必修五简单线性规划典型例题
高二数学人教A必修5练习：3.3.2 简单的线性规划问题 Word版含解析
课时训练18简单的线性规划问题一、求线性目标函数的最值1.(2015广东湛江高二期末,10)若实数x,y满足-若z=x+2y,则z的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:作出不等式组对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-x+,平移直线y=-x+,由图象可知当直线经过点A(0,1)时,直线y=-x+的截距最大,此时z最大,代入目标函数得z=2.故选B.2.(2015河南郑州高二期末,7)设变量x,y满足约束条件---则目标函数z=2x+3y的最小值为() A.6 B.7C.8D.23答案:B解析:画出不等式---表示的可行域,如图,让目标函数表示直线y=-在可行域上平移,知在点B处目标函数取到最小值,解方程组-得(2,1).所以z min=4+3=7.故选B.3.设变量x,y满足约束条件-则z=x-3y的最小值为.答案:-8解析:作出可行域如图阴影部分所示.可知当x-3y=z经过点A(-2,2)时,z有最小值,此时z的最小值为-2-3×2=-8.二、求非线性目标函数的最值4.若实数x,y满足-则的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:C解析:实数x,y满足-的相关区域如图中的阴影部分所示.表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,的取值范围为(1,+∞).5.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组--所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.答案:解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即d min=.三、求线性规划中的参数6.x,y满足约束条件----若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一．．．,则实数a的值为()A.或1B.2或C.2或1D.2或-1答案:D解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.7.(2015山东潍坊四县联考,15)已知a>0,x,y满足-若z=2x+y的最小值为1,则a=.答案:解析:因为a>0,作出不等式组-表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,2),B(1,-2a),C(3,0).由z=2x+y得y=-2x+z,将直线y=-2x进行平移,可得当经过点B时,目标函数z达到最小值,此时z=1,即2-2a=1,解得a=.8.当实数x,y满足---时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.答案:解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,设目标函数z=ax+y,则y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知满足即可,解得1≤a≤,所以a的取值范围是.四、线性规划中的实际应用9.(2015河南南阳高二期中,20)某人上午7:00乘汽车以v1 km/h(30≤v1≤100)匀速从A地出发到相距300 km的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以v2 km/h(4≤v2≤20)匀速从B地出发到相距50 km 的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x,y小时.如果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)元,那么v1,v2分别是多少时走的最经济,此时花费多少元?解:由题意得,x=,y=,∵30≤v1≤100,4≤v2≤20,∴3≤x≤10,≤y≤.由题设中的限制条件得9≤x+y≤14,于是得约束条件目标函数p=100+3(5-x)+2(8-y)=131-3x-2y,作出可行域(如图),设z=3x+2y,当y=-x+平移到过(10,4)点时在y轴上的截距最大,此时p最小.所以当x=10,y=4,即v1=30,v2=12.5时,p min=93元.(建议用时:30分钟)1.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为()A.-B.C.D.或答案:B解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则--解得m=.2.设变量x,y满足约束条件----则目标函数z=y-2x的最小值为()A.-7B.-4C.1D.2 答案:A解析:作约束条件----所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点A(5,3)时,z取最小值,且为-7,选A.3.若A为不等式组-表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为()A. B.1 C. D.2答案:C解析:如图所示,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=2-.4.如果点P在平面区域---上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为()A.-1B.-1C.2-1D.-1答案:A解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的最小距离为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=-1=-1.5.已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=()A.-16B.-6C.-D.6答案:B解析:由z=x+3y得y=-x+.先作出的图象,因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B.则z=x-2y的最大值为.6.若变量x,y满足约束条件--答案:3解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y,得y=,当直线y=在y轴上的截距最小时,z取得最大值.由图知,当直线通过点A时,在y轴上的截距最小,由--解得A(1,-1).所以z max=1-2×(-1)=3.7.记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是.答案:解析:作出如图所示的可行域,且A(0,4),B(1,1).又∵直线y=a(x+1)过点C(-1,0),而k BC=,k AC=4.从而直线y=a(x+1)与D有公共点时,a∈.8.已知变量x,y满足--则z=x+y-2的最大值为.答案:1解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取最大值.又A(1,2),∴z max=1+2-2=1.9.设z=2y-2x+4,式中x,y满足-求z的最大值和最小值.解:作出满足条件-的可行域如图:作直线l:2y-2x=t,当l过点A(0,2)时,z max=2×2-2×0+4=8.当l过点B(1,1)时,z min=2×1-2×1+4=4.所以,z的最大值为8,最小值为4.10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是x min,y min,总收益为z万元,由题意得:目标函数为z=3 000x+2 000y.作出二元一次不等式组所表示的区域,即可行域,如图:作直线l,即3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.由解得即M(100,200).则z max=3 000x+2 000y=700 000(元),即该公司在甲电视台做100 min广告,在乙电视台做200 min广告,公司收益最大,最大收益是70万元.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品：产品A和产品B。
每个产品的生产需要消耗不同的资源，且每个产品的利润也不同。
公司希望通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
产品A需要消耗3个单位的资源1和4个单位的资源2，每个单位的产品A的利润为5。
产品B需要消耗6个单位的资源1和2个单位的资源2，每个单位的产品B的利润为8。
公司拥有的资源1和资源2的总量分别为30和20。
二、数学模型设x为生产产品A的数量，y为生产产品B的数量。
目标是最大化利润，即最大化5x + 8y。
约束条件为：3x + 6y ≤ 30，4x + 2y ≤ 20，x ≥ 0，y ≥ 0。
三、线性规划求解使用线性规划求解器求解上述问题。
输入目标函数和约束条件后，求解器将自动计算出最优解。
给定目标函数为：5x + 8y约束条件为：3x + 6y ≤ 30，4x + 2y ≤ 20，x ≥ 0，y ≥ 0求解结果如下：最大利润为：120生产产品A的数量为：5生产产品B的数量为：3四、解释结果根据求解结果，最大利润为120，生产5个产品A和3个产品B可以实现最大利润。
同时，根据约束条件，生产数量不能为负数，因此生产数量均为非负数。
五、敏感性分析敏感性分析用于确定目标函数系数的变化对最优解的影响程度。
在本例中，我们将分别增加产品A和产品B的利润，观察最优解的变化情况。
1. 增加产品A的利润：假设每个单位的产品A的利润增加1，即每个单位的产品A的利润为6。
重新求解线性规划问题，得到最大利润为130，生产产品A的数量为6，生产产品B的数量为2。
可以看出，增加产品A的利润对最优解有正向影响，最大利润和产品A的数量均增加。
2. 增加产品B的利润：假设每个单位的产品B的利润增加1，即每个单位的产品B的利润为9。
重新求解线性规划问题，得到最大利润为135，生产产品A的数量为4，生产产品B的数量为4。
可以看出，增加产品B的利润对最优解有正向影响，最大利润和产品B的数量均增加。
简单地线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题例1画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+-∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．例3求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线)1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直， 所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．例4若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示． 作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．例5 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
高二数学必修5简单的线性规划问题-PPT
问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ 问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
C 设z＝2ｘ+ｙ
ｙ＝-2ｘ+ z
2ｘ+ｙ=0
o
问题4：z几何意义是:
斜率为-2的直线在y轴上的截距
x-4y=-3
A
3x+5y=25
x B 当直线过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当直线过点A(5,2)时,z最大,即zmax＝ 2×5+2＝12
产安排是什么？
应用举例
【引例】：
某工厂用A、B两种配件生 产甲、乙两种产品，每生 产一件甲产品使用4个A配 件并耗时1h，每生产一件 乙产品使用4个B配件并耗 时2h，该厂每天最多可从 配件厂获得16个A配件和 12个B配件，按每天工作 8h计算，该厂所有可能的 日生产安排是什么？
4 2
2
4
6
8
应用举例
【优化条件】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
4
M(4,2 )
2
2
4
6
8
z y2x2x3yz
33
x -4y≤ - 3
例1、画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域
x≥1
x-4y≤-3
在该平面区域上
3x+5y≤25 x≥1
y x=1
3
故有四个整点可行解.
2
1
x +4y=11
0 1 2 3 4 5x
3x +２y=10
应用举例
练习5： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0，则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎨⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎨⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。
现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。
同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。
公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。
二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 目标函数：最大化利润。
利润可以表示为10x + 15y。
3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。
通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。
四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。
同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。
五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。
1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。
b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。
2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
2020年高一下学期必修五人教版3.3.2简单的线性规划问题(一)含答案
题型二 已知线性目标函数的最值求参数
1≤ x＋ y≤ 4，
例 2 已知变量 x， y 满足约束条件
若目标函数 z＝ ax＋ y(a>0)仅在点 (3,1)处
－ 2≤ x－y≤ 2，
取得最大值，则 a 的取值范围为
．
跟踪训练 2 在本例条件下， 若使目标函数 z＝ax＋ y(a>0) 取得最大值的点有无数个， 求 a 的值． 题型三 求非线性目标函数的最值
．
3x＋y≥ 12
10．已知
x2＋ y2<1，则
w
＝
y－ x＋
1的取值范围是 1
．
11．已知实数
x， y 满足不等式组
x－ 1≥0， y≥0， x＋ y－ a≤0.
若 z＝ y－ 1的最大值为 x＋1
1，则正数 a 的值
为
．
12．已知正数
a， b， c
满足：
5c－ 3a≤ b≤4c－ a， b≥a＋ c，则
y＋ 1 y－ － 1 由于 z＝ x＋ 1＝ x－ － 1 ， 故 z 的几何意义是点 ( x， y) 与点 M( － 1，－ 1) 连线的斜率，
y＋ 1 因此 x＋ 1的最值是点 ( x， y) 与点 M( － 1，－ 1) 连线的斜率的最值， 由图可知，直线 MB的斜率最大，直线 MC的斜率最小，
y＋ x＋
2 2有最大值
4 .
5
类比：思想方法的迁移方式之一
典例
若实数 x， y 满足不等式组
x＋ 3y－3≤0， x－ y＋1≥0， y≥－ 1，
则 z＝2| x| ＋ y 的取值范围是 ( )
A． [ － 1,3] B ． [1,11] C ．[1,3] D ． [ － 1,11] 答案 D 解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分 ( 含边界 ) 所示，当 x≥０时， z＝ 2x＋ y，即 y＝－ 2x＋ z，由图象可知其经过 A(0 ，－ 1) 时，zmin＝－ 1，经过 B(6 ，－ 1) 时， zmax＝ 11；当 x≤０ 时， y＝ 2x＋ z，由图象可知其经过 C( － 2，－ 1) 时， z ＝ max 3，经过 A(0 ，－ 1) 时， zmin＝－ 1，综 上所述，－ 1≤ z≤11.
高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题
简单的线性规划问题【常考题型】题型二、求非线性目标函数的最值【例2】 设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值；(2)求v ＝y x －5的最大值与最小值． [解] 画出满足条件的可行域如图所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.(2)v ＝y x －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝83－5＝－4. 【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：① x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【对点训练】2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则y x的最大值是________，最小值是________． [解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝y x表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为(52，92)，C 点坐标为(1,6)，所以k OB ＝95，k OC ＝6. 故y x 的最大值为6，最小值为95. [答案] 6 95题型三、已知目标函数的最值求参数【例3】 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________．[解析] 如右图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋2y －a ＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝a －22，代入x －2y ＝2中，解得a ＝2. [答案] 2【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．【对点训练】3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0 [解析] 选D【练习反馈】1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．⎝⎛⎭⎫12，12 选C.2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－63.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是________． 答案：－94．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________． 答案：210。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每天可用的原料有限，而每种产品的制造需要不同数量的原料。
产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
产品A每天的制造时间为6小时，产品B每天的制造时间为4小时。
已知制造一个单位的产品A需要2小时，而制造一个单位的产品B需要1小时。
工厂的目标是最大化每天的利润。
二、数学建模1. 定义变量：- x1: 每天制造的产品A的单位数量- x2: 每天制造的产品B的单位数量2. 建立目标函数：目标函数为最大化每天的利润，即：Maximize Z = 10x1 + 8x23. 建立约束条件：- 原料的限制：每天可用的原料有限，产品A每单位需要2单位原料，产品B每单位需要3单位原料。
因此，原料的约束条件为：2x1 + 3x2 ≤ 原料数量- 时间的限制：每天的制造时间有限，产品A每单位需要2小时制造，产品B每单位需要1小时制造。
因此，时间的约束条件为：2x1 + x2 ≤ 制造时间- 非负约束：每天制造的产品数量不能为负数，因此，非负约束条件为：x1 ≥ 0x2 ≥ 0三、求解线性规划问题利用线性规划的求解方法，可以求解出最优解。
1. 图形法：通过绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，找到目标函数的最大值所在的点。
四、数值计算为了方便计算，我们假设原料数量为20单位，制造时间为10小时。
1. 图形法：绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。
在本例中，约束条件的直线为：2x1 + 3x2 ≤ 202x1 + x2 ≤ 10绘制直线后，找到目标函数的最大值所在的区域。
2. 单纯形法：利用单纯形法，可以求解出最优解。
根据约束条件和目标函数，可以构建如下的单纯形表格：| 基变量 | x1 | x2 | 原料数量 | 制造时间 | 目标函数 ||--------|----|----|----------|----------|---------|| x3 | 0 | 0 | 20 | 10 | 0 || x1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 10 || x2 | 0 | 1 | 3 | 1 | 8 |通过迭代计算，可以得到最优解为：x1 = 5x2 = 0最大利润为：50元五、结果分析根据数值计算的结果，最优解为每天制造5个单位的产品A，不制造产品B，可以获得最大利润为50元。
必修五线性规划经典题
线性规划知识点：1、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．3、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．4、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．5、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若0B >，则0x y C A +B+>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若0B <，则0x y C A +B+>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．6、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ． 可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．一.选择题1、不等式260x y -->表示的平面区域在直线260x y --=的（ ） A ．上方且包含坐标原点 B ．上方且不含坐标原点 C ．下方且包含坐标原点 D ．下方且不含坐标原点2、不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）A ．()0,0B ．()1,1C ．()0,2D ．()2,0 3、不等式490x y +-≥表示直线490x y +-=（ ）A ．上方的平面区域B ．下方的平面区域C ．上方的平面区域（包括直线本身）D ．下方的平面区域（包括直线本身）4、431210x y x y y +<⎧⎪->-⎨⎪≥⎩表示的平面区域内整点的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．8个5、不等式组43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域图形是（ ）A ．四边形B ．第二象限内的三角形C ．第一象限内的三角形D ．不能确定6、已知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．()24,7-B ．()7,24-C ．()(),724,-∞-+∞ D ．()(),247,-∞-+∞7、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是（ ）A ．4B ．1C ．5D ．无穷大8、不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（ ）9、不等式组()()5003x y x y x -++≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的平面区域是一个（ ）A ．三角形B ．直角三角形C ．梯形D ．矩形10、已知点()00,x y P 和点()1,2A 在直线:3280l x y +-=的异侧，则（ ） A ．00320x y +> B ．00320x y +< C ．00328x y +< D ．00328x y +> 11、已知x 、y 19、目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ） A ．该直线的横截距B ．该直线的纵截距C ．该直线纵截距的一半的相反数D ．该直线纵截距的两倍的相反数12.满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．5B ．6-C ．10D ．10-13.设变量x 、y 满足约束条件2,5100,80,x y o x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩,则目标函数z =3x －4y 的最大值和最小值分别为( ) A ．3，－11 B ． －3, －11 C ．11, －3 D ．11,314、在平面直角坐标系中，不等式组20202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域的面积是（ ）A．．4 C．．2 15、点()2,t -在直线2360x y -+=的上方，则t 的取值范围是（ ） A ．23t >B ．23t <C ．23t >-D ．23t <- 16、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．[]2,5C ．[]3,6D ．()3,517、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45 D、18.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 yx 的取值范围是（ ）.A 、[95，6]B 、（－∞，95]∪[6，＋∞）C 、（－∞，3]∪[6，＋∞）D 、[3，6] 二.填空题19、原点在直线210x y -+=的①左侧，②右侧，③上方，④下方，其中正确判断的序号是____________________．20、已知12a ≤≤，13b -≤≤，则2a b +的取值范围是__________________．21、求2z x y =+的最大值和最小值，使式中x 、y 满足约束条件*20204,x y x y x x y -≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪∈N⎩，则z 的最大值是__________，最小值是____________22.若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+4分成面积相等的两部分，则k 的值为 三.解答题23.某工厂计划用甲、乙两台机器生产A 、B 两种产品，每种产品都要依次进行甲、乙机器的加工，已知生产一件A 产品在甲、乙机器上加工的时间分别为2 h 和3 h ，生产一件B 产品在甲、乙机器上加工的时间分别为4 h 和2 h ，甲、乙机器每周可分别工作180 h 和150 h ，若每件A 产品的利润是40元，每件B 产品的利润是60元，问此工厂应如何安排生产才能获得最大的利润（即如何确定一周内每种产品生产的数量）?24.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1 t 需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过360 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？7.解析：设A 、B 两种产品一周的产量分别为x 件、y 件，总利润为S ，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,15023,18042y x y x y x 作出可行域(图略). 目标函数为S =40x ＋60y ,作直线l :40x ＋60y =0,把l 向右上方移至过2x ＋4y =180与3x ＋2y =150交点M (30,30)时, l 与原点的距离最大. 此时S =40x ＋60y 取得最大值为3000.因此每周生产A 、B 产品均为30件时，工厂可获得最大利润为3000元. 答案：每周生产A 、B 产品均为30件时，工厂可获得最大利润为3000元.8.解析：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.（图略） 作直线l ：600x ＋1000y =0，即直线l :3x ＋5y =0.把直线l 向右上方平移至11的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝600x ＋1000y 取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+.36094,20045y x y x得M 的坐标为x =29360≈12.4，y =291000≈34.4. 所以应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.答案：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.。
人教版A版高中数学必修5：简单的线性规划问题(1)
最优解：
使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
模 型
x y
y
2
2x y 12
y y=x
心安 B
C
A
y=2
向远 O
x
y=-2x+12
变式一
变式二
若目标函数为 z 3x y ，
代数
二元一次不等式组 目标函数 z= x+y
z的最值
几何
平面区域
数 形
结
直线 y= -x+z
合
y轴截距的最值
谢谢观看
问题 1.列出有序实数对 (x, y) 满足的二元一次不等式组.
问题 2.画出二元一次不等式组所代表的平面区域？
x y
2yx2y 12
x
0
y 0
y y=x
B
C
A
y=2
O
x
y=-2x+12
x y
2yx2y 12
x
0
y 0
若目标函数为 z 2x+y ，
求 z 的最大值、最小值和取值范围.
求 z 的最大值.
y y=x
B
C
A
y=2
O
x
y=-2x+12
变式三
若目标函数为 z ax y(2 a 4) ，
并且 z 的最大值为 17，求 a 的值;
y y=x
B C
A 2020 y=2
O
x
y=-2x+12
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品的单位利润分别为10元和15元。
公司有两个生产部门，分别为部门X和部门Y。
部门X每天能生产产品A和产品B 各100个，部门Y每天能生产产品A和产品B各80个。
公司每天的销售需求是产品A和产品B各120个。
为了最大化公司的利润，应该如何安排生产部门的生产量？二、问题分析该问题可以转化为一个线性规划问题。
线性规划是一种优化问题，目标是在给定的约束条件下，寻觅使目标函数达到最大（或者最小）值的变量取值。
三、数学建模1. 定义变量：设部门X生产的产品A数量为x1，产品B数量为x2；设部门Y生产的产品A数量为y1，产品B数量为y2。
2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即max Z = 10x1 + 15x2 + 10y1 + 15y23. 建立约束条件：a) 部门X每天能生产产品A和产品B各100个，部门Y每天能生产产品A 和产品B各80个，即x1 + y1 ≤ 100x2 + y2 ≤ 80b) 公司每天的销售需求是产品A和产品B各120个，即x1 + x2 + y1 + y2 ≥ 120c) 非负约束条件，即x1, x2, y1, y2 ≥ 04. 求解线性规划问题：将目标函数和约束条件代入线性规划模型，使用线性规划求解方法求解得到最优解。
四、数学求解将目标函数和约束条件代入线性规划模型，得到如下数学模型：max Z = 10x1 + 15x2 + 10y1 + 15y2s.t.x1 + y1 ≤ 100x2 + y2 ≤ 80x1 + x2 + y1 + y2 ≥ 120x1, x2, y1, y2 ≥ 0使用线性规划求解方法，例如单纯形法，求解上述线性规划问题，得到最优解为：x1 = 80，x2 = 40，y1 = 20，y2 = 40最大利润为：Z = 10 * 80 + 15 * 40 + 10 * 20 + 15 * 40 = 2900元五、结果分析根据数学求解的结果，为了最大化公司的利润，应该安排部门X生产产品A 80个，产品B 40个，部门Y生产产品A 20个，产品B 40个。
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题篇一：典型例题：简单的线性规划问题典型例题【例1】求不等式｜某－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.【例2】某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低参考答案例1：【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.【解】｜某－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=某4某4=8【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.【解】设每天派出甲型车某辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252某+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252某+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252某+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252某+160y取得最小值，即某=2，y=5时，zmin=252某2+160某5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（某，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】1.目标函数:Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5.整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3.平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(某0,y0)在直线A某+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即A某0+By0+C=02.点P(某0,y0)在直线A某+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，A某0+By0+C>0;当B<0时，A某0+By0+C<03.点P(某0,y0)在直线A某+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，A某0+By0+C<0;当B<0时，A某0+By0+C>0注意：（1）在直线A某+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(某,y)代入A某+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线A某+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入A某+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(某1,y1)和点Q(某2,y2)在直线A某+By+C=0的同侧，则有（A某1+By1+C）(A某2+By2+C)>02.点P(某1,y1)和点Q(某2,y2)在直线A某+By+C=0的两侧，则有（A某1+By1+C）(A某2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式A某+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线A某+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.不．包括边界;②二元一次不等式A某+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线A某+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验;“直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线A某+By+C=0的同一侧的所有点(某,y),把它的坐标(某,y)代入A某+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(某0,y0),从A某0+By0+C的正负即可判断A某+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为100元，每个单位产品B的利润为150元。
公司有两个车间可用于生产这两种产品，每个车间每天的工作时间为8小时。
产品A在车间1生产需要1小时，产品B在车间1生产需要2小时；产品A在车间2生产需要2小时，产品B在车间2生产需要1小时。
每天车间1的生产能力为400个单位产品A或200个单位产品B，车间2的生产能力为300个单位产品A或150个单位产品B。
公司的目标是在满足车间生产能力的前提下，最大化利润。
二、数学建模设x1为在车间1生产的产品A的数量，x2为在车间1生产的产品B的数量，x3为在车间2生产的产品A的数量，x4为在车间2生产的产品B的数量。
目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：车间1的生产能力：x1 + x2 ≤ 4002x1 + x2 ≤ 800车间2的生产能力：x3 + x4 ≤ 300x3 + 2x4 ≤ 300非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0三、求解过程使用线性规划的求解方法，可以得到最优解。
1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 4002x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 8000x1 + 0x2 + x3 + x4 ≤ 3000x1 + 0x2 + x3 + 2x4 ≤ 300x1, x2, x3, x4 ≥ 02. 使用线性规划求解器求解得到最优解：最优解为：x1 = 200, x2 = 200, x3 = 0, x4 = 100最大利润为：Z = 100(200) + 150(200) + 100(0) + 150(100) = 50000元四、结果分析根据求解结果，最优解是在车间1生产200个单位产品A，200个单位产品B，在车间2生产100个单位产品B，不需要在车间2生产产品A。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产A、B两种产品，每天生产的产品数量不同，且每种产品的生产时间和利润也不同。
现在需要确定每种产品的生产数量，以使得总利润最大化。
已知每天可用的生产时间为8小时，A产品的生产时间为2小时/件，利润为200元/件；B产品的生产时间为3小时/件，利润为300元/件。
同时，还有以下限制条件：1. A、B产品的总生产数量不能超过100件；2. A产品的生产数量不能超过60件；3. B产品的生产数量不能超过80件。
二、问题分析这是一个典型的线性规划问题，需要确定A、B产品的生产数量，使得总利润最大化。
根据题目中的限制条件，可以得到以下数学模型：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0三、数学模型目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0四、求解过程1. 根据数学模型，列出线性规划的标准形式：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：A +B ≤ 100A ≤ 60B ≤ 80A, B ≥ 02. 根据标准形式，画出目标函数和约束条件的图形：在二维坐标系中，以A为横轴，B为纵轴，画出以下直线：A +B = 100A = 60B = 80并标明非负约束条件。
3. 确定可行解区域：根据约束条件，可得到可行解区域为一个三角形，顶点分别为(60, 40)、(60, 80)和(0, 80)。
4. 确定目标函数的最优解：由于目标函数是线性的，最优解一定在可行解区域的某个顶点上。
计算每一个顶点的目标函数值：(60, 40)：Z = 200 * 60 + 300 * 40 = 28,000(60, 80)：Z = 200 * 60 + 300 * 80 = 36,000(0, 80)：Z = 200 * 0 + 300 * 80 = 24,000可知，目标函数的最优解为Z = 36,000，对应的生产数量为A = 60，B = 80。
必修五 简单线性规划典型例题
1. “平面区域”型考题 1．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<31y y x xy ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则（ ）A ．D P D P ∉∉21且B ．D P D P ∈∉21且C ．D P D P ∉∈21且D ．D P D P ∈∈21且 2．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ）A ．02300>+y xB ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x3．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 2. “平面区域的面积”型考题1.设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B I 所表示的平面图形的面积为 A 34π B 35π C 47π D 2π2.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．143、若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 .4、 若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k的值是 （A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34高 5、若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于__________.3. “求约束条件中的参数”型考题1.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为 A. －5 B. 1 C. 2 D. 32、若直线xy 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)xy a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9]4.设m 为实数，若{250(,)300x y x y x mx y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩}22{(,)|25}x y x y ⊆+≤，则m 的取值范围是___________.4. “截距”型考题1. 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( ) 32.设变量满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20 B ．35 C ．45 D ．553.若满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为 。
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1. “平面区域”型考题 1．不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+<31y y x x
y ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则
（ ）
A ．D P D P ∉∉21且
B ．D P D P ∈∉21且
C ．
D P D P ∉∈21且D ．D P D P ∈∈21且 2．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则
（ ）
A ．02300>+y x
B ．<+0023y x 0
C ．82300<+y x
D ．82300>+y x
3．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 2. “平面区域的面积”型考题
1.设平面点集，则所表示的平面图形的面积为 A B C D
2.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域
{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．1
4
3、若A 为不等式组0
02x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫
过A 中的那部分区域的面积为 .
4、 若不等式组0
3434
x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k
的值是 （A ）
73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34
高 5、若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面
区域的面积等于__________.
3. “求约束条件中的参数”型考题
1.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 A. －
5 B. 1 C. 2 D. 3 2、若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）
A ．
B ．1
C ．
D ．2
3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩
，
，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x
y a a a =>≠，的图
象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9]
4.设m 为实数，若{250(,)300x y x y x mx y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩
}22
{(,)|25}x y x y ⊆+≤，则m 的取值范围是___________.
4. “截距”型考题
1. 满足约束条件，则的最大值为( )
2.设变量满足，则的最大值为A ．20 B ．35 C ．45 D ．55
3.若满足约束条件，则的最小值为 。
4.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ． 5 . “距离”型考题
1. 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对
称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于()A.
285 C. 12
5
2.设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A B C D
3、如果点P 在平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-012020
22y y x y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(2
2PQ y x =++最小值为
(A)
23
(B)
15
4- (C)122- (D)12- 6. “斜率”型考题 1.足10,0
x y x -+≤⎧⎨
>⎩则y
x 的取值范围是（ ）A.(0,1) B.(]0,1 C.(1,+∞) D.[)1,+∞
2.已知正数满足：则的取值范围是 ．
7. “求目标函数中的参数”型考题
1.若x ，y 满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．（，
2） B ．（，2） C ． D ．
2.设m >1，在约束条件下，⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x
y 目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为
A ．)21,1(+
B ．),21(+∞+
C ．（1，3）
D ．),3(+∞
6、已知x 、y 满足以下约束条件5
503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩
，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优
解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 8. “平面区域内的整点”型问题
1、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个
2、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,
932,
22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 9、线性规划的综合题
1、设实数x ，y 满足3≤xy 2
≤8，4≤≤9，则的最大值是 _________ ．
2、设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0020
63y x y x y x ，
若目标函数(0,0)z ax by a b =+>> 的值是最大值为12，则
23a b
+的最小值为（ ） A. 625 B. 38 C. 311
D. 4
3.设,x y 满足约束条件220
8400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨
⎪≥≥⎩
，若目标函数()0,0z abx y
a b =+>> 的最大值为8，则
a b +的最小值为________.
4、已知为直角坐标系原点，，的坐标均满足不等式组，则的最小值为
A ．
B ．
C ．
D ．1
5、定义在R 上的函数()f x 是减函数，且对任意的a R ∈，都有()()0f a f a -+=。
若,x y 满足不等式2
2
(2)(2)0f x x f y y -+-≤，则当14x ≤≤时，2x y -的最大值为是 _________ ．。