第3章 弹性地基梁理论
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3、弹性地基梁理论解析
它的四个根是两对共轭复数
因此，齐次方程式(5—5a)的四个线性无关的解为，
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
当利用欧拉公式及双曲线函数定义时，即
这四个解可写为
§2.2.1梁跨间无荷载时的解
这样齐次方程式(5—5a)的通解为
式中C1~C4为积分常数 由梁两端的四个边界条件确定。将通解yx 代入公式(5—3)及(5—4)，并利用公式(5—6)及下列微分关系后得
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
由于作用在梁上的荷载，组合方式甚 多，计算上应分别对待，在此不作详细讨 论，仅讨论与衬砌计算有关的全跨梯形荷 载情形。
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
因此：
式中
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
设有长为l、宽为b的弹性地基等裁面宣粱，梁上作用有 任意荷裁，其坐标、荷裁及内力的正方向如图5—1所示。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
在以下讨论中，取粱变形前的左端截面中 心为坐标原点，x轴向右为正，y轴向下为正。 分布荷载q(x)及集中荷载p向下为正，集中力 偶荷载M顺时针向为正。弯矩Mx。使梁上边 缘受拉为正，剪力： q(x)使微段反时针转为 正。挠度(沉陷) y(x)向下为正，角变位⊙x反 时针转为正。地基反力p(x)向上为正。
3.1 概述
●弹性地基梁理论：
弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反 力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的 几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有 关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常 采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地 基梁的理论主要有以下两种。
弹性地基梁理论课件
假设梁为连续的一维 弹性体，且忽略梁的 轴向变形。
弹性地基梁的研究目的和意义
研究目的
通过分析弹性地基梁的振动特性，为工程实践提供理论根据和设计指点，以提高结构的稳定性和安全 性。
研究意义
弹性地基梁理论有助于揭示地基与梁之间的相互作用机制，预测结构的振动响应，从而优化结构设计 ，减少地震等自然灾害的影响。此外，该理论还为研究其他复杂结构（如高层建筑、大跨度桥梁等） 的地基基础问题提供了基础和借鉴。
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弹性地基梁理论课件
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目 录
• 弹性地基梁理论概述 • 弹性地基梁的力学模型 • 弹性地基梁的数值模拟 • 弹性地基梁的实验研究 • 弹性地基梁的应用案例 • 弹性地基梁的未来研究方向 • 参考文献
PART 01
弹性地基梁理论概述
利用边界积分方程求解弹 性问题，适用于处理无界 问题等。
PART 04
弹性地基梁的实验研究
实验设备和方法
实验设备
包括弹性地基梁、加载装置、位移计 、应变计等。
实验方法
在实验室中，将弹性地基梁放置在加 载装置上，通过位移计和应变计测量 梁的位移和应变，从而得到梁的力学 性能。
实验结果和分析
实验结果
边界条件
束缚梁的位移、转角等物理量， 如在支撑处的位移束缚、固定束 缚等。
初始条件
指定梁的初始状态，如初始应力 、初始位移等。
弹性地基梁的求解方法
解析法
利用数学解析方法求解方程，适 用于简单边界条件和初始条件的
情况。
数值法
采用数值计算方法求解方程，如有 限元法、有限差分法等，适用于复 杂边界条件和初始条件的情况。
弹性地基梁原理范文
弹性地基梁原理范文弹性地基梁原理是指在地基上铺设一根梁，该梁可以在一定范围内进行弯曲，假设这个梁是弹性的，也就是说在受到外力作用时可以发生一定的变形，但是在力作用停止后又可以恢复原来的形状。
这种弹性地基梁原理在结构工程中有着广泛的应用，可以用于设计和分析地板、桥梁、支撑结构、管线等。
弹性地基梁原理的基本方程是梁的力学方程和地基支撑力平衡方程。
梁的力学方程可以根据梁体的几何形状、材料性质和受力情况推导出来，常见的梁体力学方程有弯曲方程、切线方程和平衡方程等。
地基支撑力平衡方程是指梁对地基的支撑力必须使地基保持平衡状态，即地基所承受的支撑力的合力和合力矩必须为零。
在弹性地基梁原理的应用中，常常需要考虑的参数有梁的横截面形状、长度、强度等；地基的弹性模量、承载力等；外部荷载的类型、大小和分布情况等。
根据这些参数，可以通过力学计算和分析确定梁的应力和变形情况，进而评估梁的稳定性和安全性。
弹性地基梁原理在实际工程中的应用十分广泛。
以地板设计为例，地板通常需要承受人员、设备、家具等的重量，并且可能会受到温度变化和地基不均匀沉降等因素的影响。
通过弹性地基梁原理的分析，可以确定地板的最大弯曲和应力，确定地板的尺寸和材料，进而保证地板的稳定和安全。
在桥梁设计中，弹性地基梁原理也具有重要的应用。
桥梁作为承载交通和运输的重要构筑物，需要具备足够的刚度和承载力。
通过弹性地基梁原理的分析，可以确定桥梁的最大挠度和应力，选择适当的桥墩和桥面板的尺寸，提高桥梁的稳定性和安全性。
此外，弹性地基梁原理还可以应用于支撑结构、管线等的设计和分析。
通过弹性地基梁原理的分析，可以确定支撑结构和管线的稳定性和变形情况，优化设计方案，提高工程安全性和经济效益。
总之，弹性地基梁原理是一种在地基上铺设梁体并通过弹性变形来传递荷载和满足结构稳定性的设计方法。
利用弹性地基梁原理可以进行梁体的力学分析，得出梁体的应力、变形和变形对地基支撑力的影响等结果，从而为工程设计和分析提供了依据。
弹性地基梁理论
地下建筑结构第3章弹性地基梁理论
崔振东副教授IAEG, FICDM, FICCE cuizhendong@
中国矿业大学岩土工程研究所
3.3 按温克尔假定计算短梁z3.3.2 荷载引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项（1）集中荷载P 引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项（2）力矩荷载M 引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项
（3）分布荷载q 引起的附加项
如视x 为常数，则d(x-u)=-d u
代入
a. 梁上有一段均布荷载的附加项
,0==du
dq q q
b. 梁上有一段三角形分布荷载的附加项
()3
4334,x x q du dq x u x x q q −Δ−=−−Δ=
c. 梁的全跨布满均布荷载的附加项
布满梁的全跨时，
当均布荷载q
=0，并且任一截面的坐标距
则x
3
x永远小于或等于x4。
d. 梁的全跨布满三角形荷载的附加项
当三角形荷载
=0，并且任一截面的坐标距
则x
3
x永远小于或等于
= =
（1）查双曲线三角函数K
=。
第3章 弹性地基梁理论
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等； 由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直； 地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
化简得： dQ ky q( x ) dx
dM Q dx
2 d M 合并二式得： ky q( x ) 2 dx
Y 0
M
A
0 省略二阶微量化简得：
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy dx
d d2y M EI EI 2 dx dx
MA=m2 yA=0
固 定 端
θ0=0 y0=0 θ0=0 y0=0
θA=0 yA=0 θA=0 yA=0
M0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ0
M0 Q0
弹 性 固 定 端
y0=0
yA=0
θ0=M0β0 M0 Q0
弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解
集中荷载作用下的特解项 a. 集中力Pi作用下的特解项
OA和AB段挠曲微分方程分别为：
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y
x0 x0
y0 0 M0
弹性地基梁作用的初参数
M Q
x0 x0
Q0
得到积分常数： B1 y0
1 1 0 3 Q0 2 4 EI 1 1 B3 0 3 Q0 2 4 EI 1 B4 2 M 0 2 EI B2
3、弹性地基梁理论
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
由于作用在梁上的荷载，组合方式甚 多，计算上应分别对待，在此不作详细讨 论，仅讨论与衬砌计算有关的全跨梯形荷 载情形。
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
因此：
式中
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
为建立挠度曲线微分方程式，在有分布荷裁q(x) 的区段，裁取一微段dx来研究，其受力图如图5—1所 示。由微段平衡条件得： 根据温克尔假定及地基与粱变形协调条件，地基反力 p(x)与该点梁酌挠度成正比，即
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
3.3 梁跨间有荷载时的解
分布荷载q(x)对其以右部分的挠度影响附加项 应分为 两种情况讨论。一是在荷载分布范围EF内，二是在荷载 分布范围以外， 分别在两区段]上积分，求得分布荷载 q(x) 在该二范围内引起的挠度附加项为：
3.3 梁跨间有荷载时的解
因此,梁跨间有荷载的挠曲线方程应为:
3.3 梁跨间有荷载时的解
运用相同的方法可导得各段角变位、弯矩及剪 力的附加项。将它们汇总，最后得弹性地基等截 面直梁的变位及内力一般公式为：
3.3 梁跨间有荷载时的解
式中 y。Q。——由边界条件确定的初参数，意义同前， am,ap——集中力偶M及集中力P的作用点坐标；
3.3 梁跨间有荷载时的解
例:
局部梯形荷载，有
3.3 梁跨间有荷载时的解
将公式(5—1)代入微段平衡方程式，并赂去高阶微量后得
由材料力学知，梁的弯矩与其挠度间有微分关系
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
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弹性地基梁理论
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上， 各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋 混凝土条形基础梁，等等。
作用：通过这种梁，将作用在它上面的荷载，
分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低 的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形 减小，提高刚度降低内力。
1. 概述
2. 弹性地基梁的计算模型
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压 力成正比。即
p y k
（3-1）
弹性底座
图3.1 局部弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
二阶
y p y qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论 (i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
ห้องสมุดไป่ตู้
是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基
的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把 称为特征系数， l 称为换算长度。
常系数齐次线性微分方程
一般形式
( n ) ( n 1 ) y p y p y p y 0 (8) 1 n 1 n
图3.3 弹性地基梁的微元分析
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上， 各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋 混凝土条形基础梁，等等。
作用：通过这种梁，将作用在它上面的荷载，
分布到较大面积的地基上，既使承载能力较低 的地基，能承受较大的荷载，又能使梁的变形 减小，提高刚度降低内力。
1. 概述
2. 弹性地基梁的计算模型
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压 力成正比。即
p y k
（3-1）
弹性底座
图3.1 局部弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
二阶
y p y qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论 (i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
ห้องสมุดไป่ตู้
是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基
的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把 称为特征系数， l 称为换算长度。
常系数齐次线性微分方程
一般形式
( n ) ( n 1 ) y p y p y p y 0 (8) 1 n 1 n
图3.3 弹性地基梁的微元分析
弹性地基梁理论
（3）地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用 材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
左图所示为局部弹性地基梁上的长为l、 宽度b为单位宽度1的等截面直梁，在荷载 及Q作用下，梁和地基的沉陷为 ，梁与地 q x 基之间的反力为 。 在局部弹性地基梁的计算中，通常以沉 y x 陷函数 作为基本未知量，地基梁在外荷 x 载 、 Q作用下产生变形，最终处于平衡 状态，选取坐标系xoy，外荷载，地基反力， 梁截面内力及变形正负号规定如右图所示。 y x
K EI
4
或
K cos i sin EI
4
由复数开方根公式得：
rk 4
令
K 2k 2k i sin COS k 0,1,2,3 EI 4 4
， 若地基梁宽度为b，则有
4
kb 4 EI
（3.8） （3.9）
地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放的，地基介质可以 是岩石、粘土等固体材料，也可以是水、油之类的液体介质。弹性地基梁 是超静定梁，其计算有专门的一套计算理论。
1. 荷载种类和组合
弹性地基梁与普通梁的区别：
普通梁只在有限个支座处与基础相连，梁所受的支座反力是有 限个未知力，因此，普通梁是静定的或有限次超静定的结构。 弹性地基梁与地基连续接触，梁所受的反力是连续分布的，弹 性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个未知反力。 弹性地基梁是无穷多次超静定结构。超静定次数是无限还是有限， 这是它们的一个主要区别。 普通梁的支座通常看作刚性支座，弹性地基梁则必须同时考虑 地基的变形。一方面梁给地基以压力，使地基沉陷，反过来， 地基给梁以相反的压力，限制梁的位移。而梁的位移与地基的 沉陷在每一点又必须彼此相等，才能满足变形连续条件。
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
左图所示为局部弹性地基梁上的长为l、 宽度b为单位宽度1的等截面直梁，在荷载 及Q作用下，梁和地基的沉陷为 ，梁与地 q x 基之间的反力为 。 在局部弹性地基梁的计算中，通常以沉 y x 陷函数 作为基本未知量，地基梁在外荷 x 载 、 Q作用下产生变形，最终处于平衡 状态，选取坐标系xoy，外荷载，地基反力， 梁截面内力及变形正负号规定如右图所示。 y x
K EI
4
或
K cos i sin EI
4
由复数开方根公式得：
rk 4
令
K 2k 2k i sin COS k 0,1,2,3 EI 4 4
， 若地基梁宽度为b，则有
4
kb 4 EI
（3.8） （3.9）
地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放的，地基介质可以 是岩石、粘土等固体材料，也可以是水、油之类的液体介质。弹性地基梁 是超静定梁，其计算有专门的一套计算理论。
1. 荷载种类和组合
弹性地基梁与普通梁的区别：
普通梁只在有限个支座处与基础相连，梁所受的支座反力是有 限个未知力，因此，普通梁是静定的或有限次超静定的结构。 弹性地基梁与地基连续接触，梁所受的反力是连续分布的，弹 性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个未知反力。 弹性地基梁是无穷多次超静定结构。超静定次数是无限还是有限， 这是它们的一个主要区别。 普通梁的支座通常看作刚性支座，弹性地基梁则必须同时考虑 地基的变形。一方面梁给地基以压力，使地基沉陷，反过来， 地基给梁以相反的压力，限制梁的位移。而梁的位移与地基的 沉陷在每一点又必须彼此相等，才能满足变形连续条件。
弹性地基梁
y = C1e3x + C2e2x.
例8. 求解方程 4y'' + 12y' + 9y = 0. 解：特征方程是
4r2 +12r + 9 = 0.
此方程有二重实根
r1
r2
3. 2
故所求通解为
3x
y (C1 C2 x)e 2 .
例9. 求解方程 y''6y'+13y=0. 解：特征方程是
B2
1 2
o
1 4 3EI
Qo
B3
1 2
o
1 4 3EI
Qo
B4
1 2 3EI
Mo
（3.14）
再将式（3.14）代入式（3.12），并注意 4 kb ，则有
4EI
y
yo1
o
1 2
2
Mo
2 2 bk
✓优点： 可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直 线分布假设中的缺点。
✓缺点：
没有反映地基的变形连续性，故温克尔假设 不能全面反映地基梁的实际情况。
2. 半无限体弹性地基模型 假设：
把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（所谓 半无限体是指占据整个空间下半部的物体，即上表面 是一个平面，并向四周和向下方无限延伸的物体）。
2. 弹性地基梁的计算模型
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型 2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压 力成正比。即
例8. 求解方程 4y'' + 12y' + 9y = 0. 解：特征方程是
4r2 +12r + 9 = 0.
此方程有二重实根
r1
r2
3. 2
故所求通解为
3x
y (C1 C2 x)e 2 .
例9. 求解方程 y''6y'+13y=0. 解：特征方程是
B2
1 2
o
1 4 3EI
Qo
B3
1 2
o
1 4 3EI
Qo
B4
1 2 3EI
Mo
（3.14）
再将式（3.14）代入式（3.12），并注意 4 kb ，则有
4EI
y
yo1
o
1 2
2
Mo
2 2 bk
✓优点： 可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直 线分布假设中的缺点。
✓缺点：
没有反映地基的变形连续性，故温克尔假设 不能全面反映地基梁的实际情况。
2. 半无限体弹性地基模型 假设：
把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（所谓 半无限体是指占据整个空间下半部的物体，即上表面 是一个平面，并向四周和向下方无限延伸的物体）。
2. 弹性地基梁的计算模型
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型 2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）假设： 地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压 力成正比。即
弹性地基梁理论
缺点
• 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质； • 均质假设没有反映土壤的不均匀性；
• 半无限体的假设没有反映地基的分层特点； • 数学处理上比较复杂。
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弹性地基梁的受力和变形
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与 地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的 挠度处处相等；
q
q
m i i(x-xm )22 343l 4
Q b 2 0k 2 b 2 y 2 0 k 3 M 0 4 Q 0 1 P i1 ( x - x p )
q q
m i 4(x-xm )2 222l 3
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3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
b qk (11)b qk (x l-2 1 2)
y 04012b 3 M 0 k 22b 2 Q 0 k 32 b2k pi 3 (x-xp)2b 3m k i 2(x-xm )
b2qk4bqk(l1-1)
M b 2 2 0k 3 b 4 y 3 0 k 4 M 0 1 2 Q 0 2 2 P i2 ( x - x p )
局部弹性地基模型
缺点： 没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基梁的实际
情况。但如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石， 这时将得出比较满意的结果。
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半无限体弹性地基模型
假设
把地基看作一个均质、连续、弹性的 半无限体。
优点
反映了地基的连续整体性，同时从几 何上、物理上对地基进行了简化。
yq
q k(xb -
xa )
弹性地基梁的计算
第3章 弹性地基梁的计算计算基础梁常用的三种假设： (1)地基反力按直线分布的假定； (2)文克尔假定；(3)地基为弹性半无限体(或弹性半无限平面)的假定。
3.1按文克尔假定计算基础梁的基本方程1. 弹性地基梁的挠度曲线微分方程根据文克尔假定，地基反力用下式表达。
Ky =σ (3-1) 式中，σ－任一点的地基反力（kN/m 2）y －相应点的地基沉陷量（m ）K －弹性压缩系数（kN/m 3）梁的角变，位移、弯矩、剪力及荷载的正方向均如图中所示。
推导出基础梁的挠度曲线微分方程。
图3-1从弹性地基梁中取出微段，根据平衡条件∑y =0，得 (dQ Q +)－Q +dx x q )(－dx σ＝0 化简后变为)(x q dx dQ-=σ (3-2) 再根据∑M =0，得M －(M +dM )+(dQ Q +)dx +2)(2)()(22dx dx x q σ-=0 整理并略去二阶微量，则得dx dM Q =(3-3) 由式(3-2)和式(3-3)，知)(22x q dx Md dx dQ -==σ (3-4)若不计剪力对梁挠度的影响，则由材料力学中得dx dy =θdx d EJM θ-== 22dx y d EJ - (3-5)33dx y d EJ dx dM Q -== 将式(3-5)代人式(3-4)，并应用式(3-1)，则得)(44x q Ky dx yd EJ +-= (3-6) 令 α＝44EJ K（3-7） 代入式(3-6)，得)(444444x q K y dx y d αα=+ (3-8)式中α叫做梁的弹性标值。
式(3-8)就是弹性地基梁的挠度曲线微分方程。
为了便于计算，在上式中用变数x α代替变数x ，二者有如下的关系：)()()(x d dy dxx d x d dy dx dy αααα== (3-9) 将上式代入式(3-9)，则得)(44)(44x q K y x d y d αα=+ (3-10)2. 挠度曲线微分方程的齐次解解的一般形式为：x x sh C x x sh C x x ch C x x ch C y ααααααααsin cos sin cos 4321+++= （3-11） 在上式中引用了2x x e e x sh ααα--=， 2xx e e x ch ααα-+=3.2按文克尔假定计算短梁1. 初参数和双曲线三角函数的引用图示一等截面基础梁，设左端有位移0y ，角变0θ、弯矩0M 和剪力0Q ，它们的正方向如图中所示。
弹性地基梁.
图3.3 弹性地基梁的微元分析
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
为建立 y x 应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段 d x ，考察该段 的平衡有： Y 0, 得：
Q (Q dQ) kydx q( x) d x 0
dQ 化简得： ky q( x) dx
（3-2）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为 寻找四个线性无关的特解，令 y e rx 并代入上式有：
K EI
4
或
K cos i sin EI
4
由复数开方根公式得：
rk 4
令
4
K 2k 2k i sin COS k 0,1,2,3 EI 4 4 Kb K ， 若地基梁宽度为b，则有 4 EI EI
二阶
(8)
y py qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论 (i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
优点：
1、地基的连续整体性；2、几何物理上简化模型
缺点：
1、地基土非连续；2、地基土非均质；
图3.2 弹性地基梁的受力和变形
3.弹性地基梁的挠度曲线微分方程 式及其初参数解
基本假设：
除局部弹性地基模型假设外，还需作假设： （1）地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基 表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；
《弹性地基梁理论》PPT课件
3. 初参数解
（一）初参数法
由式（3.11），再据式（3.5）有
y B1chx cosx B2chx sinx B3shx cosx B4shx sinx
2 B1chxsinx shx cosx B2 chx cosx shxsinx
B3 shxsinx chx cosx B4 shx cosx chxsinx
地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放的，地基介质可以 是岩石、粘土等固体材料，也可以是水、油之类的液体介质。弹性地基梁 是超静定梁，其计算有专门的一套计算理论。
1. 荷载种类和组合
弹性地基梁与普通梁的区别：
普通梁只在有限个支座处与基础相连，梁所受的支座反力是有 限个未知力，因此，普通梁是静定的或有限次超静定的结构。 弹性地基梁与地基连续接触，梁所受的反力是连续分布的，弹 性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个未知反力。
M 2EI 2 B1shx sinx B2shx cosx B3chx sinx B4chx cosx
Q 2EI 3B1chxsinx shx cosx B2 chx cosx shxsinx
B3 chx cosx shxsinx B4 chxsinx shx cosx
（3.12）
地基的变形是考虑还是略去，这是它们的另一个主要区别。
2. 弹性地基梁的计算模型
由于地基梁搁置在地基上，梁上作用有荷载，地基梁在荷 载作用下与地基一起产生沉陷，因而梁底与地基表面存在相互作用 反力 ，的大小与地基沉降y 有密切关系，很显然，沉降越大，反 力 也越大，因此在弹性地基梁的计算理论中关键问题是如何确定 地基反力与地基沉降之间的关系，或者说如何选取弹性地基的计算
弹性地基梁理论
本讲内容—弹性地基梁理论
第三章 弹性地基梁理论new
地基模型
• • • • • • • • 地基反力直线分布模型 文克尔地基模型 半空间弹性地基模型 有限深度可压缩性地基模型 层状地基模型 双参数、三参数弹性地基模型 非线弹性及弹塑性模型 Duncan and Chang、剑桥模型及修正、 沈珠江模型、 Drucker and Prager
1 地基反力直线分布模型
浅基础设计方法
常规设计法
上部结构 基础
上部结构
地基
满足了静力平衡条件，忽略了地基、基础和上部 结构三者之间受荷前后的变形连续性。 地基越软弱，与实际情况差别越大。
常规设计法： 满足下列条件时可以采用：
• （1）沉降较小或较均匀 • （2）基础刚度大
§3.1 弹性地基梁的选择、布置与构造 柱下条形基础 • 连续基础 交叉条形基础 筏板基础 • 特点 底面积大 整体刚度大 补偿作用 箱形基础 地基承载力 减小不均匀沉降 箱形基础， 设置地下室的筏形基础
(3 − 18)
式中 b、l—基础的宽度和长度。 由式（3-18）可得到：条形基础的 k0（或修正 值）是与条形基础同宽的方形基础 k0值的2/3。
（4）考虑基础埋置深度的修正 太沙基1955年建议的公式是
d ' k 0 = k 0 (1 + 2 ) b (3 − 19)
前苏联卡里诺维奇建议的公式是
• 有限压缩层地基模型来源于地基计算的分层总 和法，土中位移采用了布辛奈斯克弹性理论解的 积分形式，而在变形计算中考虑了土的成层特 性。
δ ij = ∑
t =1
nc
σ tij hti
Esti
4 分析方法
• 静力平衡条件 ⎧∑ F = 0 ⎪ ⎨ ⎪∑ M = 0 ⎩ • 变形协调条件
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d 4 y1 4 4 y1 0 4 dx
d 4 y2 4 4 y2 0 '4 dx
集中力作用于地基梁
1 2 2 y1 y01 0 2 - M0 3 - Q0 4 2 bk bk
y2 y1 y P
d 4 y P 4 4 y P 0 '4 dx 1 2 2 y p y A11 ( x x p ) A1 2 ( x x p ) M A1 3 ( x x p ) Q A1 4 ( x x p ) 2 bk bk
当 x x p 时，特解项为零。
b. 集中力偶Mi作用下的特解项
集中力偶作用于地基梁
2 2 m y m 3 ( x - xm ) bk 3 2 m m i 2 ( x - xm ) x ≥ x m bk M m -m i1 ( x - xm ) Qm - m i 4 ( x - xm )
初参数解
初参数法
y B1chaxcosax B2chaxsin ax B3 shaxcosax B4 shaxsin ax
a[ B1 (chaxsin ax shaxcosax) B2 (chaxcosax shaxsin ax)
B3 (shaxsin ax chaxcosax) B4 (shaxcosax chaxsin ax)]
其中： 1 chaxcosax
2 chaxsinax shax cosax 3 shax sinax 4 chaxsinax shax cosax
微分关系为：
d 1 4 d d 2 2 1 d d 3 2 d d 4 2 3 d
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y
x0 x0
y0 0 M0
弹性地基梁作用的初参数
M Q
x0 x0
Q0
得到积分常数： B1 y0
1 1 0 3 Q0 2 4 EI 1 1 B3 0 3 Q0 2 4 EI 1 B4 2 M 0 2 EI B2
其中： 4
kb 4 EI
用初参数表示的齐次微分方程的解：
1 2 2 y y01 0 2 M0 3 Q0 4 2 bk bk 2 3 2 2 y0 4 01 M 0 4 Q0 3 bk bk bk bk 1 M y0 3 0 3 4 M 01 Q0 2 2 2 4 2 bk bk Q y0 2 0 2 3 M 0 4 Q01 2 2
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等； 由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直； 地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
微段上荷载引起的挠度附加项为：
yq ∫ x
x
qu
bk
a
4 ( x - u ) du
三角形荷载作用于地基梁
当 xa x xb 时，积分限是 [ xa , x] ，
y q q M q Q q q 1 ( x x ) a 2 ( x - xa ) k ( xb - xa ) 2 q 1 1 1 ( x - xa ) xb - xa bk
分布荷载作用于地基梁
a. 均布荷载
荷载均布与ab段
q yq bk 1 - 1 ( x - xa ) 2 q bk 4 ( x - xa ) M - q q 2 ( x - xa ) 2 2 q Qq 2 ( x - xa ) 2
第3章 弹性地基梁理论
概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁挠度曲线微分方程式 及其初参数解 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.1 概述
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地 基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路 枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。
弹性地基梁与普通梁的区别
普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基
当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有：
q 1 y x 2 q kbl 2 q 1 1 q kbl M - q q 4 4 3 l Q - q q 3 2 2 l
M 2EI 2 ( B1shax sinax B2 shax cosax B3chaxsinax B4 chaxcosax)
Q 2EI 3[ B1(chaxsinax shax cosax) B2 (chaxcosax shax sinax)
B3 (chaxcosax shax sinax) B4 (chaxsinax shax cosax)
dM d3y Q EI 3 dx dx
代入化简得到挠曲微分方程：
d y EI 4 ky q( x) dx
4
对应齐次微分方程的通解
令挠曲微分方程中 q( x ) 0 ，得到对应齐次微分方程：
通解为：
d4y EI 4 ky 0 dx
y eax A1 cosx A2 sinx e ax A3 cosx A4 sinx
由A点的变形连续条件和受力情况有：
y A1 A1 M A1 0, QA1 pi
当 x ≥ x p时， y P Pi
p bk 1 M P - Pi 2 ( x - x p ) 2
4 ( x - x
)
2 2 P Pi 3 ( x - x p ) bk QP - Pi1 ( x - x p )
e ax chax shax, e ax chax shax 利用双曲函数关系：
1 1 ( B1 B2 ), A2 ( B2 B3 ) 2 且令： 2 1 1 A3 ( B1 B2 ), A4 ( B2 B4 ) 2 2 A1
得到另一通解：
y B1chx cosx B2chx sin x B3shx cosx B4 shx sin x
MA=m2 yA=0
固 定 端
θ0=0 y0=0 θ0=0 y0=0
θA=0 yA=0 θA=0 yA=0
M0 Q0
M0 Q0
弹 性 固 定 端
y0=0
yA=0
θ0=M0β0 M0 Q0
弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解
集中荷载作用下的特解项 a. 集中力Pi作用下的特解项
OA和AB段挠曲微分方程分别为：
弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
化简得： dQ ky q( x ) dx
dM Q dx
2 d M 合并二式得： ky q( x ) 2 dx
Y 0
M
A
0 省略二阶微量化简得：
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy dx
d d2y M EI EI 2 dx dxBiblioteka
当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有：
q yq bk 1 - 1 2 q bk 4 M - q q 3 2 2 q Qq 2 2
b. 三角形分布荷载
u - xa qu q xb - xa
梁是无穷多次超静定结构。 普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。
3.2 弹性地基梁的计算模型
局部弹性地基模型
p 温克尔假设： y k 把地基模拟为刚性 支座上一系列独立 的弹簧。
局部弹性地基模型
缺点：没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基
xa x xb
（积分限 [ xa , x]）
x xb
（积分限 [ xa , x b ]）
q yq bk 1 ( x - xb ) - 1 ( x - xa ) - 2 4 ( x - x b ) - 4 ( x - xa ) q bk M q q 3 ( x - xb ) - 3 ( x - xa ) 2 2 q Qq 2 ( x - xb ) - 2 ( x - xa ) 2
实际工程中常遇到的支座形式与荷载作用下梁端参数的值 弹性地基梁 自 由 端 已知初参数 A端边界条件 待求初参数
M0=0 Q0=0 MA=0 QA=0 θ0 y0 θ0 y0
M0=-m Q0=-P1 M0=0 y0=0
MA=0 QA=P2 MA=0 yA=0
简 支 端
θ0 Q0 θ0 Q0
M0=m1 y0=0
q 1 3 2 ( x - xa ) xb - xa 4 q 1 2 3 ( x - xa ) xb - xa 2
当 x xb 时，积分限是 [ xa , xb ] ，
q 1 yq k ( x x ) ( xb xa )1 ( x xb ) 2 2 ( x xb ) 2 ( x xa ) b a q 1 1 ( x xb ) 1 ( x xa ) q ( xb xa ) 4 ( x xb ) k ( xb xa ) 2 q 1 M ( x x ) b q a 3 ( x xb ) 4 ( x xb ) 4 ( x xa ) 2 2 ( xb xa ) 2 q 1 Q ( x x ) b a 2 ( x xb ) 3 ( x xb ) 3 ( x xa ) q 2 ( xb xa ) 2