复变函数在数学中的应用

∫ I =
2π 0
p
dθ (2 cos
θ
)
>
0
做变换 z = cosθ +i sin θ ，则 2 cosθ = z + z−1 及dz = izdθ ，于是上述积分等 价于下述单位圆周上的积分：
∫ ∫ I = 1 i
|z |=1
dz zp(z +
z −1 )
=
1 i
z n−1dz |z|=1 zn p(z +ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz−1)
之所以前面多了一个系数1/ 2π 是为了写得更对称一些。因为此时逆变换可以
写成（显得更对称）
∫ f (t) = F −1[fˆ(ω)] =
1 2π
+∞ fˆ(ω)eiωtdt
−∞
人们有时将 Fourier 变换 fˆ(ω) 表示成 F (ω) . F (ω) 一般称作 f (t) 的像函数。至于 变换带不带系数1/ 2π 都会有特别说明，或者从上下文可以看出。
复变函数教材中收录的代数基本定理证明方法通常是刘维尔定理和幅角原 理，前者应该是已知的最简单证明了，不过这两个定理本身用到了较深的定理。 复变函数中的柯西定理相当于微积分中的牛顿-莱布尼茨公式，算是最基本的分 析定理了。数学就是如此，理论越深，证明过程反而简单了（当然，门槛也高）。
2、Fourier 变换的唯一性 Fourier 级数主要针对周期函数，或者意义区间有限的函数（再通过周期延 拓）。如果函数是分布在整个实数轴上，则肯定不是周期函数（也无法延拓成周 期函数）。于是，一个自然的想法是：分布在整个实数轴上的函数有没有类似 Fourier 级数的理论。这里体现出数学中神奇的对偶性，体现了离散与连续的统 一，类似理论存在，就是 Fourier 变换理论。Fourier 变换一般定义成
Dn
其中，圆盘 Dn 是右半平面 x ≥ 0 上以点 (xn , 0) 为圆心的不相交圆盘序列，满足 xn > 0 且 xn → 0 . 这样的C ∞ 函数 f 可以构造出来。
定理：设C ∞ 函数 f (x , y) 满足上述条件 1 和 2，则偏微分方程
∂w ∂x
+ ix
∂w ∂y
=
f
(x
,
y)
在原点任意邻域内无C 1 解。
∑ ∫ ∞
f (t) =
cne i αn t
n =−∞
⎯l⎯→∞⎯→
f
(t )
=
1 2π
∞ fˆ(ω)eiωtdω
−∞
注意，逆变换多出一个系数1/ 2π 。 不过很多偏向于理论的书将习惯 Fourier 变换 F 定义为
∫ F[f (t)] = fˆ(ω) =
1 2π
+∞ f (t)e−iωtdt
−∞
⎠⎞⎟⎟⎟
dxdy
=
∫∫
f
(x
, y) dxdy
Dn
这与条件 2 矛盾！从而定理为真。
评注：如果 f (x , y) 是实解析的，那么反例中的方程在原点任意邻域内有解析解； 如果 f (x , y) ∈C ∞ ，则反例中的方程在不在y 轴的点的任意邻域内有解。上述定 理中，将C 1 解限制放宽为广义函数解，方程在原点任意邻域内仍然无解。
以上例子是自己挑选的，类似的精彩例子很多，比如素数定理的证明，但 是这里不能再多说了。
∫ fˆ(ω) = ∞ f (t)e−iωtdt −∞
Fourier 变换实际上是 Fourier 级数的复数系数形式的“连续化”：
∫ ∫ cn
=
1 2l
l f (t)e−iαntdt ⎯l⎯→∞⎯→ fˆ(ω) =
−l
∞ f (t)e−iωtdt
−∞
其中 α n
=nπ /l
.
同理，将 Fourier 级数求和进行连续化，得到 Fourier 逆变换
定义 Fourier 变换
∫ F[f (x)] = fˆ(x) =
1 2π
+∞ f (t )e−ixtdt
−∞
其中函数 f (x) ∈ L(R) . 如果 fˆ(x) ≡ 0 ，则 f (x) 几乎处处为零。
证明：设 fˆ(x) ≡ 0 . 固定a ∈ R ，用复变量 z 代替x . 记
∫ ∫ Fa (z) :=
令 f (z) = zn−1 /Q(z) , 则 f (z) 是复平面 C 上的解析函数，根据柯西定理，得
∫ I = f (z) dz = 0 |z |=1
与前面的结论矛盾！因此，多项式 p(z) 在复平面 C 上至少有一个复零点。
记这个零点为 z0 , 利用多项式除法得到 p(z) = (z −z0 )h(z) , 其中 h(z) 是 n −1次多项式。反复应用前面的论证结论，可知多项式 p(z) 有且仅有n 个复零 点。
∪ 又
∞
D n=1 n
在 R2 中的余集是连通的且s = 0
时u = 0.
利用解析函数的唯一性定
理可知在圆盘 Dn 之外u = 0 . 特别地，在每一个圆盘 Dn 的边界 ∂Dn 上 u |∂Dn = 0
但是，利用格林公式有
0
=
∫ ∂Dn
udy −ixudx
=
∫∫Dn
⎜⎜⎝⎜⎛
∂u ∂x
+ ix
∂u ∂y
函数恒等于常数，则其导数几乎处处为零。
关于 Fourier 变换还有一个有趣的分布定理 设 f (x) 的 Fourier 变换为 F (ω) ，如果存在 M > 0 ，满足 | ω | > M 时， F (ω) = 0 . 则 f (x) 是分布在整个实数轴 R 上的。
实际上，当| ω | > M 时， F (ω) = 0 ，则
证明：思路是反证法，假设在原点的某个邻域内存在C1 解w . 我们将w 分解成
关于x 的奇部与偶部之和w = u +v ，其中u 关于x 是奇部。
由 f (x , y) = f (−x , y) 可知
∂u ∂x
+
ix
∂u ∂y
=
f
(x
,
y)
上述偏微分方程在x ≥ 0 处成立且满足u(0 , y) = 0 .
解析的。
因此 Fa (z) 在 H− ∪ R ∪ H+ = C（复平面）上连续，在 H− ∪ H+ 上解析。于是 对任意简单闭曲线C ，有
∫ Fa (z) dz = 0 C
由 Morera 定理可知， Fa (z) 在复平面 H− ∪ R ∪ H+ = C 上是解析的。
但是由前面的讨论可知，Fa (z) 在复平面 C 上是有界的，根据刘维尔定理可 知 Fa (z) ≡ 常数。
∂w ∂x
+ ix
∂w ∂y
=
f
(x
,
y)
其中 f 是C ∞ 函数，满足下述条件： 条件 1：f (x , y) 是具有紧支集的C ∞ 函数且 f (x , y) = f (−x , y) ，即关于x 是
偶函数； 条件 2： f (x , y) 在圆盘 Dn 外以及x ≤ 0 处等于 0，并且
∫∫ f (x , y) dxdy ≠ 0 n = 1 , 2 ,
取 z = ip (p < 0) ，再令 p → −∞ ，则上面的积分
∫ lim − +∞ f (ip)ep(t−a)dt = 0
p→−∞
a
这说明 Fa (z) = 0 . 由此得到
∫ 0 = Fa (0) =
a f (t) dt , ∀a ∈ R
−∞
这说明函数 f (x) 几乎处处为零。
注：如果 f (x) 是 Lebesgue 可积的，则其不定积分是绝对连续函数。而绝对连续
−
∂u ∂x
−i
∂u ∂y
+
2i (x
+ iy )
∂u ∂z
=
f
(x
,
y
,
z)
这里 f (x , y , z) ∈C ∞ (R3) 是一个光滑函数。这个反例具体证明可以参考 F·约翰 的《偏微分方程》一书第八章。
下面的反例相对简单，这是自己无意间在尼伦伯格的《线性偏微分方程讲义》
中看到的。
考虑线性偏微分方程
些争议，因为以现代数学标准看，两个人的方法都不是特别严密。不过多数人
倾向于高斯先证明的，而且高斯本人也把代数基本定理的证明作为他的博士论
文。该定理的证明目前有几十种，方法各异，本书收录的这个证明构思巧妙，
一般课本里是找不到的。证明过程中只用到了复变函数中的柯西定理： f (z) 是 复平面 C 上的解析函数， D 为有界区域，其边界 ∂D 是简单闭曲线，则有
复变函数在数学中的应用
复变函数是一门强大的数学工具，利用它可以证明许多重要的数学结论， 下面的三个例子是非常有名的。
1、代数基本定理 非常数多项式
p(z) = anzn +an−1zn−1 +⋅⋅⋅+a1z +a0 , an ≠ 0 有且仅有n 个复零点。
代数基本定理最初由达朗贝尔和高斯所证明，到底是谁首先证明出来的还有
3、无C 1 解的线性偏微分方程反例 偏微分方程是非常难的理论，特别是非线性偏微分方程，人们对它们的认
识很少。可惜，物理世界中的方程大部分都是非线性偏微分方程，比如 N-S 方 程。千禧年七大难题中的一道就是关于 N-S 方程解的存在性的。人们曾经一度 认为具有光滑系数的线性偏微分方程一定有解，但是 Levy 的反例否定了人们的 猜想，他构造了一个线性偏微分方程：
∫ ∫ G(z) =
1 2π
+∞ F (ω)eiωzdω =
−∞
1 2π
M F (ω)eiωzdω