第3章 弹性地基梁理论

当
x xm
时，取特解项为零。
分布荷载作用下的特解项
分布荷载可分解成多个集中力， 按集中力求解特项。
荷载在右边截面x处引起的挠度特解项为：
aqdu dy 2 4 ( x - u ) bk
x截面以左所有荷载引起的挠度特解项为：
x aq yq 4 ( x -u ) du xa bk






当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有：
q yq bk 1 - 1 2 q bk 4 M - q q 3 2 2 q Qq 2 2
b. 三角形分布荷载
u - xa qu q xb - xa
梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层， 下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。
半无限体弹性地基模型
假设
把地基看作一个均质、连续、弹 性的半无限体。
优点
反映了地基的连续整体性，同时从 几何上、物理上对地基进行了简化。
缺点
• • • • 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质； 弹性地基梁的受力和变形 均质假设没有反映土壤的不均匀性； 半无限体的假设没有反映地基的分层特点； 数学处理上比较复杂。
实际工程中常遇到的支座形式与荷载作用下梁端参数的值 弹性地基梁 自 由 端 已知初参数 A端边界条件 待求初参数
M0=0 Q0=0 MA=0 QA=0 θ0 y0 θ0 y0
M0=-m Q0=-P1 M0=0 y0=0
MA=0 QA=P2 MA=0 yA=0
简 支 端
θ0 Q0 θ0 Q0
M0=m1 y0=0


q 1 3 2 ( x - xa ) xb - xa 4 q 1 2 3 ( x - xa ) xb - xa 2
当 x xb 时，积分限是 [ xa , xb ] ，
q 1 yq k ( x x ) ( xb xa )1 ( x xb ) 2 2 ( x xb ) 2 ( x xa ) b a q 1 1 ( x xb ) 1 ( x xa ) q ( xb xa ) 4 ( x xb ) k ( xb xa ) 2 q 1 M ( x x ) b q a 3 ( x xb ) 4 ( x xb ) 4 ( x xa ) 2 2 ( xb xa ) 2 q 1 Q ( x x ) b a 2 ( x xb ) 3 ( x xb ) 3 ( x xa ) q 2 ( xb xa ) 2
当 x x p 时，特解项为零。
b. 集中力偶Mi作用下的特解项
集中力偶作用于地基梁
2 2 m y m 3 ( x - xm ) bk 3 2 m m i 2 ( x - xm ) x ≥ x m bk M m -m i1 ( x - xm ) Qm - m i 4 ( x - xm )
c. 梁全跨布满梯形荷载的特解项
• 只须把均布荷载与三角形荷载作用下两式叠加即可。
由A点的变形连续条件和受力情况有：
y A1 A1 M A1 0, QA1 pi
当 x ≥ x p时， y P Pi

p bk 1 M P - Pi 2 ( x - x p ) 2
4 ( x - x
)
2 2 P Pi 3 ( x - x p ) bk QP - Pi1 ( x - x p )
其中： 1 chaxcosax
2 chaxsinax shax cosax 3 shax sinax 4 chaxsinax shax cosax
微分关系为：
d 1 4 d d 2 2 1 d d 3 2 d d 4 2 3 d
Байду номын сангаас

xa x xb
（积分限 [ xa , x]）
x xb
（积分限 [ xa , x b ]）
q yq bk 1 ( x - xb ) - 1 ( x - xa ) - 2 4 ( x - x b ) - 4 ( x - xa ) q bk M q q 3 ( x - xb ) - 3 ( x - xa ) 2 2 q Qq 2 ( x - xb ) - 2 ( x - xa ) 2
分布荷载作用于地基梁
a. 均布荷载
荷载均布与ab段
q yq bk 1 - 1 ( x - xa ) 2 q bk 4 ( x - xa ) M - q q 2 ( x - xa ) 2 2 q Qq 2 ( x - xa ) 2
dM d3y Q EI 3 dx dx
代入化简得到挠曲微分方程：
d y EI 4 ky q( x) dx
4
对应齐次微分方程的通解
令挠曲微分方程中 q( x ) 0 ，得到对应齐次微分方程：
通解为：
d4y EI 4 ky 0 dx
y eax A1 cosx A2 sinx e ax A3 cosx A4 sinx
初参数解
初参数法
y B1chaxcosax B2chaxsin ax B3 shaxcosax B4 shaxsin ax
a[ B1 (chaxsin ax shaxcosax) B2 (chaxcosax shaxsin ax)
B3 (shaxsin ax chaxcosax) B4 (shaxcosax chaxsin ax)]








当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有：
q 1 y x 2 q kbl 2 q 1 1 q kbl M - q q 4 4 3 l Q - q q 3 2 2 l

弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
化简得： dQ ky q( x ) dx
dM Q dx
2 d M 合并二式得： ky q( x ) 2 dx
Y 0
M
A
0 省略二阶微量化简得：
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy dx
d d2y M EI EI 2 dx dx
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y
x0 x0
y0 0 M0
弹性地基梁作用的初参数

M Q
x0 x0
Q0
得到积分常数： B1 y0
1 1 0 3 Q0 2 4 EI 1 1 B3 0 3 Q0 2 4 EI 1 B4 2 M 0 2 EI B2
第3章 弹性地基梁理论
概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁挠度曲线微分方程式 及其初参数解 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.1 概述
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地 基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路 枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。
弹性地基梁与普通梁的区别
普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基
梁是无穷多次超静定结构。 普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。
3.2 弹性地基梁的计算模型
局部弹性地基模型
p 温克尔假设： y k 把地基模拟为刚性 支座上一系列独立 的弹簧。
局部弹性地基模型
缺点：没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基
MA=m2 yA=0
固 定 端
θ0=0 y0=0 θ0=0 y0=0
θA=0 yA=0 θA=0 yA=0
M0 Q0
M0 Q0
弹 性 固 定 端
y0=0
yA=0
θ0=M0β0 M0 Q0
弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解
集中荷载作用下的特解项 a. 集中力Pi作用下的特解项
OA和AB段挠曲微分方程分别为：
微段上荷载引起的挠度附加项为：
yq ∫ x
x
qu
bk
a
4 ( x - u ) du
三角形荷载作用于地基梁
当 xa x xb 时，积分限是 [ xa , x] ，
y q q M q Q q q 1 ( x x ) a 2 ( x - xa ) k ( xb - xa ) 2 q 1 1 1 ( x - xa ) xb - xa bk
M 2EI 2 ( B1shax sinax B2 shax cosax B3chaxsinax B4 chaxcosax)
Q 2EI 3[ B1(chaxsinax shax cosax) B2 (chaxcosax shax sinax)
B3 (chaxcosax shax sinax) B4 (chaxsinax shax cosax)
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等； 由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直； 地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
d 4 y1 4 4 y1 0 4 dx
d 4 y2 4 4 y2 0 '4 dx
集中力作用于地基梁
1 2 2 y1 y01 0 2 - M0 3 - Q0 4 2 bk bk
y2 y1 y P
d 4 y P 4 4 y P 0 '4 dx 1 2 2 y p y A11 ( x x p ) A1 2 ( x x p ) M A1 3 ( x x p ) Q A1 4 ( x x p ) 2 bk bk
其中： 4
kb 4 EI
用初参数表示的齐次微分方程的解：
1 2 2 y y01 0 2 M0 3 Q0 4 2 bk bk 2 3 2 2 y0 4 01 M 0 4 Q0 3 bk bk bk bk 1 M y0 3 0 3 4 M 01 Q0 2 2 2 4 2 bk bk Q y0 2 0 2 3 M 0 4 Q01 2 2
e ax chax shax, e ax chax shax 利用双曲函数关系：
1 1 ( B1 B2 ), A2 ( B2 B3 ) 2 且令： 2 1 1 A3 ( B1 B2 ), A4 ( B2 B4 ) 2 2 A1
得到另一通解：
y B1chx cosx B2chx sin x B3shx cosx B4 shx sin x