(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案

第二部分　矩阵及其运算作业

（一）选择题(15分)

１．设，均为n 阶矩阵，且，则必有（ ）A B 22

()()A B A B A B +-=-(A) (B) (C) (D) A B =A E =AB BA =B E

=２．设，均为n 阶矩阵，且，则和（ ）

A B AB O =A B (A)至多一个等于零 (B)都不等于零

(C) 只有一个等于零 (D) 都等于零

３．设，均为n 阶对称矩阵，仍为对称矩阵的充分必要条件是（ ）

A B AB (A) 可逆 (B)可逆 (C) (D) A B 0AB ≠AB BA

=４．设为n 阶矩阵，是的伴随矩阵，则＝（ ）

A A *A A *(A) (B) (C) (D) 1n A -2n A -n A A

５．设，均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ）

A B (A) (B)

()T T T AB A B =()T T T A B A B +=+(C) (D) 111()AB A B ---=111

()A B A B ---+=+（二）填空题(15分)

１．设，均为3阶矩阵，且，则= 。

A B 1

,32A B ==2T B A 2．设矩阵，，则＝ 。

1123A -⎛⎫

= ⎪⎝⎭232B A A E =-+1B -３．设为４阶矩阵，是的伴随矩阵，若，则＝ 。

A A *A 2A =-A *４．设，均为n 阶矩阵，，则＝ 。

A B 2,3A B ==-12A B *-５．设，为整数，则＝

。

101020101A ⎛

⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

2n ≥12n n A A --（三）计算题(５０分)

1． 设,,且，求矩阵。

010111101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭112053B -⎛

⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

X AX B =+X

２．设，，为未知矩阵，且满足：，101110012A æö÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷çèø

301110014B æö÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷çèø

X AX B =求逆矩阵；并解矩阵方程。1A -AX B =３．设为n 阶正交矩阵，即，且，计算和的值。

A T A A E =0A

12A X A X *-=+X ５．，求1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

1()A *-（四）证明题(２０分)

１．设为n 阶方阵，且，其中为n 阶单位矩阵，证明：可逆，A 2

34A A E O --=E A 并求；若，求的值。

1A -2A =68A E +２．设，为n 阶方阵，，证明：。A B A B E +=AB BA =

自测题参考答案：

（一）１．(C) ２。 (D) ３．　(D) ４．(A) ５．(B)

（二）１．48 2． 3．-8 4． 5．10211⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭21123n --⨯000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

（三）１．131()2211X E A B -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭

２．1211221111A -æö--÷ç÷ç÷ç÷=--ç÷ç÷ç÷÷ç-è

ø＝1X A B -=211301522221110432111014223æöæöæö----÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷--=--ççç÷÷÷ççç÷÷÷ççç÷÷÷÷÷÷ççç--è

øèøèø３．，1A =-0E A +=提示：由于，则，因为，所以；21T T AA A A A E ====1A =±0A <1A =-因为T T T

E A A AA A E A E A E A

+=+=+=-+=-+所以。0E A +=４．11010114101X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭（提示：因为，

AA A A A E **==方程两边左乘，）

A 1(2),(2)A E A X E X A E A --==-５．1521()220101A *---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

（提示：，，由于，用初等变换可求AA A A A E **==11()A A A *-=1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

出

，而，所以）52112202101A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭12A =1521()220101A *---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

（四）１．，11(3)4

A A E -=-2682n A E ++=提示：因为，所以21334,()44A A E O A A E E --=-=11(3)4

A A E -=-

222268626222n n A E A A A A A ++=+-===２．提示：因为，,,A B E A E B B E A +==-=-于是()()BA E A E B E A B AB AB =--=--+=