11勾股定理(2).讲义学生版

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八年级数学《勾股定理》讲义全

【课题名称】八上数学《勾股定理》【考纲解读】1.掌握勾股定理的含义；2.理解勾股数，并且会熟练地运用勾股数；3.能够根据勾股定理，解决实际问题。

【考点梳理】考点1：勾股定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）勾股定理的表示：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c ，那么222a b c+=（3）勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法。

图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

考点2：勾股定理的适用围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

考点3：勾股数（1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

（2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，比如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8，15，17等。

考点4：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边。

在A B C ∆中，90C ∠=︒，则c ，b ，a ；（2）已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；（3）可以运用勾股定理解决一些实际问题，比如圆柱和长方体的最短距离问题。

【例题讲解】c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A例1：如图字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．194例2：下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5 B．a=2，b=3，c=C．a=12，b=10，c=20 D．a=5，b=13，c=12例3：三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形例4：如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．13米D．14米例5：如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9 B．10 C．D．例6：如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有个．【课堂检测】1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于（）A．2 B．C．D．2．在ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则AB=（）A．B．5 C．D．73．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：64．在△ABC中，AC2﹣AB2=BC2，那么（）A．∠A=90°B．∠B=90°C．∠C=90°D．不能确定5．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（）A．8、15、17 B．10、24、25 C．9、15、20 D．9、80、816．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm8．已知直角三角形的两边长为3厘米和5厘米，则第三边长为．9．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是三角形（直角、锐角、钝角）．10．如图，是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）11．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2．求∠DAB的度数．【课后作业】1．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b ＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2 C．（b+a）2D．a2+2ab2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形3．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（）A．5 B．C．5或D．5或64．下列是三角形的三边，能组成直角三角形的是（）A．1：2：3 B．1：：3 C．2：3：5 D．1：1：5．如图，路与路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．400m B．525m C．575m D．625m6．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m7．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为．8．有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是m，cm，cm．9．写出一组直角三角形的三边长．（要勾股数但3、4、5和6、8、10除外）10．如图所示，“爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在RtABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）证明勾股定理；（2）说明a2+b2≥2ab及其等号成立的条件．11．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．12．已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12．求图形的面积．13．如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？（π取3）。

八年级数学《勾股定理》讲义

【考点梳理】考点1：勾股定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）勾股定理的表示：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222ab c+= （3）勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法。

图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

考点2：勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

考点3：勾股数（1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

（2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，比如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8，15，17等。

考点4：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边。

【例题讲解】c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A例1：如图字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．194例2：下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5 B．a=2，b=3，c=C．a=12，b=10，c=20 D．a=5，b=13，c=12例3：三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形例4：如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．13米D．14米例5：如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9 B．10 C．D．例6：如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有个．【课堂检测】1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于（）A．2 B．C．D．2．在△ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则AB=（）A．B．5 C．D．73．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：64．在△ABC中，AC2﹣AB2=BC2，那么（）A．∠A=90°B．∠B=90°C．∠C=90°D．不能确定5．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（）A．8、15、17 B．10、24、25 C．9、15、20 D．9、80、816．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm8．已知直角三角形的两边长为3厘米和5厘米，则第三边长为．9．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是三角形（直角、锐角、钝角）．10．如图，是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）11．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2．求∠DAB的度数．【课后作业】1．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b ＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2 C．（b+a）2D．a2+2ab2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形3．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（）A．5 B．C．5或D．5或64．下列是三角形的三边，能组成直角三角形的是（）A．1：2：3 B．1：：3 C．2：3：5 D．1：1：5．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．400m B．525m C．575m D．625m6．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m7．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为．8．有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是m，cm，cm．9．写出一组直角三角形的三边长．（要求是勾股数但3、4、5和6、8、10除外）10．如图所示，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）证明勾股定理；（2）说明a2+b2≥2ab及其等号成立的条件．11．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．12．已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12．求图形的面积．13．如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？（π取3）。

第3章《勾股定理》知识讲练(学生版)

2023-2024学年苏科版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于 .（即：）勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求；（2）利用勾股定理可以证明的问题；（3）解决与勾股定理有关的；（4）勾股定理在的应用．知识点02：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 细节剖析：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设；（2）验证：与a b 、c a b c 、、c 22a b 2c若若满足不定方程的称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.细节剖析：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：；.，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）知识点03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的，而其逆定理是联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者，都与有关.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•海门市期末）以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A ．2，4，5B ．4，6，8C ．5，12，13D ．8，10，12mm ，则梯子顶端的高度h 是（）222a b c +=222a b c +＞222b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a bc 、、a b c <<2729m B．2m m m3．（2分）（2022秋•玄武区期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（2分）（2022秋•南通期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高为（）A．3B．C．D．25．（2分）（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，以边AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．46．（2分）（2022秋•泗阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中线，CD＝，AC＝，则AE的长为（）A．B．5 C．6 D．47．（2分）（2022秋•吴江区校级月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm28．（2分）（2022秋•宿城区期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．49．（2分）（2022秋•沭阳县期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（）A．4 m B．5m C．6m D．8m10．（2分）（2021秋•东台市期末）如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（）A．2条B．3条C．4条D．5条二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点D到直线AB的距离是cm．12．（2分）（2022秋•海门市期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，△ABC的外角平分线与边BC的垂直平分线交于点D，则AD＝．13．（2分）（2022秋•常州期末）如图，分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，三个正方形面积分别用S1、S2、S3表示，则下列：①S2＞S3；②S2＜S1+S3；③S2＞S1+S3；④，结论正确的是（填写序号）．14．（2分）（2022秋•常州期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC平分∠BAD，且∠ACB＝90°．当点C在BD的垂直平分线上时，CD2的值为．15．（2分）（2023春•宿豫区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝40°，AH、BD分别是△ABC的高和角平分线，点E为BC边上一点，当△BDE为直角三角形时，则∠CDE＝．16．（2分）（2022秋•亭湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为．17．（2分）（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于．18．（2分）（2022秋•广陵区校级期末）直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC 的角平分线，则BD＝．19．（2分）（2022秋•泰兴市期末）已知，如图，四边形ABCD中，AD＝6，CD＝8，∠ADC＝90°，点M是AC 的中点，连接BM，若BM＝AC，∠BAD+∠BDC＝180°，则BC2的值为．20．（2分）（2021秋•建邺区期末）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•徐州期末）《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？22．（6分）（2022秋•江都区期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．23．（6分）（2022秋•宿豫区期末）如图，一艘军舰甲在A处停留，此时在A处的南偏西45°方向，距离A 处600公里的B处一艘军舰乙正由南向北航行，若军舰甲的雷达可测距离为450公里，军舰乙的航行方向不变，试问在军舰乙航行的过程中，军舰甲的雷达能否测到军舰乙？请通过计算说明理由．24．（6分）（2022秋•海陵区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC的中点，CF⊥AB于点F，连结DE，DF，EF．（1）求证：△DEF是等腰三角形．（2）若AB＝5，BC＝6，求CF的长．25．（6分）（2022秋•常州期末）数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D 到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．26．（8分）（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在ADm，将秋千AD往前推送3m，到达ABm，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）根据题意，BF＝m，BC＝m，CD＝m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．m时，需要将秋千AD往前推送m．27．（6分）（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．28．（8分）（2022秋•天宁区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．29．（8分）（2022秋•秦淮区月考）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4；已知S△ABC＝40cm2，如图，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．（1）若△DMN的边与BC平行，求t的值；（2）在点N运动的过程中，△ADN能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．。

勾股定理(二)教学课件

探究新知
例1-1、一个门框的尺寸如图，一块长 3m、宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
D C C
2m
2m
A
1m
B
A
1m
B
例题讲解
例1-2、古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。
B
巩固练习
2、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里（如图），杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？
C
A
B
思维延伸
我怎么走会最近呢?
A
B 有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到上底面相对的点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π 取3)
勾股定理（二）
温故知新
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵在△ABC中，∠Ｃ=90° A
c
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
a
┏C
∴a2+b2=c2
2、运用勾股定理的前提是什么？
温故知新
A 12 A
1、求出下图中直角三角形中未知边的长度。
13
5 B
B
25
7
C
C
24
2、直角三角形中，两直角边分别是3和4，则第三边长是_________ 。 5 3、直角三角形中，两条边长分别是3和4，或 7 则第三边长是5 _________ 。
D C

八年级数学讲义(勾股定理2)

1 / 5S4S3S2S1图1L321八年级数学讲义（勾股定理专题突破）掌握勾股定理的相关考点，巩固勾股定理的基础知识勾股定理的直接应用；直角三角形的判定；勾股定理与折叠问题；勾股定理与最短路径问题、图形信息题、方案设计题、阅读题、与勾股定理的世界名题一、图形信息题例1. 在直线L 上依次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4= .例2．已知：如图，在ABC △中，90ACB AC BC ∠==，，P 是ABC △内一点，且3PA =，12PB CD PC CD CP ===，，⊥。

求BPC ∠。

二、生活实践题2 / 5例3.（2012年荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：厘米)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13厘米，小孔到图中边AB 距离为1厘米，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h 厘米，则h 的最小值大约为_________厘米.（精确到个位）2.2≈≈≈）三、方案设计题例4. 如图3所示，MN 表示一条铁路，A,B 是两个城市，它们到铁路所在直线，它们到铁路所在直线MN 的垂直距离分别为1AA =20km ，1BB =40km ，且11B A =80km.现要在11,B A 之间设一个中转站P ，使两个城市到中转站的距离之和最短.请你设计一个方案确定P 点的位置，并求出这个最短距离.四、阅读理解题例5、已知a ，b ，c 为△ABC 的三边且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．小明同学是这样解答的．解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4， ∴()()()2222222c a b a b a b -=+-∴222?c a b =+．订正：∴ △ABC 是直角三角形．横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过3 / 5程．”请你帮助小明订正此题，好吗？五、折叠问题例6．如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处。

《勾股定理(2)》新授课课件

DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2(m). 在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°, ∴ DC2+ CE2＝DE2 ，即22+ CE2＝2.52, ∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.
C B
E
答：梯子底端B不是外移0.4m.
练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙 AO上，这时AO的距离为2.5米．
C
(8－ x)2+42=x2， 64 －16x+x2+16=x2， 80 －16x=0， 16x=80 x=5 在Rt△ADE中，∠D=90°，
∴AE2=AD2+DE2，
∴AE2=102+52=125, ∴AE=
125=5 5.
例6：如图，棱长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ B ）. A.3 B. 5 C.2 D.1
D C 解：∵在Rt△ ABC中，∠B=90°, AB=BC=50dm, ∴由勾股定理可知：
AC AB 2 BC 2 502 50 2
A
50dm
B
5000 71(dm)
【活动】
如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，AC= 20m ，你能求出A,B两点间的距离吗？（结果保留整数）
第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
（第2课时）
目 Contents 录
03 04
01
02
旧知回顾
学习目标
新知探究
随堂练习
05
课堂小结
旧知回顾
勾股定理：直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方．

八年级数学上册《11 勾股定理》讲义北师大版

《11 勾股定理》讲义一、必须要熟悉记忆：1、常见的勾股数有：①3、4、5；②5、12、13；③6、8、10；④7、24、25；2、常见数的平方：1²=1, 2²=4，3²=9,4²=16,5²=25,6²=36,7²=49,8²=64，9²=8110²=100，11²=121,12²=144,13²=169,14²=196,15²=225,16²=256,17²=289，18²=324, 19²=361,20²=400,25²=6253、勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．即3k,4k,5k,也是勾股数。

专题1 已知两边，求第三边（）例1（1）在直角△ABC中，BC=5，AC=12，则AB= 。

(2) 如图2，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，且BD=6，AD=6，SΔABC=42，则AC= 。

(3) 在△ABC中, ∠C=90°,BC=4，BC:AB=4:5，则AC= ,BC上的高。

(4) 已知直角三角形的两边是6和10，求三角形的面积。

（5）在Rt△ABC中，BC=7，AB=24，若第三边为整数，则第三边AC= 。

（6）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．（7）一个三角形的三边是三个连续整数，则它的三边长分别是，如果三边长是连续的三个偶数，则它的三边长分别是。

变式1-1:（1）在直角三角形ABC中，∠A=∠B=45°，AC=2，则AB= 。

（2）在直角三角形ABC中, ∠A=∠C,AC=4，则AB= ,CB= 。

（3）在等腰直角△ABC中，∠C=90°，则AB:AC:BC= 。

(重点记忆)变式1-2:（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则AB:AC:BC= （重点记忆）（2）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D．若BD=1，则AB= 。

专题十一勾股定理.doc(学生版)

专题十一勾股定理(学生版）教学目标1、掌握在直角三角形的三边及角之间的关系。

2、掌握运用勾股定理逆定理判断一个三角形为直角三角形。

一、知识回顾课前热身知识点1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2= c2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c2= a2＋b2，a2= c2－b2，b2= c2－a2．热身1、一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x= ；2、已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为．3、若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．知识点2、学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．热身2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么()2ba+的值为（）A、13 B、19 C、25 D、169知识点3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.热身1、三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为．2、测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，•13cm，•则这个花坛的面积是。

知识点4、1）命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

《几何证明(二)-勾股定理》知识讲练(学生版)

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：直角三角形1. 直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.2.直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点，那么A 、B 两点的距离为： .两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：易错点拨：几何证明的分析思路：（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件.例如：要证线段相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；要证角相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）；要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：c b a 、、222c b a =+c b a 、、()()2211,,y x B y x A 、()()221221y y x x AB -+-=x x ()()y x B y x A ,,21、()()()212212221x x x x y y x x AB -=-=-+-=y y ()()21,,y x B y x A 、()()()212212212y y y y y y x x AB -=-=-+-=已知线段的垂直平分线→线段相等；已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；已知直线平行→角相等；已知边相等→角相等（前提：在同一三角形中）.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26 C．47 D．942．（2分）（2021秋•宝山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC＝2，BC＝4，那么下列结论中错误的是（）A．∠ACD＝∠B B．CM＝C．∠B＝30°D．CD＝3．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠BC．b2＝a2﹣c2D．a：b：c＝5：12：134．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，BD、CE是高，点G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60°D．GF平分∠DGE5．（2分）（2021秋•普陀区期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（）A．8，15，17 B．，，C．，2，D．1，2，6．（2分）（2021秋•普陀区期末）现有四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，选取其中三块按如图的方式围成一个三角形，如果要使这个三角形是直角三角形，那么选取的三块纸片的面积分别是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，57．（2分）（2020秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（）A．∠ACM＝∠BCD B．∠ACD＝∠B C．∠ACD＝∠BCM D．∠ACD＝∠MCD8．（2分）（2022秋•宝山区期末）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是（）A．①②B．①②③C．①②③④D．①9．（2分）（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，BD平分∠ABC，BD＝2，则以下结论错误的是（）A．点D在AB的垂直平分线上B．点D到直线AB的距离为1C．点A到直线BD的距离为2D．点B到直线AC的距离为10．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是边BC上一点，且BE＝CD＝a，AB＝EC＝b．如果△ABE的面积为1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面积为（）A．1 B．2 C．2.5 D．5二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为．12．（2分）（2021秋•宝山区期末）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝，若∠D＝50°，则∠B＝．13．（2分）（2021秋•徐汇区期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝．14．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是°．15．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，联结CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，则AB＝．16．（2分）（2022秋•黄浦区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，且AD＝5，AC＝10．则AB＝．17．（2分）（2022秋•徐汇区期末）已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于．18．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝AC，D是边BC上一点，E是边AC上一点，AD＝AE，若△ABD为等腰三角形，则∠CDE的度数为．19．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，AB＜BC）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么＝．20．（2分）（2022秋•闵行区期中）阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方．因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入数据计算求得AB＝5．请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：已知：如图，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，点E是BD的中点，那么AE的长为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•闵行区校级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，BD＝AD＝CD，过点B作BE⊥CD，分别交AC于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）如果BE＝CD，求证：AC＝2BC．22．（6分）（2022秋•杨浦区期末）已知，如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD＝BC，AE⊥BC．（1）求证：∠CAE＝∠B；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的长．23．（8分）（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．24．（8分）（2021秋•普陀区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N，已知DC＝2，求AN的长．25．（8分）（2021秋•徐汇区校级期末）已知，如图，在三角形ABC中，AD是边BC边上的高，CE是中线，F是CE中点，DF垂直于CE，求证：CD＝AB．26．（8分）（2021秋•宝山区校级期中）阅读材料：两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝，根据上面材料完成下列各题：（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是．（2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．（3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．27．（8分）（2022秋•黄浦区校级期末）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于点H，D是AC中点，DE ∥AB，求证：EH＝AC．28．（8分）（2021秋•青浦区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）当∠BCA＝15°，AC＝10cm，OB＝OM时，求MN的长．。

勾股定理第2课时课件

什么是勾股定理？
1 三角形的边和角的基本概念
解释三角形的边和角的基本概念，为学生理解勾股定理做铺垫。
2 勾股定理的几何意义
揭示勾股定理在几何学中的重要作用和意义。
勾股定理的表示方法
1 勾股定理的两种形式
2 勾股定理的证明方法
介绍勾股定理的直角三角形两种表示方法，加深学生对其理解。
探讨勾股定理的证明方法，培养学生的证明能力。
勾股定理第2课时ppt课件
这是一份关于勾股定理第2课时的PPT课件。通过本课时，我们将深入了解勾股定理的几何意义、表示方法、证明方法、性质与判定方法，并探讨其在实际应用中的使用。
引言
1 上节课回顾
2 本节课概要
回顾上节课学习的内容，为本节课的学习打下基础。
介绍本节课的学习目标和内容，为学生提供一个清晰的学习框架。
总结
1 回顾本节课内容
2 下节课预告
总结本节课所学内容，帮助学生巩固知识。
展望下节课的内容，激发学生的学习兴趣。
笛卡尔坐标系中的勾股定理
1 直角三角形的边长度的计算
教授如何利用勾股定理在笛卡尔坐标系中计算直角三角形的斜边长度。
2 证明斜边长度公式
引导学生自行证明斜边长度公式，锻炼他们的推理和证明能力。
勾股数的性质与判定方法
1 什么是勾股数
阐述勾股数的定义和特点，帮助学生理解勾股数的概念。
2 勾股数的判定方法
介绍如何判断一个数是否是勾股数，激发学生的思考和分析能力。
3 勾股数的性质
探讨勾股数的一些重要性质和规律，加深学生对勾股定理的理解。
实例分析
1 使用勾股定理解决三角形问题
通过具体的例子，演示如何应用勾股定理解决实际三角形问题。

勾股定理讲义

勾股定理复习课教学目标：1. 回顾熟知勾股定理，理解勾股定理的探究，掌握勾股定理逆定理，理解它们的产生及证明过程，形成体系，能运用勾股定理及逆定理进行计算、证明和解决实际问题.2. 理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念，能写出一个命题的逆命题.3，经历勾股定理、勾股定理逆定理、逆命题等的应用和证明体会数形结合思想以及转化思想在解决数学问题中的作用，学会运用数学的方式解决实际问题重点：勾股定理的简单计算证明，用勾股定理解三角形以及勾股定理的综合运用。

难点：勾股定理解三角形以及勾股定理的灵活运用。

知识梳理1勾股定理的概念：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a2 +b2 ＝c2 ）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b =，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识梳理2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）知识梳理3勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

勾股定理-讲义

勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。

《勾股定理(2)》说课课件

方厘米.
（每一格表示 1 平方厘米）
难点处理：引导学生通过对R 图形进行分割或是用“补”的方法进行计算
参考
“割”的方法：
S正方形R
A
R P
=4×S直角三角形
S小正方形
4 1 34 1 2
CB
Q
图1-2
=25（平方厘米）
“补”的方法:
S正方形R
A
R P
S 4 S × ＝大正方形-
直角三角形
课题：勾股定理
1 教材分析 2 教学方法和学法 3 教学过程 4 课程资源开发利用 5 教学设计说明
一、教材分析
(1) 教材的地位和作用
本节课是华师大版数学八年上册第14章《勾股定理》第一节第 1课时的内容，是学生在学习了《面积与代数恒等式》这一课题学习之后的第一节课。勾股定理是几何中极重要的一个定理,揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，为学生以后学习三角函数打下基础，在生产、生活中也有着广泛的应用。本节课内容渗透了数形结合、转化、从特殊到一般等数学思想方法，教材中关于勾股定理的多种验证及勾股定理的推广等，都可供学生探究与挖掘，是渗透研究性学习，培养学生探究能力和创新精神的极好素材。
一、教材分析
（3）教学重点、难点分析 1.教学重点
体验探索、证明勾股定理的过程及简单应用
2.教学难点
体验探索、证明勾股定理的过程，进一步体会数形结合的思想
1 教材分析 2 教学方法和学法 3 教学过程 4 课程资源开发利用 5 教学设计说明
教法选择
数学教学的实质就是学生在他们的“数学现实”基础上、在教师指导下进行“再创造”的过程，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生完成这种创造。本节课采取 “引导探索法”，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探索，合作交流。教学过程体现了创设问题情境----定理的发现----定理的验证-----定理的应用的全过程。