数列放缩法

数列放缩法

1. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为s n ，且1a =2，*1,4N n a a s n n n ∈⋅=+，（1）求数列{}n a 的

通项公式；（2）设数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧21n a 的前n 项和为n T ，求证：21＜＜T 44n +n n 。

2. 已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*

3212N n a a a a n b n ∈=Λ。若{}n a 为等比数列，且21

=a ，236b b +=。

（1）求数列n a 和n b 。

（2）设数列()

*11N n b a c n n n ∈-=。记数列{}n c 的前n 项和n s 。 （1）求n s ；（2）求正整数k ，使得对任意实数*N n ∈均有n k s s ≥。

3. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为s n ，满足：()

*22N n n a s n n ∈-=。 （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}()n n n T a b ,2log 2+=为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+2n n a b 的前n 项和，求证21≥n T 。

4.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为s n ，且n s 满足()()

*222,033N n n n s n n s n n ∈=+--+-。（1）求1a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有

()()()3

1＜1111112211++++++n n a a a a a a Λ。

练习：1.设数列{}()Λ,3,2,1=n a n 的前n 项和满足,21a a s n n -=且321,1,a a a +成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n T ，求使得10001＜1-n T 成立的n 的最小值。

2. n S 为数列{}n a 的前n 项和。已知n a ＞0，3422+=+n n n s a a 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设1

1+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和。

3. 数列{}n a 满足Λ,3,2,1,2

sin 2cos 1,2,122221=+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+===+n n a n a a a n n ππ。 （1）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；

（2）设n n n n n b b b s a a b Λ++==-21212,。证明：当6≥n 时，n 1＜2-n s 。

4．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12

. (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；

(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜2；

(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )

，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．