连续信号采样和重构

数字信号处理实验（综合）

实验题目：连续信号采样和重构 一、实验目的

通过利用MATLAB 实现对信号采样、求频谱、滤波以及时域，域重构熟悉通信系统的整个过程。 二、实验原理

奈奎斯特采样定理，连续信号傅立叶变换（CTFT ）、连续信号傅立叶逆变换、sample 函数时域重构原理、巴特沃兹低通滤波器的设计、时域卷积定理等。

三、实验内容

（1）绘制原信号及其频谱，采样信号及其频谱

5

10

-5

5

幅度

(1) 原信号

时间(秒)

幅度

(3) 采

样后信号

-10

-50510

20

40

60幅度

(2) 原信号频谱

-5

05

2040

60幅度

频率 （赫兹）

(4) 采样后频谱搬移

图A 连续信号及其采样信号对应频谱图

图1 为y= 3*cos(3*pi*t)+2*sin(2*pi*t)+cos(5*pi*t)的信号，时

间间隔为0.01秒。

因为CTFT 公式dt e t x

j X t

j a a Ω-+∞

∞-⎰=Ω)()(只适用于求连续信号，但本实验中采用的是MATLAB 数值计算方法，所以将上面的积分式变成以下的求和式为：

t e t x j X t

j a

a ∆=ΩΩ-+∞

∞

-∑)()(，在程序中采用For 循环和sub 函数实现求解，最后用

abs 求出其模值输出。

从原信号时域表达式可以看出，信号角频率为5pi,若要应用奈奎斯特采样定理，则采样角频率必须大于2*5pi,于是我们采用15pi 的采样角频率。而T f /22ππω==，所以对应到时域，采样周期为2/15秒。于是在绘制图3时，我们的时间间隔为2/15秒，于是得到许多离散点。同样，利用

t e t x j X t

j a

a ∆=ΩΩ-+∞

∞

-∑)()(公式可求的采样信号的频谱图。从图4可以看出，频谱

得到了搬移，又由于满足奈奎斯特采样定理，没有出现混频的现象。

（2）离散信号时域重构

幅度

(5) 重构分量及合成包络

01234

5

678910

时间(秒)

幅度

(6) 重构信号

图B 离散信号时域重构过程图

重构原理为生成大量自变量点，在每个采样点处，生成一个以该采样点的幅值为中央最大值、s T 为采样时间间隔的sample 函数，最后把所有sample 函数自变量点的函数值相加，及得到了原信号在这些点处的值，从而重构出原信号。图

5中，每个采样点用蓝色圆圈标记出，蓝色虚线是在这些点处生成的sample 曲线，红色虚线为自变量点的函数值累加后的值，及为原信号的包络。图6即重构出的原信号。

（3）设计滤波器，频域重构

-5

5

2040

60

幅度

(7) 采样后频谱搬移

-5

05

0.5

频率 （赫兹）幅度

(8) 低通滤波器幅频特性

-5

05

1020

3040

50频率 （赫兹）

幅度

（9） 滤波后频谱

5

10

幅度

时间（秒）

（10） 频域重构信号

图C 滤波及频域重构信号

图7即图4，表示采样后的信号频谱图。图8是针对图7频谱设计的低通滤波器，采用的是巴特沃兹型，由于原信号最高频率为2.5赫兹，所以在此我们设计的滤波器通带边界频率为3赫兹，阻带边界频率为4赫兹，通带波纹为0.5dB ，阻带波纹为30 dB,以得到测试，满足给定的指标。根据时域卷积性质，将图7与图8 两图中的数值对应相乘，滤去高频分量，得到所需要的低频分量，如图9.

然后根据时域傅立叶反变换公式：ωd e j X t x t

j a a Ω+∞

∞

-⎰

Ω=)()(，同样将其变成求和式ω∆Ω=Ω+∞

∞

-∑t

j a

a e j X t x )()(，从而得到频域的重构信号，如图10. 四、实验小结

本次实验为一次综合性实验，涉及的内容较多，难度也较大。清晰的设计思路很重要，但编程的过程中遇到了很多麻烦，最关键的是数组相乘中的长度一致问题，所以一开始就应该站在全局、系统的角度来进行设计。通过本次实验，增进了对信号处理的认识，提高了编程能力。