大学物理刚体力学习题课
大学物理课件-刚体习题课1共24页

令刚体转动动能为
Ek
1 2
J
2
,则
合外力矩对定轴转动刚体所做的功,等
于刚体转动动能的增量
AEk2Ek1 ——刚体定轴转动的动能定16理
刚体力学总结
质点力学 刚体力学 比较研究
例 1:如图长为l 的均匀细棒,一端悬于o点,另一端自由下垂, 紧靠o 点有一摆线长为l 的单摆,摆球质量为m ,现将单摆拉到 水平位置后,由静止释放,设摆球在其平衡位置与摆做弹性碰 撞后摆 球恰好静止,
回转仪
被中香炉
13
5.6 转动中的功和能 力矩做功 外力 F 作用在刚体上的 P点,当刚体绕轴
转动角度d 时,P点位移为 dr,力所做元
功为
dAFdr
F cos dr
Fr cos d
外力对轴的力矩
Mz Frcos
14
因此,力的元功等于力矩与角位移的乘积
dAMzd
对于有限角位移,力所做的功为
本章只研究定轴转动问题——最简单的转动
4
定轴转动
转轴
质元
转动平面
刚体角速度 d dt
刚体角加速度
转动平面 垂直于转轴的 平面。除转轴上的质元之
a d d2
dt dt2
外,刚体各个质元都在转 质元线速度 vr
动平面内作圆周运动。应 预先规定转轴的正方向
质元加速度
at r
A
2 1
Mzd
由于刚体所受合内力矩为零,所以在刚体
运动过程中合内力矩不做功,因此,Mz 是 合外力矩
15
刚体定轴转动的动能定理
在外力矩作用下刚体的角速度由 12
2 M d 1
JdId d t dJ 12d
《大学物理》刚体力学练习题及答案解析

《大学物理》刚体力学练习题及答案解析一、选择题1.刚体对轴的转动惯量,与哪个因素无关 [ C ](A)刚体的质量(B)刚体质量的空间分布(C)刚体的转动速度(D)刚体转轴的位置2.有两个力作用在一个有固定轴的刚体上. [ B ](1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零;(2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零;(3)这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零;(4)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零.在上述说法中,(A)只有(1)是正确的;(B) (1)、(2) 正确, (3)、(4)错误;(C) (1)、(2)、(3)都正确, (4)错误;(D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确.3.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖立位置的过程中,下述说法哪一种是正确的[ A ](A) 角速度从小到大,角加速度从大到小;(B) 角速度从小到大,角加速度从小到大;(C) 角速度从大到小,角加速度从大到小;(D) 角速度从大到小,角加速度从小到大.4.如图所示,圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动,小球和地球所组成的系统,下列哪些物理量守恒( C )(A)动量守恒,角动量守恒(B)动量和机械能守恒(C)角动量和机械能守恒(D)动量,角动量,机械能守恒5.一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动,轴间摩擦不计,如图射来两个质量相同,速度大小相同、方向相反并在一条直线上的子弹,它们同时射入圆盘并且留在盘内,在子弹射入后的瞬间,对于圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω则有( B )(A)L不变,ω增大(B)L不变,ω减小(C)L变大,ω不变(D)两者均不变6.一花样滑冰者,开始自转时,其动能为20021ωJ E =。
然后他将手臂收回,转动惯量减少为原来的1/3,此时他的角速度变为ω,动能变为E ,则下列关系正确的是( D ) (A )00,3E E ==ωω (B )003,31E E ==ωω (C )00,3E E ==ωω (D )003,3E E ==ωω1C 2.B ,3.A ,4.C ,5.B ,6.D二、填空1.当刚体受到的合外力的力矩为零时,刚体具有将保持静止的状态或_____________状态,把刚体的这一性质叫刚体___________。
刚体力学第3讲刚体力学小结与习题课

R R /2 B O 2v v A
练习4:一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一 粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为),圆盘可绕通 过其中心O的竖直固定光滑轴转动.开始时,圆盘静止,一质 量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌 在盘边上,求 (1) 子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度. (2) 经过多少时间后,圆盘停止转动. (忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
C B l
O A
练习1:如图所示,设两重物的质量分别为m1和m2, 且m1>m2,定滑轮的半径为r,对转轴的转动惯量 为J,轻绳与滑轮间无滑动,滑轮轴上摩擦不计.设 开始时系统静止,试求t时刻滑轮的角速度
r
m
1
m
2
练习2:一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均 匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为m和2m的 重物,如图所示.绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光 1 滑.两个定滑轮的转动惯量均为 2 mr 2 .将由两个定 滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放, 求两滑轮之间绳内的张力
得
J R 2 gR B 球环 2 J0 mR
2 0 0 2
(1)量纲 检验:
对
v v v C: v C 环 地环 C 球 C 球 地 环 C 球
v 2 gR 对 (2)当 0 = 0时, B 球环
1 2 1 2 1 2 mg ( 2 R ) J m A C: J 0 0 0 C C 球环 2 2 2 C 0 又
1.确定研究对象;
2.受力分析; 3.建立坐标系或规定正向,或选择0势点; 4.确定始末两态的状态量; 5.应用定理、定律列方程求解; 6.有必要时进行讨论。
大学物理II-1习题课2 刚体

为m的人站在转台边缘.随后人沿半径向转台中心跑去,当人到达
转台中心时,转台的角速度为
角动量守恒
(B)
两个匀质圆盘A和B的密度分别为rA和rB 若rA>rB,但两圆盘的质量与厚度相同,如两盘对通过
盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为JA和JB,则
(C)
F1-mg=ma1;
RF2-RF1=Jα; RF3-RF2=J
(D)
(A)
MΔt =ΔL M=积分(rμgdm)=1/2 lmg L=1/3 m l2ω0
(A) (A)
(B) (D)
有一半径为R的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴
(A) JA>JB. (C) JA=JB.
(B) JB>JA.
(B)
(D) JA、JB哪个大,不能确定.
厚度相同,质量相同,密度大的半径小
J=1/2 mR2
(a)(b)两图中的细棒和小球均相同,系统可绕o轴在竖直面内 自由转动系统从水平位置静止释放,转动到竖直位置所需时间分别 为ta和tb,则:
( A) ta tb , (B) ta tb , ( C) ta tb , (D) 无法判定
判断两种情况下小球绕轴转动的角加速度
(A)
可判断(a)系统转动得比(b)快,所以ta < tb 。
地球的质量为m,太阳的质量为M,地心与日心的距离为R,引 力常数为G,则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为:
(A)
( A) m GMR , (B) GMm , ( C) Mm G , (D) GMm
R
R
2R
向心力:
角速度: 角动量:
1N m s
刚体力学基础习题课

刚体的动量矩
刚体的进动和章动
第五章
进动的定义和计算
进动是指刚体绕自身某定点作角速度矢量沿着垂直于该定点轴的平面内的圆周运动。
进动的角速度矢量可以表示为$omega = omega_0 + alpha times omega_0$,其中$omega_0$是初始角速度矢量,$alpha$是进动角速度矢量。
平动刚体的动能和动量分别为 (E = frac{1}{2}mv^2) 和 (p = mv),其中 m 为刚体的质量,v 为刚体的速度。
平动刚体的特征
平动刚体的运动规律
平动刚体的动能和动量
刚体的转动
转动刚体上任意两点的连线在运动过程中始终保持长度不变,但可以形成不同的角度。转动刚体的角速度和角加速度是矢量。
进动的角速度矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出,即$|omega| = |omega_0| sqrt{1 + alpha^2}$,$tan theta = frac{alpha}{1 + alpha^2}$,其中$theta$是进动角。
章动的定义和计算
章动的角位移矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出,即$|theta| = |theta_0| + frac{1}{2} |beta| t^2$,$tan varphi = frac{beta t}{2 |theta_0|}$,其中$varphi$是章动角。
01
静态平衡是稳定的,只要刚体受到微小的扰动,它就会恢复到原来的平衡状态。
刚体的平衡稳定性
03
刚体在静态平衡状态下,其重心位置保持不变,且各方向上的力矩平衡。
刚体的平衡状态
02
刚体的动态平衡
大学物理第三章刚体力学基础习题答案

方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞,系统机械能守恒: 2 2 2 1 1 2 2 又: J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得: v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后,经过t1时间到达了额定 转速,此时相应的角速度为 0。当关闭电源后,经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J, 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量,试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解: 设电机的电磁力矩为M,摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得: a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
大学物理 第5章 刚体力学基础习题课

2
1
M d
(3)功率:
d dA M M N dt dt
3
2015-7-3
5.冲量矩和动量矩 (力矩对时间的积累效应) (1) 冲量矩
元冲量矩:Mdt 力矩乘以力矩所作用的时间。 力矩在t1→t2内总冲量矩:
(2) 角动量(动量矩)
t2
t1
Mdt
刚体对固定转动轴的角动量,等于它对该轴的转动惯 量和角速度的乘积。
2iiijmr????22ddjrmrv????三习题基本类型ddt??????22ddddtt??????vr????2nar????tar????vr??ov定定轴p?zr0t?????20012tt?????????????????22002????????专业资料201931092平行轴定理若有任一轴与过质心的轴平行相距为d刚体对其转动惯量为j则有jjcmd2
θ
14
y
NA A
NB
B
l
F 无平动: F
i i
由刚体的平衡条件:
ix
0 N B F kl cos 0 NA W
iy
θ W
原长
无转动: x
M
i
iz
0
(O) F
2 将NB的值代入 W 2kl sin
若以A为转轴,选力矩⊙为 正,则 N B l sin W l cos 0
刚体力学基 础
习题课
2015-7-3
1
刚体力学基础
一、基本概念 1.刚体及其平动、转动、定轴转动 理想化的力学模型 特性:特殊的质点系(牛顿力学) 2.转动惯量
刚体对定轴的转动惯量等于刚体中每个质点的质量 与这一质点到转轴的垂直距离的平方的乘积的总和。
《大学物理学》第二章刚体力学基础自学练习题讲课稿

《大学物理学》第二章刚体力学基础自学练习题讲课稿《大学物理学》第二亍刚体力学基础自学练习题第二章刚体力学基础自学练习题一、选择题4-1.有两个力作用在有固定转轴的刚体上:(1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零;(2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零;(3)当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零;(4)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零;对上述说法,下述判断正确的是:()(A)只有(1)是正确的;(B)(1)、(2)正确,(3)、(4)错误;(C)(1)、(2)、(3)都正确,(4)错误;(D)(1)、(2)、(3)、(4)都正确。
【提示:(1)如门的重力不能使门转动,平行于轴的力不能提供力矩;( 2 )垂直于轴的力提供力矩,当两个力提供的力矩大小相等,方向相反时,合力矩就为零】4-2.关于力矩有以下几种说法:(1)对某个定轴转动刚体而言,内力矩不会改变刚体的角加速度;(2)一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零;(3)质量相等,形状和大小不同的两个刚体,在相同力矩的作用下,它们的运动状态一定相同。
对上述说法,下述判断正确的是:()(A)只有(2)是正确的;(B)(1)、(2)是正确的;(C)(2)、(3)是正确的;(D)(1)、(2)、(3)都是正确的。
【提示:(1)刚体中相邻质元间的一对内力属于作用力和反作用力,作用点相同,则对同一轴的力矩和为零,因而不影响刚体的角加速度和角动量;(2)见上提示;(3)刚体的转动惯量与刚体的质量和大小形状有关,因而在相同力矩的作用下,它们的运动状态可能不同】3.一个力F (3v5:)N作用于某点上,其作用点的矢径为r (4i 3j)m,则该力对坐标原点的力矩为()v v v v(A)3kN m ;(B)29kN m ;(C)29kN m ;(D)3kN m。
4-3.均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴O转动,如图所示。
刚体习题课 [修复的]
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以相对于地面为V 的速率在台边沿逆时针转向走动时,
则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为:
(A)
mR 2 J
(VR )
,顺时针;
(B)
mR 2 J
(VR ) ,逆时针;
(C) (D)
J
mR 2 mR 2
(VR
)
,顺时针;
J
mR 2 mR 2
(VR )
,逆时针。
[A ]
mR 2 (V )
为分( ( ( (速析ABCD度):)))rω单=位6093,3r4122eiˆ.则2v2.554/iˆ..m该11kˆki4iiˆˆˆ时n1=ˆ2j刻1151r.88Pe6v..点58ˆ8∴j/sk的ˆ=ˆ选jjˆ21速π5(r7度a.B0d为k)/ˆs :∴P点在转动平面内对圆心
该时刻P点的速度为:
21
A
1 2
J
2
11
1 2
J
2
2 2
1 2
0.8 (2
37.5 60
)
2 (2
15 60
)2
3.70(J)
2022/1/25
22
5.19 如图所示,均匀杆长 L= 0.40m ,质量M
=1.0kg ,由其上端的光滑水平轴吊起而处于静
•
止。今有一质量为 m = 8.0g 的子弹以速度υ=
200m/s 水平射入杆中而不复出,射入点在轴下 d = 3L/4 处。
g
2022/1/25
18
5.13 一根均匀米尺,在60cm刻度处钉到墙上,且可以
在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平,然后
释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时
大学物理刚体力学习题课解析

系统中有刚体时的功能 原理, 机械能守恒定律。
2018/8/2
2
四、刚体定轴转动的角 动量定理:
t2
Mdt J ω
2 t1
2
J 1ω1
角动量守恒定律的条件 : (1) M 0 (2)惯性系或质心系
系统中有刚体时的角动 量定理, 系统角动量守恒定律。
2018/8/2 3
五、刚体的平面运动: ( 1 ) vi v c ω ric 1 1 2 ( 2 ) Ek m vc J cω 2 2 2 ( 3 ) F ma c , 只适用于惯性系。 M c J cβ 适用于任意参照系。
M,R
m3,r
m1
2018/8/2
m2
12
解: m1 g T1 m1 a1 1 2 (T1 T2 ) R MR 1 2 T2 T3 T4 m3 g m3 a 2 1 (T2 T3 ) r m3 r 2 2 2 T4 m2 g m2
l m ho
l h’
hc
c
h
a
1 2 碰后杆和地球: J mgh c 2
由此得
b
(4)
3h0 h 2hc 2
v
v0 3v0 , 2 2l
18
2018/8/2
例
一质量 m的匀质矩形薄板绕其竖 直边
转动,初始角速度为 0,转动时受到空气阻力 , 阻力垂直于板面,每一 小面积上所受阻力的大 小 正比于该面积和速度平 方的乘积,比例常数为 k。 问经过多少时间角速度 减为原来的一半?已知 薄 板的竖直边长为 b,水平边长为 a。
M,R
T3
T2 T1 T4
1
大学物理 刚体习题课汇总

基本思路
两大类:
1.刚体定轴转动的运动学问题 刚体的运动 = 平动 + 转动 平动刚体 质点 质点力学问题
转动刚体
已知(t), 求, 用导数 已知 或 , 求 (t) 用积分
2.刚体定轴转动的动力学问题 关键是分析受力(力矩), 两套方法:
方法一: 用转动定律解题 (1)平动物体,用隔离体法,写出牛顿方程 (2)转动物体,用隔离体法, 分析力矩, 写出转动方程, 特别注意刚体质心的动力学方程 (3)由角量和线量关系,将平动和转动联系起来
m2
gL
m1 gL
1 2
J
2
m1 g
L 2
(6m2 3m1 )g (3m2 m1 )L
例: 转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为0 ,转台对
此轴的转动惯量 J=5×10-5kg·m2,今有砂粒以每秒1g速
率垂直落在转台上,砂粒落点距轴 r =0.1m,求:砂粒落在
转台上使转台角速度减为0/2 所需时间?
3)T1=m1(g+a1)=21.2[N], T2=m2(g-a2)=16.3[N]
例: 如图: 二个匀质圆盘(m1,R1,m2,R2), 圆盘1上施一力 矩M使之由静止开始转动, 设轻质皮带不伸长不打滑,
求: 二盘的角加速度各为多少?
解:圆盘1 M T1R1 T2R1 J11
圆盘2 T2 R2 T1R2 J22
度的正负。
3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。
解题步骤: 1. 认刚体;
2. 定转轴,找运动;
3. 分析力和力矩;
4. 定转向,列方程。(质心动力学 方程和定轴转动方程)
质点力学与刚体力学物理量和物理规律对比
1. r , v, a
大学物理刚体力学习题课

l 1 1 2 mg sin mgl sin ( ml ml 2 ) 2 2 2 3 9g 3 2 sin g sin / l 4l 2
m m
9 g cos 16l
角加速度对应于该位置的力矩
l 1 2 mg cos mgl cos ( ml ml 2 ) 2 3
12. 一长为l ,质量为 M的均匀木棒,可绕水平轴O在 竖直平面内转动,开始时棒自然地竖直下垂,今有 一质量m、速率为v的子弹从A点射入棒中,假定A点 与O点的距离为3l/4,求:(1)棒开始运动时的角速度; (2)棒的最大偏转角。
解:对题中非弹性碰撞,角动量守恒,
3 3 2 1 mv l J J m( l ) Ml2 4 4 3 36ml (27m 16 M )l
mg T ma
O
Tr J
J m( g a)r 2 / 2
2 gt J mr 2 ( 1) 2s
a r
由已知条件v0 = 0, 得
1 2 s at a 2 s / t 2 2
m
9. 如图所示,滑轮为质量均匀分布的圆柱体,其质 量为m轮,半径为r,在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转。 忽略桌面与物体间的摩擦。设m1=50 kg, m2=200 kg, m轮=15 kg, r=0.1 m,计算该系统中物体m1和m1的加 速度。
解:细杆由初始位置竖直位置,机械能守恒
1 1 L 2 2 J 0 J1 mg (1 cos ) 2 2 2
0
60
v0
碰撞前后角动量守恒, 取为角 动量正向 mv0 L J1 (J mL2 )2 系统竖直位置由初始位置
1 L 1 2 ( J mL2 )2 Mg (1 cos ) mgL(1 cos ) ( J mL2 ) 2 2 2 2
大学物理刚体力学习题讲解

m m O
Jw+mvr-mvr=(J+2mr2)w` w`=J/(J+2mr2)w
M
3. 两个滑冰运动员的质量各为70 kg,均以6.5 m/s
的速率沿相反的方向滑行,滑行路线间的垂直距 r=5m 离为10 m,当彼此交错时,各抓住一10 m长的绳 索的一端,然后相对旋转,则抓住绳索之后各自 对绳中心的角动量L=2275
设m1下降,m2 上升 m1g - T1 m1 a T2 m 2 g m 2 a T1 R T2 R I 1 2 I m3 R 2 a R
2(m1 m2 ) a 联立方程得到 g 2(m1 m2 ) m3 2(m1 m2 ) g [2(m1 m2 ) m3 ]R 4m1m2 m1m3 T1 g 2(m1 m2 ) m3 4m1m2 m2 m3 T2 g 2( m m ) m
4. 一作定轴转动的物体,对转轴的转动惯量J= 3.0 kg· m2,角速度0=6.0 rad/s.现对物体加一 恒定的制动力矩M =-12 N· m,当物体的角速度 减慢到=2.0 rad/s时,物体已转过了角度 =
4.0rad
M=Jβ
2as=v`2-v2 2βθ= 2 -02
5. 质量为m1, m2 ( m1 > m2) 的两物体,通过一定滑轮用绳 相连,已知绳与滑轮间无相对 滑动,且定滑轮是半径为 R 、 质量为 m3 的均质圆盘,忽略 轴的摩擦。求:滑轮的角加速 度。(绳轻且不可伸长)
PART_ONE_05_角动量和角动量守恒定律_刚体力学习题课

刚体绕定轴转动的角速度: ω = ω0 + α t , α = 转过的角度: θ = ω0t + 转过的圈数: N =
ω − ω0
t
,α = −
ω0
t
, α = −3π rad / s
2
1 2 α t , θ = 600π rad 2
θ = 300 2π
当 t = 10 s , ω = ω0 + α t , ω0 = 60π / s , ω = 30π rad / s 线速度: v = ωR = 3π m / s 切向加速度: aτ =
5. 如图XT_0058,匀质园盘水平放置,可绕过盘心的铅直轴自由转动,园盘对该轴的转动惯量为J0,
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2005-6-20
大学物理习题集_上册_习题参考解答_杭州电子科技大学应用物理系_20050329 当转动角速度为ω0时,有一质量为m的质点落到园盘上,并粘在距轴R/2 处(R为园盘半径),则它们 的角速度 ω =
1 1 MR 2ω1 + mr 2ω1 = MR 2ω + mR 2ω 2 2
当人走到台边时,转台和人一起转动的角速度:
ω=
MR 2 + 2mr 2 ω1 , ω = 0.95 rad / s MR 2 + 2mR 2
*5. 如图XT_0063 所示,均匀细麦杆长为L,可绕通过中心O的固定水平轴在铅垂面内自由转动。开 落下后立 始时麦杆静止于水平位置。 一质量与麦杆相同的甲虫以速度v0垂直落到麦杆的 1/4 长度处, 即向端点爬行。试问:1) 为使麦杆以均匀的角速度转动,甲虫沿麦杆的爬行速度应是多少? 2) 为 使甲虫在麦杆转到铅直位置前能爬到端点,甲虫下落速度v0最大是多少? 研究系统为甲虫和麦杆,碰撞为完全非弹性碰撞,系统对转轴的角动量守恒:
大学物理 习题课(二)刚体

1 2
J 2
1 (1 23
J0 )(30 )2
功能原理: A外 A非保内 E
习题课二
17
(二) 计算题
1.刚体质点综合,用转动定律、机械能守恒
2.刚体质点综合,用角动量守恒、机械能守恒、动能定理
3.刚体系,用角动量守恒、转动定律,求变力矩,较难
4.刚体质点综合,用角动量守恒、机械能守恒
5 .刚体,用转动定律
斜面上无滑动地滚下来.两者质量相同、半径相同
且质量分布都均匀.哪一个会先到达底端?(实心先
到)
J球
2 5
mR2 β
aC实 心
5 7
g
sin
J球壳
2 3
m R2
β
aC空
心
3 5
g
s
in
习题课二
9
FN
x mg
转动 Mc J c 纯滚动 约束方程 四个方程联立解
平动 F外 mac x: mg sin F maC y: FN m g cos 0
习题课二
14
ref.教材P93-下半页
习题课二
15
2.已知电子的自旋角动量 L 0.531034 J .s
把电子视为球体 R 11018 m
计算“电子球”表面的线速度。
解:L J 2 mR2 v
5
R
2R
v 5L 1.461014 m / s
2mR
J
2MR2 5
可见这一模型不正确!
违反相对论。
(3)设:A由静止释放沿斜面下滑的最大距离为 S ,
则以A,B,C,斜面,地为系统,其机械能守恒。
B R
1 kS 2 mgS sin 0
大学物理课件-刚体习题课1-文档资料

2
12
回转仪
被中香炉
13
5.6 转动中的功和能 力矩做功 外力 F 作用在刚体上的 P点,当刚体绕轴 转动角度d 时,P点位移为 dr,力所做元 功为
d A F d r F cos d r
Fr cos d
外力对轴的力矩
M F rc o s z
14
因此,力的元功等于力矩与角位移的乘积
5.1 刚体转动的描述
刚体 在受力时不改变形状和体积的物体 刚体是固体物件的理想化模型
刚体可以看成是很多质元组成的质点系,且 在外力作用下,各个质元的相对位置保持不 变
因此,刚体的运动规律,可通过把牛顿运动 定律应用到这种特殊的质点系上得到
3
刚体运动
平动 转动
平动 刚体中任意两个质点的连线在运动中始终 保持平行
Lz J z
因为
d L d z M J J z z z d t d t
M = Jα 通常略去下标
——刚体定轴转动定律 7
所以,刚体绕 z 轴的合外力矩为
转动惯量 Jz 物理意义:转动惯性的量度 转动惯量 Jz 的大小取决于刚体的质量、形 状及转轴的位置
定轴转动定律在转动问题中的地位相当于 平动的牛顿第二定律
I I md C
2
平行轴定理的证明(自学)
11
5.5 角动量守恒
dLz 由刚体定轴转动定理可推知:M z dt 如果 Mz=0,则 Lz=常量
如果刚体所受对某一固定轴的合外力矩为零, 则刚体绕该轴的角动量保持不变 ——对定轴的角动量守恒定律
J1 1 J 2 2
若 J1 J 2 则 1
刚体力学习题课
读书与学习
• 读书是人的存在和精神生态的绿化. • 真正的人生需要文化作为底色. • 在怦然心动的阅读中体悟无边的人类忧思 和生命意义的升华。 • 读书是超越的前提是自我思想诞生的产床 • 读书是对话,在喧嚣中留一方精神的净土 • 始而信,信而惑,惑而疑,疑而索解,解 而终归于悟。
力学习题课_刚体

Fx ma x 直角坐标系 Fy ma y Fz ma z
第三定律: F 12 F 21 作用在不同物体上两力的性质完全相同
8
力学中常见的力
m1m2 Mm 1、万有引力:F G 2 er 重力: W G 2 mg r R
2、弹性力:发生形变的物体,由于力图恢复原状, 对与它接触的物体产生的作用力。 如压力、张力、拉力、支持力、弹簧的弹力。 弹簧的弹性力:f =﹣k x 3、摩擦力:物体运动(或有运动趋势)时,由于接 触面粗糙而受到的阻碍运动的力。 滑动摩擦力 f k k N 最大静摩擦力 f s max s N 4. 黏滞阻力(与相对运动方向相反) 1 2 f C A v 相对速率较小时 f d k v 相对速率较大时 d
r
v
24
(二)转动ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量
单个质点的转动惯量:I = m r2
2 I ( m r 质点系的转动惯量: ii) i 1 n
质量连续分布的刚体的转动惯量: I r 2 dm
m
质量为线分布 dm = λdl
质量为面分布 dm = σdS 质量为体分布 dm = ρdV
其中、、 分别为质量的
v x dv dv ( 2) v k v vdv kdx v0 0 dt dx 2 2 x (v03/2 v 3/2 ) x(v = 0 ) v03/2 3k 3k
17
4. 一小球放在光滑的碗内以角速度 ω 绕 y 轴转动, 在任一点上都能保持平衡,试证明碗的内表面是旋转 抛物面。
1 1 ( A) R ( N 3mg ) ( B ) R (3mg N ) 2 2 1 1 (C ) R ( N mg ) ( D ) R ( N 2mg ) 2 2
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下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下
端达到的高度h 。
l l
c hc
m
ho
h’
h
a
b
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l l
c hc
m
ho
h’
h
a
b
分析:以小球、棒和地球为系统,在碰撞前、 中和碰后,系统的机械能守恒。碰撞中系统 动量不守恒,但系统的角动量守恒。
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解:设碰前摆球的速度为v0 ;碰撞后直杆的角速度 为,摆锤的速度为v‘。杆下端上升的高度为h 。
则有:
碰前摆球和地球:12 mv02 mgh0
(1)
碰中系统:mlv0 J mlv (2)
式中J 1 ml 2 3
碰中系统:1 2
mv02
1 2
J 2
1 mv2 2
(3)
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的竹筏的一端,起初,人和筏处于静止状态,若 人以速度为v(相对于河岸)向垂直于筏身的方 向水平跳出,求竹筏获得的角速度。(筏作为细 杆,水的阻力可忽略)
解:把人和竹筏为系统,以过竹筏中心垂直
水平面的轴为转轴
角动量守恒:J
筏
2
mv
2
0
(J筏
1 12
M2 )
1
6mv
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M
3
7
解法1:
取岸为参照系,人和筏为系统,O为筏的中心, P为人跳离筏过程中的静止点。 所以过P点的垂直轴为固定轴,系统角动量守恒。
J
P
mv(
2
x)
0
(J P
1 M2 12
Mx2 )
P
O
v
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x
8
v
PO
x Vc
系统动量守恒:MVC mv 0
相互关系: VC x
x , 6
6mv ,
问经过多少时间角速度减为原来的一半?已知薄
板的竖直边长为b,水平边长为a。
分析:关键是计算阻力 矩和板的转动惯量
b
a
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解:建立如图坐标系,在距原点 x 处取宽为 dx 的细薄板,根据题意,其受空气的阻力为
df kv2ds kx 2 bdx
ay
其对Oy 轴的转动阻力矩为
b
dM f df x kb2x3dx
刚体力学习题课
主要内容:
一、定轴转动线量和角量的关系:
s r v r, at r, an rω2
二、转动定律: M Z Jβ 适用于惯性系(定轴或瞬时轴)或质心系 J的计算(常见的公式), 平行轴定理。
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1
三 、 刚 体 定 轴 转 动 的 动能 定 理 :
θ 2
A Mdθ
(1R 22r)
m3 , m2 : a2 2 r
Байду номын сангаас2020/4/11
M,R
T2
T3
m3,r
2 T4
m2
a2
13
a2
4m1 2m2 2m3 8m1 2m2 3m3 4M
g
........
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例 如图所示,将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同
一点,杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自
(1) Ω M
(2) 进动方向的判断。
L sin
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例。一均匀细棒(m,l)的两端用绳子自天花板竖
直吊住,棒处于水平,若一端突然剪断,求此
时另一端绳的张力。
分析:
(1) T 1 mg 2
(3) T 1 mg 2
T
A
(2) T mg
B mg
(4) mg T 1 mg 2
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代入转动定律
Mf
J
d
dt
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得: 1 ka4bdt 1 ma2 d
4
3 2
两边积分,并考虑到初始条件
得
1 ka2b
t dt 1m
0
2
d
4
0
3
0
2
所以得
t
4m
3k a2b 0
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22
例。如图,转轴平行的两飞轮A、B,半径
M
VC
mv M
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方法2: 动量定理和角动量定理
m : F dt mv
PO x Vc
v
M:
F
L 2
dt
1 12
ML2
ω
6m v
M
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方法3: 质心坐标系C 略
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例 如图,设m1>m2+m3,(M,R)、(m3,r)为两均质
园柱,绳子与圆柱体无滑动,圆柱体中心轴无摩擦。 求各物体的加速度和绳子的张力。
整个薄板的转动阻力矩
x
dx x O
为
M f
dM f
a kb 2 x3dx 1 k 2a 4b
0
4
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细薄板对Oy 轴的转动惯量为
dJ x2dm x2 ds x2 m bdx
ab
b
整个薄板的转动惯量为
x
J dJ a mx2dx 1 ma2
0a
3
ay
dx x O
θ1
1 J
2
2
2 2
1 2
J
1
2。
1
刚 体 的 重 力 势 能E p m ghc ,
刚 体 的 动 能Ek
1 2
J固
2
1 2
m
vc2
1 2
J
cω2
系统中有刚体时的功能原理, 机械能守恒定律。
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2
四、刚体定轴转动的角动量定理:
t2
Mdt J 2ω2 J1ω1
t1
角动量守恒定律的条件:
5
例。一均匀细棒(m,l)的两端用绳子自天花板
竖直吊住,棒处于水平,若一端突然剪断,
求此时另一端绳的张力。
解:剪断瞬间,A端可认为静止点。
M
A
mg
2
1 m2
3
T
A
m g T m ac
a
c
2
B mg
T 1 mg 4
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(ac
3 g,
4
3g ) 2
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例(习题3.41)质量为m 的人站在质量为M,长L
M,R
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m3,r
m1 m2 12
解:m1 g T1 m1a1
1
(T1
T2 )R
1 2
MR2 1
T2 T3 T4 m3 g m3a2
(T2
T3 )r
1 2
m3r 2 2
T1
T4 m2 g m2 a2
m1 , M : a1 1R
a1
m1
M , m3 : 1R a2 2 r
17
l l
c hc
m
ho
h’
h
a
b
碰后杆和地球:1 J 2
2
mghc
(4)
由此得
h
2hc
3h0 2
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v v0 , 3v0
2
2l
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例 一质量m的匀质矩形薄板绕其竖直边
转动,
初始角
速度为
,转动
0
时受到
空气阻
力,
阻力垂直于板面,每一小面积上所受阻力的大小
正比于该面积和速度平方的乘积,比例常数为k。
(1)M 0 ( 2)惯性系或质心系
系 统 中 有 刚 体 时 的 角 动量 定 理, 系统角动量守恒定律。
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五、刚体的平面运动:
(1 )
vi
vc
ω
ric
( (
2 3
) )
FEkm12amc ,v只c2 适 12用J于cω惯2 性系。
Mc J cβ 适用于任意参照系。
六、刚体的定点运动: