自动控制原理第7章01
自动控制原理ZKYL07-01.详解
量化误差 计算机的字长总是有限的，因此量化单位q不可 能无限小，这势必会导致量化误差的出现。一般来 讲，量化过程有两种：
（1）只舍不入量化 只舍不入量化近似于一个取整函数，即小于量化 单位q的部分，一律舍去。量化误差 e x* (t ) x * (t ) ， x*(t)为量化前的采样信号, x * (t ) 为量化后的采样信号。 e取0~q间的任意值且机会相等，故e是[0, q]上的随机 变量称为量化噪声。量化特性曲线如图：
2
7-1 离散系统的基本概念
如果控制系统中的所有信号都是时间变量 的连续函数，则称为连续（时间）系统。 如果控制系统中有一处或几处信号是一串 脉冲或数码，或者说，这些信号仅定义在离散 时间上，则称为离散（时间）系统。
3
7-1 离散系统的基本概念
根据离散信号形式的不同，离散系统又 可以分为两种： 离散信号是脉冲序列形式的，称为采 样控制系统或脉冲控制系统； 离散信号是数码形式的，称为数字控制 系统或计算机控制系统。
14
数字控制系统中的A/D和D/A
数字控制系统中传递的离散信号是数码形式。
e(t) (1)
A/D
e * (t )
数字控制器
u * (t )
D/A
un (t )
A/D ： A/D 转换器将模拟信号转变成离散数字信号。 它包括两个过程：一是采样过程，与前述相同；二 是量化过程，即编码过程。任何离散信号在计算机 中都要转换成二进制数，才能被计算机识别，采样 * * e ( t ) e 信号e*(t)经量化后变成数字信号 。 (t ) 的断续性 还表现在幅值上。
11
2、数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控 制器去控制具有连续工作状态的被控对象的 闭环控制系统，因此，数字控制系统包括工 作于离散状态下的数字计算机和工作于连续 状态下的被控对象两大部分。 由于数字控制系统的一系列优点及计算 机技术的发展，该种系统在军事、航空及工 业过程控制领域内都得到了广泛的应用。
自动控制原理第七章
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
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4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
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2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
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若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
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<<自动控制原理>>第七章
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c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
自动控制原理第7章离散控制系统
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
自动控制原理第七章 采样控制系统
展开为部分分式，即
E ( s)
1 1 1 [ ] 2 j s j s j
求拉氏反变换得 e(t ) 1 [e jt e jt ] 2j 分别求各部分的Z变换，得 Z [e* (t )] 1 [ 化简后得
E( z) z sinT z 2 2 z cosT 1
e(t ) e(nT ) e(nT )(t nT ) e (nT ) (t nT ) 2 2! nT t (n 1)T
外推法: 用采样点数值外推求得采样点之间的数值.
只取第一项 ---- 零阶保持器. 只取前两项 ---- 一阶保持器.
e*(t)
一阶保持器比零阶保持器信号恢复更
自动控制原理
蒋大明
一.Z变换
1. Z变换定义：
Z e
TS
S
*
1 ln Z T
代入上式得:
E ( z) E ( s)
1 s ln z T
e( nT ) z
n 0
n
E ( z ) e(0) Z 0 e(T ) Z 1 e(2T ) Z 2
e(kT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。
-at
(a >0)的Z变换。
e(nT) = e
-a nT
(n = 0, 1, …)
代入Z变换的定义式可得
E(z) = 1 + e
若|e
–aT
-aTz -1
+ e
-2aTz -2
+ e
-3aTz -3
+ …
z
-1|
< 1，该级数收敛，利用等比级数求和公式，其Z变换
自动控制原理与应用第7章 自动控制系统的校正
综上所述：比例-微分校正将使系统的稳定性和快速性得到改善， 但抗高频干扰的能力明显下降。
7.2.3 比例-积分(PI)校正(串联相位滞后校正) 其传递函数为
Gc ( s ) K c ( i s 1) is
装置的可调参数为：比例系数Kc、积分时间常数 τi。装置的伯德图如图所示，其相位曲线为 0°→-90°间变化的曲线(故称相位滞后)。 如果系统的固有部分中不包含积分环节而 又希望实现无静差调节时，可在系统中串联比 例积分校正来实现。
G( s )
(1s 1)( 2 s 1) (1s 1)( 2 s 1) R1C2 s
(1s 1)( 2 s 1) (1s 1)( 2 s 1)
式中
1 R1C1 2 R2C2 1 2
伯德图
表7-2
PD调节器
常见有源校正装置
由以上分析可知，比例微分校正对系统的影响为： (1)比例微分校正装置具有使相位超前的作用，可以抵消系统中惯性环 节带来的相位滞后的影响，使系统的稳定性显著改善。 (2) 校正后系统对数幅频特性的穿越频率ωc增大，从而改善了系统的 快速性，使调整时间减少(ωc↑→ts↓)。 (3) 比例微分校正不直接影响系统的稳态误差。 (4) 由图中曲线Ⅱ可知，比例-微分校正使系统的高频增益增大，由于 很多干扰都是高频干扰，因此这种校正容易引入高频干扰。
7.1.2
系统校正的方式
工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正 和复合校正。
7.有源校正装置两类。
无源校正装置通常是由一些电阻和电容组成的两端口网络。根据它 们对系统频率特性相位的影响，又分为相位滞后校正，相位超前校正 和相位滞后-超前校正。表7-1为几种典型的无源校正装置及其传递函 数和对数频率特性(伯德图)。 无源校正装置线路简单、组合方便、无需外供电源，但本身没有增 益，只有衰减，且输入阻抗较低、输出阻抗较高，因此在实际应用时， 常常需要增加放大器或隔离放大器。本课程重点介绍有源校正装置.
石群自动控制原理(第7章)
➢ 采样/脉冲控制系统： 系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统。
➢ 数字/计算机控制系统 系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统。
1. 采样控制系统 采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的
时间瞬时上取值，而无法获取瞬时之间的信息。
⑦若采样编码是瞬间完成，并用理想脉冲等效代替数 字信号，则数字信号可以看成脉冲信号， A/D转换器 可用每隔T秒瞬时闭合一次的理想采样开关S来表示。
⑵D/A转换器 ①将离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。 ②D/A转换包括解码和复现两个过程。
离散数字--解码--离散模拟--复现(保持器)--连续模拟
连续信号
采样器 保持器
脉冲序列
采样系统：采样器和保持器是特殊环节。 ⑴信号采样和复现
①采样：连续信号转变为脉冲信号。 ②采样器，例如采样开关。 ③T是采样周期，fs=1/T是采样频率。 ④采样角频率：ωs=2π/T=2πfs，单位是rad/s ⑤采样持续时间τ<<T，τ<<max{连续部分的时间
常数}，通常认为τ趋近于0。 ⑥矩形面积
⑤对于传输延迟，甚至大延迟控制系统，可以引入采样 的方式稳定。
4. 离散系统的研究方法 数学基础：Z变换。
7-2 信号的采样与保持
1. 采样过程 ①采样器，又称采样开关：把连续信号变换为脉冲序列。 ②采样过程：用一个周期性闭合的采样开关S表示。
通常可认为，采样开关的闭合时间τ非常小，是ms、
μs级的，远小于采样周期T和系统连续部分的最大时间 常数。
请分析：采样信号与数字信号的区别和联系？
✓区别 采样：在离散时刻，采集连续的幅值。 编码：即A/D过程，将采样值进行0、1编码。
自动控制原理作业第七章参考答案
7.1 求下列矩阵的若尔当型及其变换矩阵（1）010001341⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解：矩阵的特征值为：1230.78,0.11 1.95,0.11 1.95i i λλλ=-=-+=--，因此可化为对角线规范型：0.780.11 1.950.11 1.95ii -⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦变换矩阵为：1232221231111110.780.11 1.950.11 1.950.61-3.8 - 0.42i -3.8 + 0.42i P i i λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）540430461⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：矩阵的特征值为：1231λλλ===，()2rank I A -=，表明1λ=的几何重数为3-()rank I A -=1，即该特征值对应一个若尔当块。
所以该矩阵的若尔当型为：11111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，变换矩阵0410404040P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（3）421043521⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：矩阵的特征值为：1232, 2.21, 6.79λλλ=-==，因此可化为对角线规范型：2 2.21 6.79-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，变换矩阵为00.40.610.410.370.780.810.350.46P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（4）010001340⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：矩阵的特征值为：1232.3,1, 1.3λλλ==-=-，因此可化为对角线规范型：2.31 1.3⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，变换矩阵为30.1 2.130.25 2.7530.583.58P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7.2已知系统状态方程，求状态变换阵P ，使系统变为对角线型（假设系统的特征值为123,,λλλ）（1）012010001x x a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解：123222123111P λλλλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）123100100a x a x a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：系统的特征方程为：32123det()00I A a a a λλλλ-=⇒+++= 设变换矩阵123[,,],i i i i P v v v v Av v λ==满足 设123[,,]Ti i i i v v v v =，则有：11212132313(1)(2)(3)i i i i i i i i i i i a v v v a v v v a v v λλλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 由（1）得211()(4)i i i v a v λ=+由（2）（4）得23121()(5)i i i i v a a v λλ=++ 代入（3）得321123()0i v a a a λλλ+++=所以1i v 是任意常数，取为1，则21i i v a λ=+，2312i i i v a a λλ=++所以112131222111221223132111P a a a a a a a a a λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦7.3证明：对于具有互相不同特征值12,,,n λλλ 的矩阵1211000010000010000n n a a A a a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦能将其变换为对角矩阵形式的变换矩阵为：11122111212121211111111n n n n n n n n n n n a a P a a a a a a a a λλλλλλλλλλ------⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦证明：系统的特征方程为：111det()00nn n n I A a a a λλλλ---=⇒++++=设变换矩阵12[,,,],n i i i i P v v v v Av v λ== 满足 设12[,,,]Ti i i in v v v v = ，则有：21111212213231211211111111()()()(1)0(2)i i i i i i i i i i i i i i i n n n i in i in in i i n i n i i in i in n i v a v a v v v a v v v v a a v a v v v v a a v a v v v a v λλλλλλλλλλ-----=+⎧-+=⎧⎪⎪-+==++⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+==+++⎪⎪-=⎪⎪+=⎩⎩将（1）代入（2）得11110n n i i n i n i a a a v λλλ--++++= 对比系统特征方程可知11i v =满足。
自动控制原理第七章
自持振荡问题 根据以前的分析可知，线性系统可能会 包含二阶振荡环节，但是，由于信号或功率 在传递过程中必然出现损耗，实际工程中绝 对不存在无阻尼情况。但在非线性系统中， 即使没有外部作用，系统也有可能产生一定 频率和振幅的周期运动。并且当系统受到扰 动后，运动仍能保持原来的频率和振幅，因 此这种周期运动具有稳定性。非线性系统出 现的这种周期运动称为自持振荡。
第七章
非线性控制系统的 分析方法
本章目录
第一节 非线性控制系统概念 第二节 描述函数法 第三节 非线性系统的描述函数法分析 第四节 改善非线性系统性能的方法 第五节 相平面分析法 第六节 非线性系统的相平面分析 本章小结
在自动控制系统中，如有一个或一个以 上的环节具有非线性特性时，该自动控制系 统就称为非线性控制系统。 所谓非线性环节就是指环节的输入和输 出之间的静特性不是线性的。 在本章中，我们将讨论非线性控制系统 的分析方法。
稳定性问题 对于线性系统，若它一个平衡状态是稳 定的，可以推出其所有的平衡状态都有是稳 定的。而对于非线性系统，它的某些平衡状 态可能是稳定的，但另外一些平衡状态却可 能是不稳定的。 线性系统的稳定性只与系统的结构形式 和参数有关，而与外作用及初始条件无关。 非线性系统的稳定性不但与系统的结构形式 和参数有关，还与外作用及初始条件有关。
y B
-c
0 c x
-B
图7-05 间隙非线性
三、非线性控制系统的特殊性
叠加原理不能应用于非线性控制系统 对于线性系统，描述其运动的数学模型 是线性微分方程，因此可以应用叠加原理， 进一步还可引入传递函数、频率特性、根轨 迹等概念。由于线性系统的运动特征与输入 的大小及初始状态无关，通常可在典型输入 函数和零初始条件下对系统进行分析。但对 于非线性系统，则不能应用叠加原理，因此 也就不能应用上述概念和方法对其运行状态 进行分析。
(仅供参考)自动控制原理第七章习题答案
第七章 线性离散系统的分析与校正7-1 试根据定义∑∞=-*=0)()(n nTs e nT e s E确定下列函数的)(s E *和闭合形式的)(z E ：⑴ t t e ωsin )(=；⑵ ))()((1)(c s b s a s s E +++=，b a ≠，c a ≠，c b ≠。
解：Ts e z =；⑴ )()sin()(0z E enT s E n nTs==∑∞=-*ω；1)cos(2)sin(21}{21)(20+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-∞=--∑z T z z T e z z e z z j e e e j z E T j T j n nTsjwnT jwnT ωωωω。
⑵ ))()((1))()((1))()((1)(c s c b c a b s b c b a a s a c a b s E +--++--++--=； ∑∑∑∞=--∞=--∞=--*--+--+--=000))((1))((1))((1)(n nTs cnT n nTsbnT n nTs anT e e c b c a e e b c b a e e a c a b s E ； ))()(())()(())()(()(cTbT aT e z c b c a ze z b c b a z e z a c a b z z E ------+---+---=； 记))()((c b c a b a ---=∆，∆-=b a k 1，∆-=ca k 2，∆-=cb k 3；))()(()()()()(3)(2)(12321cTbT aT T c b T c a T b a aT bT cT e z e z e z ze k e k e k z e k e k e k z E ---+-+-+-------+-++-=。
7-2 采样周期为T ，试求下列函数的Z 变换：⑴ n a nT e =)(； ⑵ t e t t e 32)(-=；⑶ 3!31)(t t e =； ⑷ 21)(ss s E +=；⑸ )1(1)(2+-=-s s e s E sT 。
自动控制原理考试试题第七章习题与答案
第七章非线性控制系统分析练习题及答案7-1设一阶非线性系统的微分方程为xx3 x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解令x0得3(21)(1)(1)0xxxxxxx系统平衡状态x e0,1,1其中：x0：稳定的平衡状态；ex1,1：不稳定平衡状态。
e计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。
x-2-11301312x-600.3850-0.38506x112010211图解7-1系统相轨迹可见：当x(0)1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x(0)1时，系统发散；x(0)1 时，x(t);x(0)1时，x(t)。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个x~x平面上任意分布。
7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1)xxx0(2) x1x2xx122xx12解（1）系统方程为1:xxx0(x0):xxx0(x0)令xx0，得平衡点：x e0。
系统特征方程及特征根：132:ss10,sj(稳定的焦点)1,2222:ss10,s1.618,0.618(鞍点)1,2xf(x,x)xx, d xdxxxxdx dx 1xx,1xxx11I:1(x0)1II:1(x0)计算列表-∞-3-1-1/301/313∞x0:11-1-2/302-∞-4-2-4/3-1x0:11-1-4/3-2-4∞20-2/3-1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a）所示。
2图解7-2（a）系统相平面图（2）xxx112①x22xx②12由式①：x2x1x1③式③代入②：(x1x1)2x1(x1x1)即x12x1x10④令x1x10得平衡点：x e0由式④得特征方程及特征根为2.4142ss2101,2（鞍点）0.414画相轨迹，由④式xx 11 d x1dxx12x1x1x 1 x1 2计算列表322.53∞11.52=1/(-2)∞210-1-2∞用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。
自动控制原理(第2版)第7章非线性控制系统(2)简明教程PPT课件
§7.4.6 非线性系统的相平面分析
(1) 非本质非线性系统的相平面分析
例4
(3 x 0.5) x x x2 0 x 设系统方程为 求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。 x 0 x 解 令
xe 1 0 x x 2 x(1 x ) 0
自动控制原理
第七章 非线性系统控制
Chapter 7 control of nonliner systems
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College of Electromechanical ＆ Information Engineering
自动控制原理
本章重点内容
7.1 非线性控制系统概述
7.2 常见非线性及其对系统运动的影响
d x f ( x, x ) 0 dx x 0
x 0 x 0
设非线性系统方程为：
f ( x, x ) 0 x
dx dx dt f ( x , x ) dx dx dt x
对于线性定常系统， 原点是唯一的平衡点
— 向右移动
— 向左移动
(2)相轨迹的奇点 (平衡点) 相轨迹上斜率不确定的点
0 (3)相轨迹的运动方向 0 下半平面: x (4)相轨迹通过横轴的方向 上半平面: x
dx f ( x , x ) dx x
f ( x, x ) 0 x0
顺时针运动
相轨迹以90°穿越 x 轴
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例1 单位反馈系统
G( s )
5 n 2.236 s( s 1) 0.2236 r ( t ) 1( t )
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自动控制原理(第三版)第7章非线性控制系统(1)
自动控制原理
4）当非线性输入的信号为正弦作用时，由 于非线性其输出将不再是正弦信号，而包 含有各种谐波分量，发生非线性畸变。
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自动控制原理
5）混沌
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自动控制原理
非线性系统运动的特殊性
• 不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用 (区别） • 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输入， 初条件有关，平衡点可能不惟一，可以稳定且可以 在多个平衡点稳定，可能不稳定—发散、衰减等 nonlinear • 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自 持振荡 • 发生频率激变—频率响应的复杂性 — 跳频响应， 倍/分频响应，组合振荡
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自动控制原理
3、滞环（非单值特性）
) x 0 , 且y 0 k ( x a sgn x y ＝0 y x2 m sgn x
滞环特性会 使系统的相 角裕度减小, 动态性能恶 化,甚至产生 自持振荡。
x2
x2m
x2
x2m
a
0
x1
a
x2m
7.3 描述函数法 7.4 相平面法
7.5 Matlab 在本章中的应用
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自动控制原理
7.1 非线性控制系统概述
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非 线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。
• 前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性； • 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； • 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性 特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化 处理； • 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线 大连民族学院机电信息工程学院 性称为本质非线性。
自动控制原理第七章
解：1．将继电特性的参数代入相应公式得到：
4B 12 a 1 N ( A) 1 1 A A A A
2 2
1 πA N(A) 12 1 - 1 2 A
根据
( N (1A) ) ( )
a A
0，求得
1 π 的极值为 6 N ( A)
7.4.2 非线性系统结构的简化
非线性环节串联 若两个非线性环节串联，可将两个环节 的特性归化为一个特性，即以第一个非线性 环节的输入和第二个非线性环节的输出分别 作为归化后非线性特性的输入和输出，从而 作出等效非线性特性。注意，若两个非线性 特性的描述函数分别为 N1 ( A)和 N 2 ( A，等效非 ) 线性的描述函数为 N ( A)绝不等于 N1 ( A和 的 ) ) N2 (A 乘积，并且串联非线性环节的次序不可交换。 对于多个非线性环节串联，其处理方法可以 按照串联的次序，先归化前两个非线性环节， 等效后的非线性特性再与第三个环节进行归 化变换。 非线性环节并联 若两个并联的非线性环节其描述 函数分别为 和 N ( A) ，则并联后的 N 2 ( A) 1 等效非线性环节的描述函 数 。
7.2 典型非线性特性及其对系统的影响
间隙特性
也称回环，机械传动中为保证齿轮转动灵活不卡齿，主动轮、从动 轮齿轮之间必须有适当的间隙存在，使得两者不能同步运转，即从 动轮滞后主动轮。含有间隙特性的系统，其输出相位滞后于输入相 位，从而减小了系统的相稳定裕度，使系统的稳定性变坏，同时增 大了系统的稳差。
7.3 描述函数法
7.3.2 非线性特性的描述函数
非线性特性 描 述 函 数
7.3 描述函数法 描 述 函 数
非线性特性
7.4 用描述函数法分析非线性控制系统
自动控制原理第七章课件
下面从信号采样前后的信号频谱变化来分析。 设连续信号 e(t )的频谱 E(j)为有限带宽，其最大角 频率为 h 。
自动控制原理第七章课件
下面分析一下采样后e * ( t ) 的频谱。
e*(t)e(t)δT(t)e(t) δ(tn)T
n
理想单位脉冲序列 T (t)是一个以T为周期的周期函数，
可以展开成傅氏级数形式：
T(t) Cnejnst
s 2/T 为采样角频率
n
T
Cn
1 T
2
T(t)e d jnst t
T2
Cn
1 T
0
(t)dt
1
0
T
为傅氏系数
T(t)
1
Tn
ejnst
如果在控制系统中有一处或几处信号不是时间t 的连续函数，而是以离散的脉冲序列或数字脉冲序列 形式出现，这样的系统则称为离散控制系统。
系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统称 为采样控制系统或脉冲控制系统。
系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统称 为数字控制系统或计算机控制系统。
自动控制原理第七章课件
或数码，控制的过程是不连续的，不能沿用连续系统 的研究方法。
研究离散系统的工具是z变换，通过z变换，可以 把我们熟悉的传递函数、频率特性、根轨迹法等概念 应用于离散系统。 自动控制原理第七章课件
7-2 信号的采样与保持
采样器与保持器是离散系统的两个基本环节， 为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的 采样过程和保持过程加以描述。 一、采样过程
采样信号
自动控制原理第7章习题解——邵世凡
自动控制原理第7章习题解7-1 求下列采样的离散信号x *(t )及离散拉斯变换X *(s ) ① ()t te t x α-=； ② ()t e t x t ωαsin -=； ③()t t t x ωcos 2=； ④ ()t te t x 4-=； 解：① ()t te t x α-=()()[][]()211111011111--------+∞=----+∞=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-====∑∑z e z Te z e dz d Tz z e dz d Tz ztekT x Z z X T T T k k kT k kkTααααα ② ()t e t x t ωαsin -=()()[][][]()()()()211cos 1sin sin sin ---∞+=-∞+=--+-====∑∑z e zekT z e kT zekT zkT ekT x Z z X kTkTkT k kkTk kkTαααααωωωω③()t t t x ωcos 2=()()[]()[]()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡====-------∞+=-----+∞=---+∞=-∑∑∑211111101111112cos 21cos 1cos cos cos z z kT z kT dz d Tz dz d Tz z kT dz d Tz dz d TzzkT kT dz dTzzkT kT kT x Z z X k k k kk kωωωωω ④ ()ttet x 4-=()()[][][]()21414141104114111-----+∞=----+∞=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-====∑∑z e z Te z e dz d Tz z e dz d Tz zkTekT x Z z X T T T k k kT k kkT7-2求下列函数的Z 变换。
①()kTe kT x α--=1； ②()kT ekT x kTωαcos -=；③()tet t x 52--=； ④()t t t x ωsin =；⑤()()a s s k s G +=； ⑥()()()211++=s s s s G⑦()211s s s e s G Ts +-=-；⑧()()15+=-s s e s G Ts解：① ()kTe kT x α--=1根据z 变换定义有：()()[][]11011111---+∞=--+∞=-+∞=-----=-=-==∑∑∑ze z z e zzekT x Z z X T k k kT k kk kkTααα ② ()kT e kT x kT ωαcos -= 根据欧拉公式有：()()kT j kT kTj kT kTj kT j kTkTe e e e ekT ekT x ωαωαωωααω--+----+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==212cos 然后，再根据z 变换定义得：()()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==∑∑∑+∞=---+∞=-+-+∞=---+-0002121k k kT j kT k k kT j kT k k kTj kT kT j kT z e z e z e e kT x Z z X ωαωαωαωα()()()21111cos 1cos 1111121-------+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ze z e kT z e kT z e z e kT kT kT T j T T j T αααωαωαωω或者()()[][][]()()[]()()()2111cos 1cos 1cos cos ----∞+=-∞+=--+--====∑∑z e z e kT z e ze kT zekT zkT ekT x Z z X kTkTkTkTk kkTk kkTααααααωωωω③ ()t e t t x 52--= 根据z 变换定义有：()()[]()[]()()()15311220502521111-----∞+=--∞+=-∞+=-----+=-=-==∑∑∑z e z z z T z ezkT zekT kT x Z z X T k kkT k kk kkT其中，根据z 变换的性质有()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑∑+∞=-----+∞=---+∞=-011110112k k k k k kz kT u dz d Tz dz d Tz z kT dz d Tz zkT ()()()()411121121111111111121111---------------⋅-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z Tz z z T Tz z Tz dz d Tz z dz d Tz dzdTz ()()()()()()()()()311124111141214121211111111112221-----------------+=--+=--=--++-=z z z T z z z T Tz z z T Tzz z z z z T Tz④ ()t t t x ωsin = 根据z 变换的性质有()()[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-====∑∑∑+∞=----+∞=---+∞=-0110112sin sin k k kT j kT j k k k kz j e e dz d Tz z kT dz d Tz zkT kT kT x Z z X ωωωω()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-------------1111111111111121111121z e z e z e z e j dz d Tz z e ze j dz d TzT j T j T j T j T j T j ωωωωωω()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=------------1cos 2sin 1211211112111z T z z T dz d Tz z e e z z e e j dz d TzT j T j T j T j ωωωωωω ()()[]()21211121121111cos 2cos 221cos 2sin 1cos 2sin +⋅---+⋅-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅=------------z T z T z z z T z T Tz z T z z T dz d Tzωωωωωω()()212111cos 21sin +⋅-⋅-⋅=----z T z z z T T ωω ⑤()()a s s ks G +=；方法是,首先将分式分解为部分分式,然后再利用留数方法确定其待定系数，最后通过查表可得Z 变换式。
自动控制原理第7章习题及答案
习题7-1下面的微分方程代表了线性定常系统，请写出它们对应的状态空间表达（a ）)(5)()(4)(22t r t c dtt dc dt t c d =++（b ）)()()()(4)(5)(02233t r d c t c dtt dc dt t c d dt t c d t =++++⎰ττ （c ）dtt dr t r t c dt t c d dt t c d )(4)()()(2)(2233+=++ 7-2 已知线性定常系统的状态方程为：Ax x =.，其中（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A (3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010100010A 试求系统统的状态转移矩阵At e答案：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--tt Ate e e2205.05.01 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t t t e Atcos sin sin cos （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=------)(5.0)(5.00)(5.0)(5.001)(5.0)(5.01t t t t t t t t t t t t Ate e e e e e e e e e e e e 7-3 已知系统的状态方程为：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=103210.，初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10)0(x ，试求单位阶跃收入时系统的时间响应x(t)答案：（1）求状态转移矩阵 先求出预解矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-+++-++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---)2(2)1(1)2(2)1(2)2(1)1(1)2(1)1(2)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1()3(321)(11s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI对上式进行拉式反变换，即可定出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=--------t t t t t t t t At2222e 2e e 2e 2e e e e 2e（2）求系统的时间响应()0022()2()()2()22()2()()2()022()e e ()d 002e e e e 2e e e e d 112e 2e e 2e 2e 2e e 2e 0.50.5tAt A t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tx t x Bu e e ττττττττττττ---------------------------=+⎡⎤⎡⎤----⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰7-4 已知矩阵：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t t t t sin cos 0cos sin 0001)(ϕ （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-t t t t t t t e e e e e e e t 222222)(ϕ 试问：它们可能是某个系统的状态转移矩阵吗？为什么？答案：I =)0(ϕ时才是状态转移矩阵，所以上述两个矩阵均不是某个系统的状态转移矩阵。
孟华《自动控制原理》ch7-10
k=0
Zx(kT T ) = x(k 1)T zk= z[ X ( z ) x( 0 )]
上二式相减: k=0
x(kT T ) x(kT)zk
k =0
= ( z 1 )X ( z ) zx( 0 )
(z 1)X (z) = zx(0) x(k 1)T x(kT)zk
lim (z 1)X (z)
第七章 线性离散控制系统
§7.1 引言
离散控制系统，又称为采样控制系统。
在离散系统中，有一处或几处的信号是时间
的离散函数。
X(t)
离散系统方块图
X*(t)
e*(t) G(s)
y(t)
T b*(t) -
T
b(t)
H(s)
简化
简化后
X(t)
e(t) e*(t) G(s)
y(t)
-
T
b(t)
H(s)
DDC系统
采样信号的频率特性
X *(
jw )
=
1 T
X(
k =
jw
jkws )
假设连续信号x(t)的频谱
X(jω)
1
需要：滤掉高频谱线，
防止谱线互相搭接。
X *(
jw )
=
1 T
X(
k =
jw
jkws )
ω max
0 2ωmax
+ωmax ω
基谱
|X*(jw)|
k=1
1
k=0
k= -1
T
-ω s
-ω s
z
z eTs
X (s)(s
si )i
s
=
si
例7.7
例7.8
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X
*(
j)
1 T
X[
n
j(
ns
)]
连续信号的频谱为 X( j) 采样信号的频谱为 X *( j)
X *( j)
1
T
X ( j)
-ωh 0 ωh
-3ωs -2ωs
-ωs -ωh 0 ωh ωs
X **( j)
1
T
2ωs 3ωs
-ωs -ωh 0 ωh
ωs
X *( j)
1 若ωs = 2ωh
T
2020/12/3
而分析系统的性能。Z变换又称为离散拉普拉斯变
换，是分析离散系统的重要数学工具。
2020/12/3
19
7.3.1 Z变换定义
设连续时间函数x(t) ，其拉氏变换为X(s)。连续时间函数
x(t)经采样周期为T的采样开关后，得到离散信号x*(t) ： x*(t) x(kT ) (t kT ) k 0
x(t)
x* (t) 保持器 xh (t)
T
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15
工程实践中普遍采用零阶保持器ZOH。它把前一个采样时刻kT的 采样值x(kT)不增不减地保持到下一个采样时刻(k+1)T。
et
eh t
et
e t
Gh s
eh t
0 T 3T 5T
t
在t kT,k 1T 区间，保持器的输出一直
若ωs<2ωmax，离散信号x*(t)的频谱不再由孤立频谱构成，而 是一种与原来连续信号x(t)的频谱毫不相似的连续频谱。
k 1
X ( j)
k 1
k 0
2s
k 2
s s 2
k 1
o 2max s
X ( j) k 0
s
s
2
k 1
k 2
2s
o
2s
s
s
s
2max
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2s
12
采样信号的频谱及香农采样定理
δ(t–kT)表示发生在kT时刻，脉冲强度值与被采样的连续信号x(t)在采样时刻kT时 的值相等。
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9
采样过程可以理解为脉冲调制过程。采样开关起着理想单位脉冲发
生器的作用，通过它将连续信号x(t)调制成脉冲序列x*(t)。
et
e t x*(t) x(t) (t kT ) k 0 e0 eT
行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高
系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并
且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特
别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
|X(jω)|是信号的频谱，其最高频率为ωmax，如x(t)不包含任何大于
ωmax的频率分量,离散信号x*(t)的傅氏变换为
频谱:
X *( j)
1 T
X[ j( ks )]
k
X *
(
jω)
1 T
k
X[
j(ω
kωs )]
频谱|X*(jω)|是以采样频率ωs为周期，由无限多x(t)的频谱|X(jω)|叠加
ω
Gh ( j) T
2
x(t) xh (t)
x(t)
xh (t)
Gh ( j)
Gh ( j)
o
s 2s 3s Gh ( j)
零阶保持器的幅频与相频特性
6T 7T 8T
o T 2T 3T 4T 5T
t
零阶保持器有无穷多个截止频率，并不 是只有一个截止频率的理想低通滤波器，因 此由零阶保持器恢复的连续信号xh(t)与原连 续信号x(t)是有差异的，主要表现在xh(t)具 有阶梯形状，采样周期取得越小，上述差别 也就越小。
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2
小口经高炮高精度伺服系统
粗e显示
中e显示 细e显示
数字信号 发生器
i
误差角 显示器
D/A D/A D/A
A
8255
BC
控制 D/A
计算机
D/A
计算机及其接口
模拟 滤波器
精o11
粗o12
A/D及 锁存电路
精o 粗o
PWM 放大器 SM
减速器
TG
负载
无源校
o
正网络
多级双通道 旋转变压器
近似。
x(t)
x* (t )
x(t)
x* (t)
T
o
t
脉冲序列x*(t)表达式为
采样过程
4T
o T 2T 3T
t
x*(t) x(0)[1(t) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )]
x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
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x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
τ<<T，该矩形脉冲可近似用理想单位脉冲来描述:
1(t kT )1(t kT ) (t kT )
δ(t–kT)为t=kT(k=0,1,2,∙∙∙)时刻具有单位强度的理想脉冲。
采样开关对连续信号x(t)进行采样后，其输出的离散时间信号x*(t) 为
x*(t) x(kT ) (t kT ) k 0
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18
7.3 Z变换理论
Z变换的思想来源于连续系统。在分析连续时 间线性系统的动态和稳态特性时，采用拉普拉斯变 换，将系统时域的微分方程转换成s域的代数方程， 并得到系统的传递函数，从而便于分析系统的性能。 与此相似，在分析离散时间系统的性能时，可使用 Z变换建立离散时间线性系统的脉冲传递函数，进
-3ωs -2ωs -ωs-ωh 0 ωh ωs 2ωs 3ωs
13
要从离散信号x*(t)中完全复现出采样前的连续信x(t)，必 须使采样频率ωs足够高，以使相邻两频谱不相互重叠。
Shannon采样定理：如果对一个具有有限频谱(-
ωmax<ω<ωmax)的连续信号采样，当s 采 样2角max频率
或采样频率 fs 2 fmax
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3
7.1 概述
离散控制系统（又称为采样控制系统）:有一处或几处信号是 时间的离散函数。
一般情况下，控制信号是离散型时间函数r*(t)，因此取系统 输出端的负反馈信号也需要采取离散型时间函数b*(t)，于是比 较后得到的偏差信号将是离散型时间函数:
e*(t) r*(t) b*(t)
gh (t)
1
1
0
T
t0
T
t
零阶保持器 gh (t) 1(t) 1(t T ) -1
零阶保持器的传递函数
Gh (s)
1 esT s
Gh (
j)
零阶保持器频率特性
1 e jT sin ωT j 1 cos ωT
j
ω
ω
Gh (
j )
1 e jT
j
1 cos ωT
1 ω
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sin ωT
2020/12/3
14
7.2.3 信号的恢复
若采用理想的低通滤波器
E j G j
m
0
mS
s
2
离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波器在物理上是无
法实现的。实际中广泛应用的滤波器是保持hold器 (或保持电路)。
信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续时间信号。实现保
持功能的器件称为保持器。保持器是具有外推功能的元件。
保持为ek T 。其变化为零，故称零阶保持器。
若把阶梯信号的中点连接起来，则可得到
与et形状一致但在时间上落后了T 2的时间响
应et T 2。可见，保持器近似为一个延迟环
节。采样周期T减小，可使近似精度提高。
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16
零阶保持器的时域特性gh(t) 是高度为1宽度为T的方波。
gh (t)
r(t)
e(t)
A/D
e* (t )
数字控制器
u* (t) D/A
u(t) 被控对象
c(t)
数字计算机
测量元件
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4
数字部分
模拟部分
计算机
r(t)
r* (t) e* (t)
u * (t )
u(t)
c(t)
A/D
D
b* (t)
数 D/A 模 G(s)
A/D b(t) H (s)
数
模
数字控制系统
拉氏变换，得： L[ (t kT )] ekTs
L[x* (t)] X * (s) x(kT )ekTs
k 0
复变量s包含在指数函数e-kTs中，不便计算，引进一个新变量：z
eTs
得以z为变量的函数X(z)：
X (z) x(kT )zk k 0
X(z) 为离散时间函数X*(s)的Z变换，记为 X (z) Z[x*(t)]
8
k 0
x* (t )
x*(t) x(0)[1(t) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )]
x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
4T
o T 2T 3T
t
x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] k 0
1(t–kT)–1(t–kT–τ)表示kT时刻，高度为1，宽度τ，面积为τ的矩形脉冲。由于
而成。当ωs≥2ωmax时，离散信号的频谱为无限多个孤立频谱组成的
离散频谱，其中与k=0对应的是采样前原连续信号的频谱，幅值为
原来的1/T。
k 1