离散系统稳定性判据
李雅普诺夫离散系统判据证明
李雅普诺夫离散系统判据证明
李雅普诺夫判据是用来证明离散系统稳定性的一种方法。
该判据是基于李雅普诺夫函数的变化性质进行证明的。
首先，假设离散系统的状态变量为x，其演化方程为x(k+1) =
f(x(k))，其中k为离散时间步。
如果存在一个函数V(x)，满足
以下条件：
1. V(x)是定义在状态空间D内的连续函数；
2. V(x)在D中严格正定，即V(x) > 0，对于任何非零的x；
3. 对于所有的x(k)满足x(k+1) = f(x(k))，有V(x(k+1)) ≤ V(x(k)) - α(x(k))，其中α(x(k))是一个正定的函数；
4. 如果存在一个正定的函数β(x)满足V(x(k)) ≤ β(x(k))，则系
统是渐近稳定的。
根据以上条件，可以证明系统的稳定性。
具体证明的步骤如下：
1. 首先，确定适合的Lyapunov函数V(x)。
这可以通过系统的
特性和性质进行推导和选择，例如能量函数、误差函数等；
2. 推导出V(x(k+1))和V(x(k))之间的关系式，并解析得到
α(x(k))的表达式；
3. 根据V(x(k+1)) ≤ V(x(k)) - α(x(k))，证明V(x)是单调递减的；
4. 通过比较V(x)和β(x)的形式，得出V(x(k)) ≤ β(x(k))的结论；
5. 根据Lyapunov函数的性质，证明系统是渐近稳定的。
需要注意的是，李雅普诺夫判据只能证明系统的稳定性，不能推导出系统的收敛速度。
K2.14 离散系统稳定性判别
特例：对二阶系统：A(z)=a2z2+a1z+a0，易得
A(1)>0, A(-1)>0, a2>|a0|
6
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离散系统稳定性判据 例2 已知：A(z)=4z4-4z3+2z-1，判断系统稳定性。
解：
A(1)=1>0 (-1)4A(-1)=5>0
an-1 a1 cn-2 c1 dn-3 d1
第2n-3行 r2 r1
an-2 …… a2 a1 a0 a 2 …… an-2 an-1 an cn-3 …… c1 c0 c2 …… cn-2 cn-1 dn-4 …… d0 d2 …… dn-2
r0
5
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z2 (z 1)
(z 1)(z 0.4)(z 0.6)
Y (z) 2.08z 0.93z 0.15z z 1 z 1 z 0.4 z 0.6
g(k) 2.08 0.93(0.4)k 0.15(0.6)k (k)
4
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(2) H(z) 极点是0.4和-0.6，在单位圆内，故系统稳定。
(3) 将H(z)/z进行部分分式展开，得到
H (z) 1.4z 0.4z z 0.6 z 0.4 z 0.6
h(k ) 1.4(0.4)k 0.4(0.6)k (k )
(4) 求阶跃响应
Y(z) F(z)H(z)
(1) 离散系统稳定的时域充要条件： | h (k ) | k
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据1. 概述在控制论与系统论中，稳定性是一个重要的概念。
在研究动态系统的稳定性时，我们常常需要使用稳定性判据来判断系统的稳定性。
而在离散条件下，李雅普诺夫稳定判据就是一个常用的方法。
2. 李雅普诺夫稳定判据的定义李雅普诺夫稳定判据是由俄罗斯数学家亚科夫•伊万诺维奇•李雅普诺夫在稳定性理论中提出的一种判据。
它用于判断差分方程系统在离散条件下的稳定性。
3. 离散条件下的稳定性在离散条件下，系统的状态是以离散的时间点进行更新的。
这种情况下，我们常常需要研究系统的稳定性，即系统在经过一定次数的状态更新后，是否能趋向于某一稳定状态，或者在一定范围内波动。
而李雅普诺夫稳定判据就是用来判断这种系统的稳定性的一种方法。
4. 李雅普诺夫稳定判据的原理李雅普诺夫稳定判据的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
对于一个给定的系统，如果存在一个 Lyapunov 函数，满足对系统的任意状态进行更新后，Lyapunov 函数的值都会减小，那么系统就是稳定的。
5. Lyapunov 函数的选择在使用李雅普诺夫稳定判据时，选择合适的Lyapunov 函数是至关重要的。
一般来说，Lyapunov 函数的选择是根据系统的特点来确定的。
常见的 Lyapunov 函数包括二次型函数、指数型函数等。
不同的Lyapunov 函数对系统的稳定性判断有不同的适用条件和效果。
6. 李雅普诺夫稳定判据的应用李雅普诺夫稳定判据在控制论与系统论中有着广泛的应用。
通过使用李雅普诺夫稳定判据，我们可以对离散条件下的系统进行稳定性分析，为系统的设计与控制提供理论支持。
7. 结论离散条件下的李雅普诺夫稳定判据是系统稳定性分析中的重要工具，通过对系统的 Lyapunov 函数进行构造和分析，我们可以判断系统是否稳定，并为系统的设计与控制提供理论依据。
希望本文的介绍对您有所帮助。
基于离散条件下的李雅普诺夫稳定判据，我们将进一步探讨该方法的具体应用和细节，以及其对控制系统和动态系统的实际意义。
离散系统稳定性的判据与应用
２ 若 Ｇ（ ） （ ）在 单 位 圆外 有 Ｎ 个 极 点 ， 、 ｚｆｚ ｌ 且
Ｇ（ ） （ ）『 ｚｆｚ ｌ 一 Ｇ（ （ｊ ） 图逆 时针绕 过 ｅ 的
（ １ Ｏ 一 ＋ｊ ）点 Ｎ 次 ， 系 统 Ｈ（ 稳定 ， 则 ） 否则 系统
Ｇ（ ） （ ）平 面上 的 图（ ｚｆ ｚ ｌ 即奈 奎 斯 特 图） 。 １ 若为稳 定 子系 统 ， Ｇ（ ） （ ） 图不 绕过 、 且 ｚｆｚ 的 ｌ （ ＋ ） ， 系统 是稳 定 的 ， 一ｌ Ｏ 点 则 否则 系统 不稳 定 ；
定 不稳 定 。 因此 ， 给定 Ｈ（ ）一
一
单极点 ， 当 沿单位 圆变化时 ， 用一 个半 径为无
一 、
一
．
！ 。
、
＼
限小 的小半 圆从 右侧 绕过 一 １ 。 点 如图 ｌ所示 。
／ ｉ ａｚ ｈ （） 、
．
＇
ｏ ｏ
一 ｆ ， － ， ０ ＋ 詈 ～ ７ ／７ － ． １一 ｗ ｔ
例 ２ 已知 Ｇ（ ）（ ）一 ： ２ｐ２ 试 确定该 系 统稳 定 的 ｋ值 范 围。
， 七为正 值 ，
可知 ，＜七 ｌ 系统 稳定 。 Ｏ ＜ 时
，
ｊ 工＿（ Ｂ） Ｇ
： ”ｒ — ．
解： 由于 Ｇ（ 在 一 １ 即 训 一 Ｏ 处有 ） （ ） （ ）
ｎ ＼ Ｚ
后， 只需对
Ａ（ 做 因式 ・ ， ） 解 就可判 定 离散 系统 是否稳 定 。
例 １ 对 于 下 列 差 分 方 程 所 描 述 的离 散 时 间 ： 系统
（） ．ｙ ｋ １ 一 ０２ｙ ｋ ） ｚ ＋ｘ ｋ １ ＋０２ （ — ） ．４ （ 一２ ＝ （） （ 一 ）
2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
一、稳定性
连续离散系统稳定性是指系统状态值不断变化，但随着时间的推移，系统的解不会离开某一区域或范围，满足系统的平衡。
可以用Lyapunov准则来判断一个系统的稳定性，即找出一个函数V，系统的长期行为是满足V的进行，且由此可以确定系统的长期行为的变化趋势。
此外，系统稳定性还可以通过极点分析方法来判断，即系统极值处被定义为极点，并从中探索该系统在极点上是否稳定，以及该极点处系统解是否存在漂移和消失。
二、可控性
可控性是指系统的响应是通过控制器实现的，系统可以通过增加输入电压或输出力量来改变系统的输出响应，从而达到预期的解决方案。
可控性分析要求系统具有足够的响应能力，可以通过增加输入电压来改变系统的行为，但它的响应有限制，不能随意增加，而且可能受外界环境约束。
三、可观测性
可观测性是指系统的特性是可以通过测量来获取的，即可以观察系统的特性，推断出它是如何变化的，并且根据以往所观察到的特征来推测它在将来的变化趋势。
可观测性分析可以使用状态空间方程，用于获得关于系统的当前及未来设计状态的量化描述，从而确定系统的特征及其变化趋势。
信号与系统稳定性的判断方法
信号与系统稳定性的判断方法信号与系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内是否始终有界。
在信号与系统学科中，稳定性是十分重要的一个概念，它关乎到系统的可控性、可观测性、性能优化等方面。
在工程实践中，对于不稳定的系统，我们需要通过判断及时作出调整和改进。
本文将详细介绍信号与系统稳定性的判断方法。
首先，我们来讨论连续时间系统的稳定性判断方法。
对于线性时不变系统，它的稳定性可以通过系统的传递函数来判断。
连续时间系统的传递函数一般可以表示为H(s)，其中s是复频域变量。
连续时间系统稳定的条件是传递函数H(s)的所有极点都位于s平面的左半实轴（实部小于零）上。
对于离散时间系统，其稳定性判据是类似的。
离散时间系统的传递函数一般可以表示为H(z)，其中z是复平面变量。
离散时间系统稳定的条件是传递函数H(z)的所有极点都位于单位圆内（绝对值小于1）。
除了传递函数法外，还有一些其他方法可以判断系统的稳定性。
以下是几种常见的方法：1.查看系统的单位冲激响应：通过单位冲激响应来观察系统的输出是否有界。
如果单位冲激响应在有限时间内衰减到零，则系统是稳定的。
2.查看系统的单位步响应：步响应是指系统对一个单位阶跃输入的响应。
通过观察单位步响应是否趋于稳定，可以初步判断系统是否稳定。
3.利用系统的状态方程：如果系统的状态方程满足严格李雅普诺夫稳定条件（所有特征根的实部小于零），则系统是稳定的。
该方法适用于线性时不变系统。
4.利用系统的瞬态响应：观察系统的瞬态响应是否为有界信号。
如果系统的瞬态响应在有限时间内衰减到零，则系统是稳定的。
5.利用系统的BIBO稳定性：系统的BIBO稳定性（有界输入有界输出稳定性）可以通过观察系统的单位采样响应是否有界来判断。
如果系统的单位采样响应是有界的，则系统是稳定的。
需要注意的是，以上方法并非普遍适用于所有类型的系统。
对于一些非线性系统、时变系统，以上方法可能不适用或者判断结果不准确。
在实际应用中，还可以结合仿真实验、数值计算等方法来进行稳定性判断。
离散控制系统的稳定性与鲁棒性分析
离散控制系统的稳定性与鲁棒性分析离散控制系统是现代控制工程中的重要研究领域之一。
稳定性与鲁棒性是离散控制系统设计与分析中需要关注的重要问题。
本文将对离散控制系统的稳定性与鲁棒性进行分析，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、离散控制系统的稳定性分析稳定性是离散控制系统设计中最基本的性能指标之一。
一个离散控制系统是稳定的，当且仅当系统的输出在有限时间内得到有界的响应。
稳定性分析的目标是确定离散系统在不同条件下是否稳定，并为系统设计提供理论依据。
离散控制系统的稳定性分析常见的方法是通过判据法进行。
常用的稳定性判据包括：1) Routh-Hurwitz判据；2) Nyquist判据；3) 极点位置法等。
这些判据通过检查系统的特征方程的根来判断系统的稳定性。
当然，要进行稳定性分析还需要考虑系统的输入，例如周期性输入、随机输入等。
对于周期性输入，可以应用周期函数的性质来分析系统的稳定性。
对于随机输入，可以采用功率谱等方法来进行稳定性分析。
二、离散控制系统的鲁棒性分析离散控制系统的鲁棒性是指系统对外界扰动或参数变化的适应能力。
鲁棒性分析的目标是确定系统在面对各种不确定性时的性能表现。
鲁棒性分析常应用于系统的设计和控制中，特别是当系统参数受到变化或不确定性时。
它可以通过敏感性函数、稳定裕度等指标来评价系统的鲁棒性。
常见的鲁棒性分析方法包括：1) 级数展开法；2) 小摄动法；3) 鲁棒优化等。
这些方法能够在系统参数扰动的情况下，分析系统的性能表现，从而确定系统的鲁棒性。
离散控制系统的鲁棒性分析在实际应用中具有重要意义。
在现实工程中，系统参数常常受到环境、温度等因素的影响，因此需要考虑系统的鲁棒性。
鲁棒性分析能够帮助工程师评估和改善系统的性能，提高系统的可靠性和稳定性。
三、稳定性与鲁棒性的关系稳定性和鲁棒性是离散控制系统分析中密切相关的概念。
稳定性是判断系统在给定输入情况下是否能保持有限输出的能力，而鲁棒性则是判断系统在面对外界扰动和参数变化时的适应能力。
离散控制系统中的稳定性与鲁棒性分析
离散控制系统中的稳定性与鲁棒性分析离散控制系统是指由离散时间运行的控制系统，它采样输入和输出信号来完成控制功能。
稳定性和鲁棒性是离散控制系统设计中非常关键的问题，本文将对离散控制系统中的稳定性与鲁棒性进行详细分析。
一、稳定性分析稳定性是指在系统的输入和输出之间存在一种平衡状态，系统能够对输入信号作出适当的响应而不发生不可控制或不可预测的震荡或发散。
稳定性分析主要有零极点分布、Nyquist稳定判据和位置根判据等方法。
1. 零极点分析离散系统的稳定性与其极点的位置有关。
通常采用单位脉冲响应函数H(z)的零极点分布来分析系统的稳定性。
对于一阶离散系统而言，它的极点位置应满足|z|<1的条件才能保证系统的稳定性。
对于高阶系统，可以通过复平面法或者根轨迹法来分析系统的稳定性。
2. Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据是通过绘制Nyquist图来判断系统的稳定性。
根据Nyquist稳定判据，如果系统的传输函数H(z)的极点都位于单位圆内，那么系统是稳定的。
否则，系统将会出现振荡或发散的现象。
3. 位置根判据位置根判据是通过对系统的传输函数进行倒数操作，然后判断所得到的新系统的极点位置来评估系统的稳定性。
位置根判据的基本思想是，如果倒数系统的极点位于单位圆外，那么原系统是稳定的。
二、鲁棒性分析鲁棒性是指系统具有对参数变化、环境变化或非线性因素的强鲁棒性，即保持系统的性能特性不因外界因素变化而发生较大改变。
在离散控制系统中，鲁棒性分析主要有灵敏度函数法、小增益界定理和鲁棒优化等方法。
1. 灵敏度函数法灵敏度函数法是通过构造灵敏度函数来分析系统的鲁棒性。
灵敏度函数可以用来评估系统对参数变化的敏感性。
如果灵敏度函数的幅值比较小，说明系统对参数变化不敏感，具有较好的鲁棒性。
2. 小增益界定理小增益界定理是一种常用的鲁棒性分析方法。
它基于系统的复值矩阵进行分析，通过确定复值矩阵的边界来评估系统的鲁棒性。
离散控制系统的稳定性分析与设计方法
离散控制系统的稳定性分析与设计方法离散控制系统的稳定性是控制工程中一个非常重要的概念，它涉及到系统的可靠性和性能。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计方法，并讨论如何确保系统的稳定性。
一、稳定性分析离散控制系统的稳定性分析是通过对系统传递函数进行分析来确定系统是否稳定。
常用的稳定性判据有两种：时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法是通过分析系统的时域响应来确定系统的稳定性。
具体方法有零极点判据和步响应法。
零极点判据是通过确定系统传递函数的零点和极点位置来判断系统的稳定性。
一般来说，当系统的所有极点都位于单位圆内部时，系统是稳定的。
步响应法通过观察系统的步响应图来判断系统的稳定性。
当系统的步响应图趋于稳定状态并在有限时间内收敛到稳定值时，系统是稳定的。
2. 频域方法频域方法是通过分析系统的频率特性来确定系统的稳定性。
常用的频域方法有Nyquist判据和Bode图法。
Nyquist判据是通过绘制系统的Nyquist图来判断系统的稳定性。
当系统的Nyquist图不通过虚轴右半平面时，系统是稳定的。
Bode图法是通过绘制系统的Bode图来判断系统的稳定性。
当系统的幅频特性曲线和相频特性曲线满足一定条件时，系统是稳定的。
二、稳定性设计稳定性设计是通过设计控制器的参数来确保系统的稳定性。
通常有两种常见的设计方法：根轨迹法和PID控制器。
1. 根轨迹法根轨迹法是通过绘制根轨迹图来设计控制器的参数。
根轨迹图可以直观地显示系统的稳定性和性能。
设计过程中，可以根据系统的要求来调整控制器的参数，使得系统的根轨迹满足要求。
2. PID控制器PID控制器是一种常用的控制器，它包括比例、积分和微分三个部分。
PID控制器的设计可以根据系统的特性和需求来确定各个参数的取值。
比例部分可以控制系统的静态误差，积分部分可以消除系统的稳态误差，微分部分可以提高系统的动态响应。
通过合理地调整PID控制器的参数，可以实现系统的快速响应和稳定性。
离散控制系统的稳定性分析
离散控制系统的稳定性分析离散控制系统是一种由离散时间事件驱动的系统，它在控制工程中起着重要的作用。
稳定性分析是离散控制系统设计中的关键步骤，它可以帮助我们确定系统是否能够保持在稳定状态，并达到预期的控制效果。
本文将讨论离散控制系统的稳定性分析方法和应用。
1. 离散控制系统概述离散控制系统是一种以时序离散的方式进行操作和控制的系统。
它由输入、输出和状态三个主要部分组成。
其中，输入是指系统接收来自外部的信号或信息，输出是指系统作为响应产生的结果，状态是指系统在运行过程中的内在特征。
2. 稳定性的概念和分类稳定性是指系统在输入变化或干扰下是否能够保持有限范围内的响应。
离散控制系统的稳定性可以分为绝对稳定性和相对稳定性两种情况。
绝对稳定性：系统在任何情况下都能保持有限范围内的响应，不会出现不受控制或不可预测的振荡或失控现象。
相对稳定性：系统在特定条件下能够保持有限范围内的响应，但可能受到输入变化或干扰的影响而出现逐渐增大的响应。
3. 稳定性分析方法离散控制系统的稳定性分析可以使用多种方法，以下是几种常用的方法：3.1 传递函数法传递函数是离散控制系统中描述输入输出关系的数学模型。
通过将系统表示为传递函数的形式，可以使用极点、零点、阶跃响应等特征来分析系统的稳定性。
例如，当系统的所有极点都位于单位圆内时，系统是稳定的。
3.2 极坐标法极坐标法是一种绘制离散控制系统零极点的图形方法。
通过绘制零极点在单位圆上的位置，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于单位圆内，系统是稳定的。
3.3 稳定性判据法稳定性判据法是一种通过计算系统的稳定性判据来判断系统的稳定性的方法。
常用的稳定性判据包括李雅普诺夫稳定性判据、M行列稳定性判据等。
这些判据可以通过计算系统的特征值或特征向量来得到。
4. 稳定性分析的应用稳定性分析在离散控制系统设计和调试过程中有着广泛的应用。
它可以帮助工程师确定系统参数，设计合适的控制策略，并提供有效的故障诊断方法。
系统的稳定性以及稳定性的几种定义
系统的稳定性以及稳定性的几种定义一、系统研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。
在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。
由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。
从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。
但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。
人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。
描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。
中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。
二、系统的稳定性一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。
即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
三、连续（时间）系统与离散(时间)系统连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。
系统的激励和响应均为连续信号。
离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。
系统的激励和响应均为离散信号。
四、因果系统因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。
也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。
判定方法对于连续时间系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。
离散系统的稳定性与稳态误差(精)
u 0 (x y ) 1
2 2
Z平面单位圆内
Z平面单位圆外
u 0 (x y ) 1
2 2
jy
1
z
0
jv
w
0
1
x
u
劳斯稳定判据在离散系统中的应用：将离散系统在z域的特征方 程变换为w域的特征方程，然后应用劳斯判据。
1 GH ( z ) 0 1 GH (w) 0
系统特征方程：
2019/3/19
p n a1 p n1 a2 p n2 an 0
Automatic Control Theory 4
设特征方程具有各不相同的特征根： p1 , p2 ,, pn
通解：
若
c(k )
k A1 p1
A2 p2 An pn
k
2019/3/19 Automatic Control Theory 3
（1）离散系统稳定的充要条件（时域） 设：系统差分方程
c(k ) a1c(k 1) a2 c(k 2) an c(k n) b0 r (k ) b1r (k 1) b0 r (k m)
2019/3/19 Automatic Control Theory 7
例：设典型离散系统
10 G (s) s ( s 1)
H ( s) 1
采样周期 T=1(s)，试分析系统的闭环稳定性。
解：开环脉冲传递函数
10 1 1 10(1 e 1 ) z HG( z ) G( z ) Z [ ] 10 Z [ ] s( s 1) s s 1 ( z 1)( z e 1 )
( z )
离散力学系统的稳定性判定与优化
离散力学系统的稳定性判定与优化离散力学系统是一类重要的力学系统，它由一系列离散的质点或刚体组成，通过相互作用力而产生运动。
在实际应用中，我们常常需要对离散力学系统进行稳定性判定和优化，以确保系统的可靠性和效率。
一、稳定性判定在离散力学系统中，稳定性判定是指系统在给定条件下是否能保持平衡或者稳定运动的能力。
稳定性判定的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过线性化系统方程来进行判断。
线性化是一种常用的数学方法，它将非线性系统方程在某一点附近进行近似，得到线性化的系统方程。
通过求解线性化系统方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
特征值的实部大于零，则系统不稳定；特征值的实部小于零，则系统稳定；特征值的实部等于零，则需要进一步分析。
除了线性化方法外，还有一些其他的稳定性判定方法，如李雅普诺夫稳定性判据和拉普拉斯变换法等。
这些方法各有特点，可以根据具体问题选择适合的方法进行稳定性判定。
二、优化方法离散力学系统的优化是指通过调整系统的参数或结构，使得系统在给定的性能指标下达到最优状态。
离散力学系统的优化问题可以分为单目标优化和多目标优化两种情况。
在单目标优化中，我们需要确定一个性能指标，如系统的能量消耗最小或者系统的振动幅度最小等。
通过建立数学模型，可以利用数值优化方法，如梯度下降法和遗传算法等，求解优化问题的最优解。
而在多目标优化中，我们需要考虑多个性能指标的综合效果。
多目标优化问题的解决方法有很多种，如加权和法、Pareto最优解法等。
这些方法可以帮助我们找到系统在多个性能指标下的最优解。
除了数值优化方法外，还有一些启发式算法，如模拟退火算法和粒子群算法等，可以用于求解离散力学系统的优化问题。
这些算法通过模拟自然界的某些行为，如退火过程和鸟群飞行等，来搜索最优解。
综上所述，离散力学系统的稳定性判定和优化是一个重要的研究领域。
通过合适的稳定性判定方法，可以判断系统的稳定性，并采取相应的措施进行修正。
而通过优化方法，可以使系统在给定的性能指标下达到最优状态。
离散系统稳定性判据
§ 5、4 离散时间系统状态稳定性及判别法 1、 离散时间系统的平衡状态(点) 设0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +===L (5、17)称=e Ax 0的e x 为(5、17)的平衡状态(点)、 当A 奇异时, 有无数个平衡状态、 2、 平衡状态(点)的稳定性(1)稳定:∀>∃>0,0εδ,使当-<e x x 0δ时,有-<≥e x k x k (),0ε;(2)渐近稳定:∃>0δ,使当-<e x x 0δ时,有→∞-=e k x k x lim ()0;(3)全局渐近稳定:任意∈nx 0R ,都有→∞-=e k x k x lim ()0;(4)不稳定:∃>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使->e x k x 10()ε对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定、 3、稳定性判别对定常系统(1)()x k Ax k +=若0e x =稳定(渐近稳定),则其它e x 也稳定(渐近稳定);若0e x =渐近稳定,则e x 必为一致全局渐近稳定; 简单介绍0e x =稳定性条件 设(5、17)的解==kx k A x k 0(),0,1,2,L则渐近稳定⇔→∞→∞-==kk k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),⇔→∞=k k A lim 0⇔-→∞=k k TJ T1lim 0⇔→∞=kk J lim 0⇔A 的所有特征值的模全小于1⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内、其中J为A的若当形、如11......k kkkr r J JJJ J⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且再如11221111001000000k k kkk kk k kkkC CJ Cλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⇔A的所有特征值的模全小于1⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内、 例 设A 有互不相同特征值n 12,,,λλλL , 则T , 使⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦kkk kk n n A T T T T 112-1-12λλλλλλOO由此可得→∞<=⇔==ki i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,,λλL L→∞⇔=kk A lim 0、定理5、12 系统为(5、17)的稳定性判定如下: (i) 0e x =稳定⇔A 所有特征值的模全s 小于1或等于1,且模等于1的特征值对应的约当块就是一阶的; (ii) 0e x =渐近稳定⇔A 的所有特征值模全小于1、 对一般非线性系统+==x k F x k k (1)(()),0,1,2,L (5、18)在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有定理5、13 对(5、18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足(i) V x k (())为正定;(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定; (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((())、 则=e x 0全局渐近稳定的、 若无(iii), 则=e x 0就是渐近稳定的;再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅就是稳定的、 定理用于定常系统(5、17), 即得定理5、14 线性定常离散(5、17)的=e x 0为渐近稳定⇔对∀Q > 0, 李雅普诺夫方程-=-TA PA P Q有唯一正定解P 证只证充分性,即已有对∀Q > 0, -=-TA PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k kk V x x Px (), 则有+++=-=-T T k k k k k kk V x V x V x x Px x Px 111()()()∆=-=-T TT kk kk x A PA P x x Qx (),显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定、例5、6 设⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦a x k x kb 0(1)()0 试分析稳定的条件、解 选Q = I , 则有-=-TA PA P I , 即 -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211122122212200100001 整理且比较, 得,1)1(,0)1(,1)1(22212211=-=-=-b p ab p a p要P 为正定, 需满足<<a b ||1,||1, (5、19)解出===--p p p ab1112222211,0,11, =e x 0一致全局渐近稳定、实质上:<<a b ||1,||1⇔所有特征值的模全小于1、。
离散系统的 稳定性分析
s平面
0 ，虚轴
，左半部分
0
为负常数，虚轴的平行线
0 ，右半部分
0 ，实轴
为常数，实轴的平行线
z平面 r 1 ，单位圆 r 1 ，单位圆内
r为常数，同心圆
r 1，单位圆外
正实轴
端点为原点的射线
稳定性讨论 临界稳定
稳定
稳定
不稳定 不稳定 不稳定
2．离散系统稳定的充要条件
由于在s平面系统稳定的条件是极点 0，故离散系统稳定的条件是 r ，1
【例 7-7】如图所示系统中，设采样周期 T 1 s ， 试分析当 K 4 和 K 5 时系统的稳定性
【解】 系统连续部分的传递函数为
G(s) Ks(s 1)则Fra bibliotekG(z)
Z
K s(s 1)
Kz(1 (z 1)(z
eT ) eT
)
所以，系统 的闭环脉冲传递函数为
cr
(z)
C(z) R(z)
w 1
45
w w
13 1
117
w w
1 2 1
119
w w
1 1
39
0
两边乘 (w 1)3 ，化简后得 D(w) w3 2w2 2w 40 0
由劳斯表
w3
1
2
w2 2 40
w1 18
w0 40
因为第一列元素有两次符号改变，所以系统不稳定。正如连续系统中介绍的那
样，劳斯判据还可以判断出有多少个根在右半平面。本例有两次符号改变，即有两
个根在w右半平面，也即有两个根在z平面的单位圆外。
自动控制原理
因为 z1 ，z2 均在单位圆内，所以系统是稳定的。
（2）将 K 5 ，T 1代入系统的闭环特征方程，得
离散系统稳定性判据
实用标准文案§ 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +===(5.17)称=e Ax 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态(点)的稳定性(1)稳定：∀>∃>0,0εδ,使当-<e x x 0δ时,有-<≥e x k x k (),0ε；2(2)渐近稳定：∃>0δ,使当-<e x x 0δ时,有→∞-=e k x k x lim ()0；(3)全局渐近稳定：任意∈nx 0R ,都有→∞-=e k x k x lim ()0；(4)不稳定：∃>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使->e x k x 10()ε对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定. 3.稳定性判别对定常系统(1)()x k Ax k +=若0e x =稳定(渐近稳定)，则其它e x 也稳定(渐近稳定)；实用标准文案若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定；简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解==kx k A x k 0(),0,1,2,则渐近稳定⇔→∞→∞-==kk k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),⇔→∞=k k A lim 0⇔-→∞=k k TJ T1lim 0⇔→∞=kk J lim 0⇔A 的所有特征值的模全小于1⇔A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.其中J为A的若当形.如11......k kkkr r J JJJ J⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且再如11221111001000000k k kkk kk k kkkC CJ Cλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦4实用标准文案⇔A 的所有特征值的模全小于1⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.例 设A 有互不相同特征值n 12,,,λλλ, 则T , 使⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦kk kkk n n A T T T T 112-1-12λλλλλλ 由此可得6→∞<=⇔==ki i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,,λλ→∞⇔=kk A lim 0.定理5.12 系统为(5.17)的稳定性判定如下：(i) 0e x =稳定⇔A 所有特征值的模全s 小于1或等于1,且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的； (ii) 0e x =渐近稳定⇔A 的所有特征值模全小于1. 对一般非线性系统+==x k F x k k (1)(()),0,1,2,(5.18)实用标准文案在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有定理5.13 对(5.18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足 (i) V x k (())为正定；(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定； (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((()). 则=e x 0全局渐近稳定的.若无(iii), 则=e x 0是渐近稳定的；再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅是稳定的.8定理用于定常系统(5.17), 即得定理5.14 线性定常离散(5.17)的=e x 0为渐近稳定⇔对∀Q > 0, 李雅普诺夫方程-=-TA PA P Q有唯一正定解P 证只证充分性,即已有对∀Q > 0, -=-TA PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k kk V x x Px (), 则有+++=-=-T T k k k k k kk V x V x V x x Px x Px 111()()()∆实用标准文案=-=-T TT kk kk x A PA P x x Qx (),显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定.例5.6 设⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦a x k x kb 0(1)()0 试分析稳定的条件.解 选Q = I , 则有-=-TA PA P I , 即10-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211122122212200100001 整理且比较, 得,1)1(,0)1(,1)1(22212211=-=-=-b p ab p a p要P 为正定, 需满足<<a b ||1,||1, (5.19)解出===--p p p ab1112222211,0,11, =e x 0一致全局渐近稳定.实用标准文案文档大全 实质上：<<a b ||1,||1⇔所有特征值的模全小于1.。
线性离散系统的稳定性判据
线性离散系统的稳定性判据(1) 修正劳斯—胡尔维茨稳定判据连续系统的劳斯—胡尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。
这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。
然而，在离散系统中，判断系统的稳定性，是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。
因此，离散系统不能直接应用劳斯—胡尔维茨判据来分析稳定性。
从理论上分析，利用关系式z=eTs，可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。
但因为s在指数中，代换运算不方便。
为此，必须引入另一种线性变换。
将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。
这样，就可以应用劳斯—胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。
为此，可采用双线性变换方法开展判断。
双线性变换Ⅰ：（1）式中w是复变量，由上式解得（2）或采用双线性变换Ⅱ：（3）或写成（4）此时（5）双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样，可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。
令w平面的虚轴为，则w平面的左半平面为稳定区域，为w平面的频率，且由上式可知其中为s平面的频率。
此时，s平面、z平面以及w平面的关系为图1 s平面、z平面及w平面映射关系当较小时有（6）即w平面的频率近似于s平面的频率。
这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。
另外，双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致，故建议使用双线性变换Ⅱ。
通过z-w变换，就可以应用劳斯—胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。
胡尔维茨判据：由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。
该方法随着系统阶数的增加，计算会变得复杂。
此时可以采用下面劳斯判据。
劳斯判据的要点是：①对于特征方程，若系数的符号不一样，则系统不稳定。
若系数符号一样，建立劳斯行列表。
②建立劳斯列表③若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。
④若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。
且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。
K2.14-离散系统稳定性判据
圆，则系统为稳定系统。
若LTI离散因果系统稳定，要求其系统函数H(z)的极
点全部在单位圆内。
2
离散系统稳定性判据
例1 某离散系统的差分方程为 y(k) 0.2y(k 1) 0.24y(k 2) f (k) f (k 1)
a2 an2
…
一直到第2n-3行，该行有3个元素。
朱里准则指出:
A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是:
(1) A(1)>0
(2) (-1)nA(-1)>0
(3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| …… r2>|r0| 对奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。
特例：对二阶系统：A(z)=a2z2+a1z+a0，易得 A(1)>0, A(-1)>0, a2>|a0|
H(z)
B(z) A(z)
bmzm an zn
bm1zm1 b0 an1zn1 a0
要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。
朱里列表：
第1行 an 第2行 a0 第3行 cn-1 第4行 c0 第5行 dn-2 第6行 d0 ……
an-1 a1 cn-2 c1 dn-3 d1
第2n-3行 r2 r1
6
离散系统稳定性判据 例2 已知：A(z)=4z4-4z3+2z-1，判断系统稳定性。
解：
A(1)=1>0 (-1)4A(-1)=5>0
朱里列表：
4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 15 -14 0 4 4 0 -14 15 209 -210 56
自动控制原理 ch 6-5 离散系统的稳定性和稳态误差
z 平面
010→-∞:ω不变，作周期性变化不变，z ∠01
2:0s ωω-=，2:s ωω+0-ω3-主频区辅频区
辅频区
()j sT e e ωσ=+模sT e e z ==e z sT =∠=∠相角
00
1-ω3-主频区辅频区
辅频区
a -001:s a ωω-=，:s ωω+-ω3-主频区辅频区
辅频区
()j sT e e ωσ=+模sT e e z ==e z sT =∠=∠相角→-∞:ω不变，作周期性变化不变，z ∠
0-ω3-主频区辅频区
辅频区
01
01
=0:0σω，0-ω3-=0:0σω，()j sT e e ωσ=+模sT e e z ==e z sT =∠=∠相角0:σω不变，0
→z z 不变，
010-ω3-二、离散系统稳定的充要条件
稳定性定义
控制系统原处于平衡状态。
扰动消失以后，偏差渐小，能恢复到原来平衡状态，则偏差渐大，不能恢复到原来平衡状态，则
可否用劳斯判据直接判断这些根是否都在程的根是否全在复平面的
z 平面
010
稳定域
平面上应用劳斯代数判据!
连续(G
离散
位置误差系数
0 型系统可以跟踪阶跃输入，但是稳态误差。
速度误差系数
v
型系统无法跟踪速度输入，稳态误差无穷大。
加速度误差系数
、I 型系统无法跟踪加速度输入，稳态误差无穷大。
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实用标准文案
§ 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法
1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设
0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +===L (5.17)
称=e Ax 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态(点)的稳定性
(1)稳定：∀>∃>0,0εδ,使当-<e x x 0δ时,有
-<≥e x k x k (),0ε；
2
(2)渐近稳定：∃>0δ,
使当-<e x x 0δ时,有
→∞
-=e k x k x lim ()0；
(3)全局渐近稳定：任意∈n
x 0R ,
都有→∞
-=e k x k x lim ()0；
(4)不稳定：∃>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使
->e x k x 10()ε
对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定. 3.稳定性判别
对定常系统(1)()x k Ax k +=
若0e x =稳定(渐近稳定)，则其它e x 也稳定(渐近稳定)；
实用标准文案
若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定；
简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解
==k
x k A x k 0(),0,1,2,L
则渐近稳定
⇔→∞
→∞
-==k
k k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),
⇔→∞
=k k A lim 0⇔-→∞
=k k TJ T
1
lim 0⇔→∞
=k
k J lim 0
⇔A 的所有特征值的模全小于1
⇔A的所有特征值都位于复平面上的单位圆.其中J为A的若当形.
如
11
......
k k
k
k
r r J J
J
J J
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
且再如
1122
11
1
10
0100
0000
k k k
k
k k
k k k
k
k
C C
J C
λλλ
λ
λλλ
λλ
--
-
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==→
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
4
实用标准文案
⇔A 的所有特征值的模全小于1
⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆.
例 设A 有互不相同特征值n 12,,,λλλL , 则T , 使
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣
⎦
k
k
k k
k n n A T T T T 11
2
-1-12
λλλλ
λλO
O
由此可得
6
→∞<=⇔==k
i i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,,λλL L
→∞
⇔=k
k A lim 0.
定理5.12 系统为(5.17)的稳定性判定如下：
(i) 0e x =稳定⇔A 所有特征值的模全s 小于1或等于1,
且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的； (ii) 0e x =渐近稳定⇔A 的所有特征值模全小于1. 对一般非线性系统
+==x k F x k k (1)(()),0,1,2,
L (5.18)
实用标准文案
在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有
定理5.13 对(5.18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足 (i) V x k (())为正定；
(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定； (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((()). 则=e x 0全局渐近稳定的.
若无(iii), 则=e x 0是渐近稳定的；
再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅是稳定的.
8
定理用于定常系统(5.17), 即得
定理5.14 线性定常离散(5.17)的=e x 0为渐近稳定
⇔对∀Q > 0, 雅普诺夫方程
-=-T
A PA P Q
有唯一正定解P 证只证充分性,
即已有对∀Q > 0, -=-T
A PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k k
k V x x Px (), 则有
+++=-=-T T k k k k k k
k V x V x V x x Px x Px 111()()()∆
实用标准文案
=-=-T T
T k
k k
k x A PA P x x Qx (),
显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定.
例5.6 设
⎡⎤
+=⎢⎥
⎣⎦
a x k x k
b 0(1)()0 试分析稳定的条件.
解 选Q = I , 则有-=-T
A PA P I , 即
10
-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211
122122212200100001 整理且比较, 得
,1)1(,0)1(,1)1(2
22122
11=-=-=-b p ab p a p
要P 为正定, 需满足
<<a b ||1,||1, (5.19)
解出
===--p p p a
b
1112222
2
1
1
,0,11, =e x 0一致全局渐近稳定.
实用标准文案
文档大全 实质上：<<a b ||1,||1⇔所有特征值的模全小于1.。