与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题

圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆 为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化 思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式 等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见 的与椭圆有关的最值问题的解决方法。

1 •定义法

2 2

例1。P(-2, 3 ),F2为椭圆——=1的右焦点，点M 在椭圆上移动，求丨MP| + | MF 2 |的最大值

25

16

和最小值。

分析：欲求丨MP| + | MF 丨的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 | MF | =2a- | MF | , F 1为椭圆的左焦点。

解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PR 延长 PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知

-| PF |兰| MP| - | MF |兰| PR |当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。因为 2a=10,

| PF 1 | =2所以(| MP| + | MF |) ma>=12, (| MP | + | MF | )

min

=8

2 2

X y

结论1：设椭圆二 2 =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意

a b

一点，则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为2a - | PR |。

2 2

例 2： P(-2,6),F 2为椭圆— -L

25

16

M ，此点使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 1。

MF |连接PF 1并延长交椭圆于点 皿仆则M 在M 1处时| MP | - | MF

I 取最大值| PF 1 |。二| MP | + | MF |最大值是10+ , 37，最小值是,41

2 2

x

y

结论2:设椭圆一2

- =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，

a

b

则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为 PF ?。

2. 二次函数法

2 2

例3•求定点A(a,0)到椭圆务'£ =1上的点之间的最短距离。

a b

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示|

PA |，转化为x,y 的函数，求最小值。

1

1

解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，| PA | 2=(x-a) 2+y 2 =(x-a) 2+1-

x 2

= (x_ 2a)2+1d 由椭圆方

=1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求| MP | + | MF |的最大值和

最小值。

分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于 解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- |

M 1

M 2

2 2

程知x 的取值范围是卜..2, , 2 ]

(1) 若丨 a ,则 x=2a 时丨 PA | min =

1 _a 2

2

(2)

若 a> —,则 x= . 2 时 I PA | min = I a -

2 I

2

(3)

若 a<-二,则 | PA | min = | a+ • 2 I

2

2 2

结论3：椭圆△—

y -

=1上的点M(x,y)到定点A(m,O)或B(O,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式

a 2

b 2

表示| MA |或| MB |,通过动点在椭圆上消去 y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。

3. 三角函数法

2

X 2

例4 :椭圆一〒-y =1上的点M(x,y)到直线I : x+2y=4的距离记为d,求d 的最值

4

X*2?-4转化为x 或y 的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆

、5

的参数方程，即三角换元

2 2

结论4:若椭圆务-y - =1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时

，可通过椭圆的参数方程,

a b

统一变量转化为三角函数求最值。

4. 判别式法

例4的解决还可以用下面方法

把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。

解。令直线 m ： x+2y+c=0将x = — 2y — C 代入椭圆方程整理得 8y 2+4cy+c 2-4=0，由△ =0解得c=± 2^2 ,

C =-

2 2时直线m ： x+2y- 2 2 =0与椭圆切于点P 则P 至憤线I 的距离为最小值，且最小值就是两平行

分析：若按例3那样 d=

d=

解：d=

x 2y-4

x5

x = 2C O S

令」y = sien 皆R )

2 COST 2sin v-4

2

<5

V 5

v'2 sin (日 +匸)_2

当 si n

(寸.一)=1 日

寸,d min ：

4

4 5 -2 10

5

当 sin (二• — )= — 1 日寸,d max =

4