大学物理 第5章 刚体力学基础习题课

四、典型习题分析与讲解
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1(为.(rP沿24Z13轴7iˆ)正. 4一方ˆj刚向体5)k。ˆ以,设其每某单分时位钟刻为6刚0“转体10绕上-2m一z ”轴点，做P若的匀以位速“置转10矢动-2量m•s-1”
为速度单位，则该时刻P点的速度为：
( A) vv 94.2iˆ 125.6 ˆj 157.0kˆ
解：t = 4s 时，1 0 1t1 1t1 则
两轮边缘上点的线速度大小相等： 1r1
1
2r2
1
t1
主动轮在4s内的角位移
1
n1
0t1
1 2
1 2
1t12
1 2
1t12
1
4
r2 r1
2t1
1
4
1 r2
2 r1
5 2
8
2 t1
4 20(rev)
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4. (P29 46) 一可绕定轴转动的飞轮，在20N·m的总力矩 作用下，在10s内转速由零均匀地增加到8 rad/s，飞轮
体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获
得的角加速度r的乘积。r
M外 J
J
dr
dt
2.刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等
于刚体的转动动能的增量。
A
1 2
J22
1 2
J12
Ek 2
Ek1
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3. 刚体的角动量定理
v
微分形式：
v M外
dL dt
积分形式：
t2 t1
v Mdt
v L2
v L1
v L
4. 角动量守恒定律
如果刚体所受的对于某一固定轴的合外力矩为零，
则它对于这一固定轴的角动量保持不变。
M外z 0，则 J zω const .
5. 机械能守恒
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律
仍成立。 2020/4/11
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三、习题基本类型
1.定轴转动的运动学问题
(B) vv 25.1iˆ 18.8 ˆj
(C ) vv 25.1iˆ 18.8 ˆj
( D) vv 31.4kˆ
∴选（B ）
分析：ωω=v60r2eπv/mkˆin=1rev/s=2πrad/s
rv 3iˆ 4 ˆj 5kˆ
该∴时P刻点P在点转的动速平度面为内: 对vv圆 心ωv
o′R的v 矢2径πkˆ为:(3iˆ
时，弹簧处于自然长度，墙和地面都是光滑的。当梯子
解法：利用定轴转动的运动学描述关系
d
dt
0
0
0t
t
d
dt
1 2
t2
d2
dt 2
vr
v r
at r
an r ωr rr z
2
ω
2
2 0
2(
0)
v
2.转动惯量的计算
•P
解法（：1）定义法：J Δmiri2
Or
i
J r2dm r2 ρdV
定轴
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（2）平行轴定理
的转动惯量J＝
。
解：初角速度为: ω0=0
末角速度为: ω=8(rad/s)
角加速度为：β ω ω0 8 0 0.8(rad / s2 )
t
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利用定轴转动中的转动定律 M Jβ
J M 20 25(kg m2 ) β 0.8
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5. (P29 47) 一长为l、重W的均匀梯子，靠墙放置，如图， 梯子下端连一倔强系数为k 的弹簧。当梯子靠墙竖直放置
若有任一轴与过质心的轴Hale Waihona Puke Baidu行，相距为d，刚体
对其转动惯量为J，则有 J＝JC＋m d 2。
3.定轴转动的动力学问题
rr
解法：利用定轴转动中的转动定律 M J
步骤：
（1）审题，确定研究对象；
（2）建立坐标系；
（3）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按
坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方程（注：
则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为
mR 2 V
（A） ω ，( 顺) 时针；
JR
（B）
ω
mR 2 V
，( 逆) 时针；
JR
分析：
选逆时针为正
（C） mR 2 ，(顺V 时) 针；
J mR 2 R
J RmV 0
J
mR2
V (
)
0
（D） mR 2 ，(逆V 时) 针。
J mR 2 R
(1) 冲量矩（力矩对时间的积累效应）
元冲量矩：Mvdt 力矩乘以力矩所作用的时间。
(2)
力矩在t1→t2内总冲量矩：
角动量（动量矩）
t2 t1
v Mdt
刚体对固定转动轴的角动量,等于它对该轴的转动惯
量和角速度的乘积。
v L
Jv
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二、基本规律
1. 刚体定轴转动的转动定律
刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚
R mR2 (V )
∴选（A ） 2020/4/11 [ ] 同课本p120.5-14
JR
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3.（p29. 45 ） 半径为20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径 为50cm的被动轮转动。主动轮从静止开始作匀角加速转
动，在4s内，被动轮的角速度达到8πrad.s-1，则主动轮在
这段时间内转过了_____圈。
刚体力学基 础
习题课
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刚体力学基础
一、基本概念 1.刚体及其平动、转动、定轴转动
理想化的力学模型 特性：特殊的质点系(牛顿力学)
2.转动惯量
刚体对定轴的转动惯量等于刚体中每个质点的质量
与这一质点到转轴的垂直距离的平方的乘积的总和。
J miri2 J r 2dm
i
m
3.转动动能 (刚体中各质元的总动能)
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E 2 m v 2020/4/11 ki
ii
Ek
1 J2
2
2
4.力矩及其功和功率
（1）对Mv转轴rv的力Fv矩Mv z
rvi
v Fi
i
（2）力矩的功(力矩的空间积累效应)
元功: dA Md
总功：A 2 M d 1
（3）功率：
N dA M d M
dt
dt
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5.冲量矩和动量矩
v R
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3iˆ
ˆj )
4
ˆj
6πˆj 8πiˆ 25.1iˆ 18.8 ˆj
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2.(P24 18) .质量为m的小孩站在半径为R 的水平平台边缘 上，平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，
转动惯量为 J 。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然
以相对于地面为V 的速率在台边沿逆时针转向走动时，
受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将
F=ma与M=J 联系起来；
（4）计算对轴的转动惯量；
（2502）0/4/1解1 方程，求未知，并对结果进行必要的讨论。8
4.定轴转动中的功能问题 解法：利用动能定理和机械能守恒定律
5.角动量原理及角动量守恒定律 6.混合题型
解法：
应用运动学公式、转动定律和角动量守恒定律。