高中数学概率与统计解答题)汇总情况

概率与统计解答题

1、A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A 有效的概率为

32,服用B 有效的概率为2

1. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望。

（Ⅰ）解：设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2； B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2

依题意有 P(A 1)=2×13×23=49, P(A 2)=23×23=49, P(B 0)=12×12=14, P(B 1)=2×12×12=1

2,

所求的概率为p=P(B 0A 1)＋P(B 0A 2)＋P(B 1A 2)=14×49＋14×49＋12×49=4

9 …………6分

（Ⅱ） ξ的可能取值为0，1，2，3，且 ξ~B(3,4

9

),

∴ P(ξ=0)=(59)3=125729, P(ξ=1)=C 13×49×(59)2=100243, P(ξ=2)=C 23×(49)2×59=80243, P(ξ=3)=(49)3=64

729

∴ ξ的分布列为

数学期望E ξ=3×49=4

3

……………12分

2、设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2

0x bx c ++=有实根的概率．

.解:（I ）基本事件总数为6636⨯=，

若使方程有实根，则2

40b c ∆=-≥，即b ≥

当1c =时，2,3,4,5,6b =； 当2c =时，3,4,5,6b =；

当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =； 当5c =时，5,6b =； 当6c =时，5,6b =, 目标事件个数为54332219,+++++=

因此方程20x bx c ++= 有实根的概率为19.36 (II)由题意知，0,1,2ξ=，则 17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ===17

(2)36

P ξ==，

故ξ的分布列为

ξ

0 1 2

P

17

36 118 1736

ξ的数学期望17117

012 1.361836

E ξ=⨯

+⨯+⨯= (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程20ax bx c ++= 有实根” 为事件N ，则11()36P M =

，7

()36

P MN =， ()7()()11P MN P N M P M =

=. 3、如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交

点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n 层第m 个竖直通道（从

左至右）的概率为(,)P n m ．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）

（Ⅰ）求(2,1),(3,2)P P 的值，并猜想(,)P n m 的表达式．（不必证明）

（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m 个竖直通道得到分数为ξ，其中4,133,46m m m m ξ-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩

，

试求ξ的分布列及数学期望．

层 层

解：（1）01

01

111

(2,1)222

P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………2分

11

12111(3,2)222P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

…………4分

11

1

(,)2

m n n C P n m ---= …………6分

（2）01

555515

(6,1)(6,6),(6,2)(6,5),232232

C C P P P P ===

=== 25510

(6,3)(6,4)232

C P P ===

…………9分

2316

E ξ=

…………12分

4、2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共

计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持

秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是

35

。 （1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；

（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率； （3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望。 解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A ，则A 的对立事件

为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x 个，1≤x<6，

那么P （A ）=26263

15

x C C --= ，解得x=2，即来自北京大学的志愿者有2人，来自清华

大学志愿者4人； -----------------------3分

（2）记清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人为事件E ，

那么P （E ）=11242

6C C C =8

15

， 所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是8

15

；-------6分 （3）ξ的所有可能值为0，1，2，