初二上数学提高练习题及参考答案1

l

提高练习1

说明：此题均取自上届初二第一学期期末考试题。认真思考，好好做一做。

26. （2019通州区）已知：过点A 的射线l ⊥AB ，在射线l 上截取线段AC =AB ，

过 A 的直线m 不与直线l 及直线AB 重合，过点B 作BD ⊥m 于点D,过点C 作CE ⊥m 于点E . （1）依题意补全图形； （2）求证：△AEC ≌△BDA.

26．（1）如图. …………………………………..(2分)

（2）证明：∵直线l ⊥AB ∴∠CAB =90°

∴∠CAE+∠DAB =90°…………………………………..(3分) ∵BD ⊥m ∴∠ADB =90°

∴∠DAB+∠B =90°…………………………………..(4分) ∴∠CAE=∠B …………………………………..(5分) ∵BD ⊥m 于点D, CE ⊥m 于点E . ∴∠CEA =∠DAB =90°

在△AEC 和△BDA 中

CAE B CEA DAB AC BA ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AEC ≌△BDA . ………………………….(6分)

27.（2019通州区）已知：线段AB .

（1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线l ，与线段AB 交于点D ；（保留作图痕迹，不

写作法）

（2）在（1）的基础上，点C 为l 上一个动点(点C 不与点D 重合)，连接CB ，过点A 作

AE ⊥BC ，垂足为点E .

①当垂足E 在线段BC 上时，直接写出∠ABC 度数的取值范围. ②若∠B =60º，求证：12

BD BC =

.

27.（1）按要求作图…………………………………..(1分)

（2）①45°≤∠ABC ＜90° …………………………………..(3分)

② 连接AC

∵CD 是

AB 的垂直平分线

∴1

2

BD AB =

CA =CB …………………………………..(5分)

又∵∠B =60º

∴△ABC 是等边三角形…………………………………..(6分) ∴BC =AB ∴1

2

BD BC =

…………………………………..(7分)

A

B

28.（2019通州区）在等边ABC ∆中，

（1）如图1，P ，Q 是BC 边上两点，AP=AQ ，20BAP ∠=︒，求AQB ∠的度数； （2）点,P Q 是BC 边上的两个动点（不与,B C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP AQ =，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接,.AM PM ①依题意将图2补全； ②求证：.PA PM =

28. （1）解：∵ △ABC 为等边三角形

∴∠B =60°

∴∠APC =∠BAP +∠B=80° ∵AP=AQ

∴∠AQB=∠APC =80°……………………………..(2分)

（2）① 补全图形如图所示

②证法不唯一

证明：过点A 作

AH ⊥BC 于点H ，如图. 由△ABC 为等边三角形，AP=AQ ，

可得∠PAB =∠QAC . …………………………………..(5分)

∵点Q ，M 关于直线AC 对称， ∴∠QAC =∠MAC ，AQ =AM ∴∠PAB =∠MAC ，AQ =AM

∴∠PAM =∠BAC =60°…………………………………..(6分) ∴△APM 为等边三角形

∴PA =PM . …………………………………..(7分)

C

B C

B M

B

M

B

Q

P

F E

D

C

B

A

27．（2019东城区）（本小题6分）

（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC 边长为2，过AB 边上一

点P 作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长.

小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P 作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.

请根据小明同学的思路直接写出DE 的长. （2）【类比探究】

老师引导同学继续研究：

1.等边△ABC 边长为2，当P 为BA 的延长线上一点时,作PE ⊥CA 的延长线于点E ，Q 为边BC 上一点，且AP=CQ ，连接PQ 交AC 于D .请你在图（2）中补全图形并求DE 的长.

2. 已知等边△ABC ，当P 为AB 的延长线上一点时,作PE ⊥射线AC 于点E ， Q 为

（○

1BC 边上；○2BC 的延长线上；○3CB 的延长线上）一点，且AP =CQ ，连接PQ 交直线AC 于点D ，能使得DE 的长度保持不变.(将答案的编号填在横线上)

图（1） 图（2） （备用图）

27. 解：（1）DE=1. ………………………1分

(2) 1. 正确补全图形. ……………2分 过点P 作PF ∥BC 交CA 的延长线与点F . ∴ ∠PF A =∠C .

∵ △ABC 是等边三角形， ∴ 可证 △APF 为等边三角形.

C B A C B A

∴AP=PF.

又∵PE⊥CA的延长线于点E ，

∴AE=FE=1

2

AF. ……………3分

∵AP=CQ，

∴PF=QC.

∵∠FDP=∠CDQ，∴△FDP≌△CDQ.

∴FD=CD=1

2

CF. ……………4分

∵DE=DF-EF=111

1

222

CF AF AC

-==. ……………5分

2. ○2. ……………6分