重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)

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重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷

20 — 20 学年 第 学期

开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:

考试方式：

考试时间: 120 分

一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是(

).

(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交

知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).

分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.

2. 微分方程633x

y dy

e e y x y dx

=+- 的一个解为().

(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =

知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).

分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有

y x =满足方程,故应选(D).

3. 累次积分⎰⎰=-202

2

x y dy e dx (

).

(A))1(212--e (B))1(3

14--e (C))1(2

14--e (D))1(3

12--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).

分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(2

14--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f (

).

(A)2x x e e -- (B)2x

x e e --

(C) 12-+-x x e e (D)2

1x

x e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).

分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-

命题人

:

组题人

:

审题人:

命题时间:

教

务处制

学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,

选B.

5. 设直线方程为11112

20

,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨

+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线(

).

(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴 知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).

分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,

1111220

0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨

+=⎩

表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.

6. 设∑为球面2

2

2

4(0)x y z z ++=≥的外侧,则

2yzdzdx dxdy

∑

+⎰⎰(

).=

(A)354

(B)35

4π (C)12 (D)12π

知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).

分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则

1

24,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω

+==⎰⎰

⎰⎰⎰1

228.D

yzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰

故有结果为D.

二、填空题(每小题3分,共18分)

7.

1

2

1lim(1)sin x y x y →→⎛⎫

- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明

:

1

(1)sin

01x x y

--≤

- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有

1

(1)sin

0.x y

ε--<

1

2

1lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫

∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim

6,n n a →∞

=则11()n n n a a ∞

+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列

12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-+

+-=-→-

9.

2221

___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线

cos ,sin ,t

t

t

x e t y e t z e ===

上相应于t 从0变到2的这段弧.

知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案

21).e

- 解:

弧长的微分为t

ds dt ==,2

2

2

22.t

x y z e ++=于是

2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰

10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++

=(0)R <所截得一个圆,

则该圆的半径为__________.=

知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案

分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a

,

11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=y

x xdy

ydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正

向,则__________.I =

知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π

分析: 可取椭圆的参数方程计算.

12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则

2__________.x dS ∑

=⎰⎰

知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4

.6

R π

分析:

222

x dS y dS z dS ∑

∑

∑

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()222

13x y z dS ∑

=

++⎰⎰ 22411

4.386

R R R ππ=⋅⋅=

三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y x

xe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换y

u x

=化为可分离变量的微分方程.

解: 方程两端同除以,x 得