第三章 常用统计参数
简明应用统计学夜大第三章第一节 描述数据：如何用少量数字概括数据
方米和130平方米，前面已经讨论得出均值92.67平方米 不是一个很好的代表值，因为极大值130平方米的出现使 得均值可能会超过样本中的大多数观测值，使得集中趋势 的测度发生偏差。而中位数m=76平方米则更能代表实际 的平均住房面积。
• 定性数据也有中位数：如，对于某个市场调查问 题的回答，一人认为“好极了”，一人认为“很 好”，一人认为“一般”和一个人认为“差”， 那么回答的中位数就是“好”，一般的回答在 “好”之上，一半的回答在“好”之下。
其中，n为样本数据的数据个数（样本量），Xi 为样本的第i个数据
样本均值
X
具有以下重要性质：
（1）一组数据只有一个样本均值，样本均值具有唯一性。 （2）样本均值是比较两个戒多个总体时一个非常有用的工具。 如它可以用于比较我国东西不农民收入的差异；两个班级的成 绩优异度等； （3）每一数值相对于均值的偏离之和总是0，样本均值是唯一 一种具有此性质的集中趋势度量方法。用符号表示为
2.中位数的确定
对未分组资料确定中位数。 • 将总体各单位的标志值按 照大小顺序排列， • 当总体单位数n为奇数时
me x n 12Fra bibliotek• 当总体单位数n为偶数时
xn xn me
2 2
1
2
中位数具有稳健性，即，不易受极端值影响的性质。
• 例如：假设三户人家的住房面积分别为72平方米，76平
x
n i 1
i
-x
0
因此，我们可以将均值视为一组数据的平衡点。 值得注意的是，样本均值容易受到极大戒极小值得影响。例如， 假设三户人家的住房面积分别为72平方米，76平方米和130平方 米，则均值为（72+76+130）÷3=92.67 很明显，130这个数字影响了均值 ，使其不能够恰当地代表数 据的平均数了。
交通安全第三章交通版
第三章 道路交通事故统计分析
第四节 道路交通事故信息系统简介
2.交通安全管理地理信息系统（CAGSI系统）
由北京工业大学开发研制， 将地理信息用于交通事故信 息管理。具有采集、管理、 分析、更新等能力。在事故 统计、汇总及报表的基础上 增加了危险度判别、事故多 发地点鉴定、事故预测预报 等功能。
3.重庆高速公路事故处理系统
根据Ka值分四个等级。
Ka
i 1
2（5 M
N）
i 1
M
N
危险度 不危险 稍有危险 危险 很危险
Ka
<3
3.1~8 8.1~12 >12
第三章 道路交通事故统计分析 第三节 事故多发地点的鉴定及成因分析
4.过滤法【5】 是一种对事故多发路段的判别方法，对路段事故按里程统计， 通过滤出路段事故密度来判定多发段。此法在日本、我国已经 有许多应用。2004年PIARS的道路安全手册中提到过滤法。 4.1平均路段法（原始方法） 选取路段，区间均分， 统计事故，画出分布， 确定标准，筛选多发。 优点—简单直接，区间无交叉；缺点—不能随机提取，且存在 多发段漏判。 4.2定步长过滤法 在平均法基础上，将区间 分为几个小的步长，逐步 推进统计事故，得出密度 分布。特点：改善了平均法，精度依赖步长，仍存在漏判。
第三章 道路交通事故统计分析
第四节 道路交通事故信息系统简介
一.国外道路交通事故信息系统 起自20世纪60年代，陆续开发公路数据管理系统，目前进入完善阶
段。如：
➢美国联邦公路局与北卡莱罗纳大学共同研制的公路安全信息系统； ➢美国联邦交通部的高速公路安全管理与设计的地理信息系统（GIS）； ➢欧洲一些国家的公路信息网络化的数据库管理系统；
统计主要指标解释
统计主要指标解释1.平均值：平均值是指一组数据的总和除以数据的个数，用于衡量数据的集中趋势。
平均值通常用于描述均衡的情况，但在存在异常值或极端值的情况下，可能会被这些值的影响而偏离。
2.中位数：中位数是指将一组数据按大小排序后，位于中间位置的数值。
中位数通常用于描述数据的中间位置，对于存在异常值或偏斜分布的情况，中位数通常比平均值更具有代表性。
3.方差：方差是指一组数据与其平均值之间的差异程度的平均值。
方差用于度量数据的离散程度，数值越大表示数据越分散，反之，数值越小表示数据越集中。
4.标准差：标准差是方差的平方根，用于度量数据的离散程度。
标准差通常与平均值一起使用，可以帮助我们了解数据分布的范围和形态。
5.相关系数：相关系数用于度量两个变量之间的线性关系强度和方向。
相关系数的取值范围通常为-1到1，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关性。
6.百分位数：百分位数是指在一组排序的数据中，小于一些特定百分比的数值。
百分位数常用于描述数据分布的位置和范围，如第25百分位数表示有25%的数据小于该值。
7.偏度：偏度是指数据分布的偏斜程度，描述了数据分布曲线的对称性。
正偏表示数据分布向右偏离平均值，负偏表示数据分布向左偏离平均值，偏度值为0表示数据分布对称。
8.峰度：峰度是指数据分布曲线的陡峭程度，描述了数据分布的尖峰或平缓程度。
较高的峰度表示数据分布的尖峰较高且集中，较低的峰度表示数据分布较为平缓。
9.回归系数：回归系数用于建立一个自变量与因变量之间的数学关系。
回归系数可以帮助我们预测和解释因变量对自变量的影响程度。
10.显著性水平：显著性水平是指在统计假设检验中，判断观察结果是否显著不同于假设的程度。
常见的显著性水平有0.05和0.01，表示观察结果与假设的差异发生的可能性低于5%或1%。
这些统计主要指标可以帮助我们理解和解释数据，从而更好地推断和预测现象和问题。
使用这些指标，我们可以得出关于数据的结论，并为决策提供支持。
统计学原理——统计数据的描述综合指标
STAT
•无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8
一个众数 原始数据:
659855
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
3-27
中位数
(median)
STAT
1. 排序后处于中间位置上的值
50%
Me
2. 不受极端值的影响
50%
3. 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能 用于分类数据
2. 2009年我国人口密度=132256/960 ≈138人／平方公里 3. 2008年中国国内生产总值为300670亿元，人口约为13.28亿人 ，人均GDP：
22640元人民币，2008年底汇率：1美元---6.8346元人民币，人均GDP：约 为3313美元
3-21
练习：某公司所属三个厂近两年产量完
相对指标 (类型)
STAT
1. 计划完成相对指标
2. 结构相对指标 3. 比较相对指标 4. 动态相对指标 5. 强度相对指标
3-8
计划完成相对指标 (计算式)
STAT
实际完成数
计划完成程度相对指标= 计划任务数
×100%
分子、分母不互换，一般用百分数表示。
3-9
计划完成相对指标 (例题1)
例1.某企业某年计划 规定工业总产值为5 091万元(按现行价格 计算)，实际达到 5 178万元(按现行价格 计算)，则该企业该 年度的工业总产值计 划完成程度为：
2
2
中位数 960 1080 1020 2
3-31
案例应用
STAT
• 国外某地的计程车较少，一位统计学者在该地的某街角等 候计程车，眼看来了几部计程车都载客而过，这位统计学 者开始怀疑这个城市到底有几部计程车，以致於不够应用。 於是他开始记下载客而过的计程车车号，依次如下：
统计学参数概念
统计学参数概念
统计学参数是用来描述数据分布特征的量，用于对数据进行分析和比较。
常用的统计学参数包括：
1. 均值：一组数据的总和除以数据的个数，代表数据的中心趋势。
2. 方差：各个数据与均值的差的平方和的平均数，代表数据的离散程度。
3. 标准差：方差的平方根，代表数据离散程度的大小。
4. 中位数：把数据按大小排列，位于中间位置的值，代表数据的中等水平。
5. 众数：在一组数据中出现次数最多的值，代表数据的普遍趋势。
6. 偏度：描述数据分布偏斜程度的统计量，取值为负表示左偏，取值为正表示右偏。
7. 峰度：描述数据分布峰部陡峭或平坦程度的统计量，取值为负表示峰部平坦，取值为正表示峰部陡峭。
以上是常用的统计学参数，不同的参数可以用来描述数据的不同特征和趋势。
在数据分析中，常常需要结合使用多个参数来全面了解数据的情况和特征。
统计学知识点(完整)
根本统计方法第一章 概论1. 总体〔Population 〕：根据研究目确实定的同质对象的全体〔集合〕；样本〔Sample 〕：从总体中随机抽取的局部具有代表性的研究对象。
2. 参数〔Parameter 〕：反映总体特征的统计指标，如总体均数、标准差等，用希腊字母表示，是固定的常数；统计量〔Statistic 〕：反映样本特征的统计指标，如样本均数、标准差等，采用拉丁字字母表示，是在参数附近波动的随机变量。
3. 统计资料分类：定量〔计量〕资料、定性〔计数〕资料、等级资料。
第二章 计量资料统计描述1. 集中趋势：均数〔算术、几何〕、中位数、众数2. 离散趋势：极差、四分位间距〔QR =P 75-P 25〕、标准差〔或方差〕、变异系数〔CV 〕3. 正态分布特征：①X 轴上方关于X =μ对称的钟形曲线；②X =μ时，f(X)取得最大值；③有两个参数，位置参数μ和形态参数σ；④曲线下面积为1，区间μ±σ的面积为68.27%，区间μ±1.96σ的面积为95.00%，区间μ±2.58σ的面积为99.00%。
4. 医学参考值范围的制定方法：正态近似法：/2X u S α±；百分位数法：P 2.5-P 97.5。
第三章 总体均数估计和假设检验1. 抽样误差〔Sampling Error 〕：由个体变异产生、随机抽样造成的样本统计量与总体参数的差异。
抽样误差不可防止，产生的根本原因是生物个体的变异性。
2. 均数的标准误〔Standard error of Mean, SEM 〕：样本均数的标准差，计算公式：/X σσ=3. 降低抽样误差的途径有：①通过增加样本含量n ；②通过设计减少S 。
4. t 分布特征：①单峰分布，以0为中心，左右对称；②形态取决于自由度ν，ν越小，t 值越分散，t 分布的峰部越矮而尾部翘得越高；③当ν逼近∞,X S 逼近X σ, t 分布逼近u 分布，故标准正态分布是t 分布的特例。
主要统计指标解释
主要统计指标解释
常见的统计指标包括：平均数、极差、方差、标准差、百分位数（分
位数）、原值比、比值比、变异系数、可变性指数、相对变异系数、负偏
差率、偏差率、均方根误差、离散系数、卡方值等。
1、平均数：又称为算术平均数，是由样本容量大小的确定，将样本
中所有的观测值加总后，除以样本容量大小，可以得到该样本的平均数。
客观反映样本中的综合水平，可以有效地衡量一组数据的中心位置。
2、极差：极差是一组数据中最大值与最小值之差，是统计学术语，
亦可称为极端差、极端距离、最大最小距离、极大极小差甚至最大最小差。
反映数据的变化幅度，其值越大就表明样本值变化越大，样本中的离散程
度越大。
3、方差：方差是用来衡量一组观测值分散程度的统计量，与标准差
的关系是：标准差是求方差的算数平方根。
也可以说，具有相同方差的不
同组数据，其标准差相等，而且它们都具有不同的方差。
4、标准差：标准差是方差的算数平方根，又称标准偏差，是测量总
体数据离散程度的参数，表示的是总体数据变异的幅度和程度。
标准差取
决于样本大小，越小的样本，它的标准差就越大，反之，越大的样本，它
的标准差就越小。
5、百分位数（分位数）：百分位数又称分位数。
常用统计量与计算方法
代入公式（3—5）得：
Md
L
i
n
15 68
( c) 57 ( 16) 70.5
(天)
f2
20 2
即间隔时间的中位数为70.5天。
L — 频数最多所在组的下限
i — 组距 （即全距/组数）
f — 频数最多所在组的频数
n — 总频数（即总次数）
c — 小于频数最多所在组的累加频数
19
（三）众数 (mode) M0 (书 P17)
26
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异 程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求 出各个观测值与平均数的离差，（x x） ，称为 离均差。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的 性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均 差之和 为零，即Σx（ x ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ（x x ）来 表 示 资料中所有观 测值的总偏离程度。
注： 小样本的自由度为n-1
x x 2
n 1
n 30
35
标准差的计算方法
上述计算方法需先求出平均数（一般为约数），容易 引起计算误差，因此采用原始数据进行计算 (书P20)
大样本： S x 2 x 2 / n
n
小样本： S x 2 x 2 / n
n -1
为简化计算过程，若试验观测数值较大（小）时，可将各观测值
乙组的变异明显低于甲组， R 不能反映 组内其它数据的 变异度 25
二、变异数
缺点
c. 样本较大时, 抽到较大值与较小值的可能性也较大， 因而样本极差也较大，故样本含量相差较大时，不宜用 极差来比较分布的离散度。
当资料很多，而又要迅速对资料的变异程度作出判断 用途 时，有时可先利用极差判断。
基础统计复习资料汇总
基础统计复习资料汇总基础统计复习资料第一章概论第三节统计学中的常用基本概念总体X 有X1,X2,X3,…,X N个单元随机抽取n个组成样本单元：x1,x2,x3,…,x n则：N——总体容量n——样本容量第三章统计资料整理一、数据的分组、整理1.写出最大值X max、最小值X min2.求出极差d = X max －X min3.分组，算出组距、组中值据样本的单元数，求出分组数的经验值为：样本单元数40-50 50-100 100-200 200-500 ＞500分组数6-8 7-10 9-12 12-17 17-20 上限：每一组数据中最大的变量值下限：每一组数据中最小的变量值组距= 极差÷分组数= 上限－下限组中值= （上限+ 下限）÷24.计算频数和频率频数= 各组分配的统计单元数频率= 各组单元数占总体单元数的比重= 频数÷各单元数之和（n）5.作频率分布图二、例题例：设以不重复抽样方式从1600块面积为0.4公顷的林地所组成的总体中等概地抽取50块林地组成样本，样本各单元的蓄积量值为：1.5 0 10.3 4.3 4.1 711.18.5.5 8.811.812.5 3 12.3 2.7 8.7 3.5 .1 7.4 10 5.4 11.3 1.6 10.7 5.4 .7 7.6 4.9 7.6 11.2 4.2 .5 .3 2.9 6 5.7 3.17.79.62.94.216.65.84.66.4试进行数据整理解：1. X max = 16.6 X min = 02. 求出d = 16.6 －0 = 16.63. 分组，计算组距、组中值分为10组，组距= 16.6 ÷10 = 1.66 ≈1.74.计算频数（f i）、频率分组组中值划正（上限排外）频数f i频率0 – 1.7 0.85 正正一11 0.221.7 – 3.42.55 正 5 0.13.4 – 5.14.25 正┬7 0.145.1 –6.8 5.95 正┬7 0.146.8 – 8.57.65 正 5 0.18.5 – 10.2 9.35 正 5 0.110.2 – 11.9 11.05 正┬7 0.1411.9 –13.6 12.75 ┬ 2 0.04 13.6 – 15.3 14.45 0 0 15.3 – 17.0 16.15 一 1 0.02 合计50 1 4. 作频率分布图第四章静态分析指标一、平均指标的计算1.算术平均数X = ( x1 + x2 + x3 +… +x n ) ÷n = ( ∑x i ) ÷n2.加权平均数X = ( x1f1 + x2f2 +x3f3 + … +x n f n ) ÷n = ( ∑xi f i ) ÷( ∑f i )3.众数= 总体中出现次数最多或最普遍的标志值4.中位数M e当n 为偶数时：中位数= ( X n/2 + X n/2+1 ) ÷2当n为奇数时：中位数= X(n+1)/2二、标志变异指标的计算1.极差d = X max －X min2.总体方差σ2 = [ ∑（X i－X ）2 ] ÷n = （∑X i2）÷n －X23.样本方差S2 = [ ∑（X i－X ）2 ] ÷( n －1 )4.总体标准差σ= √σ25.样本标准差S = √S26.离散系数（变异系数）V = σ÷X三、例题例1.测量10株苗木高度（单位：cm），得下列数据：52.7，50，55.4，61.2，55.4，49.5，50，55.4，55.4，61.2求这10株苗木的算术平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差和变异系数。
第三讲描述统计之常用统计参数
x AM
d c
（AM是估计平均值）
i
■例子
x 分组区间
cf
d
fd f d 2
96～
97
2
6
12
72
93～
94
3
5
15
75
90～
91
4
4
16
64
87～
88
8
3
24
72
84～
85
11
2
22
44
81～
82
17
1
17
17
78～
79
19
0
0
0
75～
76
14
-1
-14
14
72～
73
10
-2
-20
40
69～
70
[78.5,81.5) 79
[75.5,78.5) 76
划记
|| ||| |||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||| ||||| ||||| || ||||| ||||| ||||| |||| ||||| ||||| ||||
次 相对次数 累加次 数 累积相对次
数 (频率)
Mo3Md2nX
4、应用范围 ◆一组数据出现不同质的情况 ◆一组数据中出现极端数据，也用众数 作为集中量数的粗略估计。
[Exercise]
The data about annual salaries of Management and Exployees of XYZ company are presented below ,can you calculate the values of the mode ,the median and the mean (three different measures of central tendency )
统计学第3章数值性的主要统计指标
统计学第3章数值性的主要统计指标统计学中，数值性的主要统计指标是描述和总结数据集中数值变量的中心趋势和离散程度。
这些指标包括平均数、中位数、众数、四分位数、极差、方差和标准差等。
1. 平均数（Mean）是数据集中所有数值的总和除以观测次数。
它是一种常见的统计指标，用于表示数据的“典型”数值。
平均数对异常值敏感，受数据的分布和范围影响较大。
2. 中位数（Median）是将数据按大小排序后，处于中间位置的数值。
它不受异常值的影响，适用于数据存在明显偏态或异常值的情况。
3. 众数（Mode）是数据集中出现频率最高的数值。
对于离散变量，可能存在多个众数；对于连续变量，众数可能不存在或不唯一4. 四分位数（Quartiles）将数据按大小排序后，将数据集分为四个部分。
第一个四分位数（Q1）是排序后数据集中25%位置处的数值，第二个四分位数（Q2）就是中位数，第三个四分位数（Q3）是75%位置处的数值。
四分位数用于描述数据的分布和离群值。
5. 极差（Range）是数据集中最大值与最小值之间的差值。
它衡量了数据的全局离散度，但忽略了数据集的内部变化。
6. 方差（Variance）是数据值与其平均数之间的差的平方和的平均值。
方差表示了数据的离散程度，反映了数据点离平均值的距离。
7. 标准差（Standard Deviation）是方差的平方根。
标准差是用于衡量数据的离散度的常用指标。
一般来说，标准差越大，数据的离散程度越高。
这些统计指标能够揭示数据的集中趋势和离散程度，帮助我们理解数据的分布情况。
根据数据的类型和分布情况，选择适当的统计指标进行描述和总结，能够更好地理解数据，进行进一步的分析和推断。
主要统计指标解释及计算公式
主要统计指标解释及计算公式1. 平均数（Mean）平均数是数据集中所有数据值的总和除以数据的个数，可以反映数据的集中趋势。
计算公式：平均数=数据总和/数据个数2. 中位数（Median）中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数值，可以反映数据集的中心位置。
计算公式：若数据个数为奇数，则中位数为中间值；若数据个数为偶数，则中位数为中间两个数的平均值。
3. 众数（Mode）众数是数据集中出现次数最多的数值，可以反映数据的集中趋势。
计算公式：统计每个数值出现的频数，频数最大的即为众数。
4. 极差（Range）极差是数据集中最大值与最小值的差值，可以反映数据的变异程度。
计算公式：极差=最大值-最小值5. 方差（Variance）方差是衡量数据分散程度的指标，描述了数据值与其平均值之间的差异。
计算公式：方差=(∑(x-平均数)²)/数据个数6. 标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根，用于度量数据的离散程度。
计算公式：标准差=√方差7. 百分位数（Percentile）百分位数指的是在有序数据中，一些特定百分比的数值所处的位置。
计算公式：对有序数据按从小到大排序，百分位数=(百分位数位置/数据个数)×1008. 相关系数（Correlation Coefficient）相关系数是用来衡量两个变量之间相关关系的指标，取值范围为-1到1计算公式：相关系数= Cov(x, y) / (σx × σy)，其中 Cov(x, y) 表示两个变量之间的协方差，σx 和σy 分别表示两个变量的标准差。
9. 回归方程（Regression Equation）回归方程用于建立自变量和因变量之间的关系，可用于预测和解释数据。
计算公式：y = a + bx，其中 a 和 b 分别代表回归方程的截距和斜率。
10. 离散系数（Coefficient of Variation）离散系数是用来比较不同数据集的变异性的指标，可以消除不同数据集因单位或量纲不同而导致的差异。
统计学知识点(完整)
基本统计方法第一章概论1. 总体（Population）：根据研究目的确定的同质对象的全体（集合）；样本（Sample）：从总体中随机抽取的部分具有代表性的研究对象。
2. 参数（Parameter）：反映总体特征的统计指标，如总体均数、标准差等，用希腊字母表示，是固定的常数；统计量（Statistic）：反映样本特征的统计指标，如样本均数、标准差等，采用拉丁字字母表示，是在参数附近波动的随机变量。
3. 统计资料分类：定量（计量）资料、定性（计数）资料、等级资料。
第二章计量资料统计描述1. 集中趋势：均数（算术、几何）、中位数、众数2. 离散趋势：极差、四分位间距（QR=P75-P25）、标准差（或方差）、变异系数（CV）3. 正态分布特征：①X轴上方关于X=μ对称的钟形曲线；②X=μ时，f(X)取得最大值；③有两个参数，位置参数μ和形态参数σ；④曲线下面积为1，区间μ±σ的面积为68.27%，区间μ±1.96σ的面积为95.00%，区间μ±2.58σ的面积为99.00%。
4. 医学参考值范围的制定方法：正态近似法：；百分位数法：P2.5-P97.5。
第三章总体均数估计和假设检验1. 抽样误差（Sampling Error）：由个体变异产生、随机抽样造成的样本统计量与总体参数的差异。
抽样误差不可避免，产生的根本原因是生物个体的变异性。
2. 均数的标准误（Standard error of Mean, SEM）：样本均数的标准差，计算公式：。
反映样本均数间的离散程度，说明抽样误差的大小。
3. 降低抽样误差的途径有：①通过增加样本含量n；②通过设计减少S。
4. t分布特征：①单峰分布，以0为中心，左右对称；②形态取决于自由度ν，ν越小，t值越分散，t分布的峰部越矮而尾部翘得越高；③当ν逼近∞,逼近, t分布逼近u分布，故标准正态分布是t分布的特例。
5. 置信区间（Confidence Interval, CI）：按预先给定的概率（1-α）确定的包含总体参数的一个范围，计算公式：或。
统计学中的常用统计量
统计学中的常用统计量统计学是一门关于数据收集、分析和解释的学科，它提供了一系列的统计量来总结和描述数据的特征。
这些统计量可以帮助我们理解数据的分布、趋势和关联性。
在本文中，我们将介绍统计学中的一些常用统计量及其应用。
一、中心位置的统计量1. 均值（Mean）：均值是一组数据的平均值。
计算均值的方法是将所有观测值相加，然后除以观测值的总数。
均值对异常值非常敏感，所以在一些情况下，中位数可能更适合作为中心位置的度量。
2. 中位数（Median）：中位数是将一组数据按照大小顺序排列后的中间值。
如果数据集中的观测值为奇数个，则中位数就是中间的观测值；如果观测值为偶数个，则中位数是中间两个观测值的平均数。
中位数对异常值不敏感，因此在分析偏态数据时常常使用。
二、离散程度的统计量3. 方差（Variance）：方差衡量了数据的离散程度，计算方式为每个数据与均值之差的平方的平均值。
方差的单位是原数据单位的平方，所以为了更好地描述数据的离散程度，常用标准差作为方差的平方根。
4. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，它衡量了数据相对于均值的平均偏离程度。
标准差越大，数据的离散程度越大。
5. 百分位数（Percentiles）：百分位数是将数据按照大小排序后，某个特定百分比处的数值。
例如，第25百分位数是将数据按照从小到大排序后，处于25%位置上的观测值。
三、数据分布形态的统计量6. 偏度（Skewness）：偏度衡量了数据分布的对称性。
当数据分布左偏时，偏度为负值；当数据分布右偏时，偏度为正值。
偏度为0表示数据分布对称。
7. 峰度（Kurtosis）：峰度衡量了数据分布的尖锐程度。
正态分布的峰度为3，如果峰度大于3，表示分布的尖锐程度高于正态分布；如果峰度小于3，表示分布的尖锐程度低于正态分布。
四、相关性的统计量8. 相关系数（Correlation Coefficient）：相关系数衡量了两个变量之间的线性关系强度和方向。
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
（二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：∑∑∑∑==++++++===f fx f x f f f f x f x f x f x k i iki i i k k k 11212211 （3-2） 式中：i x —第i 组的组中值； i f —第i 组的次数；k —分组数第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占比重大小的数量，因此f i 称为是x i的“权”，加权法也由此而得名。
统计检验分析-第三章第四章
(2 ) ()
p 2
1 2
多元正态分布：
例4-1，计算二元正态密度，其中
计算得二维正 态密度为：
二元正态分布图
轮廓线（Contour）：p维正态密度产生
一个等高的x值的路线为椭球面，即在x到 μ的广义距离的平方为常数的所有x值， 这些路线称为轮廓线。
例4-2，计算二元正态密度的轮廓线，其中 求解：
1 n sn ( X j X )( X j X ) n j 1 1 n 1 n ( X j X ) X j ( X j X )( X ) n j 1 n j 1
1 n 1 n X j X j X X j n j 1 n j 1 1 n ( X j X ) X j n j 1
第3章 样本几何与随机抽样
一、样本几何 二、样本均值和协方差矩阵的期望值 三、广义样本方差 四、样本均值、协方差和相关系数的矩阵运算 五、线性组合的样本均值和协方差
一、样本几何
本章深入地研究描述性统计量：样本均值，
样本协方差矩阵和样本相关矩阵的几何解 释。
P个变量（列） N个观测值（行）
Q-Q图的直线性可通过相关系数来检验：
例4-1：画出Q-Q图，并用相关系数检验 是否拒绝正态假设。数据见表。
Q-Q图和相关系数
查表，发现在显著性水平为0.1下， r>0.9351时就不能拒绝正态性假设。
2.
评估二元正态分布
由于常数密度轮廓线是椭圆，如果二维散布
图接近椭圆的形状，则接近二元正态分布； 二元观察结果的集合x处于50%轮廓线上或 内部的概率为0.5： 因此我们可以用样本均值和协方差来估计上式，计算处 于50%轮廓线上或内部的概率为多大：
统计学参数
统计学参数
统计学参数是指用来描述一个数据集的重要特征的数字概括值。
它们是统计学中的基本概念，被广泛用于数据分析和建模。
统计学参数可以分为两类：中心趋势参数和离散程度参数。
1.中心趋势参数。
中心趋势参数衡量数据集的“平均值”或“中间值”，反映数据集的中心位置。
1.1均值。
均值是指所有数据值之和除以数据的个数。
均值为x̄时，表示公式如下：
x̄ = （x₁ + x₂ + … + xn） / n。
1.2中位数。
中位数是将数据集中的所有观察值按照大小排序，取中间的那个值。
即，当N为奇数时，中位数为第（N+1）/2个观察值；当N为偶数时，中位数为第N/2和（N/2+1）个观察值的平均值。
1.3众数。
众数是指一组数据集中出现次数最多的数值。
可能存在多个众数，或者没有众数。
2.离散程度参数。
离散程度参数反映数据值的分散程度或者变异程度。
2.1方差。
方差是一组数据的所有数据与其算术平均值之差的平方值之和的平均数。
方差为S²时，表示公式如下：
S²=∑(xᵢ-x̄)²/n。
2.2标准差。
标准差是方差的算术平方根，同时也是衡量数据集离散程度的常用参数。
标准差为S时，表示公式如下：
S=√(∑(xᵢ-x̄)²/n)。
2.3变异系数。
变异系数是标准差与均值之比，用来表示数据的变异程度，通常以百分数形式给出。
变异系数为CV时，表示公式如下：。
离散程度指标
一般计算公式：
SS
X
2
( X
n
)2
（三）方差
它是各变量值与其均值离差平方的平均数。
样本方差
医学统计学
未分组数据计算公式为：
S2 (X X )2 X 2 X 2 / n
n1
n 1
分组数据计算公式为：
S 2 ( x X )2 f
n1
f x2 f x2 / n
n1
其中 x, f 为组中值 和组频数。
24~
8
7
200
5000
S
26~
28~f30x
2
41 f
n1
x2
/n
1
92
43640
108
222928
2
/ 120
2916
844.317mol
/
L
120 1
合计
120（∑f1）
2228(∑f x)
43640(∑f x2)
2 3
医学统计学
方差、标准差的特点：
（1） 是常用的离散趋势指标，可用来表示数据变 异程度，当两组数据单位相同，均数接近，可用来 比较数据的变异程度。 （2）其值越小，说明数据变异程度越小,数据值与 平均数越接近；反之，其值越大，说明数据变异程 度越大，均数代表性越差。
1．极差较粗，适合于任何分布 2．标准差与均数的单位相同，最常用，适合于对
称分布近似正态分布 3．变异系数主要用于单位不同或均数相差悬殊的
几组资料 4．平均指标和变异指标分别反映资料的不同特征，
常配套使用。 如 正态分布：均数、标准差； 偏态分布：中位数、四分位间距
练习题
医学统计学
最佳选择题
统计中参数
统计中参数
统计学中，参数是指一个总体特征的度量值，通常是用来描述总体均值、方差、标准差等等。
统计学中常见的参数包括总体均值、总体方差、总体标准差、总体比例等等。
这些参数可以用来刻画总体的重要特征，从而对总体进行描述和研究。
在实际应用中，我们通常只能观测到样本数据，而无法直接观测到总体数据，因此需要通过样本数据来估计总体参数，这就是统计推断的基本问题。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计，其中点估计是根据样本数据来估计总体参数的一个具体值，而区间估计则是根据样本数据来得到总体参数的一个置信区间，进而对总体参数进行推断。
在实际应用中，参数估计是统计分析的基础，也是决策和推断的依据之一。
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三者的大小关系与分布形态有关： （1）正态： M＝Md＝Mo （2）正偏态： M﹥Md﹥Mo （3）负偏态： M﹤Md﹤Mo
（二）优缺点及适用条件比较
正态分布
M＝Md＝Mo
偏态分布
正偏态
M﹥Md﹥Mo
负偏态
M﹤Md﹤Mo
（二）优缺点及适用条件比较 优缺点比较
优良条件 感应灵敏 严密确定 意义简明 计算容易 M Md Mo
甲 乙 丙 丁
ｎ 20 18 16 20
M 80 75 70 70
S 8 7 8 6
(1)求Mt Mt=5470/74≈73.9
(2)求离差ｄ和d2
(3)求S2 + d2 (4)代入公式
ｎ
甲 乙 丙 丁 20 18 16 20
M
80 75 70 70
S
8 7 8 6
d
6.1 1.1 -3.9 -3.9
• 缺点
（1）反应不灵敏 （2）不适合代数处理 （3）受抽样影响大
低效的差异量数
4 百分位差的适用条件
计算频数分布峰态量
一 全距、百分位差、四分位差
（三）四分位差（quartile deviation） 1、概念
按一定顺序排列的中间部位50％个频数距离的一半（Q）. 又叫分半四分位差。
一 全距、百分位差、四分位差
人数 Mo＝84.5 9 44 41 6 100
3.2
2、经验法
Pearson经验法
Mo的计算
分布正态或近似正态
King插补法
分布偏态
Pearson经验法
• 提出者：英国统计学家K.Pearson
• 思想：在分布为正态分布或近似正态分布 时，众数近似地等于3倍中数减去2倍均数。
• 公式：
四 平均数、中数与众数的比较
2.2 加权平均数（总体均数） 求该年级的平 均分
甲班 乙班 丙班
人数(n)
平均分(m)
32
72.6
50
80.2
36
75.0
该年级平均分是 多少？
分数 ①90～99 ②80～89 ③70～79 ④60～69 总计 人数 9 44 41 6 100
• 解题思路
(1)求各组组中值(m) (2)求各组总分(mf)
数据 67 71 73 76 79 82 84 532
ｄ -9 -5 -3 0 3 6 8 0
ｄ２ 81 25 9 0 9 36 64 224
2 方差与标准差的计算
（２）原始数据法
同步练习
1、计算下列数据的M与S。 (1)8 10 2 5 8 3 2 2 (2)4 1 3 4 8 8 3 3
1.1.3
Mean的性质
1、观测值的总和等于算术平均数N倍,即
2、各观测值与算术平均数的差（离均差）的 总和等于零，即
1.1.3
Mean的性质
3、一组数据中各数与平均数的离差平方和最小,即
4、一组数据中每个数都加（减）一个常数C，所得 的平均数为原来的平均数加（减）常数C。即
1.1.3
Mean的性质
二 全距、百分位差、四分位差
（一）全距（Rang） 1、概念
一组数据中最大值与最小值之差，又叫两极差或极差 （R）。是表示一组数据离散程度最简单、最易理解的差 异量数。
2、计算 （1）原始数据 （2）次数分布表
如果数据是连 续型，须用 精确上下限
3 全距的优缺点
• 优点
（1）概念清楚 （2）意义明确 （3）计算简单
（1）忽略左右50%的数据 （2）不适合代数运算
4 四分位差的适用条件
（1）用中数代表集中量 （2）有特大或特小数值 （3）个别数值不确切，不清楚 （4）顺序数据（等级数据）
三 平均差（average deviation）
1、概念 一组数据中每个观测值与其算术平均数离差之绝 对值的算术平均数（AD或MD）。
19 12 4 33
２、上述两组分数的分布是否相同？ 为什么？
M:
S:
原始数据法公式推导
和方(SS)
求总体标准差
ｎ M S
甲 乙 丙 丁
20 18 16 20
80 75 70 70
8 7 8 6
Mi
Mｔ
2 方差与标准差的计算
（4）方差、标准差的合成
强调： • 只有在应用同一种观测手段，测量的是同 一个特质，只是样本不同时，才能应用此 公式合成方差和标准差。
d2
37.21 1.21 15.21 15.21
S2 + d2
101.21 50.21 79.21 51.21
3
方差、标准差的性质
１、一组数据中每个数都加一个常数C，新数据的方差和标 准差不变,即
２、一组数据中每个数都乘一个常数C，新数据的方差是原 数据方差的常数平方倍，标准差是原数据标准差的常数绝 对值倍？。即
2、计算 （1）定义式 （2）次数分布表
离均差
各组组中 值
（1）确定组中值 （2）求总体平均分
（3）代入公式求平 均差
3 平均差的优缺点
• 优点
（1）意义明确 （2）计算容易 （3）反应灵敏
• 缺点
（1）不适合代数运算
同步练习
四 方差与标准差
1、概念 （1）方差（variance）
——每个数据与该组数据平均数的离差的平方和的均值， 即离均差平方和的平均数。也叫变异数、均方（mean square deviation），S2（样本）2 （总体）
一 全距、百分位差、四分位差
（二）百分位差（percentile deviation） 2、计算
（1）利用公式分别计算两百分位数 Fb
（2）计算两百分位数之差
P90-P10 =
同步练习
,求其百分位差P93-P7
3 百分位差的优缺点
• 优点
（1）概念清楚 （2）意义明确 （3）较少受两极数据影响
适合代数法处理
受抽样影响小
（二）优缺点及适用条件比较 适用条件
M
广泛
Mo 有极端值或偏 多峰分布 态分布
Md
加权平均、离 两端数据或个 数据不同质 差、相关、推 别数据不清楚 （类别数据） 断、 考试、评估 空端分布 有极端值
顺序数据
描述形状
某研究者得到以下两组数据:
（2）标准差(standard deviation)
——方差的算术平方根。 S或SD（样本）（总体）
意义——一群数据的平均距离
标准差大好 还是标准差 小好？
因问题而异
2 方差与标准差的计算
（1）定义式
（2）原始数据法
（3）加权式
2 方差与标准差的计算
（1）定义式
同步练习
计算67、71、73、76、79、82、84的方 差与标准差。
3、适用条件 (1)小组平均求总平均时 (2)各个数据的分量不一样时
一 平均数
（三）几何平均数（geometric mean）
1、定义： N个数据连乘积的N次方根。（Mg） 2、计算方法：
3、适用条件： 1）当数据成比率的时候（ 如：进步率、增加率、 提高率等）； 2）有极端数据，分布呈偏态
一 平均数
（三）四分位差（quartile deviation） 2、计算 （1）根据求中数的公式求出第一个四分位数Q1和第 三个四分位数Q3 3N 1N
Q3
4
Q1
4
（2）代入公式计算分半四分位差
同步练习
求四分位差
3 四分位差的优缺点
• 优点
（1）简明易懂 （2）计算简单 （3）较少受两极端数据影响
• 缺点
加权平均数 几何平均数
调和平均数
位置之中 频数之众
（一）算术平均数 • 定义：
一 平均数
所有观测值的总和除以总频数所得的商。（Mean或-X）
• 计算方法：
（1）定义式 （2）加权式（简捷式）
• 平均数的性质： • 优缺点 • 适用条件
1.1.2
1、定义式
Mean的计算
有一组测验分数为： 79 67 80 91 83 76 79 80 求这组数据的平均数
常用统计参数
分享者：何晓燕 12级心理、教育学专业学生
集中量数 差异量数 地位量数
相关系数
第一节 集中量 数
• 定义： • 功能：
集中量数概述
代表一组数据典型水平或集中趋势的特征量。 （1）描述和代表研究对象的一般水平 （2）与同质的另一研究对象进行比较研究 算术平均数
• 种类：
（1）平均数 （2）中数 （3）众数 大小之中
（四）调和平均数(harmonic mean)
1、定义： 一组数据的倒数的算术平均数的倒数。（MH） 2、计算方法：
3、适用条件 计算平均速度， 如阅读速度、解题速度、识字速度等
二 中数
2.1 定义：
按顺序排列的一组数据中居于中间位置数。 （Median或Md）
2.2 计算方法：
（1）原始数据法 （2）次数分布表法
80 76
如果用系数形式怎样快 速求Fra bibliotek上例的均值？有一组测验分数为： 79 67 80 91 80 83 76 79 80 76 求这组数据的平均数
权数或权重
加权式
1.1.2 Mean的计算 2、加权式及变式
• 基本公式：
• 变式
（1）归一化均数 （2）总均数 （3）次数分布表的均数
2.1 归一化均数
• 缺点
（1）反应不灵敏 （2）易受两极端数值影响 （3）受抽样影响大
低效的差异量数
4 全距的适用条件
用于研究的预备阶段，用来检查数据的大 概散布范围，确定统计分组。