平行线间的距离ppt课件

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平行线的性质课件

利用平行线性质解决几何最值问题
平行线定义：在同一平面内，永不相交的两条直线
几何最值问题：求线段、角度、面积等几何量的最大值或最小值
添加标题
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平行线性质：平行线之间的线段相等
利用平行线性质解决几何最值问题的方法：通过平行线之间的线段相等，找到几何量的最大值或最小值
平行线的性质在解析几何中的应用
面的交点
平行线与平面的夹角：平行线与平面的夹角为直线与平
面的夹角
平行线与平面的平行性：平行线与平面的平行性为直线与平面的
平行性
总结与思考
总结平行线的性质及其应用
平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两
条直线
平行线的性质：平行线之间的角度相等，平行线之间的线
段相等
平行线的应用：在几何证明、工程测量、建筑设计等领域
利用平行线性质解决函数问题
平行线与函数的关系：平行线是函数的基本性质之一，可以应用于求解函数问题
平行线性质的应用：利用平行线性质可以求解函数的最大值、最小值、极值等问
题
平行线性质的证明：利用平行线性质可以在更高级的数学领域中也有广泛的应用，如微积分、线性代数等
平行线的性质在代数中的应用
利用平行线性质解决线性方程组问题
平行线性质：两条直线平行，同位角相等
线性方程组：一组线性方程组成的方程组
利用平行线性质解线性方程组：通过观察方程组中的同位角，找出方程组中的平行线，从而解出方程组
应用实例：求解线性方程组，如3x+2y=5，4x+3y=6，通过观察方程组中的同位角，找出方程组中的平行线，从而解出方程组

高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》310PPT课件

③当P点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0， d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|＝0，适合公式．
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】通过数形结合思想和函数思想与方法，根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)，点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.

点到直线的距离、两条平行线间的距离课件

法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点． ∵直线AB的斜率kAB＝4，若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0. 若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
点到直线的距离两条平行线间的距离
点到直线的距离与两条平行线间的距离
定义公式
点到直线的距离两条平行直线间的距离
点到直线的垂线夹在两条平行直线间公垂
段的长度

线段的长度
点 P0(x0，y0)到直两条平行直线 l1：Ax＋By 线 l：Ax＋By＋C ＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2
点到直线的距离
[例 1] 求点 P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4. [解] (1)直线 y＝34x＋14化为一般式为 3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得 d＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离 d＝|－2－6|＝8.
由题意，得|C1－3 6|＝2，所以C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝ 52|＋C－－6|122，解得C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离 d＝|3－4|＝1.
[类题通法] 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

新教材高中数学第二章两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt

得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.
微练习
原点到直线x+2y-5=0的距离为(
B. 3
A.1
解析 d=
|-5|
12 +22
)
C.2
D. 5
= 5.
答案 D
微思考
点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?
提示到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的
(方法 2)∵直线 x=2 与 y 轴平行,
∴由图知 d=|-1-2|=3.
=3.
|-1×0+2-1|
(3)(方法 1)由点到直线的距离公式,得 d=
02 +12
=1.
(方法 2)∵直线 y-1=0 与 x 轴平行,
∴由图知 d=|2-1|=1.
反思感悟点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线
方法总结
解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离
相等的点的直线有两条(三定点不共线),根据这两条直线的几何特征可求
出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,
且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数
对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.
微练习
两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为(
1
A.
2
3
B.
5
解析 l2 的方程可化为
d=
7
2
-1+
32 +(-4)2

新教材高中数学第二章点到直线的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt

∴l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线均与l垂直,
∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,
∴ | 3 a | = | 3 b | = | 1 5 | ,
32 (1)2 32 (1)2 12 32
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
夹在两条平行直线间的公垂线段的长
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离d=①
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l 2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
| Ax0 By0 C | A2 B2
间的距离d=②
| C1 C2 | A2 B2
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( √ )
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 b | . ( ✕ )
1 k2
提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 y0 b | .
解析 (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间
的距离,则 | 5 1| =
32 42
|d 32

北师大版数学八年级下册第3课时平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合课件(共15张)

∠D = ∠AD′E， ∵ DE∥AD′， ∴ ∠DEA =∠EAD′，
l
D
E
C
∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′EA，
∴ ∠DAD′ = ∠DED′.
A
D′
B
∴ 四边形 DAD′E 是平行四边形.
∴ DE = AD′.
∵
四边形
ABCD
是平行四边形，
D
∴ AB∥DC，AB = DC，
l
E
C
∴ CE∥D′B，CE = D′B，
∴ 四边形 BCED′ 是平行四边形.
A
D′
B
此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出 ∠DAE =∠EAD′ =∠DEA =∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.
性质
对边平行，对边相等，对角相等
平行四边形
判定
五种判定方法
夹在两条平行线间的线段处处相等
求证：AC = BD. 证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD， a
A
B
∴∠1 =∠2 = 90°.
∴ AC∥BD. ∵ AB∥CD，
1
2
b
C
D
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形(平行四边形的定义).
∴ AC = BD(平行四边形对边相等).
定义总结 a
A
B
1
2
bC
D
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意
两点到另一条直线的距离相等 (如图，AC = BD).这个
距离称为平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线间的距离处处相等).
典例精析
例2 如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，若 AE = 5， BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 10 .

平行线ppt课件

02
平行线判定方法的误用
提醒学生注意不同判定方法的使用条件和限制，避免误用或混淆。
03
忽略平行线的存在性
提醒学生在解题时，不要忽略题目中可能存在的平行线，否则可能导致解题错误。
拓展延伸内容推荐
平行线与相似三角形的关系
探讨平行线与相似三角形之间的联系，以及如何利用平行线的性质解决相似三角形的问题。
交通信号灯
交通信号灯中的红灯、绿灯、黄灯等灯光的排列也遵循平行线的原则，使得驾驶员和行人能够清晰地辨认交通信号。
导向标志道路两侧的导向标志牌上的文字、图案等也采用平行线排列，方便驾驶员快速获取道路信息。
日常生活用品设计美学体现
家居用品
家居用品中的桌子、椅子、床等家具的设计中经常运用到平行线，使得家具外观简洁大方，符合现代审美。
图形示例
判定步骤
首先确定两条被截直线和截线，然后找出同旁内角并测量其角度之和是否为180度，如果是，则两条直线平行。
在图形中，画出两条被第三条直线所截的直线，并标出同旁内角。
实际应用场景分析
建筑设计中
在建筑设计中，平行线的概念经常被用来确保建筑物的稳定性和美观性。例如，在设计墙壁、地板和天花板时，需要确保它们是平行的，以避免出现倾斜或不平整的情况。
在物理学中，平行线的概念被广泛应用于光学、力学等领域的研究中，如光的反射、折射等现象都与平行线密切相关。
计算机图形学
工程测量与建设
在计算机图形学中，平行线的绘制和处理是图形渲染、图像处理等任务中的重要环节之一。
在工程测量与建设中，平行线的运用可以确保建筑物的精确度和稳定性，提高工程质量。
05
预备工作
建议学生提前预习相关知识点，回顾平行线的定义、性质及判定方法，并尝试思考一些与平行线相关的实际问题，为下一讲的学习做好准备。

湘教版七年级数学下册课件-两条平行线间的距离

7.如图是山坡上两棵树,你能量出他们之间的距离吗?
拓展提升
1.如图1，MN∥AB, P、Q为直线MN上的任意两点， ΔPAB和ΔQAB的面积相等吗？为什么？相等
MP
Q
N
MP
P• 1
N
a cm2
A
图1 B
A 图2
B
2.如图2，MN∥AB, P是MN上的一动点，P沿MN的方向每次移动1cm,当它移动10cm 时得到ΔP1AB,那么
A两平行线的距离 B点到直线的距离 C 点到点的距离
情境引入
某火车站一位铁路护路工人因有事出差，为了保证火车安全行驶，假设由你来顶替他工作，你应该怎样确定两条铁轨平行呢？
讲授新课
两条平行线间的距离活动1：请各位同学用直尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？
你的直尺与课本的两边成什么角度？量在课本的哪个位置？大家量得的结果是一样的吗？
_____. a
b m
AC
E
m
┒ n ⑴
┒ n
BD F⑵
合作探究
活动2：请任意画两条互相平行的直线a、b，在直线a 上，任意取两点A、B.然后量出点A、B到直线b的距离，并加以比较，你能得到什么结果？
A
Ba
b
C
D
AC＝DB
a
b
活动3：把一把三角尺的一条直角边沿着直线b移动，请观察三角尺的另一条直角边与直线a交点处的刻度，问：刻度有改变吗？
优质课件
七年级数学下（XJ）教学课件
第4章相交线与平行线
4.6 两条平行线间的距离
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.掌握公垂线段的概念及其性质； 2.会求平行线段的距离. （重点）

第2章2.3.4 两条平行线间的距离课件-人教A版高中数学选择性必修第一册(共31张PPT)

思考 3：两条平行直线间的距离公式写成 d＝ |CA1－2＋CB22| 时对两条直线应有什么要求？
[提示] 两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等．
跟踪训练
跟踪训练1 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
A.4
B. 2 13
C. 5 13
D. 7 10
∴由两点式方程得对角线方程为：－y1－52－0 0＝15x＋＋11，即 2x＋y＋2＝0.
由x3＋x－3yy－－53＝＝00，可得正方形另一顶点坐标为75，65，又正方形中心为 P(－1,0)，
∴由两点式得另一对角线方程为：65y－－00＝75x＋＋11，即 x－2y＋1＝0. 综上可知正方形的两条对角线方程为 x－2y＋1＝0 或 2x＋2y＋2＝0.
【解析】 ∵与 l 平行的直线方程为 5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离公式得 52＋|b－－6|122＝3，解得 b＝45 或 b＝－33. ∴所求直线方程为 5x－12y＋45＝0 或 5x－12y－33＝0.
课堂小结
点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
当堂检测
1．平行直线 l1：3x－y＝0 与 l2：3x－y＋ 10＝0 的距离等于( )
A．1
B．0
C． 10
D．3
【答案】A [l1、l2 的距离为 d＝| 3120＋－102|＝1.选 A.]
2．分别过点 A(－2,1)和点 B(3，－5)的两条直线均垂直于 x 轴，则这两条直线间的距离是________．
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝152. ∴l1 的方程为 12x－5y＋5＝0， l2 的方程为 12x－5y－60＝0. 若直线 l1，l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x＝0，l2 的方程为 x＝5，它们之间的距离为 5，满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0； l1：x＝0，l2：x＝5.

2.3.3-2.3.4 点到直线的距离公式两条平行直线间的距离课件(42张)

所以直线l2的方程可化为 x2-2y+2=0,
所以直线l1,l2之间的距离d= | 2 （1）.|
24
6 2
答案: 6
2
2.选B.因为直线2x+3y-9=0与直线6x+my+12=0平行,所6 以m 12 ,
2 3 9
所以m=9,故平行直线即6x+9y-27=0与直线6x+9y+12=0,距｜12离为27｜ 13 .
62 92
【内化·悟】应用两条平行直线距离公式的前提是什么? 提示:两条直线方程中x,y的系数相同.
【类题·通】两条平行线距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行线的距离公式. (2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
【习练·破】
1.P,Q分别为3x+4y-10=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
d= | 2m m2 7 | m 12 6 6 3 2.
2
2
2
【加练·固】
点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是
()
A. 2
B. 2
2
C.1
D. 1
2
【解析】选A.由点到直线的距离公式可得:d= ｜11｜ 2 .
2
类型二两条平行直线间距离公式的应用
【典例】1.已知直线l1: 2 x-2y-1=0,l2:x- 2 y+ 2 =0,则直线l1,l2之间的距离为_______.
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选A.直线3x+4y+5=0与直线3x+4y-5=0的距离为d= ｜5 （ 5）｜ 2.

2.3.4两条平行直线间的距离课件-2020年秋高中数学人教版（2019）选择性必修一

于是
d
| 8 1 | 3
=
23
53 ，
提示：d = | C1 C2 | . A2 B2
22 72 159
所以
l1与 l2 间的距离为
23 159
53.
四、课堂练习
1. 求下列两条平行直线间的距离：（1） l1：2x+3y 8= 0 ， l2：2x+3y+18= 0 ；
解：先求 l1 与 x 轴的交点 A 的坐标为(4,0). 另解：
1.两条平行直线间的距离可以转化为其中一条直线上的一点到另一条直
线的距离.
2.两条平行直线
Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0
间的距离为 d= |C1 C2|
A2+B2
.
3.体会化归与转化的数学思想.
距离两点 P1(x1, y1)， P2 (x2 , y2 ) 点到直线 P0 (x0, y0 )， l : Ax By C 0
点 A 到直线 l2 的距离
d=|2 4+3 0+18|= 26 =2 13 ，
22 32
13
d= | 8 18| = 26 = 2 13 ， 22 32 13
所以 l1 与 l2间的距离为 2 13.
所以 l1 与 l2间的距离为 2 13.
四、课堂练习
1. 求下列两条平行直线间的距离：
（2）l1：3x+4 y=10 ，
2.3.4 两条平行直线间的距离
高二年级数学
一、复习回顾
两点间的距离公式已知平面内两点 P1( x1,y1)，P2( x2 ,y2 ) ，则 |P1P2|= (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .

高二【数学(人教A版)】两条平行直线间的距离公式-课件

PP( x0 , y0 )
| C1 C2 | , A2 B2
| C1 C2 | . A2 B2
问题3 公式有什么结构特征？
一般地，两条平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 间的距离：
d | C1 C2 | . A2 B2
问题3 公式有什么结构特征？
问题4 能否由直线一般式方程系数的特征直接判断两条直线的
位置关系？
已知两条直线 l1 : A1x B1y C1 0, l2 : A2x B2 y C2 0.
•
若斜率存在，则
l1
:
y
A1 B1
x
C1 B1
,
l2
:
y
A2 B2
x
C2 B2
.
l1 / /l2
A1 A2 , 且 C1 C2 ； ( A1 B1 , 且 B1 C1 )；
所以，d | Ax0 By0 C2 | , A2 B2
PP( x0 , y0 )
| C1 C2 | , A2 B2
问题2 如图，已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2பைடு நூலகம் 0 ，求 l1,l2 间的距离 d.
所以，d | Ax0 By0 C2 | , A2 B2
• 若斜率存在，
l1 / /l2
A1 A2 , 且 C1 C2 ；
B1 B2
B1 B2
A1B2 B1A2 0, 且 C1B2 B1C2 0;
• 若斜率不存在， l1 / /l2
B1
B2
0,且 C1 A1
C2 A2
(或C1 A2
A1C2
0).
l1 / /l2

点到直线的距离公式两条平行线间距离(课件)(人教A版2019选择性必修第一册)

A．8
B．2 2
C． 2
D．16
(2)若 P(x，y)在直线 x＋y－4＝0 上，则 x2＋y2－2x－4y＋5的最小值为多少？
(1)A 解析：x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离的平方，故等价
于原点(0,0)到直线 x＋y－4＝0 的距离的平方，即 d＝ 4 ＝2 2，∴d2＝8，故选 A． 2
当堂达标
2.两条平行线 l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0 间的距离等于( )
7
7
4
2
A.5
B.15
C.15
D.3
C 解析：l1 的方程可化为 9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得 d＝|－962＋＋11202|＝145.
当堂达标
3.已知 O 为原点，点 P 在直线 x＋y－1＝0 上运动，那么|OP|的最小值为( )
经典例题
题型一点到直线的距离
跟踪训练1
已知点(a，2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A. 2
B．2－ 2 C. 2－1
D. 2＋1
C 解析：由点到直线的距离公式得： 1|2a＋－（2＋－31|）2＝|a＋21|＝1， ∴|a＋1|＝ 2. ∵a>0， ∴a＝ 2－1.故选 C.
√
)
小试牛刀
2.原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
D. 5
D 解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离
d＝|0＋120＋－252|＝ 5.
3.两条平行线 l1：3x＋4y－7＝0 和 l2：3x＋4y－12＝0 的距离为( )