第3课时 三边成比例的判定方法
第3课时三边成比例的判定方法
第 3 课时三边成比率的判断方法1.掌握三角形相像的判断方法3.2. 会用相像三角形的判断方法 3 进行计算 .阅读教材P93-94 ，自学“例 3”，理解相像三角形判断定理3.自学反应学生独立达成后集体校正①假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应,那么这两个三角形相像 .②假如两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比率，那么这两个直角三角形.③要判断两个直角三角形相像，最简单的方法就是再找对应相等，就能够依据相像三角形的判断3，判断这两个直角三角形相像 .④如下图，已知∠ ADE=∠ B, 则△ AED∽.原因是.⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相像吗？为何？要依据已知条件选择适合的方法.活动 1小组议论例 1如图，△ ABC与△ A′ B′ C′相像吗？你有哪些判断方法？解：△ ABC∽△ A′B′ C′ .判断方法有 :1.三边成比率的两个三角形相像 .2.两角分别相等的两个三角形相像.3.两边成比率且夹角相等 .4.定义法 .活动 2追踪训练 ( 独立达成后展现学习成就 )1. 在 △ ABC 与 △ A' B ' C ' 中， AB 9cm ， BC 8cm ， CA 5cm ， A' B ' 4.5cm ， B' C '2.5cm ， C ' A ' 4cm ，则以下说法错误的选项是（ ）A. △ ABC 和 △A'B 'C '相像B. AB 和 A' B' 是对应边C. C 和C ' 是对应角D.BC 和 B'C ' 是对应边2. △ ABC 的三边长分别为2、10 和 2，△ A ′ B ′ C ′的两边长分别为 1和 5 ，假如△ ABC ∽ A 'B 'C ' ，则△ A ′B ′ C ′第三边的长为（）2 B.2C.2D.22A.23. 若 △ ABC 的各边都分别扩大为本来的 2 倍，获得 △ A' B 'C ' ，则以下结论正确的选项是（ ）A. △ABC 与 △ A'B 'C ' 的对应角不相等B. △ABC 与 △ A'B'C ' 不必定相像C. △ABC 与 △ A'B 'C ' 的相像比为 1∶2D. △ABC 与 △ A'B 'C ' 的相像比为 2∶14. 已知△ ABC 的三边长分别为 6cm ， 7.5cm ， 9cm ，△ DEF 的一边长为 4cm ，假如这两个三角形相像，则△DEF 的另两条边长能够是（ ）A.2cm ， 3cmB.4cm ， 5cmC.5cm ， 6cmD.6cm ，7cm5. 以下四个三角形，与左图中的三角形相像的是（）6. 在△ ABC 和△ A'B'C' 中， AB=12， BC=15， AC=24， A'B'=20 ， B'C'=25 ，A'C'=40 ，则△ ABC 和△ A'B'C'（填“相像”或“不相像” ）．7. 如下图，要使△ ABC ∽△ DEF ，则 x =.8. 如图，点 O 是 △ ABC 外的一点， 分别在射线 OA ，OB ，OC 上取一点 A ，B ，C ，使得OAOB OC3 ，AB ，B C ，CA△ABCOAOBOC连结 ，所得 与△ABC能否相像？加以说明．活动 1 小组议论例 2 已知：如图，∠ ABC=∠ CDB=90°， AC=a,BC=b,当 BD 与 a,b 之间知足如何的关系时 , 这两个三角形相像 ?解 : ∵∠ ABC=∠ CDB=90°，（ 1）当BC =AB时 , △ ABC ∽△ CDB ，BD CD此时BC =AB =AC，即 a=b .BDCD BCbBD∴ BD=b 2.a2即当 BD=b时 , △ ABC ∽△ CDB ；a（ 2）当AB =BC时 , △ ABC ∽△ BDC ，BD CD此时 AB =BC =AC ，即 AB =AC .BD CD BC BD BC∴a2b 2 =a,BD=ba 2b 2 .BDba∴当 BD=ba 2b 2 时, △ ABC ∽△ BDC.a综上所述，即当b 2 b a 2 b 2BD=或 BD=时 , 这两个三角形相像 .aa此题还是要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种状况.活动 2追踪训练（独立达成后展现学习成就）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， BC=8 cm ， 4AC-3BC=0，点 P 从 B 点出发，沿 BC 方向以 2 cm/s 的速度挪动，点Q 从C 点出发，沿 CA 方向以 1 cm/s 的速度挪动，若 P 、Q 分别从B 、C 同时出发，经过多少秒时，△CPQ 与△CBA相像？活动 3讲堂小结1. 本节学习的数学知识 : 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相像 .2. 依据题目的详细状况，选择适合的方法证明三角形相像 .3.本节学习的数学思想 : 数形联合、分类议论 .教课至此，敬请使用《名校讲堂》相应课时部分.【预习导学】自学反应①相等②相像③一个锐角④△ ACB 略⑤相像略【合作研究 1】活动 2追踪训练1.D2.A3.C4.C5.B6.相像 7. 408. 由已知 OA OCAOCA OC ，∴△ AOCA C OABC A B 3 ，OA 3 ，∽△AOC .∴OA3.同理3，OC ACBCAB∴ A CB C A B . ACBCAB∴ △ABC ∽△ABC.【合作研究 2】活动 2追踪训练设经过 t s 时，△ CPQ 和△ CBA 相像，此时 BP=2t cm ， CQ=t cm ，则 CP=（ 8-2t) cm ，此中 0<t<4.又 BC=8 cm ， 4AC-3BC=0，求得 AC=6 cm.（ 1）当 PQ ∥ AB 时，△ CPQ ∽△ CBA,则CP =CQ，即82t = t, 因此 t=2.4.CBCA 86（ 2）当CP =CQ时，△ CPQ ∽△ CAB,则82t = t，解得 t=32.CA CB6811故经过 2.4 s 或32s 时，△ CPQ 与△ CBA 相像 .11。
4.4三边成比例的判定方法北师大版九年级数学上册习题PPT课件
C．3,4,5与6,8,9
D．2,5,4与0.
【典例】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )
7．【易错题】如图，把一张3×4的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置，即点A的坐标是(1,0)．若点D也在格点位置(与点
A不重合)，且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D的坐标是_____________________________.
10．如图，四边形ABGH、BCFG、CDEF是边长为1的正方形，连接BH、CH、DH，求证：∠ABH＋∠ACH＋∠ADH＝90°.
A．30 cm、45 cm
B．40 cm、80 cm
三边成比例的两个三角形相似．
(3)直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点(不需证明)．
P2、P3、P4、P5中的三个格点(不需证明)．
(1)证明：由勾股定理，得 AB ＝2 ＋4 ＝20，AC ＝2 ＋1 ＝5，BC ＝3 ＋4 ＝25， (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
6．一个三角形框架模型的三边长分别为20 cm、30
cm、40
cm，木工师傅2要以一根2 长为602cm的木条为一边，做2一个与2模型三角2形相似的三角形，2那么另两2 条边的2木条长度不符合条
5．如图，BADB＝BBCE＝ECDA，△ABD 与△BCE 相似吗？为什么？
解：相似．理由如下：∵BADB＝BBCE＝ECDA，∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE.∵BADB＝BBCE，∴ABBC＝BBDE， ∴△ABD∽△CBE.
北师大版九年级数学上册 4.4.3三边成比例的判定方法 导学案(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 4.4.3三边成比例的判定方法 导学案1、预习目标三边成比例的两个三角形相似．如图，已知在△ABC 和△DEF 中，AB DE ＝AC DF ＝BC EF，则△ABC ∽△DEF.2、课堂精讲精练【例1】网格图中每个方格都是边长为1的正方形，A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，求证：△ABC ∽△DEF.证明：∵AC ＝2，AB ＝4，BC ＝10，EF ＝210，DF ＝22，DE ＝8，∴AC DF ＝AB DE ＝BC EF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.【跟踪训练1】已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A 1B 1C 1的两边长分别为1，3，要使△A 1B 1C 1∽△ABC ，那么△A 1B 1C 1【跟踪训练2】如图，图中的每个点(包括△ABC 的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P ，Q ，G ，H 中找一个点，使它与点D ，E 构成的三角形与△ABC 相似，这个点可以是Q 或G ．(写出满足条件的所有的点)【例2】如图，已知AB AD ＝BC DE ＝AC AE，求证： (1)∠BAD ＝∠CAE ；(2)△ABD ∽△ACE.证明：(1)∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE， ∴△ABC ∽△ADE.∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE.(2)∵∠BAD ＝∠CAE ，AB AD ＝AC AE， ∴AB AC ＝AD AE.∴△ABD ∽△ACE. 【跟踪训练3】如图，已知AD AC ＝DE AB ＝AE BC.求证： (1)AB ＝AE ；(2)AD 2＝DE ·CD.证明：(1)∵AD AC ＝DE AB ＝AE BC， ∴△ADE ∽△CAB.∴∠AED ＝∠B.∴AB ＝AE.(2)∵△ADE ∽△CAB ，∴∠DAE ＝∠ACB.又∵∠ADE ＝∠CDA ，∴△ADE ∽△CDA.∴AD CD ＝DE AD.∴AD 2＝DE ·CD.3、课堂巩固训练1．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(C)A ．①② B.②③ C ．①③ D ．②④2．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边分别是4，5，6，另一个三角形框架的一边是2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？解：①当边长为2的边的对应边的长为4时，则4∶2＝2∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为2，2.5，3；②当边长为2的边的对应边的长为5时，则5∶2＝2.5∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为1.6，2，2.4；③当边长为2的边的对应边的长为6时，则6∶2＝3∶1，∴另一个三角形对应的三边的长分别为43，53，2. ∴可选木料有三种方案．。
三角形相似中的三边比例定理与三角比例定理
三角形相似中的三边比例定理与三角比例定理在几何学中，相似三角形是一种十分重要的概念。
相似三角形之间存在着一些重要的比例关系，其中包括三边比例定理和三角比例定理。
本文将详细介绍这两个定理的概念、原理和应用。
一、三边比例定理相似三角形中的三边比例定理是指：如果两个三角形相似，那么它们对应边的比例相等。
设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应顶点分别为A和D、B和E、C和F。
那么我们可以得到以下的比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF这个定理的证明可以通过三角形的直角性质和等角性质来推导，具体的证明过程在此不再详述。
三边比例定理在实际应用中有广泛的用途。
例如，在地理学中，我们可以利用三边比例定理来测量难以直接测量的距离。
在工程中，我们可以利用这个定理来判断建筑物的相似性以及比例尺的选择等。
二、三角比例定理相似三角形中的三角比例定理是指：如果两个三角形相似，那么它们对应角度的正弦、余弦或正切值相等。
设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应顶点分别为A和D、B和E、C和F。
那么我们可以得到以下的比例关系：sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠Fcos∠A/cos∠D = cos∠B/cos∠E = cos∠C/cos∠Ftan∠A/tan∠D = tan∠B/tan∠E = tan∠C/tan∠F这个定理的证明同样可以通过三角形的直角性质和等角性质来推导，具体的证明过程也在此不再详述。
三角比例定理的应用非常广泛。
在导航中，我们可以利用三角比例定理来计算两地之间的距离。
在工程测量中，我们可以利用此定理来测量高楼大厦的高度或者无法直接测量的距离。
综上所述，三角形相似中的三边比例定理和三角比例定理是相似三角形中的重要概念。
这两个定理不仅具有理论意义，而且在实际应用中有着广泛的用途。
熟练掌握这些定理，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识，从而解决一些实际问题。
北师版九年级上册数学导学案 第3课时 三边成比例的两个三角形相似2
第3课时三边成比例的两个三角形相似学习目标：1、掌握并会推导相似三角形的判定定理3.2、会用相似三角形的判定定理1、2、3进行一些简单的判断、证明和计算. 学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理3证明和解决有关问题．预设难点：相似三角形的判定定理3的推导和应用.☆预习导航☆一、链接1、回忆相似三角形的判定定理1、2的内容.定理1可简单说成： .定理2可简单说成： .2、简单说一说相似三角形的判定定理1、2的证明过程.二、导读结合课本和相似三角形的判定定理1、2的证明过程写一写相似三角形的判定定理3的证明过程.☆ 合作探究 ☆1、根据下列条件，判断 ∆ABC 与∆A 1B 1C 1是否相似，并说明理由： （1）∠A ＝1200，AB=7，AC=14，∠A 1＝1200，A 1B 1= 3，A 1C 1=6。
（2）∠A ＝380，∠C ＝970 ,∠A 1＝380，∠B 1＝450(3) 5121022111111======C A C B B A AC BC AB ，，，，，2、如图，在正方形网格上有两个三角形111C B A 和，求证：△111C B A ∽△222C B A☆归纳反思☆本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？☆达标检测☆1、如图，要使△ADE∽△ABC，只给出一个条件即可.2、已知ΔABC与ΔDEF相似,AB=2,AC=10,BC=2,DE=1,DF=5,求EF的长.（注意多种情况）3、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.（1）请写出图中相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP:PQ:QR .。
相似三角形的判定3三边成比例
【开心一刻】
1.三个金叫鑫，三个水叫淼，三个人叫众，那么三个鬼 应该叫什么? ------叫救命
2.你的爸爸的妹妹的堂弟的表哥的爸爸与你叔叔的儿子 的嫂子是什么关系? ------亲戚关系
3.用什么可以解开所有的谜? ------迷底
4.上无片瓦遮身，下无立锥之地。腰间挂个葫芦，只知 阴阳之理。猜一字。 ------卜
对应成比例，那么这两个三角形相
似）．
课堂练习
书70页练习1，2，3
补充：生活中的三角形
如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙1.6 米，梯子上一点D距离墙1.4米，BD长为0.5米，则 梯子的长为——————
A
D
E
B
C
丰收园
本节课你学到了什么?
作业
习题23.3
4． 依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似， 如果相似，请给出证明过程． （1） ∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°； （2） AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150 厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米； （3） ∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°， B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．
证明3010abcabc如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相依据下列条件证明abc和abc相似ab10cmbc8cmac16cmab16cmbc256cm128cm书70页练习123图2436如图ab是斜靠在墙上的长梯梯脚b距墙16米梯子上一点d距离墙14米bd长为05米则梯子的长为依据下列各组条件判断abc和abc是不是相似如果相似请给出证明过程
4.4 探索三角形相似的条件 第3课时 三边成比例的判定方法
12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都 在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列 各题：
(1)试证明三角形△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格作法与证明)
11．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵AB∥DE，∴△ODE∽△OAB，∴ADBE＝OOBE.∵BC∥EF，∴△OEF ∽△OBC.∴BECF ＝OOBE＝OOCF .∵AC∥DF，∴△ODF∽△OAC.∴ADCF ＝OOCF .∴ADBE ＝ BECF＝ADCF.∴△DEF∽△ABC
5．(教材P94例题变式)如图，点D是△ABC内的一点，连接BD并延长到点
E，连接AD，AE，若
AD AB
＝
DE BC
＝
AE AC
，且∠CAE＝30°，则∠BAD＝
____3_0_°__．
6．△ABC的三边长分别为6，8，12，△A1B1C1的三边长分别为2，3，2.5， △A2B2C2的三边长分别为6，3，4，则△ABC与______△__A_2_B_2_C_2___相似．
解：(1)根据勾股定理，得AB＝2 5 ，AC＝ 5 ，BC＝5，显然有AB2＋ AC2＝BC2，根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形
(2)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，得DE＝4 2 ，DF＝2 2 ，EF＝
2
10，∵ADBE＝ADCF＝BECF＝2
5 ，∴△ABC∽△DEF 2
cm，则
x 20
＝
y 50
＝
公开课：三边对应成比例
三边对应成比例的两个三角形相似.
已知:如图△ABC和△ ABC中,
AB AB
AC AC
BC BC
求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
B`
C`
A
D
E
B
C
判定定理3： 三边对应成比例的两三角形相似. A
几何语言： ∵ AB AC BC
复习回顾:
定义
判定方法
三角、三边对应相等 角边角
全等三角形 的两个三角形全等. （ASA）
角角边 边角边 边边边 （AAS） （SAS） （SSS）
相似三角形 三角对应相等，
三边对应成比例的 两个三角形相似.
平行于三角形一边的直线 和其他两边相交,所截的三 角形与原三角形相似.
有两个角对应相等的两三 角形相似.
8
6
F
12
E
(3)AB=3，BC=4，AC=6；
方法总结：把每个三角形的三
DE=6，EF=9，DF=12 边按大小顺序依次排列，然后
不相似
比较它们对应的比值是否相等
例2：如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF
的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
△ABC与△DEF相似吗?
若相似,请给出证明,若不
BC AC
=2厘米，，
A'C'
=3厘米
，B'C'
=4厘米.
还能回得答到下同面样的的问结论题吗：？
A 12cm
18cm
(1)分别计算
A' B' AB
,
B' C' BC
第3课时 三边成比例的两个三角形相似
·数学
【导学探究】
1. DE =
10 5
, DF =
AB
AC
10 5
, EF =
BC
10
5
.
2.根据 三边成比例 判定△ABC∽△DEF.
解:△ABC 与△DEF 相似.理由如下: 由小方格是边长为 1 的正方形,根据勾股定理易求得: DE= 2 ,DF=2,EF= 10 ,AB= 5 ,AC= 10 ,BC=5,
·数学 第3课时 三边成比例的两个三角形相似
三角形相似的判定方法三
1.三边 成比例
的两个三角形相似.
2.应用格式:如图,
因为 AB = AC = BC , DE DF EF
所以△ABC∽△DEF.
·学
探究点一:利用三边成比例判定三角形相似 【例1】 在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的图形叫做格 点图形.如图,网格中的小方格是边长为1的正方形,试判断格点图形△ABC与 △DEF是否相似,并说明你的理由.
【导学探究】
1.由 AB = BC = AC ,可得△ABC∽ △ADE . AD DE AE
2.由 AB =
AD AE
,∠BAD=
∠CAE ,可得△ABD∽△ACE.
AC
·数学
证明:因为 AB = BC = AC , AD DE AE
所以△ABC∽△ADE. 所以∠BAC=∠DAE, 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 因为 AB = AC ,即 AB = AD ,
所以 DE = DF = EF = 10 ,所以△ABC∽△DEF. AB AC BC 5
·数学
网格中判定三角形相似的步骤 (1)求边长:求出三角形各边长,并按大小顺序排列. (2)求比值:分别计算它们对应边的比值. (3)判断:通过比值是否相等判断两个三角形是否相似.
三边成比例的判定方法教学设计
第3课时 三边成比例的判定方法1．掌握三边成比例的两个三角形相似这个判定定理．(重点)2．会运用本课的判定定理证明三角形相似，会根据已知条件选择合适的判定方法判定三角形相似，并会应用它们解决一些问题．(难点)阅读教材P93～94，自学“例3”，完成下列内容：(一)知识探究1．三边成比例的两个三角形________．2．两角分别________的两个三角形相似．3．两边________且________相等的两个三角形相似．(二)自学反馈若△ABC 的各边都分别扩大为原来的2倍，得到△A ′B ′C ′，则下列结论正确的是( )A ．△ABC 与△A ′B ′C ′的对应角不相等B ．△ABC 与△A ′B ′C ′不一定相似C ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1∶2D ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为2∶1活动1 小组讨论例1 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∠BAD ＝20°，求∠CAE 的度数．解：∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE， ∴△ABC ∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似)．∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE.∵∠BAD ＝20°，∴∠CAE ＝20°.本例是对刚得到的相似三角形的判定定理的一个应用，先由本课所学定理结合已知条件可判断两三角形相似，再通过观察图形，寻找∠BAD 和∠CAE 的关系．例2 如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？你有哪些判断方法？△ABC ∽△A ′B ′C ′.判断方法有：(1)三边成比例的两个三角形相似；(2)两角分别相等的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(4)定义法．以方格纸为背景呈现两个三角形，意在运用不同判定方法进行判断．活动2 跟踪训练1．下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是( )2．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝12，BC ＝15，AC ＝24，A ′B ′＝20，B ′C ′＝25，A ′C ′＝40，则△ABC 和△A ′B ′C ′________(填“相似”或“不相似”)．3．如图所示，要使△ABC ∽△DEF ，则x ＝________.4．如图，点O 是△ABC 外的一点，分别在射线OA ，OB ，OC 上取一点A ′，B ′，C ′，使得OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC＝3，连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，所得△A ′B ′C ′与△ABC 是否相似？说明理由．5．已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？活动3 课堂小结1．相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．2．根据题目的具体情况，选择适当的方法判定三角形相似．3．本节学习中体现的数学思想：数形结合、分类讨论．【预习导学】(一)知识探究1．相似 2.相等 3.成比例 夹角(二)自学反馈C【合作探究】活动2 跟踪训练1．B 2.相似 3.404．相似．∵OA ′OA ＝OC ′OC ＝3，∠AOC ＝∠A ′OC ′，∴△AOC ∽△A ′OC ′.∴A ′C ′AC ＝OA ′OA ＝3.同理可得B ′C ′BC＝3，A ′B ′AB ＝3，∴A ′C ′AC ＝B ′C ′BC ＝A ′B ′AB .∴△A ′B ′C ′∽△ABC. 5.∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°，(1)当BC BD ＝AB CD时，△ABC ∽△CDB ，此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a .即当BD ＝b 2a 时，△ABC ∽△CDB ；(2)当AB BD ＝BC CD时，△ABC ∽△BDC ，此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b a a 2－b 2.∴当BD ＝b a a 2－b 2时，△ABC ∽△BDC.综上所述，当BD ＝b 2a 或BD ＝ba2－b2时，这两个三角形相似．a。
用三边比例关系判定两三角形相似
解： ∵ ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′.
知1－讲
总结
这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定 方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的判定 方法中的 “三边”要求的是“比相等”. 三边的对应 关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
知1－讲
知1－练
1 已知△ABC的三边AB＝ 5 cm，AC＝10 cm，BC＝ 12 cm， △A′B′C′的三边A′B′＝3 cm， A′C′ ＝ 6 cm， B′C′ ＝ 7.2 cm.判断△ABC与△A′B′C′是否相似.
知3－练
，AD＝2.当AB的长为多
（来自《点拨》）
知3－练
2 在Rt△ABC和Rt△DEF中，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，EF＝6，如果 Rt△ABC和Rt△DEF相似，还需要添加条件，下列条件中不可能的是( )
A．∠A＝∠D＝90° B．∠B＝∠E＝90° C． D．∠A＝∠E＝90°
（来自《典中点》）
1.学习时采用类比的方法进行，一方面可类比两个三角 形全等的判定方法，另一方面可类比上一课时中有关 两个三角形相似的判定方法.
2.利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”： (1)排序：将三角形的边按大小顺序排列； (2)计算：分别计算它们对应边的比值； (3)判断：通过比较比值是否相等判断两个三角形是否相似．
用三边比例关系判定两 三角形相似
2020/8/17
1 课堂讲解 2 课时流程
三边成比例的两个三角形相似 网格上相似三角形的判定 直角三角形相似的条件
逐点 导讲练
课堂小结
作业提升
判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似 地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法 呢?
知识点
最新人教版九下数学新课标教学课件 27.2.2 三边成比例、两边成比例且夹角相等判定
D B'
∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
∴
A' D A' B'
A' E A' C'
.
B
E C' A
C
∵ A′D = AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴
A' D A' B'
A' E A' C'
=
AC ， A' C'
∴DE=
1 2
AC
，DF=
1 2
BC DF EF 1 AC BC AB 2
∴ △ABC∽△EFD.
二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
探究
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A =∠A′， AB AC k . 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量
∴ DE BC
BC ， AE BC AC
AC AC
.
D B'
∴ DE = BC，A′E = AC. ∴△A′DE ≌ △ABC，∴△ABC∽△A′B′C′ .
A
C A'
E C'
归纳
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：
A'
AB BC AC
A
∵
AB BC
AB 12 3 BC 18 3 AC 24 3
∴
AB AB
BC = AC , BC AC
∴△ABC ∽ △A′B′C′.
如何判断三角形的边长成等比数列
如何判断三角形的边长成等比数列三角形是几何学中常见的基本图形，由三条边和三个角组成。
当三角形的三个边长成等比数列时，可以通过一些几何性质和定理进行判断。
本文将介绍如何判断三角形的边长是否成等比数列。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比等于相同的常数，这个常数称为公比。
例如，数列1、2、4、8、16就是一个等比数列，它的公比为2，因为2/1=4/2=8/4=16/8=2。
二、等边三角形等边三角形是一种特殊的三角形，指三条边的长度相等。
在等边三角形中，三条边的长度肯定成等比数列，且公比为1。
对于一个三角形来说，如果三条边的长度相等，则该三角形一定是等边三角形。
所以判断一个三角形的边长是否成等比数列，首先可以检查其是否为等边三角形。
如果是，那么三个边长肯定成等比数列；如果不是，那么还需要进一步判断。
三、勾股定理勾股定理是三角形中常用的定理，它指的是直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
在一个直角三角形中，假设较长的直角边长度为a，较短的直角边长度为b，斜边长度为c，根据勾股定理有以下关系式：c² = a² + b²如果给定一个三角形的两个边长a和b，我们可以通过勾股定理来判断第三条边的长度是否与前两个边成等比数列。
假设三角形的边长为a、b、c，其中a < b < c。
如果满足以下条件，则可以判断边长成等比数列：c² = a² * b²取平方根并约分，得到：c = √(a * b)如果计算出的c的值等于给定的第三个边长c，则可以确定三角形的边长成等比数列。
四、例题分析以一个具体的例题来进行分析和判断。
例题：已知三角形ABC的三边长度为2、4、8，请判断边长是否成等比数列。
解：首先，我们可以看到该三角形不是等边三角形，所以不能直接判断它的边长成等比数列。
接下来，我们可以利用勾股定理，将式子转化为如下形式：c² = a² * b²8² = 2² * 4²64 = 16 * 16计算得到的结果为64，再开方得到8。
相似三角形的判定 三边对应成比例
例2、已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线 .求证：△ABC∽△FED
A
证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= 1 BC,DF= 1 AC,EF= 1 AB
D
E
2
2
2
B
F
C
∴
DE BC
DF AC
EF
AB
1 2
∴ △ABC∽△FED
2020/3/14
例3：
如图，在RtΔABC和RtΔA ′ B ′ C ′ 中，
，还能得到同样的结论吗？
验 证
A' A
B'
A' BC''
B
C
AB' 'BC ' 'AC' ' AB BC AC
∠A'＝∠A C' ∠B' =∠B
△A'B'C' ∽△ABC
△A'B'C' ∽△ABC
已知:如图△ABC和△A`B`C`中 A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
回答下面的问题：
A 4 cm
6cm
(1)分别计算 AB' ,' B，C' ',AC' '
AB BC AC
这三个比值相等吗？
(2)剪下画出的三角形,利用叠合的方法,
检验对应内角之间具有怎样的大小关系?
B
8 cm
A'
2 cm
3cm
B' 4 cm C'
C
(3)△ABC与△A'B'C' 相似吗?为什么?
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B. 减少了 10%
C. 增加了(1＋10%)
D. 没有改变
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5. 如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别是 CA，AB，BC 的中点，求 证：△ABC∽△FDE.
证明：∵点 D，E，F 分别 是 CA，AB，BC 的中点， ∴DE，DF，EF 是三角形的中位线. ∴DBCE＝ADBF＝AECF ＝12. ∴△ABC∽△FDE.
3. (雅安中考)如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角 形(阴影部分)与△A1B1C1 相似的是( B )
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4. (河北中考)若△ABC 的每条边长增加各自的 10%得△A′B′C′，则∠B′
的度数与其对应角∠B 的度数相比( D )
A. 增加了 10%
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2. 下列数据分别表示两个三角形的三边长，则两个三角形相似的是 ( A) A. 3，2，4 与 9，12，6 B. 2，4，5 与 4，9，12 C. 3，4，5 与 2，2. 5，1 D. 2. 5，5，4 与 0. 5，1. 1，1. 5
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9. 如图，在边长为 1 的正方形网格中有点 P，A，B，C，则图中所形
成的三角形中，相似的三角形是 △APB∽△CPA
.
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在网格中判定三角形相似的方法： (1)找特殊角，即利用网格的直观性，从中发现一些特殊 的角，如 45°，90°，135°角，再检验夹等角的两组对应边 是否成比例；(2)利用勾股定理计算三边的长，再检验三 组对应边是否成比例.
∴ADBE＝ADCF＝BECF＝
10 4.
∴△ABC∽△DEF.
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(3)如图，△P2P4P5 即为所作.
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03 综合题
13. 【类比思想】学习《图形的相似》后， 我们可以借助探索两个直角三角形全等的
条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件.
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6. (教材 P95 习题 T2 变式)在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点， 以格点连线为边的图形叫做格点图形. 如图， 方格纸中小方格是边长为 1 的正方形， 试判断格点图形△ABC 与△DEF 是 否相似，并说明你的理由.
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解：△ABC 与△DEF 相似. 理由如下：
长分别为 50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为 20 cm，那
么符合条件的三角形框架乙共有( C )
A. 1 种
B. 2 种
C. 3 种
D. 4 种
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8. (连云港中考)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中， 根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮” 所在位置的格点构成的三角形与“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的 三角形相似( B ) A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处
MINEC＝AACE，求证：△ABD∽△ACE. 证明：∵AADB＝BDCE＝AACE， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE.
又∵AADB＝AACE，即AACB＝AADE. ∴△ABD∽△ACE.
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解：(1)证明：根据勾股定理，得 AB＝2 5，AC＝ 5，BC＝5，则 AB2＋AC2 ＝BC2，
∴△ABC 为直角三角形. (2)△ABC 和△DEF 相似. 理由：
根据勾股定理，得 AB＝2 5，AC＝ 5，BC＝5.
DE＝4 2，DF＝2 2，EF＝2 10.
(1)“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应 相等，这两个直角三角形全等”. 类似地可以得到：“满足 一个锐角
对应相等 或 两直角边对应成比例
的两个直角三角形相似”；
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(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地
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数学 第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第3课时 三边成比例的判定方法
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01 基础题
知识点 三边成比例的两个三角形相似 1. 甲三角形的三边分别为 1， 2， 5，乙三角形的三边分别为 5， 10， 5，则甲、乙两个三角形( A ) A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 无法判断是否相似
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10. 如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC. 证明：∵AB∥DE， ∴OODA＝OOEB. 又∵∠DOE＝∠AOB. ∴△ODE∽△OAB. ∴DAEB＝OOEB.
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同理可得： EF ＝OE＝ OF ， BC OB OC ADCF＝OOCF. ∴DAEB＝BECF＝ADCF. ∴△DEF∽△ABC.
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12. 如图，在边长为 1 的小正方形 组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P1，P2，P3， P4，P5 是△DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题： (1)求证：△ABC 是直角三角形； (2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由； (3)画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P2，P3，P4，P5 中的 3 个格 点，并且与△ABC 相似.
由小方格是边长为 1 的正方形，根据勾股定理易求得：
DE＝ 2，DF＝2，EF＝ 10，AB＝ 5，AC＝ 10，BC＝5.
∴DAEB＝ADCF＝BECF＝
10 5.
∴△ABC∽△DEF.
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02 中档题
7. 要做甲、乙两个形状相同的三角形框架，已知三角形框架甲的三边