数列裂项相消法求和

2(n 1)②
① ②得，an 2 n 1
= 2，所以an
2n ,因为a1 =2也适合上式，
所以an 2（ n n N ）
解： (1)因为a1
a2 2
a3 22
+ an 2 n 1
2n(n N )①
当n 1时，a1 2
当n
2时，a1
a2 2
a3 22
+
an 1 2n2
2(n 1)②
1 1
1
16
n
2
(n
2 )2
Tn
1 16
(1
1 32
)
1 (22
1 42
)
1 (32
1 52
)
1 (n 1)2
1 (n 1)2
1 n2
1
(n
2 )2
1 16
1
1 22
1 (n 1)2
(n
1
2 )2
5 64
1 (n 1)2
1 (n 2)2
课时小结:
❖ 裂项相消的常规方法
课后作业
裂项相消法求和
（2012大纲卷高考理）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，
S5＝15，则数列
an
1 an1
的前100项和为?( )
A100 101
B 99 101
C 99 100
D. 101 100
（2012大纲卷高考理）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，
S5＝15，则数列
3)
，求数列an
的前n项和为Sn
例1：已知数列的通项公式an=n(n13)，求数列an的前n项和为Sn
解：an
=
1 n(n
3)
=
1（1 3n
n
1
) 3
Sn
1 3
(1
1) 4
(1 2
1) 5
(1 3
1) 6
(1 4
1) 7
( n
1 2
1) n 1
( 1 n 1
n
1
) 2
（1 n
n
1
3)
1 (1 1 1 1 1 1 ) 11 1 ( 1 1 1 ) 3 2 3 n 1 n 2 n 3 18 3 n 1 n 2 n 3
① ②得，an 2 n 1
= 2，所以an
2n ,因为a1 =2也适合上式，
所以an 2（ n n N ）
（ 2） 由 （ 1） 得 an 2n， 所 以
bn
(an
an 1)(a n1
= 1)
(2 n
2n 1)(2 n1 1)
1 2n 1
2
1
n 1
1
,
Sn
b1
b2
bn
(1
1) 3
练习1：已知等差数列an的首项为a，公差为b，且不等式ax2 3x 2 0的
解集为(,1) U(b, )．（1）求数列an的通项公式；
（2）设数列满足bn
1 anan1
，求数列bn的前项和Sn．
解：（1）ax2 3x 2 0的解集为(,1) U(b, )，根据不等式解集
的意义可知，方程的两根为x1
an 2n1
2n(n N )
(1)求数列an 的通项公式；
（2）设bn
(an
an 1)(an 1
1) , 求数列bn的前n项和Sn.
解： (1)因为a1
a2 2
a3 22
+ an 2 n 1
2n(n N )①
当n 1时，a1 2
当n
2时，a1
a2 2
a3 22
+
an 1 2n2
n项
和
为Fra Baidu bibliotek
S
满
n
足
：
S2 n
(n 2
n
1) S n
(n 2
n)
0
(1 ) .求
数
列
an的
通
项
公
式
a
；
n
（ 2）
令
b n
(n
n 1
2
)2
a
2 n
,数
列
bn的
前
n
项 和 为 Tn ,求 Tn.
解：由S2 n
(n2
n 1)Sn
(n2
n)
0，得
Sn (n2 n) Sn +1 =0
由于an是正项数列，所以Sn 0, Sn n2 n 于是a1 S1 2, n 2时，an =Sn -Sn1 2n 所以an =2n.
解：由S2 n
(n2
n 1)Sn
(n2
n)
0，得
Sn (n2 n) Sn +1 =0
由于an是正项数列，所以Sn 0, Sn n2 n
于是a1 S1 2, n 2时，an =Sn -Sn1 2n
所以an =2n.
( 2 )由
于
an= 2n,bn
n 1
(n
2
)
2
a
2 n
n 1 4 n 2 (n 2)2
1 anan1
，求数列bn的前项和Sn．
解：（1）ax2 3x 2 0的解集为(,1) U(b, )，根据不等式解集
的意义可知，方程的两根为x1
1，x2
b，由韦达定理得解之得
1 b
b
2
,
3 a
, ，
a
a 1b 2，an a1 (n 1)b 1 (n 1) 2 2n 1．
（2）由（1）得，bn
(1 3
1) 7
(1 2n 1
2
n
1
1
1
)
1
1 2 n1 1
练
习
：
正
项
数
列
an的
前
n项
和
为
S
满
n
足
：
S2 n
(n 2
n
1) S n
(n 2
n)
0
(1 ) .求
数
列
an的
通
项
公
式
a
；
n
（ 2）
令
b n
(n
n 1
2
)2
a
2 n
,数
列
bn的
前
n
项 和 为 Tn ,求 Tn.
练
习
：
正
项
数
列
an的
前
an
1 an1
的前100项和为?( )
A100 101
B 99 101
C 99 100
D. 101 100
【解析】选A 设数列{an}的公差为d，则a1＋4d＝5，
S5＝5a1 +
54 2
d
15,得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1) 1＝n，
所以
1 an an 1
1 n(n 1)
1 n
n
1
1
,
所以S 100
1
1 2
1 2
1 3
1 1 1 1 100 100 101 101 101
什么是裂项法?
把数列的通项拆成两项之差,则分母的 每一项都可以按此法拆成两项之差,并 在求和时一些正负项可以相互抵消,使 前n项和变成首尾有限项之和.
例1：已知数列的通项公式an
=
1 n(n
1 anan1
1 (2n1)(2n1)
1 2
(1 2n1
1) 2n1
Sn
b1
b2
bn
1 2
(1
1 3
1 3
1 5
…
1 2n1
1) 2n1
1 2
(1
1) 2n1
n 2n1
思考：已知数列的通项公式an
=
1 2n(n
3)
，求数列an
的前n项和为Sn
例2：设数列an 满足a1
a2 2
a3 22
+
1，x2
b，由韦达定理得解之得
1 b
b
2
,
3 a
, ，
a
a 1b 2，an a1 (n 1)b 1 (n 1) 2 2n 1．
练习1：已知等差数列an的首项为a，公差为b，且不等式ax2 3x 2 0的
解集为(,1) U(b, )．（1）求数列an的通项公式；
（2）设数列满足bn
设an为公差大于零的等差数列，S n为数列an
的前n项和.已知S4 24, a2 a3 35
(1)求数列an 的通项公式.
(2)若bn
an
1 an1
, 求bn 在前n项和.