2021年天一大联考高考模拟文科数学试题及答案解析
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十三)数学文科
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|10}A x x =->，{|0}B x x =>，则A B =（ ）A. (1,)+∞B. (0,1)C. (0,)+∞D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式10x ->即可.【详解】因为10x ->，所以1x <，所以(,1)A =-∞，因为(0,)B =+∞，所以(0,1)A B =．故选：B【点睛】本题考查集合的运算，较简单.2.复数31iz i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果. 【详解】因为复数3i (3)(1)121i (1)(1)i i z i i i +++===+--+ 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限 故选A【点睛】本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题. 3.已知3log 0.3a =， 4.13b -=，32c =，则（ ） A. c b a << B. c a b <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指对数函数的知识得出,a b 的范围即可. 【详解】因为3log 0.30a =<， 4.13(0,1)b -=∈，312c =>，所以a b c <<． 故选：C【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，较简单.4.已知双曲线22:144y x C -=，P 是双曲线渐近线上第一象限的一点，O 为坐标原点，且||OP =点P 的坐标是（ ）A. B. (3,3)C.D. (2,2)【答案】D 【解析】 【分析】双曲线224y x -=过第一象限的渐近线方程为y x =，然后由||OP =.【详解】等轴双曲线224y x -=过第一象限的渐近线方程为y x =，因为||OP =P 的坐标为(2,2)． 故选：D【点睛】本题主要考查的是由双曲线的标准方程得渐近线方程，较简单. 5.已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（ ） A. 83- B. 43-C. 83D.43【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-，3sin cos 8θθ∴=-，221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A .【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.6.已知||||2a b ==，21a a b +⋅=，则向量a ，b 的夹角θ=（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】首先算出1a b ⋅=-，然后求出cos θ即可.【详解】因为21a a b +⋅=，所以1a b ⋅=-，所以1cos 2||||a b a b θ=⋅=-，所以23θπ=故选：C【点睛】本题考查的是向量的数量积的有关计算，较简单.7.函数()3ln ||x f x x =的大致图象为（ ）A .B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 为非奇非偶函数可排除选项C ，D ，当x →+∞时，函数值()f x →+∞，可排除选项B ． 【详解】因为函数()f x 为非奇非偶函数，所以函数图象不关于y 轴对称，排除选项C ，D ， 当x →+∞时，函数值()f x →+∞，故排除选项B ． 故选：A【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.8.中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从打击乐器、弹拨乐器中任取不同的‘两音’，含有弹拨乐器的概率为（ ） A.310B.25C.12D.14【答案】B 【解析】 【分析】列出总的情况和满足所求事件的情况即可【详解】设事件A =“从打击乐器和弹拨乐器中任取两音，含有弹拨乐器”，从打击乐器和弹拨乐器中任取两音的基本事件有：（金、石），（金，木），（金，革）， （金，丝），（石，木），（石，革），（石，丝），（木，革），（木，丝），（革，丝），共10种情况 含有弹拨乐器的基本事件有：（金，丝），（石，丝），（木，丝），（革，丝），共4种情况 所以42()105P A ==． 故选：B【点睛】本题考查中国传统文化与古典概型，较简单.9.已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A. 若//αβ，则l//m B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若l β⊥，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.10.在一次某校举行的演讲比赛中，甲、乙、丙、丁四位同学表现都很优秀，甲说：“乙这次应该是第一名”；乙说：“丁这次应该是第一名”；丙说：“第一名应该不是我”；丁说：“我不赞同乙的判断”．若这四位同学中只有一人判断正确，则获得这次演讲比赛第一名的人是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C 【解析】 【分析】由题意乙说：“丁应该是第一名”，丁说：“我不赞同乙的判断”，说明这两位同学有一个判断正确，另一个判断不正确，所以甲、丙的判断不正确，即可推断出答案.【详解】由题意乙说：“丁应该是第一名”，丁说：“我不赞同乙的判断”， 说明这两位同学有一个判断正确，另一个判断不正确，所以甲、丙的判断不正确，所以获得这次演讲比赛第一名的人就是丙． 故选：C【点睛】本题考查逻辑推理，较简单.11.已知函数()3sin()f x x ωϕ=+（其中0ω<，0ϕπ<<），其图象向右平移6π个单位长度得()y g x =的图象，若函数()g x 的最小正周期是π，且3122g π⎛⎫=⎪⎝⎭，则（ ） A. 12ω=-，23ϕπ=B. 12ω=-，3πϕ=C. 2ω=-，23ϕπ=D. 2ω=-，3πϕ=【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，首先利用函数()g x 的最小正周期是π可求出ω，然后利用3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ 【详解】由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 的最小正周期是π，所以2||ππω=，所以2ω=±，因为0ω<，所以2ω=-， 所以()3sin 23g x x πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 因为3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1sin 62πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2k ϕ=π或22()3k k Z ππ+∈，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：C【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题.12.已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为2的等差数列，1a 是正整数，若1126a b +=，则1210a a a b b b +++=（ ） A. 220 B. 180C. 100D. 80【答案】A 【解析】 【分析】因为14(2)n n a a b b n --=≥，所以数列{}n a b 为等差数列；再根据1126a b +=，求出首项1a b 的值，最后利用等差数列的前n 项和公式即可算出结果．【详解】因为()()()11111212124(2)n n a a n n n n b b b a b a a a n ----+--+-=-==≥⎡⎤⎣⎦， 所以数列{}n a b 是以11224b a +-=为首项，4为公差的等差数列， 所以1210110410942202a a ab b b ++⋅⋅⋅+=⨯+⨯⨯⨯=． 故选：A【点睛】本题考查等差数列的综合应用，利用定义判断出{}n a b 是等差数列是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．【答案】32【解析】 【分析】根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zy x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最大值，代入可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322zy x =-+在y 轴截距最大； 由直线32y x =-平移可知，当322zy x =-+过B 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：32. 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.14.已知n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，若374S =，314a =，则公比q =________． 【答案】12【解析】 【分析】由条件列出方程组求解即可.【详解】因为374S =，314a =，所以()212171414a q q a q ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12q =或13q =-（不合题意，舍去）．故答案为：12【点睛】本题考查的是等比数列的基本量的计算，较简单.15.在三棱锥P ABC -中，AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB ⊥，2AB BC ==，点P 到底面ABC 的距离为1．则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________． 【答案】9π 【解析】 【分析】首先由条件可得1AP =，然后证明BC ⊥平面PAB ，从而得出球的直径为CP ，然后即可算出答案.【详解】因为AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB B ⋂=，所以PA ⊥底面ABC ． 因为点P 到底面ABC 距离为1．所以1AP =．因为CB AP ⊥，CB AB ⊥，AB PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ， 故BC PB ⊥，90PBC PAC ∠=∠=︒，即该球的直径为CP ，2222222213CP AB CB AP =++=++=．所以球的半径为32R =，所以249S R ππ==． 故答案为：9π【点睛】本题考查多面体与球，找出球的直径是解题的关键.16.已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则AF =_______（用含p 的式子表示），||||FB TS =________． 【答案】 (1). 43p (2). 2 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 辅交于点N ，由||2||FA AS =和抛物线的定义可求得AF 和||TS ，利用抛物线的性质112||||2AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 辅交于点N ，因为||2||FA AS =，所以||1||3SA SF =，所以1||33pAN OF ==，所以4||3AM p =， 根据抛物线的定义知43AF AM p ==． 因为12||||23AS AF p ==，所以||2SF p =，所以||2TS p =． 根据抛物线的性质：112||||2AF BF p +=，所以3114||p BF p+=，解得4BF p =，所以||42||2FB pTS p==． 故答案为：43p ，2 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在如图所示的平面四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，5AD =，7AB =，30BDC ∠=︒．（1）求sin DBA ∠的值； （2）求BD 的长． 【答案】（1）3sin 14DBA ∠=；（2）8BD = 【解析】 【分析】（1）在ABD △中利用正弦定理即可求出答案 （2）在ABD △中利用余弦定理即可求出答案【详解】（1）因为30BDC ∠=︒，AD CD ⊥，所以60ADB ∠=︒．ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABDBA ADB=∠∠，即57sin sin 60DBA =∠︒，解得53sin DBA ∠=．（2）在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⨯⨯∠， 即25240BD BD --=，解得8BD =或3-（不合题意，舍去）． 所以8BD =【点睛】本题考查的是利用正余弦定理解三角形，属于基础题.18.金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生，新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：（1）通过估算，试判断男、女哪种性别的学生愿意投入到新生接待工作的概率更大．（2）能否有99%的把握认为，愿意参加新生接待工作与性别有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．3.841【答案】（1）男生愿意投入到新生接待工作的概率更大；（2）有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．【解析】【分析】（1）由调查数据，分别算出男、女学生愿意投入到新生接待工作的比率即可（2）算出2K的观测值k即可【详解】（1）由调查数据，男学生愿意投入到新生接待工作的比率为600.75 80=，所以男学生愿意投入到新生接待工作的概率估计值是0.75；女学生愿意投入到新生接待工作的比率为40=0.5 80，所以女学生愿意投入到新生接待工作的概率估计值是0.5．所以男生愿意投入到新生接待工作的概率更大．（2）因为2K 的观测值2160(60404020)32==10.667 6.6358080100603k ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．【点睛】本题考查用频率估计概率、独立性检验，属于基础题19.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =，1A O ⊥平面ABCD ．（1）证明：1//A O 平面11B CD ．（2）若12AB AA ==，求点C 到平面11ABB A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）263． 【解析】 【详解】（1）连接11A C ，设1111B D A C M =，连接MC ，因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，O ，M 分别为AC ，11A C 的中点所以1OC //A M ，1OC A M =，所以四边形1AOCM 为平行四边形，所以1//AO MC ，因为1AO ⊄平面11B CD ，MC ⊂平面11B CD ，所以1//A O 平面11B CB ． （2）以O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴，以1OA 所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系因为12AB AA ==，所以22112OA A A OA =-= 所以()()()()10,2,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2A BC A - 所以()()12,2,0,0,2,2AB AA == 设平面11ABB A 的一个法向量为(),,a x y z =因为1220220AB a x y AA a y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，所以不妨取()1,1,1a =-因为()0,22,0AC =所以点C 到平面11ABB A 的距离为22263AC aa ⋅== 【点睛】1.通常是构造平行四边形或三角形的中位线来找线线平行，进而证明线面平行；2.向量法可以用来求点到平面的距离，计算是解题的关键.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，且1()0,1B ，112A B B 为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C 在y 轴右侧的部分交于M 、N 两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若21||5MN =MN 的方程． 【答案】（1）2213x y +=；（2）3(1)y x =- 【解析】【分析】（1）由1()0,1B 得1b =，由112A B B 为等边三角形得3a b（2）分直线MN 的斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y k x =-，然后联立直线方程与椭圆方程消元，用弦长公式建立方程求解即可.【详解】（1）因为1()0,1B ，所以1b =，因为112A B B 为等边三角形，所以3a b，所以a =所以椭圆的标准方程为2213x y +=． （2）当直线MN的斜率不存在时，可得1,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以||35MN =≠， 所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的斜率为k ，则直线MN 的方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ．联立2213(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得()2222316330k x k x k +-+-=，所以2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，12|||MN x x =-=== 因为1>0x ，20x >，所以||1k >，所以解得23k =或2613k =-（舍去）， 所以直线MN的方程1)y x =-．【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21.已知函数()()2ln 2f x a x x x x =-+-． （1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值；（2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】（1）极大值21e --，极小值2e -；（2）详见解析.【解析】【分析】首先确定函数的定义域和()f x '；（1）当2a e =-时，根据()f x '的正负可确定()f x 单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数可证得()0h t >，进而得到结论.【详解】由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()121122x x a f x a x x x-+⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭， （1）当2a e =-时，()()()21x x e f x x--'=， ∴当()0,1x ∈和(),e +∞时，()0f x '>；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()0,1，(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减，()f x ∴极大值为()121221f e e =-+-=--，极小值为()()22212f e e e e e e =--+-=-. （2）要证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即证：()()()1212122x x f x f x f x x '+⎛⎫-<- ⎪⎝⎭， 即证：()()2211222211ln 2ln 2a x x x x a x x x x -+----+()12121222a x x a x x x x ⎛⎫<++--- ⎪+⎝⎭， 化简可得：()1212122ln a x x x a x x x ->+． 0a >，()1212122ln x x x x x x -∴>+，即证：12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()22101t h t t t -'=>+，()h t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10h t h ∴>=，则由12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 从而有：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l经过点(1,M --且倾斜角为α. （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2【解析】【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t t αα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可.【详解】（1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数， 可得()2224x y -+=，即224x y x +=，∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=，cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α， ∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）. （2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t .将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t t αα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=. 又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=，0απ≤≤， ∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan 3π=【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23.设函数()121f x x x a =++-+．（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；（2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 【解析】【分析】 （1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-． 综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．（2）21a x ≤<-，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，()26f x x ≤+有解，31a ∴--<-，即2a >-，又21a <-，12a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十一)数学文科试卷
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十一）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|42M x x =-<<，{}2|60N x x x =--<，则M N ⋃=（ ）A. {}|43x x -<<B. {}|42x x -<<-C. {}|22x x -<<D. {}|23x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化简集合N ，进而求并集即可.【详解】由题意可得{}|42M x x =-<<，{}|23N x x =-<<， 所以{}|43MN x x =-<<，故选A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知角α的终边经过点(-，则sinα的值为（）A.B.5- C.12- D. -2【答案】B【解析】【分析】求出(-到原点的距离，进而可求sinα的值.【详解】解：由题意知，(-到原点的距离5 r==，所以sin5rα==-.故选:B.【点睛】本题考查了已知角的三角函数值的求解.当已知角α终边上一点的坐标为(),x y，则代入公式sincostanyrxryxααα⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，其中r=.3.已知1e，2e为单位向量，且满足()12220e e e+⋅=，则12,e e=（）A. 30B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的数量积定义及乘法运算,即可求得12,e e【详解】因为()12220e e e+⋅=则212220e ee⋅+=由向量数量积的定义可得2121222cos,0e e e e e⋅+=1e ,2e 为单位向量则122cos ,10e e += 即121cos ,2e e =-由向量夹角的取值范围为o 0180⎡⎤⎣⎦，可得12,120e e = 故选:C【点睛】本题考查了向量数量积的定义,向量的夹角求法,属于基础题.4.《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（ ）A. 五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，从夏至到冬至，冕长组成了等差数列{}n a ，其中115a =，13135a =，结合等差数列通项公式，可求公差10d =，进而可求小暑晷长.【详解】解：设从夏至到冬至，每个节气冕长为n a ，即夏至时冕长为115a =，冬至时冕长为13135a =， 由每个节气晷长损益相同可知，1n n a a +-=常数，所以{}n a 为等差数列，设公差为d ， 由题意知，131121512135a a d d =+=+=，解得10d =，则21151025a a d =+=+=.故选:B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的求解及应用.本题的关键是将各个节气的冕长抽象成等差数列. 5.将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ） A. 5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 5sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. 5sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 5sin 224x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数平移伸缩的变换求解即可.【详解】将函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度得到5sin sin 4612y x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）则变成15sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数图像的变换,属于基础题型.6.已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增. 【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数， 又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合, 故选C ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 7.等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“34a a <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为{}n a 为等比数列,10a >若13a a <,即211a a q <,可得21q <解得1q <或1q <-.则233141,a a q a a q ==当1q <时, 34a a <;当1q <-时, 34a a >,所以“13a a <”是“34a a <”非充分条件若34a a <,则233141,a a q a a q ==,即2311a q a q <,解得1q < 故2131a a a q <=,所以“13a a <”是“34a a <”的必要条件综上可知, “13a a <”是“34a a <”的必要不充分条件 故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的简单应用,充分必要条件的判断,属于基础题. 8.若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则//m nB. 若//,,m n αβαβ⊥⊥，则m n ⊥C. 若//,//,//m n αβαβ，则//m nD. 若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥【答案】D 【解析】利用空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A 中，若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥，所以不正确；对于B 中，若//,,m n αβαβ⊥⊥，则m 与n 的关系不能确定，所以不正确； 对于C 中，若//,//,//m n αβαβ，则m 与n 的关系不能确定，所以不正确；对于D 中，若,//m βαα⊥，可得m β⊥，又由//n β，可得m n ⊥，所以是正确的．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．9.已知2a =112b⎛⎫> ⎪⎝⎭，12log 1c >，则（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. a c b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数与对数的转化,结合指数与对数的图像与性质,即可比较大小. 【详解】因为2a =由指数与对数的转化可知,2log a =根据对数函数的图像与性质可得221log log 2a =>=因为112b⎛⎫> ⎪⎝⎭,由指数函数的图像可知0b < 因为12log 1c >,由对数函数的图像与性质可知102c <<综上可知, a c b>> 故选:C【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,指数函数与对数函数的图像与性质,属于基础题.10.已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 4+ B. 5+C.1D.2【解析】 【分析】先由题意得到12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内，再得到2POF ∆为等边三角形，求出2PF c =，1PF =，结合双曲线的定义，即可求出结果.【详解】因为直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上， 所以12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内， 又O 为12F F 中点，12(,0),(,0)F c F c -，所以1212F O c F P ==，因为直线y =的倾斜角为260POF ∠=， 所以2POF ∆为等边三角形，所以2PF c =，因此，在12Rt PF F ∆中，1PF ==，由双曲线的定义可得：212PF PF c a -=-=，所以双曲线C 的离心率为1c e a ===. 故选C【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型. 11.已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-+与曲线1x b y e +=-相切，则11a b+的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出,a b 的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值.【详解】由2y x a =-+得1y'=；由1x b y e +=-得'x by e +=；因为2y x a =-+与曲线1x by e+=-相切，令1x b e +=，则可得x b =-，代入1x b y e +=-得0y =； 所以切点为(,0)b -.则20b a --+=，所以2a b +=.故1111()()22a b a b a b +=++=1222b a a b++≥ 当且仅当22b a a b=，即1a b ==时等号成立，此时取得最小值2.选B. 【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用．关于直线与曲线相切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值.12.设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A. (,2]-∞- B. [2,)+∞C. [2,2]-D. (,2][2,)-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x 时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240aa m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a ．故选B ．【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩, 则2z x y =-的最大值为______.【答案】8 【解析】【详解】作可行域，则直线2z x y =-过点B(5,2)时z 取最大值8.14.已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______. 【答案】45【解析】 【分析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24sin 5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin 5α=. 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题.15.过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A B 、两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则AB = .【答案】163【解析】试题分析：∵24y x =，∴抛物线的准线为1x =-，(1,0)F ，又A 到抛物线准线的距离为4，∴14A x +=，∴3A x =，∵214A B p x x ==，∴13B x =，∴1163233A B AB x x p =++=++=.考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线的定义及性质.16.已知边长为23的空间四边形ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3BAD π∠=，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的球面面积为___________.【答案】20π 【解析】 【分析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积. 【详解】根据题意, G 为底面等边三角形CBD 的重心,作OG ⊥底面CBD .作AE BD ⊥交BD 于E ,过O 作OF AE ⊥交AE 于F .连接,AO OC 画出空间几何图形如下图所示:因为等边三角形CBD 与等边三角形ABD 的边长为23且3BAD π∠=所以23sin33AE CE π===G 为底面等边三角形CBD 的重心,则113133EG CE ==⨯=,2GC = 面ABD ⊥平面CBD因而四边形OGEF 为矩形,设OG h =,则EF h =,球的半径为rRt AFO ∆和Rt OGC ∆中()222222312h r h r⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得15h r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以球的表面积为2244520S r πππ==⨯=故答案为: 20π【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l ：20ax y a ++=，1l ：10x ay a ++-=，圆C ：228120x y y +-+=. （1）当a 为何值时，直线l 与1l 平行；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B两点，且AB =l 的方程. 【答案】（1）1a =；（2）7140x y -+=或20x y -+=. 【解析】 【分析】（1）当0a ≠时，由直线平行，可得两直线斜率相等，即可求出1a =或1a =-，将a 的值带回直线方程进行验证，可舍去1a =-；当0a =，求出两直线方程进行验证是否平行，进而可求出a 的值.（2）将已知圆的方程整理成标准方程形式，得到圆的半径和圆心，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可知AB ==a 的方程，从而可求出a 的值，进而可求直线的方程. 【详解】解：（1）当0a ≠ 时，直线l 的斜率k a =-，1l 的斜率11k a=-，由两直线平行可知， 1a a-=-，解得1a =或1a =-.当1a =时，l ：20x y ++=，1l ：0x y +=，符合题意， 当1a =-时，l ：20x y -+-=，1l ：20x y -+=，此时两直线重合，不符合题意. 当0a =时，l ：0y =，1l ：10x +=，两直线垂直，不符合题意； 综上所述：1a =.（2）由题意知，C ：()2244x y +-=，则圆的半径2r ，圆心为()0,4C ，则圆心到直线l的距离d =.由AB ==()2242214a a +-+=整理得，2870a a ++= ，解得7a =-或1a =-. 故所求直线方程为7140x y -+=或20x y -+=.【点睛】本题考查了两直线的位置关系，考查了直线与圆相交的弦长问题.本题的易错点，一是未讨论a 的值，直接令斜率相等；二是求出a 的值未带回 直线方程进行验证.涉及到直线和圆相交的弦长问题时，通常是结合勾股定理表示弦长.18.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若611a =，220S =.（1）求通项n a ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 【答案】（1）232n a =n -；（2）12322n n b n -=-+，22221n n n -+-【解析】 【分析】（1）设公差为d ，由等差数列的通项公式和前n 项和公式，可得6122151122212202a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，从而可求出首项和公差，进而可求出通项公式.（2）由题意知12n n n b a -=+，结合分组求和法，可求出n T .【详解】（1）解：设公差为d ，由题意可得6122151122212202a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得1212a d =⎧⎨=-⎩. 所以232n a =n -.（2）由题意12n n n b a --=，故12n n n b a -=+.由（1）知，()211222n n n S a n d n n -=+=-， 因此1121212......12 (2)12nn n n n n T b b b a a a S --=++=+++++++=+- 22221n n n =-+-.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，考查了等比数列的前n 项和，考查了分组求和.本题第一问的关键是用基本量即首项和公差，表示出已知622,a S .对于数列求和问题，常见的方法有公式法、分组求和法、错位相减法、裂项求和法.19.已知ABC ∆是斜三角形，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、．己知．（I ）求角C ；（II ）若c =21，且sin sin()5sin 2,C B A A +-=求ABC ∆的面积. 【答案】（I ）；（II ）.【解析】【详解】试题分析：（I ）根据正弦定理算出 csin A asinC =，与题中等式比较可得，结合为三角形内角，可得的大小；（II ）余弦定理2222cos c a b ab C =+-的式子，列式解出5,1a b ==，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到ABC ∆的面积． 试题解析：（I ）根据正弦定理a csinA sinC=，可得 csin A asinC =， sinA 3cos ,sin 3cos c a C a C a C =∴=，可得sin 3cos C C =，得3sinC tanC cosC ==,03C C ππ∈∴=（，），； （II ）sin sin(B A)5sin 2A,C 3C π+-==sin sin()C A B ∴=+sin(A B)sin(B A)5sin 2A ∴++-=，2sin cosA 25sin cos B A A ∴=⨯为斜三角形，cos 0A ∴≠，sinB 5sinA ∴=，由正弦定理可知5b a =……（1） 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-2212122a b ab…..（2） 由（1）（2）解得1,5a b ==11353sin 152224ABCSab C ∴==⨯⨯⨯=考点：1.正弦定理的运用；2.余弦定理的运用；3.面积公式的运用.【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理和面积公式的运用，三角函数的化简和求值，运算能力，属于中档题，此类题目的解题方法主要是在对正弦定理与余弦定理的灵活运用，对正弦定理进行变形可得，从而求出的大小，通过三角函数之间的转化加上正弦定理可求出5b a =，再利用余弦定理可求出5,1a b ==，从而求出ABC ∆的面积，因此此类题目灵活运用正余弦定理是解决问题的关键. 20.如图，在几何体BACDEF 中，四边形CDEF 是菱形，//AB CD ，平面ADF ⊥平面CDEF ，AD AF =.（1）求证：AC DF ⊥；（2）若2FA FC FD ===，1AB =，求三棱锥A CDF -和三棱锥E BDF -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,1 【解析】 【分析】（1）连接CE ，与DF 交于点O ，连接AO 易知CE DF ⊥，AO DF ⊥，由线面垂直的判定定理可得DF ⊥平面AOC ，从而可证明AC DF ⊥；（2）由面面垂直的性质可知，AO ⊥平面CDEF ，即AO 为三棱锥A CDF -的高，结合菱形、等边三角形的性质，可求出3CDFS=，从而可求三棱锥A CDF -的体积；由//AB 平面CDEF ，可知点B 到平面CDEF 的距离也为3AO =，由菱形的性质可知C FEDFD SS=，从而可求出三棱锥E BDF -的体积.【详解】（1）证明:如图，连接CE ，与DF 交于点O ，则O 为DF 的中点，连接AO ， 由四边形CDEF 是菱形可得CE DF ⊥，因为AD AF =，所以AO DF ⊥， 因为CEAO O =，所以DF ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以AC DF ⊥.（2）因为平面ADF ⊥平面CDEF ，平面ADF 平面CDEF FD =，且AO DF ⊥，所以AO ⊥平面CDEF ，即AO 为三棱锥A CDF -的高. 由2FA FC FD ===，四边形CDEF 是菱形，且AD AF =，可得ADF 与CDF 都是边长为2的等边三角形，所以2sin 603AO =⨯︒=因为CDF 的面积2323CDFS=⨯=1133133A CDFFCDV S AO -=⋅==. 因为//AB CD ，CD ⊂ 平面CDEF ，AB ⊄ 平面CDEF ，所以//AB 平面CDEF ， 故点B 到平面CDEF 的距离也为3AO =CDEF 是菱形得C FEDFD S S=因此1133133E BDF B DEF EDFV V S AO --==⋅==. 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面垂直的判定，考查了锥体体积的求解，考查了面面垂直的性质.证明线线垂直时，可借助勾股定理、菱形的对角线、矩形的临边、线面垂直的性质证明.求三棱锥的体积时，注意选择合适的底面和高，会使得求解较为简单.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与圆M ：2223x y +=相切，且直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，求OA OB ⋅的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）0【解析】 【分析】（1）由抛物线2y =的焦点)F是该椭圆的一个顶点，可得a =e =，可求1c =，进而可求出2221b a c =-=，从而可求椭圆的方程. （2）由直线和圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，即()22213m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线和圆的方程，整理后由韦达定理可知，21222221m x x k -=+，22122221m k y y k -=+，从而可求12120OA OB x x y y ⋅=+=.【详解】解：（1）因为椭圆C的离心率e =，所以c a =，即a =．因为抛物线2y =的焦点)F恰好是该椭圆的一个顶点，所以a =所以1c ==，则222211b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）由圆的方程可知，圆心为()0,0M，半径为3r =；由于直线l 与圆M 相切， 故圆心到直线l的距离3d ==，整理得()22213m k =+，则联立直线和椭圆的方程，即2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214220k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，则 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222221m k k -=+．所以()2222121222212232202121k k m k OA OB x x y y k k +----⋅=+===++. 【点睛】本题考查了抛物线焦点的求解，考查了椭圆标准方程的求解，考查了直线和圆的位置关系，考查了直线和椭圆的位置关系.本题的难点是第二问中的计算化简.本题的关键是由直线和圆相切得两个参数的关系.22.设0a >，函数()222ln f x x ax a x =--，()2ln x xg x x+=. （1）当12a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）求函数()g x 的极值；（3）若函数()f x 在区间()0,∞+上有唯一零点，试求a 的值.【答案】（1）()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞；（2）()g x 有极大值()11g =，无极小值；（3）12a =. 【解析】 【分析】（1）求出()1'210f x x x =--=，解得1x =或12-，则可探究当01x <<时，当1x >时，()(),f x f x ' 的变化，从而求出单调区间； （2）求出()312ln 'x xg x x --=，令()()12ln 0h x x x x =-->，结合导数探究()h x 在()0,∞+ 的单调性，结合()10h =，可探究出()(),g x g x '随x 的变化情况，从而可求极值； （3）令222ln 0x ax a x --=，可得21ln 2x x a x+=在()0,∞+只有一个解，借助第二问可知()1112g a ==，从而可求出a 的值. 【详解】解：（1）当12a =时，()2ln f x x x x =--.易知()f x 定义域为()0,∞+，令()()()2211121'210x x x x f x x x x x+---=--===，解得1x =或12-，当01x <<时，()'0f x <，则()f x 递减；当1x >时，()'0f x >，则()f x 递增， 因此，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. （2）()g x 的定义域为()0,∞+，则()312ln 'x xg x x--=，令()()12ln 0h x x x x =-->， 则()2'10h x x=--<，故()h x 在()0,∞+单调递减，又知()10h =， 当01x <<时，()0h x >，即()'0g x >；当1x >时，()0h x <，即()'0g x < 因此()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减. 即当1x = 时， ()g x 有极大值()11g =，无极小值. （3）令222ln 0x ax a x --=，整理得：21ln 2x x a x +=在()0,∞+只有一个解， 即12y a=的图像与()2ln x xg x x+=的图像在()0,∞+只有一个交点，由（2）知， ()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，且()g x 有极大值()11g =，所以，()1112g a ==，解得12a =. 【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性，考查了运用导数求解函数的极值，考查了方程的根与函数的零点.本题的难点在于第二问，需要二次求导来确定导数为零的解.本题的易错点是求极值时，混淆了极值和极值点的概念，或漏写了极小值.。
2021届河南省天一大联考高三阶段性测试数学(文)试题Word版含答案
2021届河南省天一大联考高三阶段性测试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集*U N =，集合{}{}1,2,3,5,2,4,6A B ==，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}2,4,6C ．{}4,6D ．{}1,3,5 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．12-B ．12C ．12iD ．12i - 3.若2cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-= （ ） A ．59 B ．59- C ．29 D ． 29- 4.“113x⎛⎫< ⎪⎝⎭”是“11x >”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．既非充分也非必要条件 C. 充要条件 D ．必要且不充分条件 5.在区间[]0,1上任选两个数x 和y ，则21y x ≥- ）A ．16π-B ．6πC. 14π-D ．4π6. 将函数cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向右平移()0m m >个单位长度得到点P '，若P '位于函数cos 2y x =的图象上，则（ ）A ．3t m =的最小值为6πB ．3t m =的最小值为12π C. 1,2t m =-的最小值为6π D ．1,2t m =-的最小值为12π7.执行如图所示的程序框图，若输入4,3m t ==，则输出y = （ ）A ．184B ．183 C. 62 D ．61 8.函数()2af x x x =+（其中a R ∈）的图象不可能是（ ） A ． B ．C. D ．9.已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点.若,MF p K =是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=（ ）A ．60°B ．45° C. 30° D ．15°10.已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，4,3,5,25AB AD PA PC ====，则PB PD = （ ） A ．0 B ．-5或0 C. 5 D ．-511.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．3π C. 2π D ．π12.已知函数()2,01,0x e x f x x ax x ⎧≤=⎨++>⎩，()()1F x f x x =--，且函数()F x 有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ． [)1,+∞ C. ()0,+∞ D ．(),1-∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线30x y -+=平行，则此双曲线的离心率为 ．14.若实数,x y 满足1002x y x y --≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则221y x +的最小值是 ．15.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米 斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率3π≈） 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,a b a c >>.ABC ∆的外接圆半径为1，3a =若边BC 上一点D 满足2BD DC =，且090BAD ∠=，则ABC ∆的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*21n n a S n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[)[)[)[)[)[)0,100,100,200,200,300,300,400,400,500,500,600，[)[)[]600,700,700,800,800,900分成9组，制成了如图所示的频率直方图.（1）求直方图中m 的值并估计居民月均用电量的中位数；（2）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率. 19. 如图，在四棱锥A BCDE -中，CD ⊥平面,//,,,ABC BE CD AB BC CD AB BC M ==⊥为AD 上一点，EM ⊥平面ACD . （1）求证：//EM 平面ABC ；（2）若2CD =，求四棱锥A BCDE -的体积.20.已知圆22:1O x y +=过椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴端点，,P Q 分别是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,t 作圆O 的一条切线交椭圆C 于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21.已知函数()2ln 2af x x x =-的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为0. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()12g x f x mx =+，在区间()1,+∞上没有零点，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）判断直线l 与圆C 的交点个数；（2）若圆C 与直线l 交于,A B 两点，求线段AB 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()22f x x x m m R =+--+∈. （1）若1m =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个实根，求实数m 的取值范围.2021届河南省天一大联考高三阶段性测试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DBCBA 11、12：BD二、填空题14.43三、解答题17.解析：（1）当1n =时，1112121a S a =+=+，解得11a =-. 当2n ≥时，1121,21n n n n a S a S --=+=+，两式相减得12n n n a a a --=，化简得1n n a a -=-，所以数列{}n a 是首项为-1，公比为-1的等比数列，可得()1nn a =-.（2）由（1）得()()211nn b n =--， 下面提供三种求和方法供参考：（错位相减法）()()()()()123113151211nn T n =-+-+-++--，()()()()()()2311131231211nn n T n n +-=-+-++--+--，两式相减得()()()()()23121212121211nn n T n +=-+-+-++----()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤-⨯--⎣⎦=-+⨯---=---，所以数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.（并项求和法）当n 为偶数时，12n n b b -+=，22n nT n =⨯=； 当n 为奇数时，1n +为偶数，()()11121n n n T T b n n n ++=-=+-+=-. 综上，数列{}n b 的前n 项和,,n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数为奇数.（裂项相消法）因为()()()()()1211111nnn n b n n n +=--=----，所以()()()()()()()1223101111121111nn n T n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---+---++----⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()110111n nn n +=---=-，所以数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.18.【解析】（1）()11000.00040.00080.00210.00250.00060.00040.00022100m -⨯++++++=⨯， ∴0.0015m =.设中位数是x 度，前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=>， 而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以400500x <<，0.50.484001000.25x --=⨯，故408x =，即居民月均用电量的中位数为408度.（2）第8组的户数为0.00041001004⨯⨯=，分别设为1234,,,A A A A ，第9组的户数为0.00021001002⨯⨯=，分别设为12,B B ，则从中任选出2户的基本事件为()()1213,,A A A A ，，()()1411,,A A A B ，，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ， ()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种.其中两组中各有一户被选中的基本事件为()()()()11122122,,,,,,A B A B A B A B ，()()3132,,,A B A B ，()()4142,,,A B A B ，共8种.所以第8，9组各有一户被选中的概率815P =. 19.【解析】（1）取AC 的中点F ，连接BF ，因为AB BC =，所以BF AC ⊥， 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD BF ⊥，又ACCD C =，所以BF ⊥平面ACD ，因为EM ⊥平面ACD ，所以//EM BF ，又EM ⊄平面,ABC BF ⊂平面ABC ，所以//EM 平面ABC .（2）连接MF ，因为//,BE CD BE ⊄平面,ACD CD ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ， 又平面BEMF ⋂平面ACD MF =，所以//BE MF ，由（1）知//EM BF ，所以四边形BEMF 为平行四边形，所以BE MF =.因为F 是AC 的中点，所以M 是AD 的中点， 所以112BE MF CD ===. 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD AB ⊥， 又BC AB ⊥，所以AB ⊥平面BCDE . 所以四棱锥A BCDE -的体积()11112222332A BCDE BCDE V S AB -=⨯=⨯⨯+⨯⨯=. 20.【解析】（1）∵圆O 过椭圆C 的短轴端点，∴1b =，又∵线段PQ 长度的最大值为3， ∴13a +=，即2a =，∴椭圆C 的方程为2214y x +=.（2）由题意可设切线MN 的方程为y kx t =+，即0kx y t -+=1=，得221k t =- ①联立得方程组2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2224240k x ktx t +++-=. 其中()()()222222444161664480kt k t t k ∆=-+-=-++=>，设()()1122,,,M x y N x y ，则12224kt x x k -+=+，212244t x x k -=+，则21616t MN -+=②将①代入②得MN =112OMN S MN ∆=⨯⨯=1，等号成立当且仅当3t t =，即t =.综上可知：()max 1OMN S ∆=. 21.【解析】（1）()2ln 2a f x x x =-的定义域为()0,+∞，()22af x x x'=-， 因为1102f a ⎛⎫'=-=⎪⎝⎭，所以()()()()22121111,ln ,2222x x a f x x x f x x x x -+'==-=-=. 令()0f x '>，得12x >，令()0f x '<，得102x <<， 故函数()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）()211ln 22g x x x mx =-+，由()214120222m x mx g x x x x +-'=-+==，得x =，设0x =，所以()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上为增函数.因为()g x 在区间()1,+∞上没有零点，所以()0g x >在()1,+∞上恒成立，由()0g x >，得1ln 22x m x x >-，令ln 2xy x x=-，则22222ln 22ln 4144x x x y x x ---'=-=， 当1x >时，0y '<，所以ln 2xy x x =-在()1,+∞上单调递减， 所以当1x =时，max1y =-，故112m ≥-，即[)2,m ∈-+∞.22.【解析】（1）消去参数得直线l10y +-=， 由2sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. 因为圆心()0,1在直线l 上，所以直线l 与圆C 的交点个数为2.（2）由（1）知AB 为圆C 的直径，而圆C 的直径可求得为2，所以2AB =. 23.【解析】（1）∵1m =时，()221f x x x =+--+. ∴当2x ≤-时，()3f x =-，不可能非负，当22x -<<时，()21f x x =+，由()0f x ≥可解得12x ≥-，于是122x -≤<. 当2x ≥时，()50f x =>恒成立. ∴不等式()0f x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由方程()f x x =可变形为22m x x x =+--+.令()4,222,224,2x x h x x x x x x x x +<-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象如图所示于是由题意可得22m -<<.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(九)数学(文)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A. {|0}x x <B. {|01}x xC. {|10}x x -<D. {|1}x x -【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()RAB【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (){|1}RA B x x =-.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则||z =（ ） A .B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】设z a bi =+，则2313z z a bi i -=-+=+，得到答案.【详解】设z a bi =+，则222313z z a bi a bi a bi i -=+-+=-+=+，故1a =-，1b =，1z i =-+，z =.故选：A .【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则其渐近线为( )A. 2x+y=0B. 20x y ±=C. 340x y ±=D. 430x y ±=【答案】D 【解析】 本题由双曲线的标准方程，离心率出发来求解其渐近线，主要考察学生对双曲线概念，基本关系的理解与应用，属于简单题型． 请在此填写本题解析! 解 因为5e 3c a ==, 23c 5a,9c =即=252a ,因为22c a =+2b ,所以，29a +29b =252a 即化简得b a =43,所以答案为D. 4.在区间(]0,4内随机取两个数a b 、，则使得“命题‘x R ∃∈，不等式220x ax b ++<成立’为真命题”的概率为（ ） A.14B.12C.13D.34【答案】A 【解析】 【分析】由该命题为真命题得出20a b ->，画出不等式组040420a b a b <≤⎧⎪<≤⎨⎪->⎩表示的平面区域，根据几何概型的计算公式求解即可.【详解】x R ∃∈，不等式220x ax b ++<成立，即()22min0x ax b++<则2202022a a a b a b ⎛⎫⎛⎫-+⨯-+<⇒-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作出040420a b a b <≤⎧⎪<≤⎨⎪->⎩的可行域，如下图所示则使得该命题为真命题的概率14212444P ⨯⨯==⨯ 故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划的简单应用，面积型几何概型求概率问题，属于中档题. 5.若向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则|2+|=a b （ ）2 32 C. 322 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行得到3x =-，故()|2+|=3,3a b -，计算得到答案.【详解】向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则()12x -+=，故3x =-，()()()|2+|=4,41,13,3a b -+-=-=故选：C .【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.6.F 是抛物线22y x =的焦点，A B 、是抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 4 B.92C. 3D.72【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B 的中点横坐标的和,求出线段AB 的中点到y 轴的距离 【详解】F 是抛物线22y x =的焦点,1,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,准线方程12x =-,设()()1122,,A x y B x y ,1211||||822AF BF x x ∴+=+++=, 127x x ∴+=,∴线段AB 的中点横坐标为72, ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为72所以D 选项是正确的【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．7.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A. 若,m n m α⊥⊥，则//n α B. 若//,//,m n m n αα⊄，则//n α C. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂【答案】A【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A ：若,m n m α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故A 错误；BCD 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 8.已知函数()y f x =的部分图像如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()tan f x x x =+B. ()2sin f x x x =+C. ()sin f x x x =-D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域排除A ，根据奇偶性排除D ，根据单调性排除B ，即可得出答案. 【详解】由图象可知，函数()f x 在R 上单调递增，且为奇函数 对A 项，由于定义域不是R ，则A 错误； 对B 项，当(0,)x π∈时，()12cos f x θ'=+2()003f x x π'>⇒<<；2()03f x x ππ'<⇒<< 则函数()f x 在(0,)π不是单调递增，则B 错误；对C 项，()1cos 0f x x '=-≥，则函数()f x 在R 上单调递增又()2sin()2sin ()f x x x x x f x =-+-=--=-，则函数()f x 为奇函数，则C 正确； 对D 项，11()cos()cos ()22f x x x x x f x -=---=--≠-，则函数()f x 不是奇函数，则D 错误； 故选：C【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题.9.已知函数41()2x xf x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x xxf x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2xy =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x xf x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >>即a b c >> 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A. 1.24 B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C 【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题. 11.已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()0||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭， 的部分图像如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为（ ）A. 1-B. 0C.12D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到()sin(2)3f x x π=+，sin 33n n a ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，6n n a a +=，计算每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++，计算得到答案.【详解】741234T πππ=-=，故T π=，故2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，2sin()033f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故2,3k k Z ϕππ+=∈，故2,3k k Z πϕπ=-∈，当1k =时满足条件，故3πϕ=，()sin(2)3f x x π=+，sin 633n n n a f πππ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()66sin 33n n a n a ππ++⎛⎫= ⎪⎝⎭=+，1a =，20a =，32a =-，42a =-，50a =，62a =，每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++=. 故选：D .【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.12.已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 5126⎛⎫⎪⎝⎭B. 52⎛-⎝C. 1,320⎛-⎝ D. 11,206⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点定义可知()f x mx =有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x ≤<和46x ≤<的解析式，可求得y mx =与两段函数相切时的斜率，即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx =-有4个零点，即()f x mx =有四个不同交点. 画出函数()f x 图像如下图所示：由图可知，当24x ≤<时，设对应二次函数顶点为A ，则13,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk ==， 当46x ≤<时，设对应二次函数的顶点为B ，则15,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，114520OB k ==.所以11206m <<. 当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有三个交点，此时()211322y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=.()226480m ∆=--⨯=，解得322,m =- 322m =+； 当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=.()24104240m ∆=--⨯=，解得56,2m =562m =；故当()f x mx =有四个不同交点时56,3222m ⎛∈- ⎝. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____. 【答案】700 【解析】 【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x 的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x ﹣2，2x ﹣4. 由题意可得()()2222436x x x +-+-=，∴7x =. 设我校高三年级的学生人数为N ，再根据36271800N⨯=，求得N ＝700 故答案为：700.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.14.已知实数,x y 满足24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_______.【答案】22 【解析】 【分析】3y x z =-，作出可行域，利用直线的截距与b 的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS ==∑_____. 【答案】21nn + 【解析】 【分析】 计算得到()12n n n S +=，再利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 16.在三棱锥P ABC -中，2,1,90PA PC BA BC ABC ︒====∠=，点P 到底面ABC 的距离是3；则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是_________. 【答案】5π 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理以及勾股定理得出3PB =，PB ⊥平面ABC ，将三棱锥P ABC -放入长方体中，得出长方体的外接球的半径，即为三棱锥P ABC -的外接球的半径，再由球的表面积公式得出答案. 【详解】取AC 中点为D ，连接,PD BD ，过点P 作BD 的垂线，垂足为E2,1PA PC BA BC ====,AC BD AC PD ⊥⊥,PD BD ⊂平面PBD ，PD BD D ⋂=AC ∴⊥平面PBDPE ⊂平面PBD ，PE AC ∴⊥PE BD ∴⊥，,BD AC ⊂平面ABC ，BD AC D ⋂= PE ∴⊥平面ABC ，即3PE =在Rt PED ∆中，2227222PD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ()22222732ED PD PE ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝∴=⎭=- 2BD =，E ∴与B 重合，即3PB =，PB ⊥平面ABC 将三棱锥P ABC -放入如下图所示的长方体中则该三棱锥的外接球的半径22211(3)52R ++==所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积2545S ππ=⨯=⎝⎭故答案为：5π【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的问题，涉及了线面垂直的证明，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分）17.某年级教师年龄数据如下表：(1)求这20名教师年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．【答案】（1）30,18；（2）见解析；（3）47 【解析】 试题分析：(1)由所给的年龄数据可得这20名教师年龄的众数为30，极差为18. (2)结合所给的数据绘制茎叶图即可；(3)由题意可知，其中任选2名教师共有21种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有12种，结合古典概型计算公式可得所求概率值为47. 试题解析：(1)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18. (2)(3)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A .年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P (A )＝＝. 18.在锐角△ABC 中，3a =________， （1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围．注：在①(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(),()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】（1）若选①，3π（2）(623,63+ 【解析】 【分析】（1）若选①，12m n ⋅=-，得到1cos 2A =，解得答案. （2）根据正弦定理得到4sin sin sin a b c ABC ===，故43236ABC l B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△到答案.【详解】（1）若选①，∵(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-221cos sin 222A A ∴-+=-，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）4sin sin sin a b cA B C===， 故24sin 4sin 234sin 4sin 233ABC l B C B B π⎛⎫=++=-++⎪⎝⎭△ 43236ABClB π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，锐角△ABC ，故62B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，.2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,(623,63ABC l ⎤∴∈+⎦△. （1）若选②，()cos 2cos A b c a C =-，则2cos cos cos b A a C c A =+，2sin cos sin B A B =，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭，（2）问同上；（1）若选③131()cos (cos sin )224f x x x x =+-＝21cos 2x ＋3cos sin 2x x －14＝12×1+cos 22x ＋3×sin 22x －141131=(cos 2sin 2)=sin(2)22226x x x π++， ()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）问同上；【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19.如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF DC ，112ED EF CD ===，30EAD =∠°.（1）求证：AE FC ⊥；（2）求点D 到平面BCF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2221【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及性质，即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）四边形ABCD 是正方形，CD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCDCD 平面ADE又AE ⊂平面ADECD AE ∴⊥在ADE 中，2,1,30AD DE EAD ==∠=︒ 由余弦定理得，3AE =，∴222AE DE AD +=，∴AE ED ⊥.又CDED D =，,CD ED ⊂平面EFCD∴AE ⊥平面EFCD . 又FC ⊂平面EFCD ∴AE FC ⊥.（2）连结DF ，由（1）可知，AE ⊥平面CDEF 四边形ABCD 是正方形，∴//AB DC 又DC ⊂面CDEF ，AB ⊄面CDEF ∴//AB 面CDEF∴A 到CDEF 的距离等于B 到CDEF 的距离.即B 到面DFC 的距离为AE .在直角梯形EFCD 中，1,1,2EF DE DC === ∴2FC =∴112CDF S DC DE =⨯⨯=△，1333B CDF CDF V S AE -=⋅=△ 在直角梯形EFBA 中，1,3,2EF AE AB ===可得2BF =在等腰BFC △中，2BC BF ==，2FC =∴1147222BFC S ==△ 设点D 到平面BFC 的距离为d ，D BCF B CDF V V --=，即133D BCF BFC V S d -=⋅=△，3221=7BFCd S ∆∴=∴点D 到平面BCF 的距离为2217.【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及求点到平面的距离，属于中档题.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，且过点(01)B ，. （1）求椭圆的标准方程；（2）直线:(2)l y k x =+交椭圆于,P Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）31,102⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）题设条件为1,2b a b ==易得椭圆方程；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由韦达定理可得12x x +，注意到直线(2)y k x =+恒过定点(2,0)-，此为椭圆的左顶点，因此有12x =-，10y =，这样可得出Q 点坐标，点B 始终在以PQ 为直径的圆内，则0BP BQ ⋅<，由此可得k 的范围．【详解】（1）由题意知，213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 椭圆的标准方程为：2214x y +=.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222(14)16(164)0(*)k x k x k +++-=， 依题意：直线:(2)l y k x =+恒过点(2,0)-，此点为椭圆的左顶点，所以112,0x y =-=① ，由（*）式，21221614k x x k +=-+②，得1212()4y y k x x k +=++ ③ ，由①②③，22222284,1414k kx y k k -==++， 由点B 在以PQ 为直径圆内，得PBQ ∠为钝角或平角，即0BP BQ ⋅<.22(2,1),(,1)BP BQ x y =--=-22210BP BQ x y ⋅=--+<.即2224164101414k kk k -+->++ 整理得220430k k --<，解得31,102k ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．由于直线过定点(2,0)-是椭圆左顶点，即其中一个交点已知了，因此可求出另一交点坐标，利用0BP BQ ⋅<求得结论．本题属于中档题．考查学生的运算求解能力．21.已知函数()ln f x x ax =-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =与直线1ln 20x y ---=相切，求实数a 的值； （2）若不等式()()1ln xx f x x e+≤-在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再求导，通过导数的符号变化确定函数的单调性，进而求出极值和最值. 详解：（1）()1'f x a x=-， 设切点的横坐标为0x ，由题意得00001112a x x ln lnx ax⎧-=⎪⎨⎪--=-⎩， 解得012x =，1a =， 所以实数a 的值为1.（2）由题意，()()1ln ln xx x ax x e+-≤-在定义域内恒成立， 得()ln 111x a x e x ≥+++在定义域内恒成立， 令()()()ln 1011x g x x x e x =+>++， 则()()2111ln '1x e x g x x -+-=+，再令()111ln h x x e x =-+-，则()211'0h x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即()y h x =在()0,+∞上单调递减，又()0h e =，所以当()0,e x ∈时，()0h x >，从而()'0g x >，()y g x =在()0,e 上单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0h x <，从而()'0g x <，()y g x =在(),e +∞上单调递减； 所以()g x 在x e =处取得最大值()1g e e=， 所以实数a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：1.在处理曲线的切线时，要注意区分“在某点的切线”和“过某点的切线”，前者的点一定为切点，但后者的点不一定在曲线上，且也不一定为切点；2.在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用“()f x M ≥恒成立min ()f x M ⇔≥”进行处理.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，,P Q 中点为M ，求||||||AP AQ AM 的值.【答案】（1）10x y --=.22(3)9x y -+=.（2）2【解析】 【分析】（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程得到125t t =-，12t t +=.【详解】（1）直线:cos 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故cos sin 10ρθρθ--=，即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线:6cos 0C ρθ-=，则曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=， 即22(3)9x y -+=.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-，12t t += 所以M对应的参数1202t t t +==120|t ||t |||||=||||2AP AQ AM t ==. 【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果； （2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+， 当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解； 当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(八)数学(文科)
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（八）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}22,A x x R =-≤≤∈，集合{}23,B y y x x A ==-∈，则AB =（ ）A. {}32x x -≤≤ B. {}21x x -≤≤ C. {}22x x -≤≤ D. {}31x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】因为{}22,A x x R =-≤≤∈，{}23,B y y x x A ==-∈，可得[]23,2,2y x x =-∈-，结合二次函数图象和交集定义，即可求得答案. 【详解】{}22,A x x R =-≤≤∈，{}23,B y y x x A ==-∈可得[]23,2,2y x x =-∈-根据二次函数图象特征可得：31y -≤≤∴ []3,1B =- ∴ [][][]2,23,12,1A B --=-=故{}21A B x x ⋂=-≤≤ 故选：B.【点睛】本题考查了集合交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3.已知平面α，β，直线m ，n 满足m α⊂，n β⊂，则下列结论正确的是（ ） A. 若αβ⊥，则m n ⊥ B. 若//αβ，则//m n C. 若m β⊥，则αβ⊥ D. 若//m β，则//αβ 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线、平面之间的位置关系及面面垂直的判定定理逐项判断. 【详解】已知m α⊂，n β⊂，若αβ⊥，则m n ，可能相交、平行或异面，A 错误； 若//αβ，则m n ，可能平行或异面，B 错误；若m β⊥，根据面面垂直的判定定理知αβ⊥，C 正确； 若//m β，则平面αβ，可能相交或平行，D 错误. 故选：C【点睛】本题考查直线、平面之间的位置关系、空间中的平行与垂直关系，属于基础题.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1543a a a +=，324S =，则下列结论正确的是（ ） A. n S 有最大值32 B. n S 有最小值10 C. n S 有最大值1214D. n S 有最大值30【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件求出等差数列{}n a 的首项和公差，从而得到等差数列{}n a 的前n 项和n S 的解析式，结合二次函数的性质即可得到答案..【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题意得：()11124333324a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩.所以()()21102112n n n S n n n -=⨯+⨯-=-+.因为n *∈N ， 所以当5n =或6时，n S 取最大值，最大值为30. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最值，考查学生的计算能力，属于基础题. 5.已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.79 B.89C. 79-D. 89-【答案】C 【解析】 【分析】根据1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用诱导公式将cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为cos 23πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用二倍角的余弦公式求解.，【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以cos 2cos 233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2cos 22sin 133ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2172139⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6.函数()32ln x x f x x-=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再判断奇偶性，然后由函数图像的变化趋势可得答案 【详解】解：函数的定义域为{}0x x ≠，因为3322()ln ln ()()()x xx x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x xf x x x x -==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B 故选：A【点睛】此题考查了由函数关系式识别函数图像，利用了函数的奇偶性和函数值的变化趋势进行了辨别，属于基础题.7.某中学注重培育学生劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.为了让学生更深刻理解劳动创造价值，丰富职业体验，现组织学生到工厂参加社会实践活动.学生在活动过程中观察到一个生产所需零件的几何体三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A. 4πB.174π C. 14π D. 15π【答案】A 【解析】 【分析】观察三视图知该几何体是由一个圆柱和一个半球拼接而成，分别计算圆柱的侧面积，半球的表面积和一个圆的面积即可.【详解】通过三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半球拼接而成, 其中圆柱的底面半径为12，高为1；半球的半径为1 ∴该几何体的表面积为221121+1+41=422ππππ⨯⨯⨯⨯⨯（2cm ）故选：A【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积计算，属于基础题.8.“一世”又叫“一代”.东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”.而当代中国学者测算“一代”平均为25年.另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远（为了研究方便，超过四代的可忽略不计）.根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为（ ） A. 23年 B. 22年C. 21年D. 20年【答案】B 【解析】 【分析】设“一代”为x 年，根据约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代，列出频率分布表，然后根据平均寿命其实只有26年，利用平均数的求法求解.【详解】设“一代”为x 年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年，所以家族企业的平均寿命为：0.540.50.28 1.50.14 2.50.04 3.526x x x x ⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得22x ≈， 故选：B【点睛】本题主要考查频率分布表的应用以及平均数的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9.将含有甲、乙、丙的6名医护人员平均分成两组到A 、B 两家医院参加“防疫救护”工作，则甲、乙至少有一人在A 医院且甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作的概率为（ ） A.320B.340C.920D.940【答案】C 【解析】 【分析】先计算含有甲、乙、丙的6名医护人员平均分成两组到A 、B 两家医院参加“防疫救护”工作的基本事件总数，再计算甲、乙至少有一人在A 医院且甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作包含的基本事件数，最后由古典概率公式计算即可.【详解】解：设含有甲、乙、丙的6名医护人员的另外三人分别为,,C D E ，6名医护人员平均分成两组到医院参加“防疫救护”工作有3620C =种不同分配方案.甲、乙至少有一人在A 医院且甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作包含的基本事件有：A 医院有甲CD ，甲CE ，甲DE ，乙丙C ，乙丙D ，乙丙E ，甲乙C ，甲乙D ，甲乙E ，共有9种不同分配方法.根据古典概率公式得：甲、乙至少有一人在A 医院且 甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作的概率为920. 故选：C.【点睛】本题考查古典概率的计算，属于基础题.10.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c .若双曲线上存在点P 满足12a PF c PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. (1,1+B. (1,1C. (1,1D. (1,1【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线定义可得12||||2PF PF a -=，则222||a PF c a=-，又2||PF c a ≥-，即可得到不等式，即可解得；【详解】解：因为12a PF c PF = 所以12||||cPF PF a=； 1ac<，21PF PF ∴<， P ∴在双曲线右支上，又由双曲线的定义，得12||||2PF PF a -=，∴222c PF PF a a -=，即222||a PF c a=-， 由双曲线的几何性质，知2||PF c a ≥-，∴22a c a c a≥--， 即2220c ac a --≤； 2210e e ∴--≤，解得11e ≤； 又1e >，∴双曲线离心率的范围是(1⎤⎦．故选：A ．【点睛】本题考查了求双曲线的离心率的范围的问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的灵活运用问题，属于中档题．11.若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ①③④D. ②③④【答案】D 【解析】 分析】根据()()(){}min ,h x f x g x =定义求出函数()h x 的解析式，然后画出()h x 的图象，结合图像即可判断()h x 的结论.【详解】解:()()(){}sin cos ,cos 0,min ,sin cos ,cos 0,x x x h x f x g x x x x +≤⎧==⎨->⎩32sin ,22,4222sin ,22,422x k x k x k x k ππππππππππ⎧⎛⎫++≤≤+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<<+ ⎪⎪⎝⎭⎩()k Z ∈. 因为()(),f x g x 都是周期为2π的函数，所以()h x 的周期为2π，①错误； 如下图所示（一个周期内图象）：()h x 的对称轴方程为：2122k x k πππ+=+=，k Z ∈，②正确； 由图直接得知③正确； 当32,(,)35,,()44442x x x f x ππππππ⎛⎛⎫++∈ ⎪⎫∈=⎝⎭⎪⎝⎭，()f x ∴在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，④正确. 故选：D.【点睛】本题考查分段三角函数图象和性质，关键是做出图象，属于中档题. 12.函数()()3211232f x x a x x =-++（0a >）在()e,+∞内有极值，那么下列结论正确的是（ ） A. 当10,e 2e a ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --> B. 当1e e 2,e 2a ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --< C. 当e ,e 2a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --> D. 当1e,e e a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<【答案】B 【解析】 【分析】求出导数，根据题意分类讨论利用二次函数的图象与性质列出不等式求解a 的取值范围，考查不等式1e 1ea a--<，令()()11ln h a a e a =---，利用导数研究函数()h a 的单调性，由120h e e ⎛⎫+-<⎪⎝⎭及()0h e =可得当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，()0h a <成立，即1e 1e a a --<，即可得出正确选项. 【详解】令()()()221g x f x x a x '==-++（0a >），()2=240a ∆+->若()f x 在()e,+∞内仅有1个极值点，即()g x 在()e,+∞内有1个零点，则()()20210a g e e a e >⎧⎨=-++<⎩，解得12a e e >+-； 若()f x 在()e,+∞内有2个极值点，即()g x 在()e,+∞内有2个零点，则()()2021022a g e e a e a e ⎧⎪>⎪=-++>⎨⎪+⎪>⎩，无解. 所以当12,a e e ⎛⎫∈+-+∞ ⎪⎝⎭时，函数()()3211232f x x a x x =-++（0a >）在()e,+∞内有极值. 现考查不等式1e 1e a a --<，两边同时取对数可得：()11ln a e a -<-，即()11ln 0a e a ---<， 令()()11ln h a a e a =---，12,a e e ⎛⎫∈+-+∞ ⎪⎝⎭， ()11e h a a-'=-，令()0h a '>，解得1a e >-， 所以函数()h a 在12,1e e e⎛⎫+-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，又因为()()11111231ln 221ln 10h e e e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+-=+---+-<+---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()11ln 0h e e e e =---=，所以当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，()0h a <成立，即1e 1e a a --<， 所以当1e e 2,e 2a ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<. 故选：B【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的应用、利用导数研究函数的零点及单调性、证明不等式，属于较难题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.复数12i z =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 的虚部为______；【答案】45- 【解析】 【分析】由已知求得2z ，代入12z z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：12z i =+，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，22z i ∴=-+，则122(2)(2)342(2)(2)55z i i i i z i i i ++--===---+-+--． 则12z z 的虚部为45- 故答案为：45-． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 14.已知向量a 、b 不共线，23m a b =+，3n a kb =+，若//m n ，则k =______. 【答案】92【解析】 【分析】根据//m n ，可设n λm =，根据题意可得出关于λ、k 的方程组，即可解得实数k 的值. 【详解】//m n ，设n λm =，23m a b =+，3n a kb =+，则()323a kb a b λ+=+，所以，323k λλ=⎧⎨=⎩，解得3292k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为：92. 【点睛】本题考查利用平面向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题.15.已知实数a ，b ，c ，d ，满足e e 12a cb d ==+（其中e 是自然对数的底数），那么()()22a cb d -+-的最小值为______； 【答案】24e 1+ 【解析】 【分析】根据e e 12a cb d ==+，得到a b e =，2d ec =-，可知点(,)A a b 的轨迹方程为：x y e =，点(,)B cd 的轨迹方程为：2y ex =-，故22()()a c b d -+-的几何意义为2||AB ，结合导数的几何意义及应用计算可得结果.【详解】∵e e 12a cb d ==+∴a b e =，2d ec =-，即点(,)A a b 的轨迹方程为：xy e =，点(,)B c d 的轨迹方程为：2y ex =-则22()()a c b d -+-的几何意义为2||AB ，设斜率为e 的直线与曲线xy e =相切且切点为()00,C x y ，由x y e '=，则0x e e =，解得01x =，0y e =， 由点到直线的距离公式得d ，即2224||1mine AB ⎛⎫==+， 故答案为：24e 1+ 【点睛】本题考查了22()()a c b d -+-的几何意义及利用导数求函数切线的切点坐标，属难度较大的题型.16.ABC 中，AD 为BAC ∠平分线，若287ABD ACD S S==△△，且()sin tan tan tan tan A B C B C +=，则ABC 的周长为______. 【答案】12346+ 【解析】 【分析】由角平分线的性质得出2ABD ACD S cS b ==△△，可得2c b =，再由弦化切思想以及正弦定理边角互化思想得出2bc a =，可得2a b =，利用余弦定理求得cos BAC ∠，进而可求得sin BAC ∠，利用三角形的面积公式可求得b 的值，由此可求得该三角形的面积.【详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，AD 为BAC ∠平分线，则2ABD ACD S cS b==△△，2c b ∴=， ()sin tan tan tan tan A B C B C +=，即()sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos A B C B C B CB C B C+=， ()sin sin sin sin A B C B C ∴+=，即2sin sin sin A B C =，222a bc b ∴==，由余弦定理得2223cos 24b c a BAC bc +-∠==，27sin 1cos BAC BAC ∴∠=-∠=， 2117sin 212722ABC S bc BAC b =∠=⨯=△，解得43b =因此，ABC 的周长为((32433212346a b c b ++===故答案为：12346.【点睛】本题考查三角形周长的计算，同时也考了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足1212n n a --=，()246212n n n a a a a +++++=，*n ∈N . （1）求2n a ； （2）求数列{}nn a ⋅的前2n 项和.【答案】（1）2n a n =；（2）)()12411223nn n S n +=-+-+ 【解析】 【分析】（1）当1n =时21a =，当2n ≥时利用所给偶数项的和求出2n a ，即可得解；（2）列出2n S ，奇数项利用等比数列的求和公式求和，偶数项利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当1n =时，21a =， 当2n ≥时，因为()246212n n n a a a a +++++=， 所以()2462212n n n a a a a --++++=，两式相减得2na n =，21a =也满足上式，所以*2n a n n N =∈，；（2）()2321221232122n nn n n S a a a a --=++++()()()()3521242211222221222n nn n --⎤⎡⎤=+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅⎥⎢⎥⎦⎣⎦)()012442421222n n n -=+++⋅+⋅+⋅++⋅)()2142122214n n n -=+⋅+⋅++⋅- )()241212223nn n =-+⋅+⋅++⋅设221222n n T n =⋅+⋅+⋅ 则231221222n n T n +=⋅+⋅+⋅，相减得，()()()2311121222222212212n n n n n nT n n n +++--=+++-⋅=-⋅=---()1122n n T n +=-+，所以()()122411223nn n S n +=-+-+. 【点睛】本题考查等比数列求和公式、错位相减法求和、由n S 求数列的通项公式，属于中档题. 18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB BC ⊥，AB AC =（1）求证：11A B A C =；（2）若四边形11BCC B 为正方形，1A AB 为正三角形，M 是1C C 的中点，求二面角B AM C --的余弦值 【答案】（1）证明见解析；（2）5757【解析】 【分析】（1）取BC 的中点为N ，通过线线垂直证明BC ⊥平面1AA N ，即可推出1BC A N ⊥，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证；（2）首先证明1A ABC -为正三棱锥，过点1A 作1A O ⊥平面ABC ，则O 为正ABC 的中心，取BC 上靠近点C 的三等分点为E ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点为N ，在ABC 中，AB AC =，所以AN BC ⊥,又1BB BC ⊥，且11//AA BB ，所以1AA BC ⊥，1AA ，AN ⊂平面1AA N ，1AA AN A =，所以BC ⊥平面1AA N ，又1A N ⊂平面1AA N ，所以1BC A N ⊥，所以在1A BC 中，由1BC A N ⊥及BC 的中点为N ，得11A B A C =. （2）由四边形11BCC B 为正方形，得1BB BC =，由1A AB 为正三角形，得11A A AB A B ==，所以11A A AB A B BC AC ==== 又由（1）知11A B A C =，所以1A ABC -为正三棱锥，过点1A 作1A O ⊥平面ABC ，则O 为正ABC 的中心，取BC 上靠近点C 的三等分点为E ，则1OA ，OB ，OE 两两垂直，分别以射线OB ，OE ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，设2OB =，则322232AC =⨯⨯=()22123222AO =-=()2,0,0B，()1,A -，()C -，(1A，()0,AC =，()3,AB =，(11,3,AA =，，()1111222AM AC CM AC AA ⎛⎛=+=+=+= ⎝⎝， 设平面BAM 的法向量(),,n x y z =，则102230x y x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取1x =，得1,3,2n ⎛=- ⎝⎭， 设平面CAM 的法向量(),,m x yz '''=，则10220x y ⎧++=⎪⎨⎪='''⎩'，所以0y'=，取2x '=，得2,0,m ⎛= ⎝⎭72cos ,m n -==， 设二面角B AMC --为θ，因为θ为钝角，所以cos θ=， 即所求二面角的余弦值为57. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线面垂直的判定、空间向量法求二面角夹角的余弦值，属于较难题. 19.为了解高新产业园引进的甲公司前期的经营状况，市场研究人员对该公司2019年下半年连续六个月的利润进行了统计，统计数据列表如下：（1）请用相关系数说明月利润y （单位：万元）与月份代码x 之间关系的强弱（结果保留两位小数），求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年1月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，己知生产新型材料的乙企业对A 、B 两种型号各100件新型材料进行模拟测试，统计两种新型材料使用寿命频数如下表所示：现有采购成本分别为10万元/件和12万元/件的A 、B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，不同类型的新型材料损坏的时间各不相同，经甲公司测算，平均每件新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每件新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率估计每件新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每件新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑回归直线方程为y bx a =+，其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.参考数据：()()61350iii x x y y =--=∑，()62117.5ii x x =-=∑，()6217600i i y y=-=∑365≈.【答案】（1）0.96r ≈，y 与x 具有很强的线性相关关系；2090y x =+；230万元；（2）采购A 型材料 【解析】 【分析】（1）首先求出相关系数，判断x 与y 的相关关系，再用最小二乘法求出回归直线方程，最后代入7x =计算可得；（2）求出A ，B 两种新材料的使用寿命的平均值，进行比较得结论． 【详解】（1）因为()()61350iii x x y y =--=∑，()62117.5ii x x =-=∑，()6217600i i y y=-=∑所以()()63500.96365iix x y y r --===≈≈∑因为0.75r >，所以y 与x 具有很强的线性相关关系 由题意知，()1123456 3.56x =⨯+++++=， ()196011013016015020021016066y =⨯+++++==，()()()616213502017.5iii i i x x y y b x x==--===-∑∑，16020 3.590a y bx =-=-⨯= y 关于x 的线性回归方程为2090y x =+2020年1月对应的是7x =，则20790230y =⨯+= 即预测公司2020年1月（即7x =时）的利润为230万元；（2）由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.15，0.4，0.35，0.1. 所以A 型材料利润的数学期望为()()()()5100.1510100.415100.3520100.12-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（万元）；B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2 B 型材料利润的数学期望为()()()()5120.110120.315120.420120.2 1.5-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（万元）； 2 1.5>，故应该采购A 型材料．【点睛】本题考查了线性回归方程，考查随机变量期望的求法，考查计算能力，属于中档题．20.已知椭圆C ：22221x y a b -=（0a b >>）过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为2.其左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点.直线l ：y kx m =+与以线段12F F 为直径的圆相切，且直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点. （1）求椭圆C 的方程； （2）若满足4556OA OB ≤⋅≤，求AOB 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）,65⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据题意题意列出方程组求解a b c ，，，即可求得椭圆方程；（2）由直线与椭圆相切用k 表示m ，联立直线与椭圆方程得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理求出1212x x x x +，，根据向量数量积的坐标表示由4556OA OB ≤⋅≤求出k 的范围，求出AOB 面积的表达式，利用换元法判断函数单调性求最值即可. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率为2，所以2c a =，则a =，b c ==因为椭圆C过点12⎫⎪⎪⎝⎭，所以2261144a b +=，a =，bc =代入上式可得211c c =⇒=，则1a b ==，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=， 又直线l1=，即221m k =+.由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222214220k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点，所以280k ∆=>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+；()()()222121212122121k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+， 212122121k x x OA O y y k B ⋅+=+=+，依题意224155216k k +≤≤+，所以21143k ≤≤，112ABO S S AB ==⨯==△ 设42t k k =+则54169t ≤≤，S ==，54169t ≤≤，S 关于t 在54,169⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 且5166S ⎛⎫=⎪⎝⎭，495S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以AOB面积的取值范围是⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、根据直线与圆的位置关系求参数、韦达定理、椭圆中的三角形面积问题，属于较难题.21.已知函数()()211e 2x f x x a x =--（1a ≤）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极大值M ，求证：21ln e 12a M a <+-. 【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分0a ≤、01a <<、1a =三种情况讨论导数的符号从而判断函数()f x 的单调性；（2）由(1)知只有当01a <<时函数有极大值，求出极大值M 将不等式转化为e ln 20a a -->，利用导数判断函数()e ln 2x g x x =--的单调性证明()0g x >成立即可. 【详解】（1）()()()e 1e 1e x x xf x x a a x x a '=---=-. ①当0a ≤时，()f x 在区间(),0-∞单调递减，在区间()0,∞+单调递增；②当01a <<时，令()0f x '=，10x =，2ln 0x a =->，则()f x 在区间()0,ln a -单调递增；在区间(),0-∞和()ln ,a -+∞单调递减；③当1a =时，令()0f x '=，120x x ==，()0f x '≤恒成立，则()f x 在R 上单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 在区间(),0-∞单调递减，在区间()0,∞+单调递增；当01a <<时，()f x 在区间()0,ln a -单调递增，在区间(),0-∞和()ln ,a -+∞单调递减；当1a =时，()f x 在R 上单调递减.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在区间(),0-∞单调递减；在区间()0,∞+单调递增.则函数()f x 没有极大值，当1a =时，()f x 在R 上单调递减，则函数()f x 没有极大值，只有当01a <<时，()f x 在区间()0,ln a -单调递增；在区间(),0-∞和()ln ,a -+∞单调递减，()21ln ln ln 12M f a a a =-=++， 要证明21ln 12a M a e <+-，即证：e ln 20a a -->（01a <<）， 令()e ln 2xg x x =--（01x <<），()1e x g x x '=-， 设()00g x '=，则001e x x =（001x <<），0001ln ln x x x ==-， 当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,1x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴当0x x =时，()g x 取得唯一的极小值，也是最小值.()g x 的最小值是()000001e ln 220x g x x x x =--=+->成立， 从而，e ln 20a a -->（01a <<），即21ln e 12a M a <+-. 【点睛】本题考查导数在研究函数性质中的综合应用、分类讨论求含参函数的单调性、利用导数证明不等式，属于较难题.请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为21cos ρθ=-，直线1l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），2παπ<<，点A 为直线1l 与曲线C 在第二象限的交点，过O 点的直线2l 与直线1l 互相垂直，点B 为直线2l 与曲线C 在第三象限的交点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程及直线1l 的普通方程；（2）若OA OB =，求OAB 的面积.【答案】（1）244y x =+，tan y x α=.（2παπ<<）；（2）12OAB S =-△.【解析】【分析】（1）根据cos x ρθ=，222x y ρ=+得出曲线C 的直角坐标方程，消掉参数t 得出直线1l 的普通方程；（2）根据极坐标中极径的意义以及三角形的面积公式，即可得出OAB 的面积.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程化为cos 2ρρθ=+，cos x ρθ=，222x y ρ=+∴曲线C 的直角坐标方程为244y x =+.直线1l 的普通方程为tan y x α=.（2παπ<<）（2）射线OA 的极坐标方程为θα=，（2παπ<<），则21cos OA α=- 射线OB 的极坐标方程为2πθα=+，（2παπ<<），则 221sin 1cos 2OB παα==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 由OA OB =得221cos 1sin αα=-+，2παπ<<，解得：34πα=故2114122212OAB S OA OB ===-⎛+ ⎝⎭△ 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，利用极坐标求三角形的面积，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333a b b c c a ++≤+++---.【答案】（1）{}03I x x =<<；（2）见解析.【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，求出各段的范围，然后取并集，可得结果.（2）根据不等式2++≥≤a b a b ，化简式子，可证明该结果. 【详解】（1）当1x ≤时，原不等式化简为323-<x ，即01x <≤；当12x <≤时，原不等式化简为13<，恒成立，即12x <≤；当2x >时，原不等式化简为233x -<，即23x <<. 综上，原不等式的解集{}03I x x =<<.（2）当a ，b ，c I ∈时，a ，b ，c ，3a -，3b -，3c -均为正数， 令111111111333=+++++---T a b b c c a则≤T ()()()33394444+-+-+-≤++=a b b c c a T . 当且仅当32===a b c 时，取等号 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，熟练使用分类讨论的方法（或零点分段法），同时善于观察，识记基本不等式的使用条件：一正，二定，三相等，属中档题.。
2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷一(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（模拟卷一）本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前， 先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸 和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答 题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后， 请将本试卷和答题卡-并上交。
一、选择题：1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=（ ）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，1}D. {0，1，2} 2.若z （1+i ）=2i ，则z=（ ）A. -1-iB. -1+iC. 1-iD. 1+i 3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A. 16 B. 14 C. 13 D. 124.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。
某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.85.函数f(x)=2sin x−sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 27.已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-18.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A.BM=EN，且直线BM、EN是相交直线BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）A. 2−124B. 2−125C. 2−126D. 2−12710.已知F 是双曲线C ： x 24−y 25=1 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若|OP|=|OF| ，则 △OPF 的面积为（ ）A. 32B. 52C. 72D. 9211.记不等式组 {x +y ⩾6,2x −y ≥0表示的平面区域为D .命题 p:∃(x,y)∈D,2x +y ⩾9 ；命题 q:∀(x,y)∈D,2x +y ⩽12 .下面给出了四个命题（ ）① p ∨q ② ¬p ∨q ③ p ∧¬q ④ ¬p ∧¬q这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）A. ①③B. ①②C. ②③D. ③④ 12.设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）A. f （log 3 14 ）＞ f （ 2−32 ）＞ f （ 2−23 ）B. f（log3 14）＞f（2−23）＞f（2−32）C. f（2−32）＞f（2−23）＞f（log3 14）D. f（2−23）＞f（2−32）＞f（log3 14）二、填空题：13.已知向量a→=(2,2),b→=(−8,6)，则cos<a→,b→>=________.14.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=5,a7=13，则S10=________.15.设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(九)数学(文科)
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（九）数学试题（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24410U x x x =-+≥，{}20B x x =-≥，则UB =（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合U 和B ，进而可求出UB .【详解】由()22441210x x x -+=-≥恒成立，所以U =R . 又因为{}{}202B x x x x =-≥=≥，所以{}2UB x x =<.故选：A.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的补集，属于基础题. 2.已知32a ib i i-=+（,a b ∈R ），其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算，结合复数相等，求得参数,a b ，写出复数在复平面内对应点的坐标即可判断. 【详解】因为32a ib i i-=+，故可得32a i bi -=-+， 故可得2,3a b =-=-，则复数23a bi i -=-+在复平面内对应的点为()2,3-， 其位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数相等求参数，以及复数在复平面内对应点的考查，属综合基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若2124a a =，则72a （ ） A. 2- B. 2C. 4D. 16【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的性质可得，27212a a a =，即可求出7a ，从而可求出()72a-. 【详解】在正项等比数列{}n a 中，由题意得272124a a a ==，72a ∴=，()()72224a -=-=∴.故选：C.【点睛】本题考查等比中项的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4.假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有50尾，第二次打捞的草鱼总数为50尾，其中有标记的为7尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（ ） A. 250 B. 350C. 450D. 550【答案】B【解析】 【分析】根据池塘中带有标记的草鱼数量与草鱼总数的比值等于样本中带有标记的草鱼数量与样本容量的比值. 【详解】设池塘中草鱼的数量大约为x ，可得50750x =， 所以357x ≈，所以池塘中草鱼大约有350条.故选：B.【点睛】本题考查用样本估计总体，难度较易.总体中某一类个体所占的比例等于样本中该类个体所占的比例.5.若3cos()23πα+=-，则cos2=α（ ）A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】C 【解析】 【分析】本道题化简式子,计算出sin α,结合2cos 212sin αα=-,即可. 【详解】3cos sin 3ααπ⎛⎫+=-=- ⎪2⎝⎭,得到3sin 3α=,所以 211cos 212sin 1233αα=-=-⋅=,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.6.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为135，180，则输出的a =（ ）A. 0B. 5C. 15D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，列出算法循环的每一步，结合判断条件，可得输出的a 值. 【详解】运行该程序，输入135a =，180b =， 则a b ，且a b <，可得135a =，18013545b =-=； 则a b ，且a b >，可得1354590a =-=，45b =； 则ab ，且a b >，可得904545a =-=，45b =；则a b =，退出循环，输出45a =. 故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，直线9x =与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，O为坐标原点.若OPQ △为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B.3C.43D.【答案】B 【解析】 【分析】由OPQ △为正三角形，可得π6QOx ∠=，从而可知双曲线C 的渐近线为y x =，即可求出b a 的值，再结合离心率c e a ==.【详解】依题意得OPQ △为正三角形，所以π3POQ ∠=，结合对称性可知，π6QOx ∠=，所以双曲线C 的渐近线为y x =，即b a =所以离心率c e a ====. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 8.已知直三棱柱111ABC A B C -玉石，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，14cm AA =，若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（ ）2cm .A.8π3B.32π3C. 16πD.64π3【答案】C 【解析】 【分析】由222AB AC BC =+，可知ABC 为直角三角形，可求得Rt ABC △的内切圆的半径r ，可知12AA r =，从而将此玉石加工成一个球，此球是该三棱锥的内切球时，球的表面积最大，且内切球半径R r =，求出该球的表面积即可.【详解】在ABC 中，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，则222AB AC BC =+，所以ABC 为直角三角形，在Rt ABC △中，设内切圆的半径为r ，则()1168681022r ⨯⨯=++，即2cm r =， 因为12AA r =，所以将此玉石加工成一个球，要求此球的最大表面积，此球应是直三棱的内切球，球的半径R 等于底面直角三角形内切圆的半径，即2cm R =， 所以该球的最大表面积为24π16πS R ==. 故选：C.【点睛】本题考查几何体的结构特征、内切球的表面积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A. 335π11π2π,2πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B. 335π11π4π,4πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C. 33π5π2π,2πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈ZD. 33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知函数()f x 的周期7ππ233T ⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，结合2πT ω=，可求出ω，再结合函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫⎪⎝⎭，可求出,A ϕ，即可得到函数()f x 的表达式，进而利用平移变换，可得到()g x 的表达式，然后求出单调递增区间即可.【详解】由图象可知，函数()f x 的周期7ππ2π24π33T ω⎛⎫=⨯-==⎪⎝⎭，12ω∴=.又函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，ππsin 036f A ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π2π6n ϕ+=∴()n ∈Z ，π2π6n ϕ=-∴，π2ϕ<，π6ϕ∴=-，又()π30sin sin 62f A A ϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，3A ∴=，()1π3sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.∴()π1π3sin 323g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π1ππ2π2π2232k x k -+≤-≤+()k ∈Z ，得π5π4π4π33k x k -+≤≤+， 故()g x 的单调递增区间为33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .选择：D.【点睛】本题考查三角函数的解析式、图象的平移变换及单调递增区间，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.定义在R 上的奇函数()f x 在,0上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】易知()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可判断出0.822log 5log 4.122>>>，结合函数的单调性可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】由()f x 是定义域为R 的奇函数，且在(),0-∞上是增函数， 则()f x 在(0,)+∞上是增函数， 所以()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()2log 4.1b f =，()0.82c f =，易知222log5log 4.1log 42>>=，而10.822<，所以0.822log 5log 4.12>>.所以()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即c b a <<.故选：A.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，下列说法中：①PQ 可能与平面11CDD C 平行； ②PQ 与BC 所成的角的最大值为3π； ③1CD 与PQ 一定垂直； ④2PQ ≥.其中正确个数（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，①中，当Q 为11B C 的中点时，1PQ C D ∥，由线面平行的判定定理判断.②中，当Q 为11B C 的中点时，由垂直平行线中的一条则垂直另一条判断.③中，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，由线面垂直的判定定理判断.④中，当Q 为11B C 的中点时，由勾股定理判断.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点， 知：在①中，当Q 为11B C 的中点时，1PQ C D ∥，由线面平行的判定定理可得PQ 与平面11CDD C 平行，故①正确；在②中，当Q 为11B C 的中点时， 1PQ C D ∥，111B C C D ⊥，11BCB C ，可得PQ BC ⊥，故②错误；在③中，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，可得1CD ⊥平面11ADC B ，即有1CD PQ ⊥，故③正确； 在④中，当Q 为11B C 的中点时，PQ 2，故④正确. 所以正确的个数为3. 故选：C.【点睛】本题主要考查线线，线面关系，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题. 12.已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ） A. ln 212-B. ln 212+C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+，且e 1x x ≥+恒成立，2C 在点()1,0B 处的切线方程为1y x =-，且()ln 10xx x x-≥>恒成立，由AB 等于平行线1y x =+与1y x =-间的距离，从知min PQ AB =. 【详解】曲线1C ：e x y =，求导得e xy '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==1y x =+与1y x =-=，所以PQ的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,3a =，()3,b m =，且0a b ⋅=，则向量a 在向量()a b -上的投影为__________.【答案】2【解析】 【分析】由0a b ⋅=，可求出m ，进而由向量a 在()a b -上的投影为()a a b a b⋅--，求解即可.【详解】因为630a b m ⋅=+=，解得2m =-，所以()3,2b =-，()1,5a b -=-， 所以向量a 在()a b -上的投影为()1a a b a b⋅-==+-. . 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14.某省级示范校新校区计划今年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名.若a ，b 满足不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，若设该校今年计划招聘数学科教师最多z 名，则z =__________.【答案】13 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可求出+a b 的最大值. 【详解】如图所示，画出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当6a =，7b =时，+a b 取得最大值. 故()max 6713a b +=+=，即13z =. 故答案为：13.【点睛】本题考查利用线性规划解决实际问题，考查数形结合的思想在解题中的应用，属于基础题. 15.过已知抛物线216y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为__________.【答案】1282+【解析】 【分析】设直线方程为4x my =+，与抛物线联立得216640y my --=，，根据124,4AF x BF x =+=+，得到1114AF BF +=，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】抛物线216y x =的焦点()4,0F ，设直线方程为4x my =+，与抛物线联立得216640y my --=，由韦达定理得：21212121216,64,168,16y y m y y x x m x x +=⋅=-+=+⋅=，因为124,4AF x BF x =+=+，1114AF BF ∴+=， ()211242431282BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2AF =时，等号成立.故答案为：1282+【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.已知数列{}n a 满足14a =，144n na a +=-，且()()()()()12232222f n a a a a =--+--+()()()()3412222n n a a a a +--++--，若对()3n n *∀≥∈N ，都有()22f n m m ≥-恒成立，则实数m 的最小值为__________.【答案】1- 【解析】 【分析】 易知124422n n n n a a a a +--=-=，可得111122422n n n n a a a a +==+---，从而可得数列22n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，进而可求出22n a -及2n a -的表达式，从而可求出()f n 的表达式，然后求出()f n 的最小值，令()2min 2f n m m ≥-，即可求出实数m 的范围，从而可求出实数m 最小值.【详解】14a =，144n na a +=-， ∴124422n n n na a a a +--=-=， 若存在()2,n n n *≥∈N，使得12n a+=，则2n a =，即112n n a a a -====，显然与14a =矛盾，12n a +∴≠，2n a ≠. 111122422n n n n a a a a +∴==+---，122122n n a a +∴-=--，1221242a ==--，22n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列；2112n n n a ∴=+-=-，22n a n-=， ()()1221122411n n a a n n n n +⎛⎫∴--=⋅=- ⎪++⎝⎭， ()()()()()()()()()122334122222222n n f n a a a a a a a a +∴=--+--+--++--1111144122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭.对()*3n n ∀≥∈N，都有()22f n mm ≥-恒成立，所以()2min 2f n m m ≥-，因为()*3n n ∀≥∈N时，()44141n f n n n ==-++，易知()f n 在[)3,+∞上是增函数，所以()()min 33f n f ==，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤，所以实数m 的最小值为1-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的证明及通项公式的求法，考查裂项相消求和法的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，7a =，8c =..（1）若sin C =A ；（2）若ABC 的面积为，求ABC 周长.【答案】（1）π3A =；（2）周长为20或15+【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a c A C =，可求出sin A ，易知π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可求出角A ； （2）由1sin 2ABC S ac B =△，可求出sin B ，进而可求出cos B ，结合余弦定理，可求出b ，即可求出ABC 的周长.【详解】（1）由已知条件可知，7a =，8c =，sin C =根据正弦定理可得sin sin a cA C=，si 7sin n 8a A c C =∴==，a c <，A C ∴<，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴=.（2）因为ABC 的面积为103，且7a =，8c =.1sin 28sin 1032ABC S ac B B ∴===△，53sin 14B ∴=. 2111si s 14co n B B ±=±∴=-. ①若11cos 14B =，由余弦定理得，22222112cos 782782514b ac ac B ⨯=+-⨯⨯-=+=， 5b ∴=，ABC ∴的周长为78520a b c ++=++=；②若1os 14c 1B =-，由余弦定理得，22222112cos 7827820114b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪⎝⎭⨯⨯，201b ∴=，ABC ∴的周长为2011527081a b c ++=+++=.综上，ABC 周长为20或15201+.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”，“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓，深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元.经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示.小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x （单位：吨）表示下一个月内市场的需求量，y （单位：元）表示下一个月内经销西凤脐橙的销售利润.（1）将y 表示为x 的函数；（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y 不少于67000元的概率；【答案】（1）130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（2）0.7【解析】 【分析】（1）根据小王购进了100吨和频率分布直方图，分需求量大于等于70小于100和需求量大于等于100小于等于120，两种情况讨论求解.（2）根据销售利润y 不少于67000元由（1）的模型，求得需求量的范围，再根据频率分布直方图求解概率. 【详解】（1）依题意得，x 表示一个月内的市场需求量，y 表示一个月内经销西凤脐橙的利润， 当[)70,100x ∈时，()800500100130050000y x x x =--=-. 当[]100,120x ∈时，80010080000y =⨯=. 所以130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩.（2）由（1）知下一个月网店利润y 不少于67000元，所以67000y ≥， 当[)70,100x ∈时，由13005000067000x -≥，得90x ≥，所以90100x ≤<. 由直方图知西凤脐橙需求量[]90,120x ∈的频率为()0.030.0250.015100.7++⨯=， 所以下一个月内的利润y 不少于67000元的概率的估计值为0.7.【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用以及频率直方图样本估计总体，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且60BAD ∠=，11124CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点.（1）求证：1AA BD ⊥； （2）求三棱锥111B A C E -的体积.【答案】（1）详见解析；（2）233. 【解析】 【分析】(1) 推导出CC 1⊥BD ．BD ⊥AC ．从而BD ⊥平面ACC 1，由此能证明BD ⊥AA 1； (2)利用等积法即可得到三棱锥111B A C E -的体积. 【详解】（1）证明：因为底面，所以.因为底面是菱形，所以. 又，所以平面.又由四棱台知，四点共面. 所以.（2）由已知，得，又因为，所以.【点睛】等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．20.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点22,2P ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆M方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625 【解析】【分析】（1）设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，可得2b a =，进而将2⎭代入椭圆方程，可求出,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为x ky m =+，与椭圆方程联立，并消去x 得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，可得0CA CB ⋅=，将其展开并结合韦达定理，可求得65m =，即直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭，进而1212ABCS DC y y =-，结合韦达定理，求出最大值即可.【详解】（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为222214x y b b+=.将2⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=，解得2a =，1b =. 故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线l 的方程为x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式并整理得()()()()2212121220k y y k m y y m ++-++-=，则()()()()22222214222044k m k m m m k k +---++-=++，化简得()()5620m m --=， 解得65m =或2m =，因为直线x ky m =+不过点()2,0C ，所以2m ≠，故65m =. 所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故121162225ABCSDC y y ⎛=-=⨯- ⎝==， 设211044t t k ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭，则ABCS =在10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，当14t=时，1625ABCS ==， 所以ABC 面积的最大值为1625. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查三角形的面积的计算，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于难题. 21.已知函数1()ln af x a x x x-=-++. （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()23xg x e mx =+-，当21a e =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使212()2()f x e g x +≥，证明：2m e e ≤-.【答案】(1)见解析；(2)见证明 【解析】 【分析】（1）求导221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x'----=-++=，讨论1x =与1x a =-的大小关系得单调区间；(2)当21a e =+时，由（1）得()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--，由题 212()2()f x e g x +≥转化为21min2g xf x e ，得22xmx e e +≤，分离m 得22x e e m x -≤，构造函数22()x e e h x x -=求其最大值即可证明【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-； 当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是0,，没有单调减区间；（2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增. 从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--.对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证【点睛】本题考查函数的单调区间，不等式有解及恒成立问题，分离参数求最值问题，转化化归能力，是中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22.已知在平面直角坐标系xoy中，曲线11:12x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,1M ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离. 【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2224x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）消去参数得到20x y +-=，再利用极坐标公式化简得到答案. （2）根据直线过圆心得到()2,0，计算得到答案.【详解】（1）曲线1:C 1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得20x y +-=， 其极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4cos ρθ=，24cos ρρθ=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）由题意及（1）知直线1C 过圆2C 的圆心()2,0，则点N 的坐标为()2,0， 又()1,1M，所以MN ==.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力.【选修4—5：不等式选讲】23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在[1,1]-上有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1) {}23x x -≤≤ (2) 24a -≤≤【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题x a 2x +≤-在[]1,1-上有解，去绝对值分离变量a 即可.【详解】（1）不等式()()f x 5f x 3≤--，即x 1x 25++-≤ 等价于1,125,x x x <-⎧⎨---+≤⎩ 或12,125,x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或2,125,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得 2x 3-≤≤， 所以原不等式的解集为{}x 2x 3-≤≤；（2）当[]x 1,1∈-时，不等式()2f x x a x 4++≤+，即x a 2x +≤-， 所以x a 2x +≤-在[]1,1-上有解即2a 22x -≤≤-在[]1,1-上有解，所以，2a 4-≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}11A x x =-<<，{}0B x x =<，则AB =（ ） A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合A B . 【详解】{}11A x x =-<<，{}0B x x =<，因此，(),1A B ⋃=-∞.故选：D.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.已知：()32z i i =-，则z =（ ）A. 23i -B. 23i +C. 32i +D. 32i -【答案】A【解析】【分析】 利用复数的乘法计算得出复数z ，再利用共轭复数的定义可求得复数z .【详解】()3223z i i i =-=+，因此，23z i =-.故选：A.【点睛】本题考查共轭复数的计算，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3.某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（ ）A. 20B. 16C. 14D. 12【答案】B 【解析】【分析】 利用总人数乘以高二学生所占的比例可求得结果.【详解】由题意可知，高二学生所占的比例为0.32，所以，高二年级应抽取人数为500.3216⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查利用扇形统计图计算频数，考查计算能力，属于基础题.4.已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（ ）A. 3B. 10C. 3D. 5 【答案】B【解析】分析】先求出a b +，再利用()0a a b ⋅+=求出t ，再求b .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+由()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+= ()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-，10=b故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题. 5.已知双曲线()22105x y m m-=>的一个焦点为()3,0F -，则其渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. 5y x =±C. 52y x =±D. 25y x =± 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的一个焦点坐标求出m 的值，进而可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由于双曲线()22105x y m m-=>的一个焦点为()3,0F -，则2354m =-=，双曲线的标准方程为22154x y -=，其渐近线方程为5y x =±. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了利用双曲线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.6.已知tan 3α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 45- B. 35 C. 35 D. 45【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式得出222222cos sin sin 2cos 2cos sin 2cos sin παααααααα-⎛⎫+==-= ⎪+⎝⎭，利用弦化切思想可求得结果. 【详解】22222222cos sin 1tan 4sin 2cos 2cos sin 2cos sin 1tan 5παααααααααα--⎛⎫+==-===- ⎪++⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查三角求值，涉及诱导公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.7.为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为（ ）A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3 【答案】C【解析】【分析】将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为a 、b 、c 、d 、e ，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为a 、b 、c 、d 、e ，从上述五个节日中任取两个节日，所有的基本事件有：ab 、ac 、ad 、ae 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，共10种情况，其中，事件“中秋节被选中”所包含的基本事件有：ad 、bd 、cd 、de ，共4种情况， 因此，所求事件的概率为.40410=. 故选：C.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.8.已知ln a π=，12b e -=，1lg 2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】A【解析】【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，则ln ln 1a e π=>=；指数函数x y e =在R 上为增函数，则10201e e -<<=，即01b <<；对数函数lg y x =在()0,∞+上为增函数，则1lglg102c =<=. 因此，a b c >>.故选：A.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.9.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）AB.C. D. - 【答案】A【解析】【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点(M(222p =⨯，2p =， ()1,0F ，MF k =故选：A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.10.侧棱长与底面边长都相等的四棱锥P ABCD -中，若E 为侧棱PB 的中点，则异面直线PD 与AE 所成角的正弦值为（ ）A. 3B. 23C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】作出图形，连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，可得出异面直线PD 与AE 所成的角为AEO ∠，通过解三角形可求得sin AEO ∠，即可得解.【详解】设四棱锥P ABCD -的棱长为2，连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，如下图所示：则点O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，//OE PD ∴，所以，异面直线PD 与AE 所成的角为AEO ∠， 且112OE PD ==，122AO AC ==223AE PA PE =-=， 222AO OE AE ∴+=，AO OE ∴⊥，则26sin 3AO AEO AE ∠===. 故选：A. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般通过平移直线法找出异面直线所成角，考查计算能力，属于中等题.11.在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若23b =cos 320B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（ ） A. 123+ B. 3 C. 3 D. 623+【答案】D【解析】【分析】由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC 的周长. 【详解】cos 32sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=， sin 2sinC A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =，2a ∴=，24c a ==，因此，ABC 周长是623a b c ++=+故选：D.【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.12.若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（ ）A. 1011B. 1010C. 2020D. 2021【答案】B【解析】【分析】利用奇函数的定义求得a 的值，可得出函数()y f x =的解析式，并求出该函数的定义域，解不等式()0f x ≥，进而可得出该不等式的整数解的个数. 【详解】()20202020202020201010log log 10101010a ax f x a x x --⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()202020201010log 1010a ax f x x-+-=-， 由于函数()y f x =为奇函数，则()()0f x f x +-=，即2020101020201010110101010a ax a ax x x ---+⋅=+-， ()22222202010101010a a x x ∴--=-，则()2222020101010101a a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得1a =， ()20201010log 1010x f x x-∴=+， 解不等式101001010x x ->+，即101001010x x -<+，解得10101010x -<<， 由()0f x ≥，可得10101101010101010x x x -⎧≥⎪+⎨⎪-<<⎩，解得10100x -<≤，因此，不等式()0f x ≥的整数解的个数是1010.故选：B.【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，在求解函数不等式时，不要忽略了函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线()122ln f x x x=-+在1x =处的切线方程为__________． 【答案】320x y --=【解析】【分析】求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可求得所求切线的方程.【详解】()122ln fx x x =-+，()221f x x x'∴=+，()11f ∴=，()13f '=， 因此，曲线()122ln f x x x =-+在1x =处的切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故答案为：320x y --=.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.14.实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为__________.【答案】10【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数截距可求.【详解】解：作出可行域如下：由2z x y =-得1122y x z =-，平移直线1122y x z =-， 当1122y x z =-经过点B 时，截距最小，z 最大 解得()6,2B -2z x y =-的最大值为10故答案为：10【点睛】考查可行域画法及目标函数最大值的求法，基础题.15.设m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，βn//，//αβ，则//m n ；②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则βn//；④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥．其中正确的是__________（填序号）．【答案】②④【解析】【分析】利用空间中直线与直线的位置关系可判断命题①的正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断命题②的正误；利用线面垂直的性质可判断命题③的正误；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，若//m α，βn//，//αβ，则m 与n 平行、相交或异面，命题①错误； 对于命题②，设l αβ=，若αβ⊥，则存在n ⊂α，使得n l ⊥，则n β⊥， 又m β⊥，则//m n ，m α⊄，//m α∴，命题②正确；对于命题③，m α⊥，//αβ，则m β⊥，又m n ⊥，则βn//或n β⊂，命题③错误；对于命题④，过直线m 作平面γ，使得a αγ⋂=，//m α，m γ⊂，则//a m ， m l ⊥，则a l ⊥.αβ⊥，l αβ=，a β∴⊥，//a m ，m β∴⊥，命题④正确.因此，正确命题的序号为②④.故答案为：②④.【点睛】本题考查空间中线面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.16.设函数()sin 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭时，若()2020,x a ∈时，()f x 存在零点和极值点，则整数a 的最小值为__________．【答案】2021【解析】【分析】由()2020,x a ∈计算出4x ππ+的取值范围，根据题意可得出关于实数a 的不等式，进而可得出整数a 的最小值. 【详解】当()2020,x a ∈时，2020444x a ππππππ+<+<+，由于函数()y f x =在区间()2020,a 上存在零点和极值点， 则20214a πππ+>，可得120214a >-，因此，整数a 的最小值为2021. 故答案为：2021. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的零点与极值点求参数，解答的关键就是求出4x ππ+的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项.（1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n a n +的前n 项和n S .【答案】（1）见解析，21n n a =-（2）1222n n S n +=+-【解析】【分析】（1）根据等差中项的定义得112n n a a +-=，然后构造新等比数列{}1n a +，写出{}1n a +的通项即可求 （2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得112n n a a +-=，即121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.即有()111122n n n a a -+=+⋅=，所以21n n a =-.（2）由（1）知，数列{}2n a n +的通项为：2221n n a n n +=+-，()()123222213521n n S n ∴=+++++++++-()2122122212n n n n +-=+=+--故1222n n S n +=+-.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.18.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各50人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示： 感兴趣无所谓合计男性 26 24 50 女性 3020 50合计 56 44100根据以上数据能否有95%的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？（参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.635（2）在感兴趣的会员中随机抽取10人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分10分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”（分数不低于9.5分）、“满意”（分数不低于平均分且低于9.5分）、“基本满意”（分数低于平均分）三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．【答案】（1）没有95%的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，理由见解析；（2）35. 【解析】 【分析】（1）计算2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）计算出这10个数据的平均数，记这10人中“满意”的4人分别为a 、b 、c 、d ，“很满意”的2人分别记为1、2，列举出所有的基本事件，并确定事件“这两人中至少有一人是“很满意”会员”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】解：（1）由列表可得：()()()()()()22210026203024500.649 3.8415050564477n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯． 所以没有95%的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关； （2）由茎叶图知，这10个数据的平均数为()17.67.98.28.58.99.19.29.39.59.88.810⨯+++++++++=． 依题意这10人中“满意”的有4人，记为a 、b 、c 、d ，“很满意”的有2人，记为1、2．从这6人中任取2人，所有的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),1a 、(),2a 、(),b c 、(),b d 、(),1b 、(),2b 、(),c d 、(),1c 、(),2c 、(),1d 、(),2d 、()1,2，共15个基本事件，记A 为从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人至少有一人很满意，则A 中包含的基本事件有：(),1a 、(),2a 、(),1b 、(),2b 、(),1c 、(),2c 、(),1d 、(),2d 、()1,2，共9个基本事件.所以()93155P A ==． 【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.19.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）； （2）求点B 到该平面的距离． 【答案】（1）见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）直接作出符合条件的截面即可；（2）设点B 到该平面的距离为h ，利用等体积法得出J HIB B HIJ V V --=，进而求得h 的值.【详解】（1）截面如下图所示：其中F 、G 、H 、I 、J 分别为边11C D 、1DD 、AD 、AB 、1BB 的中点．（2）设点B 到该平面的距离为h ， 则由J HIB B HIJ V V --=可知1133HIB HIJ S JB S h ⨯⨯=⨯⨯△△， 所以2211122sin231323HIBHIJSJBh Sπ⨯⨯⨯=⨯⨯==．因此，点B到该平面的距离为3. 【点睛】本题考查截面的作法，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力，属于中等题.20.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点)F，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若2MP PN =，求MON △的面积．【答案】（1）22186x y +；（2. 【解析】 【分析】（1）由题意可知点2⎭在椭圆C 上，利用椭圆的定义可求得a 值，结合c 的值可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为2y kx =+，将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由2MP PN =得出122x x =-，结合韦达定理求得2k 的值，再由三角形的面积公式可求得MON △的面积.【详解】（1）依题意有c =C的焦点坐标为()，且点2⎭在椭圆C 上，由椭圆的定义可得2a ==即a =b ∴=， 因此，椭圆C 的方程为22186x y +；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，由2MP PN =，得()12122222x x y y -=⎧⎨-=-⎩．由题意直线MN 的斜率存在，所以设直线MN 的方程为2y kx =+， 代入椭圆方程整理，得()22431680k x kx ++-=， 所以1221643kx x k -+=+，122843x x k -=+． 将122x x =-代入上式可得，22216824343k k k --⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，解得2120k =． 所以MON △的面积1212MONSOP x x =⋅-====. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积的计算，涉及向量共线问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21.函数()()21ln 12f x x ax a x =-+-（a R ∈且0a ≠）． （1）若2a =-，判断函数()f x 的单调性；（2）当2a <时，求证：()y f x =的图象恒在函数()()21102y a x x =-->的图象的下方． 【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，分别解不等式()0f x '>和()0f x '<可求得函数()y f x =的增区间和减区间；（2）构造函数()()()2112g x f x a x =+-，利用导数证明出()max 0g x <即可证得结论成立. 【详解】（1）当2a =-时，函数()2ln 3f x x x x =+-的定义域为()0,∞+，()()()2123123121x x f x x x xx x x -+'=+-=-=-， 令()0f x '>，可得102x <<或1x >；令()0f x '<，可得112x <<.因此，函数()y f x =的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）令()()()211ln 22a g x f x a x x x =+-=-+，其中0x >， ()111xg x x x-'=-=， 当01x <<时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增； 当1x >时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减. 所以，函数()y g x =在1x =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 1102ag x g ==-<，所以，()0g x <恒成立， 即当2a <时，()y f x =的图象恒在函数()()21102y a x x =-->的图象的下方．【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分． 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.【答案】（1）曲线1:2cos C ρθ=，曲线(222:3C x y +=（2）y =.【解析】 【分析】（1）用1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C 的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭，代入到1:2cos C ρθ=和2C ：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解.【详解】解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨=⎩ ()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=故1C ：2cos ρθ=将ρθ=两边同时乘以ρ，得2sin ρθ= 因为222,sin x y y ρρθ=+=，所以220x y +-= 得2C的直角坐标方程(222:3C x y +=.（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭由2cos θϕρθ=⎧⎨=⎩，得||2cos OA ϕ=，由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得||OB ϕ=故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭当3πϕ=时，OA OB +取得最大值此时直线的极坐标方程为：()3R πθρ=∈，其直角坐标方程为：y =.【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()1f x x =-，不等式()()15f x f x +-<的解集为{}x m x n <<. （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +≥. 【答案】（1）1m =-，4n =.（2）见解析【解析】 【分析】（1）分三种情况讨论即可（2）将m ，n 的值代入，然后利用均值定理即可.【详解】解：（1）不等式()()15f x f x +-<可化为125x x -+-<.即有1325x x ≤⎧⎨-<⎩或12x <<或2235x x ≥⎧⎨-<⎩. 解得，11x -<≤或12x <<或24x ≤<.所以不等式的解集为{}14x x -<<，故1m =-，4n =. （2）由（1）知，0nx y m ++=，即41x y +=，由0x >，0y >得，()1111445549x yx y x y x y y x⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =，即16x =，13y =时等号成立.故119x y +≥，即9x y xy +≥. 【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十九)数学(文)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十九）数学试题（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.{}|2,x M y y x R -==∈，{|sin ,}N y y x x R ==∈，则MN =（ ） A. (0,1]B. [1,0)-C. [1,1]-D. ∅ 【答案】A【解析】【分析】先分别求出集合M 与N ，再利用集合的交集运算进行求解. 【详解】{}{}20x M y y y y -===>；{}{}sin ,11N y y x x R y x ==∈=-≤≤， ∴(]0,1M N =.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.2.若2()i a R a i+∈-为纯虚数（i 为虚数单位），则a =（ ） A. 2 B. 1 C. 12- D. 12 【答案】D【解析】【分析】 根据复数代数形式的四则运算化简()2222211+1a i i a a i a a ++-=+-+，令22101a a -=+，即可求出a 值. 【详解】()()()()()()222222221222222111+1i a i a a i a i i a i ai i a a i a i a i a i a a a ++-+++++++-====+--+-++， 2()i a Ra i +∈-为纯虚数，∴22101a a -=+，解得12a =， 故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，属于基础题.若复数z a bi =+为纯虚数，则由0a =，0b ≠.3.已知sin(3)||2y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭一条对称轴为34x π=，则ϕ=（ ） A. 4π B. 4π- C. 3π D. 6π 【答案】A【解析】【分析】 根据34x π=是sin(3)y x ϕ=+的一条对称轴，求得4k πϕπ=+，再根据ϕ的范围，即可求出ϕ值. 【详解】34x π=是sin(3)||2y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴， ∴3342k ππϕπ⨯+=+()k Z ∈，∴4k πϕπ=+()k Z ∈， ||2ϕπ<，∴4πϕ=，【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查运算求解能力，熟练掌握正弦型函数的对称轴是解答本题的关键，属于基础题.求解正弦型函数()sin y x ωϕ=+的对称轴，只需令2x k πωϕπ+=+()k Z ∈，即可解出正弦型函数的对称轴为2k x πϕπωωω=-+()k Z ∈. 4.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ） A. y x =±B. 2y x =±C. 12y x =±D. 14y x =± 【答案】B【解析】【分析】直接由双曲线的渐近线的定义，即可求出渐近线方程.【详解】由双曲线的方程可得24a =，21b =，焦点在y 轴上， 所以渐近线的方程为：2a y x x b=±=±， 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.已知双曲线的标准方程，求双曲线的渐近线时，要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程. 5.华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测.A. 3B. 4C. 6D. 7 【答案】B【解析】类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.【详解】先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测.所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.故选：B.【点睛】本题考查的是二分法的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.6.已知“若p 则q ”为真命题，“若p ⌝则q ⌝”为假命题，则p 成立是q 成立的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】“若p 则q ”为真命题， ∴由p 成立可以推出q 成立，∴p 成立是q 成立的充分条件，“若p ⌝则q ⌝”为假命题，即“若q 则p ”为假命题，∴由q 成立不能推出p 成立，∴p 成立是q 成立的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查的是原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题.若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性没有关系.判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推出条件q ；二是由条件q 能否推出条件p .7.疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（ ） A. 34 B. 712 C. 23 D. 56【答案】C【解析】【分析】用列举法列出所有的基本事件以及满足条件的基本事件，用古典概型概率公式即可求得概率.【详解】将数学、语文、政治、地理分别记为,,,A B C D ，将英语，历史，体育分别记为,,a b c ， 在上午下午的课程中各任选一节，所有的可能为：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c 共12种情况.选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的情况有(),A b ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c 共8种情况. 所以，所求概率为82123P ==， 故选：C.【点睛】本题考查了古典概型，属于基础题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本事件的探求方法有两种，（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.8.若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是（ ）A. 31B. 63C. 127D. 255【答案】C【解析】【分析】 模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值.【详解】第一次运行，1i =，0S =，8i <成立，则2011S =⨯+=，112i =+=；第二次运行，2i =，1S =，8i <成立，则2113S =⨯+=，213i =+=；第三次运行，3i =，3S =，8i <成立，则2317S =⨯+=，314i =+=；第四次运行，4i =，7=S ，8i <成立，则27115S =⨯+=，415i =+=；第五次运行，5i =，15S =，8i <成立，则215131S =⨯+=，516i =+=；第六次运行，6i =，31S =，8i <成立，则231163S =⨯+=，617i =+=；第七次运行，7i =，63S =，8i <成立，则2631127S =⨯+=，718i =+=；第八次运行，8i =，127S =，8i <不成立，所以输出S 的值为127.故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时，一定要注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.已知奇函数()f x 定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，若(1)f a =，则(1)(3)(5)(2019)f f f f +++=（ ）A. 0B. aC. 2aD. 1010a 【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的周期，分别求出一个周期内的函数值，结合周期性分析，即可得解. 【详解】(2)f x +为偶函数，∴()f x 的图象关于直线2x =对称,∴()(4)f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，()00f =，∴()(4)f x f x +=-，∴()()()(8)4f x f x f x f x +=-+=--=，即()f x 是周期为8的周期函数，()1f a =，∴()1f a -=-，()()()3141f f f a =-+==，∴()()()533f f f a =-=-=-，()()71f f a =-=-，()()()()13570f f f f a a a a +++=+--=，∴()()()()()()1352019252020172019f f f f f f ++++=⨯++()()132f f a a a =+=+=,故选：C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查学生的综合计算能力，求出函数的周期是解题的关键，属于中档题.10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A.33B.12C.22D.63【答案】A【解析】【分析】由题意作出椭圆图象，结合图象可知121OMF PF F∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出椭圆的离心率.【详解】如图，设直线1PF与圆2224cx y+=相切于点M，连接OM，则2cOM=，椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为()1,0F c-，()2,0F c，2PF x⊥轴，∴22=PbPF ya=，∴21222bPF a PF aa=-=-，1OM PF⊥，2PF x⊥轴，∴121OMF PF F∽，∴121OM OFPF PF=，即2222ac cbbaa=-，解得33cea==，故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，椭圆的定义、椭圆的简单几何性质以及椭圆离心率的求解，考查运算求解能力，属于基础题.11.如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，,E F分别为1,AD AA的中点，则以下说法错误的是（）A. 平面EFC 截正方体所的截面周长为2532+B. 存在1BB 上一点P 使得1C P ⊥平面EFCC. 三棱锥B EFC -和1D FB C -体积相等D. 存在1BB 上一点P 使得//AP 平面EFC【答案】B【解析】【分析】对于A ，平面EFC 截正方体所得的截面为梯形1EFB C ，求出梯形的周长即可得解； 对于B ，通过建立空间直角坐标系，设出P 点坐标，证出1C P EC ⊥不成立，即可得出B 选项错误； 对于C ，通过等体积法，分别求出三棱锥B EFC -和1D FB C -的体积，进而得解； 对于D ，通过线线平行，证得线面平行，进而得解.【详解】 对于A 选项，连接1B C ，1B F ，E ，F 分别为AD ，1AA 的中点，∴1EF B C ∥， ∴E ，F ，1B ，C 四点共线，∴平面EFC 截正方体所得的截面为梯形1EFB C ，∴截面周长11252252532L EF FB BC EC =+++=+++=+， 故A 正确；对于B 选项，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,2E ，()2,0,1F ，()0,2,2C ，()10,2,0C ， 设()2,2,P P z ，所以()12,0,P C P z =，()1,2,0EC =-， 若1C P ⊥平面EFC ，则1C P EC ⊥，而20-=显然不成立， 所以1C P 与EC 不垂直，所以1BB 上不存在点P ，使得1C P ⊥平面EFC ， 所以B 选项错误； 对于C 选项，112221323B EFC F BEC V V --==⨯⨯⨯⨯=， 1111222223223D FB C F DB C V V --==⨯⨯⨯=， 所以1B EFC D FB C V V --=成立，C 正确； 对于D 选项，取1B C 中点M ，1BB 的中点N ，连接EM ，AN ，MN ， AE MN 且AE MN =，∴四边形AEMN 为平行四边形，∴1EM B F ∥， ∴ANEM ，EM ⊂平面EFC ，AN ⊄平面EFC ，∴AN 平面EFC ，∴点P 为1BB 的中点，∴1BB 上存在一点P 使得//AP 平面EFC ，故D 正确.故选：B.【点睛】本题属于综合题，考查了线线平行和线面平行的证明，向量垂直的坐标表示，求三棱锥的体积，属于中档题.证明线线平行，常见的方法有三种：（1）通过线线平行的传递性进行证明；（2）通过三角形的中位线进行证明；（3）通过平行四边形进行证明.12.已知函数3()31f x x x =-+，若1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈，使得()()12f x f x =，且12x x ≠，则b a -的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数，求出()f x 的极大值和极小值，求出函数值与极大值相等的x 值，函数值与极小值相等的x 值，即可得解. 【详解】3()31f x x x =-+，∴()233f x x '=-，令()0f x '=，即2330x -=，解得11x =-，21x =， 当1x <-时，()0f x >′，所以()f x 在(),1-∞-上单调递增； 当11x -≤≤时，()0f x <′，所以()f x 在[]1,1-上单调递减； 当1x >时，()0f x >′，所以()f x 在()1,+∞上单调递增.∴()f x 在1x =-处取得极大值，极大值()11313f -=-++=；在1x =处取得极小值，极小值为()11311f =-+=-. 令()3f x =，即3313x x -+=，即()()2120x x +-=，解得1x =-（舍）或2x =；令()1f x =-，即3311x x -+=-，即()()2120x x -+=，解得1x =（舍）或2x =-；∴b a - 的最大值为()224--=.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查运算求解能力，求出函数的极大值与极小值是解决本题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.若变量,x y 满足1033020x y x y y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则x y +的最小值为______.【答案】3- 【解析】 【分析】作出可行域，令z x y =+，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出x y +的最小值. 【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示，令z x y =+，所以y x z =-+，显然直线过10x y -+=与20x y -=的交点时，z 最小，1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，此时3x y +=-， 故答案为：3-.【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为______.【答案】9 【解析】 【分析】根据三视图，可知该几何体为四棱锥1B DCPD -，求出四棱锥的底面积和高即可得解. 【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为四棱锥1B DCPD -，四边形1DCPD 的面积为()1=4+23=92S ⨯⨯， B 点到平面1DCPD 的距离为3，则11=93=93B DCPD V -⨯⨯， 故答案为：9.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题.将三视图还原为空间几何体，首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.15.已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ，22a =，38S =，则53S a =______. 【答案】11 【解析】 【分析】当1q =时，求得36S =与38S =矛盾，得到1q ≠，再利用23228a S a a q q=++=，得到231a q =-，化简51234533S a a a a a a a ++++=，并借助231a q =-，即可求得53S a 的值. 【详解】设等比数列的公比为q ，当1q =时，323326S a ==⨯=与38S =矛盾，所以1q ≠，22a =，∴23123222228a S a a a a a q q q q=++=++=++=， 即2310q q -+=，解得231q q =-，51234533S a a a a a a a ++++= 23222222q q q q q++++=23421+q q q q q+++= ()()()221313131q q q q q q++-+-+-= 221231q q q-+= 11=故答案为：11.【点睛】本题考查的是有关等比数列的问题，求解本题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程，属于中档题. 16.ABC 中，(32)0AB AC BC +⋅=，且对于t R ∈，||BA tBC -最小值为6||5BC ，则BAC ∠=_____.【答案】4π 【解析】 【分析】利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，可得到22255b c a -=，化简2BA tBC -，并利用二次函数求最值，求出2BA tBC -的最小值，且使最小值等于23625a ，可得2285c a =，进而得出2295b a =，最后利用余弦定理即可得解.【详解】设AB c =，BC a =，AC b =，()32AB AC BC +⋅()()32AB AC AC AB =+⋅-2223b c AC AB =-+⋅2223cos b c bc BAC =-+∠22222232b c a b c +-=-+()320AB AC BC +⋅=，∴222222302b c a b c +--+=，∴22255b c a -=，2BA tBC -2222cos c t a tac B =+-22222222a cbc t a t +-=+-⋅222245a t a t c =-+222224525a t c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∴BA tBC -的最小值为22425c a -， ∴2224362525c a a -=，解得2285c a =，∴2295b a =，2222222298255cos 2298255a a abc a BAC bc a a+-+-∠===⋅⋅，02BAC π<∠<，∴4BAC π∠=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解能力，属于综合题，难度较大. 利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，得出三角形三边的关系是解题的关键.三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分，每题考生都必须在答题卡上作答.17.已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为2，,M N 分别为11,AC B C 的中点.（1）求证：//CN 平面11MA B ； （2）求三棱锥11M A B C -体积. 【答案】（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1） 取11A B 中点P ，连接PN ，通过证明四边形PNCM 为平行四边形，并借助线线平行，得到线面平行；（2）利用等体积法，将求11M A B C -的体积转化为求11B A MC -的体积，借助三棱锥的体积公式即可得解.【详解】（1）取11A B 中点P ，连接PN ，由于,P N 分别为1111,A B B C 的中点，所以1112PN AC 而1112MCAC ，则PN MC ，所以PNCM 为平行四边形，所以CNPM又因为CN ⊄面11MA B ，PM ⊂面11MA B ，所以CN 平面11MA B（2）111212A MCS=⨯⨯=， 1B 到平面1A MC 的距离2sin 603d =⨯︒=，所以111111131333M A B C B A MC A MC d V V S --==⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查线面平行的证明以及三棱锥体积的求解，其中涉及到线线平行的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.求解三棱锥的体积时，要注意等体积法的应用. 18.ABC 为直角三角形，斜边BC 上一点D ，满足3=AB BD .（1）若30BAD ∠=︒，求C ∠； （2）若12BD CD =，2AD =，求BC . 【答案】（1）60C ∠=°（2）32BC =【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及ADB ∠的范围，得出ADB ∠的值，再借助ADB C DAC ∠=∠+∠即可得解；（2）设12BD CD a ==，根据已知条件和勾股定理求出AC =，进而得到cos C ∠的值，再利用余弦定理即可得解.【详解】（1）由正弦定理：sin 30sin BD ABADB=︒∠，得sin 30sin AB ADB BD ⋅︒∠==， 60180ADB ︒<∠<︒，∴120ADB ∠=︒，∴120C DAC ∠+∠=︒，60=︒∠DAC ，∴60C ∠=°.（2）设12BD CD a ==，=AB ，∴AB =，∴AC =，从而cos AC C BC ∠==，由余弦定理222cos2AC DC AD C AC DC +-∠=⋅，即223=，解得a =BC =【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题. 平面几何中解三角形问题的求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； （2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.19.新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①2y bx a =+，②y dx c =+对变量x和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差i i i e y y =-）：经过计算得()()81728i i ix xy y =--=∑，()82142i i x x=-=∑，()()816868i i i z zy y =--=∑，()8213570i i z z=-=∑，其中2i iz x =，8118i i z z ==∑.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留一位小数）；（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数作出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()81821ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）选择模型①，详见解析（2）21.9 1.6y x =+（3）156 【解析】 【分析】（1）根据残差图，估计值和真实值越接近，拟合效果越好，即可得解；（2）令2z x =，分别计算,z y 的平均数，根据公式求得,b a ，即可求出模型①对应点回归方程； （3）将9x =代入回归方程，即可得解【详解】（1）根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近， 模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好，所以选择模型①.（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为2y bx a =+，令2z x =，则y bz a =+. 由所给数据得：1(1491625364964)25.58z =+++++++=， 1(481631517197122)508y =+++++++=，()()()8182168681.93570iii i i zzy y b z z==--==≈-∑∑， 50 1.925.5 1.6a y bz =-≈-⨯≈，y ∴关于x 的回归方程为21.9 1.6y x =+.（3）预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为21.99 1.6155.5156y =⨯+=≈（人）. 【点睛】本题考查了利用残差图判断拟合效果，求解回归方程，利用回归方程求解预估值的问题，考查了学生的数据处理能力，对于学生的运算求解能力有一定的要求，属于基础题.20.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过F 与抛物线交于,A B 两点.,A B 到准线的距离之和最小为8.（1）求抛物线方程；（2）若抛物线上一点P 纵坐标为2p ，直线,PA PB 分别交准线于,M N .求证：以MN 为直径的圆过焦点F .【答案】（1）28y x =（2）证明见解析【解析】 分析】（1）根据题意及抛物线定义，可知28p =，从而可求出抛物线方程；（2）当直线l 与x 轴垂直时，求出M ，N 的坐标，进而证得以MN 为直径的圆过焦点F ；当直线l 与x 轴不垂直时，设出直线方程，A 点和B 点坐标，并与抛物线方程联立，借助根与系数的关系以及向量数量积的坐标表示，证得0MF NF ⋅=，从而证出以MN 为直径的圆过焦点F .【详解】（1）,A B 到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为||AB ，||AB 最小为通径，所以28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =.（2）抛物线焦点()2,0F ，准线方程：2x =-，由P 点纵坐标为2p ，得(8,8)P ，当直线l 与x 轴垂直时，直线方程为2x =，此时，()2,4A ，()2,4B - ，直线PA ：2833y x =+，直线PB ：28y x =-， 所以，42,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,12N --， 所以，圆心坐标为162,3⎛⎫--⎪⎝⎭，半径203r =，焦点到圆心的距离203d r ===， 此时，以MN 为直径的圆过焦点F .当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:2l x my =+，设()()1122,,A x y B x y ，228x my y x=+⎧⎨=⎩，得28(2)y my =+，1216y y =-，128y y m +=， PA 直线为111888(8)(8)88y y x x x y --=-=--+代入准线2x =-得： 11180816888M y y y y --=+=++同理可得228168N y y y -=+ ()()()12121212642244,4,168864M N y y y y MF NF y y y y y y --+⋅=⋅=++++ ()()121212121212161281664642248864y y y y y y y y y y y y +++⋅+--+=+++ 12121280166446408864y y y y y y +⋅+⋅==+++，所以2MFN π∠=，所以焦点F 在以MN 为直径的圆上.综上，以MN 为直径的圆过焦点F .【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系以及向量数量积的坐标表示，属于中档题.解决直线与圆锥曲线的位置关系的题型时，要注意韦达定理的应用.21.已知函数2()(1)f x a x =+，()x g x xe =.（1）若()g x 的切线过(4,0)-，求该切线方程；（2）讨论()f x 与()g x 图像的交点个数.【答案】（1）2(4)y e x -=-+（2）0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点【解析】【分析】（1）设出切点，根据()()000000014x x x e g x x e x -'==++，求出切点，进而求出直线斜率，从而得解； （2）构造函数()()()F x g x f x =-，求出导函数，通过分类讨论，研究()F x 的单调性，进而判断出()F x 的零点个数，从而得解.【详解】（1）()x g x xe =，∴()()1xg x x e '=+， 设切点为()00,x y ，则()()000000014x x x e g x x e x -'==++， 化简得200054x x x =++，所以02x =-，2k e -=-，所以切线方程为2(4)y e x -=-+.（2）设()()()F x g x f x =-，即讨论()F x 零点个数. ()()(1)2(1)(1)2x x F x x e a x x e a '=+-+=+-，0a =时，()F x 只有一个零点；0a <时，()F x 在(,1)-∞-上单调递减，(1,)-+∞单调递增，1(1)0F e-=-<，x →-∞，x →+∞时，()F x 均∞→+，此时，()F x 有两个零点， 0a >时，x →-∞时，()F x →-∞，x →+∞时()F x →+∞，由()0F x '=得1x =-，ln(2)x a =， 若12a e=时，()F x 在R 单增，只有一个零点； 若12a e ≠时，1(1)0F e -=-<，2(ln(2))ln (2)0F a a a a =--<， 极大值极小值均小于0，从而也只有一个零点.综上，0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点.【点睛】本题考查了函数过某点的切线方程，两个函数图像交点个数的判断，难度较大.求函数的切线方程时，要注意区分“在某点”和“过某点”，这是一个易错点.求解两个函数交点个数的问题时，常用构造函数法，转化为求解零点个数的题型.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若曲线C 上两点,M N ，有OM ON ⊥，求OMN 面积最小值.【答案】（1）()2213sin 4ρθ+=（2）45 【解析】【分析】（1）将曲线C 的参数方程消去参数，可得曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可得解；（2）设出M ，N 两点的坐标，代入曲线C 的极坐标方程，求出2212ρρ，化简得221221694sin 24ρρθ=+，再根据三角函数的范围即可求出2212ρρ的范围，从而得解.【详解】（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α， 得曲线C 的普通方程为：2244x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2244x y +=，得曲线C 的极坐标方程为：()2213sin 4ρθ+=. （2）设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入曲线得： ()22113sin 4ρθ+=，()22213cos 4ρθ+=，则()()221222222161616166492549sin cos 2513sin 13cos 4sin 244ρρθθθθθ===≥=++++， 当4πθ=，34π，54π，74π时可以取到等号， 所以OMN 面积为121425S ρρ=≥. 故OMN 面积最小值为45 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，属于中档题.参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；普通方程化为极坐标方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可化为极坐标方程；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程.23.已知函数()1122f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a ≤有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()4f x x b ≤--对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）4a ≥-；（2）(,6]-∞-．【解析】【分析】（1）将()f x 化为分段函数，求出函数的值域，即可求出a 的范围，（2）画出相对应的函数的图象，结合图象可得b 的取值范围．【详解】（1）()4,122,11112244,124,2x x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪--<≤⎪=++---=⎨-<<⎪⎪≥⎩，∴()f x 的值域为[]4,4-，∵关于x 的不等式()f x a ≤有解，∴4a ≥-，（2）()y f x =与4y x b =--对的图象如图所示：由图象知，要使()4f x x b ≤--对任意x ∈R 成立，只需要()224f b ≤--，且0b <解得6b ≤-，故b 得取值范围为(,6]-∞-．【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题和存在性问题，考查了数形结合的思想.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十九)数学(文科)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260A x x x =--≤，{}20B x x =->，则()R C A B =（ ）A. {}23x x x ≤>或 B. {}23x x x ≤->或C. {}23x x x <≥或D. {}23x x x <-≥或【答案】A 【解析】 【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【详解】{}260{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤,{}{}202B x x x x =->=，则{|23}A B x x ⋂=<≤，{2()R C A B x x =≤∣或3}x >，故选：A.【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，根据不等式先化简集合，再进行集合的运算即可，属于基础题.2.已知复数12iz i+=，则||z =（ ）A.B. 3C. 1D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】可用除法法则计算出复数z ，然后再由模的定义求得模． 【详解】解：∵212(12)()2i i i z i i i ++-===--，∴|z |= 故选A ．【点睛】本题考查复数的除法运算和求复数的模，掌握复数的运算法则和复数的概念是解题基础． 3.命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ） A. 2,||0x x x ∀∈+<R B. 2,||0x x x ∀∈+≤R C. 2000,0x R x x ∃∈+< D. 2000,0x R x x ∃∈+≥【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定0x R ∃∈，2000x x +<，故选：C.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A. 66B. 90C. 117D. 127【分析】 由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，代入数据可得9S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，故()()363962S S S S S -=+-，代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =故选C【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，属于基础题．5.在△ABC 中，设三边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，D ，则EC FA +＝ A. BDB.12BD C. ACD.12AC 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则即可求出()()1122EC AC BC FA BC BA ++＝，＝， 所以EC FA BD +＝． 【详解】如图，()()1122EC AC BC FA BC BA ++＝，＝，∴()12EC FA BC BA BD ++＝＝； 故选A ．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则及中线向量，以及向量的加法运算．6.已知tan 2θ=，则sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+--=+--（ ） A. 2B. 2-C. 0D.23由题意得，根据三角函数的诱导公式，可得sin()cos()cos cos 2222cos sin 1tan 12sin()sin()2πθπθθθπθθθθπθ+--+====----+--，故选B. 7.函数()f x = ）A. 01a <<B. 1a >C. 01a <≤D. 1a ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义得到11x -≤≤，再计算定义域0)x a ≤≤>，根据大小关系计算得到答案.【详解】()(),1111f x f x x x =-=+--+-，()f x 为奇函数11211x x x =++-=∴-≤≤考虑定义域：2a x 0-≥即0)x a ≤≤>且0x ≠101a ≤∴<≤ 故选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性，忽略定义域是容易发生的错误. 8.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④C. ①③D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观. 9.函数()1xf x x =-在区间[]2,5上的最大值与最小值的差记为max min f -，若 max min f --22a a ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. 1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. []1,2C. []0,1D. []1,3【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数()y f x =在区间[]2,5上的单调性，可得出max min f -，然后再解不等式即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()()1111111x x f x x x x -+===+---，该函数在区间[]2,5上单调递减， 所以，max min 25321514f -=-=--，由2max min 2f a a --≥-，得2324a a -≤-， 化简得24830a a -+≤，解得1322a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，涉及二次不等式解法的应用，解题的关键就是判断出函数的单调性，并利用单调性求出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()ln 1f x f >的解集为（ ） A. ()1e ,1- B. ()1e ,e - C. ()()0,1e,⋃+∞ D. ()()10,e1,-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数的性质可得()f x 在(),0-∞上单调递增，可将问题转化为ln x 和1到对称轴的距离的大小的问题求解．【详解】由题意，根据偶函数()f x 的性质知，()f x 在(),0-∞上单调递增， 又()()ln 1f x f >，所以ln 1x <，解得1ln 1x -<<， 由ln y x =在()0,+∞上为单调递增， 所以1e x e -<<． 故选B ．【点睛】偶函数具有性质()()()f x f x fx -==，利用这一性质，可将问题转化到函数的同一个单调区间上去研究，同时也可将函数值的大小转化为变量到对称轴的距离的大小的问题求解． 11.已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A.32πB. 24πC.6πD. 6π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，=R =，因此，此球的体积为343π⨯=⎝⎭. 故选C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.12.双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右焦点为F ，P 为双曲线C 上的一点，且位于第一象限，直线,PO PF 分别交于曲线C 于,M N 两点，若∆POF 为正三角形，则直线MN 的斜率等于（）A. 2B.2C.2+D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】记双曲线左焦点为1F2c a -=；再设00(,)P x y ，(,)N x y ，得到00(,)--M x y ，由点差法求出200200+-⋅=+-y y y y b x x x x a，得到222213⋅==-=+NM NPb c k k a a. 【详解】记双曲线左焦点为1F ，因为∆POF 为正三角形，所以112=OP FF ， 即190∠=︒F PF ，160∠=︒PFF ， 则有PF c =，1=PF ，2c a -=， 设00(,)P x y ，(,)N x y ，则00(,)--M x y ，所以222222002211 x ya bxya b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得2222002222-=-x yx ya ab b，即200200+-⋅=+-y y y y bx x x x a，即22221323⋅==-=+NM NPb ck ka a，又3NPk=-，则23NMk=--故选D【点睛】本题主要考查双曲线中的直线斜率的问题，熟记双曲线的定义与简单性质即可，属于常考题型.第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()()()3?10(){(5)?10x xf xf f x x-≥=+<，则(5)f=____________.【答案】8【解析】试题分析：依分段函数的定义，得(5)((55))f f f=+((10))(103)(7)f f f f==-=((75))((12))f f f f=+= (123)(9)((95))((14))(143)f f f f f f f=-==+==-(11)1138f==-=，即(5)8f=.考点：分段函数求函数值.14.若x，y满足约束条件330, 330, 0,x yx yy⎧-+≥⎪⎪+-≤⎨≥⎪⎩则当13yx++取最小值时，x y+的值为__________．【答案】1【解析】【分析】画出满足条件的可行域，根据目标函数表示可行域内点与(3,1)M--连线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】画出可行域如下图所示，13yx++表示可行域内的点(,)x y与(3,1)M--连线的斜率，根据图形可得，当点0(1)C，点与M连线时，13yx++取得最小值，此时x y+的值为1点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.若4sin3cos0αα-=，则2sin22cosαα+=_________．【答案】5625【解析】【分析】利用同角三角函数间的基本关系可得3tan4α=，利用二倍角的正弦函数公式化简，再由已知等式弦化切后代入tanα的值，计算即可求出值．【详解】∵4sin 3cos 0αα-=，3tan 4α=， ∴22222sin cos 2cos sin 22cos cos sin ααααααα++=+ 223222tan 25641+tan 2531+4αα⨯++===⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：5625. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，涉及二倍角公式的应用，解题关键是运用齐次式化正切进行转化求解，属于简单题.16.如图所示，在平面四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=，120BCD ∠=，则四边形ABCD 的面积的最大值是 .【答案】33.【解析】【详解】如下图所示，设CD x =，BC y =，由余弦定理可知222cos12012x y xy +-=，即221234x y xy xy xy ++=≥⇒≤，∴1124sin 60sin1203322S x y =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≤， 当且仅当2x y ==时，等号成立，即面积的最大值为33，故填：33.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率. 【答案】（1）23（2）725【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，分别求出文学类图书总数以及正确分类的图书数，即可求出； （2）根据古典概型的概率公式，分别求出图书分类错误的数量以及图书总数，即可求出． 【详解】（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p ==． （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本， 所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，意在考查学生的数据处理能力，属于基础题． 18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若1132a c +=，ABCb .【答案】（1）23B π=（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可将已知等式整理求得tan B ，根据()0,B π∈可求得B ；（2）由三角形面积公式可求得ac ，利用11a c ac a c ⎛⎫+=+⎪⎝⎭求得a c +，利用余弦定理可求得结果. 【详解】（1）∵sin sin 3b C c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴由正弦定理得：sin sin sin sin 3B C C B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∵0C π<< ∴sin 0C > ∴sin sin 3B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴13sin sin cos 2B B B =- ∴tan 3B =- ∵()0,B π∈ ∴23B π=（2）由1123sin sin 3223ABC S ac B ac ac π====△得：4ac = ∴113462a c ac a c ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭∴()222222cos 36142b a c ac B a c ac a c ac =+-=++=+-=-=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.19.如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，6AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥； （2）求三棱锥A AMB ''-的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】 【分析】（1）要证AB A M ''⊥，可证A M '⊥平面AB C ''．由平面知识可证得A M AC ''⊥，又B C ''⊥平面ACC A ''可推出B C A M '''⊥，即得A M '⊥平面AB C ''，于是AB A M ''⊥；（2）根据等积法，13A AMB B A MA A MA V V S BC '''''--∆''==⋅，即可求出． 【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形∵M 为CC '中点，且AA CC ''==∴C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒∴AC A C ''==C M A C A C AA'''=''' ∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A ''， ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥（2）在ABC ∆中，1BC =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒所以AC =1）知B C ''⊥平面ACC A ''由于四边形ACC A ''是矩形，所以1122MA A S AA AC '∆'=⋅==．∴11133A AMB B A MA A MA V V S B C '''''--∆''==⋅==． 【点睛】本题主要考查利用线面垂直的判定定理，性质定理证明线线垂直，以及利用等积法求 三棱锥的体积，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 20.已知函数().xf x e =（1）讨论函数()()g x f ax x a =--的单调性； （2）证明：()3ln f x xx ++>【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】【详解】试题分析: （1）对函数()g x 求导,按0a ≤和0a >分别判断导函数的正负,写出函数的单调性;（2）要证()3ln f x xx ++>只需证()ln 30x x x e +->，由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()ln 1(1)x x x +≤>-，用1x -代替x 可得ln 1(0)x x x ≤->，又可得11ln1(0)x x x ≤->，所以1ln 1(0)x x x≥->,将原不等式放缩,即可证得. 试题解析:（1）解：()()(),1axxg x f ax x a e x a g x ae =--=-='--， ①若0a ≤时，()()0,g x g x '<R 上单调递减；②若0a >时，当1ln x a a<-时，()()0,g x g x '<单调递减； 当1ln x a a>-时，()()0,g x g x '>单调递增； 综上，若0a ≤时，()g x 在R 上单调递减； 若0a >时，()g x 在1,ln a a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减； 在1ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明：要证()3ln f x xx ++>，只需证()ln 30xx x e +->， 由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()ln 1(1)x x x +≤>-， 用1x -代替x 可得ln 1(0)x x x ≤->，又可得11ln 1(0)x x x≤->， 所以1ln 1(0)x x x≥->， ()1ln 3113x x x e x x x ⎛⎫+->-+++- ⎪⎝⎭()222211x x x =++-=+- (()22110≥-=≥，即原不等式成立.21.已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与曲线C 交于,R S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时总有OTS OTR ∠=∠？若存在，请说明理由.【答案】（1）()221243x y x +=≠-（2）()4,0T【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求轨迹方程：先由动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，得12PM R r PN r R =+=-，，从而124PM PN r r +=+=，再由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），其方程为()221243x y x +=≠-（2）条件OTS OTR ∠=∠就是0TS TR k k +=，利用坐标化简得：设()()1122,,,R x y S x y ，则()()12122120x x t x x t -+++=，再联立直线方程与椭圆方程，消去y ，利用韦达定理得21222122834{41234k x x k k x x k +=+-=+，代入化简得4t =试题解析：（1）得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心()1,0N ，半径23r =.设圆P 的圆心为(),P x y ，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以12124PM PN R r r R r r +=++-=+= 由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2，其方程为()221243x y x +=≠-（2）假设存在(),0T t 满足OTS OTR ∠=∠.设()()1122,,,R x y S x y 联立()221{34120y k x x y =-+-=得()22223484120kxk x k +-+-=，由韦达定理有21222122834{41234k x x k k x x k +=+-=+①，其中0∆>恒成立，由OTS OTR ∠=∠（显然,TS TR 的斜率存在），故0TS TR k k +=，即12120y yx t x t+=--②， 由,R S 两点在直线()1y k x =-上，故()()11221,1y k x y k x =-=-代入②得：()()()()()()()()()()121212************k x x t x x t k x x t k x x t x t x t x t x t ⎡⎤-+++--+--⎣⎦==----即有()()12122120x x t x x t -+++=③将①代入③即有：()()222228241823462403434k t k t k t k k --+++-==++④，要使得④与k 的取值无关，当且仅当“4t =”时成立，综上所述存在()4,0T ，使得当k 变化时，总有OTS OTR ∠=∠ 考点：利用椭圆定义求轨迹方程，直线与椭圆位置关系 【方法点睛】1.求定值问题常见的方法有两种（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围； （2）若曲线C 上存在点到l，求t 的值. 【答案】(1)(；. 【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达式d =，结合题目求得结果解析：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为,x tcos y sin αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >）所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=，由2222,1,x y x y t+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22164140t t ∆=-+-<，解得0t <<故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， 故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l的距离d =，故d的=解得t =.又因为0t >，所以t =.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单 23.已知函数()21f x x =-，x ∈R . (1)解不等式()1f x x <+；(2)若对x ，y ∈R ，有113x y --≤，1216y +≤，求证：()1f x <. 【答案】（1）{x |0<x <2}．（2）见解析 【解析】 【分析】(1)分段讨论求解不等式即可.(2)利用1x y --与21y +拼凑出21x -再利用三角不等式证明即可. 【详解】(1)∵()1f x x <+,∴|2x －1|<|x |＋1,即12211x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩ 或102121x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩或0121x x x ≤⎧⎨-<-+⎩ 得122x ≤<或102x <<或无解． 故不等式()1f x x <+的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1| ＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤11521366⨯+=<. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解方法以及拼凑利用三角不等式证明不等式的方法.属于中等题型.。
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(八)文科数学
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|03,},{|20},A x x x B x x x =<<∈=-Z ≥则集合A B 的元素个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2.若平面向()(),2,,12x ==-a b 且//a b ,则x 的值为1 A.B. 1 C 4 . 4 D. 2--3.函数26sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是 A. 6x π=-B. 0x =C. 6x π=D. |3x π=4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为2,y x =±则其离心率为A.C.2D. 35.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10%B. 50%C. 60%D. 90% 6.1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 则四面体-A BCD 的外接球体积为 A.43π B. 83π C. 4π D. 323π 7.曲线ln y x x =在e x =处的切线的斜率为A. 1B. 2C. 1-D. 2-8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的 温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到 茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 为分析 泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔 1min 测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图 所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数 模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律 A. ()20y mx n m =+> B. ()0y mx n m =+>C. 0,01)(xy ma a n m a +=>>≠且 D.log 0,01a y m x n m aa =+>>≠且 9.如图,长方体1111ABCD A B C D -中1,,BB BC P =为11C D 的中点,则异面直线PB 与1B C 所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.已知抛物线()220y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且4,AB FB =则直线l 的倾斜角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 23π11.如图,在面积为1的正方形1111A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为1,2,3,,)(i a i n =，则123n a a a a ++++=]4. [1995nA ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]95. [149nB ⎛⎫- ⎪⎝⎭]1. [1233nC ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]. 3[132nD ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()5,f x f x =+当[)2,0x ∈-时()2,(2),f x x =-+当[)03x ∈，时(),,f x x =则(1)(2)(2021)f f f +++=A. 809B. 811C. 1011 C. 1013二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若tan 2,α=则sin 2α= . 14.241log 3log 9+= . 15.若复数z 满足3,z z ⋅=则||z = . 16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322n S n n =+,则n a = ; 数列11{}n n a a +的前n 项和n T = . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,4PA AB ==,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点. (I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ; (Ⅱ)求点B 到平面PCD 的距离.1C 1D 1A 1B 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1cos 2a b c B +=⋅. (1)求角C ;(Ⅱ)若2,3a b ==,求ABC △外接圆的半径.19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图).(I)估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数; (Ⅱ)现将小区居民按照购买量分为两组,即购买量在[)1,3单位:kg )的居民为A 组,购买量在[]3,6 (单位:kg ]的居民为B 组,采用分层抽样的方式从该小区中选出5户进行生活情况调查,再从这5户中随机选出3户,求选出的B 组户数为2的概率.20.(12分)已知椭圆2214y x +=,直线1l y kx =+：分别与x 轴y 轴交于,M N 两点,与椭圆交于,A B 两点.(I)若,AM NB =求直线l 的方程;(Ⅱ)若点P 的坐标为()0,2,-求PAB △面积的最大值.21.(12分)设函数()()ln x f x e a x a =-∈R . (I)当a e =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当0a >时,求证:()()2ln .f x a a -(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)已知直线l 的参数方程为12x ty t=+⎧⎨=⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2cos 4sin .ρθθ=+ (I)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||.AB 23.[选修4-5不等式选讲](10分) 已知0,0, 4.a b a b >>+= (I)求证:2222a b +; (Ⅱ)求证:1212223a b +++.数学(文科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. A.【解题思路】{1,2},{|0,2},A B x x x ==<>或所以{2},AB =故选A.2.C 【解题思路】由//,a b 可知212x=-即4x =-,故选C. 3.C 【解想思路】令2,26x k πππ+=+则.26k x ππ=+,故选C.4.B 【解题思路】由渐近线方程可知2222222,1 5.b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭故选B.5.D 【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站 的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D6. A 【解题思路】2,BD BD =中点到A,B,C,D 的距离均为1,故球的体积为43π,故选A. 7.B 【解题思路】1ln ,y x '=+当 x = e 时, k = 2 ,故选B. 8.C 由函数图象可知符合条件只有指数函数,故选C9.D 【解题思路】1B C ⊥平面11,ABC D PB ⊂平面11,ABC D 即1,PB B C ⊥故选D 10．C 【解题思路】如图,过A,B 作AA ’,BB ’垂直准线2px =-,垂足为A ’,B’，过B 作AA ’垂 线,垂足为C,由抛物线定义知|||,||,3|||||||BF BB AA A F F BF A ''===2|||,|F B AC =所以1cos 2BAC ∠=,3BAC π∠=,所以直线l 倾斜角为3π,故选C. 11.B 【解题思路】由图可知11232555,1,,,,,999n n a a a a -⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以其前n 项和为]95[149n⎛⎫- ⎪⎝⎭,故选B. 12.A 【解题思路】由()()5f x f x =+可知()f x 周期为5,由函数图象可知每个周期()()()()()12342,f x f x f x f x f x ++++++++=由 ()()()()12....20212404809,1f f f f +++=+⨯=故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13. 45【解题思路】2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++ 14. 0【解题思路】2224222212log 3log log 3log 3log 3log 3092--+=+=+= 15.3【解题思路】设(),R ,z a bi a b =+∈有223,||3z z a b z ⋅=+==16. 1n a n =+，1122n T n =-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 11(1)(2)121n n n n =-++++,故1{}1n n a a +的前n 项和1122n T n =-+. 三，简答题17.【答案】(1)因为PA AB =,E 为PB 中点,所以,AE PB ⊥因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA BC ⊥由,BC AB ⊥所以BC ⊥平面PAB,所以BC AE ⊥又,BC PB B =所以AE ⊥平面PAB,所以平面AEF ⊥平面PAB. (2)1324443231B PCD A PCD P ACD V V V ---===⨯⋅⋅⨯=142PCDS=⨯=则3V h S ===(12分) 18. 【答案】(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3C π=（6分）222(2)2cos 19,c a b ab C c =+==-所以2,sin 33c R R C ====(12分) 19．【答案】（1）依据面积中位数两侧面积相等可知中位数为3.4; (Ⅱ)依据分层抽样,A 组有2人,设为x ，y ，B 组有3人,设为a ，b ，c从中任选2人,可能的情况为xya 、xyb 、xyc 、xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 、 abc 共10种情况,其中B 组户数有2户的有xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 共6 种,因此选出的B 组户数为2的概率为63105=. 20．【答案】(1)设()()1122,,,A x y B x y 联立直线方程与椭圆方程有22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx ++-=有12224x x k k +=-+，122424y y k +=+ 所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭(),0,1,N MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为,AM NB =所以线段MN 的中点与AB 的中点重合,有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得2k =±(6分) (2)由(1)可知12163|62|1 PABSx x =⨯⨯-==3,433所以6331PAB S ∆=当k=0时PAB ∆面积最大.(12分) 21.【答案】(1)a e =时，()ln (0),xf e e x x x =->(0)t >()x xef t e '=-易知()x f '为增函数,且()10f '=所以当()0,1x ∈时()(),0,x x f f '<单调递减,当()1,x ∈+∞时()(),0,x x f f '>单调递增.(4分)(2) ()xxaf e x '=-,当0a >时,易知()x f '为()0,+∞上增函数, 当a e >时(),01f e a '=-<；当 a e =时(),10f e a '=-=；当a e <时,0ae af e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 而()10,af a e '=->所以存在()00,,x ∈+∞()0000xae xf x '=-=即00ln ln a x x =- 当()00,x x ∈时()(),0,x x f g '<单调递减, 当()0,x x ∈+∞时()(),0,x x f g '>单调递增: 所以()()00000ln ln 2ln x x x x a af f e a x ax a a a a =-=+--.(12分) 22.【答案】(1)直线l 的普通方程是210x y --=,圆的直角坐标方程是22240x y x y +--=（5分）(2)圆心(1,2)到直线l 的距离d =圆半径r =所以||5AB ==（10分） 23.【答案】(1)证明:因为0,0a b >>,2222224a b a b ab+++()22a b +=当且仅当2a b ==时取等号)(5分) (2)因为4a b +=,所以26,a b ++=所以()221111*********a a b ba b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1132623+=+,)2a b +=时取等号(10分)。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十三)数学(文科)
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十三）文 科 数 学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则AB =（ ）A.(){}1,1B.(){}2,4-C.()(){}1,1,2,4-D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩，从而集合{(1,1),(2,4)}AB =-，【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题. 2.在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数z,再求zi得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.双曲线2213x y -=的焦点到渐近线的距离是( )A. 1B.C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，由点到直线的距离公式进行解即可．【详解】双曲线2213x y -=的渐近线为y x =，23a =，21b =，222314c a b =+=+=，即2c =，设一个焦点(2,0)F0x y +=， 则焦点F到其渐近线的距离1d ===，【点睛】本题考查双曲线的性质，根据双线的定义求出焦坐渐近线方程以点到直线的距离公式是解决题的关键． 4.已知3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ） A.2425 B. 2425-C.725D. 725-【答案】D 【解析】 【分析】对3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭按照两角差的余弦公式进行展开，再平方结合二倍角公式即可得结果.【详解】由3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭35x x =， ∴()2219sin sin 2cos 225x x x ++=，即181sin 225x +=， ∴7sin 225x =-，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数间的关系式与二倍角公式、两角和与差的余弦公式的应用，属于中档题. 5.把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A. (,0)3πB. (,0)4πC. (,0)12πD. (0,0)【答案】D 【解析】【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.6.已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是A. [-1，0)B. [0，1]C. [-1,1]D. [-2,2]【答案】C 【解析】若0x <，则0x ->，2()2()f x x x f x -=-=，若0x >，则0x -<，2()2()f x x x f x -=+=，故函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 单调递增.∴不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤ ∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故选C.点睛：本题考查与分段函数有关的不等式问题.解决与分段函数有关的不等式时，要注意观察分段函数的表达式，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，从而将不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤.7.在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A. 13- B.13C. 12-D.12【答案】A 【解析】 【分析】先根据,2BD DC AP PD ==得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+，故可得1133AP AB AC =+，利用BP AP AB =-可得23BP AB AC =-+，故可计算λμ+的值． 【详解】因为,2,BD DC AP PD ==所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+, 所以1133AP AB AC =+,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+，因为BP AB AC λμ=+，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+，那么G 为ABC ∆的重心． 8.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A. 16216πB. 1628πC. 8216πD. 828π 【答案】D 【解析】【详解】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为2111442226828222πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ． 9.设a ，b ，c 为锐角ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos 23sin A B Ca b +=若2b =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） 3 B. 23 C.233D.12【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理和题设条件，化简得3sin sin C B C =，进而得到sin 2B =，1cos 2B =，再由余弦定理和基本不等式，求得4ac ≤，利用三角形的的面积公式，即可求解.【详解】因为cos cos A B a b +=3cos 3cos sin b A a B C +=，由正弦定理，可得3sin cos 3sin cos sin B A A B B C +=，又由3sin cos 3sin cos 3sin()3sin B A A B A B C +=+=，即3sin sin C B C =，又由(0,)2C π∈，则sin 0C >，所以sin 2B =， 又由(0,)2B π∈，所以1cos 2B =， 由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=， 又由2242a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且a c =时等号成立，所以4ac ≤，所以ABC ∆的面积的最大值为11sin 422S ac B ==⨯=故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10.圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A.mm n+ B.nm n+ C.4mm n+ D.4nm n+ 【答案】C 【解析】 【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m nπ⨯=⨯，则答案可求． 【详解】总人数为+m n ，写出的+m n 组数可以看作是+m n 个点，满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成的坐标在圆221x y +=内，则211411+m m nπ⨯=⨯，即4+m m n π=，故选C ． 【点睛】本题是古典概型和几何概型的实际应用，是一道中等难度的题目．11.设抛物线22(0)2x pt p y pt⎧=>⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ．若2CF AF =，且ACE ∆的面积为则p 的值为（ ）B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，可得),Ap ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为，得ACF S ∆=，然后通过求132ACF S p ∆=⨯=.【详解】根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-， 由||2||CF AF =，得3||2AF p =， 不妨设点(,)A x y 在第一象限， 则322p y p +=，即y p =，所以x =， 易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =， 所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即ACF S ∆=，所以132ACF S p ∆=⨯=p =. 故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力，属于中档题目.12.已知函数()1ln b a f x x x =--（0a >，0b e ≤≤）在区间[]1e ，内有唯一零点，则21b a ++的最大为（ ）A.21e + B. 221e e e +++ C. 1e + D. 22e +【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知ln a bx x x =+在区间[]1e ，内有唯一实数根，令()[]ln ,1,g x bx x x x e =+∈，利用导数判断函数的单调性，进而求出()g x 的最值，根据0b e ≤≤，可得21a e e ≤≤+，再根据不等式的性质即可求解.【详解】由题意函数()1ln b af x x x =--（0a >，0b e ≤≤） 在区间[]1e ，内有唯一零点，即1ln 0b ax x--=在区间[]1e ，内有唯一实数根， 即ln a bx x x =+在区间[]1e ，内有唯一实数根， 令()[]ln ,1,g x bx x x x e =+∈，()ln 10g x b x b '=++=，解得1ln 1b x b +=-<-，1x e<， ∴函数()g x 在区间[]1e ，上单调递增，()11g =，()g e be e =+， 0b e ≤≤，21a e e ∴≤≤+，则222b e ≤+≤+，2211a e e ≤+≤++， 则21b a ++的取值范围为22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦. 故选：D【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆C ：2268210x y x y +--+=，直线l 1斜率存在过定点1,0A ．若1l 与圆相切，则1l 的方程_________．【答案】3430x y --= 【解析】 【分析】设直线1l 的斜率为k ，则直线1l 的方程为(1)y k x =-根据圆心到直线1l 的距离等于圆的半径，求得34k =，即可求得直线1l 的方程.【详解】设直线1l 的斜率为k ，则直线1l 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=， 由圆C ：2268210x y x y +--+=，可得圆心(3,4)C ，半径为2R =， 因为直线1l 与圆相切，则圆心到直线1l的距离等于圆的半径，即2d ==，解得34k =，所以直线1l 的方程为3(1)4y x =-即3430x y --=.故答案为：3430x y --=【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的切线方程的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】 【分析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查计算求解能力，属于基础题.15.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数； ②()f x 的图象关于点()1,0对称； ③()f x 是偶函数；④()f x 的图象经过点()2,0-； 其中正确论断的个数是______________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意条件，利用函数的奇偶性、周期性等性质对每一项进行逐项分析. 【详解】解：命题①：由()()2f x f x +=- 得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确； 命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确； 命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--， 又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=， 所以函数()f x 是偶函数，故③正确； 命题④：()()()2220f f f -=--+=-， 无法判断其值，故④错误. 综上，正确论断的序号是：①②③. 故答案为：3.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性、对称性等性质，解题的关键是能将抽象函数利用相关条件进行转化，还考查了数形结合的思想方法.16.金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的8个顶点，6个面的中心，此外在立方体的对角线的14处也有4个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有4个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为a ，则正四面体SPQR 的棱长为__________；正四面体SPQR 的外接球的体积是__________．【答案】 (1). 22a (2). 3316a π 【解析】 【分析】依题意可知，O 为正四面体SPQR 的中心，3OR SO a ==，设SR x =利用勾股定理222OM MR OR +=即可解得x ，从而可得正四面体SPQR 的外接球的半径，进而可求出体积. 【详解】依题意可知，O 为正四面体SPQR 的中心，如图：连接SO ，延长交平面PQR 于点M ，则M 为△PQR 的中心， 所以设SR x =，2333MR x x ==， 因为11344OR SO ST a ===3=，所以22223()3SM SR MR x x =-=-6x =， 由222OM MR OR +=，得222()SM SO MR OR -+=，得222()()()3434x a x a -+=，解得2x a =， 所以正四面体SPQR的棱长为2a . 依题意可知，正四面体SPQR 的外接球的圆心为O， 所以正四面体SPQR的外接球的体积是34)3π⨯3a =.3a . 【点睛】本题考查了正四面体与球，考查了球的体积公式，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：352a a +=，125a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 取得最大值时n 的值． 【答案】（Ⅰ）17355n a n =-（n *∈N ）；（Ⅱ）10． 【解析】 【分析】（1）由已知条件根据等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而得出通项公式；（2）根据等差数列前n 项和公式，求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再由1001nn S n S n +⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪+⎩，即可解出n 的值．【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 公差为d ，依题意1125262a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得114535a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则()14317315555n a n n ⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭．故数列{}n a 的通项公式为17355n a n =-（n *∈N ）； （Ⅱ）由()12n n n a a S +=得3311010n S n n =-+． 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为145公差为310-的等差数列，令()33101010331101010n n ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-++≤⎪⎩，解得283133≤≤n ， 由于n *∈N ，所以10n ≤，故n T 取得最大值时n 的值为10．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和的求法，解题的关键是熟练掌握并运用等差数列的性质．18.如图，正方形ABCD 的边长为22，以AC 为折痕把ACD 折起，使点D 到达点P 的位置，且PA PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PC 的中点，设()01PN PA λλ=<<，且三棱锥A BMN -的体积为89，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AC 中点O ，连结PO BO ，，由条件证明,PO AC PO OB ⊥⊥；（2）利用等体积转化1839A BMNB AMN AMNV V S BO --==⋅=，解得43AMNS =，由面积公式解得λ的值. 【详解】解：（1）取AC 中点O ，连结POBO ，. 因为PC PA =，所以PO AC ⊥.POB 中，122PO OB AC ===，PB PA == 则222PB PO OB =+， 所以PO OB ⊥， 又ACOB O =，且AC OB ⊂、面ABC ，所以PO ⊥面ABC ，又PO ⊂面PAC ，所以面PAC ⊥面ABC . （2）因为面PAC ⊥面ABC ， 又面PAC面ABC AC =，且BO AC ⊥，所以OB ⊥面PAC ， 所以13A BMNB AMN AMNV V S BO --==⋅.又因为2OB =，89A BMN V -=， 所以43AMNS=. 因为PN PA λ=，所以()112AMNAPMPACS SS λλ-=-=.又142PACSPA PC =⋅=， 所以14423λ-⨯=，得13λ=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明和利用等体积转化求参数的问题，意在考查空间想象能力和推理证明，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是等体积转化A BMN B AMN V V --=，一般求四面体的体积或是求点到面的距离都需要考虑等体积转化，求点到面的距离也可以转化为其他等价的点到平面的距离.19.已知在()2222:10x y C a b a b +=>>上任意一点00(,)M x y 处的切线l 为00221xx yy a b +=，若过右焦点F 的直线l 交椭圆C :22143x y +=于P 、Q 两点，在点,P Q 处切线相交于G ．（1）求G 点的轨迹方程；（2）若过点F 且与直线l 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆C 于,E H 两点，证明：11PQ EH+为定值．【答案】（1）4x =；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意按照直线PQ 斜率是否为0分类，当直线PQ 斜率不为0时，设直线PQ 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程求出点G 横坐标，化简即可得解；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线l 的方程为1x ty =+，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得2212(1)34t PQ t +=+，同理可得2212(1)34t EH t+=+，即可得解. 【详解】（1）由题意点()1,0F ，当直线PQ 斜率为0时，在点,P Q 处的切线不相交，不合题意；当直线PQ 斜率不为0时，设直线PQ 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ， 易得在P 点处切线为11143x x y y +=，在Q 点处切线为22143x x y y+=， 由1122143143x x y yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1122124()y y x x y x y -=-，又11221,1x ty x ty =+=+， 所以()()12211221212121214()4()4()141y y y y y y x y x y ty x y ty y y y --====----++，所以G 点的轨迹方程为4x =；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线l 的方程为1x ty =+．则221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，>0∆，由韦达定理得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+．所以PQ ==2212(1)34t t +=+；将t 换为1t -可得2222112(1)12(1)13434t t EH t t++==+⋅+， 所以()()2222113443712121121t t PQ EH t t +++=+=++． 【点睛】本题考查了新概念在椭圆中的应用及轨迹方程的求解，考查了直线与椭圆的综合应用和运算求解能力，属于中档题.20.BIM 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BIM 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BIM 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 我们说身高较高，身高小于170cm 我们说身高较矮．（Ⅰ）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI 指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响．身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计（Ⅱ）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号12345678身高(cm)x 166 167 160 173 178 169 158 173根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为0.8 75.9=-y x ．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求2R （解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值）（保留两位有效数字）；②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58(kg)．小明重新根据最小二乘法的思想与公式，已算出0.675y x a ∧∧=+，请在小明所算的基础上求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考数据：2222222(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)8.95+++-+-+-+-=，168=x ，()821226i i y y=-=∑，0.675168113.4⨯=，参考公式：()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x x yy x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-，i i i e y bx a =--，22(),()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．【答案】（Ⅰ）列联表详见解析，没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响；（Ⅱ）①残差表详见解析，2R 约为0.91；②ˆ0.67555.9yx =-． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据散点图完善列联表，求出2K 与表中对应临界值比较即可判断；（Ⅱ）①求出编号为8的数据的残差，相应值代入公式()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑计算即可；②求出,x y ，代入a y bx =-中即可求得a ，从而求得回归方程. 【详解】（Ⅰ）由于2232(65615)1603 3.8411220211177⨯-⨯==<<⨯⨯⨯K ，因此没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响．（Ⅱ）①对编号为8的数据8660.817375.9 3.5e =-⨯+=，完成残差表如下所示：()22228222221(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)(3.5)21.2i ii y y =-=+++-+-+-+-+=∑()()221218821.2110.91226iii ii y y R y y ==-=-=-≈-∑∑． 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R 约为0.91． ②由①可知，第八组数据的体重应为58．此时，易知，168=x ，57.5=y ，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为ˆ0.67555.9yx =-． 【点睛】本题考查线性回归方程及独立性检验的应用，考查考生的运算求解能力、数据处理能力及实际应用意识，属于中档题. 21.已知函数()32113f x x ax bx =+++（a ，b R ∈）． （1）若0b =，试讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a b +=，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）存在a 满足题意，其值为1335⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负分布求解函数单调性； （2）若()f x 有三个不同零点，且成等差数列，可设()()()()13f x x m d x m x m d =----+利用待定系数法求解参数的取值.【详解】（1）若0b =，则()32113f x x ax =++，()22f x x ax '=+． 若0a ≥，则函数()f x 在()0∞，+上单调递增，若0a <，令()220f x x ax =+='，得10x =，22x a =-．在()02a -，上，()'0f x <，()f x 单调递减，在()2a -+∞，上，()'0f x >，()f x 单调递增．（2）因为20a b +=，则()322113f x x ax a x =+-+，若()f x 有三个不同零点，且成等差数列， 可设()()()()13f x x m d x m x m d =----+ ()3222321333x mx m d x m md ⎡⎤=-+--+⎣⎦， 故m a -=，则()0f a -=，故3331103a a a -+++=，3513a =-，335a =-．此时，335m =，d =，故存在三个不同的零点，故符合题意的a 的值为1335⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】此题考查求利用导数求函数的单调性，根据函数零点特征求解参数的取值，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑．22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos 221sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+． （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P 、Q 两点，且2OQ OP =，点M 的坐标为()2,0，求OMP ∆的面积．【答案】（1）曲线1C ：cos ρθ=；2:C 2214x y += （2）3． 【解析】 【分析】（1）先把曲线1C 的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得极坐标方程.将2224cos 4sin ρθθ=+，化为2222cos 4sin 4ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得曲线2C 的普通方程.（2）设直线极坐标方程为0θθ=，代入1C ，2C ，表示出,P Q ρρ，再由||2||OP OQ =从而求得P ρ及0cos θ，0sin θ，再利用01sin 2OMP P SOM ρθ∆=⋅⋅⋅求解. 【详解】解：（1）依题意，曲线1C ：221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即220x y x +-=，故cos ρθ=． 由2224cos 4sin ρθθ=+得2222cos 4sin 4ρθρθ+=，即2244x y +=，即2214x y += （2）作示意图如图所示，设直线l 的极坐标方程为0θθ=，分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程得0cos P ρθ=，222200044cos 4sin 13sin Q ρθθθ==++． 由2OQ OP =得()202cos θ20413sin θ=+，解得202sin 3θ=，则201cos 3θ= 又002πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以03cos P ρθ==，06sin θ=． 故012sin 23OMP P S OM ρθ∆=⋅⋅⋅= 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.23.已知函数()1f x x =-.（1）解不等式()()48f x f x ++≥；（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭. 【答案】（1）(][),53,-∞-+∞；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）分3x <-、31x -≤≤、1x >三种情况解不等式()()48f x f x ++≥，即可得出该不等式的解集； （2）利用分析法可知，要证()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-，只需证明2210ab a b --->即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）()()22,34134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，此时5x ≤-；当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，此时3x ≥.综上所述，不等式()4f x ≤的解集为(][),53,-∞-+∞； （2）要证()a b f ab a f ⎛>⎫ ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-， 因为1a <，1b <，所以，21a <，21b <，()()222222222212121ab a b a b ab a ab b a b a b ∴---=-+--+=-+-()()()()2222211110a b b a b =---=--<. 所以，1ab a b ->-.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十三)文科数学试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十三）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数52z i=-，其中i 为虚数单位，则复数z =（ ） A.10533i + B. 2i +C.10533i - D. 2i -【答案】B 【解析】 分析】直接利用复数的除法法则计算得解. 【详解】由题得55(2)5(2)22(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2.设集合{}3A x x =≤，{}2log 1B x x =≥，则A B =（ ）A. []0,2B. []1,2C. []2,3D. [)3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}{}2log 12B x x x x =≥=≥，{}3A x x =≤，因此，[]2,3A B =.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.3.要得到函数y x =的图象，只需将函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向上平移4π个单位 D. 向下平移4π个单位 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：只需将函数)4y x π=+的图象向右平移4π个单位，即可得到函数y x =的图象，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 4.已知直线230mx y ++=与直线3(1)0x m y m +-+=平行，则实数m =（ ） A. 2- B. 3C. 5D. 2-或3【答案】A 【解析】 【分析】根据有斜率的两条直线平行的条件列式可解得结果. 【详解】当1m =时，显然不符合题意，所以1m ≠， 由230mx y ++=得322m y x =--，由3(1)0x m y m +-+=得311my x m m =----，所以321321mm m m ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪-≠-⎪-⎩，解得2m =-.故选：A.【点睛】本题考查了两条直线平行的条件，属于基础题.5.将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A. 283 B. 286 C. 287 D. 288【答案】D 【解析】 【分析】先求样本间隔，然后计算抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可. 【详解】样本间隔为18315-=，即抽取样本数为3001520÷=， 则最大的样本编号为31519288+⨯=， 故选：D.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔和样本容量是解决本题的关键，属于基础题. 6.设0.4.440log ,log 232,a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b c a <<B. c b a <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】可以得出0.440.4031,20,21log log <<<>，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：4440log 1log 3log 41=<<=，0.40.4log 2log 10<=，0.40221>=，b ac ∴<<．故选：D ．【点睛】本题考查了对数的运算，对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P ，则cos2=α（ ）A.3B.13C.13-D.3-【答案】B 【解析】【分析】先由角α的终边过点1)P，求出cosα，再由二倍角公式，即可得出结果.【详解】解：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点1)P，所以cos3α==，因此21cos22cos13=-=αα.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于基础题.8.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足222a b c+=-，则△ABC的最大内角为（）A. 60︒ B. 90︒ C. 120︒ D. 150︒【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理求出角C即可得到答案.【详解】由222a b c+=得222cos22a b cCab+-==-，因为0Cπ<<，所以150C=，所以C为最大角.故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理，属于基础题.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的体积是（）A. 43πB. 53πC. 63πD. 73π【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原几何体如下，其外接球的体积即为棱长为2的正方体的外接球的体积，公式求解即可. 【详解】根据三视图可知该几何体为棱长为2的正方体的一个角（如图），所以该几何体的外接球即为棱长为2的正方体的外接球，所以半径22222232R++==343=433ππ=V.故选：A【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及外接球体积的计算.10.已知正方形ABCD的边长为1，点M满足12DM MC=，设AM与BD交于点G，则AG AC⋅=（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】【分析】以A为原点，AB和AD分别为x和y轴建立平面直角坐标系，因12DM MC=，所以M为线段CD的靠近点D的三等分点，即1 (,1)3M，由(1,0)B、(0,1)D可知，直线BD的方程为：1y x=-+；由(0,0)A、1(,1)3M可知直线AM的方程为：3y x=，联立两条直线的方程，求得点G点坐标即可得解.【详解】解：以A为原点，AB和AD分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A，(1,0)B，(1,1)C，(0,1)D，12DM MC=，M∴为线段CD的靠近点D的三等分点，1(,1)3M∴，∴直线BD的方程为：1y x=-+；直线AM的方程为：3y x=，联立13y xy x=-+⎧⎨=⎩，解得1434xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点13(,)44G．∴1313(,)(1,1)1114444AG AC==⨯+⨯=．故选：A．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可以达到事半功倍的效果，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．11.在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚.现有直径为2m的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚.设正东方向射出的太阳光线与地面成30︒角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为（）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 75︒【答案】C【解析】【分析】根据题意分析出阴影面是椭圆面，根据椭圆的面积公式，将面积最大转化为椭圆的长轴长最大，在三角形中利用正弦定理可求得结果.【详解】依题意分析可知，阴影面是椭圆面，椭圆的短轴长22b =m ，如图：圆的直径AB 在地面的投影为AC ，则AC 为椭圆的长轴，BAC ∠为圆面与阴影面所成二面角的平面角，30BCA ∠=，根据椭圆的面积公式可得||2S ab AC ππ==⋅，所以要使椭圆的面积最大，只要||AC 最大即可，在△ABC 中，由正弦定理可得||||sin sin AC AB ABC BCA=∠∠，所以||4sin AC ABC =∠，当90ABC ∠=时，||AC 取得最大值4，此时，60BAC ∠=， 所以圆面与阴影面所成角的大小为60. 故选：C.【点睛】本题考查了平行投影，考查了二面角的平面角，考查了椭圆的面积公式，考查了正弦定理，考查了分析问题的能力，属于中档题.12.已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点A 为双曲线右支上的点.若12AF F △的内切圆与x 轴切于点M ，且13F M b =，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.3 C. 2D.5【答案】C 【解析】 【分析】设内切圆与1AF 、2AF 分别相切于点P 、Q ，则||||AP AQ =，根据切线长定理易知2121||||||23F M F F F M c b =-=-，由双曲线的定义可得12||||2F M F M a -=，可得3b a c =+，再结合222b c a =-，可求得2c a =，由离心率ce a=得解． 【详解】解：如图所示，设内切圆与1AF 、2AF 分别相切于点P 、Q ，则||||AP AQ =，1||3F M b =，12||2F F c =，2||23F M c b ∴=-，由双曲线的定义可知，12||||2AF AF a -=，12(||||)(||||)2AP PF AQ QF a ∴+-+=，即12||||2F M F M a -=，∴3(23)2b c b a -=3b a c =+，又222b c a =-，2223()()c a a c ∴-=+，解得2c a =或c a =-（舍)，∴离心率2ce a==． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设曲线x y e x =+在0x =处的切线方程为1y ax =+，则实数a 的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，则答案可求．【详解】解：由xy e x =+，得1x y e '=+，∴00|12x y e ='=+=．又曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为1y ax =+， 2a ∴=．故答案为：2．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数，属于基础题． 14.已知0x >，0y >，21x y +=，则12(2)x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为________. 【答案】8. 【解析】 【分析】利用21,x y +=由()12424y x x y x y x y ⎛⎫++=++⎪⎝⎭，利用基本不等式可得结果.【详解】解：因为0,0,21,x y x y >>+=所以()12424y x x y x y x y ⎛⎫++=++⎪⎝⎭4448≥+=+=, 当且仅当12x y =时，即11,42x y ==等号成立， 所以12x y+的最小值是为8，故答案为：8.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.15.已知α、β锐角，cos α=，cos β=αβ+=________． 【答案】34π【解析】【详解】由已知有sin 510αβ==，得()cos cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==-．因为α、β为锐角，从而，34παβ+=．16.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，函数()()()lo ||1g a g x f x x =-+.现给出以下命题：①()f x 是周期函数；②()y f x =的图象关于直线1x =对称；③当1a >时，()g x 在(0,)+∞内有一个零点；④当30a <<时，()g x 在R 上至少有六个零.其中正确命题的序号为________.【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，利用周期函数的定义判断；②根据()f x 是定义域为R 的偶函数，有()()f x f x -=，再结合(2)()f x f x +=判断；③令()()()lo ||10g a g x x x f -+==，即()()log ||1a f x x =+，在同一坐标系中作出()(),log ||1a y f x y x ==+，用数形结合法判断；④在同一坐标系中作出()(),log ||1a y f x y x ==+，用数形结合法判断.【详解】①因为对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，故正确；②因为()f x 是定义域为R 的偶函数，所以()()f x f x -=，又因为对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，所以(2)()()f x f x f x +==-，即(2)()f x f x -=，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称，故正确；③当1a >时，令()()()lo ||10g a g x x x f -+==， 即()()log ||1a f x x =+，在同一坐标系中作出()y f x =()|1log |a x y =+的图象如图所示：所以()g x 在(0,)+∞内无零点，故错误；④当30a <<时，令()1()log ||a h x x =+， 在同一坐标系中作出()y f x =，()1log ()||a y h x x ==+ 的图象如下图所示：(0)(2)2,(0)0(0)f f h f ==-=>，而30,(2)log 32(2)a a h f <<=>-=， 当(0,)x ∈+∞时，()y f x =与()y h x =至少有三个交点，()y f x =与()y h x =为偶函数，()y f x ∴=与()y h x =至少有六个交点，所以()g x 在R 上至少有六个零点，故正确. 所以正确命题的序号为①②④ 故答案为：①②④【点睛】本题主要考查函数奇偶性、周期性的应用，函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =，且1S 、2S 、4S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*21n a n n N =-∈（2）16(23)2n nTn +=+-⋅【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由2214S S S =及11a =解得2d =，从而可得结果；（2）根据错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，因为1S ，2S ，4S 成等比数列， 所以2214S S S =，所以()()21211234a a a a a a a +=+++， 那么()()2111246a d a a d +=+， 所以2d =或0d =（舍去） 又因为11a =， 则()*21n a n n N=-∈（2）由（1）得2(21)2n nn n b a n =⋅=-⋅，所以数列{}n b 的前n 项和23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅①，所以23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅②，由①②相减得2312222222(21)2nn n T n +-=+⨯+⨯+⋯+⨯--⋅()231222222(21)2n n n +=-++++⋯+--⋅ ()212122(21)212n n n +-=-+--⋅-21162(21)26(23)2n n n n n +++=-+--⋅=---⋅.所以16(23)2n n T n +=+-⋅.【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式，考查了错位相减法，属于中档题. 18.在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，12AB BC AD ===3EC =，5ED =，点P ，Q 分别为线段AB ，CE 的中点.（1）证明：//PQ 平面ADE ； （2）求点P 到平面ADE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）33417【解析】 【分析】（1）取BE 中点F ，连接PF ，QF ，先证平面//PQF 平面ADE ，再根据平面与平面平行的性质可得//PQ 平面ADE ；（2）根据P ADE E APD V V --=以及三棱锥的体积公式可求得结果. 【详解】（1）取BE 中点F ，连接PF ，QF ，因为//QF BC ，//AD BC ，所以//QF AD ， 因为QF平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//QF 平面ADE ，又//PF AE ，同理可得//PF 平面ADE ， 又QF PF F ⋂=，QF ，PF ⊂平面PQF ， 所以平面//PQF 平面ADE ，又PQ ⊂平面PQF ，所以//PQ 平面ADE .（2）设点P 到平面ADE 的距离d ，连接AC 、PD ，因为AD =AP =，AD AB ⊥，所以142APD S ∆==， 又EC ⊥面ABCD ，则EC 为三棱锥E APD -的高， 所以1143433E APD APD V S EC -∆=⨯=⨯⨯=， 因为在ABC中，AB BC ==AB BC ⊥， 所以4AC =，所以在直角ACE △中，5AE =，因为在等腰三角形ADE 中，5DE AE ==，AD =所以12ADE S ∆=⨯=， 因为P ADE E APD V V --=，所以143d ⨯=，所以d =. 【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定定理，考查了平面与平面平行的性质，考查了利用等体积法求点面距，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题. 19.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线4340x y -+=的距离为85.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线2y mx =+与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，设直线OA 的斜率为1k ，直线OB 的斜率为2k ，求12k k +的值.【答案】（1）24y x =（2）2【解析】 【分析】（185=，解方程即得抛物线C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组24,2,y x y mx ⎧=⎨=+⎩得到韦达定理，再计算121212y y k k x x +=+121222mx mx x x ++=+()12121222mx x x x x x ++=，再把韦达定理代入化简即得解.【详解】解：（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线4340x y -+=的距离为85，85=， 解得2p =或6p =-（舍去）. 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，依题意0m ≠，联立方程组24,2,y x y mx ⎧=⎨=+⎩消去y 得22(44)40m x m x +-+=，所以>0∆，由韦达定理可得12244m x x m -+=，1224x x m =， 又因为112y mx =+，222y mx =+， 所以121212y y k k x x +=+ 121222mx mx x x ++=+ ()221212122444222224m m mx x x x m m x x m -⋅+⋅++===故122k k +=.【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.近几年，电商行业的蓬勃发展带动了快递业的迅速增长，快递公司揽收价格一般是采用“首重+续重”的计价方式.首重是指最低的计费重量，续重是指超过首重部分的计费重量，不满一公斤按一公斤计费.某快递网点将快件的揽收价格定为首重（不超过一公斤）8元，续重2元/公斤（例如，若一个快件的重量是0.6公斤，按8元计费；若一个快件的重量是1.4公斤，按8元2+元110⨯=元计费）.根据历史数据，得到该网点揽收快件重量的频率分布直方图如下图所示（1）根据样本估计总体的思想，将频率视作概率，求该网点揽收快件的平均价格；（2）为了获得更大的利润，该网点对“一天中收发一件快递的平均成本i y （单位：元）与当天揽收的快递件数i x （单位：百件）()1,2,3,4,5i =之间的关系”进行调查研究，得到相关数据如下表： 每天揽收快递件数i x （百件） 23458每件快递的平均成本i y （元） 5.6 4.8 4.4 4.3 4.1根据以上数据，技术人员分别根据甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：方程甲：(1)ˆ0.2 5.6yx =-+，方程乙：(2)4ˆ 3.5yx=+. ①为了评价两种模型的拟合效果，根据上表数据和相应回归方程，将以下表格填写完整（结果保留一位小数），分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q ，2Q ，并依此判断哪个模型的拟合效果更好（备注：ˆˆi i i ey y =-称为相应于点(),i i x y 的残差，残差平方和21ˆni i Q e ==∑； 每天揽收快递件数i x /百件2 3 4 5 8②预计该网点今年6月25日（端午节）一天可以揽收1000件快递，试根据①中确定的拟合效果较好的回归模型估计该网点当天的总利润（总利润=（平均价格-平均成本）×总件数）.【答案】（1）10.1元（2）①填表见解析；10.46Q =；20.03Q =；模型乙的拟合效果较好②6200元 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图得出快件价格的频率分布表，再计算平均价格； （2）①分别把i x 代入两模型方程，计算预报值和残差平方和； ②把10x=代入回归方程，得出平均成本，再计算利润．【详解】解：（1）根据揽收快件重量的频率分布直方图，得到其价格的频率分布表如下：所以平均价格为80.45100.25120.15140.1160.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=10.1元.（2）①表中数据填写如下：计算可得：222221(0.4)0.20.40.3(0.1)0.46Q =-++++-=；2222(0.1)0.1(0.1)0.03Q =-++-=.因为21Q Q <，所以模型乙的拟合效果较好.②模型乙的回归方程为(2)4ˆ 3.5yx=+， 当一天揽收件数为1000时，则收发一件快递的平均成本为43.5 3.910+=， 可以估计该网点当天的总利润为(10.1 3.9)10006200-⨯=元.【点睛】本题考查了频率分布直方图，回归分析，属于中档题． 21.已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；（2）证明：当1a =时，34()5f x x x <-. 【答案】（1）当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据()ln (0)f x x ax x =->，求导得到11()'-=-=ax f x a x x，结合函数的定义域，分0a 和0a >两种情况讨论求解.（2）当1a =时，()ln (0)f x x x x =->，将证明34()5f x x x <-，转化为证明31ln 0(*)5x x x +->成立，令31()ln (0)5h x x x x x =+->，用导数法结合零点存在定理证明()0h x >即可. 【详解】解法一：（1）因为()ln (0)f x x ax x =->， 所以11()'-=-=axf x a x x， 当0a 时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,)+∞单调递增； 当0a >时，令()0f x '>，即10ax ->，解得10x a<<； 令()0f x '<，即10ax -<，解得1x a>， 综上所述：当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，函数()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）当1a =时，()ln (0)f x x x x =->， 欲证34()5f x x x <-，只需证34ln 5x x x x -<-，即证明31ln 0(*)5x x x +->， 令31()ln (0)5h x x x x x =+->， 所以3211155()355x x h x x x x'+-=+-=，令3()155(0)x x x x ϕ=+-，已知函数()x ϕ在[0,)+∞单调递增.又(0)5ϕ=-，(1)11ϕ=，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得()00x ϕ=， 所以当()00,x x ∈时，()0x ϕ<，即()0h x '<； 当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，即()0h x '>；所以函数()h x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增.当0x x =时，()min 030001()ln 5h x h x x x x ==+-， 因为0(0,1)x ∈，所以0ln 0x <，所以()00h x >，即()0()0h x h x >， 所以不等式(*)成立，即当1a =时，34()5f x x x <-. 解法二：（1）同解法一（2）当1a =时，()ln (0)f x x x x =->，由（1）知： ()f x 在(0,1)为增函数，在(1,)+∞为减函数，所以max ()(1)1f x f ==-，所以()1f x -，即ln 1x x ≤-.欲证34()5f x x x <-，只需证34()5f x x x <-，即证31ln 5x x x <+， 即证3115x x x -<+，即只需证3410(*)5x x -+>，令34()1(0)5h x x x x =-+>，则24()35h x x '=-，令()0h x '>得x >；令()0h x '<得0x <<，所以函数()h x 在0,15⎛ ⎝⎭为减函数，在15⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数，所以min()10h x h ==->⎝⎭，所以不等式(*)成立， 即当1a =时，34()5f x x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式的证明以及零点存在定理，还考查了分类讨论、转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.（二）选考题：本题满分10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin x m y αα=+=⎧⎨⎩（α为参数，0m >），曲线2C 的极坐标方程为()=2sin 0n n ρθ>，点P 是1C 与2C 的一个交点，其极坐标为4π⎫⎪⎭，.设射线00:0,02l πθθρθ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭＜＜与曲线1C 相交于O ，A 两点，与曲线2C 相交于O ，B 两点. （1）求m ，n 的值；（2）求2||||OA OB +的最大值.【答案】（1）1m =；1n =（2）（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点的坐标求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）将曲线1C 的参数方程化成普通方程：22()1x m y -+=，P 的直角坐标为(1,1).因为P 在1C 上，所以2(1)11m -+=，解得1m =.因为P 在2C=，解得1n =.（2）曲线1C 化为极坐标方程：2cos ρθ=.设A 的极坐标为()11,ρθ，B 的极坐标为()22,ρθ，则112cos ρθ=，222sin ρθ=.因为A ，B 分别是0θθ=与1C ，2C 的交点，所以120θθθ==.所以10202cos ,2sin .ρθρθ=⎧⎨=⎩故()120002||||24cos 2sin OA OB ρρθθθϕ+=+=+=+，其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=.因为()0sin 1θϕ+，当02πθϕ=-时等号成立.所以2||||OA OB +的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.设函数()|2|f x x x =-+，集合M 为不等式()0f x ＜的解集.（1）求集合M ；（2）当m ，n M ∈时，证明：3mn n +>+.【答案】（1）{|x x <x >（2）证明见解析；（1）对x 分三类讨论去掉绝对值，解得结果再相并可得结果；（2）两边平方再作差比较可证不等式成立.【详解】（1）当x <((20x x -++++，解得x <当32x <-时，原不等式化为((20x x ++++，解得x <当32x -时，原不等式化为((20x x +-++<，解得x >所以{|M x x =<x >.（2）欲证|3||mn m n +>+成立，只需证22(3)|)mn m n +>+成立.因为222222(3)|)339mn m n m n m n +-+=--+.()()2233m n =--.又由m ，n M ∈，得23m >，23n >.所以22(3)|)0mn m n +-+>，即22(3)|)mn m n +>+成立.所以|3||mn m n +>+成立.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了比较法证明不等式，平方后再作差是解题关键，属于中档题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十)数学(文)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==，集合{}2B x x =<，则A B =( ) A. RB. ∅C. [1,2]D. [1,2) 【答案】D【解析】【分析】先分别求得集合A 和集合B ，再计算A B ，即可得到答案.【详解】由集合{A x y ==得10x -≥，解得1x ≥， ∴[)1,+A =∞， 由集合{}2B x x =<得2x <，解得22x -<<， ∴()2,2B =-，∴[)1,2A B ⋂=.故选：D.【点睛】本题考查了集合的描述法以及集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z 在复平面内的对应点为()1,1-，则1i z +的虚部为（ ） A. i -B. 1-C. 0D. 1 【答案】B【解析】 【分析】由题得1z i =-，化简1iz i =-+，即得复数的虚部. 【详解】由题得1z i =-，所以21(1)21i 1(1)(1)2z i i i i i i i ---====-+++-. 所以1iz +的虚部为1-. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查复数的除法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.有一枚旅游纪念币如图所示，经过测量，其直径为22毫米，为了测算图中长城和山部分的面积，现向硬币内随机投掷20粒芝麻，若恰好有8粒芝麻落在长城和山内，可估计长城和山部分的面积大约是（ ）A. 2242mm 5πB. 2363mm 10πC. 2363mm 20πD. 2726mm 5π 【答案】A【解析】【分析】由条件求出芝麻落在长城和山内的概率为82205P ==,设长城和山部分的面积为S ，则22115S π=⨯⨯，可得答案.【详解】由向硬币内随机投掷20粒芝麻，若恰好有8粒芝麻落在长城和山内可得芝麻落在长城和山内的概率为82205P ==. 设长城和山部分的面积为S ，则222511S S P r ππ===. 所以222421155S ππ=⨯⨯= 故选：A【点睛】本题考查几何概率问题，根据几何概率估算面积，几何概率注意有面积型、长度型和体积型，，本题重点在于转化思想的应用，属于中档题.4.函数()2lg x f x x=的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】采用排除法，根据函数奇偶性，可知该函数为奇函数，然后取特殊值2x =，可知结果.【详解】由题可知：函数的定义域为{}0x x ≠由()()22lg lg --==--x x f x x x ，所以()()f x f x -=- 故该函数为奇函数，排除A,C取特殊值2x =，则()lg 42lg 202==>f ，故D 正确，B 错 故选：D 【点睛】本题考查利用函数的性质判断函数的大致图像，此种题型常考虑：定义域、奇偶性、单调性、对称性、最值、特殊值，考验对问题的分析能力，属基础题.5.若sin 3sin 2x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则cos cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A. 310 B. 310- C. 34 D. 34- 【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．【详解】sinx ＝3sin （x-π2）＝﹣3cosx ， 解得：tanx ＝﹣3，所以：cosxcos （x π2+）＝﹣sinxcosx=222sinxcosx tanx sin x cos x 1tan x ﹣-=++=310， 故选A ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式,同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.若抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：4x =交C 于A ，B 两点，则ABF 的周长等于（ ）A. 16B. 18C. 20D. 26【答案】B【解析】【分析】联立24y x =和4x =，求出A ，B 两点坐标，则ABF 的周长可求.【详解】解：()1,0F ，把4x =代入24y x =，得()()4,4,4,4,4y A B =±-，由对称性知，5AF BF ===，8AB =，则ABF 的周长等于18故选：B .【点睛】考查求直线和抛物线交点以及两点间的距离，同时考查学生的运算求解能力；基础题. 7.程序框图如下图所示，运行此程序，输出的i 值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】模拟运行程序，即可得出答案. 【详解】72036,2,36602s i =+==<123648,3,48606s i =+==<724854,4,546012s i =+==<725457.6,5,57.66020s i =+==<7257.660,6,606030s i =+===，满足条件，输出6i =故选：C【点睛】本题主要考查了循环结构框图计算输出值，属于中档题.8.对于函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，以下四个结论：①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数； ④一个对称中心为,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】对①，该函数的最小正周期为22T ππ==，故①正确； 对②，当3x π=时，2sin sin 1362y πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则该函数的一条对称轴为3x π=，故②正确； 对③，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，故③错误； 对④，当12x π=时，sin 066y ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则该函数的一个对称中心为,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故④正确； 故选：C【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2e f x f x +=-（其中e 2.7182=…），且在区间[]0,e 上是增函数，令eln3a =，eln 4b =，eln5c =，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系为（ ） A . ()()()f b f a f c >>B. ()()()f b f c f a >>C. ()()()f a f b f c >>D. ()()()f a f c f b >>【答案】C【解析】【分析】 根据题意可画出()f x 的简图，进而分析可得函数在区间[],2e e 上的单调性，进而得出()f a ，f b ，()f c 的大小关系即可.【详解】因为()()2f x e f x +=-，所以()()()42f x e f x e f x +=-+=，即()f x 周期为4e .因为()f x 为奇函数且()()2e f x f x +=-，作一个周期[]2,2e e -内的示意图，易得()f x 在[]0,e 单调递增，在[],2e e 上单调递减.又ln3ln 4ln52e e e e e <<<<，故()()()f a f b f c >>.故选：C【点睛】函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T ,则()()f x f x T =+10.在ABC 中，1AB =，2AC =，若0AB AC ⋅=，动点D ，E 满足1AD =且DE EC =，则BE 的最大值为（ ） A. 212 B. 2212 C. 3212 D. 312【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到AB AC ⊥，以A 点为坐标原点，以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，求出点E 的轨迹方程，再由定点与圆位置关系，即可求出结果.【详解】因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，以A 点为坐标原点，以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AB =，2AC =，则()10B ,，()0,2C ，()0,0A ， 又动点D ，E 满足1AD =且DE EC =，设()00,D x y ，(),E x y ，则22000010222x y x x y y ⎧⎪+=⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，所以2200001222x y x x y y ⎧+=⎪=⎨⎪=-⎩，因此()224221x y +-=，即()22114x y +-=， 因此点E 的轨迹是以()0,1为圆心，以12r =为半径的圆， 又()0,1与点()10B ,的距离为()()2201102d =-+-=， 所以max 122BE d r =+=+. 故选：A.【点睛】本题主要考查求向量模的最值问题，利用建系的方法，将其转化为求定点到圆上距离的最值问题即可，属于常考题型.11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若60A ∠=︒，1b >，12c a =+，当ABC 的周长最短时，b 的值为（ ）A. 22B. 2C. 212+D. 12+【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得21241-+=-b b a b ，计算周长可得()()3931212-++-b b ，然后使用基本不等式并得到周长取最小值的条件，可得结果.【详解】由题可知：60A ∠=︒，12c a =+ 则2222cos a b c bc A =+-， 所以2221122⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+a a b a b ， 又1b >，所以21241-+=-b b a b ，记ABC 的周长为l 则21242112-+=++=⋅+-+b b l a b c b b 则()()39993121222=-++≥=+-l b b当且仅当()()3311212-=⇒=+-b b b 或12-（舍）取等号 所以当ABC 的周长最短时，b 的值为12+故选：C【点睛】本题考查余弦定理解三角形，关键在于找到21241-+=-b b a b ，同时基本不等式知识的渗透使用，熟练掌握三角形中边角转化以及三角函数、不等式的交叉使用，属中档题. 12.设n *∈N ，函数()ln n x f x x =，函数()e xn g x x =（0x >）.若函数()y f x =与函数()y g x =的图象分别位于直线1y =的两侧，则n 的取值集合为（ ）A. {}1,2B. {}2,3C. {}1,3D. {}1,2,3【答案】A【解析】【分析】由(1)1(1)f g <<，故有()1()f x g x <<，先用导数研究函数的单调性求得()f x 的最大值，()g x 的最小值，再max min ()1()f x g x <<，求得n 的取值范围，又*n N ∈，求出n 的取值范围. 【详解】由ln ()n x f x x=，11ln ()(0)n n x f x x x +-'∴=>， 由 ()0,f x '> 可得 10,n x e << 由()0,f x '<可得1n x e >，则函数()f x 在 10,n e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,n e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 上单调递減， 则1nx e = 时，函数()f x 有最大值11n f e ne ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 由(),(0),x n e g x x x => 得1()()(0)xn x n e g x x x +-'=>， 由 ()0,g x '> 可得 ,x n >由()0,g x '<可得0x n <<则函数 ()f x 在 (0,)n 上单调递減 ,(,)n +∞ 上单调递增，则x n = 时，函数()g x 有最小值()ne g n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭由(1)1(1)f g <<，由题定有11n e ne n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得1n e e <<，又*n N ∈， 故n 为1,2.故选：A【点睛】本题考查了函数与导数的应用，利用导数研究函数的单调性并求得函数的最值，考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知()2log ,0,21,0,x x x f x x ->⎧=⎨-+<⎩则方程()3f x =的解是x =______. 【答案】8【解析】【分析】采用分类讨论进行求解，结合对数方程以及指数方程的解法，可得结果. 【详解】由题可知：①208log 3x x x >⎧⇒=⎨=⎩，②0213x x x -<⎧⇒∈∅⎨-+=⎩故方程()3f x =的解是8x = 故答案为：8【点睛】本题考查根据分段函数解析式，给出函数值求解，关键在于分类讨论方法的使用，审清题意，细心计算，属基础题.14.在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12A A AB ==，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为______.【答案】3【解析】 【分析】先根据题意画出图形，再设三棱柱外接球的球半径为R ，利用在直角三角形ADO 中的边的关系求出球半径，最后利用球的体积公式计算即可求出结果.【详解】解：设三棱柱外接球的球心为O ，球半径为R .因为AC BC ⊥，取AB 中点D ,11A B 中点1D ,则ABC 外接圆的圆心为D ，如图： 在直三棱柱111ABC A B C -中，1DD ⊥面ABC ， 因为12A A AB ==，1112OD A A ==,112AD AB ==, 所以2222OA OD AD =+=,即R =则这个三棱柱的外接球的体积为34V 33R π=⨯=.故答案为：3【点睛】本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查计算能力,属于基础题.15.在等差数列{}n a 中，前m 项（m 为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且112m a a -=，则{}n a 的通项公式为n a =______. 【答案】218n -+ 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式以及性质得出1413S m S m +==-奇偶，从而得出4,m a 的值，再求出1,a d ，即可得出答案. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d()113121140222m m m a a m m S a a a a ++++=++⋯+=⋅==奇 ()21241121130222m m m a a m m S a a a a --++--=++⋯+=⋅==偶1413S m S m +∴==-奇偶，解得7m =，且410a = 1712a a -=()111310612a d a a d +=⎧∴⎨-+=⎩，解得1162a d ==-⎧⎨⎩162(1)218n a n n ∴=--=-+故答案为：218n -+【点睛】本题主要考查了求等差数列奇数项或偶数项的和，等差数列通项公式的基本量的计算，属于中档题.16.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥，BF //OA （O 为坐标原点），若C 的焦距为4，则C 的方程为______.【答案】2213x y -=【解析】 【分析】根据BF //OA ，可知直线BF 的方程并可得B 点坐标，由AF x ⊥轴可得A 点坐标，然后计算,AB OB 坐标，利用=0⋅AB OB 以及,,a b c 关系可得结果. 【详解】由题可知：2c = 由AF x ⊥轴，设,bc A c a ⎛⎫⎪⎝⎭又BF //OA ，直线BF 的方程为()by x c a=- ()22b c y x c x a bc b y y x a a ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩，则,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以3,,22,22⎛⎫=--= ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭c bc c bc AB OB a a 又AB OB ⊥，所以=0⋅AB OB ，则22223044-+=c b c a ，所以2222231==-⇒=b a c b b 所以23a =，则C 的方程为2213x y -=故答案为：2213x y -=【点睛】本题考查双曲线方程的求解，关键在于找到,,a b c 之间的等式关系，圆锥曲线的方程，离心率是常考题型，审清题意，寻找,,a b c 之间的等式关系，细心计算，属中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 2nn a =;(2) ()1122n n T n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）由题意结合递推关系式可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =. （2）由题意结合(1)的结论可得2nn b n =⋅.错位相减可得数列{}n b 的前n 项和()1122n n T n +=-⋅+.【详解】（1）22n n S a +=①1122n n S a --∴+= ()2n ≥ ②①-②得1122n n n n n S S a a a ---=-=，则12nn a a -= ()2n ≥， 在①式中，令1n =，得12a =.∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴ 2n n a =.（2）2n n b n =⋅. 所以123122232n T =⋅+⋅+⋅+ ...+ ()1122n n n n --⋅+⋅，③则 2n T = 231222...⋅+⋅++ ()122n n --⋅+ ()1122n n n n +-⋅+⋅，④ ③-④得， 23222n T -=++ 11...222n n n n -++++-⋅，()1212212nn n +⋅-=-⋅-()12122n n n +=-⋅--⋅()1122n n T n +∴=-⋅+.【点睛】一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．18.千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛传知；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则.使得“千里眼”“顺风耳”变为现实……此时此刻，5G 的到来即将给人们的生活带来颠覆性的变革，“5G 领先”一方面是源于我国项层设计的宏观布局，另一方面则来自于政府高度重视、企业积极抢滩、企业层面的科技创新能力和先发优势.某科技创新公司基于领先技术的支持，丰富的移动互联网应用等明显优势，随着技术的不断完善，该公司的5G 经济收入在短期内逐月攀升，业内预测，该创新公司在第1个月至第7个月的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如下表：时间（月份） 1 2 3 4 5 6 7 收入（百万元） 6 11213466101196根据以上数据绘制散点图：（1）为了更充分运用大数据、人工智能、5G 等技术，公司需要派出员工实地考察检测产品性能和使用状况，公司领导要从报名的五名科技人员A 、B 、C 、D 、E 中随机抽取3个人前往，则A 、B 同时被抽到的概率为多少？（2）根据散点图判断，y ax b =+与xy c d =⋅（a ，b ，c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你判断结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程；（3）请你预测该公司8月份的5G 经济收入. 参考数据：71i i y =∑71lg ii y=∑71i ii x y =∑71i ii x v=∑0.45100.5410462 10.78 2711 50.12 2.823.47其中设lg v y =，lg i i v y = 参考公式：对于一组具有线性相关系的数据(),i i x v （1i =，2，3，…，n ），其回归直线v x βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni i i nii x v nxvxnxβ==-=-∑∑，v x αβ=-.【答案】（1）()310P Q =；（2）0.253.4710x y =⨯；（3）347百万元. 【解析】 【分析】（1）这是一个古典概型，先列出从报名的科技人员A 、B 、C 、D 、E 中随机抽取3个人则所有的基本事件数，再找出A 、B 同时被抽到的基本事件数，代入公式求解.（2）根据散点图的图形特征，可判断，xy c d =⋅适宜作为5G 经济收入y 关于月代码x 的回归方程类型；然后两边同时取常用对数()1111xgy g c dgc gd x =⋅=+⋅，再令1gy v =，利用最小二乘法求解回归方程.（3）将8x =代入（2）中的回归方程，可得8月份的预测值.【详解】（1）从报名的科技人员A 、B 、C 、D 、E 中随机抽取3个人则所有的情况为：{},,A B C ，{},,A B D ，{},,A B E ，{},,A C D ，{},,A C E ，{},,A D E ，{},,B C D ，{},,B C E ，{},,B D E ，{},,C D E ，共10种.记“A 、B 同时被抽到”为事件Q ，则事件Q 包含基本事件{},,A B C ，{},,A B D ，{},,A B E ，基本事件共3种， 故()310P Q =. （2）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为5G 经济收入y 关于月代码x 的回归方程类型； x y c d =⋅，两边同时取常用对数得：()1111xgy g c dgc gd x =⋅=+⋅；设1gy v =，11v gc gd x ∴=+⋅，()1123456747x =++++++=， 7711111lg 10.78 1.54777i i i i v v y ==∴===⨯=∑∑，72222222211234567140i i x ==++++++=∑， 7172221750.1274 1.547lg 0.2514074287i i i i i x v x yd x x==--⨯⨯∴====-⨯-∑∑，把样本中心点()4,1.54代入11v gc gd x =+⋅，得：1.54lg 0.254c =+⨯， lg 0.54c ∴=， 0.540.25v x ∴=+，lg 0.540.25y x ∴=+，∴y 关于x 的回归方程：0.540.250.2510 3.4710x x y +==⨯.（3）当8x =时，0.540.250.25810 3.4710347x y +⨯==⨯=， 所以预测8月份的5G 经济收入为347百万元.【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法，拟合函数以及回归方程的求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AD AB ⊥，//AD BC ，2BC AD =，AEB △为等边三角形，点F 为棱EB 上的点.（1）若F 为中点，求证：//AF 平面DEC ；（2）若2AB BC ==，5DE F DEC -的体积为36，求EF FB 的值.【答案】（1）见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）取EC 中点M ，连结FM ，DM ，易得ADMF 是平行四边形，则//AF DM ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）易知222EA AD ED +=，则AD AE ⊥，又AD AB ⊥，利用线面垂直的判定定理得到AD ⊥平面ABE ，再由//AD BC ，得到平面BEC ，即A 、D 到平面BEC 距离相等，再利用等体积法F DEC D FEC A FEC C FEA V V V V ----===解得EF 即可.【详解】（1）如图所示：取EC 中点M ，连结FM ，DM////AD BC FM ，12AD BC MF ==， 所以ADMF 是平行四边形，//AF DM ∴AF ⊄平面DEC ，DM ⊂平面DEC ， //AF ∴平面DEC .（2） 因为2AB BC ==，5DE ，2BC AD =，AEB △为等边三角形， 所以2,1EA AD ==222EA AD ED ∴+=，AD AE ∴⊥，又AD AB ⊥，AB AE A =，AD ∴⊥平面ABE ，又//AD BC ， 所以CB ⊥平面ABEAD ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，//AD ∴平面BEC ，即A 、D 到平面BEC 距离相等， 所以F DEC D FEC A FEC C FEA V V V V ----===1112233226AEF S BC EF =⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=△ 解得12EF =， 所以1121322EF FB ==-. 【点睛】本题主要考查线面平行、线面垂直的判定定理以及等体积法的应用和分点问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理运算求解的能力，属于中档题.20.已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点为()0,1F ，以原点O 为圆心，椭圆E 的短半轴长为半径的圆与直线3 450x y ++=相切. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，点P 的坐标为()0,2，直线PM 与x 轴交于A 点，直线PN 与x 轴交于B 点，求证：PA PB =.【答案】（1）2212y x +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切列出对应方程，再结合椭圆的基本知识计算求解即可；（2）先讨论l 与y 轴重合时的情况，再在l 与y 轴不重合的情况下，设()11,M x y ，()22,N x y ，l 的方程为1y kx =+，将之与椭圆方程联立，得到韦达定理.解法一：利用韦达定理化简证明0PA PB k k +=，从而证明出PA PB =；解法二：设()3,0A x ，()4,0B x ，PA ：1122y y x x -=+，PB ：2222y y x x -=+，然后根据方程求出34,x x ，再结合韦达定理证明340x x +=，从而证明出PA PB =.【详解】（1）由已知得1b ==，1c =，因此a =所以椭圆E 的方程为2212y x +=.（2）解法一：①当l 与y 轴重合时，由题意知PA PO PB ==.②当l 与y 轴不重合时，设l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则10x ≠，20x ≠，直线PA ，PB 的斜率之和为121222PA PB y k x x y k --+=+， 由111y kx =+，221y kx =+得()121212121222PA PB x x x x x k k k xx k x x x -+++==-，将1y kx =+代入2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，()222442880k k k ∆=++=+>，所以12222k x x k +=-+，12212-=+x x k ， 所以PA PB k k +=122212222222012k x x k k k k x k x k -++-=-=-=-+， 从而0PA PB k k +=，故PA ，PB 的倾斜角互补， 所以OAP OBP ∠=∠，因此PA PB =. 综上所述，PA PB =. 解法二：①当l 与y 轴重合时，由题意知PA PO PB ==.②当l 与y 轴不重合时，设l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则10x ≠，20x ≠，将1y kx =+代入2212y x +=得()222210k x kx ++-=.()222442880k k k ∆=++=+>，所以12222k x x k +=-+，12212-=+x x k .设PA ：1122y y x x -=+，PB ：2222y y x x -=+，()3,0A x ，()4,0B x 易知12y ≠，22y ≠， 在1122y y x x -=+中，令0y =得13122x x y =--， 在2222y y x x -=+中，令0y =得24222x x y =--， 于是()()()1221121234121222222222x y x y x x x x x x y y y y +-++=--=-----， 由111y kx =+，221y kx =+得()()()()()()122112121234121222222222x y x y x x kx x x x x x y y y y +-+-++=-=-----， 由于()1212221222022k kx x x x kk k --+=+=++，因此340x x +=， 所以点A 与点B 关于原点O 对称，而点P 在y 轴上，因此PA PB =.综上所述，PA PB =.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的综合运用，解题关键是将线段问题进行转化，从而利用坐标表示，进而结合韦达定理化简求解.需要学生具备一定的计算分析能力，有一定难度. 21.已知函数()21ln 2a f x x x =--. （1）若函数()f x 在()()22f ,处的切线斜率为2，试求a 的值及此时的切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]1,e （其中 2.71828e =…为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）8a =，214ln 20x y ---=；（2）{4a a ≤或22(e 1)}a >-.【解析】【分析】（1）根据导数几何意义求解即可；（2）讨论参数a 的值，确定函数()f x 在区间[]1,e 的单调性，从而根据零点的个数，得出实数a 的取值范围.【详解】（1）由()24222a x a x x x xf ='-=-，（0x >）. 由已知()4422f a =-='. 可得：8a =又此时()414ln 24223ln f =--=-.所以所求的切线方程为：()()34ln 222y x --=-.即：214ln 20x y ---= （2）()24222a x a x x x xf ='-=-，其中[]1,x e ∈ ①当4a ≤时，0f x 在区间[]1,e 恒成立，() f x 在区间[]1,e 单调递增又∵()10f =，∴函数()f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点，符合题意.②当24a e ≥时，()0f x '≤在区间[]1,e 恒成立，()f x 在区间[]1,e 单调递减又∵()10f =，∴函数() f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点，符合题意.③当244a e <<时（i ）12x ≤<时，0f x ，()f x 单调递减又∵()10f =，()10f f ∴<=⎝⎭，∴函数()f x 在区间⎡⎢⎣⎦上有唯一的零点（ii x e <≤时，0f x ，()f x 单调递增∴要使()f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点，只有当()0f e <时符合题意 即2102a e --<，即()221a e >- ∴()22214e a e -<<时，函数()f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点； ∴综上a 的取值范围是{4a a ≤或22(e 1)}a >-. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为21cos ρθ=-，直线1l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），2παπ<<，点A 为直线1l 与曲线C 在第二象限的交点，过O 点的直线2l 与直线1l 互相垂直，点B 为直线2l 与曲线C 在第三象限的交点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程及直线1l 的普通方程；（2）若OA OB =，求OAB 的面积.【答案】（1）244y x =+，tan y x α=.（2παπ<<）；（2）12OAB S =-△.【解析】【分析】（1）根据cos x ρθ=，222x y ρ=+得出曲线C 的直角坐标方程，消掉参数t 得出直线1l 的普通方程；（2）根据极坐标中极径的意义以及三角形的面积公式，即可得出OAB 的面积.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程化为cos 2ρρθ=+，cos x ρθ=，222x y ρ=+∴曲线C 的直角坐标方程为244y x =+.直线1l 的普通方程为tan y x α=.（2παπ<<）（2）射线OA 的极坐标方程为θα=，（2παπ<<），则21cos OA α=- 射线OB 的极坐标方程为2πθα=+，（2παπ<<），则 221sin 1cos 2OB παα==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 由OA OB =得221cos 1sin αα=-+，2παπ<<，解得：34πα=故2114122212OAB S OA OB ===-⎛+ ⎝⎭△【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，利用极坐标求三角形的面积，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333a b b c c a ++≤+++---.【答案】（1）{}03I x x =<<；（2）见解析.【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，求出各段的范围，然后取并集，可得结果.（2）根据不等式2++≥≤a b a b ，化简式子，可证明该结果. 【详解】（1）当1x ≤时，原不等式化简为323-<x ，即01x <≤；当12x <≤时，原不等式化简为13<，恒成立，即12x <≤；当2x >时，原不等式化简为233x -<，即23x <<. 综上，原不等式的解集{}03I x x =<<.（2）当a ，b ，c I ∈时，a ，b ，c ，3a -，3b -，3c -均为正数， 令111111111333=+++++---T a b b c c a则≤T ()()()33394444+-+-+-≤++=a b b c c a T . 当且仅当32===a b c 时，取等号 【点睛】本题考查绝对值不等式解法以及基本不等式的应用，熟练使用分类讨论的方法（或零点分段法），同时善于观察，识记基本不等式的使用条件：一正，二定，三相等，属中档题.。
2021年5月28日河南省●天一大联考2021届高三毕业班高考考前模拟(河南版)数学(文)试题及答案
绝密★启用前河南省●天一大联考2021届高三毕业班下学期高考考前模拟卷(河南版)数学(文)试题考试时间：2021年5月28日考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|2x 2－13x>0},B ＝{y|y>2},则(∁R A)∩B ＝ A.(2,132) B.(0,2) C.[0,2] D.(2,132]2.在复平面内,复数z 所对应的向量OZ 如图所示,则35z i =-A.1213434i -+B.1213434i --C.9193434i -+D.9193434i -- 3.“王莽方斗”铸造于王莽始建国元年(公元9年),有短柄,上下边缘刻有篆书铭文,外壁漆画黍、麦、豆、禾和麻纹,如图1所示。
因其少见,故为研究西汉量器的重要物证图2是“王莽方斗”模型的三视图,则该模型的容积为A.213B.162C.178D.1934.若双曲线C 1与双曲线C 2：22146x y -=有共同的渐近线,且C 过点(2,3),则双曲线C 1的方程为 A.22123y x -= B.22123x y -= C.22123x y -= D.22132y x -= 5.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3＝5,42S S ＝4,则a 10＝ A.9 B.11 C.19 D.21 6.2020年2月,受新冠肺炎的影响,医卫市场上出现了“一罩难求”的现象。
在政府部门的牵头下,甲工厂率先转业生产口置。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(六)数学(文科)
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =则UA B =（ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,7C. {}1,2D. {}1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交、并、补运算即可求解.【详解】由集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5,6B =， 所以{}1,2,7UB =，又集合{}1,2,3,4A =， 所以UA B ={}1,2.故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补的混合运算，属于基础题. 2.下列各式的运算结果虚部为1的是（ ） A. ()1i i - B.21i+ C. 22i +D. ()21i i +-【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算化简即可求解.【详解】对于A ，()211i i i i i -=-=--，虚部为1-；对于B ，()()()()221i 21i 21i 1i 1i 1i 1i --===-++--，虚部为1-； 对于C ，22211i +=-=，虚部为0；对于D ，()22112i i i i i i +-=++-=，虚部为1； 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，需熟记21i =-，属于基础题.3.从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到校门口值日，则甲和丁不在一起值日的概率为（ ） A .13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】 【分析】首先利用组合求出值日的总排法：22426C C ⋅=，再求出甲和丁排在一起的排法：12A ，利用间接法可得甲和丁不在一起的排法，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】由题意可得值日的总排法：22426C C ⋅=，甲和丁排在一起的排法：12A ，所以甲和丁不在一起的排法：2214224C C A ⋅-=，所以甲和丁不在一起值日的概率为：4263P ==. 故选：C【点睛】本题主要考查了排列、组合的简单应用，古典概型的概率计算公式，属于基础题.4.若实数x ，y 满足22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A. 9B. 12C. 3D. 6【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由2z x y =-得2y x z =-， 平移直线2y x z =-，由图像可知当直线2y x z =-经过点A 时， 直线2y x z =-的截距最小， 此时z 最大，由1220yx y=-⎧⎨+-=⎩，解得41xy=⎧⎨=-⎩，即()4,1-A，max 2419z=⨯+=.故选：A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，解题的关键是理解目标函数的几何意义，属于基础题.5.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. ①②③B. ②③C. ①②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据折线图，分析图中的数据逐一判断即可.【详解】由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故①正确；由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故②正确；根据图像在2016－2018年这3年中，折线的斜率基本相同，故每年的增幅基本持平，故③正确；故选：A【点睛】本题考查了折线图，考查了统计与推理，属于基础题.6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于则椭圆C 的方程为（ ）A. 2214x y +=B. 22163x y +=C. 22142x y +=D. 22143x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得2a b =，2c =222a b c =+即可求解. 【详解】由长轴长是短轴长的2倍，所以24a b =，即2a b =，焦距等于2c =c =.由222a b c =+，解得1b =，2a =，所以椭圆的标准方程：2214x y +=.故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、椭圆的标准方程，属于基础题.7.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ） A. []6,63k k ππ+，k Z ∈ B. []63,6k k ππ-，k Z ∈ C. []6,63k k +，k Z ∈ D. []63,6k k -，k Z ∈【答案】D 【解析】【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ． 点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*22n n S a n N +=∈，42S a =（ ） A. 2 B.132C.152 D.172【答案】C 【解析】 【分析】 利用n S 与na 的关系，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列的前n 项和的公式以及通项公式即可求解.【详解】由()*22n n S a n N +=∈，当1n =时，可得12a =，当2n ≥时，1122n n S a --+=，两式作差可得：122n n n a a a -=-， 即()122n n a a n -=≥，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⋅=，()4422212151222S a --∴== 故选：C【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的定义、等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和的公式，属于基础题.9.已知四边形ABCD 为平行四边形，2AB =3AD =，M 为CD 中点，2BN NC =，则AN MN ⋅=（ ） A.13 B.23C. 1D.43【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则可得23AN AB BC =+，1123MN AB BC =-，再利用向量数量积的运算即可求解.【详解】()1123AN MN AB BN DC CB ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭()1123AB BN AB BC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211323AB BC AB BC ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22121212329293AB BC =-=⨯-⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了向量的加、减、数乘以及数量积的运算，需掌握三角形法则，属于基础题.10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x ax =+，若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线过点()2,0，则a =（ ）A. 34-B. 1C. 2D.34【答案】D 【解析】 【分析】设0x ≥时，则0x -≤，利用函数的奇偶性求出函数在[)0,+∞上的解析式，并求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可求解.【详解】设0x ≥时，则0x -≤，当(],0x ∈-∞时，()22f x x ax =+，所以()22f x x ax -=-，又()()f x f x -=-，所以()22f x x ax -=-，即()22f x x ax =-+，所以()112f a =-+又()22f x x a '=-+，所以()122f a '=-+，所以1202212a k a -+-==-+-，解得34a =.故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的基本运算，属于基础题.11.“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ）A. 61.897510⨯立方尺B. 63.795010⨯立方尺C. 52.530010⨯立方尺D. 51.897510⨯立方尺【答案】A 【解析】 【分析】求出棱柱底边梯形的面积，利用棱柱的体积公式即可求解. 【详解】()640205012651897500 1.8975102V +⨯=⨯==⨯（立方尺），故选：A【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，需熟记柱体的体积公式，属于基础题.12.已知函数()2y f x =-的图象关于点()2,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()cos sin f x x f x x '>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A. ππ336f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ππ336f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.ππ2346⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ππ243f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的奇偶性，令()()sin f x g x x=，求出函数的导函数，根据函数的单调性判断即可. 【详解】由题意可得，函数()2y f x =-的图象关于点()2,0对称， 故()f x 的图像关于原点对称， 故()f x 是奇函数，由函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()cos sin f x x f x x '>， 令()()sin f x g x x=， 故()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<， 所以函数()()sin f x g x x=在()0,π上单调递减， 由()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--， 则()g x 为偶函数， 所以336g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即3336sin sin sin sin 3363f f f f ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B【点睛】本题主要考查了构造函数判断函数的单调性、利用单调性比较函数值的大小，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()12,1x x f x x -≤=>⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦__________．【答案】14； 【解析】 【分析】利用分段函数的解析式，将2x =-代入即可求解. 【详解】由()12,1xx f x x -≤=>⎪⎩，则()()212224f f f --===⎡⎤⎣⎦. 故答案为：14【点睛】本题考查了求分段函数的函数值以及指数的运算，属于基础题.14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11S =，525S =，则6S =__________． 【答案】36； 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式求出首项与公差，再利用前n 项和公式即可求解. 【详解】由11S =，525S =，则11511545252S a dS a ==⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得11a =，2d =， 所以61656630362dS a ⨯=+=+=. 故答案为：36【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.15.已知过点()1,0的直线l 被圆22670x y x +--=截得的弦长为l 的方程为_________．0y -=0y +； 【解析】 【分析】首先验证当直线的斜率不存在时，不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程：()1y k x =-，圆的圆心为()3,0，半径为4r =216+=，由此能求出直线方程.【详解】当直线的斜率不存在时，则1x =，代入圆的方程，解得y =±，此时弦长为 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为()1y k x =-， 由圆22670x y x +--=，整理可得()22316x y -+=， 即圆心为()3,0，半径为4r =，=，直线l 被圆22670x y x +--=截得的弦长为216+=，解得k =， 即直线l0y --=0y +=.0y -=0y +=【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、垂径定理、点斜式方程以及点到直线的距离公式，属于基础题. 16.的三棱锥A BCD -中，3BC AC BD AD ====，CD =AB <锥外接球的表面积为__________． 【答案】61π3． 【解析】 【分析】取AB 的中点E ，连接CE ，DE ，设AE BE x ==，从而可得CE DE =，取CD 的中点F ，连接EF，求出EF =AB <，求出1x =，利用对称性可知外接球的球心O 在EF 上或EF 的延长上，根据勾股定理求出外接球的半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】取AB 的中点E ，连接CE ，DE ， 由3BC AC BD AD ====，设AE BE x ==，所以22239CE DE x x ==-=-，取CD 的中点F ，连接EF ， 则2222954EF xx =--=-所以1112152333A BCD CDECDECDEV S AE SBE Sx -=⋅+⋅=⋅=， 即112152323CD EF x ⋅⋅⋅=2112152542323x x ⇒⋅⋅-=， 解得3x =1x =，又22AB <1x =，即2AB =， 所以3EF=利用对称性可知外接球的球心O 在EF 上或EF 的延长线上， 若球心O 在EF 上，设OF a =， 所以222OD OE AE =+ 即(()222513a a +=+，此时a 无解，即球心O 在EF 的延长上， 所以)222513a a +=+，解得3a =261512R a =+=所以三棱锥的外接球面积为：26143S R ππ==.故答案为：61π3【点睛】本题考查了多面体的外接球问题、球的表面积公式，求解的关键是找出球的球心，属于难题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()tan 2tan b A c b B =-． （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积为b c +=a 的值．【答案】（1）π3A =（2）a = 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，再利用两角和的正弦公式的逆应用以及三角形的内角和性质即可求解.（2）利用三角形的面积公式可得12bc =，从而可求出2226b c +=，再利用余弦定理即可求解. 【详解】解：（1）由正弦定理得，()sin sin sin 2sin sin cos cos A BB C B A B⋅=-⋅ 因为sin 0B ≠，所以sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=()sin 2sin cos A B C A += sin 2sin cos C C A =因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以π3A =．（2）因为1sin 24ABC S bc A ===△ 所以12bc =，因为b c +=22250b bc c ++=， 所以2226b c +=，根据余弦定理得，2222cos 261214a b c bc A =+-=-=所以14a =．【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用、三角形的面积公式，需熟记定理以及公式，属于基础题.18.在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且有//AB DC ，12AC CD DA AB ===．（1）证明：BC PA ⊥； （2）若222PA PC AC ===Q 在线段PB 上，满足2PQ QB =，求三棱锥P ACQ -的体积． 【答案】（1）见解析（243【解析】 【分析】（1）设2AB a =，则AC CD DA a ===，在ABCS中，由余弦定理可得BC 3a =，从而可得90ACB ∠=︒，即证出BC AC ⊥，根据平面PAC ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面P AC ，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）由PA PC ⊥，23P ACQ Q PAC B PAC V V V ---==，结合三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：不妨设2AB a =，则AC CD DA a === 由ACD 是等边三角形得，π3ACD ∠= ∵//AB DC ，∴π3CAB ∠=由余弦定理得，2222π2cos 33BC AC AB AC AB a =+-⋅⋅⋅= 即BC 3a =，所以222BC AC AB +=，所以90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥ 又平面PAC ⊥平面ABCD 平面PAC平面ABCD AC =BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面P AC∵PA ⊂平面P AC ，∴BC PA ⊥． （2）依题意得，PA PC ⊥23P ACQ Q PAC B PAC V V V ---==2133PAC S BC =⨯⋅ 211332PA PC BC =⨯⨯⨯⋅⋅ 211432223332=⨯⨯⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理以及等体法求三棱锥的体积，属于中档题. 19.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下.（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图：①从B 类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%把握认为“满意度与用电量高低有关”？附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）0.0044x =，186（2）①1528，②没有把握 【解析】 【详解】（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3， 所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 186=度.（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =. ②因为2K 的观测值()22469631212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”. 20.已知函数()()ln R af x x a x=+∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()f x a ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a = 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域以及函数的导函数()2x af x x-'=，分类讨论：当0a ≤或0a >时，根据()f x '的正负可得到函数的单调性. （2）由（1）当0a ≤时，取12x =代入求得ln 2a ≥，显然不成立；当0a >时，若()f x a >，只需()min f x a ≥，由（1）可得()()min ln 1f x f a a a ==+≥，构造函数()()ln 10h a a a a =-+>，利用导数求得()h a 有最大值()10h =，从而可得1a =.【详解】解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+ 又()221a x afx x x x'-=-= ①当0a ≤时，在()0,∞+上，()0f x '>，()f x 是增函数； ②当0a >时，()0f x '=，得x a =， 在()0,a 上，()0f x '<，()f x 是减函数； 在(),a +∞上，()0f x '>，()f x 是增函数． （2）由（1）知 ①当0a ≤时，1ln 222f a a ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭，即ln 2a ≥不成立；②当0a >时，()f x a >，即()min f x a ≥， 因为0a >，由（1）知：当x a =时，()f x 取得极小值也是最小值， 所以()()min ln 1f x f a a a ==+≥ 即ln 1ln 10a a a a +≥⇔-+≥成立 令()()ln 10h a a a a =-+>()1110a h a a a-'=-==，解得1a =， 在()0,1上，()0h a '>，所以()h a 是增函数， 在()1,+∞上，()0h a '<，()h a 是减函数， 所以，当1a =时，()h a 有最大值()10h = 要使得()0h a ≥ 即：1a =所以实数a 的取值范围是1a =【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用、导数要不等式恒成立中的应用，考查了分类讨论的思想，属于难题. 21.已知抛物线21:4C y x =，过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 的准线上的投影分别P 、Q ．（1）已知()1,0D -，若()0OA OB OD OD ++⋅=，求直线l 的方程； （2）设P 、Q 的中点为M ，请判断PF 与MB 的位置关系并说明理由． 【答案】（1）114y x =+（2）//PF MB ．见解析 【解析】 【分析】（1）将抛物线方程化为24x y =，求出焦点()0,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据向量的坐标运算由()0OA OB OD OD ++⋅=可得121x x=+，再根据2114x y =，2224x y =，两式相减求出直线的斜率，利用点斜式即可求解.（2）依题意求出抛物线C 的准线方程为：1y =-，设直线l 的方程为：1y kx =+，将直线与抛物线联立消y 得2440x kx --=，由韦达定理可得124x x k +=，124x x =-，然后由一直求出()1,2PF x =-，212,12x x MB y -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】解：（1）抛物线21:4C y x =，化为24x y =， 所以抛物线C 的焦点()0,1F 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以()11,OA x y =，()22,OB x y =，()1,0OD =-，()()12121,OA OB OD x x y y ++=+-+由()0OA OB OD OD ++⋅=，得121x x =+，又2114x y =，2224x y =，两式相减得：()()()1212124x x x x y y -+=-，所以121214y y x x -=-， 所以直线l 的方程为：114y x =+． （2）//PF MB ，理由如下：依题意可知抛物线C 的准线方程为：1y =-， 依题意可设直线l 的方程为：1y kx =+，联立2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消y 得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-， 又()1,1P x -，()2,1Q x -，12,12x x M +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()1,2PF x =-，1221222,1,122x x x x MB x y y +-⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()2112212x x x y -⨯--+ 21121x x x y x =-++ 212x x y =+()2121x x kx =++1212x x kx x =++()440k k =+-=所以//PF MB ，所以//PF MB ．【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了向量共线的坐标表示，考查了学生的计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，已知直线1:0l x =，直线20l y -=以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 以及直线1l ，2l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O 、A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于O 、B 两点，求AOB 的面积． 【答案】（1）6cos ρθ=，()1π:R 6l θρ=∈，()2π:R 3l θρ=∈．（2【解析】 【分析】（1）根据题意消参求出曲线C 的直线坐标方程，然后利用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可求解. （2）把π6θ=代入曲线C 的极坐标方程，得出π6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理，把π3θ=代入曲线C 的极坐标方程，得出π3,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）依题意，由曲线C 的参数方程33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）消参得()2239x y -+=，故曲线C 的普通方程为2260x y x +-=由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ= 1l ，2l 的极坐标方程为()1π:R 6l θρ=∈，()2π:R 3l θρ=∈． （2）把π6θ=代入6cos ρθ=，得1ρ=π6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把π3θ=代入6cos ρθ=，得23ρ=，所以π3,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1211ππsin 3sin 2236AOB S AOB ρρ⎛⎫=∠=⨯⨯-= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化、直线与曲线相交时的极坐标方程的解法、三角形的面积公式，属于基础题.23.设函数()f x x a =+．（1）当2a =-时，求不等式()1143f x ≤<的解集； （2）若0ε>，()13f ε-<，()23f b a ε--<，证明24a b ε+-<．【答案】（1）5734xx ⎧<≤⎨⎩或9743x ⎫≤<⎬⎭（2）见解析 【解析】【分析】 （1）将2a =-代入，分类讨论去掉绝对值符号，解不等式组，求并集即可.（2）利用绝对值三角不等式以及不等式的性质即可求解.【详解】解：（1）当2a =-时，()2f x x =-，则()111124343f x x ≤≤⇔≤-< 11122333111222444x x x x x ⎧⎧-<-<-<⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪-≥-≤--≥⎪⎪⎩⎩或解得57337944x x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤≥⎪⎩或，即5734x <≤或9743x ≤< 则所求不等式的解集为5734x x ⎧<≤⎨⎩或9743x ⎫≤<⎬⎭（ （2）由已知，0ε>，()113f a ε-=-<，()223f b a b ε--=-< 则22422221233a b a b a b εεε+-=-+-≤-+-<+= 所以24a b ε+-<得证 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及不等式的性质，属于基础题.。