一元一次不等式及其解法常考题型讲解
一元一次不等式组专题知识点与经典习题
一元一次不等式(组)专题知识点与经典习题一元一次不等式（组）复习一.知识梳理1.知识结构图(二).知识点回顾1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种：“≠”、“>” 、“<” 、“≥”、“≤”．2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。
说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc（或___a b c c） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b c c）说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0ab >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0a b <，则a 、b 异号。
任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ⇔a>b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b<O ⇔a<b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。
专题10 一元一次不等式(组)(含解析)
专题10 一元一次不等式（组）一、解读考点二、考点归纳归纳 1：有关概念基础知识归纳：1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3、用数轴表示不等式的方法4、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．【答案】＜．考点：不等式的定义．归纳 2：不等式基本性质基础知识归纳：1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】若x>y，则下列式子中错误．．的是（）A、x－3>y－3B、x y>33C、x+3>y+3D、－3x>－3y【答案】D．考点：不等式基本性质。
完整版一元一次不等式及其解法常考题型讲解
一元一次不等式及其解法一、知识点复习1.一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 且系数不为0 的不等式，称为一元一次不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.3.注意事项：①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。
②系数化为1时，注意系数的正负情况。
二、经典题型分类讲解题型1：考察一元一次不等式的概念x?5?00??3xy5?x?；④；②；1.（2017春昭通期末）下列各式：①③?2?x?3x；3?3?3xx?2?0是一元一次不等式的有（；⑥⑤）x A、2个B、3个C、4个D、5个2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（）22209??6x?x?xx?9x?x?70y?x?0?x?1、CD B、、A、mx03(m?1)x??的值为3.（2017春寿光市期中）若的一元一次不等式，则是关于）（2m11??0 D C、、、A、B1题型2：考察一元一次不等式的解法: 4.（2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来xx?2?5?1?)?x2(5?3)x?32x(1?）（ 1 2）（2312x?1.53x?0.610(1.9?3x)?? 5.。
解不等式0.50.20.1?10 3?x4x?3?1x的值不大于6.（2016秋相城区期末）若代数式的取值范围。
的值时，求26?3xx?3的解集的过程：春开江县期末）请阅读求绝对值不等式 7.（2017和x?3?333的，所以因为的数的绝对值是小于所示的数轴上看：大于而小于，从如图1x?3?3?x?3；的解集是x?3?33，所的数的绝对值是大于的数和大于，从如图2所示的数轴上看：小于因为3x?3x??3x?3。
以或的解集是解答下列问题：ax?0a?，）的解集为）不等式（（1a?x0?a（不等式；）的解集为4?x?2）解不等式（2；75??x解不等式3（）。
(完整版)一元一次不等式组知识点及题型总结
一元一次不等式与一元一次不等式组一、不等式考点一、不等式的概念题型一 会判断不等式下列代数式属于不等式的有 .① —x ≥5 ② 2x-y ＜0 ③ ④ -3＜0 ⑤ x=3 ⑥ ⑦ x ≠5⑧02x 3-x 2＞+ ⑨ 题型二 会列不等式根据下列要求列出不等式①.a 是非负数可表示为 。
②。
m 的5倍不大于3可表示为 .③.x 与17的和比它的2倍小可表示为 .④.x 和y 的差是正数可表示为 。
⑤.x 的 与12的差最少是6可表示为__________________.考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
逆定理:不等式两边都乘以（或除以）同一个数,若不等号的方向不变，则这个数是正数。
基本训练：若a ＞b ，ac ＞bc,则c 0。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变.逆定理：不等式两边都乘以（或除以)同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数.基本训练：若a ＞b ，ac ＜bc ，则c 0. 4、如果不等式两边同乘以0,那么不等号变成等号，不等式变成等式。
练习：1、指出下列各题中不等式的变形依据352≥+x533222y x y x ++0y x ≥+①.由3a>2得a> 理由： 。
②。
由a+7>0得a 〉—7 理由： 。
③.由—5a<1得a 〉 理由： .④.由4a>3a+1得a>1 理由： 。
2、若x ＞y,则下列式子错误的是（ ）A.x-3＞y —3B. ＞ C 。
x+3＞y+3 D.-3x ＞—3y 3、判断正误①。
若a ＞b,b ＜c 则a ＞c 。
（ ) ②.若a ＞b ，则ac ＞bc 。
（ ）③。
若 ，则a ＞b 。
( ）④. 若a ＞b ，则 。
（ ）⑤。
若a ＞b ，则 （ ）⑥。
一元一次不等式组的解法步骤例题
一元一次不等式组的解法步骤一元一次不等式组是数学中常见的一类问题，它可以通过一定的方法和步骤得到解决。
在本文中，我们将针对一元一次不等式组的解法步骤进行全面评估，并提供例题来帮助读者更深入理解。
解法步骤：1. 确定不等式组的条件：我们需要明确所给出不等式组的条件。
不等式组通常包括多个不等式，我们需要确保每个不等式都满足一元一次不等式的标准形式，即ax+b>c或ax+b<c。
2. 求出每个不等式的解集：针对每个不等式，我们需要求出其解集。
这一步骤需要运用代数式的加减乘除法，并结合不等式的性质来确定不等式的解集。
3. 得出整体的解集：在求出每个不等式的解集之后，我们需要将这些解集合并起来，求得整体的解集。
在合并解集的过程中，需要注意考虑每个不等式的关系，以确保得出正确的整体解集。
下面我们通过一个具体的例题来展示以上的解法步骤：例题：求解不等式组 {2x+1>5, 3x-2<7}解法步骤：1. 确定不等式组的条件：给出的不等式组已经满足一元一次不等式的标准形式，因此不需要进行进一步的调整。
2. 求出每个不等式的解集：分别对每个不等式进行求解，得到2x>4和3x<9。
通过简单的代数运算，我们可以得到x>2和x<3。
3. 得出整体的解集：通过整合每个不等式的解集，我们可以得到最终的解集为2<x<3。
个人观点和理解：从上面的例题中可以看出，解决一元一次不等式组主要是通过逐步求解各个不等式，然后再将它们的解集合并起来，得到最终的整体解集。
在这个过程中，需要注意准确地运用代数运算，同时也要考虑不等式之间的关系，确保最终的解集是正确的。
总结回顾：通过本文的讲解和例题，我们对一元一次不等式组的解法步骤有了更深入的了解。
从确定条件、求解各个不等式到得出整体的解集，这些步骤是解决一元一次不等式组问题的关键。
我们也注意到在解题的过程中，需要不断地练习和总结，才能更熟练地应对各种类型的不等式组问题。
不等式常见题型及解析题
不等式常见题型及解析题一、一元一次不等式1.问题描述解不等式$a x+b>c$，其中$a>0$。
2.解法分析根据不等式的性质，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax+b=c$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b>0$的$x$，都可以使得$a x+b>c$，所以解集为$\le ft(\fr ac{c-b}{a},+∞\ri gh t)$。
（2）当$a<0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b<0$的$x$，都可以使得$a x+b<c$，所以解集为$\le ft(-∞,\f r ac{c-b}{a}\r igh t)$。
（3）当$a=0$时此时，不等式退化为$b>c$或$b<c$，没有变量$x$，所以不存在解。
二、一元二次不等式1.问题描述解不等式$a x^2+bx+c>0$，其中$a>0$。
2.解法分析和一元一次不等式类似，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax^2+b x+c=0$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时判断二次函数$a x^2+b x+c$的图像与$x$轴的交点数：-当判别式$Δ=b^2-4a c$大于0时，二次函数与$x$轴有两个交点，此时不等式的解集为$\le ft(-∞,x_1\ri gh t)\c up\le ft(x_2,+∞\ri g ht)$，其中$x_1$和$x_2$分别为二次方程$a x^2+b x+c=0$的两个根。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$等于0时，二次函数与$x$轴有一个交点，此时不等式的解集为$\ma th bb{R}$，即全体实数的集合。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$小于0时，二次函数与$x$轴没有交点，此时不等式的解集为空集。
一元一次不等式组的解法经典例题透析
经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。
所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。
有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。
解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。
即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。
所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。
思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
一元一次不等式组的解法常考题型讲解
一元一次不等式组的解法一、知识点复习1.一元一次不等式组的概念：几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的 公共部分 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表：二、经典题型分类讲解题型1：考察一元一次不等式组的概念1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①⎩⎨⎧<->32x x ，②⎩⎨⎧>+>420x x ，③⎩⎨⎧>+<+42122x x x ，④⎩⎨⎧-<>+703x x ，⑤⎩⎨⎧<->+0101y x 。
其中一元一次不等式组的个数是（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个题型2：考察一元一次不等式组的解法2.（2018春天心区校级期末）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-61213312x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥-+->-1542453312x x x x（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321)2(352x x x x（5）⎪⎩⎪⎨⎧-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）⎪⎩⎪⎨⎧->≥----624102.05.05.04.073x x x x x4. 解下列不等式21153x --<≤题型3：考察一元一次不等式组的整数解问题5.（2017西安模拟）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>+32152)2(3x x x x 的最小整数解是 。
6.（2016春马山县期末）若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧>->-0123a x x 恰有3个整数解，那么a的取值范围是（ ）A 、12<<-aB 、23-≤<-aC 、23-<≤-aD 、23-<<-a7.已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧≥->+023032x a x a 恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A 、2332≤≤a B 、2334≤≤a C 、2334≤<a D 、2334<≤a题型4：考察一元一次不等式中字母参数问题8. （2016春汉台区校级月考）不等式x x>-12与x ax 56>-的解集相同，则=a 。
一元一次不等式知识点及典型例题
题型一：求不等式的特殊解１） 求x+3＜6的所有正整数解２）求10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。
３）求不等式的非负整数解。
４）设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数ａ的值。
题型二：不等式与方程的综和题1、关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。
2、不等式组{的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值范围是？3、若关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组{的解是正整数，求整数Ｐ的值。
4、已知关于ｘ的不等式组{的解集为３≤ｘ＜５，求的值。
题型三 确定方程或不等式中的字母取值范围1、ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３（ｘ＋ｋ）的值是非正数2、已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围3、已知在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值范围。
4、若方程组{的解中x>y，求K的范围。
5、如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围。
6、若|2a+3|＞2a+3,求a的范围。
7、若（a+1）x＞a+1的解是x＜1,求a的范围。
8、若{的解集为＞３，求ａ的取值范围。
9、已知关于x的方程ｘ－的解是非负数，ｍ是正整数，求ｍ的值。
10、如果{的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。
题型五 求最小值问题1、x取什么值时，代数式的值不小于的值，并求出X的最小值。
题型六 不等式解法的变式应用1、ｘ取何值时，２（ｘ－２）－（ｘ－３）－６的值是非负数？2、ｘ取哪些非负整数时，的值不小于与１的差。
题型七 解不定方程1、求方程４ｘ＋ｙ－２０＝０的正整数解。
2、已知{无解，求ａ的取值范围。
题型八 比较两个代数式值的大小1、已知Ａ＝ａ＋２，Ｂ＝ａ２－ａ＋５，Ｃ＝ａ２＋５ａ－１９，求Ｂ与Ａ，Ｃ与Ａ的大小关系题型九：探究题1、在盛有ｎ克盐水的水杯中，又放入了ｃ克盐，如果原来盐水中含盐ｍ克，试求前后浓度的关系式题型十：应用题（分配问题）1、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？。
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式考点一、不等式的概念 （3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质 （3~5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立； 考点三、一元一次不等式 （6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为1 考点四、一元一次不等式组 （8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
一元一次不等式知识要点及典型题目讲解-
一元一次不等式知识要点及典型题目讲解一、全章教学内容及要求１、理解不等式的概念和基本性质２、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集３、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集二、技能要求1、会在数轴上表示不等式的解集。
2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。
3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。
三、重要的数学思想：1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。
2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想。
四、主要数学能力1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。
2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。
3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培养运算能力。
五、类比思想：把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。
在本章中，类比思想的突出运用有：1、不等式与等式的性质类比。
对于等式（例如a=b）的性质，我们比较熟悉。
不等式（例如a>b或a<b）与等式虽然是不同的式子，表达的也是不同的数量关系，但它们在形式上显然有某些相同或类似的地方，于是可推断在性质上两者也可能有某些相同或类似之处。
这就是“类比”思想的运用之一，它也是我们探索不等式性质的基本途径。
等式有两个基本性质：1、等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，等号不变。
（即两边仍然相等）。
2、等式两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，符号不变（即两边仍然相等）。
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式 考点一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
例 判断如下各式是否是一元一次不等式？ word-x≥5 2x-y＜02x 34x 5x22 x532、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数二 不等式的解 ：的值，都叫做这个不等式的解。
三 不等式的解集：3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简 例 判断如下说法是否正确，为什么？称这个不等式的解集。
X=2 是不等式 x+3＜2 的解。
X=2 是不等式 3x＜7 的解。
不等式 3x＜7 的4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
解是 x＜2。
X=3 是不等式 3x≥9 的解5、用数轴表示不等式的方法四 一元一次不等式：考点二、不等式根本性质例 判断如下各式是否是一元一次不等式1、不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变。
－ｘ＜５ ２ｘ－ｙ＜０2x 3x22 x 5 ≥３ｘ3、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变。
例 五．不等式的根本性质问题4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运 例 1 指出如下各题中不等式的变形依据算改变。
②如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的 数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的1〕由 3a>2 得 a> 2 32) 由 3+7>0 得 a>-7数就不等为 0，否如此不等式不成立； 考点三、一元一次不等式3〕由-5a<1 得 a>- 1 54)由 4a>3a+1 得 a>11、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1， 例 2 用>〞或<〞填空，并说明理由且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
解不等式(知识点、题型详解)
解不等式(知识点、题型详解(xiánɡ jiě))解不等式(知识点、题型详解(xiánɡ jiě))不等式的解法(ji ě f ǎ)1、一元(y ī yu án)一次不等式方法(f āngf ǎ)：通过去分母、去括号、移项、合并(h éb ìng)同类项等步骤化为ax b >的形式(x íngsh ì)，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。
【例1-1】（1）解：此时，因为的符号不知道，所以要分：a =0，a >0,a<0这三种情况来讨论.由原不等式得a >1, ①当a =0时， 0>1.所以，此时不等式无解.② 当a >0时，⇒ x >, ③当a <0时，⇒x <a 1.【例1-2】已知不等式与不等式同解，解不等式。
解：，∴ 01)1(322<+-++-a a x a a的解为∴ 中 ∴ 解由题意∴代入所求：∴要注意：当一元一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于0、大于0、小于0这三种情况来讨论.2、一元二次不等式的解集（联系图象）。
尤其当和时的解集你会正确表示吗？基本(jīběn)步骤：①把二次项系数(xìshù)化为正②求对应(du ìyìng)的一元二次方程的根（先考虑十字(shí zì)相乘法，不能因式分解(yīn shì fēn jiě)的再考虑用求根公式）③利用二次函数的图像（下图，三个“二”的关系）求出对应的解集，用集合或区间表示设0a>,是方程的两实根，且，则其解集如下表：二次函数、方程或或∆=R∆<R Rφφ0【例2-1】解下列关于x的不等式：(1) 2x2-3x-5>0； (2) 3x2-4x-10； (3) x2-2x+1≤0；(4) x2-2x+1>0； (5) x2-2x+3>0； (6) x2-2x+3≤0.解析：（1）（2）代表判别式大于0的一元二次不等式的题目.只不过（1）对应的一元二次方程容易因式分解求两根，（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.（3）（4）代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.（5）（6）代表判别式小于0的一元二次不等式的题目.（1）因为(yīn wèi)对此不等式对应的一元二次方程2-3x-5=0因式分解(yīn shì fēn jiě)得(2x-5)(x+1)=0. 所以(suǒyǐ)该方程的两根为：x1=,或x2=-1.又因为此不等式对应的一元(yī yuán)二次函数=2x2-3x-5的抛物线开口(kāi kǒu)向上，所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，可以直接写出不等式2x2-3x-5>0的范围：x>25，或x<-1；（2）与上题解法类似.∵3x2-4x-1=0的判别式∆=42-4⋅3⋅(-1)=28>0,∴一元二次方程3x2-4x-1=0有两个不同的实数根为x1=, 或x2=.∴此不等式中x的取值范围是372-≤x≤372+；（3）∵x2-2x+1=0的判别式∆=0.∴x2-2x+1=0有两个相等的实数根，x1=x2=1.所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，不等式x2-2x+1≤0中x的取值范围(fànwéi)是1≤x≤1,即x=1；（4）与（3）类似分析(fēnxī)，可知不等式x2-2x+1>0中x的取值范围(fànwéi)是x>1，或x<1,即x≠1；（5）因为(yīn wèi)方程x2-2x+3=0的判别式∆<0.所以(suǒyǐ)方程x2-2x+3=0没有实数根.此时，就不能根据“大于在两边，小于在中间”的原理了，这时，可以用配成完全平方式的方法.∵x2-2x+3=x2-2x+1+2=+2>0，∴不等式x2-2x+3>0中x的取值范围是x∈R；（6）与（5）类似分析，可知不等式x2-2x+3≤0中x的取值范围是空集.【例2-2】解下列关于x的不等式：解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式. 解这类题的关键是：把参数a以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一（二）次不等式的基本方法来做.（3）式对应(duìyìng)的方程(fāngchéng)不易(bù yì)因式分解求出根，判别式的符号(fúhào)不能确定(quèdìng)，并且x2的系数含有参数. 这说明对应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式. 综合上述分析，我们应以x2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a值作为讨论的依据. 求出的参数a把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论.由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了.总结(zǒngjié)：对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后(ránhòu)再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们(wǒ men)应以x2的系数(xìshù)为0以及判别式为0时，得出(dé chū)的参数a值作为讨论的依据.求出的参数a把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原则进行区别和联系.3、简单的一元高次不等式的解法：数轴穿根法：基本步骤：⑴将不等式右边化为０，左边分解成若干个一次因式(yīnshì)或二次不可分因式的积.⑵把每个因式(yīnshì)的最高次项系数化为正数.⑶将每个一次因式的根从小到大依次(yīcì)标在数轴上.⑷从右上方依次通过每个点画出曲线(qūxiàn)，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴；遇到偶次因式的根对应的点，曲线(qūxiàn)不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回. 即规律“奇穿偶不穿”.⑸根据曲线就可以知道函数值符号变化规律.【例3-1】解下列关于x的不等式：解析：这种类型的不等式如果用上述的方法1，分类讨论可以做出来，但是比较复杂，而且易出现错误.所以，常用数轴表根法(又称零点分段法)来做这类题.所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能体现出函数值的符号变化规律．即：曲线与x轴的交点将x轴分成若干区域，曲线在x轴上方所对应区间内的x值，使函数值大于0 ；曲线在x轴下方所对应区间内的x值，使函数值小于0 ；曲线与x 轴的交点所对应的x 值，使 函数值等于0.按照上述的方法，易解出以上各题.参考答案：4. 分式(f ēnsh ì)不等式的解法：一般(y īb ān)不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
一元一次不等式（组）知识总结及经典例题分析
二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或 )x a x a ³£或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以或除以))同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321£---x x 解不等式： 解：去分母，得解：去分母，得 6)13(2)13£---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得去括号，得去括号，得 62633£+--x x （注意符号，不要漏乘!）移移 项，得项，得项，得 23663-+£-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变） 合并同类项，得合并同类项，得合并同类项，得 73£-x （计算要正确）系数化为系数化为1， 得 37-³x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）三、一元一次不等式组含有同一个未知数的含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、个、33个、个、44个或更多．个或更多．四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) a a a a x <ax >a x ≤a x ≥a 一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
初二数学一元一次不等式知识点及经典例题
一元一次不等式重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。
难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。
知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，那么。
基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。
基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）要点诠释：(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧一、引言在数学学习过程中，一元一次不等式与一次函数题型是我们经常会遇到的内容。
它们不仅在中学阶段占据着重要的位置，而且在后续学习中也有着深远的影响。
本文将以一元一次不等式与一次函数为主题，探讨其相关的题型及做题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
二、一元一次不等式的基础概念在开始探讨一元一次不等式的题型及做题技巧之前，我们首先需要了解一元一次不等式的基础概念。
一元一次不等式是指形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c均为实数，且a ≠ 0。
在解一元一次不等式时，我们需要找到不等式的解集，即满足不等式的实数的集合。
针对一元一次不等式，我们通常会涉及到一些常见的题型，例如绝对值不等式、含参数的不等式等。
在解题过程中，需要根据不等式的特点选取合适的解法，以便快速有效地求解不等式。
三、一元一次不等式题型及做题技巧1. 绝对值不等式绝对值不等式是一种常见的不等式类型，它的形式通常为|ax+b|>c或|ax+b|<c。
在解绝对值不等式时，我们需要将不等式分为两种情况讨论，即当ax+b>0时和ax+b<0时。
对于不等式|ax+b|>c，我们需要分别解出ax+b>c和ax+b<-c的不等式组，并将其合并得到最终的解集。
而对于不等式|ax+b|<c，我们同样需要分别解出ax+b<c和ax+b>-c的不等式组，然后得到最终的解集。
在解绝对值不等式时，我们需要注意 |ax+b| = a * x + b 或者 |ax+b| = -a * x - b ，然后分别进行讨论。
2. 含参数的不等式含参数的不等式是指不等式中存在未知参数的情况，通常我们需要根据参数的取值范围来求解不等式。
在解含参数的不等式时，我们需要分情况讨论参数的取值范围，然后分别求解不等式并得出最终的解集。
与绝对值不等式类似，在解含参数的不等式时，我们需要将不等式分为不同情况进行讨论，以免遗漏某些情况带来的解集。
初一不等式题型及解题方法
初一不等式题型及解题方法篇一：初一不等式是数学中的一个重要分支，主要涉及不等式的定义、性质、解法和应用。
在初中数学中，初一不等式主要包括一元一次不等式和二元一次不等式。
下面将介绍一些常见的初一不等式题型和解题方法。
一、一元一次不等式1. 题型特点一元一次不等式的特点是：不等式的两边都是一次函数，且一次函数的系数与不等式的系数相反。
例如:x+2>4。
2. 解题方法(1) 代入排除法：将不等式的各个系数分别代入不等式中，排除不符合题意的选项。
例如:x+2>4，将 x=3,y=-2 代入不等式中，发现满足题意。
(2) 加减消元法：将不等式的两边加减，消除一个未知数，进而求解不等式。
例如:x+2>4，将 x+2=y 代入不等式中，得到 y>4。
(3) 配方法：将不等式的系数化为相等数，进而求解不等式。
例如:x+2>4，将 x+2=y 配成 (x-y)>0 的形式，得到 y>-2。
二、二元一次不等式1. 题型特点二元一次不等式的特点是：不等式的两边都是两个一次函数，且两个一次函数的系数与不等式的系数相反。
例如:x+y>2。
2. 解题方法(1) 代入排除法：将不等式的两边分别代入不等式中，排除不符合题意的选项。
例如:x+y>2，将 x=3,y=1 代入不等式中，发现满足题意。
(2) 加减消元法：将不等式的两边加减，消除两个未知数，进而求解不等式。
例如:x+y>2，将 x+y=z 代入不等式中，得到 z>2。
(3) 配方法：将不等式的系数化为相等数，进而求解不等式。
例如:x+y>2，将 x+y=z 配成 (x-y)>0 的形式，得到 x>y。
以上就是常见的初一不等式题型和解题方法。
在解题时，要仔细分析不等式的特点，选择合适的解题方法，注意解题过程的严密性和规范性。
同时，还要加强对不同题型的解题技巧和思路的掌握，提高解题效率和正确率。
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一元一次不等式及其解法
一、知识点复习
1.一元一次不等式的概念：
只含有一个未知数，且未知数的次数是J _______ 且系数不为0的不等式，称为元一次不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
3.注意事项：
①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。
②系数化为1时，注意系数的正负情况。
二、经典题型分类讲解
题型1：考察一元一次不等式的概念
X 2
1. （2017春昭通期末）下列各式：① x 5 :②y3x0 :③ 5 0 :④x x 3 ；
3
⑤一3 3x ；® x 2 0是一元一次不等式的有（）
x
A、2个B 、3个C 、4个D 、5个
2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（
A、x2 9x x2 7x 6 B 2
、xy0 D 、x x 9 0
3. （2017春寿光市期中）
m的值为若
A、 1
题型2:考察一元一次不等式的解法
4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来：
x x 2 （1）2（5x 3） x 3（1 2x）（2）1 5 -
3 2
5.解不等式
2x 1.5
0.5 3x 0.6
0.2
10(1.9 3x)
0.1 10
4x 3
1的值不大于3
的值时，求x的取值范围。
6.（2016秋相城区期末）若代数式
（2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式
x 3和x 3的解集的过程:
3的解集是 3
以x 3的解集是x
解答下列问题:
（2 ）解不等式
（3）解不等式
10.（ 2017春石城县期末）若关于x 的不等式2x m 0的正整数解只有4个，则m 的取值
范围是（
7. 因为 x
3，从如图 1所示的数轴上看：大于 3而小于3的数的绝对值是小于 3的，所以
因为
3，从如图 2所示的数轴上看：小于 3的数和大于3的数的绝对值是大于 3，所
（1）不等式x a （ a 0 ）的解集为
不等式x
（a 0 ）的解集为
题型
3:考察一元
次不等式中整数解问题
x 9
8. （ 2017秋宁阳县期末）不等式
1 3x 2
注二的负整数解有（
2
9.（ 2017 大庆） 若实数3是不等式2x a
0的一个解，则a 可取的最小正整数为（）
A、8 m 10 B 、28 m 10 C 、8 m 10 D 、4 m 5
11.（2016秋工业园区期末）若关于x的不等式3x a 0的正整数解是1,2,3，则a应满足的条件是（）
A、a 9 B 、a 9 C 、9 a 12 D 、9 a 12
12.（2017大庆）若实数3是不等式2x a 2 0的一个解，则a可取的最小正整数为（）
A、2 B 、3 C 、4 D 、5
13.（2017春启动市校级期中）已知3a 5 （a 2b 5
）20，求关于x的不等式
2
1
3ax （x 1） 4b（x 2）的最小非负整数解。
14.（2016平湖市校级期中）已知不等式5x 2 6x 1的最小正整数解是方程的解，求a的值。
3x
3
ax
题型3:考察一元一次不等式中字母参数的问题
围为
18.若不等式2x 4的解都能使关于 x 的一次不等式 x a 5成立，则a 的取值范围是
（ ）
A 、a 3
B
、a 3
C
、a 3
D
a 3
19.若关于x 的方程
2x a
4x b 的解不是负数，那么 a 与b 的关系是（
3
5
3」
3,
3,
3, A 、a
b B
、 a b
C
、a b
D
a b
5
5
5
5
20.当 1 x 2时， ax 2 0，贝U a 的取值范围是（
)
A 、 a 1
B
、 a 2
C
、a 0 D 、a
1且a 0
21. （ 2017春容县期末）已知关于x 的方程4（x 2） 2 5 3a 的解不小于方程
1
14.（2018春天心区校级期末）不等式丄（X m ）
3
A 、4
B
、2
C
3 > - 2 15.已知2(a 3)
29
，那么不等式
a(x 4)
3
5
八
1
1
A 、x -
B
、x -
C 、 x
5
5
16. （ 2017春官渡区期末）若不等式 （m 2）x
D
、丄
2
x a 的解集是（
)
a
a
D
、 x
5 a
5 a
1
1的解集疋x ----- ，则m 的取值范围疋
m 2
17.（ 2017春南召县期末）已知关于
x 的方程x m 3（x 2）的解是正数，则m 的取值范
2 m 的解集为x 2，则m 的值为（
耸严彳
2
尸的解，求
a
的取值范围。
(1 )求m 的取值范围;
(2)在(1)的条件下，解关于 x 的不等式2(x 2) mx 3。
4 2 1 2x
1
23.已知关于x 的不等式—x 4 2x a 的解也是不等式
的解，求 3 3
6 2
围。
22. (2015秋相城区期末)已知关于
x 的方程4x 2m 1 2x 5的解是负数。
a 的取值范
25.若关于x, y 的二元一次方程组
2X y 3m 2
的解满足x y
x 2y 4
的m 的所有正整数值。
2
（m 1）x m 3 0是关于x 的一元一次不
等式，则
24.已知不等式3x ax 4的解在不等式
3 3x 2
9 一 一
3x 的解的范围内，求 a 的取值范围。
2
，求出满足条件
2。