2012高考-圆锥曲线解答题(探索性问题)

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2012年高考文科数学试题分类汇编--圆锥曲线-推荐下载

3。 4
4
（D）
5
的关系.
态度决定高度
【解析】设椭圆的长轴为 2a，双曲线的长轴为 2a ，由 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则
2a 2 2a ，即 a 2a ，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为 c，则双曲线的
离心率为 e

c a
，e

c a
，
e e

a a

a 3，c 2,或0,或1
以上两种情况下有 4 条重复，故共有 9+5=14 条；同理若 b=1，共有 9 条；若 b=3 时，共有 9 条.
综上，共有 14+9+9=32 种 [点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的 4 条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
9.【2012 高考上海文 16】对于常数 m 、 n ，“ mn 0 ”是“方程 mx2 ny2 1的曲线是
椭圆”的（）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高考热点题型：圆锥曲线中的探索性问题

圆锥曲线中的探索性问题【必备知识】1．将直线y kx m =+代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>方程，化为关于x 的二次方程，即为222222()b x a kx m a b ++=，亦即222222222()20b a k x kma x a m a b +++-=．2．将直线y kx m =+代入抛物线22(0)y px p =>方程，得 2222()0k x km p x m +-+=，注意对k 分0k =（对应于直线与对称轴平行）与0k ≠（对应于直线与对称轴不平行）两类进行讨论．3．过点1112212(,),(,,)()P x y P x y x x ≠的直线斜率为122121P P y y k x x -=-．4．点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为0022d A B=+．5．直线l ：y kx m =+与圆锥曲线相交所得弦长2221212121||1()4L k x x k x x x x =+-=+⋅+-＝21||k a ∆+⋅．【技巧点拨】解答圆锥曲线中探索性问题，一般可分为以下步骤：（1）假设结论成立；（2）以假设为条件，进行推理求解；（3）明确规范结论，若能推出合理结论，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；（4）回顾反思解题过程．【典例展示】【题型一】探索直线、曲线间的位置关系问题【例1】已知椭圆C :2233x y +=，过点()1,0D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅱ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．【解析】（Ⅰ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -．直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--．令3x =，得1(3,2)M y -．所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-．（Ⅱ）直线BM 与直线DE 平行．证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅰ）可知1BM k =．高考热点题型又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以BM DE ．当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--．令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--．由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=．直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=- 因为()()()()()()()11122121131232132k x x k x x x x k x x BM -+--------=--()()()()12122112332k x x x x x x --++-⎡⎤⎣⎦=--()()()222221331213131332k k k k k x x ⎛⎫-+-+- ⎪++⎝⎭=--0=，所以D 1k k BM E ==．所以BMDE ．综上可知，直线BM 与直线DE 平行．【思维导图】【特别点拨】围绕点的坐标确定是解答本题的关键．1．已知圆C 的圆心为)3)(0,(<m m C ，半径为，圆C 与椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>有一个交点为(3,1)A ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点P 的坐标为()4,4，试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线1PF 的方程；若不能，请说明理由．1．【解析】（1）由已知可设圆C 的方程为22()5(3)x m y m -+=<，将点A 的坐标代入圆C 的方程，得22(3)15m -+=，即2(3)4m -=，解得1m =或5m =.∵3m <，∴1m =，∴圆C 的方程为22(1)5x y -+=.(2)依题意，可得直线1PF 的方程为(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=. 若直线1PF 与圆C 相切，则251k =+0112442=+-∴k k ，解得112k =或12k = .当112=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为36011>，不合题意，舍去．当12=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为－4， ∴124,(4,0),(4,0)c F F =-，∴由椭圆的定义得2222122||||(34)1(34)152262a AF AF =+=+++-+=+=∴32a =，即218a =，2222b a c =-=．直线1PF 能与圆C 相切，直线1PF 的方程为240x y -+=，椭圆E 的方程为221182+=x y ．【题型二】探索与平面图形形状相关的问题【例2】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:330l x y --=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线2:1+=x y l 与椭圆C 交于H G ,两点，在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以PH PG ,为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，由1F 为线段2F Q 中点，2AQ AF ⊥，所以2,,A Q F 三点圆的圆心为()1,0F c -，半径为2c a =．又因为该圆与直线l 相切，所以3212c c c --=∴=．所以224,3a b ==，故所求椭圆方程为22143x y +=；（2）将直线2:1+=x y l 代入22143x y +=得041672=++x x ．设),(),,(2211y x H y x G ，则74,7162121=-=+x x x x ， ∴712422212121=++=+++=+x x x x y y ，∴GH 的中点)76,78(-M ，由于菱形对角线互相垂直，则1-=⋅CM PM k k ，∴1178076-=⨯---m ，解得72-=m ．即存在满足题意的点P ，且m 的值为72-．【思维导图】（13．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P Q ，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点)0,(m M ，使得以MP MQ ，为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．3．【解析】（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为)0(12222>>=+b a by a x ．因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，所以2,1===a c b ．所求椭圆方程为1222=+y x ．（Ⅱ）因为直线l 过椭圆右焦点)0,1(F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1-=x y ．设),(),,(2211y x Q y x P ．由⎩⎨⎧-==+,1,2222x y y x 得01232=-+y y ，解得31,121=-=y y ，所以32||21||||212121=-=-⋅=∆y y y y OF S POQ ．（Ⅲ）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线l 与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．由⎩⎨⎧-==+),1(,2222x k y y x 可得0224)21(2222=-+-+k x k x k ，因为0)1(8)22)(21(4162224>+=-+-=∆k k k k ，所以222122212122,214kk x x k k x x +-=+=+．设PQ y x Q y x P ),,(),,(2211的中点为),(00y x N ，所以2022021,212kk y k k x +-=+=，因为以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以MN ⊥PQ ，1-=⋅k k MN ，所以121221222-=⋅-++-=⋅k mk kk kk k MN，整理得m k k k k ++-=+-222221221， 2222221212kk k k k m +=++-=，所以)0(2122≠+=k k k m ，所以210<<m ．【题型三】探索与平面图形面积相关的问题【例3】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，短轴长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若,A B 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，,OA OB 的斜率分别为12,k k ，问是否存在非零常数λ使12k k λ⨯=时，AOB ∆的面积S 为定值？若存在，求λ的值；否则说明理由．【解析】（1）∵,222c e b a ===，∴222a b c =+，∴2,1,a b ==椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）假设存在这样的常数λ使12k k λ=时AOB S ∆为定值，设直线的方程为： ,y kx m =+且AB 与2214x y +=的交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ．因为12,k k λ=所以，()()121212120,x x y y x x kx m kx m λλ-=-+++0=，化为()221212()0k x x km x x m λ-+++=．将,y kx m =+代入2214x y +=，消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=．由韦达定理得：12x x +2814kmk-=+，12x x 224414m k -=+， ∴()221212()0k x x km x x m λ-+++=，可化为()22414k m λλ-=-．因为点O 到直线AB的距离为d =，所以121122AOBSd AB x x m ==-= 22AOBS ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭()()()()()2222222(14)41441414k k k k λλλλ⎡⎤+⋅----⎢⎥⎣⎦-+＝()()4222426416141168114k k k k λλλλ-++⋅-⨯++- 要使上式为定值，只需26411641681λλλ-+-==，得，14λ=-，此时22AOB S ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭14，即1AOB S ∆=，故存在非零常数14λ=-，此时1AOB S ∆=．【思维导图】（1（23．已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程；（2）过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于,E F 两点，点(2,0)M ，则是否存在直线l ，使EFM S △取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由．3．【解析】（1= ∴2240x x y -+=，即22(2)4x y -+=，（2）由题意知l 的斜率一定存在，不妨假设存直线l 的斜率为k ，且1122(,),(,)E x y F x y 。

探索性问题-圆锥曲线(理)答案

探索性问题分析: 圆锥曲线例1、已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249-=y ，且离心率e 满足32，e ，34成等比数列. (1)求椭圆的方程；(2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线21-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）∵34,,32e 成等比数列,∴34322⨯=e 232=e ,设),(y x p 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得99,322249)22(2222=+=+++yx y y x 化简得, 即1922=+yx 为所求的椭圆方程.（2）假设l 存在，因l 与直线21-=x 相交，不可能垂直x 轴,因此可设l 的方程为：m kx y +=.由2222,9()999y kx m y x kx m x y =+⎧++=⎨+=⎩,消去得整理得:0)9(2)9(222=-+++m kmx x k , ① 方程①有两个不等的实数根,∴22222244(9)(9)0,90k m k m m k ∆=-+->--<即. ②设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴92221+-=+kkm x x ,∵线段MN 恰被直线21-=x 平分,∴192221221-=+-+=-k km x x 即, ∵0≠k ∴kk m 292+=③ 把③代入②得0)9()29(222<+-+kkk,∵092>+k ,∴229104k k+-<,∴32>k,解得3>k 或3-<k .∴直线l 的倾斜角范围为)32,2()2,3(ππππ .例2、抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和相切的圆，（Ⅰ）求定点N 的坐标；（Ⅱ）是否存在一条直线l 同时满足下列条件：① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ； ② l 被圆N 截得的弦长为2．解：（1）因为抛物线px y 22=的准线的方程为2-=x ，所以4=p ，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N 的坐标为)0,2(。

2012年高考各省理科数学【圆锥曲线】试题解析分类汇编

2012年高考各省理科数学【圆锥曲线】解析分类汇编一、选择题1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y ab-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.3B2C.D.【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(ac bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,by a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bc a x bc bcy --=-，令0=y ，得)1(22ba c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223c a =，所以26=e 。

故选B2.【2012高考新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=yx m，所以双曲线方程为422=-yx ，即14422=-yx，所以2,42==a a，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12()B23()C 34()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2012高考四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2012年 .高考真题数学试题(文)解答题汇编--圆锥曲线

2012年 .高考真题数学试题（文）解答题汇编—圆锥曲线20. （2012年广东文科卷）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1（-1,0），且点P （0,1）在C 1上。

（1）求椭圆C 1的方程；（2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2=4x 相切，求直线l 的方程。

19. （2012年陕西文科卷）（本小题满分12分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率.（Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA = ，求直线AB 的方程.11.（2012重庆文科卷）（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ，线段的中点分别为21,B B ，且△21B AB 是面积为4的直角三角形。

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过做直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程20. （2012安徽文科卷）（本小题满分13分）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值.（19）（2012北京文科卷）(本小题共14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2，直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）当AMN ∆的面积为3时，求k 的值。

2012年高考试题分项版解析数学理科专题10 圆锥曲线教师版

2012年高考试题解析数学（理科）分项版10 圆锥曲线:一、选择题22yx0)b??1(a?E:?FF的左、右焦4)设是椭圆1.(2012年高考新课标全国卷理科2122baa3PFF30?x EP的离心率为的等腰三角形，则为直线上一点，是底角为点，?122）（??12)(D((B)C(A))?23?x CC与抛物8)等轴双曲线轴上，的中心在原点，焦点在2.(2012年高考新课标全国卷理科2C x?16y3AB?4BA,）线的准线交于；则的实轴长为（两点，222?)BD)((C)(A)(?22yx21??xy12?双曲线(2012年高考福建卷理科8)3.的焦点重合，线的右焦点与抛物2 b4）则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（542C．3 B A．．D．522yx4．(2012年高考浙江卷理科8)如图，F，F分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右1 2122ab焦点，B是虚轴的端点，直线FB与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平1分线与x轴交于点M．若|MF|＝|FF|，则C的离心率是212326．BA ．3． D C ．32的离心率为，双曲线：C(20125.年高考山东卷理科10)已知椭圆x2-y2＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为2x?4yBA,OF点的直线交抛物线于9)过抛物线的焦点两点，6.(2012年高考安徽卷理科3AF?AOB?）,则是原点，若的面积为（2322))C((A)D(B() 22:Zxxk.]来源22yx7. (2012年高考湖南卷理科5)已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的22ba渐近线上，则C的方程为22222222yxyxyyxx A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=120520802020805[w~#ww.zz&st^ep.【答案】A:Z#xx#k.]来源22yxc2c?10,c?5.=1的半焦距为，则-C 【解析】设双曲线：22ba bbx?1??y?2a?2b. 又C （，点P 2,1，即的渐近线为的渐近线上，C ）在aa22yx22255,b??a?2ba?c??=1.，的方程为又，-C520【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.x O，并且经8)已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点8. (2012年高考四川卷理科M(2,y)|OM|?3M（过点。

2012年高考圆锥曲线大题及答案

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(培根)2012年高考圆锥曲线大题专练抚松一中崔荥1.(2011新课标)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB ∥OA，MA AB MB BA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．2.（2011北京）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB表示为m 的函数，并求AB的最大值.3.（2011辽宁）如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D 。

（I ）设12e =，求BC 与AD的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由4.（2010新课标）设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，且2AF ,AB,2BF 成等差数列.（Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB=,求E 的方程.5.（2011江西）000(,)()P x y x a ≠±是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15。

（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率未1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足，求λ的值。

6.（2011安徽）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足BQ QA λ=uu u r uu r，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=u u u r u u u r,求点P 的轨迹方程。

2012年高考圆锥曲线

2012年高考真题数学圆锥曲线一、选择题1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.BD. 2.【2012高考新课标8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B C/4 ()D 83.【2012高考新课标4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 C 34 ()D 454.【2012高考山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 6.【2012高考湖南5】已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17.【2012高考福建8】已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A.B. C.3 D.58.【2012高考安徽9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（）()A 2()B C2()D 9.【2012高考全国卷3】椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 10.【2012高考全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45二、填空题13.【2012高考四川15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。

2012年.火热上线的高考真题数学试题(理)解答题汇编--圆锥曲线解答题

2012年高考真题数学试题（理）解答题汇编--圆锥曲线（20）（2012安徽理科卷）（本小题满分13分）如图，12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q ；（I ）若点Q 的坐标为(4,4)；求椭圆C 的方程；（II ）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点。

19．(2012北京卷理)（本小题共14分）1. （2012福建卷理科）（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。

过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8。

（Ⅰ）求椭圆E 的方程。

（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相较于点Q 。

试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

20．（2012广东卷理科）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的离心率e=C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程（2）在椭圆C上，是否存在点(,)M m n，使得直线:1l mx ny+=与圆22:1O x y+=相交于不同的两点A、B，且O A B∆的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB∆的面积；若不存在，请说明理由．21.（2012湖北卷理科）（本小题满分13分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D 是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。

2012高考真题文科数学专题训练：圆锥曲线

A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一
个交点， F1 A F2 =60°. （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ，求 a, b 的值.
焦点为 F1 (1, 0) ，且点 P(0,1) 在 C1 上. （1）求椭圆 C1 的方程；（ 2 ）设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 ：
（B）
x2 y 2 1 12 8 x2 y 2 1 12 4
（C）
（D）
9. （2012· 上海· 16· 5 分）对于常数 m 、 “ mn 0 ” n，是“方程 mx ny 1的曲线是椭圆”的
2 2
14. （2012· 辽宁· 15· 5 分）已知双曲线 x
2

y =1,
8.（2012·四川·11·5 分）方程 ay b x c 中的 a, b, c {2,0,1, 2,3} ，且 a, b, c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（A）28 条（B）32 条（C）36 条（D）48 条
1 / 11
x2 y 2 1 16 12 x2 y 2 1 8 4
y 2 4 x 相切，求直线 l 的方程.
4 / 11
x2 y2 23.（2012·北京·19·14 分）已知椭圆 C： 2 + 2 a b
=1 （a＞b＞0）的一个顶点为 A（2,0），离心率为直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N （Ⅰ）求椭圆 C 的方程（Ⅱ）当△AMN 的面积为
（C）（D） 3. （ 2012 · 山东 · 11 · 5 分）已知双曲线 C1 ：

2012年高考真题理科数学解析分类汇编10圆锥曲线

2012年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线一、选择题1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C：22221x y a b -=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.BD. 【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(ac bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,by a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b c a x b c b c y --=-，令0=y ，得)1(22b ac x +=，所以c b a c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223c a =，所以26=e 。

故选B 2.【2012高考新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（）()A ()B()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C. 4.【2012高考四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2012高考数学圆锥曲线精选(含答案)

2012年高考数学---圆锥曲线与方程一、选择题1 ．（2012年高考（山东理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为（）A ．22182x y +=B ．221126x y += C ．221164x y += D ．221205x y += 2 ．（2012年高考（山东文））已知双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为（）A ．2x y =B ．2x y =C ．28x y =D ．216x y =3 ．（2012年高考（浙江文））如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A ．3B ．2C D4 ．（2012年高考（浙江理））如图,F 1,F 2分别是双曲线C:22221x y a b-=(a ,b >0)的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是（）A BC D 5 ．（2012年高考（辽宁文））已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为（） A ．1 B ．3 C ．-4 D ．-8 6 ．（2012年高考（四川文））已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM = （）A ．B ．C ．4D ．7 ．（2012年高考（课标文））等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点,||AB =则C 的实轴长为（）AB ．C ．4D ．88 ．（2012年高考（课标文））设1F ,2F 是椭圆E :2222x y a b+=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,△21F PF 是底角为030的等腰三角形,则E 的离心率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．459 ．（2012年高考（江西文））椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为（）A ．14B C ．12D10 ．（2012年高考（湖南文））已知双曲线C :22x a -22y b=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为（）A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =1[w~、ww.zz&st^@]11 ．（2012年高考（福建文））已知双曲线22x a-25y =1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于A14B ．4C ．32D ．4312．（2012年高考（大纲文））已知12,F F 为双曲线222x y -=的左,右焦点,点P 在C上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= （）A ．14 B ．35 C ．34D ．4513．（2012年高考（大纲文））椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（）A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y +=14 ．（2012年高考（新课标理））等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,AB =则C 的实轴长为（）A B ．C ．4D ．815 ．（2012年高考（新课标理））设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P为直线32ax =上一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4516 ．（2012年高考（四川理））已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM = （）A ．B ．C ．4D ．17 ．（2012年高考（上海春））已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则 [答]（）A ．1C 与2C 顶点相同.B ．1C 与2C 长轴长相同. C ．1C 与2C 短轴长相同.D ．1C 与2C 焦距相等.18 ．（2012年高考（湖南理））已知双曲线C :22x a -22y b=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为（）A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =119 ．（2012年高考（福建理））已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A B ．C ．3D ．520 ．（2012年高考（大纲理））已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点,点P 在C上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= （）A ．14B ．35 C ．34D ．4521．（2012年高考（大纲理））椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 22．（2012年高考（安徽理））过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为（）A ．2BC ．2D ．二、填空题23．（2012年高考（天津文））已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线,且1C 的右焦点为F ,则a =______,b =_______.24．（2012年高考（重庆文））设P 为直线3by x a=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> 左支的交点,1F 是左焦点,1PF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率e =___25．（2012年高考（四川文））椭圆2221(5x y a a +=为定值,且a >的的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,FAB ∆的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______.26．（2012年高考（陕西文））右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.27．（2012年高考（辽宁文））已知双曲线x 2- y 2=1,点F 1,F 2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若P F 1⊥PF 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________.28．（2012年高考（安徽文））过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,若||3AF =,则||BF =______29．（2012年高考（天津理））己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩(t 为参数),其中>0p ,焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点M 作的垂线,垂足为E ,若||=||EF MF ,点M 的横坐标是3,则=p _______.30．（2012年高考（重庆理））过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =_____________________. 31．（2012年高考（四川理））椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.32．（2012年高考（上海春））抛物线28y x =的焦点坐标为_______.33．（2012年高考（陕西理））右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽____米. 34．（2012年高考（辽宁理））已知P ,Q 为抛物线22x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P 、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于A ,则点A 的纵坐标为__________.35．（2012年高考（江西理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 36．（2012年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为____. 37．（2012年高考（湖北理））如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则 (Ⅰ)双曲线的离心率e =________;(Ⅱ)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________. 38．（2012年高考（北京理））在直角坐标系xoy 中,直线l 过抛物线24y x=的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________. 三、解答题 39．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)xy已知椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为12,F F ,线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ,且△12AB B 是面积为4的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;(Ⅱ)过1B 作直线交椭圆于,P Q ,22PB QB ⊥,求△2PB Q 的面积40．（2012年高考（浙江文））（本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P （1，12）到抛物线C ：2y =2px （P ＞0）的准线的距离为54。

2012年高考真题文科数学解析汇编：圆锥曲线

2012高考试题分类汇编：8：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C. 2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（）【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 283x y = (B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D【解析】抛物线的焦点 )2,0(p ，双曲线的渐近线为x a b y ±=，不妨取x aby =，即0=-ay bx ，焦点到渐近线的距离为2222=+⨯b a p a ，即c b a ap 4422=+=，所以4pa c =双曲线的离心率为2=a c ，所以24==pa c ，所以8=p ，所以抛物线方程为y x 162=，选D. 4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 【答案】C【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.5.【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【答案】C【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 6.【2012高考浙江文8】如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

∴
22
22m1mm1
22222
宽4米，水位下降1米后，水面宽米.
【答案】26 .
第- 6 -页共27页
【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的
2
坐标为（2，-2）.设抛物线方程为x2py
，带入点A得p1，设水位下降1米后水面与
2
桥的交点坐标为(x,3)，则23,06
x0x，所以水面宽度为26.0
12.【2012高考真题重庆理14】过抛物线
据余弦定理得
22
(22)(42)143
cosF1PF,选C.
2
4
22242
9.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该
撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为
【答案】3
2
【解析】由y4x
可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为
【答案】3
【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查
推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.
【解析】当直线xm过右焦点时FAB的周长最大，m1；
将x1带入解得
3
y；所以
2
13
S23.
FAB
22
11.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面
【答案】C
2y2mm
【解析】设等轴双曲线方程为x(0)，抛物线的准线为x4，由AB43,
2y
2
则y23,把坐标(4,23)代入双曲线方程得mx16124，所以双曲线方

高中数学考前归纳总结圆锥曲线中的探索性问题

即
k
2
(
3
8k 2 4k
2
2)
8k2 3 4k2
2m
0，
由已知条件知 k
0且 k
R,
m
k2 3 4k 2
1
1
,0 m
3 k2 4
4
故存在满足题意的点 P 且 m的取值范围是 (0, 1 ) 。 4
2. 直线 l 与椭圆 y 2 4
x2
1 交于 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) 两点，已知 m
k( x1 x2 2) ，
若存在点 P ( m,0) ，使得以 PM,PN为邻边的平行四边形是菱形，
由于菱形对角线垂直，所以 (PM PN).MN 0
又 PM PN (x1 m, y2 ) (x1 m, y2 ) (x1 y2 2m, y1 y2 )
MN 的方向向量是 (1,k ) ，故 k( y1 y2 ) x1 x2 2m 0 ，则 k2 (x1 x2 2) x1 x2 2m 0，
例 4、已知 B、C 是曲线 C： y2 4( x 1) 上不同两点，满足 OB OC ( 0, R) ，在
x 轴上是否存在点 A( m, 0) ，使得 AB AC ，若存在，求出实数
若不存在，说明理由。解：设 BC : x ky 设 B（ x 1,y 1）,C （ x 2,y 2）
m 的取值范围；
1 |t | 2
( x1
x2 )2
4 x1 x1
| t | 4k 2 4t 2 16 k2 4
4t 2 1
2|t |
所以 AOB 的面积为定值 .
x m , m R . 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ，问直线 l 与抛

2012年高考训练题(07)探索性问题答案

2012年高考训练题（27）探索性问题2011．12. 111．集合A ＝｛x |11+-x x ＜0｝，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件，则b 的取值范围是（）A.－2≤b ＜0B.0＜b ≤2C.－3＜b ＜－1D.－1≤b ＜21．D 提示：由题意得：A ：-1<x<1,B:b-a<x<a+b ．由”a=1”是“≠⋂B A ￠”的充分条件．则A ：-1<x<1与B: b-1<x<1+b 交集不为空．所以-2<b<2，检验知:21<≤-b 能使≠⋂B A ￠．故选D ．2．（06年安徽）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A.430x y --= B.450x y +-= C.430x y -+= D.430x y ++= 2． A 提示：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A ．3．等比数列的前三项1a ，2a ，3a 的和为定值m （m ＞0），公比q ＜0，令t=1a 2a 3a ，则t 的取值范围为（）A.[)0,3m -B.[)+∞-,3mC.（0，m 3）D.(3,m ∞-)3．A 提示：m ＝1a ＋2a ＋3a ＝0)1(212111>++=++q q a q a q a a ，∵1＋q+q 2>0，故a 1>0，∴t=1a 2a 3a =331q a <0．选A4．已知函数f(x)=|x 2－2a x+b|(x ∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；③若a 2-b 2≤0,则f(x)在区间[)+∞,0是增函数；④f(x)的最大值是｜a 2-b |．其中正确命题是（） A.①② B.②③ C.①③ D.③4．D 提示：当a ≠0时，f(x)不可能是偶函数，①错；｜a 2-b |既不是最大值也不是最小值，④错；若f(x)=|x2-2|有f(0)=f(2)，但不关于直线x=1对称，②错；故只能是③对．选 D5．给出下列三个命题：① 若1a b ≥>-，则11a b ab≥++；② 若正整数m 和n 满足m n ≤，则2n ≤；③ 设()11,P x y 是圆221:9O x y +=上的任意一点，圆2O 以(),Q a b 为圆心，且半径为1．当()()22111a x b y -+-=时，圆1O 与2O 圆相切．其中假命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3 5．B 提示：① 用“分部分式”判断，具体：111111111111a b ababab≥⇔-≥-⇔≤++++++，又1110a b a b ≥>-⇔+≥+>知本命题为真命题．② 用基本不等式：222xy x y ≤+（,x y R +∈），取x =，x =知本命题为真．③ 圆1O 上存在两个点A 、B 满足正弦1AB =，所以P 、2O 可能都在圆1O 上，当2O 在圆1O 上时，圆1O 圆2O 相交．故本命题假命题．本题答案选B6 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( )①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β． A. ①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④ 6 B 提示： ①l ⊥α且α∥β⇒l ⊥β,m ⊂β⇒l ⊥m ②α⊥β且l ⊥α⇒l ∥β,但不能推出l ∥m ③l ∥m ,l ⊥α⇒m ⊥α,由m ⊂β⇒α⊥β ④l ⊥m ,不能推出α∥βx+y+答案 B7．（2004年北京）已知三个不等式：0,0,0>->->bdacadbcab（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.37．D提示：若0,0,0>-=->->abadbcbdacadbcab则，∴0,0>-⇒>->bdacadbcab；若0,0,0>->->abadbcbdacab则，,0,0,0,0,0,0>⇒>->->∴>->->->-⇒>->>-∴abbdacadbcababadbcbdacadbcadbcbdacabadbc即则若即故三个命题均为真命题，选D．8．（06年广东）在约束条件24xyy x sy x≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s≤≤时，目标函数32z x y=+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B.[7,15]C. [6,8]D. [7,8]8．D提示：画出可行域如图所示,当34s≤<时, 目标函数32z x y=+在点(4,24)B s s--处取得最大值, 即max3(4)2(24)4[7,8)z s s s=-+-=+∈;当45s≤≤时, 目标函数32z x y=+在点(0,4)E处取得最大值,即max30248z=⨯+⨯=,故[7,8]z∈,从而选D;9．观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=43,sin215°+cos245°+sin15°²cos45°=43，写9．sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=43提示由50°–20°=(45°–15°)=30°，可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°10．已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a｜=3,｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c10．a =–3c –23b解析如图–a 与b ，c 的夹角为60°,且|a |=|–a |=3 由平行四边形关系可得–a =3c +23b,∴a =–3c –23b11．抛物线12sin 22+-=θx x y （θ为常数）的顶点在椭圆1422=+y x 上，这样的抛物线有＿＿＿＿＿条．11．4 提示：顶点（2cos,2sin2θθ）在椭圆上，∴12cos42sin42=+θθ，21,02cos±=θ．∴23,212sin±±=θ，答案：4条．12．设x 、y 、z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是＿＿＿＿＿．（只需写出一个条件即可）12．x 为直线，y 、z 为平面提示：由线面垂直及平行的知识可知，当x 为直线，y 、z 为平面，由x ⊥平面z ，且平面y ⊥平面z ，则直线x ∥平面y ；当x 、y 为直线，z 为平面，由直线x ⊥平面z ，且直线 y ⊥平面z ，则直线x ∥直线y ；当x 、y 为平面，z 为直线，由直线z ⊥平面x ，且直线 z ⊥平面y ，则平面x ∥平面y ；综上，符合条件的有：①x 为直线，y 、z 为平面；②x 、y 为直线，z 为平面； ③x 、y 为平面，z 为直线，任填一种情况都行．13．如图，三条直线a 、b 、c 两两平行，直线a 、b 间的距离为p ，直线b 、c 间的距离为2p ，A 、B 为直线a 上两定点，且｜AB ｜=2p ，MN 是在直线b 上滑动的长度为2p 的线段.（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN 的外心C 的轨迹E ；（2）当△AMN 的外心C 在E 上什么位置时，d +｜BC ｜最小，最小值是多少？（其中d 是外心C 到直线c 的距离）.命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C 点位置需要一番分析.技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C 所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.解：（1）以直线b 为x 轴，以过A 点且与b 直线垂直的直线为y 轴建立直角坐标系.设△AMN 的外心为C (x ,y )，则有A (0,p )、M （x –p ,0)，N (x +p ,0)，由题意，有｜CA ｜=｜CM ｜ ∴2222)()(y p x x p y x ++-=-+,化简，得x 2=2py它是以原点为顶点，y 轴为对称轴，开口向上的抛物线. （2）由（1）得，直线C 恰为轨迹E 的准线.由抛物线的定义知d =｜CF ｜，其中F （0,2p ）是抛物线的焦点.∴d +｜BC ｜=｜CF ｜+｜BC ｜由两点间直线段最短知，线段BF 与轨迹E 的交点即为所求的点直线BF 的方程为p x y 2141+=联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=pyx p x y 221412得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.16179)171(41p y p x . 即C 点坐标为(p p 16179,4171++).此时d +｜BC ｜的最小值为｜BF ｜=p 217.14．已知函数1)(2++=axc bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)＞52.（1）求函数f (x )的解析式；（2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.错解分析：不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；忽视b 为自然数而导致求不出b 的具体值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解.技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.解：（1）∵f (x )是奇函数 ∴f (–x )=–f (x )，即1122++-=++-ax c bx axc bx∴–bx +c =–bx –c ∴c =0∴f (x )=12+ax bx由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0，当x ＞0时，f (x )＞0∴f (x )的最大值在x ＞0时取得. ∴x ＞0时，22111)(ba bxx b a x f ≤+=当且仅当bxx ba 1=即ax 1=时，f (x )有最大值21212=ba ∴2ba =1,∴a =b2①又f (1)＞52，∴1+a b ＞52,∴5b ＞2a +2 ②把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得21＜b ＜2又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=12+x x（2）设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于点（1，0）对称， P (x 0,y 0)则Q （2–x 0,–y 0)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+02002001)2(21y x x y x x ,消去y 0，得x 02–2x 0–1=0解之，得x 0=1±2,∴P 点坐标为(42,21+)或(42,21--)进而相应Q 点坐标为Q （42,21--）或Q (42,21+).过P 、Q 的直线l 的方程：x –4y –1=0即为所求.15．（05湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N*，且x1＞0．不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn 成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．（1）求xn+1与xn 的关系式；（2）猜测：当且仅当x1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（3）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn ＞0，n ∈N*，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论．15．解（1）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn ，被捕捞量为bxn ，死亡量为.(**)*),1(.(*)*,,1212N n cx b a x x N n cx bx ax x x cx n n n n n n n n n ∈-+-=∈--=-++即因此（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn 恒等于x1， n ∈N*，从而由（*）式得..0*,,0)(11cb a x cx b a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于因为x1>0，所以a>b ．猜测：当且仅当a>b ，且c ba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变．（3）若b 的值使得xn>0，n ∈N*由xn+1=xn(3－b －xn), n ∈N*, 知0<xn<3－b, n ∈N*, 特别地，有0<x1<3－b ．即0<b<3－x1．而x1∈(0, 2)，所以]1,0( b 由此猜测b 的最大允许值是1．下证当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn ∈(0, 2), n ∈N*①当n=1时，结论显然成立．②假设当n=k 时结论成立，即xk ∈(0, 2), 则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0．又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk －1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立．由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有xn ∈(0,2)．综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n ∈N*，则捕捞强度b 的最大允许值是1．注：探索题无大小，能做多少是多少！。

高考数学圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题含答案解析

圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.解题秘籍(一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1.解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．2.存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定．1(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点2,-3,两条渐近线的夹角为60°,直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2,是否存在x轴上的定点M m,0,使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在,求实数m的值；若不存在,请说明理由.2(2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(b >a >0)的右焦点为F c ,0 ,从①虚轴长为23；②离心率为2；③双曲线C 的两条渐近线夹角为60°中选取两个作为条件,求解下面的问题.(1)求C 的方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,记△AOB ,△FOB 面积分别为S 1,S 2,若S1S 2=3+1,求直线l 的方程.(注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.)(二)是否存在型探索性问题求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.3(2022届天津市南开中学2高三上学期检测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且F 2也是抛物线E ：y 2=4x 的焦点,P 为椭圆C 与抛物线E 在第一象限的交点,且PF 2 =53．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =k x -1 与椭圆C 交于R ,S 两点,问是否在x 轴上存在一点T ,使得当k 变动时,总有∠OTS =∠OTR ？说明理由．(三)探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程y =kx +t ,然后根据已知条件确定k ,t 的关系式,再判断直线是否过定点.4(2022届北京市房山区高三上学期期末)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,A ,B 分别为椭圆E 的上、下顶点,且AB =2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于M ,N (不与点A ,B 重合)两点,若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,判断直线l 是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.(四)探索结果是否为定值此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.5(2022届云南省三校高三联考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点A a 3,a 3 ,B 2,32 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点,设P ,M ,N 是椭圆E 上异于顶点的三点且满足OP=x 0OM +y 0ON ．探讨OM 2+ON2是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由．6(2022届天津市耀华中学高三上学期月考)已知O 为坐标原点,双曲线C 1:y 2a 21-x 2b 21=1a 1>0,b 1>0 和椭圆C 2:x 2a 22+y 2b 22=1a 2>b 2>0 均过点T 1,233 且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1,C 2的方程；(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB|？证明你的结论；(3)椭圆C 2的右顶点为Q ,过椭圆C 2右焦点的直线l 1与C 2交于M 、N 两点,M 关于x 轴的对称点为S ,直线SN 与x 轴交于点P ,△MOQ ,△MPQ 的面积分别为S 1,S 2,问S1S 2是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．(六)探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.7已知定理：如果二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0与直线mx +ny +q =0(q ≠0)有两个公共点P 、Q ,O 是坐标原点,则OP ⊥OQ 的充要条件是(A +C )q 2-(mD +nE )q +(m 2+n 2)F =0.(1)试根据上述定理,写出直线l :x +2y -3=0与圆C :x 2+y 2+x -6y +c =0相交于P ,Q ,坐标原点为O ,且OP ⊥OQ 的充要条件,并求c 的值；(2)若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与直线mx +ny +q =0相交两点P 、Q ,而且OP ⊥QQ ,试判断直线PQ 与圆x 2+y 2=11a2+1b2的位置关系,并说明理由.(七)探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲线的类比8设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A1,32到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为k PM、k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线x2a2-y2b2=1写出具有类似特性的性质,并加以证明．(八)不良结构问题近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.9在①PF=x0+1,②y0=2x0=2,③PF⊥x轴时,PF=2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答．问题：已知抛物线C:y2=2px p>0在抛物线C上,且．的焦点为F,点P x0,y0(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求△ABF的面积．跟踪检测1(2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C 经过点F 1,0 ,且与直线x =-1相切,记动圆C 圆心的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)已知P 4,y 0 y 0>0 是曲线E 上一点,A ,B 是曲线E 上异于点P 的两个动点,设直线PA ､PB 的倾斜角分别为α､β,且α+β=3π4,请问：直线AB 是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.2(2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆O ：x 2+y 2=16,点A (6,0),点B 为圆O 上的动点,线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设T (2,0),过点T 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于E 、F 两点．(i )过点T 作与直线l 垂直的直线m 交曲线C 于G 、H 两点,求四边形EGFH 面积的最大值；(ii )设曲线C 与x 轴交于P 、Q 两点,直线PE 与直线QF 相交于点N ,试讨论点N 是否在定直线上,若是,求出该直线方程；若不是,说明理由．3(2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中)己知双曲线C :x 2-y 2=1,过点T (t ,0)作直线l 和曲线C 交于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的焦点和它的渐近线；(2)若t =0,点A 在第一象限,AH ⊥x 轴,垂足为H ,连结BH ,求直线BH 斜率的取值范围；(3)过点T 作另一条直线m ,m 和曲线C 交于E ,F 两点.问是否存在实数t ,使得AB ⋅EF =0和AB=EF同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t 的取值集合；如果不存在,请说明理由.4(2023届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考)设点P 为圆C :x 2+y 2=4上的动点,过点P 作x 轴垂线,垂足为点Q ,动点M 满足2MQ =3PQ(点P 、Q 不重合)(1)求动点M 的轨迹方程E ；(2)若过点T 4,0 的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点,定点N 为1,32,直线NA 的斜率为k 1,直线NB 的斜率为k 2,试判断k 1+k 2是否为定值．若是,求出该定值；若不是,请说明理由．5(2023届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22,过坐标原点O的直线交椭圆E于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC.当C为椭圆的右焦点时,△PAC的面积为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点,试问：∠APB是否为定值,若是,求出这个定值；若不是,说明理由.6(2023届云南省部分重点中学高三上学期10月份月考)已知抛物线C：y2=2px p>0的焦点为F,点D x0,2在抛物线C上,且DF=2．(1)求抛物线C的标准方程．(2)直线l：x=my+t与抛物线C交于A,B两点,点P-4,0,若∠APO=∠BPO(O为坐标原点),直线l 是否恒过点M？若是,求出定点M的坐标；若不是,请说明理由．7(2023届上海市高桥中学高三上学期9月月考)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,动点G 到F 1-3,0 ,F 23,0 的两点的距离之和为4．(1)试判断动点G 的轨迹是什么曲线,并求其轨迹方程C ．(2)已知直线y =k x -3 k >0 与圆F 2:x -3 2+y 2=14交于M 、N 两点,与曲线C 交于P 、Q 两点,其中M 、P 在第一象限,d 为原点O 到直线l 的距离,是否存在实数k ,使得T =NQ -MP ⋅2d 2取得最大值,若存在,求出k 和最大值；若不存在,说明理由．8(2022届广东省潮州市高三上学期期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63,以原点O 为圆心,椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x -2y +6=0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ,B 为动直线y =k (x -2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点,问：在x 轴上是否存在定点E ,使得EA 2 +EA ⋅AB为定值？若存在,试求出点E 的坐标和定值；若不存在,请说明理由．9(2022届河北省深州市高三上学期期末)已知抛物线C :y 2=4x ,点F 为C 的焦点,过F 的直线l 交C 于A ,B 两点．(1)设A ,B 在C 的准线上的射影分别为P ,Q ,线段PQ 的中点为R ,证明：AR ∥FQ ；(2)在x 轴上是否存在一点T ,使得直线AT ,BT 的斜率之和为定值？若存在,求出点T 的坐标；若不存在,请说明理由．10已知椭圆E :y 2a2+x 2=1a >1 的离心率为32,圆A :x 2+y -a 2=r 2r >0 与椭圆E 相交于B ,C 两点.(1)求AB ⋅AC的最小值；(2)若F 1,F 2分别是椭圆E 的上、下焦点,经过点F 1的直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,则△OF 2N 与△OF 2M 的面积之和是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及此时直线l 的方程；若不存在,请说明理由.11(2022届北京一六一中学高三12月测试)已知椭圆C :x 2m +y 22=1(m >2)上一点与椭圆C 的两个焦点构成的三角形周长为42+26．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (2,1)作x 轴的垂线l ,设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上(点A 不在直线l 上),点A 关于l 的对称点为A ,直线A P 与C 交于另一点B ．设O 为原点,判断直线AB 与直线OP 的位置关系,并说明理由．12(2023届海交通大学附属中学2023届高三上学期10月月考)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F 2,0 ,渐近线方程为y =±3x ,过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.(1)求C 的方程；(2)若直线AB 的斜率为1,求线段AB 的中点坐标；(3)点P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 在C 上,且x 1>x 2>0,y 1>0.过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |.13已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12,点1,32 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的两条切线交于点M (4,t ),其中t ∈R ,切点分别是A 、B ,试利用结论：在椭圆x 2a 2+y 2b2=1上的点x 0,y 0 处的椭圆切线方程是x 0xa 2+y 0y b2=1,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点F 2；(3)试探究1AF 2 +1BF 2的值是否恒为常数,若是,求出此常数；若不是,请说明理由．14(2023届四川省成都市高三上学期月考)如图所示, 已知A ,B 两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线AP ,BP 的交点为P ,且它们的斜率之积-14．(1)求点P 的轨迹E 的方程;(2)设点C 为x 轴上(不同于A ,B )一定点, 若过点P 的动直线与E 的交点为Q , 直线PQ 与直线x =-2和直线x =2分别交于M ,N 两点,当∠ACM =∠ACN 时,请比较∠ACP 与∠ACQ 大小并说明理由．15(2023届广东省佛山市南海区三水区高三上学期8月摸底)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线Γ上不同两点M,N同时满足下列三个条件中的两个：①|FM|+|FN|=|MN|；②|OM|=|ON|=|MN|=86；③直线MN的方程为y=6p．(1)请分析说明两点M,N满足的是哪两个条件？并求抛物线Γ的标准方程；(2)过抛物线Γ的焦点F的两条倾斜角互补的直线AB和CD交抛物线Γ于A,B,C,D,且A,C两点在直线BD的下方,求证：直线AD,BC的倾斜角互补并求直线AD,BC的交点坐标．圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.解题秘籍(一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1.解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．2.存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定．1(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1经过点2,-3 ,两条渐近线的夹角为60°,直线l 交双曲线于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点F 2,是否存在x 轴上的定点M m ,0 ,使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在,求实数m 的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)∵两条渐近线的夹角为60°,∴渐近线的斜率±b a =±3或±33,即b =3a 或b =33a ；当b =3a 时,由4a 2-9b2=1得：a 2=1,b 2=3,∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1；当b =33a 时,方程4a 2-9b2=1无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1.(2)由题意得：F 22,0 ,假设存在定点M m ,0 满足题意,则MA ⋅MB=0恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时,设l :y =k x -2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y =k x -2x 2-y 23=1得：3-k 2x 2+4k 2x -4k 2+3 =0,∴3-k 2≠0Δ=361+k 2 >0 ,∴x 1+x 2=4k 2k 2-3,x 1x 2=4k 2+3k 2-3,∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+k 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4 =1+k 2 x 1x 2-2k 2+m x 1+x 2 +m 2+4k 2=4k 2+3 1+k 2k 2-3-4k 22k 2+mk 2-3+m 2+4k 2=0,∴4k 2+3 1+k 2 -4k 22k 2+m +m 2+4k 2 k 2-3 =0,整理可得：k 2m 2-4m -5 +3-3m 2 =0,由m 2-4m -5=03-3m 2=0得：m =-1；∴当m =-1时,MA ⋅MB=0恒成立；②当直线l 斜率不存在时,l :x =2,则A 2,3 ,B 2,-3 ,当M -1,0 时,MA =3,3 ,MB =3,-3 ,∴MA ⋅MB=0成立；综上所述：存在M -1,0 ,使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时,l :y =0,则A -1,0 ,B 1,0 ,∵M m ,0 ,∴MA =-1-m ,0 ,MB=1-m ,0 ,∴MA ⋅MB=m 2-1=0,解得：m =±1；②当直线l 斜率不为0时,设l :x =ty +2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由x =ty +2x 2-y 23=1得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0,∴3t 2-1≠0Δ=123t 2+3 >0 ,∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1,∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2=ty 1+2 ty 2+2 -m ty 1+2+ty 2+2 +m 2+y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+2t -mt y 1+y 2 +4-4m +m 2=9t 2+1 3t 2-1-12t 2t -mt 3t 2-1+4-4m +m 2=12m -15 t 2+93t 2-1+2-m 2=0；当12m -153=9-1,即m =-1时,MA ⋅MB =0成立；综上所述：存在M -1,0 ,使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.2(2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(b >a >0)的右焦点为F c ,0 ,从①虚轴长为23；②离心率为2；③双曲线C 的两条渐近线夹角为60°中选取两个作为条件,求解下面的问题.(1)求C 的方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,记△AOB ,△FOB 面积分别为S 1,S 2,若S1S 2=3+1,求直线l 的方程.(注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.)【解析】(1)若选①②,可知c 2=a 2+b 2，ca =2，2b =23，解得a =1，b =3，c =2，∴C 的方程为x 2-y 23=1.若选①③,因为b >a ,∴b a=3，2b =23， ∴a =1，b =3，∴C 的方程为x 2-y 23=1.若选②③,设递增的渐近线的倾斜角为θ,可知c a =2，θ=60°，a 2+b 2=c 2 则c a =2，ba =tan θ=tan60°，a 2+b 2=c 2此时无法确定a ,b ,c(2)F (2，0),由题意知,直线l 斜率不为0,∴设直线l ：x =ty +2.由x =ty +2，x 2-y23=1，得(3t 2-1)y 2+12ty +9=0,设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),|y 1|>|y 2|,则可知3t 2-1≠0且Δ>0恒成立,y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1,∵y 1y 2>0,∴t <-33或t >33.∵S △AOB S △BOF =S △AOF -S △BOF S △BOF =S △AOF S △BOF -1=|y 1||y 2|-1=3+1,∴y 1y 2=2+3.由(y 1+y 2)2-2y 1y 2y 1y 2=10t 2+23t 2-1,得y 1y 2+y 2y 1=10t 2+23t 2-1,∴10t 2+23t 2-1=4,∴t =±3,满足t <-33或t >33.∴直线l 的方程为y =33x -233或y =-33x +233.(二)是否存在型探索性问题求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.3(2022届天津市南开中学2高三上学期检测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且F 2也是抛物线E ：y 2=4x 的焦点,P 为椭圆C 与抛物线E 在第一象限的交点,且PF 2 =53．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =k x -1 与椭圆C 交于R ,S 两点,问是否在x 轴上存在一点T ,使得当k 变动时,总有∠OTS =∠OTR ？说明理由．【解析】(1)∵F 2也是抛物线E ：y 2=4x 的焦点,∴F 21，0 ,∴c =1,且抛物线的准线方程为x =-1,设点P x 0，y 0 ,∵PF 2 =53,∴x 0+1=53,∴x 0=23,∴y 0=223=263,∴49a 2+83b2=1,∵a 2-b 2=c 2=1,解得a 2=4,b 2=3,∴椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)假设存在T t ，0 满足∠OTS =∠OTR .设R x 1，y 1 ,S x 2，y 2 ,联立y =k x -13x 2+4y 2=12,消y 整理得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-12=0,由韦达定理有x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2①,其中△>0恒成立,由∠OTS =∠OTR (显然TS ,TR 的斜率存在),故k TS +k TR =0,即y 1x 1-t +y 2x 2-t =0②,由R ,S 两点在直线y =k x -1 上,故y 1=k x 1-1 ,y 2=k x 2-1 ,代入②整理有2x 1x 2-t +1 x 1+x 2 +2t =0③,将①代入③即有：6t -243+4k 2=0④,要使得④与k 的取值无关,当且仅当“t =4“时成立,综上所述存在T 4，0 ,使得当k 变化时,总有∠OTS =∠OTR ．(三)探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程y =kx +t ,然后根据已知条件确定k ,t 的关系式,再判断直线是否过定点.4(2022届北京市房山区高三上学期期末)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,A ,B 分别为椭圆E 的上、下顶点,且AB =2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于M ,N (不与点A ,B 重合)两点,若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,判断直线l 是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.【解析】(1)由离心率为32,可得c a =32因为A ,B 为椭圆的上、下顶点,且AB =2,所以2b =2即b =1 , 又a 2=b 2+c 2解得：a =2所以椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1(2)直线l 经过定点-1,-1 ,证明如下：①当直线l 的斜率存在时,设l :y =kx +t ,(t ≠±1),由y =kx +t x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2-4=0, 则Δ=(8kt )2-4(1+4k 2)(4t 2-4)>0得：t 2<4k 2+1设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=-8kt 1+4k 2,x 1x 2=4t 2-41+4k 2, 则k AM +k AN =y 1-1x 1+y 2-1x 2=2kx 1x 2+(t -1)(x 1+x 2)x 1x 2=8k (t -1)4(t +1)(t -1)=2所以t =k -1,经检验,可满足t 2<4k 2+1,所以直线l 的方程为y =kx +k -1,即y =k x +1 -1所以直线l 经过定点-1，-1 ．②当直线l 的斜率不存在时,设l :x =m ,M (m ,y M ),N (m ,-y M ),则k AM +k AN =y M -1m +-y M -1m=2解得m =-1,此时直线l 也经过定点-1，-1 综上直线l 经过定点(-1,-1)．(四)探索结果是否为定值此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.5(2022届云南省三校高三联考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点A a 3,a 3 ,B 2,32 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点,设P ,M ,N 是椭圆E 上异于顶点的三点且满足OP=x 0OM +y 0ON ．探讨OM 2+ON 2是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由．【解析】(1)因为点A a 3,a 3,B 2,32在椭圆上,所以2a 2+34b 2=1a 29a 2+a 29b2=1,解得b 2=1,a 2=8,所以椭圆方程为x 28+y 2=1．(2)令M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则P x 0x 1+y 0x 2,x 0y 1+y 0y 2 ,所以x 0x 1+y 0x 228+x 0y 1+y 0y 2 2=1,即x 218+y 21 x 20+x 228+y 22y 20+2x 0y 0x 1x 28+2x 0y 0y 1y 2 =1．又x 218+y 21=1,x 228+y 22=1,x 20+y 20=1,所以2x 0y 0x 1x 28+2x 0y 0y 1y 2=0,即y 1y 2x 1x 2=-18,所以y 1y 2 2=-18x 1x 2 2=18x 21⋅18x 22=1-y 21 1-y 22 =1-y 21+y 22 +y 21⋅y 22,即y 21+y 22=1,又x 218+y 21=1,x 228+y 22=1,所以x 12+x 22=8,所以OM 2+ON 2=x 21+x 22+y 21+y 22=9,故OM 2+ON2为定值9．6(2022届天津市耀华中学高三上学期月考)已知O 为坐标原点,双曲线C 1:y 2a 21-x 2b 21=1a 1>0,b 1>0 和椭圆C 2:x 2a 22+y 2b 22=1a 2>b 2>0 均过点T 1,233 且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1,C 2的方程；(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB|？证明你的结论；(3)椭圆C 2的右顶点为Q ,过椭圆C 2右焦点的直线l 1与C 2交于M 、N 两点,M 关于x 轴的对称点为S ,直线SN 与x 轴交于点P ,△MOQ ,△MPQ 的面积分别为S 1,S 2,问S1S 2是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．【解析】(1)根据题意：43a 21-1b 21=1,1a 22+43b 22=1,以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形,边长为2故a 1=1,c 2=1,故a 22=b 22+1,代入计算得到b 1=3,a 2=3,b 2=2,故C 1:y 2-x 23=1,C 2:x 23+y 22=1.(2)假设存在直线方程满足条件,当直线斜率不存在时,x =3或x =-3,代入计算得到y =±2,验证不成立；当直线斜率存在时,设直线方程为y =kx +b ,则y =kx +bx 23+y 22=1,即2+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-6=0,Δ=36k 2b 2-43b 2-6 2+3k 2 =0,化简得到b 2=3k 2+2.设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y =kx +by 2-x 23=1 ,故3k 2-1 x 2+6kbx +3b 2-3=0,故x 1+x 2=-6kb3k 2-1x 1x 2=3b 2-33k 2-1,OA +OB =AB =-OA +OB ,故OA ⊥OB ,即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+b kx 2+b =0,即k 2+1 x 1x 2+kb x 1+x 2 +b 2=0,即k 2+1 3b 2-33k 2-1-6k 2b 23k 2-1+b 2=0,化简得到2b 2=3k 2+3,b 2=3k 2+22b 2=3k 2+3 方程组无解,假设不成立.故不存在直线满足条件.(3)焦点坐标为1,0 ,易知直线方程斜率不为零,设直线方程为x =my +1,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则S x 2,-y 2 ,x =my +1x 23+y 22=1 ,化简得到2m 2+3 y 2+4my -4=0,y 1+y 2=-4m 2m 2+3y 1y 2=-42m 2+3 ,直线NS 方程为：y =y 1+y 2x 1-x 2x -x 1 +y 1,取y =0得到x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=my 1+1 y 2+my 2+1 y 1y 1+y 2=2my 1y 2y 1+y 2+1=-2m ⋅42m 2+3-4m 2m 2+3+1=3,S 1S 2=OQ PQ =33-3=3+12,故S 1S 2是定值为3+12.(六)探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.7已知定理：如果二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0与直线mx +ny +q =0(q ≠0)有两个公共点P 、Q ,O 是坐标原点,则OP ⊥OQ 的充要条件是(A +C )q 2-(mD +nE )q +(m 2+n 2)F =0.(1)试根据上述定理,写出直线l :x +2y -3=0与圆C :x 2+y 2+x -6y +c =0相交于P ,Q ,坐标原点为O ,且OP ⊥OQ 的充要条件,并求c 的值；(2)若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与直线mx +ny +q =0相交两点P 、Q ,而且OP ⊥QQ ,试判断直线PQ 与圆x 2+y 2=11a2+1b2的位置关系,并说明理由.【解析】(1)由定理可知OP ⊥OQ 的充要条件为：2×(-3)2-(1-12)×(-3)+(1+4)c =0,即18-33+5c =0,∴c =3.(2)∵椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与直线mx +ny +q =0相交两点P 、Q ,∴1a 2+1b 2q 2-(m 2+n 2)=0,即1a 2+1b 2=m 2+n 2q 2.∵圆x 2+y 2=11a 2+1b 2的半径为r =11a2+1b2=q 2m 2+n 2=|q |m 2+n 2,又圆心(0,0)到直线PQ 的距离为d =|q |m 2+n2,∴d =r ,∴直线PQ 与圆x 2+y 2=11a2+1b2相切.(七)探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲线的类比8设F 1、F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A 1,32到F 1、F 2两点的距离之和等于4,写出椭圆C 的方程；(2)设K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F 1K 的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率都存在,并记为k PM 、k PN 时,那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2-y 2b 2=1写出具有类似特性的性质,并加以证明．【解析】(1)点A 1,32 在椭圆C 上,且到F 1、F 2两点的距离之和等于4,则12a2+322b 2=1,2a =4,解得a=2,b 2=3,椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)c =a 2-b 2=1,则有F 1-1,0 ,设K m ,n ,线段F 1K 的中点为x ,y ,则有x =m -12y =n2⇒m=2x+1 n=2y,又K是椭圆上的动点,则有m24+n23=1,即2x+124+2y23=1,即x+122+4y23=1.故线段F1K的中点的轨迹方程为x+1 22+4y23=1(3)类似特性的性质为：若M、N是双曲线x2a2-y2b2=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为k PM、k PN时,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．证明：设P x0,y0,M s,t,N-s,-t,则s2a2-t2b2=1,k PM=y0-tx0-s,k PN=y0+tx0+s,k PM⋅k PN=y0-tx0-s⋅y0+tx0+s=y02-t2 x02-s2,又y2=b2a2x2-b2,则k PM⋅k PN=b2a2x02-b2-b2a2s2-b2x02-s2=b2a2x02-s2x02-s2=b2a2(八)不良结构问题近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.9在①PF=x0+1,②y0=2x0=2,③PF⊥x轴时,PF=2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答．问题：已知抛物线C:y2=2px p>0的焦点为F,点P x0,y0在抛物线C上,且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求△ABF的面积．【解析】(1)解：选择条件①,由抛物线的定义可得PF=x0+p 2,因为PF=x0+1,所以x0+p2=x0+1,解得p=2,故抛物线C的标准方程为y2=4x．选择条件②,因为y0=2x0=2,所以y0=2,x0=1,因为点P(x0,y0)在抛物线C上,所以y20=2px0,即2p=4,解得p=2,所以抛物线C的标准方程为y2=4x．选择条件③．当PF⊥x轴时,PF=p2+p2=2,所以p=2．故抛物线C的标准方程为y2=4x．(2)解：设A x1,y1,B x2,y2,由(1)知F1,0．由x-y-2=0y2=4x,得y2-4y-8=0,则y1+y2=4,y1y2=-8,所以y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=16+32=43,故AB =1+112y 1-y 2 =2×43=46．因为点F 到直线l 的距离d =1-2 1+1=22,所以△ABF 的面积为12AB ⋅d =12×46×22=23．三、跟踪检测1(2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C 经过点F 1,0 ,且与直线x =-1相切,记动圆C 圆心的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)已知P 4,y 0 y 0>0 是曲线E 上一点,A ,B 是曲线E 上异于点P 的两个动点,设直线PA ､PB 的倾斜角分别为α､β,且α+β=3π4,请问：直线AB 是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.【解析】(1)设动圆圆心M x ,y ,∵动圆C 经过点F 1,0 ,且与直线x =-1相切,∴点M 的轨迹是以1,0 为焦点,直线x =-1为准线的抛物线,故其方程为y 2=4x ,∴动圆圆心C 的轨迹方程是y 2=4x ；(2)由(1)可得P 4,4 ,当直线PA ､PB 中其中一条的斜率不存在,不妨设α=π2,β=π4,易得A 4,-4 ,直线PB 的直线为y =x ,与y 2=4x 联立可得B 0,0 ,故直线AB 的方程为x +y =0；当直线PA ､PB 的斜率都存在时,故设直线PA ､PB 的斜率k 1,k 2,设A y 124,y 1 ,B y 224,y2所以k 1=y 1-414y 21-4=4y 1+4,同理可得k 2=4y 2+4,因为α+β=3π4,所以tan (α+β)=-1,所以tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-1,即k 1+k 21-k 1⋅k 2=-1,所以k 1+k 2-k 1⋅k 2+1=0,所以4y 1+4+4y 2+4-4y 1+4⋅4y 2+4+1=0,即8y 1+y 2 +y 1⋅y 2+32=0,由题意可设AB 方程为x =ty +n ,联立y 2=4x x =ty +n ,消x 整理得y 2-4ty -4n =0,所以Δ=16t 2+16n >0,y 1+y 2=4t ,y 1⋅y 2=-4n ,所以32t -4n +32=0即n =8t +8,所以x =ty +n =ty +8t +8=t (y +8)+8,令y +8=0得y =-8,x =8,此时有定点8,-8 ,综上所述,直线AB 经过定点8,-82(2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆O ：x 2+y 2=16,点A (6,0),点B 为圆O 上的动点,线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设T (2,0),过点T 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于E 、F 两点．(i )过点T 作与直线l 垂直的直线m 交曲线C 于G 、H 两点,求四边形EGFH 面积的最大值；(ii )设曲线C 与x 轴交于P 、Q 两点,直线PE 与直线QF 相交于点N ,试讨论点N 是否在定直线上,若是,求出该直线方程；若不是,说明理由．【解析】(1)设M x ,y ,B x 0,y 0 ,因为点B 在圆O 上,所以x 20+y 20=16①,因为M 为AB 中点,所以x =6+x 02y =y 02,整理得x 0=2x -6y 0=2y,代入①式中得2x -6 2+4y 2=16,整理得x -3 2+y 2=4,所以曲线C 的方程为x -3 2+y 2=4.(2)(i )因为直线l 不与x 轴重合,所以设直线l 的方程为x =my +2,即x -my -2=0,则直线GH 为mx +y -2m =0,设曲线C 的圆心到直线l 和直线GH 的距离分别为d 1,d 2,则d 1=11+m 2,d 2=m m 2+1,所以EF =24-11+m 2=24m 2-3m 2+1,GH =24-m 2m 2+1=23m 2+4m 2+1,所以S EGFH =12×24m 2+3m 2+1×23m 2+4m 2+1=212+m 2m 4+2m 2+1,当m =0时,S EGFH =43；当m ≠0时,S EGFH =212+1m 2+2+1m2≤212+12+2m 2⋅1m2=7,当且仅当m 2=1时等号成立,综上所述,四边形EGFH 面积的最大值为7.(ii )设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,联立x =my +2x -3 2+y 2=4,得m 2+1 y 2-2my -3=0,则y 1+y 2=2m m 2+1,y 1y 2=-3m 2+1,y 1y 2=-32m y 1+y 2 ,因为曲线C 与x 轴交于P ,Q 两点,所以P 1,0 ,Q 5,0 ,则直线PE 的方程为y =y 1x 1-1x -1 =y 1my 1+1x -1 ,直线QF 的方程为y =y 2x 2-5x -5 =y 2my 2-3x -5 ,联立两直线方程得x =4my 1y 2+3y 1+5y 23y 1+y 2=-6y 1-6y 2+3y 1+5y 23y 1+y 2=-3y 1-y 23y 1+y 2=-1,y =4y 1y 23y 1+y 2,所以N -1,4y 1y 23y 1+y 2,所以N 在定直线x =-1上.3(2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中)己知双曲线C :x 2-y 2=1,过点T (t ,0)作直线l 和曲线C 交于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的焦点和它的渐近线；(2)若t =0,点A 在第一象限,AH ⊥x 轴,垂足为H ,连结BH ,求直线BH 斜率的取值范围；(3)过点T 作另一条直线m ,m 和曲线C 交于E ,F 两点.问是否存在实数t ,使得AB ⋅EF =0和AB=EF同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t 的取值集合；如果不存在,请说明理由.【解析】(1)解：由曲线C :x 2-y 2=1,可得曲线C 的焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),渐近线方程y =±x ；(2)解：设l :y =kx ,A x 1,y 1 ,B -x 1,-y 1 ,H x 1,0 ,因为双曲线的渐近线为y =±x ,且点A 在第一象限,所以0<k <1,。

8.圆锥曲线中探索性问题答题模板

1 2
.过F1的直线交椭圆于A、B
两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
【第审（题2规）范问】第２步：审结论，明解题方向
【第审（题1规）范问】第３步：建联系c2
4a
8,
c a
1 2
可得a b2 3
2, 代入得E的方程椭圆方程
x2 4
y2 3
1
［教你快速规范审题流程汇总］
【第审（题1规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
观察条件：
椭圆定义及离心率公式
【第审（题1规）范问】第２步：审结论，明解题方向
［教你快速规范审题］
【典例】（2012福建高考 ·满分13分）
1 如图，椭圆E：
x2 a2
y2 b2
(a＞b＞0)的左焦点为F1，
右焦点为F2，离心率e＝
1 2
.过F1的直线交椭圆于A、B
两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

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2012高考-圆锥曲线解答题(探索性问题)圆锥曲线探索性问题包含两类题型：一是无明确结论，探索结论问题(即只给出条件，要求解题者论证在此条件下，会不会出现某个结论.)二是给定明确结论，探索结论是否存在问题．(解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．)存在性问题，其一般解法是先假设结论存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的结论，则假设存在的结论成立；否则，不成立．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．例3．(2012北京理19)（本小题共14分）已知曲线()()()22-+-=∈R．C m x m y m:528将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证．【变式训练31】(2012天津理19)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（2）若|AP |=|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足||3k >．解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1. ①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎨⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2＋4.由a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |> 3.(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2. ③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.【变式训练32】(2012 安徽理20)如图，点12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c =于点Q ；（1）如果点Q 的坐标是(4,4)；求此时椭圆C 的方程；（2）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．解：（I ）点11(,)(0)P c y y->代入22221x y a b +=得：21b y a=21204014b a PF QF c c c--⊥⇔⨯=---- ①又24a c= ②222(,,0)c a b a b c =-> ③由①②③得：2,1,3a c b ===，即椭圆C 的方程为22143x y +=．（II ）设22(,)a Q y c；则221222012b y a PF QF y ac c a cc--⊥⇔⨯=-⇔=---得：222PQba a c ka a c c-==+．222222222222221b xx y b a y b x y a b a b b xa-'+=⇒=-⇒=-过点P 与椭圆C 相切的直线斜率x cPQc k y k a=-'===．得：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．解：(1)(方法一)由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b 2a ，故直线PF 2的斜率为2PF k =b 2a －0－c －c＝－b 22ac .因为PF 2⊥F 2Q ，所以直线F 2Q 的方程为y ＝2acb2x －2ac 2b 2，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4, 2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(方法二)设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M ，由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b 2a .因为△PF 1F 2∽△F 2MQ ，所以⎪⎪⎪⎪PF 1⎪⎪⎪⎪F 2M ＝⎪⎪⎪⎪F 1F 2⎪⎪⎪⎪MQ . 即b 2a a 2c －c ＝2c ⎪⎪⎪⎪MQ ，解得⎪⎪⎪⎪MQ ＝2a . 所以⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4，a ＝2，c ＝1．故椭圆方程为x2 4＋y23＝1．(2)证明：直线PQ的方程为2222,2axy a cb aa ca c--=---即y＝ca x＋a.将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0.解得2,,bx c ya=-=所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．例4．(2012福建理19)如图，椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为1F，右焦点为2F，离心率12e=，过1F的直线交椭圆于,A B两点，且2ABF△的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线4x=相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：解法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m 、k 恒成立．因为MP →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4k m －x 1，3m ，MQ→＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP →·MQ→＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎨⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1. 故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .解法二：(1)同解法一．(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －342＝4516，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m －1，3m ，MQ→＝(3,4k ＋m )，从而MP →·MQ →＝－12k m －3＋12k m ＋3＝0，故恒有MP→⊥MQ →，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .解法三：(1)同解法一．（２）由对称性可知设0(,)(0)P x y y>与(,0)M x222020331343443434x x y y x y k y x '+=⇒=-⇒=⇒=--直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x MP MQ x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*）（*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=，得(1,0)M【变式训练4】 (2012 江西理20)已知三点(0,0)O ，(2,1)A -，(2,1)B ，曲线C 上任意一点(,)M x y 满足||()2MA MB OM OA OB +=⋅++．（1）求曲线C 的方程；（2）动点0(,)(22)Q x y x-<<在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l ．问：是否存在定点(0,)(0)P t t <，使得l 与,PA PB 都相交，交点分别为,D E ，且QAB △与PDE △的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由MA→＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，得|MA→＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2， OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程：x 2＝4y .(2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件，则直线PA 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t 2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 24，它与y 轴交点为F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－x 204.由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1.①当－1<t <0时，－1<t －12<－12，存在x 0∈(－2,2)使得x 02＝t －12，即l 与直线PA 平行，故当－1<t <0时不符合题意．②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 02，所以l 与直线PA ，PB 一定相交．分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t 2(x 0＋1－t )，x E ＝x 20＋4t2(x 0＋t －1)，则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4tx 20－(t －1)2. 又|FP |＝－x 204－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t 8·(x 20＋4t )2(t －1)2－x 20. 又S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 204＝4－x 202，于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·(x 20－4)[x 20－(t －1)2](x 20＋4t )2＝41－t ·x 40－[4＋(t －1)2]x 20＋4(t －1)2x 40＋8tx 20＋16t2. 对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QABS △PDE为常数，则t 要满足⎩⎨⎧－4－(t －1)2＝8t ，4(t －1)2＝16t 2，解得t ＝－1，此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.【点评】本题以平面向量为载体，考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中，解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程，离心率等基本性质，直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题，定点，定值，探讨性问题等；二、考查抛物线的标准方程，准线等基本性质，直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题，中点坐标公式，定点，定值，探讨性问题等；三、椭圆，双曲线，抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大，因为它们都是考纲要求理解的内容.。