(09)第九章 时间序列分析2

9.3 长期趋势分析
一、长期趋势测定方法之移动平均法 二、长期趋势测定方法之趋势模型法
二、长期趋势的测定方法 长期趋势测定的方法： 1. 移动平均法； 移动平均法； 2. 数学模型法。 数学模型法。
1.移动平均法： 1.移动平均法： 移动平均法
是测定时间序列趋势变动的基本方法。 是测定时间序列趋势变动的基本方法。
在输入区域中输入D1:D21 选定标志位于第一行， D1:D21， ④在输入区域中输入D1:D21，选定标志位于第一行， 间隔设为4，在输出区域中输入F2，即输出区域的 间隔设为4 在输出区域中输入F2， F2 左上角的绝对引用。选择图表输出和标准误差。 左上角的绝对引用。选择图表输出和标准误差。单 确定”按钮，所得结果如下图所示。 击“确定”按钮，所得结果如下图所示。
指数曲线趋势方程： 指数曲线趋势方程： t 1 2 3 4 n yi ab ab2 ab3 ab4 abn yi / yi-1 — b b b b
y = ab
t
2.估计模型的参数 2.估计模型的参数
方法： 分段平均法 最小二乘法 三点估计法… 3.计算趋势变动测定值 —将自变量 t 的取值，依次代入趋势方程，求出 相应时期的趋势变动测定值。
y0
逐期 增长量
二级 环比发 增长量 展速度
— y1 1 = y1 y0 —
—
—
y1 y0
(2)抛物线方程：yt = a + bt + ct 2
若 时 序 的 级 量 体 同 时 间 列 二 增 大 相 ， 可 合 物 方 配 抛 线 程
(3)指数曲线方程： yt = abt
y2 2 = y2 y1 2 1 y y 2 1 y3 3 = y3 y2 y y 3 2 3 2 y4 4 = y4 y3 y y
偶数项的中心化简单平均数要经过两次移 动计算才可得出。 动计算才可得出。 例如：移动项数 N＝4 时， 例如： 计算的移动平均数对应中项在两个时期的 中间： 中间：
1 M2.5 = ( y1 + y2 + y3 + y4 ) 4 1 (1) M3.5 = ( y2 + y3 + y4 + y5 ) 4
t2
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
合计
91
182505.8 1516487.3
819
解 已知 n = 13, ∑ t = 91, ∑ y = 182505 .8,
∑ ty = 1516487 .3, ∑ t = 819 , 则 n ∑ ty ∑ t ∑ y 13 × 1516487 .3 91 × 182505 .8 b= = n ∑ t (∑ t ) 13 × 819 91
(1)
由于这样计算出来的平均数的时期不明确， 由于这样计算出来的平均数的时期不明确，故不 能作为趋势值。解决办法： 能作为趋势值。解决办法：
对第一次移动平均的结果， 对第一次移动平均的结果，再作一次移动 平均。（移正） 。（移正 平均。（移正）
1 (1) (1) M3 = M2.5 + M3.5 2 1 y1 + 2 y2 + 2 y3 + 2 y4 + y5 = 2 4
对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐期 对时间数列的各项数值， 移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数 以此削弱不规则变动的影响， 时间数列，以此削弱不规则变动的影响，达到对原序 列进行修匀的目的，显示出原数列的长期趋势。 列进行修匀的目的，显示出原数列的长期趋势。 若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为 移动的时距长度。 移动的时距长度。
2 2 2 2
= 1312 .89 182505 .8 91 a = y bt = 1312 .89 × = 4848 .68 13 13 即直线趋势方程为： y = 4848 .68 + 1312 .89 t
预测： 预测：
= 23229 . 14 (亿元 )
y 1999 = 4848 . 68 + 1312 . 89 × 14
1.移动平均法： 1.移动平均法： 移动平均法
移 动 平 均 法
奇数项移动 简单移动 偶数项移动 加权移动平均法
简单移动平均（奇数项移动平均） 简单移动平均（奇数项移动平均） 原数列 移动平均 新数列
t1 t2
t3
t4
t5
t6
t7
t1 +t2 +t3 t2 +t3 +t4 t3 +t4 +t5 t4 +t5 +t6 t5 +t6 +t7 3 3 3 3 3
求解a 求解a、b的简捷方法
y
y′
a′
4 0
a’-a
y = a + bt
a
0 1 2 3 -3 -2 -1
5 1
6 2
7 3
t
取时间数列中间项为原点
∑t = 0
当 ∑ t = 0时 ， 有 0时
∑ y = na + b ∑ t ∑ ty = a ∑ t + b ∑ t
b= n ∑ ty ∑ t ∑ y n ∑ t (∑ t )
2 2
2
∑ y = na ∑ ty = b ∑ t
b = a =
2
a = y bt
∑ ty ∑t ∑y
n
2
= y
N为奇数时，令t = …，-3，-2，-1，0，1，2，3， … 为奇数时， 为奇数时 N为偶数时，令t = …，-5，-3，-1，1，3，5， … 为偶数时， 为偶数时
年份
t
t
GDP (y)
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
GDP (y)
7610.6 8491.3 9448.0 9832.2 10209.1 11147.7 12735.1 14452.9 16283.1 17993.7 19718.4 21454.7 23129.0
ty
7610.6 16982.6 28344.0 39328.8 51045.5 66886.2 89145.7 115623.2 146547.9 179937.0 216902.4 257456.4 300677.0
2
某种商品零售量
30 25 20 15 10 5 0 第一年
原数列 三项移动平均
五项移动平均
四项移动平均
第二年
第三年
第四年
利用移动平均分析工具进行预测
打开“ 时间数列分析与预测.xls”工作簿 工作簿， ① 打开 “ 时间数列分析与预测 .xls 工作簿 ， 选择“移动平均”工作表。 选择“移动平均”工作表。 在单元格F 中分别输入“ ②在单元格F1、G1中分别输入“分析工具预测 预测标准误差” 值”和“预测标准误差” 。
y2 + y3 + y4 + y5 4 y3 + y4 + y5 + y6 4 y4 + y5 + y6 + y7 4
y2 + y3 + y4 + y5 y3 + y4 + y5 + y6 1 y2 + y3 + y4 + y5 + 1 y6 + 2 4 4 =2 4 2
2
n. yn
【例】
年份
1998 1999 2000 2001 2002 2003
( 2)
[
]
M3
(2)
1 1 y1 + y2 + y3 + y4 + y5 2 =2 4
偶数项移动平均
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9.
(例如取4项)
移正平均
y1 y2 y3 y4 y5
y6 y7 y8 y9
移动平均
1 y + y + y + y +1 y y1 + y2 + y3 + y4 y1 + y2 + y3 + y4 + y2 + y3 + y4 + y5 1 2 3 4 2 5 =2 4 4 4 4
ty
t2
1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
7610.6 8491.3 9448.0 9832.2 10209.1 11147.7 12735.1 14452.9 16283.1 17993.7 19718.4 21454.7 23129.0
常见的趋势方程
1）线性趋势方程 —逐期增长量大致相等。
2）二次曲线趋势方程 —逐期增长量大致等量递增或递减。
t = a + b t y
t = a + bt + ct 2 y
3）指数曲线方程 —环比发展速度近似一个常数。
t = ab y
t
(1)线性方程： yt = a + bt
若时间序列的逐期增长 量相对稳定近似 一个常量，可配合直线 方程。
t2
t3
t4
t5
t6
时间序列: y1 , y2 , yn-1 , yn
1 M2 = ( y1 + y2 + y3 ) 3 1 (1) M3 = ( y2 + y3 + y4 ) 3
(1)
Mn1
(1)
1 = ( yn2 + yn1 + yn ) 3
简单移动平均（偶数项移动平均） 简单移动平均（偶数项移动平均）
工具”菜单中选择“数据分析”选项， ③从“工具”菜单中选择“数据分析”选项， 在弹出的“数据分析”对话框中选中“ 在弹出的“数据分析”对话框中选中“移动 平均”选项，并单击“确定”按钮， 平均”选项，并单击“确定”按钮，此时将 出现“移动平均”对话框，如下图所示。 出现“移动平均”对话框，如下图所示。
一阶差分yi - yi-1
— b b b b
抛物线趋势方程： 抛物线趋势方程：
t 1 2 3 4 n yi
y = a + bt + ct
2
一阶差分 二阶差分 — — 2c 2c 2c
a+b+c — a + 2b + 4c b+3c a + 3b + 9c b+5c a + 4b + 16c b+7c a + nb + n2c b+(2n-1)c
4 3
4
3
若时间序列的环比发展速度大体相同， 速度大体相同， 5 可配合指数曲线方程。 可配合指数曲线方程 。
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y 5 = y5 y4 y5 y4 5 4
直线趋势方程： 直线趋势方程： t 1 2 3 4 n yi a+b a + 2b a + 3b a + 4b a + nb
y = a + bt
-45663.6 -42456.5 -37792.0 -29496.6 -20418.2 -11147.7 0 14452.9 32566.2 53981.1 78873.6 107273.5 138774.0
2.趋势模型法： 2.趋势模型法： 趋势模型法
也称曲线配合法 曲线配合法，它是根据时间序列的数据特征 数据特征，建立 曲线配合法 数据特征 一个合适的趋势方程 趋势方程来描述时间序列的趋势变动，推算各时 趋势方程 期的趋势值。
建立趋势模型的程序： 建立趋势模型的程序 1. 选择合适的模型： 选择合适的模型： 判断方法： 直接观察法（散点图法） a. 直接观察法（散点图法） b. 增长特征法
直线趋势的测定： 直线趋势的测定：最小二乘法
经济意义： 经济意义：
直线趋势方程： 直线趋势方程：
y = a + bt
b=
2
数列水平的 平均增长量
用最小平方法 求解参数 a、b ，有 、
∑ y = na + b∑ t ∑ ty = a∑ t + b∑ t
n ∑ ty ∑ t ∑ y n ∑ t (∑ t )
2 2
a = y bt
资料（ 【例】已知某省GDP资料（单位：亿元）如下， 已知某省 资料 单位：亿元）如下， 拟合直线趋势方程，并预测1999年的水平。 年的水平。 拟合直线趋势方程，并预测 年的水平
年份
1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
产量 （y 吨）
440 431 469 331 580 780 569 270 548 133 580 819
移动平均数
n=3 —
496 847.3 539 793.7 566 061.0 566 074.0
n=4
— — 528 415.8 555 814.5
—
— —
移动平均法的特点
移动平均对数列具有平滑修匀作用， 移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数 越多，平滑修匀作用越强； 越多，平滑修匀作用越强； 由移动平均数组成的趋势值数列， 由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的 项数少， 为奇数时，趋势值数列首尾 首尾各少 项数少，N为奇数时，趋势值数列首尾各少 N 1 2 N 为偶数时，首尾各少 项；N为偶数时，首尾各少 项； 局限：不能完整地反映原数列的长期趋势， 局限：不能完整地反映原数列的长期趋势，不 便于直接根据修匀后的数列进行预测。 便于直接根据修匀后的数列进行预测。