大学毕业设计---基于多目标规划的创意平板折叠桌设计数学建模

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

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以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

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）日期：2014 年9 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于多目标规划的创意平板折叠桌设计摘要有创意的平板折叠桌相对于传统的桌子来说更加美观、方便以及节省空间。

本文针对已经设计好的折叠圆桌建立模型描述折叠桌的动态变化过程，首先在此基础上确定出折叠圆桌的数学描述模型，然后通过改变敏感性参数优化该模型，最后根据优化后的参数构建新的折叠桌。

问题一是描述折叠桌在折叠过程中变化过程，首先建立适当的空间直角坐标系，分别找出桌面圆、钢筋直线、直纹面以及木条相对于竖直方向的倾斜角的数学表达式，然后建立了动态变化过程的数学模型。

最后设计算法通过matlab计算出桌腿木条的开槽长度，详见表1，并给出了桌脚边缘线的数学模型见公式(13)。

问题二是一个对客户任意给定折叠桌高度、直径，设计出同时满足产品稳固性好、加工方便以及用材最少三个目标的折叠桌的问题。

在固定钢筋的桌腿木条上，以最外侧桌腿木条长度y和钢筋到木条底端长度x为决策变量，以钢筋位置和折叠桌最外侧木条长度的变化范围为约束条件建立多目标规划模型，并采用分层序列法对目标按重要性进行排序求解。

假定平板宽度和木条厚度在第一问基础上不变的情况下，运用matlab变成求解得出平板的尺寸为173503cm cm cm⨯⨯，钢筋位置为距离平板边缘51cm处，每根木条开槽长度见表3。

问题三开发一种能根据客户任意指定的信息设计出尽量满足客户要求的折叠桌的问题，建立出了各种桌面边缘线以及桌脚边缘线的数学优化模型，详见公式(27)、(28)。

然后根据建立的模型设计出了桌面形状为椭圆、双曲线，桌脚边缘为圆弧的折叠桌。

动态变化过程的示意图见图8。

最后，我们对模型的优缺点进行评价，并针对某些缺点和假设条件提出进一步的改进思路，并将模型推广到其它生活用品以及蛋白质的折叠仿真等方面。

关键词：平板折叠桌；加工参数；直纹曲面；多目标规划一、问题重述1.1问题背景平板折叠边桌注重于表达木质品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性[1]增大面积桌面设计为圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板，桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽一保证滑动的自由度，使用者只需提起木板的两侧便可以在重力的作用下达到自动升起的效果。

桌子外形由直纹曲面[2]构成，造型美观。

1.2问题提出某公司要生产平板折叠边桌，需要我们解决以下问题：1．给定尺寸为120503⨯⨯的长方形平板，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木cm cm cm条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子高53cm。

建立模型描述此折叠折叠桌的动态变化过程以及给出折叠桌的设计加工参数（桌腿木条的开槽长度）和桌脚边缘线的数学表示。

2．折叠桌的设计要达到产品稳固性好、加工方便、用材最小三个目标。

对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，如平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

然后基于以上的要求确定桌高70cm，桌面直径80cm是得最有设计加工参数。

3．公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状的尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

需要我们给出软件设计的数学模型，然后用所建立的模型设计几个创意平板折叠桌，并且给出相应的设计加工参数，画出不少于8张动态变化过程的示意图。

二、问题分析2.1整体分析本题首先是对已经设计出的折叠桌进行分析其动态变化过程以及对应的加工参数和桌脚边缘线的形状，目的是分析清楚每个因素之间的相互关系。

然后在此基础上进行一定程度的深化，要对任意给定的高度和直径（不确定的高度和直径）的设计要求设计出满足不同对象（投资者、生产者、消费者）要求的圆形折叠桌，并确定材料和成品的最有设计加工参数。

最后要根据客户的任意要求开放性的进行设计出尽可能接近客户所期望的形状的折叠桌，会涉及到不同形状平板材料以及不同加工参数，因此需要确定一个可以适用于多种情况的数学模型。

三个问题层层递进，逐步将模型推广到与实际更加接近的情况，难度也随之增大。

2.2关键问题分析圆桌半径的确定——关键问题一圆桌的半径影响桌腿每根木条的长度以及倾斜角度，进而影响圆桌的高度，因此求出圆桌的准确半径至关重要。

圆桌半径取决于桌面上每根木条的长度，且每根长度是未知的，因此不能直接运用几何知识求解，可以采用图像处理软件找出半径。

桌腿上每根木条长度的计算——关键问题二桌腿木条的长度影响桌脚边缘的形状。

确定桌腿木条长度有两种方法。

一种是根据其与桌面上木条长度一半之和为定长的特点确定出桌腿上每根木条的长度，另外一种就是建立直角坐标系，确定出两端点的坐标，根据坐标求出两点之间的距离即是它的长度。

直纹面方程的确定——关键问题三直纹面[4]是由一簇直线生成，图中的直纹面同时在桌面圆和钢筋所在直线上运动，即直纹面始终满足桌面圆的方程和钢筋所在直线的方程。

因此直纹面就是由桌面圆和钢筋所在直线共同决定。

2.3具体问题的分析问题一的分析：折叠桌的动态变化过程即是在桌子折叠过程中形成直纹面的变化过程。

折叠过程中，桌腿每根木条与竖直方向形成的夹角发生改变，直纹面也因此改变。

但是，由于直纹面上每根木条同时在圆桌边缘和钢筋上运动，同时满足桌面边缘和钢筋所在的方程。

我们可以以此建立模型描述折叠桌的动态变化过程。

设计加工参数（开槽长度）与折叠桌的初始状态（平板）和折叠到最大程度时的状态有关，因此需要找出木条的倾斜范围。

桌脚边缘线既满足在直纹面上，又满足每根木条为直线，同时满足这两个条件的方程即是它的数学描述。

问题二的分析：钢筋的位置以及桌腿木条的张开程度影响产品的稳固性，要使产品的稳固性好，就要对分析钢筋的运动范围以及在运动范围内的最佳位置，木条的张开程度越大越稳固；木条的开槽长度影响加工的方便程度，开槽越短越方便；用料的多少受平板面积的影响，平板尺寸影响平板面积，当满足要求且面积最小时用料为最省。

最后再确定给出桌高和桌面直径后的最优加工参数。

问题三的分析：要设计一种软件能根据客户任意设定的要求进行设计，并且给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，因此所设计的软件应该具有通用性，在此基础上自己设计几个创意平板折叠桌并给出相应的加工参数，然后画出动态变化过程的示意图。

三、问题假设全文假设1.假设折叠桌腿在圆桌面的周围折叠处的部分忽略不计，不影响圆面的半径；2.假设计算过程中每根木条的厚度不计，即可以抽象成为一条直线；3.假设木板之间的缝隙很小，可以忽略不计。

问题一中的假设1.假设桌面形状为标准圆；2.假设可以忽略桌面厚度，即将桌面视为一张二维平面 问题二中的假设1.假设平板宽度就是桌面圆的直径；2.假设木条宽度和厚度与问题一一致； 问题三中的假设 假设木条宽度和厚度与问题一一致 四、符号说明 符号说明 r桌面圆的半径 θ每根木条与z 轴的夹角 h折叠桌高度 i y 第i 根木条在圆桌面上的长度 1i l 钢筋到桌面边缘区间各木条的长度w木板宽度注：由于图形的对称性，下面再讨论时只对一边的桌腿形成的直纹面进行讨论。

五、模型准备5.1确定圆桌的半径：问题一中将桌面看为一个标准圆，将每根木条与圆的交点作为像素点导入CAD 软件中，软件自动确定出圆的半径25.3r cm =。

问题二和问题三中以平板的宽度作为直径，将问题进行了简化。

5.2有宽容值的分层序列法有宽容值的分层序列法把多目标规划问题中的p 个目标按其重要程度排一个次序，假设()1f x 最重要，()2f x 次之，()3f x 再次之,,最后一个目标为()p f x ，选取一组适当的小正数1ε,,p ε，成为宽容值，于是得到有宽容值的分层序列法；()min i f x =p f *(){}12..|2,3,,i i i i i s t x R x f x f R i p ε--∈=≤*+⋂= 得最优解()p x 及最优值p f *，则在()p x x *=就是原多目标规划问题在有宽容值的分层序列意义下得最优解，12((),(),())T p F f x f x f x ****=为其最优值六、模型的建立与求解6.1 折叠桌动态变化过程、加工参数和桌脚边缘线的确定——问题一6.1.1建模原理和思想要描述折叠桌的动态变化过程即是要找出每根木条随倾斜角度变化而变化的运动轨迹，是一个空间的变化过程，需要在空间坐标系中进行分析，所以首先就需要建立适当的空间直角坐标系。

折叠桌的动态变化过程可以分文两个部分分别进行分析，即桌面圆和桌腿两个部分，桌面圆受半径的影响。

桌腿的变化又分为直纹面的运动、钢筋的运动和倾斜角的改变，因此我们分别从桌面圆、直纹面、钢筋和倾斜角四个方面来描述折叠桌的动态变化过程。

流程如下： 建立空间直角坐标系确定钢筋所在直线方程确定桌面圆方程直纹面的表达式确定木条倾斜角折叠桌动态变化过程计算开槽长度提取桌脚边缘线图表 1 问题一具体流程图 6.1.2建立折叠桌动态变化过程的描述模型第一步：建立空间直角坐标系由于折叠桌的动态变化过程是在三维空间中进行的，为了更加清晰地表达，因此要建立空间直角坐标系。