单摆周期公式的推导与应用

单摆周期公式的推导与特殊应用
新课程考试大纲与2003年理科综合考试说明（物理部分）相比，有了很大的调整。

知识点由原来的92个增加到了131个，并删去了许多限制性的内容。

如在振动和波这一章，删去了“不要求推导单摆的周期公式”这一限制性的内容。

这就说明，新课程考试大纲要求学生会推导单摆的周期公式。

而查看《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）物理第一册（必修）》，在关于单摆周期公式的推导中也仅仅讲到单摆受到的回复力F 与其位移x 大小成正比，方向与位移x 的方向相反为止。

最后还是通过物理学家的研究才得出了单摆的周期公式。

这样一来，前面的推导似乎只是为了想证明单摆的运动是简谐运动。

一．简谐运动物体的运动学特征
作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F -=，其中k 是比例系数。

对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：
kx ma F -==，即x m
k a -
= 因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。

因为x （或F ）是变
量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。

把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k 写成2
ω得到
x dt
x d 2
2
2ω-=。

对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。

这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为T
m k πω2==
，从而得到作简谐运动物体的周期为k
m
T π
2=。

二．单摆周期公式的推导
单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。

当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。

让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。

在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。

当摆球运动到任一点P 时，重力G 沿着圆弧
切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很
小﹝如θ＜0
10﹞时，l x ≈
≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x l
mg
F -
=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，
所以l
mg 可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F -=。

因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回
复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。

把l
mg
k =代入到简谐运动物体
B
G
G
图 1
图 3
E
图 4
的周期公式，即可得到单摆的周期公式是g
l T π
2=。

三．单摆周期公式在特定条件下的应用
讨论1：单摆周期公式中的l 指的是单摆的摆长，但在特定情况下可以理解为是等效摆长。

例1．如图2所示，为一双线摆，它是在水平天花板上用两根等长的细线悬挂一个小球而构成的。

已知摆长为L ，摆线与天花板之间的夹角为θ。

求小球在垂直于纸面方向作简谐运动时的周期。

解析 小球在垂直于纸面内作简谐运动时，其等效摆长为θsin L ，所以此双线摆的周期g
T θ
π
Lsin 2=。

讨论2：单摆周期公式中的g 指的是重力加速度，而在很多特定条件下可以理解为g '——摆球在平衡位置保持相对静止．．．．时，摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力F 与摆球质量m 的比值，即m
F
g =
'，（在加速运动系统中，还应包括惯性力，惯性力的大小ma F ='，方向与系统的加速度的方向相反）此时，单摆的周期公式就变成了'
2g l
T π
=。

例2．在电场中带电摆球的摆动周期
如图3所示，长为L 的绝缘细线下端系一带电量为q +、质量为m 的小球，整个装置处于场强为E 方向竖直向下的匀强电场中，在摆角小于0
5时，求它的摆动周期。

解析 摆球所受到的力如图3所示即细线的拉力F 、 重力mg 和电场力Eq 。

当摆球在平衡位置保持相对静止．．．．时， 摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力Eq mg F +=，则
m
Eq
g m Eq mg g +
=+=
'， 摆动的周期是m
Eq g L
T +
=π
2。

若整个装置处于如图4所示的电场中，同样可以求得单摆的摆动周期为
2
2)(
2m
Eq g L T +=π。

例3． 如图5所示，求在匀加速上升的升降机内单摆的周期。

解析 设升降机匀加速上升的加速度为a ，单摆的摆长为L ，摆球的质量为m 。

图
5
图 2
当摆球在平衡位置保持相对静止．．．．
时，摆球受到的力如图5所示即摆线的拉力T 和重力G 以及惯性力ma F ='，方向与系统的加速度方向相反。

摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力ma mg F +=，
因此a g m F g +==
'，所以单摆的周期a
g L
g L T +='=π
π22。

如图6所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内，单摆的摆
长为L ，系统水平向右的加速度为a ，摆球的质量为m ，求这一单摆的周期。

解析 摆球受到摆线的拉力T 和重力G 以及惯性力ma F ='，惯性力的方向与系统的加速度方向相反。

摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力22g a m F +=，因此， 22g a g +=
'，单摆的周期2
2
2g
a L T +=π。

例4．如图7所示为一单摆，摆绳长为L ，摆球的质量为m ，摆球带有正电荷的电量为q ，在单摆的悬点处放有一带电量为Q 的正电荷，试求这一单摆的周期。

解析 摆球受到摆绳的拉力T 、重力G 和电场力F '。

其中电场力F '始终沿着摆绳的方向，当摆球在平衡位置保持相对静止．．．．时，摆球受到的外力中除去所有的始终沿着摆绳方向的力，剩余的各力沿着摆绳方向的合力mg F =，g m
F
g =='。

因此，单摆的周期是g
l T π
2=。

例5．如图8所示，单摆处在方向垂直纸面向里的磁场中，已知摆球的带电量 为q +，磁感应强度为B ，求该单摆的周期。

解析 摆球在平衡位置周围往复运动时，除了重力和拉力外，还将受到洛伦兹力的作用，而洛伦兹力的方向总是沿着摆线的方向， 摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力mg F =，g m F g ==
'。

因此，单摆的周期是g
l
T π
2=。

参考文献：
1、 顾建中《力学教程》北京人民教育出版社1980年
2、 庄盛文《中学物理教学参考》2003年第12期
3、 全日制普通高级中学教科书（试验修订本）物理第一册（必修）人民教育出版社，2001年
4、 2004年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科•新课程版）
a
图 7
图 8。