位置矢量矢径

v0 v
v(t) ekt v0
t
k dt
0
v(t)
ln v(t) v0
v0ekti
kt
v(t)
v0ekt ,
v(t)
dx dt
,
x(t )
dx
x0
t 0
v(t )dt
xHale Waihona Puke Baidu=0
t
t
x(t) x0 v(t)dt v0ektdt
0
v0 (1 ekt )
0
k
r(t)
v0
(1
ekt )i
az
dvz dt
d2z dt 2
加速度大小
a
ax2
a
2 y
az2
加速度:
av
dvv dt
d 2 rv dt 2
自然坐标系
质点运动学两类基本问题
(1) 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度；
(2) 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 。
r(t) 求导 vv(t) 求导 a(t)
v tan
1.73v
j
Notice:
1、经常出现的错误：
vr
r 2ti
2, vr
dr
dt
vv v, a d vr
dt
2、弄清公式s 1 at 2 , v at的适用条件 2
3、学会利用初始条件确定积分的上、下限
4、常用到的关系变换 a dv dv dx dv v dt dx dt dx
dy dt
, vz
dz dt
速率 反映质点沿实际轨道移动的快慢
定义：单位时间内的路程
v s t
平均速率 平均速度的大小
定义：平均速率的极限
v ds dt
4
加速度 平均加速度:
av vv t
直角坐标系
av
v axi
ay
v j
az
v k
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dvy dt
d2 y dt 2
质点作变速率圆周运动时
a
dv dt
dv dt
et
v
det dt
v2
et2 v1
o r et1
et2et et1
由速度大小的变化引起的，方向
为为切切向向单加位速矢度量，的以方a向表t ，示故被称
由沿速度方向 单位矢量的变 化引起的
所以切向加速度表示为：
at
dv dt
et
利用角量与线量的关系得：
lim d
t0 t dt
即为圆运动的角速度，其 单位为弧度每秒rads-1。
y
B
r A
o x
3、速率与角速度的关系：在t时间内，质点从A点运动到
B点，所经过的弧长为s=r，则当t0时，s/t的极
限值为：
v lim s r lim
t0 t
t0 t
即: v ds r d
dt dt
y
3 速度与速率
速度
反映质点空间位置变化的快慢和方向
定义：单位时间内的位移
平 均
v
r /
t
x
i
y
j
z
k
t t t
量
vx
v
x rt
t
,vy
vx2
y t
, vz
v
2 y
v
2 z
z t
定义：平均速度的极限
瞬 时 量
v
dr
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
vx
dx dt
, vy
y r sin
二、圆周运动的角速度、角加速度
如右图: 质点在xoy平面上做半径 为r的圆周运动。
角坐标: (t)
1、平均角速度：在t时间内，从A 点运动到B点，与x轴的夹角从变 为+，
y
B
r A
o x
平均角速度，单位为弧度每秒rads-1。
t
2、角速度：当t0时，平均角速度的极限值就是角速度
积分
积分
例1：一质点从x=0处以v=v0沿x轴运动，已知加速度 a=-k v（k为常数），求质点运动的速度及位置矢量。
已知： xt0 x0 0; vt0 v0; a kv
求：
v(t)
0
?
v0
r (t) ?
x
解： a dv kv dv kdt（分离变量）
dt
v
v(t) dv
两边积分：
k
例2：一r质点2t在ixoy(1平9面上2t运3 )动j，(S运I )动，方求程：为：
1、任一时刻的速度 2、第2秒末和第2秒内的加速度各为多少 3、何时质点的位置矢量与其速度矢量垂直 4、质点距离原点最近的时刻
解：1.v
dr
2i
6t 2
j (m
/
s)
2.a
ddtv
12tj (m
/
s
2
三、自然坐标系
用自然坐标系表示平面曲线运动中的速度和加速度
切向：质点前进的切线方向
e
t
法向：与切向垂直，指向曲 线凹的一面。
P
特征：
r en
,
ert的方向不断变化，
en
且始终垂直。
四、 圆周运动的加速度
1、切向加速度(tangential acceleration)
v
ds dt
et
vet
ret
at
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x2 y2 = l2
两边求导得， 2x dx 2 y dy 0 dt dt
2x dx 2 y dy 0 dt dt
即
dy x dx
dt y dt
vB
x y
dx dt
j
dx v, tan
vvB
dt
沿y
轴正向,
当
x y
vB
60时 vB
例3 AB两物体由一长为l的刚性细杆相连，A、B两
物体可在光滑轨道上滑行，如物体A以恒定的速率v向 左滑行，当=60时，物体B的速度为多少？
y
B
l
o
A
v x
解 （首先）建立坐标系,如图
物体A 的速度
y
vA
vxi
dx dt
i
vi
物体B 的速度
B
l
vB
vy
j
dy dt
j
o
x y？
A
v x
1- 3圆周运动(circular motion)
一、 平面极坐标
设一质点在 Oxy 平面内
y
运径动r，某与时x刻它轴位之于间点的夹A 角。矢
A
r
为 。于是质点在点 A 的位
置可由 A(r, ) 来确定 。
o
x
以 (r, ) 为坐标的参考系为平面极坐标系。
x r cos
它与直角坐标系之间的变换关系为
B
r A
o x
圆周运动质点的速度和角速 度的瞬时关系(大小）为：
v r
4、平均角加速度：在t时间内，质点从A点运动到B 点，角速度从变为+，
为平均角加速度，单位为rads-2。
t
5、角加速度：当t0时，平均角 加速度的极限值就是角加速度
lim d
t0 t dt
y
B
r A
o x
即为圆运动的角加速度，其单位为弧度每秒rads-2。
)
dt
第2秒末的加速度即t=2, 求得:
a
24
j (m
/
s2
),
a
24(m
/
s2
)
第2秒内的加速度 （应为平均值）
a
v2
v1
18 j(m /
s 2）
a 18(m / s2）
t
3.v r 0,即rxvx ryvy 0
4. r 4t 2 (19 2t 3 )2 由 dr 0, 便 可 求 出 质 点 离 原 点 最 近 时 刻 dt