突破难点(十六)三角函数式的化简与求值

2011突破难点

（十六）三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.

●难点磁场 (★★★★★)已知

2

π

＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2

α的值_________.

●案例探究

［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.

命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.

知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.

技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.

解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =2

1

(1－cos40°)+2

1 (1+cos160°)+

3sin20°cos80°

=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)

=1－21cos40°+2

1

(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+

3sin20°

(cos60°cos20°－sin60°sin20°)

=1－2

1cos40°－4

1cos40°－

43sin40°+43sin40°－2

3sin 220°

=1－43cos40°－43(1－cos40°)=

4

1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则

x +y =1+1－3sin60°=2

1

，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0

∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4

1.

［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2

1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.

命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目

知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.

错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.

解：由y =2(cos x －2a )2－22

42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：

f (a )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122

)

2( 12a a a a a

a

∵f (a )=21,∴1－4a =

21⇒a =8

1

∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=2

1

，解得：a =－1，此时，

y =2(cos x +21)2+2

1

，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.

［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3

π

)－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［

12

π

，

12

7π

］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维.

解：(1)f (x )=2cos x sin(x +

3

π

)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3

π

)－3sin 2x +sin x cos x

=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3

π

)

∴f (x )的最小正周期T =π

(2)当2x +

3π=2k π－2

π

，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.

(3)令2sin(2x +3

π

)=1，又x ∈［27,2ππ］,

∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则

x =4π，故f -－1(1)= 4

π.

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.

2.技巧与方法：

1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，