水力学吴持恭第四版课件2 水静力学
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则：位于测压管中的水位高 度将低于容器内液面高度。 P0
Pa
即 hA<h 那么，真空高度为：
hB hA
pA = p0 h = pa hA
O
Δx
Δy
y
x
1 p Δx Δy z 2
从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡 7
z
ΔPx＝ 后侧面压力
1 p Δy Δz x 2 pn ΔAn O Δx Δy
ΔPy＝ 左侧面压力
1 p Δx Δz y 2
Δz
ΔPn＝ 斜面压力
y
x
1 p Δx Δy z 2
ΔPz＝ 底面压力
8
第二章 水静力学
z
DPx DPn cos(n, x ) Fx = 0 DPy DPn cos(n, y ) Fy = 0 DPz DPn cos(n, z ) Fz = 0
Δz Δy
第一式中 Pn cos( n , x ) = p n DA cos( n , x )
的压强为相对压强。用P表示。也叫计算压强 或称表压，用公式表示：
p = pabs pa = p0 h pa 如果自由表面压强 p0 与当地大气压强 pa 相等
则
p = h
也称静水超压强或重量压强
第二章 水静力学 绝对压强永远为正值，最小值为零。 相对压强可正可负，当Pabs<Pa时，相对压强P<0,工 程上把负的相对压强叫做“真空” 几种压强的关系可表示为： P Pa Pa 0 Pabs Pabs
h1
h2
p2 = h2
例4
和
A
2
作用于平面AC
1
h2
h1
先做 DB = p1 = 1h1 再做
D
B
C
EC = 1h1 2 h2 h1
2
E
则ADEC即为所求压强分 布图
2 h2 h1 1h1
第二章 水静力学
例5
右图为一弧形闸门 各点的压强只能逐点计算 h
DP p= 平均压强 DA
单位：N/m2 （Pa）
DP p = lim DA 0 DA
二、静水压强的特性
点压强
第一特性：静水压强垂直于作用面，并指 向作用面。
第二章 水静力学
证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体
Ⅰ A τ N P
P
N
B
Ⅱ Pn
Байду номын сангаас
静水压强的方向与作用面的内法线方向重合， 静水压强是一种 压应力
p p 1 1 y = 0 Z z = 0
依次乘以dx,dy,dz后相加得： p p 1 p ( dx dy dz ) = Xdx Ydy Zdz x y z p p p 因为 ( dx dy dz ) 是P(x,y,z)的全微分 x y z 改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程 dp = ( Xdx Ydy Zdz) 就是说，静水压强的的分布规律完全是由单位
相对压强
相对压强的负值 （真空） 绝对压强
Pa
Pabs>Pa
Pabs<Pa
0
第二章 水静力学 2、压强的单位 ⑴、应力表示。如：牛顿/米2 （N/m2)； 千牛顿/米2 (KN/m2);等。 ⑵、工程大气压表示。 如： 一个工程大气压=98 KN/m2=9.8 N/cm2 =9.8×104Pa ⑶、用液柱高度表示。
满足上式的函数U（x,y,z)称为力函数或力的势 函数，具有这种势函数的质量力称为有势的力。 由此可见： 液体只在有势的质量力作用下才能平衡
第二章 水静力学 等压面：液体中各点压强相等的面。 在等压面上p=常数，即dp=ρdU=0，而ρ≠0故dU=0 即U=常数，等压面即等势面。 等压面的重要特性：等压面恒与质量力正交。证明之 在等压面上
第二章 水静力学
第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的 方位无关。
pc pc pc
h
c
c
图 静水压强方向示意
p1
p2
A
p1 = p2
证 明 如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可 任一点静水压强大小与受压面方向无关 pz ? py px
z
Δz 1 p Δx Δz y 2
1 p Δy Δz x 2 pn ΔAn
p
=c
0
Z
P
0
即为重力作用下的水静力学基本方程式 Y 上式表明： p 在静止液体中，任何一点的（ z ）总
X
是一个常数，对液体内任意两点，上式可写成：
z1
代入得： c
p1
= z2
p2
在液体自由表面上， z
= p0
= 0, p = p0
因此：公式
p = z c
可写成：
p = p0 z
第二章 水静力学
第二章 水静力学
§2-1静水压强及其特性 §2-2液体的平衡微分方程 §2-3重力作用下静水压强的分布规律 §2-4测量压强的仪器 §2-5重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡 §2-6作用在平面壁上的静水总压力 §2-7作用在曲面壁上的静水总压力
§2-1 静水压强及其特性
一、压强的定义： 单位面积上所受的压力 公式
，且沿半径方向指向圆弧
的圆心。
注：
以上讨论的是P>0的例子 对于P<0的情况，可同样绘制。 只是要把静水压强的箭头倒转过来即可，并且 负的静水压强上大下小，也可以把相对压强改 成绝对压强再按上述方法绘制
第二章 水静力学
Pa
四、测压管高度，测压 管水头及真空度
一个密闭容器，P0>Pa
则：在水力学中，hA高度
与从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量之和。 应用上式，便可以求出静止液体中任一点的静水压强
第二章 水静力学
二、压强的表示方法和单位
1、压强的表示方法： ⑴绝对压强：数值是以“完全真空”为零（基 准）算起的。用Pabs表示。 也称为静水全压强 ⑵相对压强：在实际工作中，一般建筑物表面
均作用着大气压强，这种以当地大气压强为零算起
质量力决定的。
第二章 水静力学
由于密度 可视为常数，式子 （Xdx Ydy Zdz )
也是函数U（x,y,z)的全微分即：
dU = Xdx Ydy Zdz
则函数U（x,y,z)的全微分为：
dU = U U U dx dy dz x y z
由此得：
X=
U U U ,Y = ,Z = x y z
第二章 水静力学 对于液体中各点来说，一般用各点在液面以下的深 度 h 代替
z , 因此将 h = z 代入上式得：
p = p0 h
静水全压强
上式即为水静力学基本方程式的另一种形式 它说明： 1、在静止的液体中，压强随深度线性规律变化 2、静止液体中任一点的压强
p 等于表面压强 p0
M
dz
A(x,y,z) N
O Y
dx
dy
泰勒级数展开式为：
X
p 1 1 pM = p x dx, y, z = px, y, z dx x 2 2 1 p 1 1 p 1 dx dx 2 n 2 x 2 n! x 2
即为测压管高度。 这种测量压强的管子叫测压管。 在容器内有 p A = p0 h
P0
hA
h
A
pA = pa hA 因此 p0 h = pa hA p A pa p hA = =
在右管中有
ZA
所以：测压管高度hA表示A点的的相对压强（计算压强）
第二章 水静力学 若 P0<Pa
Z
M
dz
A(x,y,z) N
O Y
dx
dy
X
上式为液体平衡微分方程。 它表明：液体处于平衡状态时，对于单位质量液 体来说，质量力分量（X，Y，Z）和表面力的分 p 1 p 1 p 1 （ x y z ） 是对应相等的。 量 又称欧拉平衡微分方程
第二章 水静力学
p 1 将X x = 0 Y
p0 附加上即可。
第二章 水静力学
pa
D A
例1
ABC 即为相对压强 分布图 ABED 即为绝对压 强分布图 h
E C
B
pa
h
A
例2
叠加后余下的红色 梯形区域即为静水 压强分布图 h1
h2
B
h1 h2
第二章 水静力学
例3
为一折面的静 水压强分布图
为两种 1
的液体
p1 = h1 p1 = h1
2 n 2 n
运用泰勒级数将p(x,y,z)展开，并忽略二阶以上 微量
第二章 水静力学
则：M点压强为：
Z
M
p
M
O N点压强为： Y dx p 1 p pN = P 2 x = p + 2 x dx 六面体左右两面的表面力为：
dx p 1 p = P ( )= p dx 2 x 2 x
液体处于平衡状态时，作用于液体上
的各种力及其坐标间的微分关系
第二章 水静力学 Z
A(x,y,z) M dz N dy O dx
X
Y 在平衡液体中，取一块平行六面微元体
（其他形状也可，但六面体方便）
第二章 水静力学 Z
A点的压强为一函数p（x,y,z)
M点的压强？ 坐标 M ( x 1 dx , y, z ) 2
px = pn
和
同理，我们可以推出：
py = pn
pz = pn
第二章 水静力学
这样我们可以得到：
Z
D Px A
上式表明任一点的静水压强 p是 各向等值的，与作用面的方位无 关。第二特性得到证明
px = py = pz = pn
Pn Py C X
O B Y
Pz
第二章 水静力学
§2-2 液体的平衡微分方程及 其积分
1 p 1 p dx)dydz X dxdydz = 0 (p dx)dydz ( p 2 x 2 x
整理得：
同理，在x,y方向上可得：
p 1 X =0 x
第二章 水静力学
p 1 =0 X x p 1 Y y = 0 p 1 Z z = 0
1 p = n Dy Dz 2
x
n
y
O Δx
式中，(n, x ), (n, y ), (n: , z )斜面法线与三个坐标方向的夹角 10
第二章 水静力学
Z
D
代入第一式 Px Pn cos(n, x)
Px A
Pn Py
C X
F
x
= 0 则： O B Pz
1 1 1 Y Dy Dz p x Dy Dz pn Dx Dy Dz X = 0 2 2 6 1 整理后,有 p x pn DxX = 0 3 当四面体无限缩小到A点时，Dx 0 因此：
p = h
何一种容重为
可写成 h =
p
对于任一点的静水压强
p 可以用上式化为对任
的液柱高度。
如：水柱、汞柱等
第二章 水静力学
三、静水压强的图示
1、方法 由 pabs = p0 h 压强与水深成线性关系。 因而，在任一平面的作用面上，其压强分布为一
直线。只要算出作用面最上和最下两个点的压强后 ，即可定出整个压强的分布线。 2、原则 ⑴、每一点处的压强垂直于该点处的作用面。 ⑵、静水压强的大小随着距自由面的深度而增加 另外：对实际工程有用的是相对压强的图示。如欲 绘制绝对压强分布图，则将常量
dp = ( Xdx Ydy Zdz) = 0 Xdx Ydy Zdz = 0
式中dx、dy、dz可设想为液体质点在等压面上的任 意微小位移 ds在相应坐标轴上的投影。 质量力作的微功为零，而质量力和ds都不为零， 所以等压面与质量力必然正交。
第二章 水静力学
一、水静力学基本方程
四面体的体积D V为
D V= 6 Dx Dy Dz 1
Z
D
Px A
Pn Py
C
X
O B
Y
Pz
总质量力在三个坐标方向的投影为 1 Fx = 6 Dx Dy Dz X 1 Fy = 6 Dx Dy Dz Y 1 = Fz 6 Dx Dy Dz Z
考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则
§2-3重力作用下静水压强的 分布规律 Z P
0
重力在坐标轴上的投影分别为： X=0、Y=0、Z= -g 代入液体平衡方程
0 X Y
dp = Xdx Ydy Zdz
得
dp = gdz = dz
积分得：
p = z c
或
z
p
=c
第二章 水静力学
p = z c z
dz
A(x,y,z) N
dx
dy
X
1 (p 2 1 (p 2
p dx) dydz x p dx)dydz x
第二章 水静力学
Z
M
另外作用在微小六面体上的质 量力在X轴向的分量为：
dz
A(x,y,z) N
X dxdydz
O Y
dx
dy
X
根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为 零，即：
Pa
即 hA<h 那么，真空高度为：
hB hA
pA = p0 h = pa hA
O
Δx
Δy
y
x
1 p Δx Δy z 2
从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡 7
z
ΔPx＝ 后侧面压力
1 p Δy Δz x 2 pn ΔAn O Δx Δy
ΔPy＝ 左侧面压力
1 p Δx Δz y 2
Δz
ΔPn＝ 斜面压力
y
x
1 p Δx Δy z 2
ΔPz＝ 底面压力
8
第二章 水静力学
z
DPx DPn cos(n, x ) Fx = 0 DPy DPn cos(n, y ) Fy = 0 DPz DPn cos(n, z ) Fz = 0
Δz Δy
第一式中 Pn cos( n , x ) = p n DA cos( n , x )
的压强为相对压强。用P表示。也叫计算压强 或称表压，用公式表示：
p = pabs pa = p0 h pa 如果自由表面压强 p0 与当地大气压强 pa 相等
则
p = h
也称静水超压强或重量压强
第二章 水静力学 绝对压强永远为正值，最小值为零。 相对压强可正可负，当Pabs<Pa时，相对压强P<0,工 程上把负的相对压强叫做“真空” 几种压强的关系可表示为： P Pa Pa 0 Pabs Pabs
h1
h2
p2 = h2
例4
和
A
2
作用于平面AC
1
h2
h1
先做 DB = p1 = 1h1 再做
D
B
C
EC = 1h1 2 h2 h1
2
E
则ADEC即为所求压强分 布图
2 h2 h1 1h1
第二章 水静力学
例5
右图为一弧形闸门 各点的压强只能逐点计算 h
DP p= 平均压强 DA
单位：N/m2 （Pa）
DP p = lim DA 0 DA
二、静水压强的特性
点压强
第一特性：静水压强垂直于作用面，并指 向作用面。
第二章 水静力学
证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体
Ⅰ A τ N P
P
N
B
Ⅱ Pn
Байду номын сангаас
静水压强的方向与作用面的内法线方向重合， 静水压强是一种 压应力
p p 1 1 y = 0 Z z = 0
依次乘以dx,dy,dz后相加得： p p 1 p ( dx dy dz ) = Xdx Ydy Zdz x y z p p p 因为 ( dx dy dz ) 是P(x,y,z)的全微分 x y z 改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程 dp = ( Xdx Ydy Zdz) 就是说，静水压强的的分布规律完全是由单位
相对压强
相对压强的负值 （真空） 绝对压强
Pa
Pabs>Pa
Pabs<Pa
0
第二章 水静力学 2、压强的单位 ⑴、应力表示。如：牛顿/米2 （N/m2)； 千牛顿/米2 (KN/m2);等。 ⑵、工程大气压表示。 如： 一个工程大气压=98 KN/m2=9.8 N/cm2 =9.8×104Pa ⑶、用液柱高度表示。
满足上式的函数U（x,y,z)称为力函数或力的势 函数，具有这种势函数的质量力称为有势的力。 由此可见： 液体只在有势的质量力作用下才能平衡
第二章 水静力学 等压面：液体中各点压强相等的面。 在等压面上p=常数，即dp=ρdU=0，而ρ≠0故dU=0 即U=常数，等压面即等势面。 等压面的重要特性：等压面恒与质量力正交。证明之 在等压面上
第二章 水静力学
第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的 方位无关。
pc pc pc
h
c
c
图 静水压强方向示意
p1
p2
A
p1 = p2
证 明 如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可 任一点静水压强大小与受压面方向无关 pz ? py px
z
Δz 1 p Δx Δz y 2
1 p Δy Δz x 2 pn ΔAn
p
=c
0
Z
P
0
即为重力作用下的水静力学基本方程式 Y 上式表明： p 在静止液体中，任何一点的（ z ）总
X
是一个常数，对液体内任意两点，上式可写成：
z1
代入得： c
p1
= z2
p2
在液体自由表面上， z
= p0
= 0, p = p0
因此：公式
p = z c
可写成：
p = p0 z
第二章 水静力学
第二章 水静力学
§2-1静水压强及其特性 §2-2液体的平衡微分方程 §2-3重力作用下静水压强的分布规律 §2-4测量压强的仪器 §2-5重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡 §2-6作用在平面壁上的静水总压力 §2-7作用在曲面壁上的静水总压力
§2-1 静水压强及其特性
一、压强的定义： 单位面积上所受的压力 公式
，且沿半径方向指向圆弧
的圆心。
注：
以上讨论的是P>0的例子 对于P<0的情况，可同样绘制。 只是要把静水压强的箭头倒转过来即可，并且 负的静水压强上大下小，也可以把相对压强改 成绝对压强再按上述方法绘制
第二章 水静力学
Pa
四、测压管高度，测压 管水头及真空度
一个密闭容器，P0>Pa
则：在水力学中，hA高度
与从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量之和。 应用上式，便可以求出静止液体中任一点的静水压强
第二章 水静力学
二、压强的表示方法和单位
1、压强的表示方法： ⑴绝对压强：数值是以“完全真空”为零（基 准）算起的。用Pabs表示。 也称为静水全压强 ⑵相对压强：在实际工作中，一般建筑物表面
均作用着大气压强，这种以当地大气压强为零算起
质量力决定的。
第二章 水静力学
由于密度 可视为常数，式子 （Xdx Ydy Zdz )
也是函数U（x,y,z)的全微分即：
dU = Xdx Ydy Zdz
则函数U（x,y,z)的全微分为：
dU = U U U dx dy dz x y z
由此得：
X=
U U U ,Y = ,Z = x y z
第二章 水静力学 对于液体中各点来说，一般用各点在液面以下的深 度 h 代替
z , 因此将 h = z 代入上式得：
p = p0 h
静水全压强
上式即为水静力学基本方程式的另一种形式 它说明： 1、在静止的液体中，压强随深度线性规律变化 2、静止液体中任一点的压强
p 等于表面压强 p0
M
dz
A(x,y,z) N
O Y
dx
dy
泰勒级数展开式为：
X
p 1 1 pM = p x dx, y, z = px, y, z dx x 2 2 1 p 1 1 p 1 dx dx 2 n 2 x 2 n! x 2
即为测压管高度。 这种测量压强的管子叫测压管。 在容器内有 p A = p0 h
P0
hA
h
A
pA = pa hA 因此 p0 h = pa hA p A pa p hA = =
在右管中有
ZA
所以：测压管高度hA表示A点的的相对压强（计算压强）
第二章 水静力学 若 P0<Pa
Z
M
dz
A(x,y,z) N
O Y
dx
dy
X
上式为液体平衡微分方程。 它表明：液体处于平衡状态时，对于单位质量液 体来说，质量力分量（X，Y，Z）和表面力的分 p 1 p 1 p 1 （ x y z ） 是对应相等的。 量 又称欧拉平衡微分方程
第二章 水静力学
p 1 将X x = 0 Y
p0 附加上即可。
第二章 水静力学
pa
D A
例1
ABC 即为相对压强 分布图 ABED 即为绝对压 强分布图 h
E C
B
pa
h
A
例2
叠加后余下的红色 梯形区域即为静水 压强分布图 h1
h2
B
h1 h2
第二章 水静力学
例3
为一折面的静 水压强分布图
为两种 1
的液体
p1 = h1 p1 = h1
2 n 2 n
运用泰勒级数将p(x,y,z)展开，并忽略二阶以上 微量
第二章 水静力学
则：M点压强为：
Z
M
p
M
O N点压强为： Y dx p 1 p pN = P 2 x = p + 2 x dx 六面体左右两面的表面力为：
dx p 1 p = P ( )= p dx 2 x 2 x
液体处于平衡状态时，作用于液体上
的各种力及其坐标间的微分关系
第二章 水静力学 Z
A(x,y,z) M dz N dy O dx
X
Y 在平衡液体中，取一块平行六面微元体
（其他形状也可，但六面体方便）
第二章 水静力学 Z
A点的压强为一函数p（x,y,z)
M点的压强？ 坐标 M ( x 1 dx , y, z ) 2
px = pn
和
同理，我们可以推出：
py = pn
pz = pn
第二章 水静力学
这样我们可以得到：
Z
D Px A
上式表明任一点的静水压强 p是 各向等值的，与作用面的方位无 关。第二特性得到证明
px = py = pz = pn
Pn Py C X
O B Y
Pz
第二章 水静力学
§2-2 液体的平衡微分方程及 其积分
1 p 1 p dx)dydz X dxdydz = 0 (p dx)dydz ( p 2 x 2 x
整理得：
同理，在x,y方向上可得：
p 1 X =0 x
第二章 水静力学
p 1 =0 X x p 1 Y y = 0 p 1 Z z = 0
1 p = n Dy Dz 2
x
n
y
O Δx
式中，(n, x ), (n, y ), (n: , z )斜面法线与三个坐标方向的夹角 10
第二章 水静力学
Z
D
代入第一式 Px Pn cos(n, x)
Px A
Pn Py
C X
F
x
= 0 则： O B Pz
1 1 1 Y Dy Dz p x Dy Dz pn Dx Dy Dz X = 0 2 2 6 1 整理后,有 p x pn DxX = 0 3 当四面体无限缩小到A点时，Dx 0 因此：
p = h
何一种容重为
可写成 h =
p
对于任一点的静水压强
p 可以用上式化为对任
的液柱高度。
如：水柱、汞柱等
第二章 水静力学
三、静水压强的图示
1、方法 由 pabs = p0 h 压强与水深成线性关系。 因而，在任一平面的作用面上，其压强分布为一
直线。只要算出作用面最上和最下两个点的压强后 ，即可定出整个压强的分布线。 2、原则 ⑴、每一点处的压强垂直于该点处的作用面。 ⑵、静水压强的大小随着距自由面的深度而增加 另外：对实际工程有用的是相对压强的图示。如欲 绘制绝对压强分布图，则将常量
dp = ( Xdx Ydy Zdz) = 0 Xdx Ydy Zdz = 0
式中dx、dy、dz可设想为液体质点在等压面上的任 意微小位移 ds在相应坐标轴上的投影。 质量力作的微功为零，而质量力和ds都不为零， 所以等压面与质量力必然正交。
第二章 水静力学
一、水静力学基本方程
四面体的体积D V为
D V= 6 Dx Dy Dz 1
Z
D
Px A
Pn Py
C
X
O B
Y
Pz
总质量力在三个坐标方向的投影为 1 Fx = 6 Dx Dy Dz X 1 Fy = 6 Dx Dy Dz Y 1 = Fz 6 Dx Dy Dz Z
考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则
§2-3重力作用下静水压强的 分布规律 Z P
0
重力在坐标轴上的投影分别为： X=0、Y=0、Z= -g 代入液体平衡方程
0 X Y
dp = Xdx Ydy Zdz
得
dp = gdz = dz
积分得：
p = z c
或
z
p
=c
第二章 水静力学
p = z c z
dz
A(x,y,z) N
dx
dy
X
1 (p 2 1 (p 2
p dx) dydz x p dx)dydz x
第二章 水静力学
Z
M
另外作用在微小六面体上的质 量力在X轴向的分量为：
dz
A(x,y,z) N
X dxdydz
O Y
dx
dy
X
根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为 零，即：