 X (t) 与 X (t ) 之间相关性会 减弱，在 的极限情况下，两
者相互独立。
9
于是有：
lim
RX
lim
EX
t X
t
lim EX t EX t
2 X
若 E[X (t)] 0
则
lim
RX
0
10
例：已知平稳过程 X (t)，当 的绝对值 充分大时，过程的状态 X (t) 与 X (t )
数，令 0 得到，后面我们将指出RX 0
代表了平稳过程的“平均功率”。
2
性质２ RX 是偶函数，即满足 RX RX
这是因为相关函数具有对称性
RX EX t X t EX t X t RX
依据这个性质，在实际问题中只需计算
平稳过程的自相关函数性质
平稳过程的自相关函数性质平稳过程的自相关函数性质：1 、平稳过程的自相关函数在上的值是非负值。
在下面将看到表示平稳过程X (t) 的“平均功率”。
2、即自相关函数在是变量的偶函数。
一、平稳过程的定义从通俗意义上去理解，平稳过程指的是统计特性不随时间的推移而改变的一类随机过程。
随机过程的统计特性一般通过有限维分布和数字特征进行刻画。
我们根据这些不变的特征，给出两种平稳过程的定义，即严平稳过程和宽平稳过程。
严平稳过程和宽平稳过程的关系我们只需要记住以下两条：1.如果严平稳过程的二阶矩存在且有限，那么它一定是宽平稳过程，反之则不一定。
2.如果宽平稳过程是正态过程，那么它一定是严平稳过程。
宽平稳过程一定是二阶矩过程。
以后提到的平稳过程，除非特别指明，否则都指的是宽平稳过程。
二、自相关函数的性质对于平稳过程而言，我们主要研究的数字特征就是自相关函数或自协方差函数。
设 {X(t),t∈T}{X(t),t∈T} 是宽平稳过程，定义自相关函数和自协方差函数为rX(τ)=E(X(t)X(t+τ)),CX(τ)=Cov(X(t),X(t+τ)) ,∀τ∈T ,rX(τ)=E(X(t)X(t+τ)),CX(τ)=Cov(X(t),X(t+τ)) ,∀τ∈T , 则有以下性质1.rX(0)≥0,CX(0)≥0rX(0)≥0,CX(0)≥0；2.rX(τ)rX(τ)和CX(τ)CX(τ)均为偶函数；3.|rX(τ)|≤rX(0),|CX(τ)|≤CX(0)|rX(τ)|≤rX(0),|CX(τ)|≤CX(0)，即 00 点是最大值点；4.rX(τ)rX(τ)和CX(τ)CX(τ)均为非负定函数；。
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必要性 若{X(t),t∈T}均方连续.则有
0 R X () R X ( 0 ) E [ X ( t) X ( t ) ] E [ X ( t) X ( t) ]
E[X(t)(X(t)X(t))]
E[X(t)(X(t)X(t))]
1
1
(EX (t)2)2(EX (t)X (t)2)2
1
1
(R X(0))2(EX(t)X(t)2)20 ( 0)
(1) {X(t),t∈T}均方可导的充分条件是 RX(τ)在τ=0处一阶导数存在,二阶 导 数存在且连续. {X(t),t∈T}均方可导的必要条件是 RX(τ)
在τ=0处一阶导数,二阶导数存在.
证明 (1)（ 必 要 性 ） 由 { X ( t) ,t T } 均 方 可 导
R X ( s ,t) 在 ( t,t) 处 广 义 二 阶 可 导 R X ( s , t ) 在 ( t , t ) 处 一 阶 , 二 阶 导 数 存 在
RX (ts) (t,t) RX (0) 同 理 2 R X t (s s,t)(t,t) R X (t s)(t, t) R X (0 )
R X ( s , t ) 在 ( t , t ) 处 二 阶 混 合 偏 导 数 存 在 , 且 连 续 { X (t),t T } 均 方 可 导
R X ( 0 ) R X ( ) R X () R X ( 0 )( )
充分性 若 R X ( ) 在 0 连 续 ， 即 R X ( ) R X ( 0 （ ) 0 ）
由 （ ） 得 E X (t) X (t)2 （ 0 0 ）
由均方连续的定义{X(t),t∈T}均方连续.
R X ( ) 在 = 0 处 一 阶 , 二 阶 导 数 存 在
sR X (s ,t)s t li s m 0R X (t s ,ts ) R X (t,t)
limRX(s)RX(0)
s0
s
limRX(s)RX(0)
s 0
s
RX (0)
即 RX(s,t)在(t,t)处关于s的一阶偏导数存在. 同理可证 RX(s,t)在(t,t)处关于t的一阶偏导数存在.
§2 平稳过程相关函数的性质
一般用数字特征描述随机过程比用分 布函数相对简便.
对于平稳过程,描述其统计特性的数 字特征是相关函数.
( 4 ) 对 n 1 , t 1 , t 2 ,, t n T 及 复 数 1 ,2 ,,n 有
n n
nn
k lR X (tl tk) k lE [X (tk)X (tl)]
l im 0 R X ( ) R X ( 0 ) l im 0 R X ( t,t ) R X ( t,t)
t RX(s,t) st
即 RX(τ)在τ=0处一阶导数存在. 同理可证 RX(τ)在τ=0处二阶导数存在.
（ 充 分 性 ） 由 R X ( ) 在 = 0 处 二 阶 可 导
(2) 若{X(t),t∈T}均方可导,则其导数过程 {X′ (t),t∈T} 仍然是平稳过程.且
m X (t) 0 ,R X () R X ()
证明 (2) mX(t)=E[X(t)]
X(tt)X(t)
E[l.i.m
]
t 0
t
lim E [X(t t)]E [X(t)]0
t 0
t
2 RX(s,t)=st RX(s,t)
则其相关函数也是周期函数,且周期相同也 为T0.
(2)实 平 稳 过 程 的 相 关 函 数 为 偶 函 数 即
R X( )R X()
(3) 平 稳 过 程 的 协 方 差 函 数 C X()具 有 C X(0)D X(t)0; C X()C X(0)
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程.则{X(t),t∈T}均方 连 续的充要条件是
E [X(t)(X(t)X(t0))]
E[X(t)(X(t)X(t0))]
1
1
(E X (t)2)2(EX (t) X (t0)2)2
1
1
(R X(0 ))2(EX (t )X (t 0)2)20 (0)
由 0 的 任 意 性 ， R X () 是 连 续 函 数 .
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程,
=
2 st
RX
(t
s)
=
t
[RX (t
s)]
=R X (ts)R X ()
即 导数过程{X′ (t),t∈T} 仍然是平稳过程.
推论 (1) 设{X(t),t∈T}是均方可导的实平稳过程. 则对任意的t∈T, X(t)与X′(t)不相关.
所 以 R X ()在 0 处 连 续 .
{X(t),t∈T}均方连续
下证RX(τ)是连续函数
RX()在 0连 续 ， { X ( t) , t T } 均 方 连 续 ，
则对0有
0 R X () R X (0 ) E [ X ( t ) X ( t ) ] E [ X ( t ) X ( t 0 ) ]
k 1l 1
k 1l 1
nn
E[ kX(tk)lX(tl)] k1 l1
n
n
E[ kX(tk) lX(tl)]
k1
l1
n
2
E k X(tk ) 0
k1
特别
(1) 若{X(t),t∈T}是周期平稳过程,即
X ( t T 0 ) X ( t ) ,t T , T 0 是 一 常 数 （ 称 为 周 期 ）
RX(τ)在τ=0处连续. 此时,RX(τ)是连续函数.
证明 t T ,
E X (t) X (t)2 E [(X (t) X (t))(X (t) X (t))]
R X ( t , t ) R X ( t , t ) R X ( t , t ) R X ( t , t )
又 2 R X s (ts,t)(t,t) lit m 0 sR X (s,t tt) sst) sRX(ts)(t,t) lit m 0 R X (t t s t) R X (t s)(t,t) lit m 0 （ R X (t s tt) R X (t s)） (t,t)