高级微观经济学研究生期末总复习习题

第一部分：消费者理论一、形式化表述分析消费者偏好的性质（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等） *二、效用函数存在性证明。

请参考教材三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。

考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为=1p （2，4）时，其需求为=1x （1，2）。

当价格为=2p （6，3）时，其需求为=2x （2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

如果=2x （1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

解答：81*42*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2 151*32*6x p 122*31*6x p 2212=+=<=+= 消费束2偏好于消费束1 违反了显示性偏好弱公理。

如果=2x （1.4，1）时：8.61*44.1*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2 4.111*34.1*6x p 122*31*6x p 2212=+=<=+= 消费束1在价格2的情况下买不起。

符合显示性偏好弱公理。

四、效用函数121),(x x x u =，求瓦尔拉斯需求函数解答：w x p x p t s x x x u =+=2211121..),(max 从效用函数121),(x x x u =可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，02=x ，11p wx = 或者由w x p x p t s x x x u =+=2211121..),(max ,可得到)(0max),(max 112112221源于消费束的非负限制，，此时p wx x p w p x p w x x u ===-=实际上，这是一个边角解，五、效用函数ρρρ12121)(),(x x x x u +=，对其求 1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数； 2、希克斯需求函数，支出函数。

答案： 1、12111111---+=ρρρρρp p wp x ，12111122---+=ρρρρρp p wp x ，ρρρρρρ1121121)(),,(---+=p p ww p p v2、ρρρρρρ112111111)(---+=p p up h ，ρρρρρρ112111122)(---+=p p up h ，ρρρρρρ---+=11211)(),(p p uu p e（形式可能不一样）六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，*并证明其中的凹凸性性质。

请参考教材*七、证明对偶原理中的1.)],(,[),(w p v p h w p x ≡ 2.)],(,[),(u p e p x u p h ≡ 请参考教材*八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集}{,w x p X x B X w p ≤⋅∈=：：。

假定}0,{>>w p 。

证明：如果X 是一个凸集，则wp B ,也是凸集。

请参考教材九、效用函数2121),(x x x x u =，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应1x2x和总效应。

请参考教材十、效用函数ρρρ12121)(),(x x x x u +=，求其货币度量的直接和间接效用函数。

答案：ρρρρρρρρρ11211121)()(),(---++=p p x x x p ww q q p p w q p ρρρρρρρρρρρρμ------++=1121111211)()(),(；十一、效用函数2121),(x x x x u =，当40,3,20201===w p p ，5,41211==p p ，求其等价变化和补偿变化。

答案： w q q p p w q p 2121),(=；μ，)1103(40-=EV ，)3101(40-=CV 十二、分析福利分析在税收方面的应用。

请参考教材十三、2121),(x x x x u =，假定25.01=p ，12=p ，2=w ，对商品1开征消费税0.25元。

求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。

解答：max 2121),(x x x x u =s.t. w p x p x =+2211 1．求瓦尔拉斯需求函数 （1）建立拉格朗日函数)--(221121x p x p w x x L λ+=（2）求极值一阶条件02112122111=-=∂∂-λp x x x L (a)02122122112=-=∂∂-λp x x x L (b) 02211=--=∂∂x p x p w Lλ(c) 由(a)和(b)整理得：()()21122121212112=⇒=p p x x p p x xx x （3）瓦尔拉斯需求函数分别将2112=p p x x ，2121=p px x 代入预算约束(c)，有2．求间接效用函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数2121=),(x x x x u ，有3．求支出函数由间接效用函数，求反函数w 得：),,(2=21212211w p p vp p w4．求希克斯需求函数法一：将支出函数 代入瓦尔拉斯需求函数ii p wx2=，得到法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。

5．求货币度量的效用函数（1）货币度量的直接效用函数),(2=),(21212211x x u p p x p w 2112112=x x p p（2）货币度量的间接效用函数w q q p p w q q v p p w q p 21221121221121212211),,(2),;(--==μ6．下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。

25.0=01p ，1=02p ， 25.0+25.0=11p ，1=12p2===01w w w等价变化分析：2)1()25.0(22)()(2),,(u 21212102210102010=====p p w w p p v 2)1()5.0(22)()(2),,(u 21212112211112111=====p p w w p p v 按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：),(),(1110u p e u p e Ev -=w u p e -),(=1w w p p -),;(=10μ ()()()()w w p p p p-=21212121_12_110201()()()()5858.02215.0125.021212121__-=-⨯=商品税与收入税对消费者的福利之差为:),;(),(),;()(101110w p p Ev u p th w p p Ev T --=--0.08585858.02)1()5.0(25.05858.0)()(25.02121121122111=+⨯-=+⨯-=——u p p 表明商品税对消费者的福利影响更差。

补偿变化分析：按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：),(),(0100u p e u p e Cv -=),(-=01u p e w ),;(-=01w p p w μ()()()()w p p p pw 21212121_02_011211-=()()()()8284.02125.015.0221212121__-=⨯-=商品税与收入税对消费者的福利之差为:),;(),(),;(-010101w p p Cv u p th w p p Cv T --=-8284.02)1()5.0(25.08284.0)()(25.02121021122111+⨯⨯-=+⨯-=——u p p0.12138284.00.7074=+-=表明商品税对消费者的福利影响更差。

第二部分：厂商理论一、产商的生产函数31231111),(x x x x f =，求其要素需求函数和条件要素需求函数。

解答：（1）),(..m ax 112211x x f y t s x w x w py =--=π221112311max x w x w x px --=π03113123211=-=∂∂-w x px x π 03123113222=-=∂∂-w x px x π 2213127w w p x =1223227w w p x =（2）)min(2211x w x w + y x x t s =312311..,232122111y w w x -=,232112122y w w x -=二、产商的生产函数3121111),(x x x x f =，求其成本函数和利润函数解：将要素需求函数带入利润函数表达式就得到利润函数，将条件要素需求函数带入成本函数表达式就得到成本函数答案：213232122112127),(,2),,(w w p y p y w w y w w c ==π 三、产商的生产函数31231111),(x x x x f =，（1）用三种方法求其供给函数（2）假定生产要素2固定为k ，再重新求其供给函数。

解答：（1）方法一：由利润函数求解供给函数 方法二：由生产函数求解供给函数方法三：由成本函数求解供给函数（注意：MC p =是利润最大化条件）2129w w p y =（2）同样的三种办法211)3(w kp y =四、厂商利润最大化条件的意义及应用边界；厂商成本最小化条件的意义及应用边界（新加） 参考书五、分析生产集的性质 参考书六、阐述欧拉方程和克拉克分配定理的理论意义和现实意义。

参考书七、证明利润函数是价格的凸函数。

参考书八、给出要素需求函数、条件要素需求函数、成本函数及利润函数形式化描述，并解释经济意义。

说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。

参考书第三部分不确定性选择一、一决策者的效用函数为x x u =)(，初始财富160000，5%损失70000，5%损失120000，问其愿意支付的最大保险金额多大？如果保险公司不承担损失中的7620，其愿意支付的最大保险金额又多大？ 解答：用确定性等值，（1）R-=+-+-160000160000%90120000160000%570000160000%511775=R（2）RR R -+--+--=+-+-160000%907620160000%57620160000%5160000%90120000160000%570000160000%511004=R二、给出简单彩票、复合彩票、货币彩票及彩票空间的独立性公理的形式化描述，并解释经济意义。

*二、期望效用函数的存在性证明 参考书三、写出并证明绝对和相对风险系数不变的效用函数。