2012高考-圆锥曲线解答题(探索性问题)

2012高考-圆锥曲线解答题(探索性问题)

圆锥曲线探索性问题

包含两类题型：

一是无明确结论，探索结论问题(即只给出条件，要求解题者论证在此条件下，会不会出现某个结论.)

二是给定明确结论，探索结论是否存在问题．(解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．)

存在性问题，其一般解法是先假设结论存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的结论，则假设存在的结论成立；否则，不成立．

这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．

例3．(2012北京理19)（本小题共14分）

已知曲线()()()

22

-+-=∈R．

C m x m y m

:528

将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证．

【变式训练31】(2012天津理19)

设椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点

P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点．

（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；

（2）若|AP |=|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足||3

k >．

解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．

由题意，有x 20a 2＋y 20

b

2＝1. ①

由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0

x 0－a

.

由k AP ·k BP ＝－12

，可得x 20＝a 2－2y 2

0， 代入①并整理得(a 2－2b 2)y 2

0＝0.由于y 0≠0， 故a 2＝2b 2.

于是e 2

＝a 2－b 2a 2＝12， 所以椭圆的离心率e ＝22

.

(2)证明：(方法一)

依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．

由条件得⎩⎨⎧

y 0＝kx 0，

x 20a 2＋y 20

b

2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2

k 2a 2＋b

2.② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2

＋k 2x 20＝a 2

.

整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，

于是x 0＝－2a 1＋k 2

，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫b a 2

＋4.

由a ＞b ＞0， 故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |> 3.

(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．

由点P 在椭圆上，有x 20

a 2＋k 2x 2

0b

2＝1.

因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20

a

2＜1，

即(1＋k 2)x 2

0＜a 2. ③

由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2

，

整理得(1＋k 2)x 2

0＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k

2，代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)

2

＜a 2

， 解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.

【变式训练32】(2012 安徽理20)

如图，点1

2(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆

22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

的左、右焦点，过点1

F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部

分于点P ，过点2

F 作直线2

PF 的垂线交直线2

a x c =于点Q ；

（1）如果点Q 的坐标是(4,4)；求此时椭圆C 的方程；

（2）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：（I ）点1

1

(,)(0)

P c y y

->代入

22

22

1x y a b +=得：

2

1b y a

=

2120

401

4b a PF QF c c c

--⊥⇔⨯=---- ①

又

24a c

= ②

222(,,0)

c a b a b c =-> ③

由①②③得：2,1,3a c b ===，

即椭圆C 的方程为

22

143

x y +=．

（II ）设

22(,)a Q y c

；则

2212220

12b y a PF QF y a

c c a c

c

--⊥⇔⨯=-⇔=---

得：2

22PQ

b

a a c k

a a c c

-==+．

222222222222

221b x

x y b a y b x y a b a b b x

a

-'+=⇒=-⇒=-

过点P 与椭圆C 相切的直线斜率x c

PQ

c k y k a

=-'

===．