相似三角形专题——一线三等角
相似三角形专题——“一线三等角”图形中的相似
教学目标：巩固“一线三等角”图形中的相似判定及分类讨论
结合“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置
会根据一线两等角图形添加第三个等角构造相似三角形
教学重难点：
重点是“一线三等角”图形中判定三角形相似及两类三个三角形两两相似的分类讨论，难点在根据“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置，构造相似三角形
教学过程：
一、巩固“一线三等角”图形中相似的判定及分类讨论
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，作∠EDF = ∠B，点 E、F分别落在边AD、AC上，求证：△BED∽△CDF *（A A）突出“一线三等角，外角证相似”
2.思考1：练习中，联结EF
若点D是BC边的中点，求证：△EDF∽△EBD
*注重证明过程，注意BD与CD的等量代换及比例的内向交换3.思考2：练习中，联结EF
若 BE = CF，求证：△EDF∽△DBE
*通过比例的转化，更应注意可证明EF与BC平行
4.提问：思考3：联结EF
B
若△BDE与△EDF相似，应该分析哪些请况
*问题直接总结上述两种相似情况，同时为后面分类讨论问题铺垫
二、分类讨论，结合“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置
1. 练习：
如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，若 BC = 5，
点E、点D是AB、BC上的点，且BE=√(6)，作∠EDF = ∠
当△DEF与△CDF相似时，求CF与BD的长
2. 如图，在正方形格子中有一个矩形ABCD，在AB上，找出点E，联结DE、CE，使得△DEC 与△DAE及△EBC都相似
*注意
AB中点不正确的说明
3. 思考：如图，在矩形ABCD中，点M在AD上，
将△DMC沿MC翻折，点D恰好落在AB边的E点位置，若△MEC与△AME相似，
求：矩形相邻两边
AD与AB的比
*三个相似三角形带来的特点要注意
B
A E
三、会根据一线两等角图形添加第三个等角构造相似三角形 例题：
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，联结BD
过D 作DE ⊥BD 交AB 边于点E ，若 BC = 4，AC = 8， △BDE ∽△BCD ，求CD
*也可以利用角平分线特点，做DG ⊥
AB 练习
如图，在Rt △ABCD 中，∠C = 90°，AD = 5，BC = 9，点E 是BC 边上一点，且∠DEF = 60°， 若△DEF 与△BEF 相似，求BE 长
C
B
一线三等角教案
相似三角形的判定---“一线三等角”
一、教学目标 1.学生会运用两组对应角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。 2.学生经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。 3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。 二、教学重点、难点 1、重点：运用判定方法解决“一线三等角”的相关计算与证明 2、难点：在不同背景中识别基本图形 三、教学方法：教师主导与学生合作探究相结合。 四、教学过程
例2. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=6，∠ABC=60°，点E,F 分别在线段AD,DC 上（点E 与点A,D 不重合），且∠BEF=120°，设AE=x,DF=y. （1）求y 与x 的函数关系式； （2）当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ C D A B E F 一线三等角与梯形知识的结合。 引导学生思考如何确定y 与x 的 关系，有没有基 本图形的模型。 例2，学生到 黑板上完成，其他同学自 主完成，教师 巡视 例3如图，正方形ABCD 的边长为10，部有6个全等的正方形，小正方 形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为 ． 在正方形中体会“一线三等 角”的重要性 教师引导学生观察有没有基本图形？如何构造基本图形。 学生思考问题，可以在和同学交流的基础上完成。 四知识巩固： 1已知，如图，在矩形ABCE 中， D 为EC 上一点，沿线段AD 翻折，使得点 E 落在BC 上，若借助此题，让学生感到在矩形中因为矩形四个角为直角 的特点，容易和“一线三直 角”基本图形建立联系。 本题融入了轴对称的变换， 教师引导学生观察图形，找基本图 形。 师生共同完成
相似三角形专题——一线三等角
相似三角形专题——“一线三等角”图形中的相似 教学目标：巩固“一线三等角”图形中的相似判定及分类讨论 结合“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置 会根据一线两等角图形添加第三个等角构造相似三角形 教学重难点： 重点是“一线三等角”图形中判定三角形相似及两类三个三角形两两相似的分类讨论，难点在根据“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置，构造相似三角形 教学过程： 一、巩固“一线三等角”图形中相似的判定及分类讨论 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，作∠EDF = ∠B，点 E、F分别落在边AD、AC上，求证：△BED∽△CDF *（A A）突出“一线三等角，外角证相似” 2.思考1：练习中，联结EF 若点D是BC边的中点，求证：△EDF∽△EBD *注重证明过程，注意BD与CD的等量代换及比例的内向交换3.思考2：练习中，联结EF 若 BE = CF，求证：△EDF∽△DBE *通过比例的转化，更应注意可证明EF与BC平行 4.提问：思考3：联结EF B
若△BDE与△EDF相似，应该分析哪些请况 *问题直接总结上述两种相似情况，同时为后面分类讨论问题铺垫 二、分类讨论，结合“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置 1. 练习： 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，若 BC = 5， 点E、点D是AB、BC上的点，且BE=√(6)，作∠EDF = ∠ 当△DEF与△CDF相似时，求CF与BD的长 2. 如图，在正方形格子中有一个矩形ABCD，在AB上，找出点E，联结DE、CE，使得△DEC 与△DAE及△EBC都相似 *注意 AB中点不正确的说明 3. 思考：如图，在矩形ABCD中，点M在AD上， 将△DMC沿MC翻折，点D恰好落在AB边的E点位置，若△MEC与△AME相似， 求：矩形相邻两边 AD与AB的比 *三个相似三角形带来的特点要注意 B A E
基本图形-一线三等角
基本图形：一线三等角，相似两边找 “一线三等角”这个基本图形性质虽然不同，就是可以得到一组相似三角形而已，但因为这组相似三角形的对应关系较难看出，因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形，就有其价值了。 例1：在等腰△ABC中，AB=AC,D是BC上的一点，作∠ADE=∠B,问：△ABD与△DCE相似吗？如果相似，请写出这组相似三角形顶点和边的对应关系。 讲评：从这个例子，我们可以提炼出如下基本图形：“三个相等的顶点在一直线上，就有两个三角形相似”这个结论。这就成为一个基本图形，简称“一线三等角”。 如图，当∠A=∠B=∠EDC时，就有△ADE∽△CDB； 其证明只要用到外角知识。“一线三等角”不能作为定理直接引用，因此在书写证明时，还得用外角知识重新证明。 数学上特别注意的是，这对相似三角形的对应关系不太“顺眼”，要把其中一个三角形转过一个角度后，才比较容易看出顶点的对应关系和对应边。比较好的记忆方法“逆时针比例法”：从图中的点E出发，沿逆时针沿外周绕，得比例EA:AD=DB:BC.
例2：在等边△ABC中，将角A翻折，使点A落在BC边的D点上，EF为折痕，求证：△BED∽△CDF.并写出对应线段比例式。 例3.在矩形ABCD中，AD=4，CD=5，点F在AD上，将角D沿CF翻折,使点D落在AB边的点E处，求 的值。 例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B.∠MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F,连接AF。设BE=，DF=，试建立关于的函数关系式，并写出函数定义域。
相似三角形之一线三等角型
相似三角形之一线三等角型 一、知识梳理： （图1） （图2） （1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ 二、习题精选 1.如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作 DEF B ∠=∠， 射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长. 2.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。 （1）求证△BPD ∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。 3.等腰△ABC ，AB =AC =８，∠BAC =120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转． （1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ～△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ． C P E A D
①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？ ②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S． B C P B P
相似三角形模型讲解-一线三等角问题
第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
（五）一线三直角型： （六）双垂型：
二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形
第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． A C D E B
2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE· DB 4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：∠=? GBM90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设 A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y． （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．A B P D E （第25题图） G M F E H D C A
一线三等角典型例题
“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、（2015 年山东·德州卷） (1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究 如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK = ∠ACD1．作 D1M ⊥KH，D2N ⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸 1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线K1H1 ，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由． 2如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)
相似三角形一线三等角型
相似三角形（3）“一线三等角型” 教学目标： 1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题. 2、经历运用相似三角形的基础知识解决问题的过程，再次体验图形运动、分类讨论、方程 与函数等数学思想. 3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣. 重点： 相似三角形的判定性质及其应用. 难点： 与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法. 教学方法： 启发式教学方法，尝试指导教学法. 一、知识梳理： （图1） （图2） （1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ 二、【例题解析】 【例1】如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ， AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=3 1,求CF 的长 【练】1、已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有 一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4，求:CF 的长
2、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =23，FC =1时，求BE 【例2】在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且5 2=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ 【练】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边 上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE = (2)、当m DB AD =，求DF DE 的值
一线三等角典型例题
“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、（2015 年·卷） (1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点 B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B 相切，求t 的值. 变式1 ( 2012 年) ( 1) 问题探究 如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1 和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线KH 交直线AB 于点H ，使∠AHK = ∠ACD 1 ． 作 D 1M ⊥ KH，D 2N ⊥ KH，垂足分别为点M 、N ． 试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸 1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K 1H 1 ，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1、H 2，使∠AH 1K 1 = ∠BH 2K 2 = ∠ACD 1 ． 作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N⊥K 2H 2，垂足分别为点M 、N ． D 1M = D 2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由． 2 如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变． D 1M = D 2N 是否仍成立? ( 要求: 在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)
中考数学专题复习一线三等角专题练习(含答案)
—线三等角型相似三角形 强化训练： 1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． 2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ； (2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ??=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由． 3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点， 然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。 （1）求证△BPD ∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。 C P E A B D A B C D E A B C D E F
4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ， 设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式 （2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。 5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ， 设PC =x ，△PEF 的面积为y （1）写出图中的相似三角形不必证明； （2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。 6. 已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H . （1）求证：CED ?∽ADH ?； （2）设,EC x BF y ==. ①用含x 的代数式表示BH ； ②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域. C P E A B F C P E A B F H A B C D E F
一线三等角专题训练
一线三等角问题 一、问题引入 如图，ABC ?中，90B ∠=?，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。 求证：△ABC ∽△CED 其他常见的一线三等角图形 （等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角） F （直角坐标系中一线三等角） （矩形，正方形中一线三等角） （1）等腰三角形中一线三等角 例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上 一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （ 3 ）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长． C (备用图)
（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必 有三角形相似； （2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时， 三角线相似。变式练习1就是这类题型； （3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF 与底边平行， 一种是E 为中点； （4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰 梯形中也适用。 变式练习1 （浦东新区22题） 如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、 F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中 点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值. 变式练习2（宝山22题） 如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证： 2BF CE AB ?=； F E C B A （图6） （2）等腰梯形中一线三等角 例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD = BC =∠45B =?，直角三角板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 . \ 第18题
最新一线三等角型相似初三压轴题
中考热点5——三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角 相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60° ∴∠B =∠C =∠EDF =60° ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD ∴ BE CD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE = 3 5 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ， 求证：△BDE ∽△DFE 【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B ∴∠B =∠C =∠EDF ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴ DF DE CD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DF BD DE BE = ∵∠EDF =∠B C A D B E F D
林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题17一线三等角模型(附答案)
专题17 一线三等角模型 破解策略 在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ． 1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ． 321D B P A C （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ． 3 C D B P A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD （3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ． 231D B P A C 2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．
32 1C P D B A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD 3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ． 32 1C D B A P 证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ． ∵∠1＝∠2，∴∠P AC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解 例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2． （1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值； （2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α． ①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）． ②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1 S 2的表达式．
一线三等角专题
一线三等角专题 1．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为（4，8），则点D 的坐标是____． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形，曲线在第一象限经过点D.则________． 3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD=6, ∠ABC=∠C=70°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，且 ∠BEF=110°, 若AE=3，求DF 的长． 4．点E 为线段BC 上一点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 连接AF ，AB=7,CF=4,BC=11,当△ABE 与△EFC 相似时，求BE 的长． 5．如图设M 为线段AB 中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=α，且DM 交AC 于F ，EM 交BD 于G ． （1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； （2）连接FG ，设α=45°，AB=4 ,AF=3，求FG 长． 6．如图，已知y 1=k 1x+k 1（k 1≠0）与反比例函数 (k 2≠0)的图象交于点A 、C ，其中A 点坐标（1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限内，当取何值时，y 1＜y 2？ （3）若一次函数y 1=k 1x+k 1与x 轴交于B 点，连接OA ，求△AOB 的面积： （4）在（3）的条件下，在坐标轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知：在矩形AOBC 中，OB=3，OA=2．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数（k ＞0）的图象与边交于点E ． （1）直接写出线段AE 、BF 的长（用含k 的代数式表示）； 设△AOE 与△FOB 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1=S 2； （3）记△OEF 的面积为S ． ①求出S 与k 的函数关系式并写出自变量k 的取值范围； ②以OF 为直径作⊙N ，若点E 恰好在⊙ N 上，请求出此时△OEF 的面积S ． （4）当点F 在BC 上移动时，△OEF 与△ECF 的面积差记为S ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？ （5）请探索：是否存在这样的点E ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A B C D O y x 图4 F E C B A
一线三等角相似专题复习
张长巧 一线三等角相似专题复习 【“K 型”相似】 1．如图，正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△； （2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位 置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； 6．如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过 F 点的反比例函数k y x = (k >0)的图像与AC 边交于点E 。 (1)若BF ＝1，求△OEF 的面积； (2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由
第2页 3．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠= ，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠= ，设AE x =，DF y =． （1）求y 与x 的函数解析式； （2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ 4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不能到达点B 、C ），过点D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E 。 （1）求证：△ABD ∽△DCE （2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。 （3）当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长。 B B
相似三角形的特殊模型_一线三等角
相似三角形的特殊模型 ―――“一线三等角”模型的综合题 （图1） 图形的变式
（1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ； （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ； (3) 如图2，若 AB ＝AC ，∠ B ＝∠EDF , BD=CD, 连接DF ，那么一定存在的相似三角形有 . 二、例题解析 例1.如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE= 3 1 ,求CF 的长. 练习 1.已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4 . 求:CF 的长 2.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°. （1）求证：△BDE ∽△CFD ； （2）当BD =2 3 ，FC =1时，求BE .
例2.在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且 5 2 =AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ . 练习 在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =； (2)当 m DB AD =，求DF DE 的值. 例3.已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B. 求证：△BDE ∽△DFE.
一线三等角专题
-- 一线三等角专题 1．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为（4，8），则点D 的坐标是____． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形，曲线在第一象限经过点D.则________． 3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD=6, ∠ABC=∠C=70°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，且 ∠BEF=110°, 若AE=3，求DF 的长． 4．点E 为线段BC 上一点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 连接AF ，AB=7,CF=4,BC=11,当△ABE 与△EFC 相似时，求BE 的长． 5．如图设M 为线段AB 中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=α，且DM 交AC 于F ，EM 交BD 于G ． （1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； （2）连接FG ，设α=45°，AB=4 ,AF=3，求FG 长． 6．如图，已知y 1=k 1x+k 1（k 1≠0）与反比例函数 (k 2≠0)的图象交于点A 、C ，其中A 点坐标（1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限内，当取何值时，y 1＜y 2？ （3）若一次函数y 1=k 1x+k 1与x 轴交于B 点，连接OA ，求△AOB 的面积： （4）在（3）的条件下，在坐标轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知：在矩形AOBC 中，OB=3，OA=2．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数（k ＞0）的图象与边交于点E ． （1）直接写出线段AE 、BF 的长（用含k 的代数式表示）； 设△AOE 与△FOB 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1=S 2； （3）记△OEF 的面积为S ． ①求出S 与k 的函数关系式并写出自变量k 的取值范围； ②以OF 为直径作⊙N ，若点E 恰好在⊙N 上，请求出此时△OEF 的面积S ． （4）当点F 在BC 上移动时，△OEF 与△ECF 的面积差记为S ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？ （5）请探索：是否存在这样的点E ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A B C D O y x 图4 F E C B A
几何模型：一线三等角模型知识讲解
几何模型：一线三等 角模型
一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 同侧 锐角直角钝角 P 异侧 相似篇 A 同侧锐角直角钝角 异侧
三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质，反之未必是内心. 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用
基本图形-一线三等角
基本图形:一线三等角，相似两边找 “一线三等角”这个基本图形性质虽然不同，就就是可以得到一组相似三角形而已，但因为这组相似三角形得对应关系较难瞧出,因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形，就有其价值了。 例1：在等腰△ABC中，ＡB＝AC，D就是BC上得一点，作∠ADE=∠B,问：△AＢD与△DC Ｅ相似吗？如果相似，请写出这组相似三角形顶点与边得对应关系。 例2：在等边△ＡBＣ中，将角A翻折，使点A落在ＢＣ边得D点上，EF为折痕,求证：△ＢED∽△CDF、并写出对应线段比例式。 讲评:从这个例子,我们可以提炼出如下基本图形:“三个相等得顶点在一直线上,就有两个三角形相似”这个结论。这就成为一个基本图形,简称“一线三等角”。 如图,当∠A=∠B=∠EDC时,就有△ADE∽△CDB; 其证明只要用到外角知识。“一线三等角”不能作为定理直接引用,因此在书写证明时,还得用外角知识重新证明。 数学上特别注意得就是,这对相似三角形得对应关系不太“顺眼”,要把其中一个三角形转过一个角度后,才比较容易瞧出顶点得对应关系与对应边。比较好得记忆方法“逆时针比例法”:从图中得点E出发,沿逆时针沿外周绕,得比例EA:AD=DB:BC、 例3、在矩形ABＣD中，AD=4，ＣD＝5,点F在AD上,将角D沿CＦ翻折，使点D落在ＡＢ边得点Ｅ处，求得值. 例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AＤ∥BC,ＡＢ＝DC=５,AD= ２，ＢC=8，∠MEN=∠B、∠MＥＮ得顶点E在边BＣ上移动， 一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，连接ＡF.设BE=， ＤF=,试建立关于得函数关系式,并写出函数定义域。 例5：如图，在RｔABC中，∠C=９0°,ＢＣ＝６，AＣ=8，O 就是AB上一点,AO=4,P就是AＣ上动点,过点P做OP得垂线交 边BＣ于点Ｑ,设AＰ=，ＣQ=,试求关于得函数解析式，并写出 定义域。
一线三等角的基本图形
1 师生共用导学稿 年级：九年级 学科：数学 执笔： 审核：九年级数学组 内容：专题：一线三等角的基本图形 课型：复习 时间：11年 8月 日 〖课前回顾〗 1、 三角形相似的判定定理有哪些 2、 相似三角形中常用基本图形有哪些 〖学习目标〗 1、探究并掌握M 型基本图形的几种类型及常用结论。 2、运用M 型基本图形的性质解决问题。 〖自主学习〗 一． 1、如图1、点E 为BC 上任意一点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 你能得出那些结论 2、如图2、点E 为BC 上任意一点，若 ∠B=∠ AEF =∠C=60°, 你能得出那些结论 3、如图3、点E 为BC 上任意一点，若 ∠B= ∠AEF =∠C=α ，上述结论还成立吗 通过做以上三道题，你能得出什么结论 二、 1、如图4、点E 为BC 的中点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 连接AF ①找出图中所有的相似三角形，并证明。 ②说出各边之间的关系 ③说出图中各对相等的角 2、如图5、点E 为BC 的中点，若 ∠B=∠AEF =∠C=α 连接AF ①找出图中所有的相似三角形，并证明。 ②说出各边之间的关系 ③说出图中各对相等的角 ④若BA ·FC=48，求BC 的长 ⑤若AF=m ，点E 到两腰的距离为h ，求三角形AEF 的 面积。 通过做以上两道题，你能得出什么结论 三．变式练习 1、如图4①若 ∠B=∠AEF =∠C=90°,且Rt △ABE ∽Rt △AEF, 求证:E 为BC 的中点 ②、若AB=6，CF=4，BC=14，CF ∥AB,在CB 边上找一点E ，使E 、A 、B 为顶点的三角形和以E 、C 、F 为定点的三角形相似，求出此时CE 的长。 2、点E 为BC 的中点，若 ∠B=∠AEF =∠C= ，连接AF ，把∠AEF 绕点E 旋转到图6的位置， ①图中有多少对相似三角形 ②、若把图6中的点E 向右平移，上述结论还成立吗，为什么 〖课堂小结〗 图1 F E C B A 图2 F E C B A 图3 F E C B A 图4 F E C B A 图5 D F E C B A 图4 F E C B A 图6D F E C B A α
几何模型：一线三等角模型 (最终版)
初中几何模型之“一线三等角模型” 一.【一线三等角概念】 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.【一线三等角的分类】
2.1 全等篇_同侧 A P A P 锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角
2.3 相似篇_同侧 D C A B P P 锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角
三、【性质】 1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α 2=α3易得△AEC∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。
3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.
5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明） 图 3-5 四、【“一线三等角”的应用】 1.应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题； c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.
初三相似三角形之一线三等角专题
相似三角形——“一线三等角型” 一、知识梳理： 一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形． （图1）（图2） （1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】 【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°， （1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=5 2 时，求BE. 【变式1】在边长为4的等边ABC ?中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABC EDF∠ = ∠，连接EF. (1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF.
【变式2】在边长为4的等边ABC ?中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值. 【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ?，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点， 以线段EF 为边向右侧作等边EFG ?，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ， （1）写出图中与BEF ?相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 【例2】在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且5 2=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ . 【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． Q C P