小学奥数数论之带余除法(二)(教师版)
五年级(上)奥数知识讲座：第四讲 带余数的除法2
五年级奥数知识讲座（上）第四讲带余数的除法2例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。
解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。
想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，又148＜210=[5，6，7]所以，适合条件的最小的自然数是148。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？2+3×2=8。
再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？8+[3，5]×3=53。
∴符合条件的最小的自然数是53。
归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。
解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。
例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？解：2+[5，7]×1=37（个）∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，∴布袋中至少有小球37个。
例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是1）。
但是19-15能被2整除.由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。
反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。
例9可做如下解答：∵三个整数被N除余数相同，∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，∴N是21和35的公约数。
数论.第4讲.余数问题(二).教师版
第四讲余数问题（二）知识点拨一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差，或这个差除以c的余数。
3.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
二、弃九法在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
三、中国剩余定理1.中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
小学奥数教程：带余除法(二)全国通用(含答案)
1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4.根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．模块一、带余除法的估算问题【例 1】 修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是几？【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题采用试除法。
823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n 也是满足题意的改动．有n =1时，354+823：1177，n =2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．【答案】33743【例 2】 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4例题精讲知识点拨教学目标5-5-2.带余除法（二）本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】小学数学夏令营【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【答案】10【例 3】 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于13(61)91⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．【答案】83【例 4】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【答案】99【例 5】 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过25815++=，既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a ，则181a m =-，即18(1)17a m =-+（m 为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．【答案】17模块二、多位数的余数问题【例 6】 2000"2"2222个除以13所得余数是_____.【考点】多位数的余数问题 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一、我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。
【教师版】小学奥数5-5-2 带余除法(二).专项练习及答案解析
1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．模块一、带余除法的估算问题例题精讲知识点拨教学目标5-5-2.带余除法（二）【例 1】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是几？【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题采用试除法。
823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．【答案】33743【例 2】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【关键词】小学数学夏令营【解析】由48412÷=÷=，48412÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，4859.6知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【答案】10【例 3】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数13(61)91为78583+=．【答案】83【例 4】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【答案】99【例 5】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克【解析】除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过++=，既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该25815数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a，则181=-，即a m18(1)17=-+（m为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．a m【答案】17模块二、多位数的余数问题【例 6】 2000"2"2222个除以13所得余数是_____.【考点】多位数的余数问题 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一、我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。
奥数余数问题带余除法
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带余除法
被除数=除数×商+余数
被除数—余数=除数×商
余数=被除数—除数×商
商=（被除数—余数）÷除数
要注意以下几点：
1. 余数总是小于除数的整数。
2. 只要
3. 整除例1、 例2、 数是多
1、 被
2、一个
3、两个
4、1705
5、如果例3、 1、被除2、被除3、两个4、一个5、1492
6、从
7、两个例4、 1、一个
2、一个
3、有一个两位数被3除或被4除，余数都是1，符合这一条件的最大三位数和最小三位数各是多少？
4、有一个最小的两位数，除以5余数是3，除以13余数是5，这个最小的两位数除以11余数是多少？
5、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8.被除数、除数、商及余数的和是多少？
6、一个两位数除329，这个两位数与商相等，余数是5，求这个两位数。
7、一个三位数，它除以19，所得的商和余数相等，符合这个条件的三位数有多少个？其中最大的是多少？最小的是多少？
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8、五年级同学去西湖划船，若每船坐8人，则余下7人；若每船坐12人，则余下11人，若每船坐14人，则余下13人，五年级至少有同学多少人？
9、实验小学五年级的同学在操场上做游戏，每组5人则多1人，每组6人则多1人，每组7人则多1人，五年级做游戏的同学至少有多少人？
10、筐子里有一些皮球，三个三个地数余2个，四个四个地数余3个，五个五个地数余4个，筐子里至少有多少个皮球？。
有余数的除法(教师)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
有余数的除法内容分析知识结构1.272除以23的商为 ，余数为 。
【难度】★ 【答案】11,19【解析】解：272=23×11+192.已知某数被5除后的小数部分为0.4，则5除这个数的余数为 。
【难度】★ 【答案】2【解析】解：0.4×5=23. 7104×519的积被11除，得商为 ，余数为 。
【难度】★★ 【答案】335179 , 7 【解析】解：7104×519=（11×645+9）（11×47+2）=11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+9×2 =11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+11×1+7 =11×335179+7一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有r b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷q a ，也就是r bq a += 其中q 是商，r 是余数，0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商知识精讲模块一：带余除法的定义与性质课前热身即 被除数=除数×商+余数， 或 被除数-余数=除数×商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
小学奥数题目-四年级-数论-余数问题2
在做整数之间的除法时，常常会碰到不能除尽的情况。
带余除法也因此成为了数论中一块重要的组成部分。
五年级的余数问题，需要在四年级的计算基础上，掌握一些复杂的计算技巧，包括结合最小公倍数和最大公约数来计算。
同时，中国剩余定理也是非常重要的知识点。
知识点汇总中国剩余定理中国剩余定理，又称为中国余数定理、孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名，是数论中的一个重要命题。
解题方法：1）逐步满足法。
列出一列满足一个或两个条件的数列，从中寻找第一个满足所有条件的数。
这个方法的难点在于，如何选择这个数列，能够简化我们的选择过程。
2）最小公倍数法。
该方法适用于同余的情况，或者可以转化成同余的特殊情况。
重点在于转换问题的方法。
某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几1.1.2016年4月有4个周四，5个周五，请问2016年4月12日是星期几？、星期一、星期二、星期三、星期四2.2.2015年10月23日是星期五，2015年10月有___个星期日？3.3.奶奶告诉小明：2006年共有53个星期日。
聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是星期__？（请回答一、二、三、四、五、六或日）视频描述3101除以7的余数是________1.1.2^2016除以13的余数为？(A^B表示A的B次方)2.2.若a为自然数，证明10整除a^1985- a^1949(输入0看解析)3.3.视频描述一个两位数去除251，得到的余数是41。
求这个两位数1.1.数1257除以一个三位数，余数是150，这个三位数是__？2.2.数235除以一个数的余数是30，可能的除数有哪几个？(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)3.3.2016除以一个两位数余数为40，求出所有可能的两位数。
(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述一个自然数除429,791,500所得的余数分别是a+5,2a和a，求这个自然数和a的值1.在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是__？2.2.若有一个大于1的正整数除314,257,447所得的余数相同，则2002除以这个数的余数是__？3.3.已知有一个数除309,222,251所得的余数相同，这个余数为__？视频描述一个整数除以3余2，商除以5余3，再用新的商除以7余5，则此数除以35余______1.1.一个小于200的整数除以7余3，商除以8余5，求问该数最大为多少？2.2.一个整数除以9余2，商除以3余1，再用新的商除以5余3，则此数除以45余___？3.3.一个大于50小于200的整数除以10余2，商除以7余5，求问该数可能为多少？(写出所有答案，答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______1.1.三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)2.2.有一个整数，用它去除90，50，100所得到的3个余数之和是35，那么这个整数是______．3.3.三个不同的自然数的和为2016，它们分别除以17,23,34所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被4整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？1.1.某个两位数是2 的倍数, 加1 是3 的倍数, 加2 是4 的倍数, 加1 是5 的倍数, 那么这个两位数是________(写出所有答案答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)2.2.有一个自然数用7除余3，用9除余4。
小学奥数 余数问题 完整版教案带解析和答案
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）知识点及典型例题
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）知识点及典型例题小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a 与b 同余于模m。
意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。
（余数的可减性）三、例题。
例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。
【奥赛】小学数学竞赛：带余除法(二).教师版解题技巧培优易错难
5-5-2. 带余除法（二）教课目的1.能依据除法性整余数行解2.能利用余数性行相估量3.学会多位数的除法算4.依据操作行找律算知识点拨带余除法的定义及性质1、定：一般地，假如 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,如有 a÷b=q⋯⋯ r，也就是a＝ b×q＋r,0≤r＜ b；我称上边的除法算式一个余除法算式。
里：(1)当r0：我称 a 能够被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完整商(2)当r0：我称 a 不能够被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完整商一个完满的余除法解模型:如是一堆，共有 a 本，个 a 就能够理解被除数，在要求依据 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，打包后共打包了 c 捆，那么个 c 就是商，最后节余 d 本，个 d 就是余数。
个能学生清楚的理解余除法算式中 4 个量的关系。
而且能够看出余数必定要比除数小。
2、余数的性⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵ 余数小于除数．3、解关理解余数性，要与整除性系起来，从被除数中减掉余数，那么所获得的差就能被除数整除了．在一些目中因余数的存在，不便于我算，去掉余数，回到我比熟习的整除性，那么就会得了．例题精讲模块一、带余除法的估量问题【例 1 】改正31743的某一个数字，能够获得823 的倍数。
改正后的个数是几？【考点】余除法的估量【度】 3 星【型】解答【分析】本采纳除法。
823 是数，所以我掌握的小整数的特点不合用，31743÷823=38⋯⋯ 469，于是 31743 除以 823 能够当作余469 也能够当作不足(823-469=)354 ，于是改某位数字使得获得的新数比本来大354 或 354+823n 也是足意的改．有n=1 ， 354+823 ： 1177 ， n=2 ，354+823 ×2=2000 ，所以当千位增添2，即改 3 ，有改正后的五位数33743823 的倍数．【答案】33743【例 2 】有 48 本分两小朋友，已知第二比第一多 5 人．假如把所有分第一，那么每人4本，有节余；每人 5 本，不．假如把全分第二，那么每人 3 本，有节余；每人4本，不．：第二有多少人?【考点】余除法的估量【度】 3 星【型】解答【关】小学数学夏令【分析】由 48 412 ， 4859.6 知，一是10 或 11 人．同理可知48 316， 48 4 12 知，二是13、14 或 15人，因二比一多 5 人，所以二只好是15 人，一 10人．【答案】 10【例 3 】一个两位数除以13 的商是 6，除以11 所得的余数是6，求个两位数．【考点】余除法的估量【度】 3 星【型】解答【分析】因一个两位数除以13 的商是6，所以个两位数必定大于13 678，而且小于 13 (61)91 ；又因个两位数除以11 余 6，而 78 除以 11 余 1，个两位数785 83 ．【答案】 83【例 4 】在小于1000 的自然数中，分除以18 及 33 所得余数同样的数有多少个?(余数能够 0)【考点】余除法的估量【度】 3 星【型】解答【分析】我知道 18， 33的最小公倍数 [18， 33]=198，所以每 198个数一次．1～ 198 之只有1， 2， 3，⋯，17， 198(余 0) 18 个数除以18 及 33 所得的余数同样，而999÷198=5⋯⋯9，所以共有 5×18+9=99 个的数．【答案】 99【例 5 】托想了一个正整数，而且求出了它分除以3、6 和 9 的余数．知三余数的和是15．求数除以 18 的余数．【考点】余除法的估量【度】 3 星【型】解答【关】圣彼得堡数学奥林匹克【分析】除以 3、 6 和 9 的余数分不超2， 5， 8，所以三个余数的和永不超 2 5 8 15 ，既然它的和等于15，所以三个余数分就是2，5，8．所以数加 1 后能被 3，6，9 整除，而 [3,6,9] 18 ，数 a ，a18m 1 ，即a18(m 1) 17 （ m 非零自然数），所以它除以18 的余数只好17．【答案】17模块二、多位数的余数问题【例 6 】222L2除以 13所得余数是 _____.14 2 432000个 "2"【考点】多位数的余数【度】 3 星【型】填空【分析】方法一、我222222 整除 13， 2000÷6 余 2，所以答案22÷13 余 9。
五年级寒假第6讲-数论二(教师版)
第六讲数论二一、带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r，也就是a=b×q+r，0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式．这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商2、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．二、三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23−16=7除以5的余数等于2，两个余数差3−1=2.当余数的差不够减时时，补上除数再减．例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23−14=9除以5的余数等于4，两个余数差为3+5−4=43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数．例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3．当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数．例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．三、同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式．同余式读作：a同余于b，模m．2、重要性质及推论：（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711（）能被3整除．-（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a−b=mk，k是整数，即m|(a−b)3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题1【一】除法算式÷□□=208中，被除数最小等于。
小学数学浙教版二年级上册《带余除法(二)》教学设计
浙教版数学二年级上册第二十三课时带余除法（二）教学设计问题导入：教师：同学们，想想八个苹果平均分给两个人，四个人和八个人，怎么分呢？小组讨论，汇报交流。
教师：把八个苹果平均分给三个人，五个人和七个人，可不可以分完呢？每人最多得到几个苹果呢？小组讨论，汇报交流。
教师：让我们用上节课学过的知识来解决问题吧！填一填以下表格：小组讨论，汇报交流。
学生给出的答案：1．39个立方体照下面这样放，分别可以放几堆？用算式表示。
教师：同学们先思考这分别是几个立方体堆成的一堆？小组讨论，汇报交流。
教师：先来分析四个一堆的情况。
放10堆少1个，放9堆余3个。
放8堆余7个，还能放1堆。
列竖式来计算：结果为：39÷4=9（堆）……3（个）教师：再来分析7个一堆的情况。
小组讨论，汇报交流。
2.□里最大能填几？5×□＜38 □×8 ＜43 □×7＜57学生可能出现的答案：①四个一堆；②7个一堆。
7×□＜39，□里最大能填5。
39÷7=5（堆） (4)（个）小组讨论，汇报交流。
3.比较每道题里的余数和除数，你有什么发现？小组讨论，汇报交流。
4.小结。
带余除法：（1）余数除法的意义。
（2）余数必须比除数小。
试一试：方框里最大能填几？5×□＜48 7×□＜54小组讨论，汇报交流。
5.课堂练习。
（1）在带余除法中，余数要比除数（）。
小组讨论，汇报交流。
答案：9；7 答案：小。
答案：被除数。
，答案：6；41。
答案：答案：53÷9=5 (8)注意：答案不唯一，但是除数必须是9。
带余除法 教师版
带余除法例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，所以除数×33+52=2058-除数，所以除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。
例3甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
解：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
例4有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
求这个数。
分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。
因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。
由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。
将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。
所求整数是29。
例5求478×296×351除以17的余数。
分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。
四年级奥数第二讲----余数问题
第二讲余数问题带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商在除法中，当被除数除以除数（除数不等于0）出现了余数（余数要比除数小），就称为有余数的除法。
在有余数的除法中，我们要记得：1、被除数=除数×商＋余数2、被除数－余数=除数×商由此得到：除数=_________________________；商=__________________________。
例题1、两个整数相除，商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个数。
分析：这是一个差倍问题，画线段图可以分析得出：除数为：（822-8）÷（12-1）=74，被除数为：822+74=896例题2、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）在1到100这100个数中，被2,3,5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个。
分析：被2除余数为1，被3除余数为2，被5除余数为3或者4,用枚举法，利用5的倍数进行枚举：5+4=9,10+3=13,15+4=19,20+3=23等有23,29,53,59,83,89共6个。
186，被3除余2，被5除余3，例题3、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）五位数ab被11除余0，则ab＝。
分析：用除法算式，先满足被11除余0，得出ab可能取值为：01,12,23,34,45,56,67,78,89，再满足被5除余3，末尾为3或者8，只能取23,78；最后满足被3除余2，所以只有78. 练习：1、（第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛）一个除法算式，若被除数比除数大2016，商是15，余数是0，则被除数是。
2、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）过元旦时，班委会用730元为全班同学每人买了一份价值17元的纪念品，剩余16元，那么，这个班级共有名。
二年级上册数学教案《带余除法二》浙教版
二年级上册数学教案《带余除法二》浙教版一、教学目标1.知识与技能：使学生进一步理解除法的意义，掌握带余除法的概念和方法，能够熟练地进行带余除法的计算。
2.过程与方法：通过实例讲解、小组讨论等方式，培养学生观察、分析、抽象和概括的能力，提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生独立思考、合作学习的良好习惯，培养学生的耐心和毅力。
二、教学重点与难点1.教学重点：带余除法的概念和计算方法。
2.教学难点：理解带余除法的意义，能够灵活运用带余除法解决实际问题。
三、教学过程1.导入新课（1）师：同学们，上一节课我们学习了除法，谁能告诉我什么是除法？（2）生：除法是一种计算方法，用来求一个数是另一个数的几倍。
（3）师：很好，那我们今天就来学习除法中的一个特殊情况——带余除法。
2.新课讲解（1）师：我们先来举个例子，比如我们有10个苹果，要平均分给2个小朋友，每个小朋友能分到几个苹果呢？（2）生：每个小朋友可以分到5个苹果。
（3）师：那如果有11个苹果呢？（4）生：每个小朋友可以分到5个苹果，还剩下1个苹果。
（5）师：这就是我们今天要学习的带余除法。
在这个例子中，10除以2等于5，但还有1个苹果剩余，我们就说10除以2的商是5，余数是1。
3.小组讨论（1）师：现在请大家分成小组，每组讨论一下，你们能找到一些生活中的例子，用带余除法来表示吗？（2）生1：我们小组找到的例子是，有8个橘子，要分给3个小朋友，每个小朋友可以分到2个橘子，还剩下2个橘子。
（3）生2：我们小组找到的例子是，有15个葡萄，要分给4个小朋友，每个小朋友可以分到3个葡萄，还剩下3个葡萄。
4.练习巩固（1）师：刚才大家都找到了很多例子，现在我们来做一些练习题，巩固一下带余除法的知识。
（2）师：请同学们完成练习册上的第1题和第2题。
（3）生：独立完成练习题。
（2）师：带余除法是指一个数除以另一个数，商是整数，但有余数的情况。
《带余除法(二)》教学课件
43 9 36 3
例题讲授
39个立方体照下面这样放，分别可以放 几堆？用算式表示。
39 ÷ 5 ＝ 7(堆)……4(个)
5× 7 ＜39，7 里 最大能填几？
7 53 9
35 4
例题讲授
39 ÷ 5 ＝ 7(堆)……4(个)
除数…… 5
7 …… 商 3 9 …… 被除数 3 5 …… 5乘7的积
带余除数（二）
例题讲授
操场上有38个同学在做游戏。分成4个活 动小组，平均每组几人？还多几人？
38 ÷ 4 ＝ 9(人)……2(人) 答：平均每组 9人，还多2人。
例题讲授
39个立方体照下面这样放，分别可以放 几堆？用算式表示。
39 ÷ 4 ＝ 9(堆)……3(个)
9
4× 9 ＜39，9 里 最大能填几？
4 …… 余数
练习
1. □里最大能填几？
7
5
7
5
8 8
练习
2.
8
7
6
5
48
49
48
45
5
4
5
8
比较每道题里的余数和除数，你有什么发现？
练习 3. 列竖式计算。
练习
4. 下面各题中，被除数最大是几？最小 是几？
练习
5. 在□里填数。
9பைடு நூலகம்
8
63
5
2
小结
今天你收获了什么？
《带余除法(二)》(教案)-2024-2025学年浙教版小学数学二年级上册
《带余除法（二）》（教案）-2024-2025学年浙教版小学数学二年级上册节详细内容八、教学反思1.成功之处（1）情境导入环节有效地吸引了学生的注意力，分糖果的情境简单易懂，与学生的生活实际紧密相关，能够快速引导学生进入带余除法的学习情境，激发学生的学习兴趣。
（2）操作探究环节通过让学生用小棒进行分物操作，使学生在亲身体验中理解带余除法的概念，发现余数与除数的关系。
这种操作体验式教学符合二年级学生的认知特点，将抽象的数学知识转化为直观的操作活动，有助于学生的理解和记忆。
（3）分层练习的设计能够满足不同层次学生的学习需求。
基础练习巩固了基础知识，提升练习和拓展练习逐步提高了学生的综合能力和思维能力，使学生在不同程度上都得到了锻炼。
（4）作业布置注重了书面作业和实践作业的结合，既巩固了课堂知识，又将数学学习与生活实际相联系，提高了学生的学习兴趣和应用数学的能力。
2.不足之处（1）在小组操作过程中，部分小组的活动效率不高，存在个别学生参与度较低的情况。
可能是由于小组分工不够明确，或者部分学生对操作活动的理解不够深入。
（2）在教学过程中，虽然注重了从具体到抽象的教学过程，但对于一些理解能力较弱的学生来说，余数与除数的关系这一概念的理解还存在一定的困难。
可能在教学过程中需要更多地关注这部分学生，给予更多的实例和解释。
（3）在课堂小结环节，虽然让学生进行了回顾总结，但整体的总结还不够全面和深入。
教师在引导学生总结时，可以更加系统地梳理知识点，将本节课的知识与之前学习的除法知识进行联系和对比。
3.改进措施（1）在小组操作活动前，明确小组分工，如指定小组组长负责组织和协调，每个成员都有明确的任务，如操作小棒、记录结果、汇报发言等。
同时，在小组活动过程中，教师加强巡视和指导，及时发。
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1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．知识点拨教学目标5-5-2.带余除法（二）3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲模块一、带余除法的估算问题【例 1】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是几？【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题采用试除法。
823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．【答案】33743【例 2】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【关键词】1997年，小学数学夏令营【解析】由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=知，二组是13、÷=，48412 14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【答案】10【例 3】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于13(61)91⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．【答案】83【例 4】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【答案】99【例 5】 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【考点】带余除法的估算问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过25815++=，既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而[3,6,9]18=，设该数为a ，则181a m =-，即18(1)17a m =-+（m 为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17．【答案】17模块二、多位数的余数问题【例 6】 2000"2"2222个除以13所得余数是_____.【考点】多位数的余数问题 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一、我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。
方法二、因为1001是13的倍数222222=2221001⨯，所以每6个2能整除13，那么2000个2中6个一组可以分为333组余2，所以答案为22÷13余9【答案】9【巩固】 199566666667÷个的余数是多少？【考点】多位数的余数问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一：因为7|666666，所以连续6个6为一个周期．又因199563323÷=，而6667951÷=，故符合题意的余数是1．方法二：利用余数判别法⑹，因为连续6个6奇数节和偶数节的各位数字和抵消，而19956÷3323=，且6667951÷=，故符合题意的余数是1．【答案】1【例 7】 1996777777⋅⋅⋅个除以41的余数是多少？【考点】多位数的余数问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 找规律：7417÷=⋅⋅⋅□，774136÷=⋅⋅⋅□，7774139÷=⋅⋅⋅□，77774128÷=⋅⋅⋅□，77777410÷=⋅⋅⋅□，……，所以77777是41的倍数，而199653991÷=，所以1996777777⋅⋅⋅个可以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7．【答案】7【例 8】 已知20082008200820082008a =个，问：a 除以13所得的余数是多少？【考点】多位数的余数问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008年，学而思杯，5年级，第3题【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到200820082008100002008=⨯+；20082008200820082008100002008=⨯+；2008200820082008200820082008100002008=⨯+；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余6361311⨯+-=，200820082008除以13余1136390⨯+-=，即200820082008是13的倍数．而2008除以3余1，所以20082008200820082008a =个除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.【答案】6模块三、找规律计算【例 9】 科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录。
做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几?【考点】找规律计算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】第一届，华杯赛，初赛，第15题【解析】 从第一次记录到第十二次记录，相隔十一次，共5×11＝55(小时)。
时针转一圈是12小时，55除以12余数是7，9－7＝2答：时针指向2。
【答案】2【例 10】 一筐苹果分成小盒包装，每盒装3只，剩2只；每盒装5只，剩3只。
每盒装6只，剩 只。
【考点】找规律计算【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，第6届，走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】除以5余3的数从小到大为3、8、13、18⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中8322÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以除以3余2，除以5余3的数从小到大排列为8、23、38、53、⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中8612÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，因此剩2只÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，23635或者5只。
【答案】2或5【例 11】著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【考点】找规律计算【难度】3星【题型】解答【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将斐波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以斐波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.【答案】0【巩固】有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是．【考点】找规律计算【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，初赛，第4题，6分【解析】这列数除以6的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…，因为200866691÷=，所以第2008个数除以6余1．【答案】1【巩固】有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？【考点】找规律计算【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：3，10，13，23，36，69，95，被3除后的余数依次为0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，，观察得：余数的排列规律是：0，1，1，2，0，2，2，1为周期重复出现．199782495÷=，余数为0．方法二：找余数的规律我们还可以这样做：从第三个数起，利用同余的可加性，把前面两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数除以3的余数，这样就很容易算出余数依次为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，，观察得8个一循环，199782495÷=，所以余数为0．方法三：找余数的规律我们还可以运用余数判别法做：3，10，13，23，36，69，95，把每个数的各位数字相加，然后再除以3，就得到这个数除以3的余数，这样就很容易算出余数依次为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，，观察得8个一循环，199782495÷=，所以余数为0．【答案】0【例 12】有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【考点】找规律计算【难度】3星【题型】解答【关键词】2009年，走美，初赛，六年级【解析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于200954014÷=，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．【答案】401【例 13】将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”。