分式知识点总结和练习题讲义
八年级上册《分式》知识点归纳与总结上课讲义
八年级上册《分式》知识点归纳与总结主讲 王老师一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式题型知识点总结
分式题型知识点总结一、分式的概念分式是指用一整数分子和一整数分母表示的数，其一般形式为a/b。
其中，a称为分子，b称为分母，分子和分母都是整数，且分母不为0。
分式可以表示整数和小数之间的关系，也可以表示两数之间的比值关系。
二、分式的化简1. 化简分式的方法（1）约分：分式的分子分母同时除以它们的最大公约数。
（2）整体化简：可以将分式中的数、字母像化简代数式一样进行整体化简。
2. 化简分式的步骤（1）找分式的最大公约数；（2）约分得到最简分式。
三、分式的性质1. 分式的值域：分式的值域由分母产生，要合理确定分母的范围。
2. 分式的比较：要比较分式大小，可以通分后比较分数值的大小。
3. 分式的乘法：分式的乘法，可以直接将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
4. 分式的除法：分式的除法，可以转化为乘法，即将除数取倒数化为乘法。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法：分式的加减法都需要通分后进行计算，计算完毕后再作进一步的化简。
2. 分式的乘法：分式的乘法直接将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，再进行化简。
3. 分式的除法：分式的除法可以转化为乘法，即将除数取倒数改为乘法，再将两个分式相乘。
五、分式的应用1. 分式在生活中的应用：比如在购物时计算打折后的价格、在合作中分配利润等。
2. 分式在代数中的应用：在方程、不等式的计算过程中，常会出现分式的运算。
六、综合练习1. 简单计算练习：如化简分式、分式的加减乘除等。
2. 应用题练习：如生活中买东西打折、分配利润等应用题。
以上就是关于分式的概念、化简、性质、运算等知识点的总结，希望对你有所帮助。
在学习分式的过程中，要多做练习，加深自己对分式的理解，提高分式的运算能力。
分式知识点及例题
分式知识点及例题一、分式的概念形如 A/B（A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
例如：1/x，（x ＋ 1)／（x 2) 等都是分式。
需要注意的是，分母不能为 0，否则分式无意义。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
即：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）例如：若分式 2x/（3x 1) 的分子分母同时乘以 2，得到 4x/（6x 2)，其值不变。
三、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
例如：对分式 6x/9 进行约分，分子分母的公因式为 3，约分后得到2x/3。
四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
最简公分母的确定方法：1、取各分母系数的最小公倍数；2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；3、同底数幂取次数最高的。
例如：1/2x 和 1/3y 的最简公分母为 6xy。
五、分式的运算1、分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
例如：（2x/y) ×（3y/4x) ＝ 3/2 ；（2x/y) ÷（3y/4x) ＝（2x/y) ×（4x/3y) ＝ 8x²/3y²2、分式的加减法同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
例如：1/x ＋ 2/x ＝ 3/x ； 1/2x 1/3y ＝（3y 2x) ／ 6xy六、分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式知识点总结及复习详解
1分式知识点总结及章末复习知识点一：分式的定义 般地，如果 A , B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子AA 叫做分式, BA 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件 ① 分式有意义：分母不为 0 （ B H 0） ② 分式无意义：分母为 0（ B = 0 ） ③分式值为0:分子为0且分母不为0 ④分式值为正或大于 0 :分子分母同号（ Q或仔0)[B >0[B C O⑤分式值为负或小于 0 :分子分母异号（ A>0或严0)〔B c O i B >0⑥ 分式值为1 :分子分母值相等（A=B ） ⑦ 分式值为-1 :分子分母值互为相反数（ 经典例题 A+B=0) 1、代数式 A.单项式 B.多项式 C.分式 D.整式 2、在-, XX 13(x +y ), 兀-3 a -x 中，分式的个数为 4 ()A. 1 B.2 C. 3 D. 4 3、总价9元的甲种糖果和总价是 9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种 糖果便宜1元，比乙种糖果 贵0.5元，设乙种糖果每千克 x 元，因此，甲种糖果每千克 元，总价9元的甲种糖果的质量为 4、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（ 5、 a+1 B. Fa当X =1时，分式①」，②上1，③仝匚1，④ X-1 2X-2 6、7、 9、 a +1 A. ---- a A.①③④ C. X +1 X 2 -1 a+1a 2+1 1x 3+1a+1B.③④C.②④D.④a+1当a = -1时，分式: ()A.等于 a -1 8x +4使分式 的值为0，则X 等于（） 8x —3 若分式 T 的值为0,则X 的值是（X 2 +x —2A. 8B.等于1B.—2A. 1 或一1C.等于―8 C.- 3D.无意义 1 D.- 2B. 1C. — 1D. — 2x +1时，分式 3 的值为正数.X TX +1 10、当 X时，分式 x +1 J 的值为负数.x-1时，分式亠亠的值为3x-21. 1 12、分式 -------- 有意义的条件是 （）A.X K0B.xHj 且 xK0C. xH —2 且 xK0D.xK —1 且 xK-21 +x114、下列命题中，正确的有（知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 字母表示： A = A —C ， A = A C ，其中 A 、B 、C 是整式，C 工0。
分式典型知识点与例题总结
人教版八年级下册分式全章 知识点和典型例习题 知识点回顾知识点一：分式形如 的式子叫做分式 。
知识点二：分式B A 的值1.当 时,分式有意义;2.当 时,分式无意义;3.当 时,分式的值为0;4.当 时,分式的值为1;5.当 时, 分式的值为正;6.当 时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示 知识点四：分式中的符号法则用式子表示 知识点五： 分式的约分 约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时， 知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。
1.最简公分母= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示 除法法则： 用式子表示 知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式： 套 平方差公式： 2 . 公 完全平方和：式 完全平方差：知识点九：分式的加减法法则 加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先 再 最后再 。
知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂 知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成 其中101<≤a 。
知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤 、 、 、 、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有 个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值 【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
分式知识点总结及例题
分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数，通常由分子和分母两部分组成，分子表示分数的一部分，分母表示分数的总份额。
分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。
二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。
2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。
3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。
三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作，主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。
四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后，进行加减运算的操作。
五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后，化简为最简形式的操作。
分式的除法是指对分式进行倒数运算，然后化简为最简形式的操作。
六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。
七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解：分子和分母可以同时除以2，得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。
2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解：先将两个分式通分，得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$，再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。
3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解：将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$，再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式，得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。
4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解：将两个分式进行倒数运算，得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。
分式与分式方程辅导讲义
分式与分式方程【知识框架】【知识点&例题】知识点一：分式的基本概念一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子B A 叫做分式，为分子，为分母。
知识点二：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C••=A B A，C B C÷÷=A B A ，其中、、是整式，。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B AB B --=--=--=AAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点三：分式的乘除法法则分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：db c a d c b a ••=•分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为cc ••=•=÷bd a d b a d c b a 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛巩固练习：1.若分式的值为0，则x 的值为 .2.当= 时，分式的值为零.3.计算x xy y xy y xy y x xy y22222222++-÷+-+4.先化简，再求值：其中.242x x --x 26(1)(3)x x x x ----2291333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭13x =5.先化简，再求值：，其中．6、先化简，再求值：，其中7、解下列方程：（1）（2）（3） （4）532224x x x x -⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭3x 22144(1)1a a a a a-+-÷--1a =-3522x x =-223444x x x x =--+22093x x x +=-+35012x x -=+9、在年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的倍，求这两种车的速度。
分式知识点归纳总结
分式知识点归纳总结一、基本概念1. 分式的定义分式是由分子和分母组成的表达式，分子和分母都是整式。
通常写作a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不为0。
例如：3/4，7x/5y等都是分式。
2. 分式的分类根据分子和分母的形式，分式可以分为以下几类：a) 真分式：分子的次数小于分母的次数，例如：2/3。
b) 假分式：分子的次数大于或等于分母的次数，例如：x^2+1/x。
c) 反比例函数：分子和分母中都含有变量，例如：x/y。
3. 分式的性质a) 若分子和分母互换位置，分式的值不变，这就是分式的对称性质。
b) 分式的值只有在分母不为0时才有定义，即分式的定义域是除了分母为0的所有实数。
二、分式的化简1. 分子分母的最小公因式分式的化简首先要找出分子分母的最小公因式，然后进行约分。
例如：将分式6x^2y/9xy化简为2x/3。
2. 分式的通分当分母不同时，可以通过通分将分母变为相同的多项式，从而进行比较、运算。
例如：将1/2+2/3进行通分，得到3/6+4/6=7/6。
3. 整式转化为分式可以将整式转化为分式，只需将分子为整式，分母为1的形式即可。
例如：将5x^2+3x+1转化为分式为(5x^2+3x+1)/1。
三、分式的运算1. 分式的加减法分式的加减法需要先进行通分，然后对分子进行加减，最后合并分子。
例如：(2/3)+(3/4)，首先通分为8/12+9/12=17/12。
2. 分式的乘法分式的乘法是将分子乘以分子，分母乘以分母，然后进行约分。
例如：(2/3)*(3/4)=6/12=1/2。
3. 分式的除法分式的除法需要将除号改为乘以被除数的倒数，然后进行乘法运算。
例如：(3/4)÷(2/3)=(3/4)*(3/2)=9/8。
四、分式的应用1. 分式的实际问题在实际问题中，分式常用于解决各种比例、速度、浓度等问题，可以帮助我们解决生活中的实际问题。
2. 分式与方程分式的化简与运算经常用于解决各种方程，需要将方程中的分式进行合并、化简、求值等操作。
期末分式部分知识点总结
期末分式部分知识点总结一、分式的基本概念1. 分式的定义分式是指由分子(分子)和分母(分母)组成的代数式，用a/b或$\frac{a}{b}$表示，其中a和b为整数，b≠0。
分子表示被分为若干个相等的部分中的几个，分母表示整体被分为几部分，即分数的含义。
2. 分式的种类分式可以分为真分式、假分式和整式三种类型。
真分式是指分子次数小于分母次数的分式，假分式是指分母次数小于或等于分子次数的分式，而整式是指分子次数大于或等于分母次数的分式。
3. 分式的化简分式的化简就是将分式进行因式分解，使分子和分母的公因式都能约去，使分式呈最简形式。
分式的化简过程通常包括分解因式和约去公因式两个步骤。
二、分式的性质1. 分式的乘法性质分式的乘法性质是指两个分式相乘时，分子与分子相乘，分母与分母相乘，即(a/b)×(c/d)=(ac)/(bd)。
2. 分式的除法性质分式的除法性质是指一个分式除以另一个分式时，将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘，即(a/b)÷(c/d)=(ad)/(bc)。
3. 分式的加减性质分式的加减性质是指两个分式相加减时，首先要找出它们的公分母，然后进行运算。
如果两个分式的分母相同，则直接进行分子的加减运算，如果分母不同，则需要化为通分分式后再进行运算。
4. 分式的分解性质分式的分解性质是指将一个分式分解为若干个分式的和或积的性质。
分式可以通过公因式分解、平方差公式、完全平方公式等进行分解。
5. 分式的推导性质分式的推导性质是指能够利用已知条件进行变形，并导出新的等价分式的性质。
在解分式方程和不等式时，常常需要通过推导性质进行变形。
三、分式的运算规律1. 分式的乘法运算两个分式相乘时，先约去公因式，然后将分子与分子相乘，分母与分母相乘，最后化简得到最简分式。
若分母含有二元或多元字母的幂指数时，也可以将幂指数约去，得到最简分式。
2. 分式的除法运算一个分式除以另一个分式时，先约去除数与被除数的公因式，然后将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘，最后化简得到最简分式。
八年级数学 分式章节知识点总结及典型例题解析
八年级数学分式章节知识点总结及典型例题解析1.分式的定义：分式是由分子、分母两个整式组成的表达式，分母不能为零。
例：下列式子中，有分式的是：$\frac{2x+1}{3xy^3a^{-b}5a^{-b}159a^{2}15xy^{11}}$、$\frac{8a^2b}{2}$、$\frac{1}{x-y}$、$\frac{4x-3y}{2x+y}$、$\frac{2}{b^2-5a^2}$、$\frac{-x-2xy^2}{x-7}$。
2.分式有意义和无意义：1）使分式有意义：令分母不等于零，解方程求解；2）使分式无意义：令分母等于零，解方程求解；注意：$(x+1)^2 \neq 0$ 有意义。
例如：分式$\frac{x-5}{2-x}$，当$x=2$时，分式无意义；当$x=5$时，分式有意义。
3.分式的值为零：使分式的值为零：令分子等于零且分母不等于零。
注意：当分子等于使分母等于零时，要舍去。
例如：分式$\frac{x^2-11}{x-2a}$，当$x=\sqrt{11}$时，分式的值为零。
4.分式的基本性质的应用：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于零的整式，分式的值不变。
例如：$\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A/C}{B/C}$。
没有明显问题的段落，无需删除或改写。
1.如果成立，那么a的取值范围是什么？2.例2：求出33/(ab)的值。
3.例3：将分式(1-b+c)/(a(b-c))中的a和b扩大10倍后，分式的值会怎样变化？4.例4：将分式10x/(x+y)中的x和y都扩大10倍后，分式的值会怎样变化？5.例5：将分式xy/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？6.例6：将分式(x-y)/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？7.例7：将分式(x-y)/xy中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？8.例8：将分式2x/(x+3y)中的x和y都缩小12倍后，分式的值会怎样变化？9.例9：将分式3x^3/(2y^2)中的x和y都扩大2倍后，分式的值保持不变的是什么？10.根据分式的基本性质，分式(ABC-D)/(a-b)可变形为(a+b)(D-ABC)/(a-b)。
分式知识点及题型总结超好用
分式知识点及题型、分式的定义:A一般地，如果A, B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
B二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0 （B 0）②分式无意义：分母为0（B 0）A0③分式值为0:分子为0且分母不为0 （)B0④分式值为正或大于0:分子分母冋号（A0或A0) B0B0⑤分式值为负或小于0:分子分母异号（A0或A0) B0B0⑥分式值为1 :分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1 :分子分母值互为相反数（A+B=0 )三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A ? C A A C字母表示：A，A，其中A、B、C是整式，C 0。
B B?C BBC拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变,A A A A即：B B B B注意：在应用分式的基本性质时，要注意C 0这个限制条件和隐含条件B 0。
四、分式的约分1 •定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2 •步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3 •注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幕。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4 •最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
♦约分时。
分子分母公因式的确定方法：1）系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数•2）取各个公因式的最低次幕作为公因式的因式•3）如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母分解因式，然后判断公因式.五、分式的通分1 •定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幕的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式与分式方程知识点总结
分式与分式方程专题一、分式基本知识1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
（1）分式与整式最本质的区别：分式的分母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
（2）分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
（3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零。
2、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） （1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3、分式的通分和约分：关键先是分解因式（1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
（2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式（3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
（4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4、分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分C B C A B A ⋅⋅=CB CA B A ÷÷=鑫鹏学校母中的部分项的符号。
5、分式的运算：（1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
（2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
（3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
（4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算（5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
分式知识点总结与分式方程的应用
知识点1、分式概念重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件难点：分式有意义、分式值为0的条件 分式的概念：形如B A ，其中分母B 中含有字母，分数是整式而不是分式. (1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义.(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.(3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.易错易混点(1) 对分式的定义理解不准确；(2)不注意分式的值为零的条件；知识点2、分式的基本性质重点：正确理解分式的基本性质.难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=MB M A ⨯⨯，AB=M B M A ÷÷.(其中M 是不等于零的整式)分式中的A ，B ，M 三个字母都表示整式，其中B 必须含有字母，除A 可等于零外，B ，M 都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．求几个分式的最简公分母的步骤：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。
这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。
易错易混点分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。
(寒假班内部讲义)第十六章----分式(后面为提高部分)
第十六章分式第一部分：知识点及重难点一、学习目标1、切实掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分。
2、能准确、顺畅地进行分式的乘除、加减以及混合运算。
3、会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算。
4、明确分式方程的步骤，并能列出可化为一元一次方程的分式方程解简单的应用题。
二知识结构网络三重点难点1、分式重点：（1）正确理解分式的概念，分式的值为零和分式有无意义的条件：分式是两整式相除的商式，分数线有除号和括号的作用，比如表示；分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区分一个代数式是整式还是分式的依据，分式的分母不能为0，如分式中是该分式的一个隐含条件当时分式无意义。
（2）准确理解分式的基本性质：要特别注意分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，其值不变。
例如由分式一定可以变形为但由分式就不一定变形为，这是因为分式的分母，一定有而a是分子，有可能等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
如果一个分式的分子或分母没有公因式，则该分式叫做最简分式。
（4）分式的通分：把几个异分母的分式化为与原来相等的同分母的分式的过程称为分式的通分。
分式通分的关键是确定几个分式的最简公分母，找最简公分母要注意以下几点：①各分母所有因式的最高次幂指凡出现的字母或含字母的式子为底数的幂的因式选取指数最大②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。
难点：正确理解分式的概念，在分式的分子与分母同时乘以或除以整式A时，应首先判断A是否为0，分子、分母中的系数都是分数（或小数）时，要把分式化简，都是分数时，应把分子、分母都乘以分子、分母中各系数分母的最小公倍数如，分子、分母中的系数都是小数时，应把分子、分母都乘以可使系数互质的整数。
如2、分式的乘除法重点：分式的乘除运算，其中约分是关键。
分式和分式方程知识点总结材料及练习
分式和分式方程知识点总结一、分式的基本概念 1、分式的定义 一般地，我们把形如BA的代数式叫做分式，其中 A ，B 都是整式，且B 含有字母。
A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。
分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商。
2.分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。
MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。
其中，M 是不等于0的整式。
3.分式的约分把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
4.最简分式分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。
利用分式的基本性质可以对分式进行化简 二、分式的运算 1、分式的乘除 分式的乘法法则分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
DB C A D C B A ∙∙=∙ 分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。
C BD A C D B A D C B A ∙∙=∙=÷2、分式的加减同分母的分式加减法法则同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。
BC A B C B A ±=± 异分母的分式加减法法则异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再加（减）。
分式的通分把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。
几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 分式的混合运算分式的混合运算，与数的混合运算类似。
先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。
三、分式方程 1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的解使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。
3、解分式方程的步骤1.通过去分母将分式方程转化为整式方程，2.解整式方程3.将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验。
沪教版七年级数学上-分式 讲义+练习
分式知识点1 分式的概念 一般的，形如ba（a 、b 是整式，且b 中含有字母，b ≠0）的式子叫做分式，其中a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母。
（注意：分式的分母不能为零，其主要特征是分式的分母必须含有字母，而分子中含不含字母都可以） 知识点2 分式有意义和分式值为零的条件1、对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零，分式的分母表示除数，由于除数不能为零，所以分式的分母不能为零，即当b o 时，分式B A 才有意义；当b=0时，分式BA无意义。
2、由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要想分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零。
1、要有转化思想，新旧知识之间的转化，分式方程与整式方程的转化，分式的基本性质，分式的约分通分和小学学过的分数的基本性质，在实际学习的过程中注意体会这种转化思想、类比思想的应用。
2、在学习分式知识的过程中，注意题中的隐含条件，分式的值为零和有意义的条件。
3、“分式的值为零”和“分式无意义”有什么区别和联系？分子为零是分式的值为零的第一个条件，而分母不为零是分式的值为零的第二个条件。
也就是说，只有在分式有意义的条件下，才谈的上分式的值为零。
而当分式的分母为零时，“分式无意义”。
如果认为“分式的值为零，就是分式没有意义”或者“只要分子的值是零，分式的值就是零”，都是错误的。
师傅和徒弟要加工200个机器零件，如果师傅每小时可以加工a 个零件，而徒弟每小时比师傅少加工10个，那么由徒弟自己加工这200个零件需要几个小时呢？不难发现，徒弟1小时加工的零件个数是（a-10）个，那么加工200个零件所用时间为200÷（a-10）小时，即10200-a ，这个代数式表示什么？它有什么样的性质呢？这就是我们接下来将要学习的分式的内容。
1、判断下列各式，哪些是分式？哪些是整式？ （1）a 4 （2）152- （3）a 32-b 51 （4）y 3（5）2+x y （6）21-x （7）ba 2、对于分式42+x x 、24x x -、42+x x 、42-x x 、x x 24（1）当x 取什么值时，以上各分式无意义？（2）当x 取什么值时，以上各分式有意义？（3）当x 取什么值时，以上各分式的值为0？3、已知一箱苹果售价a 元，箱子与苹果总重量为m 千克，箱子重量为n 千克。
分式的知识点及重点题型讲解
第一章分式期末复习-%分式的定义:二、分式有，无意义，总有意义:2、写出下列分式有意义的条件： yj2x + 3 + --------X+13、写出下列分式没有有意义的条件:如果分式的值是整数，那么分母必为分子的约数.若分式的分子.分母都含有字母，则 用“分离常数法” o10、如果加为整数，那么使分式仝二的值为整数的加的值有（）m +11、下列式子中，丄一、8a 3b.x+y23止、41、2二、12x - y 4a m5xy 11T 7' 23xy3x+ y〃+丄中分式的个数为m(A)2 (B)3(C)4(D)(1)(1)2x + l2-xx — 2 (x + l)(x_3)4、无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）x 2 +1 2x + \ x 3 +1三、分式的值为零，大于零，小于零：1一2"5、当x _______ 时，分式丄上：的值大于o ：6.当xa + \7、如果分式也匕的值为为零，则a 的值为（）D. T -1时，分式一的值为0：A. ±2B.2C. -2D.以上全不对v 2-x8、能使分式十一的值为零的所有兀的值是（）x 2-l9、若刍+ 1=0,则&是（A.正数B.负数四、分式的值为整数： ）C.零D •任意有理数x-5(A) 2 个 (B) 3 个 (C) 4 个 (D) 5 个土農口中正确的是（ _ x _ y x+ y19、约分：_4x?y _6xy 2)A 、1 个 B 、2 个 3-x _• , —C 、3个 D. 4个()_ 1 ■ .3xy 2 xyIK 若x 取整数.则使分式竺二2的值为整数的x 值有（）2—1A. 3个B ・4个C. 6个D. 8个五. 分式的基本性质的应用：13. 如果把分式匕越中的&和b 都扩大10倍，那么分式的值（）a + bA 、扩大10倍B 、缩小10倍C 、是原来的20倍D 、不变 14.若y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）aaCa +b a _b16、不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数为整数, 17、不改变分式的值，使分子、分母最高次项系数为正数,六、分式的约分及最简分式：① 约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ② 分式约分的依据：分式的基本性质.③ 分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式. ④ 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式） 约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。
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分式知识点总结和题型归纳
（一）分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义:
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子
B
A
叫做分式，A 为分子，B 为分母。
【例1】下列代数式中：y x y
x y x y x b
a b a y x x -++-+--1
,
,,21,22π，是分式的有：
.
题型二：考查分式有意义的条件
分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义
（1）
44+-x x （2）232+x x （3）1
2
2-x （4）
3||6--x x
（5）x
x 11-
题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨
⎧≠=0
B A ）
【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0.
（1）3
1
+-x x
（2）4
2||2--x x （3）6
53222----x x x x
【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零：
（1）4
|1|5+--x x
（2）
5
6252
2+--x x x
题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0
B A ）
（1）当x 为何值时，分式x
-84
为正；
（2）当x 为何值时，分式2
)1(35-+-x x 为负；
（2）当x 为何值时，分式32
+-x x 为非负数.
题型五：考查分式的值为1，-1的条件
分式值为1：分子分母值相等（A=B ） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若
2
2
||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为
（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：
M
B M
A M
B M A B A ÷÷=
⨯⨯= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
（1）y x y
x 4
1313221+- （2）
b
a b
a +-04.003.02.0
题型二：分数的系数变号
【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1）y x y
x --+- （2）b a a --- （3）b a ---
题型三：化简求值题
【例1】 已知：511=+y x ，求y xy x y
xy x +++-2232的值
【例2】 已知：21=-x x ，求2
21
x x +的值.
【例3】 若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y
x 241
-的值.
【例4】 已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.
【例5】 若0106222=+-++b b a a ，求b
a b
a 532+-的值.
1、已知0,
234x y z
==≠求代数式2x y z x y z +-++的值
（三）分式的运算
① 分式的乘除法法则：
乘法分式式子表示为：
d b c a d c b a ••=• 除法分式式子表示为：c
c ••=•=÷b
d a d b a d c b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子表示为：n n n
b a b a =⎪⎭
⎫
⎝⎛
③ 分式的加减法则：
c b a c b ±=±c a 异分母分式加减法：式子表示为：bd
bc
ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
题型一：通分
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 【例1】将下列各式分别通分.
（1）c
b a
c a b ab c 225,
3,2--； （2）a b b b a a 22,--；
（3）
2
2
,
21,
1
222--+--x x x x x
x x ； （4）a
a -+21
,
2
题型二：约分
①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
【例2】约分：
（1）3
22016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6
2
22---+x x x x .
题型三：分式的混合运算
【例3】计算：（1）4
2232)()()(a
bc ab c c b a ÷-⋅-；
（2）2
2233)()()3(x
y x y y x y x a +-÷-⋅+；
（3）m
n m
n m n m n n m ---+-+22；
（4）11
2
---a a a ；
（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （7）)12()2
1444(222+-⋅--+--x x
x x x x x
题型四：化简求值题【例4】先化简后求值
（1）已知：1-=x ，求分子)]1
21()144[(4
8
122x x x x -÷-+--的值；
（2）已知：432z y x ==，求22232z
y x xz
yz xy ++-+的值；
（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1
(22a a a a --
的值.
题型五：求待定字母的值
【例5】若1
11312-+
+=--x N
x M x x ，试求N M ,的值.
分式方程
分式方程的解的步骤：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
（一）分式方程题型分析
题型一：用常规方法解分式方程 【例1】解下列分式方程
（1）x x 311=-； （2）0132=--x x ； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535
题型二：特殊方法解分式方程 【例2】解下列方程
4441=+++x x x x ；提示：换元法，设y x x =+1
；
题型三：求待定字母的值 【例3】若关于x 的分式方程
3
132--=-x m
x 有增根，求m 的值.
【例4】若分式方程
12
2-=-+x a
x 的解是正数，求a 的取值范围.
题型四：解含有字母系数的方程 【例5】解关于x 的方程
)0(≠+=--d c d
c
x b a x
题型五：列分式方程解应用题
1、某服装厂准备加工400套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？
2、某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打6折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。
（1） 求该种纪念4月份的销售价格？
（2） 若4月份销售这种纪念品获得800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？ 3、“丰收1号”小麦的试验田是边长为a （m ）的正方形减去一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1)m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg （1）哪种小麦的单位面积产量高?
(2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
（二）分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例1．解方程：
2
31+=x x
二、化归法 例2．解方程：
01
2112=---x x
三、左边通分法 例3：解方程：871
78=----x
x x。