大学物理刚体力学习题课

整个薄板的转动阻力矩
x
dx x O
为
M f
dM f
a kb 2 x3dx 1 k 2a 4b
0
4
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细薄板对Oy 轴的转动惯量为
dJ x2dm x2 ds x2 m bdx
ab
b
整个薄板的转动惯量为
x
J dJ a mx2dx 1 ma2
0a
3
ay
dx x O
M,R
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m3,r
m1 m2 12
解：m1 g T1 m1a1
1
(T1
T2 )R
1 2
MR2 1
T2 T3 T4 m3 g m3a2
(T2
T3 )r
1 2
m3r 2 2
T1
T4 m2 g m2 a2
m1 , M : a1 1R
a1
m1
M , m3 : 1R a2 2 r
（1） Ω M
(2) 进动方向的判断。
L sin
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例。一均匀细棒（m,l)的两端用绳子自天花板竖
直吊住，棒处于水平，若一端突然剪断，求此
时另一端绳的张力。
分析：
(1) T 1 mg 2
(3) T 1 mg 2
T
A
(2) T mg
B mg
(4) mg T 1 mg 2
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取岸为参照系，人和筏为系统，O为筏的中心， P为人跳离筏过程中的静止点。 所以过P点的垂直轴为固定轴，系统角动量守恒。
J
P
mv(
2
x)
0
(J P
1 M2 12
Mx2 )
P
O
v
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x
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ v
PO
x Vc
系统动量守恒：MVC mv 0
相互关系: VC x
x , 6
6mv ,
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解：设碰前摆球的速度为v0 ;碰撞后直杆的角速度 为，摆锤的速度为v‘。杆下端上升的高度为h 。
则有：
碰前摆球和地球：12 mv02 mgh0
(1)
碰中系统：mlv0 J mlv (2)
式中J 1 ml 2 3
碰中系统：1 2
mv02
1 2
J 2
1 mv2 2
(3)
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l l
c hc
m
ho
h’
h
a
b
碰后杆和地球：1 J 2
2
mghc
(4)
由此得
h
2hc
3h0 2
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v v0 , 3v0
2
2l
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例 一质量m的匀质矩形薄板绕其竖直边
转动，
初始角
速度为
，转动
0
时受到
空气阻
力，
阻力垂直于板面，每一小面积上所受阻力的大小
正比于该面积和速度平方的乘积，比例常数为k。
M
VC
mv M
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方法2： 动量定理和角动量定理
m : F dt mv
PO x Vc
v
M:
F
L 2
dt
1 12
ML2
ω
6m v
M
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方法3： 质心坐标系C 略
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例 如图，设m1>m2+m3，（M，R）、(m3,r)为两均质
园柱,绳子与圆柱体无滑动，圆柱体中心轴无摩擦。 求各物体的加速度和绳子的张力。
问经过多少时间角速度减为原来的一半？已知薄
板的竖直边长为b，水平边长为a。
分析：关键是计算阻力 矩和板的转动惯量
b
a
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解：建立如图坐标系，在距原点 x 处取宽为 dx 的细薄板，根据题意，其受空气的阻力为
df kv2ds kx 2 bdx
ay
其对Oy 轴的转动阻力矩为
b
dM f df x kb2x3dx
代入转动定律
Mf
J
d
dt
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得： 1 ka4bdt 1 ma2 d
4
3 2
两边积分，并考虑到初始条件
得
1 ka2b
t dt 1m
0
2
d
4
0
3
0
2
所以得
t
4m
3k a2b 0
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例。如图，转轴平行的两飞轮A、B，半径
5
例。一均匀细棒（m,l)的两端用绳子自天花板
竖直吊住，棒处于水平，若一端突然剪断，
求此时另一端绳的张力。
解：剪断瞬间，A端可认为静止点。
M
A
mg
2
1 m2
3
T
A
m g T m ac
a
c
2
B mg
T 1 mg 4
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(ac
3 g,
4
3g ) 2
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例（习题3.41）质量为m 的人站在质量为M，长L
(1R 22r)
m3 , m2 : a2 2 r
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M,R
T2
T3
m3,r
2 T4
m2
a2
13
a2
4m1 2m2 2m3 8m1 2m2 3m3 4M
g
........
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例 如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同
一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自
的竹筏的一端，起初，人和筏处于静止状态，若 人以速度为v（相对于河岸）向垂直于筏身的方 向水平跳出，求竹筏获得的角速度。（筏作为细 杆，水的阻力可忽略）
解：把人和竹筏为系统，以过竹筏中心垂直
水平面的轴为转轴
角动量守恒：J
筏
2
mv
2
0
(J筏
1 12
M2 )
1
6mv
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M
3
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解法1：
θ1
1 J
2
2
2 2
1 2
J
1
2。
1
刚 体 的 重 力 势 能E p m ghc ,
刚 体 的 动 能Ek
1 2
J固
2
1 2
m
vc2
1 2
J
cω2
系统中有刚体时的功能原理, 机械能守恒定律。
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四、刚体定轴转动的角动量定理：
t2
Mdt J 2ω2 J1ω1
t1
角动量守恒定律的条件：
(1)M 0 ( 2)惯性系或质心系
系 统 中 有 刚 体 时 的 角 动量 定 理, 系统角动量守恒定律。
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五、刚体的平面运动：
(1 )
vi
vc
ω
ric
( (
2 3
) )
FEkm12amc ,v只c2 适 12用J于cω惯2 性系。
Mc J cβ 适用于任意参照系。
六、刚体的定点运动：
然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态
下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下
端达到的高度h 。
l l
c hc
m
ho
h’
h
a
b
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l l
c hc
m
ho
h’
h
a
b
分析:以小球、棒和地球为系统，在碰撞前、 中和碰后，系统的机械能守恒。碰撞中系统 动量不守恒，但系统的角动量守恒。
刚体力学习题课
主要内容：
一、定轴转动线量和角量的关系:
s r v r, at r, an rω2
二、转动定律： M Z Jβ 适用于惯性系（定轴或瞬时轴）或质心系 J的计算（常见的公式）, 平行轴定理。
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三 、 刚 体 定 轴 转 动 的 动能 定 理 ：
θ 2
A Mdθ