方程组有解判别定理的一个证明
线性代数第三章线性方程组第4节线性方程组解的结构
c1
1 0
c2
0 1
k1
1 1
k2
2 2
1
0
0
1
得 c1 k2
cc12
k1 k1
2k2 2k2
c1 k2
即 c1 k2 0
cc12
k1 k1
2k2 2k2
0 0
c1 k2 0
解得 c1 k2，c2 k2，k1 k2.
取
k2 k 0,
则方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为
(kk21
(k1 k2 )
k2 k2
)0 0
解之得到
k1 k2.
当k1 k2 0时，向量
k1(0,1,1, 0)T k2 (1, 2, 2,1)T k2[(0,1,1, 0)T (1, 2, 2,1)T
满足方程组(Ⅰ).
k2 (1,1,1,1)T
并且它也是方程组(Ⅱ)的解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的 公共解.
定理3.17 若0是非齐次线性方程组AX=b的一个解，则方程组 AX=b的任意一个解 都可以表示为 0 其中 是其导出组AX=0的某个解，0称为方程组
AX=b的一个特解.
例7 求线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 3x5 5
3x1
2x1 4x2
x2 2x4 6x5 1 5x3 6x4 3x5
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
的一个基础解系.并求方程组的通解.
解 方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有 无穷多解.
对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶 梯形矩阵：
3 1 6 4 2
A 2
2
3 5
3
1 5 6 8 6
线性代数 老师：翁晓琛-第五节 1
c11 + c22 + … + ctt (c1 , c2 , … , ct 为任意常数)
也是该方程组的解. 这就启发我们考虑：当齐次线性方程组 AX = O
有非零解时，如果能确定其解向量组秩并求出该解 向量组的一个极大无关组，就可以通过这个极大无 关组表示出方程组的全部解，同时，也就掌握了该 方程组解的结构. 为此，引入
B = ( 1 , 2 , … , s ) 其中 j 为 B 的第 j 个列向量，j = 1, 2, … , s . 则由分
二、非齐次线性方程组解的结构
设有 n 元非齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
其中 c1 , c2 , … , cn – r 为任意常数. 上式也称为齐次
线性方程组的通解.
例 1 求解齐次线性方程组
23xx11
x2 6x3 2x2 3x3
4x4 5x4
2x5 3x5
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
解
例 2 设 m n 矩阵 A 与 n s 矩阵 B 满足
第五节 线性方程组解的结构
齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组解的结构
本章第一节介绍线了性线性方方程程组组有有解解的的判别定理
这一节，将讨论线性定方理程组2.在3 有n无元穷线多性个方解程的组情况
AX = B
下，这些解之间有系的解数关定的矩系aaa充阵m理和21111x分xx解A1121 必.的的4aa要a秩结m122设2条2为构xxx22件2n.r，元是那齐r么(次Aaaa线12m)nnn性=xxxnnrn方(程A000)组.
高等代数3.6 线性方程组解的结构
又设 ( l1 , l2 , … , ln ) 是导出组 (1) 的一个解，即
n
aijl j 0 (i 1,2,, s) ,
j 1
显然
n
n
n
aij (k j l j ) aijk j aijl j
j 1
j 1
j 1
bi 0 bi (i 1,2,, s) .
推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解
是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.
证明 充分性 如果方程组 (9) 有两个不同的
解，那么它的差就是导出组的一个非零解. 因此， 如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解.
必要性 如果导出组有非零解，那么这个解 与方程组 (9) 的一个解 (因为它有解) 的和就是 (9) 的另一个解，也就是说，(9) 不止一个解. 因之， 如果方程 (9) 有唯一解，那么它的导出组只有零解.
x3 x3
4 3
, ,
x1 2 bx 2 x3 4 .
讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时 求其解.
单击这里开始求解
三、直线平面间的位置关系的判断
平面和直线之间的位置关系是指平面与平面、 平面与直线、直线与直 线之间的位置关系. 由于 平面和直线在直角坐标系下的方程，是三元线性 方程 a1x1 + a2x2 + a3x3 = b 和两个三元线性方程组成 的方程组，因此，讨论它们之间的位置关系 ( 如平 行、重合、相交等 )，可用线性方程组的解的理论 阐明.
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密 切的关系：
1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解.
2-3线性方程组有解的判定定理
组 Ax = 0 只有零解 ( 有非零解 )的充分必要 条件是系数行列式
定理 2 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解 的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩 .
证 设 A = (α 1 , α 2 , L , α n ), 这里 α 1 , α 2 , L , α n 是 A 的列向量组， 的列向量组，则 Ax = b 可写成 (4) x 1α 1 + x 2α 2 + L + x nα n = b .
5 1 0 − 2 − 1 2 2 1 3 r3 − r2 4 r1 − 2r2 4 0 1 2 0 1 2 3 r2 ÷ ( −3) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组
5 x1 − 2x3 − 3 x4 = 0, 4 x2 + 2x3 + x4 = 0, 3
L 从而方程组（ 从而方程组（ 2）有解 ⇔ b 可由 α 1 , α 2， , α n L 线性表示 ⇔ R ( A ) = rank (α 1 , α 2， , α n ) = 证毕 rank (α 1 , α 2， , α n， b ) = R ( B ). L
推论
Ax = b有唯一解 ⇔ R(A) = R(B ) = n Ax = b有无穷多解. ⇔ R(A) = R(B ) < n 有无穷多解.
三、线性方程组的求解
例1 求解齐次线性方程组 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 0 2 x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 . x − x − 4x − 3x = 0 1 2 3 4 解
线性代数及其应用第5节线性方程组的解
x1
c1,r1
c1n
d1
xr
xr1
k1
cr,r1
1
knr
crn
0
dr
0
xn
0
1
0
可表示线性方程组的任一解，称之为线性方程组
的通解.
下面我们利用线性方程组有解的判别定理研究 线性方程组的解法．
由定理8的证明过程易得线性方程组的求解步 骤，现归纳如下：
Step1 对于非齐次线性方程组，把它的增广 矩阵 B 化成行阶梯形矩阵，从中可同时看出 R(A) 和R(B) . 若 R(A) < R(B) ，则方程组无解.
Step2 若 R(A) = R(B) ，则进一步把 B 化成行 最简形矩阵. 而对于齐次线性方程组，则把系数矩 阵 A化成行最简形矩阵.
0 1 2 2 6 3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
b
a
2
例14 求下列齐次线性方程组的通解
x1 x2 x3 4x4 3x5 0,
2x1x1xx2 233xx3 352x4x45xx55
0, 0,
3x1 x2 5x3 6x4 7x5 0.
解
本若请本本若若请请本若请节想本单若请节节想想本单单若请节想本单若内请结节击想本单若内内请结结节击击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容容单若束束内请返返结节击想本容单若束内请返结节已击想本本容单若回束内请返结节已已击想本 本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容单若回束内结结请返结堂 堂节已击想按 按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结钮堂节已击想按本本容束束单若回束课 课内结请返结钮 钮堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结本钮堂若节已击想按本,请本 本 本容束单若 若 若回束课.内结!请 请 请返结钮堂节已击想按本,,容束单回束课..内结!!返结钮堂节已击想按本,容束单回束节课.想内结!返结钮堂单节 节节已击想 想 想按本,容束单 单单回束课.内结!返结钮堂已击按本,容束回束课.内结!返结钮堂已击按本内,结容束回束课.击内 内内!结返结 结 结钮堂已击 击击按本,容束回束.课结!返钮堂已按本,容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容容 容束回束 束 束课.结!返返 返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已已按本本本,束回 回回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,结堂束课.按结结结!钮堂堂堂按按按,束课.!钮,束课.!钮束课,钮束束束课课课.!钮钮钮,.!,.,!.,,,!...!!!
【免费下载】第三章 一阶线性微分方程组 第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理
韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）一、目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理.二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1 课题引入在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.例如，已知在空间运动的质点的速度与时间及(,,)P x y z t 该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案123(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩且质点在时刻经过点，求该质点的运动轨迹。
0t 000(,,)x y z 因为和, 所以这个问题其实就是求,x y dx dy v v dt dt ==z dz v dt =一阶微分方程组123(,,,)(,,,)(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 的满足初始条件 00(),x t x =00(),y t y =00()z t z =的解.(),(),()x t y t z t 另外，在n 阶微分方程（1.12）()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令就可(1)121,,,n n y y y y y y --'''=== 以把它化成等价的一阶微分方程组韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案11221111(,,,,)n n n n dy y dx dy y dx dy y dx dy f x y y y dx ----⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩ 注意，这是一个含n 个未知函数 的一阶微分11,,,n y y y - 方程组.含有n 个未知函数的一阶微分方程组的一般形12,,,n y y y 式为： (3.1)11122112112(,,,,)(,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ 如果方程组(3.1)右端函数不显含, 则相应的方程称为是自x 治的. 方程组(3.1)在上的一个解，是这样的一组函数[,]a b韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案12(),(),,()n y x y x y x 使得在上有恒等式[,]a b 12()(,(),(),,())i i n dy x f x y x y x y x dx = (1,2,,)i n = 含有n 个任意常数 的解12,,,n C C C 1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)n n n n n y x C C C y x C C C y x C C C ϕϕϕ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0n n n n n n n x y y y C C C x y y y C C C x y y y C C C Φ=⎧⎪Φ=⎪⎨⎪⎪Φ=⎩ 则称后者为(3.1)的通积分.如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件 1010202000(),(),,()n n y x y y x y y x y ===韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案(3.2)的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于的n 个方程式，如果从其中解得，12,,,n C C C 12,,,n C C C 再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解. 2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示 为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n 维向量函数 12()()(),()n y x y x Y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11221212(,,,,)(,,,,)(,)(,,,,)n n n n f x y y y f x y y y F x Y f x y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 并定义 111(),dy dx dy dY x dx dx dy dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 00001()()()()x x x x n x x x n x f x dx f x dx F x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 则(3.1)可记成向量形式(3.3)(,)dY F x Y dx =初始条件(3.2)可记为 其中 00(),Y x Y =102000n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (3.2)′(3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为(3.4)00(,)()dY F x Y dx Y x Y ⎧=⎪⎨⎪=⎩这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.进一步，对n 维向量Y 和矩阵,()ij A a =12,n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义 1,n i i Y y ==∑,1niji j A a ==∑易于证明以下性质：1., 且, 当且仅当0Y ≥0Y =0Y =( 表示零向量，下同);02.;1212Y Y Y Y +≤+3.对任意常数，有;αY Y αα=A 4.;0A ≥5.;A B A B +≤+6.对任意常数，有;γA A γγ=A 7.;AY A Y ≤A 8. .AB A B ≤A 称和分别为向量和矩阵的范数. 进而还有如Y A Y A 下性质韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案00()()x x x x F x dx F x dx≤⎰⎰有了维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛n 的概念. 即：如果对 上的任意x ，有[,]a b lim ()()0n n Y x Y x →∞-=则称 在 上按范数收敛于Y (x ).如果上式对 ()n Y x [,]a b [,]a b 上的x 为一致的，则称 在上 按范数一致收敛()n Y x [,]a b 于.()Y x 另外, 如果对n 维向量函数F (x )有00lim ()()0x x F x F x →-=则称 在 连续. 如果 在区间 上每()F x 0x ()F x [,]a b 一点 都连续, 则称 在区间 上连续.0x ()F x [,]a b 有了以上准备，完全类似于第二章定理2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理.定理3.1 如果函数 在 维空间的区域(,)F x Y 1n +00:,R x x a Y Y b -≤-≤上满足：1) 连续；2) 关于满足李普希兹条件，即存在, 使对于上Y 0N >R 任意两点 ,有1(,),x Y 2(,)x Y韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案1212(,)(,)F x Y F x Y N Y Y -≤-则存在, 使初值问题(3.4)的解在 上存在00h >00x x h -≤且唯一，其中0min(,b h a M =.(,)max (,)x Y R M F x Y ∈= 定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程 00()(,())x x Y x Y F x Y x dx =+⎰(3.5)同解.为证(3.5)的解在 上的存在性，同样用00x x h -≤逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成. 对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量换成向量即可.y Y 最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间平面上的一条xoy 曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案个解就是维空间中的一条曲线了，也称它为方程组x Y1n (,)(3.3)的积分曲线.本节要点：1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义.2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在.作业: 完成定理3.1的证明. 。
韦达定理的应用题_证明_公式
韦达定理的应用题_证明_公式(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1．判别式的应用例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+R a=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明△=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得△ =（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）当ac≥0时，有△≥0；（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2 （1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA.（1） k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；此处无图（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时△ =k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0.（2）x1＜0＜x2＜a.例3（1982年湖北初中数学竞赛题）证明不可能分解为两个一次因式之积. 分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解.证明将此式看作关于x的二次三项式，则判别式△ =显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积.例3 （1957年北京中学生数学竞赛题）已知x，y，z是实数，且x+y+z=a，①②求证：0≤x≤0≤y≤0≤z≤分析将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论.证明由①得z=a-x-y，代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0≥0≤x≤同理可证：0≤y≤，0≤z≤.例5设a1，a2，a3，b是满足不等式（a1+a2+a3）2≥2（）+4b的实数.求证：a1a2+a2a3+a3a1≥3b.证明由已知可得≤0.设则∵a3是实数，故△≥0，即有（a1+a2）2≥（）-2a1a2+4b+r≥2（）-（a1+a2）2+4b.于是（a1+a2）2≥（）+2b，∴a1a2≥b.同理有a2a3≥b，a3a1≥b.三式相加即得a1a2+a2a3+a3a1≥3b.例6 设a、b、c为实数，方程组与均无实数根.求证:对于一切实数x都有＞证明由已知条件可以推出a≠0，因为若a=0，则方程组至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax2+bx+c=±x无实根，因此判别式△=＜0，于是（b-1）2+（b+1）-8ac＜0.即 4ac-b2＞1.∴＞2．韦达定理的应用例7 （1899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题）假设x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.证明这时是方程的根.证明由已知条件得∴=a3+d3+3abc+3bcd，由韦达定理逆定理可知，、是方程的根.例8已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0，①a2x2+b2x+c2=0，②都有两个实数根，求证：（1）这两个实数根都是负值；（2）方程 a1a2x2+b1b2x+c1c2=0 ③③也有两个负根.证明∵方程①有两个实数根，∴＞0. ④同理＞0. ⑤又a1、b1、c1都是正数，∴＞0，＜0.由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值.显然a1c1＜4a1c1代入④，得＞0，⑥由＞0，得＞⑦∴△=≥=＞0，∴方程③也有两个实数根.又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0，∴＞0，＜0.由此可知方程③的两个根也是负值.例9（1983年上海初中数学竞赛题）对自然数n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根为αn和βn.求下式的值：+解由韦达定理得=而=（n≥3），∴原式=+=例10（1989年全国初中联赛试题）首项不相等的两个二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0 ①及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0 ②（其中a，b为正整数）有一公共根，求的值.解由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得③及④所以a，b是关于t的方程相异的两根，因此于是 ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.由或解得或∴例11 （仿1986年全国高中联赛题）设实数a，b，c满足①②求证:1≤a≤9.证明由①得bc=a2-8a+7.①-②得 b+c=所以实数b，c可看成一元二次方程的两根，则有△≥0，即≥0，即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a≤9.例12 （1933年福建初中数学竞赛题）求证：对任一矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数k（k≥1）.分析设矩形A及B的长度分别是a，b及x，y，为证明满足条件的矩形B存在，只须证明方程组（k，a，b为已知数）有正整数解即可.再由韦达定理，其解x，y可以看作是二次方程z2-k（a+b）z+kab=0的两根.∵k≥1，故判别式△ =k2（a+b）2-4kab≥k2（a+b）2-4k2ab=k2（a-b）2≥0，∴上述二次方程有两实根z1，z2.又z1+z2=k（a+b）＞0，z1z2=kab＞0，从而，z1＞0，z2＞0，即方程组恒有x＞0，y＞0的解，所以矩形B总是存在的.练习二十一1．填空题（1）设方程的两根为m，n（m＞n），则代数式的值是_____ __;（2）若r和s是方程x2-px+q=0的两非零根,则以r2+和为根的方程是_____ _____;（3）已知方程x2-8x+15=0的两根可以写成a2+b2与a-b,其中a与b是方程x2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________.2.选择题(1)若p,q都是自然数,方程px2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p2+q的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程的较大根为r,的较小根为s,则r-s等于( ).(A) (B)1985 (C) (D)(3)x2+px+q2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x2-qx+p2=0的两个根必为（）.(A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数（4）如果关于方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程（m-5）x2-2（m +2）x+m=0的实根个数为(A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3．（1983年杭州竞赛）设a1≠0，方程a1x2+b2x+c1=0的两个根是1-a1和1+a1；a1x2+b1x+c2=0的两个根是和；a1x2+b1x+c1=0的两根相等，求a1，b1，c1，b2，c2的值.4.常数a是满足1≤a≤50的自然数.若关于x的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x2的两根都是自然数,试求a的值.5.设x2、x2为正系数方程ax2+bx+c=0的两根，x1+x2=m，x1·x2=n2，且m，n.求证:(1) 如果m＜n，那么方程有不等的实数根；(2) 如果m＞n，那么方程没有实数根.6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足7．（1987年全国初中竞赛题）当a，b为何值时，方程x2+（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实根？8．（1985年苏州初中数学竞赛题）试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式的值.9．（第20届全苏中学生数学竞赛题）方程x2+ax+1=b的根是自然数，证明a2+b2是合数.10．（1972年加拿大试题）不用辅助工具解答：（1）证满足的根在和197.…间；（2）同（1）证＜1..练习二十一1.(1)(2)(3)3.B A.3.=a+2±由于x为自然数，可知a为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5.略+2=0.7.因为方程有实根,所以判别式8.设1986=4k+2(其中k是自然数).令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b＝2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.10.由，可得x2-198x+1=0,其根。
第三章2线性方程组解的结构定理
1 ,2 , ,n线性相关;
向量组{1,2 , ,n }的秩R(1,2 ,
系数矩阵A的秩R(A) n.
,n ) n;
推论：齐次线性方程组只有零解：
1,2 , ,n线性无关;
向量组{1,2 , ,n }的秩R(1,2 , ,n ) n;
系数矩阵A的秩R(A) n. 5
例 讨论齐次方程组解 的
a1n
a22
a2n
am 2
amn
Ax b
x1
x=
x2
xn
b1
b=
b2
bm
a1i
i
=
a2i
ami
b 0，对应齐次线性方程组；
b≠0，对应非齐次线性方程组。
x11 x22 xnn b
4
线性方程组的一般理论
定理：齐次线性方程组有非零解：
1
记为 1,2 , ,nr ;
（2）显然 1,2 ,nr 线性无关；
14
（3）设 Ax 0 的解为 k1
kr kr 1
kn T
则
(kr 11 kr 22 knnr )
k1 b11kr 1
k2
b21kr 1
kr
br1kr 1
0
0
b1,n r kn
b2,
n
r
kn
0
之间的过渡矩阵，即
C ' CQ.
1
对于任意v V ,有
v BX B ' X ',T (v) CY C 'Y '.
设A是线性映射T在基B和C下的矩阵，可知
Y AX
由向量在不同基下的坐标之间的关系可知
QY ' A(PX ')
线性方程组的求解方法与应用
湖北民族学院理学院2016届本科毕业论文(设计) 线性方程组的求解方法及应用学生姓名：付世辉学号： 0专业：数学与应用数学指导老师：刘先平答辩时间：装订时间：A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University forNationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016The calculation method and application of the system of linear equationsStudent Name: Fu Shihui Student No.: 0 Specialty:Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu XianpingDate of Thesis Defense:Date of Bookbinding:摘要线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要内容之一. 矩阵及其基本理论是学习线性代数的一种基本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其紧密.关键词：线性方程组，矩阵，初等变换，克拉默法则，LU分解法AbstractLinear equations are widely used in the field of mathematics and they are the main contents of linear algebra. The Matrix and its basic theory are basic tool for learning linear algebra, the elementary transformation of the matrix is the tool of the solution of the linear equations, the commonly used methods of solving linear equations have the general elimination method, Gramer, the LU decomposition method and so on, is according to the problem, we choose one from a variety of method in the process of solving. These methods can solve the problem solving linear equations, vectors and matrices play integral roles in the process of solving. In the application of linear equations, it has not only a close link to the knowledge of mathematical theory, but also very close to our real life.Keywords: linear equations, matrix, elementary transformation, Gramer, the LU decomposition method目录摘要 ................................................................. Abstract (I)1 绪言 (1)课题背景 (1)课题研究的目的和意义 (1)国内外概况 (1)2 预备知识 (2)线性方程组 (2)线性方程组的定义 .............................. 错误!未定义书签。
线性方程组有解
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ 0 ( −1) r4 + r3 ⎜ → ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
−2 5 ⎞ ⎛1 r + ⎟ (2−21) rr21+ r3 ⎜ 0 1 1 ⎟ ( −2) r2 + r4 ⎜ 1 −2 ⎟ → ⎜ 0 ⎜ ⎟ 2 −5 ⎟ ⎜0 ⎜0 ⎟ ⎝ 0 0⎠ ⎛1 0 0 7 ⎞ ⎟ r2 ↔ r3 ⎜ 0 1 1 1 ⎟ r3 ↔ r4 ⎜ 0 4 ⎟ → ⎜0 0 ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 −7 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ 0 0 ⎠
故秩A=秩 A 。
第三章 线性方程组
充分性。若秩A=秩 A, 于是向量组 α 1 , α 2 , , α n 与向量组 α 1 , α 2 , , α n , β 有相同的秩，设为 r。不妨设 α 1 , α 2 , , α r 是 α 1 , α 2 , , α n 的一个极大线性无关组。显然 α 1 , α 2 , , α r 也是
, amn )′, β = ( b1 , b2 , + xnα n = β
, bm )′ 是增广矩阵
—（3.5.2）
于是方程组（3.5.1）可表为： 的列向量，
x1α 1 + x2α 2 +
必要性。若方程组（3.5.1）有解， 由（3.5.2）知β可由
α 1 , α 2 , , α n 线性表示，因此向量组 α 1 , α 2 , , α n 与向量组 α 1 , α 2 , , α n , β 等价。 α 1 , α 2 , , α n 是A的列向量组， 1 , α 2 , α , α n , β 是 A 的列向量组，由于等价的向量组有相同的秩，
高等代数北大版教案-第3章线性方程组
第三章线性方程组§1消元法一授课内容:§1消元法二教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组。
三教学重难点:用消元法解线性方程组.四教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为（1）的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数， (，)称为方程组的系数,（）称为常数项.所谓方程组(1）的的一个解就是指由个数组成的有序数组（），当分别用代入后,（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它的全部解,或则说,求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的。
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵来表示.在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元,三元线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。
分析一下消元法，不难看出,它实际上是反复的对方程组进行变换,而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1．用一非零的数乘某一方程.2．把一个方程的倍数加到另一方程.3．互换两个方程的位置。
定义1 变换1，2,3称为线性方程组的初等变换。
消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。
对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组.（5）显然(5）与（1）是同解的。
考察（5）的解的情况.如（5）中的方程,而这时不管取什么值都不能使它成为等式,故(5）无解，因而（1)也无解.当，或（5）中根本没有“”的方程时，分两种情况:1），这时阶梯形方程组为有唯一解。
例解方程组。
解上述方程有唯一的解 .2），这时阶梯形方程组为其中 , ，把它改写成（7)由（7)我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而称为一组自由未知量.例解方程组.解一般解为。
代数基本定理的几种证明
2014-3050-021 本科毕业论文（设计）代数基本定理的几种证明学生姓名：黄容学号：1050501021系院：数学系专业：数学与应用数学指导教师：覃跃海讲师提交日期：2014年4月27日毕业论文基本要求1．毕业论文的撰写应结合专业学习,选取具有创新价值和实践意义的论题.2．论文篇幅一般为理科以3000至5000字为宜.3．论文应观点明确,中心突出,论据充分,数据可靠,层次分明,逻辑清楚,文字流畅,结构严谨.4．论文字体规范按《广东第二师范学院本科生毕业论文管理办法（试行）》和“论文样板”执行.5．论文应书写工整,标点正确,用微机打印后,装订成册.本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计）,是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学生签名：时间：年月日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东第二师范学院关于收集、保存、使用学位论文的规定,即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务,在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定.学生签名：时间：年月摘要代数基本定理是代数学上一个重要的定理,甚至在整个数学上都起着基础作用.最早在1629年由荷兰数学家吉拉尔在他的论著《代数新发现》提出, 然而没有给出证明.1637年迪卡儿也都提出这个定理,但同样没有给出证明.一直到一百年多后, 于1746年达朗贝尔才给出第一个证明.到十八世纪后半叶,欧拉等人也给出一些证明,然而这些证明都不够严格,都先是假设了一些条件,然后才得出证明.直到1799年高斯才给出了第一个实质的证明.在二十世纪以前该定理对于代数学都是起着核心的作用，因为代数学所研究的对象都是建立在复数域上的, 因此也就之称为代数基本定理.然而直到现在该定理却还是没有纯代数证法,用纯代数证明该定理却是十分困难的,很多人相信根本不存在纯代数的证法.不过后来随着复变理论的发展,该定理已成为其他一些定理的推论了,用复函数理论可以很完美的证明了.现在据说也已经有了两百多种证法.虽然前人已做了很多研究,但从多方面知识总结这些证明还是很有意义的.本论文基于多项式、柯西积分定理、儒歇定理、刘维尔定理、最大模定理和最小模定理这几个方面介绍了代数基本定理的几种证法.[关键词]：代数基本定理；多项式；柯西积分定理；儒歇定理；刘维尔定理AbstractFundamental Theorem of Algebra is one of the important theorem of algebra, and even in the whole of mathematics plays a fundamental role. First in 1629 by the Dutch mathematician Girard in his treatise "Algebra newly discovered" put forward, but he did not give proof. In 1637, Descartes are also raised this theorem without proof. Been to more than a hundred years later, Jean le Rond d'Alembert was given the first proof in 1746. Until 1799 Gauss was given the first real proof in the twentieth century before the theorem of algebra for all plays a central role, because the object being studied algebra are built on complex field, so it's called the fundamental Theorem of Algebra. However, until now the theorem is no purely algebraic proofs, many people believe that it does not exist. With the development of complex variable theory, this theorem has become a corollary of some other theorem, and with a complex function theory can be proved perfectly. Now said to have already had more than two hundred kinds of proofs.Although the fundamental theorem of algebra predecessors have done a lot of research. Summarize these methods still makes sense. This paper based on polynomial, Cauchy integral theorem, Ro che’s theorem, Lowville Theorem, the maximum modulus theorem and the minimum modulus theorem.[Key Words]：Fundamental Theorem of Algebra; Polynomial; Cauchy integral theorem; Roche’s theorem; Lowville Theorem目录摘要 (I)Abstract (II)1. 引言 ................................................................................................................... - 1 -2.1. 利用多项式证明..................................................................................... - 2 -2.1.1. 引理................................................................................................ - 2 -2.1.2. 利用多项式证明代数基本定理.................................................... - 2 -2.2. 利用柯西积分定理证明......................................................................... - 3 -2.2.1. 柯西积分定理................................................................................ - 3 -2.2.2. 利用柯西积分定理证明代数基本定理........................................ - 4 -2.3. 利用刘维尔定理证明............................................................................. - 5 -2.3.1. 刘维尔定理.................................................................................... - 5 -2.3.2. 利用刘维尔定理证明代数基本定理............................................ - 6 -2.4. 利用儒歇定理证明................................................................................. - 7 -2.4.1. 儒歇定理........................................................................................ - 7 -2.4.2. 利用儒歇定理证明代数基本定理................................................ - 7 -2.5. 利用最大模定理证明............................................................................. - 8 -2.5.1. 最大模定理.................................................................................... - 8 -2.5.2. 利用最大模定理证明代数基本定理............................................ - 9 -2.6. 利用最小模定理证明........................................................................... - 10 -2.6.1. 最小模定理.................................................................................. - 10 -2.6.2. 利用最小模定理证明代数基本定理.......................................... - 10 -3. 总结 ................................................................................................................. - 11 - 参考文献.............................................................................................................. - 12 -致谢……………………………………………………………………………….-12 -代数基本定理的几种证明1. 引言一元一次方程只有一个实数根,而在复数域内有两个根,那么一元N 次方程在复数域上会不会有N 个根？另外,在积分运算中部分分式法也有与这样的问题,所有实系数多项式是不是都可以分解成一次因式的乘积或者分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积？上述这些问题关键在于证明代数基本定理.根据钟玉泉编写的《复变函数论》,代数基本定理的具体描述为：任何n 次多项式方程在复数域中至少有一个根.根据该定理我们可以直接得到一个结果,在复数域内对于所有n 次多项式方程有且只有n 个根[1].可见证明代数基本定理意义十分重要.这个定理最早在1629年由荷兰数学家吉拉德在他的论著《代数新发现》中提出，但没有得到证明。
线性方程组有解的判别定理
非齐次线性方程组同解的讨论摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解.关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。
下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出11121121222212n n m m mn ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，b= 12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
即非齐次线性方程组可写成Ax b =。
一 、线性方程组同解的性质引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为212,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。
从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.引理[1]2 设A 、B 为m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充要条件是存在可逆矩阵P 使得PA B =.证明 充分性显然成立。
线性方程组解的判别与解的结构
线性⽅程组解的判别与解的结构⼀.线性⽅程组求解定理1.线性⽅程组有解判别定理线性⽅程组a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = b1 ,a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = b2 , ......................................................as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = bs有解的充分必要条件是 : 它的系数矩阵与增⼴矩阵有相同的秩 .2. 齐次线性⽅程组a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0,a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0, ......................................................as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0有⾮零解的充分必要条件是: 它的系数矩阵的秩r ⼩于未知量个数n .齐次线性⽅程组求解⼀般步骤： 1.把系数矩阵通过初等变换，变换成阶梯形矩阵. 2.判断阶梯形矩阵中⾮零⾏的个数秩(r)，以及计算⾃由元个数m=n-r. 3.确定⾃由元位置，然后以次为它们赋值1,0... 4.求解出⽅程组的基础解系. 5.⽤基础解系表⽰出⽅程全解.⾮齐次线性⽅程组求解，与齐次线性⽅程组求解过程基本⼀致，只需要再求出⼀个特解。
⼆.如何⽤C语⾔计算线性⽅程组的解 那么如何⽤算法求出线性⽅程组的解呢？ 就是根据上⾯⽅程组求解⼀般步骤来的， 1.矩阵的初等变换(在上次⾏列式计算的基础上，这个很好实现). 2.求出矩阵的秩/⾃由元个数，然后确定⾃由元的位置(我认为这是⼀个难点) 3.初始化⾃由元(1,0,..)，计算变量，最终求出基础解系 4.⾮齐次线性⽅程 4.1.先求出齐次线性⽅程组的基础解系 4.2.再利⽤上⾯步骤求⼀个特解即可1.矩阵的初等变换//初等⾏变换void primaryRowChange(int s, int n, double **array){int i,j,k,ii,kk,flag;double temp;for(i=0,j=0;i<s-1;i++,j++)//s⾏，最外围只需要变换s-1{ii=i;//如果⾏的⾸元为0，向下查找⼀个不为0的，然后换⾏if(*(*(array+i)+j) == 0){{if(*(*(array+k)+j)!=0)//第k⾏与第i⾏交换{for(kk=j;kk<n;kk++){temp=*(*(array+k)+kk);*(*(array+k)+kk) = *(*(array+i)+kk);*(*(array+i)+kk) = temp;}flag =1;break;}}//判断是交换成功，如果没有成功，则i--if(!flag){i--;continue;}i--;j--;continue;}for(;ii<s-1;ii++){if(*(*(array+ii+1)+j)==0)continue;temp =-*(*(array+ii+1)+j) / *(*(array+i)+j);for(k=j;k<n;k++)*(*(array+ii+1)+k) += *(*(array+i)+k) * temp;}}}2.计算矩阵的秩//计算矩阵的秩int getRank(int s, int n, double **array){int flag;int i,j,r=s;//判断⾮零⾏个数for(i=0;i<s;i++){flag=0;for(j=0;j<n;j++){if(*(*(array+i)+j)!=0 && (*(*(array+i)+j)>0.01 || *(*(array+i)+j) <-0.01))//排除很⼩数， {flag=1;break;}}if(!flag)//当前⾏全为零,则r为i;{r=i;break;}}return r;}3.确定⾃由元位置 ⾃由元确定需要考虑两种情况： 1).系数梯形矩阵最后⼀⾏只有⼀个⾮零元素. 2) 系数梯形矩阵中某⾏的个数等于⾃由元的个数.//获取⾃由元信息int* getFreeElement(int r, int n, double **array, int **matrixPrimary, double **matrixCalc) {int i,j,k,o,p,q;int m=n-1-r;//n-1:int *freeElement =(int*)malloc(m*sizeof(int));j=-1;//判断是否有为0的变量q=0;//如果当前⾏⾮零个数与⾃由元个数相等，则标记为1,⾃由元选择起始位置左移⼀位if(*(*(matrixPrimary+i)+1)==1)//说明第i⾏只有⼀个变量，如果是齐次⽅程它的解⼀定为0 {j=*(*(matrixPrimary+i)+0);for(k=0;k<r;k++)*(*(matrixCalc+k)+j)=*(*(array+k)+n-1) / *(*(array+k)+j);}else if(n-1-matrixPrimary[i][0]==m){q=1;}else if(n-1-matrixPrimary[i][0]>m){o=matrixPrimary[i][0];//当前⾏的⾸元位置p=0;//次数for(k=n-2-q;k>=o;k--)//从后向前查找⾃由元位置{if(k==j)continue;freeElement[p++]=k;if(p==m)//说明已经找到 m个⾃由元return freeElement;}}}return freeElement;}求解⽰例图:1> p148-例42> 2.7(1)-13> 2.7(2)-1.14> 2.7(2)-1.25> 2.7(2)-1.36> 2.7(3)-1.17> 2.7(3)-1.28> 2.7(3)-1.39> 2.7(3)-1.410> p155-例6以下是C语⾔求解的全部源代码#include <stdio.h>#include <stdlib.h>double undefined=-999;//标志位void main(){int i,j,s,n;int res;double **array,*temp,**result;//tempdouble t1[6]={1,1,1,1,1,0};double t2[6]={3,2,1,0,-3,0};double t3[6]={0,1,2,3,6,0};double t4[6]={5,4,3,2,6,0};int homogeneous=1;//标识⽅程是否是齐次⽅程void primaryRowChange(int s, int n, double **array);void printfDouble1Dimension(int n, double *array);void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array);int homogeneousResolve(int s, int n, int homogeneous, double **array, double **result); int nonHomegeneousResolve(int s, int n, double **array, double **result,double *special); //void printfInt2Dimension(int s, int n, int ** array);//int* getPrimary(int n,double *temp);//输⼊说明printf("输⼊说明:⾏数代表S个线性⽅程,N代表未知数及常数项.\n");printf("例如⽅程如下：\n");printf("1x-2y+3z=4\n");printf("-2x-4y+5z=10\n");printf("如下输⼊2⾏,4列:\n");printf("1 -2 3 4\n");printf("-2 -4 5 10\n\n");//开始printf("输⼊⾏数:");scanf("%d",&s);printf("输⼊列数:");scanf("%d",&n);//s=4;//n=6;//动态分配内存空间array =(double**)malloc(s*sizeof(double*));result =(double**)malloc(s*sizeof(double*));special =(double*)malloc(n*sizeof(double));for(i=0;i<s;i++){temp=(double*)malloc(n*sizeof(double));printf("请输⼊第%d⾏数组:",i+1);for(j=0;j<n;j++)scanf("%lf",temp+j);/*switch(i){case 0:temp=t1;//{1,1,1,1,1,0};break;case 1:temp=t2;//{3,2,1,0,-3,0};break;case 2:temp=t3;//{0,1,2,3,6,0};break;case 3:temp=t4;//{5,4,3,2,6,0};break;}*/array[i]=temp;}//打印数组printf("初等⾏列变换之前:\n");printfDouble2Dimension(s,n,array);//判断⽅程是否是齐次⽅程for(i=0;i<s;i++){if(*(*(array+i)+n-1)!=0)//如果最后⼀列,有不为0的说明⽅程为⾮齐次⽅程{homogeneous=0;break;}}primaryRowChange(s,n,array);printf("初等⾏列变换之后:\n");printfDouble2Dimension(s,n,array);if(homogeneous)//齐次{switch (res){case -1:printf("⽅程⽆解.\n");break;case0:printf("⽅程只有零解.\n");break;default:printf("⽅程的基础解系如下:\n");printfDouble2Dimension(res,n-1,result);break;}}else//⾮齐次{res=nonHomegeneousResolve(s,n,array,result,special);if(res==-1)printf("⽅程⽆解.\n");else{printf("⽅程的基础解系如下:\n");printfDouble2Dimension(res,n-1,result);printf("⽅程的特解如下:\n");printfDouble1Dimension(n-1,special);}}system("pause");}//初等⾏变换void primaryRowChange(int s, int n, double **array){int i,j,k,ii,kk,flag;double temp;for(i=0,j=0;i<s-1;i++,j++)//s⾏，最外围只需要变换s-1{ii=i;//如果⾏的⾸元为0，向下查找⼀个不为0的，然后换⾏if(*(*(array+i)+j) == 0){flag=0;for(k=i+1;k<s;k++){if(*(*(array+k)+j)!=0)//第k⾏与第i⾏交换{for(kk=j;kk<n;kk++){temp=*(*(array+k)+kk);*(*(array+k)+kk) = *(*(array+i)+kk);*(*(array+i)+kk) = temp;}flag =1;break;}}//判断是交换成功，如果没有成功，则i--if(!flag){i--;continue;}i--;j--;continue;}for(;ii<s-1;ii++){if(*(*(array+ii+1)+j)==0)continue;temp =-*(*(array+ii+1)+j) / *(*(array+i)+j);for(k=j;k<n;k++)*(*(array+ii+1)+k) += *(*(array+i)+k) * temp;}}}//⾮齐次⽅程解的情况int nonHomegeneousResolve(int s, int n, double **array, double **result, double *special) {int i,j,k,l;int r1,r2;//系数矩阵/增⼴矩阵的秩int getRank(int s, int n, double **array);int homogeneousResolve(int s, int n, int homogeneous, double **array, double **result);r1=getRank(s,n-1,array);r2=getRank(s,n,array);if(r1!=r2)return -1;//⽆解//特解temp =(double**)malloc(r1*sizeof(double*));homogeneousResolve(r1,n,0,array,temp);for(i=0;i<n;i++)*(special+i)=*(*(temp)+i);return homogeneousResolve(r1,n,1,array,result);}//齐次⽅程解的情况int homogeneousResolve(int s, int n, int homogeneous, double **array, double **result){int i,j,k,l,o,p,flag;int r;//秩rankint m;//⾃由元个数int f;//最后⼀个⾮零⾏⾸元的位置double sum1=0,sum2=0;double *temp = (double*)malloc(n*sizeof(double));//临时⾏指针int **matrixPrimary;//存储矩阵⾸元位置及⾮零元个数double **matrixCalc;//计算基础解系int *freeElement;//⾃由元位置double **matrixTemp;//声明函数void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array);void printfInt2Dimension(int s, int n, int **array);int** getPrimary(int s, int n, double **array);int getRank(int s, int n, double **array);double** initMatrixCalc(int s, int n);int* getFreeElement(int r, int n,double **array, int **matrixPrimary, double **matrixCalc);void printfInt1Dimension(int n, int *array);void getPrimarySolution(int r, int n, int homogeneous, double **array, int **matrixPrimary, double **matrixCalc ,int *freeElement, double **result); //秩rankr = getRank(s,n,array);//判断解的情况m=n-1-r;if(m<0)return -1;//⽆解else if(m==0)return0;//只有零解else{//初始化计算矩阵matrixCalc = initMatrixCalc(r,n);//获取矩阵⾸元信息matrixPrimary = getPrimary(r,n,array);/*printf("打印计算矩阵:\n");printfDouble2Dimension(r,n,matrixCalc);printf("打印矩阵⾸元信息:\n");printfInt2Dimension(r,2,matrixPrimary);*/freeElement = getFreeElement(r, n, array, matrixPrimary,matrixCalc);//打印⾃由元位置//printf("打印⾃由元位置:\n");//printfInt1Dimension(m, freeElement);//计算基础解系getPrimarySolution(r, n, homogeneous, array, matrixPrimary, matrixCalc, freeElement ,result);//printfDouble2Dimension(m,n,result);return m;}}//init Matrix calcdouble** initMatrixCalc(int s, int n){int i,j;double **array=(double**)malloc(s*sizeof(double*));for(i=0;i<s;i++){array[i] =(double*)malloc(n*sizeof(double));*(*(array+i)+n-1)=1;{*(*(array+i)+j)=undefined;}}return array;}//计算矩阵的秩int getRank(int s, int n, double **array){int flag;int i,j,r=s;//判断⾮零⾏个数for(i=0;i<s;i++){flag=0;for(j=0;j<n;j++){if(*(*(array+i)+j)!=0 && (*(*(array+i)+j)>0.01 || *(*(array+i)+j) <-0.01))//排除很⼩数， {flag=1;break;}}if(!flag)//当前⾏全为零,则r为i;{r=i;break;}}return r;}//查找某⾏⾮零个数及⾸元位置int** getPrimary(int s, int n, double **array){int i,j;int num=0,index=0;int **result=(int**)malloc(s*sizeof(int*));int *temp;for(i=0;i<s;i++){temp =(int*)malloc(2*sizeof(int));num=0;index=0;for(j=0;j<n;j++){if(*(*(array+i)+j)!=0){if(num==0)index=j;num+=1;}}temp[0]=index;temp[1]=num;result[i]=temp;}return result;}//获取⾃由元信息int* getFreeElement(int r, int n, double **array, int **matrixPrimary, double **matrixCalc){int i,j,k,o,p,q;int m=n-1-r;//n-1:int *freeElement =(int*)malloc(m*sizeof(int));j=-1;//判断是否有为0的变量q=0;//如果当前⾏⾮零个数与⾃由元个数相等，则标记为1,⾃由元选择起始位置左移⼀位for(i=r-1;i>=0;i--)//查找⾃由元，及位置为0的{if(*(*(matrixPrimary+i)+1)==1)//说明第i⾏只有⼀个变量，如果是齐次⽅程它的解⼀定为0 {j=*(*(matrixPrimary+i)+0);for(k=0;k<r;k++)*(*(matrixCalc+k)+j)=*(*(array+k)+n-1) / *(*(array+k)+j);}else if(n-1-matrixPrimary[i][0]==m){q=1;}else if(n-1-matrixPrimary[i][0]>m)o=matrixPrimary[i][0];//当前⾏的⾸元位置p=0;//次数for(k=n-2-q;k>=o;k--)//从后向前查找⾃由元位置{if(k==j)continue;freeElement[p++]=k;if(p==m)//说明已经找到 m个⾃由元return freeElement;}}}return freeElement;}//计算基础解系void getPrimarySolution(int r, int n, int homogeneous, double **array, int **matrixPrimary, double **matrixCalc ,int *freeElement, double **result) {int i,j,k,l,p;int m=n-1-r;//⾃由元double sum1,sum2;double *temp,**matrixTemp;//计算基础解系for(i=0;i<m;i++){matrixTemp=(double**)malloc(r*sizeof(double*));//复制数组for(j=0;j<r;j++){temp =(double*)malloc(n*sizeof(double));for(k=0;k<n;k++)*(temp+k)=*(*(matrixCalc+j)+k);matrixTemp[j]=temp;}//设置⾃由元为0或1for(j=0;j<r;j++){*(*(matrixTemp+j)+freeElement[i])=1;//⾃由元为1for(k=0;k<m;k++){if(k!=i)*(*(matrixTemp+j)+freeElement[k])=0;//⾃由元为0}}//printfDouble2Dimension(r,n,matrixTemp);//计算for(j=r-1;j>=0;j--){p=*(*(matrixPrimary+j));//当前⾏起始位置for(k=p;k<n;k++){if(*(*(matrixTemp+j)+k)==undefined)//如果等于标志位，它可能是未知变量{sum1=sum2=0;for(l=p;l<n;l++){if(l==n-1){sum1=*(*(array+j)+l) * *(*(matrixTemp+j)+l);}else if(l!=k){sum2+=*(*(array+j)+l) * *(*(matrixTemp+j)+l);}}for(l=0;l<r;l++)*(*(matrixTemp+l)+k)=((homogeneous?0:sum1)-sum2)/ *(*(array+j)+k);//如果齐次sum1=0;//break;}}}result[i]=matrixTemp[0];//printfDouble2Dimension(r,n,matrixTemp);}}void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array) {//printf("%d,%d",s,n);int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%6.2lf",*(*(array+i)+j));}printf("\n");}}void printfDouble1Dimension(int n, double *array){int i;for(i=0;i<n;i++){printf("%6.2lf",*(array+i));}printf("\n");}//打印⼆维数组void printfInt2Dimension(int s, int n, int **array){int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%4d",*(*(array+i)+j));}printf("\n");}}//打印⼀维数组void printfInt1Dimension(int n, int *array){int i;for(i=0;i<n;i++){printf("%4d",*(array+i));}printf("\n");}View Code。
清华大学线性代数 讨论课4答案
a1n . T . . , β = (b1 , b2 , · · · , bm ) , A = (A, β )。 amn 0 . AT . 则，（I）和（II）分别变为：AY = β 和AT X = . 。令B = βT 0 a11 . 证明：令A = . . am1 ··· .. . ···
Q−1 P −1 =
3. 设A, B 均为n阶方阵，且满足A2 = 0，B 2 = 0。 (1) 若A + B 可逆，证明r(A) = r(B )。 (2) 写出满足A + B 可逆的两个四阶幂零阵A和B 。 (3) 举例说明A + B 可逆不是r(A) = r(B )的必要条件。 证明： (1)由于r(A) + r(A) − n ≤ r(A2 )，以及A2 = 0，所以r(A) ≤ n 2 。同理，r (B ) ≤ 又r(A) + r(B ) ≥ r(A + B ) = n，所以，得到r(A) = r(B ) = n 2。 0 I2 0 0 ,B = (2) A = 0 0 I2 0 (3) n =3 0 0 0 0 0 1 A = 0 0 0 ,B = 0 0 0 1 0 0 0 0 0
(4) 已 知η1 , η2 是AX = β 的 两 个 解 ，ξ1 , ξ2 是AX = β 对 应 的 齐 次 线 性 方 程 组AX = 0的 基 础 解 η +η 系，k1 , k2 是两个任意常数，则k1 ξ1 + k2 (ξ2 − ξ1 ) + 1 2 2 是方程AX = β 的通解。 η2 答：正确。因为ξ1 , (ξ2 − ξ1 )也为齐次线性方程组AX = 0的基础解系， η1 + 2 为AX = β 的一个解。 (5) 已知A = (α1 , α2 , · · · , αn )是m × n实矩阵，若α1 , α2 , · · · , αn , β 线性相关，则非齐次线性方程 组AX = β 有解。 1 1 答：错误。如：A = ，β = (0, 1)T ，此时无解。 0 0 (6) 已知A是m × n矩阵，则存在矩阵B ，使得AB = 0且有r(A) + r(B ) = n。 答：正确。由AX = 0的基础解系组成的矩阵B ，便满足题意。 (7) 所有满足A2 = A的二阶方阵的全体是M2 (R)的子空间。 答：错误。加法和数乘封闭性都不满足。 (8) R3 中所有与向量(1, 1, 1)平行的向量的全体，构成R3 的一个子空间。 答：正确。用线性空间的定义逐条验证，容易证明结论正确。 (9) 全体复数构成的集合C 是实数域上的2维线性空间，1, i是C 的一个基，由基1, i 到基i, 1的过渡矩阵 1 0 是S = 。 0 1 0 1 答：错误。过渡矩阵应为：S = 。 1 0 二、 1. 已知A ∈ Mm×n ，B ∈ Mn×k 且r(A) = n，证明r(AB ) = r(B ) (又若r(B ) = n则r(BA) = r(A))。
线性方程组有解的条件
1 c1,r1 c1,r2 1 c2,r1 c2,r2ຫໍສະໝຸດ 1 cr,r1 cr,r2
00
0
00
0
c1n d1
c2n
d2
crn dr .
0 0
0 0
（２）
x1 2 x1
x2 2x3 x4 5， 3x2 x3 2x4 2，
4x1 5x2 3x3
7.
定理6.3 设含有n个未知量的线性方程组
(6.1)有解,其系数矩阵的秩为r.那么
(i) 当r = n 时,方程组有唯一解;
(ii) 当 r<n 时,方程组有无穷多个解.
6.2 线性方程组有解的条件
定理6.2(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(6.1)有解的充分必要条件 是 其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
例6.4 判断下列线性方程组是否有解
（１）
x1 x2 2x3 x4 3x5 1, 2x1 x2 2x32x46x52,
3x12x24x33x49x53;
推论6.3.1 齐次线性方程组有非零解的充分 必要条件是其系数矩阵的秩r小于未知量的个数n.
推论6.3.2 含有n个未知量n个方程的齐次线 性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式 等于零.
推论6.3.3 如果在一个齐次线性方程组中,方
程的个数m小于未知量的个数n,那么这个方程组必
有非零解.
1 1 1 1 A行 1 1 0 0 0 0
线性方程组有解判别定理
x1 2bx2 x3 4
何时有解？何时无解？
在有解的时候求出它的一般解．
例2 讨论线性方程组是否有解？
x1 x2 x3 1
aa
ax1 bx2 2 x1 b2 x2 3 x1 b3 x2
cx3 d c2 x3 d c3 x3 d
2 3
a,b,c,d 各不相同．
四、作业 P
一、有解的判别定理
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1
设线性方程组
aa2s11Lxx11L
a22 x2 L LLLL as2 x2 L
a2n xn LLLL asn xn
b2 bs
(1)
其系数矩阵A和增广矩阵 A 分别为
a11 a12 L
A
a21 L
a22 L
a1r L 0, arr
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1
a21 x1 LL
ar1 x1
a22 x2 L LLLL ar2 x2 L
a2n xn LLLL arn xn
b2 br
例1 讨论线性方程组
ax1 x2 x1 bx2
x3 x3
4 3
所以，方程组(1)有解．
总之，线性方程组(1)有解 R( A) R( A).
并且，若 R( A) R(则A)(1)n有, 唯一解；
若 R( A) R(则A)(1)n有无穷多个解.
附
a11 L
若R( A) R( A) r, 且 r 级子式 L L
ar1 L
则方程组(1)与下面的方程组是同解的.
所以 R( A) R( A).
反过来，若 R( A) R( A)，则
rank{1,2 ,L ,n } rank{1,2,L ,n, } 设 i1 ,i2 ,L ,ir 为1,2 ,L ,n 的一个极大无关组， 则 i1 ,i2 ,L ,ir 也为1,2 ,L ,n , 的极大无关组， ∴向量组 1,2 ,L ,n 与 1,2 ,L ,n , 等价， 从而 可由向量组 1,2 ,L ,n 线性表出，
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1
1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示。(传递性）
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关； 如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向 量组α1,α2,···,αs 线性无关。 例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。 若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的 线性组合。 性相关性。 线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关 线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的
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( A )< n . 反之，设秩( A )=秩( A )< n. 若秩( A )=秩( A )=0，则方程组为 0=0. 此时，当然有
无穷多个解.否则，取α1,α2 ,…,αn 的一个极大无关组αi1 ,αi2 ,…,αir . 显然αi1 ,αi2 ,…,αir 也
是 α1,α2 ,…,αn , β 中的向量. 注意到 α1,α2 ,…,αn , β 的秩为 r, 故 αi1 ,αi2 ,…,αir , β 线性
回忆 等价的向量组有相同的秩.
命题 若 β 可由 α1,α2 ,…,αn 唯一的线性表出，则 α1,α2 ,…,αn 线性无关.另一方面，若
α1,α2 ,…,αn , β 线性相关且α1,α2 …,αn 线性无关，则 β 可由α1,α2 ,…,αn 唯一的线性表
出. 定理(线性方程组有解判别定理) 设线性方程组
相关. 这说明 β 可由αi1 ,αi2 ,…,αir 线性表出，从而可由α1,α2 ,…,αn 线性表出. 于是，方程
组有解. 最后据条款(1)可知，必有无穷多个解.
(3) 这是(1)和(2)的直接推论.
推论 设齐次线性方程组
的系数矩阵为
⎧ a11x1 + a12 x2 + ⎪⎨⎪a21x1 + a22 x2 + ⎪ ⎪⎩as1x1 + as2 x2 +
证明 （1）若方程组有唯一解，则 β 可唯一的表成向量组α1,α 2 , ,α n 的线性组合. 这说 明α1,α2 ,…,αn 线性无关，从而其秩为 n, 于是 A 的列秩为 n, 也就是秩( A )= n. 另外，此时 α1,α2 ,…,αn 与α1,α2 ,…,αn , β 等价，于是有相同的秩，故秩( A )=秩( A )= n . 反之，若秩 ( A )=秩( A )= n ，则 α1,α2 ,…,αn 线性无关，而 α1,α2 ,…,αn , β 线性相关，于是 β 可由 α1,α2 ,…,αn 线性表出且表示法唯一，即方程组有唯一解. （ 2 ） 若 方 程 组 有 无 穷 多 个 解 ， 则 β 可 表 成 向 量 组 α1,α2 ,…,αn 的 线 性 组 合 . 于 是 α1,α2 ,…,αn 与 α1,α2 ,…,αn , β 等 价 ， 从而 秩 ( A )= 秩 ( A ). 由 条 款 (1)便 知 秩 ( A )= 秩
⎛ a11 a12
a2n
⎟⎜
⎟⎟，A
=
⎜ ⎜
a21
a22
⎟ asn ⎠
⎜ ⎝ as1 as2
(1) 方程组有唯一解当且仅当秩( A )=秩( A )= n .
a1n b1 ⎞
a2n
b2
⎟
⎟ ⎟Biblioteka .⎟ asn bs ⎠
(2) 方程组有无穷多个解当且仅当秩( A )=秩( A )< n .
(3) 方程组无解当且仅当秩( A )<秩( A ).
⎛ a12 ⎞
⎛ a1n ⎞
⎛ b1 ⎞
α1
=
⎜ ⎜
a21
⎟ ⎟
⎜⎟
,α2
=
⎜ ⎜
a22
⎟ ⎟
⎜⎟
, …, αn
=
⎜ ⎜
a2n
⎜
⎟ ⎟ ⎟
,β
=
⎜ ⎜
b2
⎟ ⎟
.
⎜⎟
(2)
⎜ ⎝
as1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
as
2
⎟ ⎠
⎜ ⎝
asn
⎟ ⎠
⎜ ⎝
bs
⎟ ⎠
于是线性方程组(1)可以改写成向量方程
x1α1 + x2α 2 + + xnα n = β .
方程组有解判别定理的一个证明
方程组的表现形式 设线性方程组为
⎧ a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ,
⎪⎪⎨a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 ,
(1)
⎪
⎪⎩ as1 x1 + as2 x2 + + asn xn = bs
引入向量
⎛ a11 ⎞
+ a1n xn = 0, + a2n xn = 0,
+ asn xn = 0.
2
⎛ a11 a12
⎜
A
=
⎜ ⎜
a21
a22
⎜ ⎝ as1 as2
(1) 方程组有非零解当且仅当秩( A )< n.
(2) 方程组只有零解当且仅当秩( A )= n.
a1n ⎞
a2n
⎟
⎟ ⎟
.
⎟ asn ⎠
3
⎧ a11 x1 + a12 x2 +
⎪⎪a ⎨
21
x1
+
a22 x2
+
⎪
⎪⎩ as1 x1 + as2 x2 +
+ a1n xn = b1 , + a2n xn = b2 ,
+ asn xn = bs
的系数矩阵和增广矩阵分别为
1
⎛ a11 a12
⎜
A
=
⎜ ⎜
a21
a22
⎜ ⎝ as1 as2
a1n ⎞
(3)
命题 利用上面的记号, 以下结论显然成立： （1）线性方程组(1)有解当且仅当向量方程(3)有解.
（2）向量方程(3)有解当且仅当向量 β 可以表成向量组α1,α2 ,…,αn 的线性组合.
（3）向量方程(3)有唯一解当且仅当向量 β 可唯一的表成向量组α1,α2 ,…,αn 的线性组合.
回忆 向量组α1,α2 ,…,αn 线性无关当且仅当它的秩为 n.