2016上海交通大学期末 高数试卷(A类)
上海交大高等数学高数(上)期末试卷分析与解答
(C) f ( x) 在点 x0 取极大值；
(D) f ( x) 在点 x0 某邻域单调增加。
【分析】典型题型 表面上条件稍复杂，但容易先推出二阶导数的
情况，从而得到结论
【解】由 f ′′′( x0 ) = 0 , f (4)( x0 ) > 0 导出 f ′′( x) 在 x0 取得最小值，在
x0 的邻域 f ′′( x) ≥ 0 ⇒ f ′( x) 单调增加，在 x0 左负右正，从而 f ( x) 在 x0 取极小值，故选 A。
【解】对变上限积分求导前，需要把积分号内的 x 移到积分号外
或者变换到积分限
f (x) = xli→m0 α xβ
xl= i→m0 x∫ 0sinαx sxinβ(t 2 )dt
lim
x→0
∫
sin x sin(t 2
0
α xβ −1
)dt
sin(sin2 x)cos x
x2
= xli→m= 0 α (β − 1)xβ −2 xl= i→m0 α (β − 1)xβ −2 1
(B) I1 < I3 < I2 ；
(C) I2 < I1 < I3 ；
(D) I3 < I1 < I2 。
【分析】基本题型 虽然几个积分形式似乎不是很简单，当利用
对称性后就十分容易比较了
π
π
【解】= I1 = 0 ， I2 ∫−2π cos4 x dx > 0 ， I3 = −∫−2π cos4 xdx < 0 ，
【分析】基本题型 利用乘法求导法则，注意其中的多项式是含有 因子 x，解此题的方法很多 【解】改= 写 f ( x) x[e2012x ( x + 1)( x + 2) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012)] ，于是 = f ′(0) [e2012x ( x + 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012) + x[= **]′ |x=0 2012!
上海交通大学历年概率统计试卷
上海交通大学概率论与数理统计试卷 2004-01姓名: 班级: 学号: 得分: 一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(a) r n r r n p p C ----)1(11； (b) r n rr n p p C --)1(； (c) 1111)1(+-----r n r r n p pC ； (d) r n r p p --)1(. 2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P . (ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ； (ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) ； (ｄ)5. 设),,,(21n X X X Λ为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ))(~/21n t nX -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-； (ｃ))1,0(~/21N nX -； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=-. 二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为7. 设X 的分布律为X 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是；一次品被误认为是合格品的概率是．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X Λ为总体X 的一个样本.求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: ， ， ， ， .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）22 ； 2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； ； 4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(x y x x x y f X Y ；5. ),1(m F6. 上限为 .7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分)2. ⎩⎨⎧>=-其他0)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f yY μμ (1分)0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21 (2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1Λ=i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i iXY ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分)6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X ---+--=-ΛΛ)1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze n n z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||σπnn kn122-=σ令=5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外，故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)[22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]检验用的统计量 )1(~)(2202512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为 488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内， [711.0086.06241.0/0538.020<==χ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 (7分) 由题设知X 0 1 Y X + 0 1 2P p qP 2q pq 2 2p (2分))0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ；）分（2)1(2-=n n k πXYP+ZpqZ)1P；XY=P(,0)0=((2=)1=+==XPYP=+ZP；=XYZpq)0()1(=2)0,1+=(2==YP+ZX=YP；XZpqP=(2)1(=)1)1=,1+=(2=YX=+ZPY=P；XZpqP()2(=)0)0=+=,2(2=X+ZPPYY=P.XZp(3=()2()1=)1=,2=+=X+与Z相互独立. (5分)所以Y一 是非题（请填写是或非。
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知 x=0 是 f\left( x \right) =\frac{x+b\ln\left( 1+x \right)}{ax-\sin x} 的可去间断点，则 a,b 的取值范围是（）解：2. 下列反常积分中，收敛的是（）解：3. 设函数 f(x) 在区间 [-a,a] 上二阶可导，且 f\left( x \right) >0,f'\left( x \right) >0,f''\left( x \right) <0 ，下列函数中，在区间 [-a,a] 上恒正、单调递减且为下凸函数的是（）解：4. 积分 \int_0^{\pi}{|\sin \left( 4x+1 \right)|\mathrm{d}x}= （）解：5. 设函数 f(x) 在 R 上连续， g\left( x \right)=\int_0^{x^2}{\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t} .对于两个命题：①若 f(x) 为偶函数，则 F\left( x \right)=\int_0^x{f\left( t \right) g\left( t \right)\mathrm{d}t} 为奇函数；②若 f(x) 为单调递增函数，则 G\left( x \right)=\int_0^x{\left( f\left( x \right) -f\left( t \right) \right) g\left( t \right) \mathrm{d}t} 存在极小值.下列选项正确的是（）解：二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设 f\left( x \right) =x\mathrm{e}^x, 则曲线 y=f(x) 的拐点是_____________.解：7. 直线 L_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+3}{1} 和 L_2:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{-1} 的夹角为_____________.解：8. 设函数 f\left( x \right) =\mathrm{arctan} x ，常数a>0 ，若 f\left( a \right) -f\left( 0 \right)=f'\left( \xi \right) a\,\,, 则 \underset{a\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\xi ^2}{a^2}= _____________.解：9. 极坐标曲线 r=2cos3\theta 上对应于\theta=\frac{5}{6}\pi 的点处的切线方程为_____________.解：10. 一阶常微分方程 y'\left( x \right) =\frac{y}{x+y^2} 的通解为_____________.解：视为关于 x 的一阶线性微分方程，然后利用公式直接求解即可：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}+y\Rightarr ow x=y^2+Cy三、（本大题共8分）11. 设 y=y(x) 是由方程 y^3-2x\int_0^y{\sin^2t\mathrm{d}t=x+\pi ^3} 所确定的可导函数，求\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mid_{x=0}^{} .解：。
上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析
上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1.椭圆x^2/25 + y^2/6.25 = 1的长轴长为10.2.已知直线l的一个方向向量的坐标是(3.4.-5)，则直线l的倾斜角为53.13°。
3.已知二元一次方程组2x + 3y = 1.4x + ky = 2的增广矩阵是[2 3 1.4 k 2]，则此方程组的解是x = (2 - 3k)/(2k - 12)，y = (4 - 2x)/k。
4.行列式中-3的代数余子式的值为-1.5.已知△ABC的三个顶点分别为A(1.2)，B(4.1)，C(3.6)，则AC边上的中线BM所在直线的方程为x + 2y = 5.6.已知直线l1的方程为3x - y + 1 = 0，直线l2的方程为2x + y - 3 = 0，则两直线l1与l2的夹角是45°。
7.用数学归纳法证明“1 + 2 + … + n < n(n+1)/2（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是k+1.8.执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是12.9.若圆C的方程为x^2 + y^2 - 2ax - 1 = 0，且A(-1.2)，B(2.1)两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是(1.2)。
10.若x^2 + 2ax + 1 = 0，且存在y，使得y^2 + 2ay + 1 = 0，则实数a的取值范围是(-∞。
-1)∪(-1.0)∪(0.+∞)。
11.已知直线l1过点P(1.4)且与x轴交于A点，直线l2过点Q(3.-1)且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且PA = QB，则点M的轨迹方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 7 = 0.12.如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则∠APB的取值范围是(90°。
2016-2017学年上海市交大附中高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期末数学试卷一.填空题1．无限循环小数0.03⋅6⋅化成最简分数为 ． 2．函数y ＝2arccos √x −1的定义域是 ．3．若{a n }是等比数列，a 1＝8，a 4＝1，则a 2+a 4+a 6+a 8＝ ． 4．函数f （x ）＝tan x +cot x 的最小正周期为 ．5．已知a ，b ∈R 且lim n→∞(an 2+bn n+1−n)=3，则a 2+b 2＝ ．6．用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n −1＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n ＝k （k ＞1）不等式成立，推证n ＝k +1时，左边应增加的项数是 ．7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2√3，c ＝2，A ＝120°，S △ABC ＝ ．8．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．9．数列{a n }满足a 12+a 222+⋯+a n 2n=2n +5，n ∈N *，则a n ＝ ．10．设[x ]表示不超过x 的最大整数，则[sin1]+[sin2]+[sin3]+…+[sin10]＝ ． 11．已知25sin 2α+sin α﹣24＝0，α在第二象限内，则cos α2的值为 ．12．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B ．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是 ．13．数列{a n }满足：a n ={q n ，n =2k −1(0.5)n，n =2k ，k ∈N *，{a n }的前n 项和记为S n ，若lim n→∞S n ≤1，则实数q 的取值范围是 ．14．已知数列{a n }满足：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时若a 6＝1，则a 5＝ ，m 所有可能取值的集合为 ．二.选择题15．设a、b、c是三个实数，则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）局部图象如图所示，则函数y ＝f（x）的解析式为（）A．y=32sin(2x+π6)B．y=32sin(2x−π6)C．y=32sin(2x+π3)D．y=32sin(2x−π3)17．若数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n﹣2a n﹣1）＝0，下面给出关于数列{a n}的四个命题：①{a n}可以是等差数列；②{a n}可以是等比数列；③{a n}可以既是等差又是等比数列；④{a n}可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．若数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{a n}前12项值的数列为（）A．{a3k+1}B．{a4k+1}C．{a5k+1}D．{a6k+1}三.解答题19．已知函数f（x）＝﹣a cos2x−√3a sin2x+2a+b（a≠0），x∈[0，π2]，值域为[﹣5，1]，求常数a、b的值．20．在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了他们的工资标准：A公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资分别是多少；（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？21．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝1，BC＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC，点P在边AB上，设∠MOD＝θ；（1）若θ＝30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的三角形铁皮PMN面积的最大值．22．在xOy平面上有一点列P1（a1，b1）、P2（a2，b2）、…、P n（a n，b n）、…，对每个正整数n，点P n位于函数y=1000(a6)x（0＜a＜6）的图象上，且点P n、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以P n为顶角顶点的等腰三角形；（1）求点P n的纵坐标b n的表达式；（2）若对每个自然数n，以b n、b n+1、b n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设B n＝b1b2…b n（n∈N*），若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{B n}的最大项的项数是多少？试说明理由．23．设递增数列{a n}共有k项，定义集合A k＝{x|x＝a i+a j，1≤i＜j≤k}，将集合A k中的数按从小到大排列得到数列{b n}；（1）若数列{a n}共有4项，分别为a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝6，写出数列{b n}的各项的值；（2）设{a n}是公比为2的等比数列，且0.5＜a1＜2，若数列{b n}的所有项的和为4088，求a1和k的值；（3）若k＝5，求证：{a n}为等差数列的充要条件是数列{b n}恰有7项．2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期末数学试卷参考答案一.填空题1．无限循环小数0.03⋅6⋅化成最简分数为255．【分析】把问题转化为求是以361000为首项，以1100为公比的所有项的和，然后利用无穷递缩等比数列所有项和的求法求解．解：0.03⋅6⋅=0.036+0.00036+…，可看作是以361000为首项，以1100为公比的所有项的和，则无限循环小数0.03⋅6⋅化成最简分数为3610001−1100=36990=255．故答案为：255．2．函数y＝2arccos√x−1的定义域是[1，2]．【分析】函数y＝2arccos√x−1有意义，可得﹣1≤√x−1≤1且x﹣1≥0，解不等式即可得到所求定义域．解：函数y＝2arccos√x−1有意义，可得﹣1≤√x−1≤1且x﹣1≥0，即为x≤2且x≥1，解得1≤x≤2，则函数的定义域为[1，2]．故答案为：[1，2]．3．若{a n}是等比数列，a1＝8，a4＝1，则a2+a4+a6+a8＝8516．【分析】{a n}是等比数列，a1＝8，a4＝1，利用等比数列通项公式求出q=12，由此能求出a2+a4+a6+a8．解：{a n}是等比数列，a1＝8，a4＝1，∴a4=8q3=1，解得q=12，∴a 2+a 4+a 6+a 8=8×12+8×(12)3+8×(12)5+8×(12)7=8516．故答案为：8516．4．函数f （x ）＝tan x +cot x 的最小正周期为 π ．【分析】利用同角三角函数基本关系式化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可． 解：函数f （x ）＝tan x +cot x =sinx cosx +cosx sinx =2sin2x， 因为y ＝sin2x 的周期为：π．所以函数f （x ）＝tan x +cot x 的最小正周期为：π． 故答案为：π．5．已知a ，b ∈R 且lim n→∞(an 2+bn n+1−n)=3，则a 2+b 2＝ 17 ．【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解a ，b 然后求解a 2+b 2即可．解：a ，b ∈R 且lim n→∞(an 2+bnn+1−n)=3，可得limn→∞an 2−n 2+bn−n n+1=3，可得{a =1b −1=3，则a 2+b 2＝1+16＝17． 故答案为：17．6．用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+1n ＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n ＝k （k ＞1）不等式成立，推证n ＝k +1时，左边应增加的项数是 2k ． 【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为 12−1，然后判断n ＝k +1时增加的项数即可．解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为12−1； 由n ＝k ，末项为12k −1到n ＝k +1，末项为 12k+1−1=12k −1+2k，∴应增加的项数为2k ．故答案为2k ．7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2√3，c ＝2，A ＝120°，S △ABC ＝ √3 ．【分析】由正弦定理和已知易得C ＝30°，进而可得sin B =12，由三角形的面积公式可得． 解：∵在△ABC 中，a ＝2√3，c ＝2，A ＝120°，∴由正弦定理可得sin C =csinA a =2×√3223=12， ∴C ＝30°，或C ＝150°（A ＝120°，应舍去）， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin150°=12∴S △ABC =12acsinB =12×2√3×2×12=√3故答案为：√38．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 [−π3，π4] ．【分析】推导出cos ×∈[−√32，√22]，由此能求出f （x ）＝arcsin （cos x ）的值域．解：∵x ∈[π4，5π6]，∴cos x ∈[−√32，√22]，∴f （x ）＝arcsin （cos x ）∈[−π3，π4]． 故答案为：[−π3，π4]． 9．数列{a n }满足a 12+a 22+⋯+a n2=2n +5，n ∈N *，则a n ＝ {14，n =12n+1，n ≥2． 【分析】利用递推公式a n ={S 1，n =1S n −S n−1，n ≥2即可求解解：当n ＝1时，可得12a 1＝7，即a 1＝14 当n ≥2时，a 12+a 222+⋯+a n 2n=2n +5，n ∈N *，a 12+a 222+⋯+a n−12n−1=2n +3，两式相减可得，a n 2n=2，∴a n ＝2n +1当n ＝1时，a 1＝14不适合上式 故a n ={14，n =12n+1，n ≥2，故答案为：{14，n =12n+1，n ≥2．10．设[x ]表示不超过x 的最大整数，则[sin1]+[sin2]+[sin3]+…+[sin10]＝ ﹣4 ． 【分析】由题意得[sin1]＝[sin2]＝[sin3]＝0，[sin4]＝[sin5]＝[sin6]＝﹣1，[sin7]＝[sin8]＝[sin9]＝0，[sin10]＝﹣1，由此能求出结果．解：[sin1]+[sin2]+[sin3]+…+[sin10] ＝0+0+0﹣1﹣1﹣1+0+0+0﹣1 ＝﹣4． 故答案为：﹣4．11．已知25sin 2α+sin α﹣24＝0，α在第二象限内，则cos α2的值为 ±35 ．【分析】由已知，先求出sin α的值，再利用二倍角余弦公式求cos α2．解：∵25sin 2α+sin α﹣24＝0，∴（25sin α﹣24）（sin α+1）＝0，∵α在第二象限内，∴sin α=2425．cos α=7−25.在第一或第三象限．根据二倍角余弦公式可得cos 2α2=1−cosα2=925∴cosα2=±35，故答案为；±35．12．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B ．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是 144 ．【分析】本题是一个探究型的题，可以看到第四行起每一行实心圆点的个数都是前两行实心圆点个数的和，由此可以得到一个递推关系，利用此递推关系求解即可得答案． 解：由题意及图形知不妨构造这样一个数列{a n }表示实心圆点的个数变化规律，令a 1＝1，a 2＝1，n ≥3时，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2，本数列中的n 对应着图形中的第n +1行中实心圆点的个数． 由此知a 11即所求：故各行中实心圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144； 即第13项为144； 故答案为：14413．数列{a n }满足：a n ={q n ，n =2k −1(0.5)n，n =2k，k ∈N *，{a n }的前n 项和记为S n ，若lim n→∞S n ≤1，则实数q 的取值范围是 （﹣1，12] ．【分析】由题意可得数列{a n }的奇数项成公比为q 2，偶数项成公比为0.25的等比数列，由无穷递缩等比数列的求和公式，结合二次不等式的解法，即可得到所求q 的范围． 解：前n 项和记为S n ， a n ={q n ，n =2k −1(0.5)n ，n =2k，k ∈N *， 则lim n→∞S n =lim n→∞[（a 1+a 3+a 5+…）+（a 2+a 4+a 6+…）] =a 11−q 2+a 21−0.25 =q 1−q 2+0.250.75≤1， 由|q |＜1即﹣1＜q ＜1， 可得2q 2+3q ﹣2≤0，解得﹣2≤q ≤12，则q 的取值范围是（﹣1，12]．故答案为：（﹣1，12]．14．已知数列{a n }满足：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时若a 6＝1，则a 5＝ 2 ，m 所有可能取值的集合为 {4，5，32} ．【分析】先确定a 5＝2，a 4＝4，进而a 3＝有两种情况，再分类讨论，即可得到结论． 解：∵数列{a n }满足：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时，a 6＝1，∴a 5＝2，a 4＝4，∴①a 3＝1，a 2＝2，a 1＝4，即m ＝4； ②a 3＝8，a 2＝16，此时，又有下面两种情况： 1°a 1＝5，即m ＝5； 2°a 1＝32，即m ＝32． 故答案为：2，{4，5，32}． 二.选择题15．设a 、b 、c 是三个实数，则“b 2＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先证明必要性，由a 、b 、c 成等比数列，根据等比数列的性质可得b 2＝ac ；再证充分性，可以举一个反例，满足b 2＝ac ，但a 、b 、c 不成等比数列，从而得到正确的选项． 解：若a 、b 、c 成等比数列， 根据等比数列的性质可得：b 2＝ac ；若b ＝0，a ＝2，c ＝0，满足b 2＝ac ，但a 、b 、c 显然不成等比数列， 则“b 2＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的必要非充分条件． 故选：B ．16．若函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|≤π）局部图象如图所示，则函数y＝f （x ）的解析式为（ ）A ．y =32sin(2x +π6) B ．y =32sin(2x −π6)C ．y =32sin(2x +π3)D ．y =32sin(2x −π3)【分析】由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象可求得A ，T ，从而可得ω，再由f （2π3+π62）=32，结合φ的范围可求得φ，从而可得答案． 解：∵12T =2π3−π6=π2， ∴ω=2πT=2； 又由图象可得：A =32，可得：f （x ）=32sin （2x +φ），f （2π3+π62）=32sin （2×5π12+φ）=32， ∴5π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ．∴φ＝k π−π3，（k ∈Z ）， 又∵|φ|≤π，∴当k＝0时，可得：φ=−π3，此时，可得：f（x）=32sin（2x−π3）．故选：D．17．若数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n﹣2a n﹣1）＝0，下面给出关于数列{a n}的四个命题：①{a n}可以是等差数列；②{a n}可以是等比数列；③{a n}可以既是等差又是等比数列；④{a n}可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由已知可得a n﹣a n﹣1＝2，或a n＝2a n﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．解：∵数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n﹣2a n﹣1）＝0，∴a n﹣a n﹣1＝2，或a n＝2a n﹣1，∴①{a n}可以是公差为2的等差数列，正确；②{a n}可以是公比为2的等比数列，正确；③若{a n}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；④{a n}可以既不是等差又不是等比数列，错误；故选：B．18．若数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{a n}前12项值的数列为（）A．{a3k+1}B．{a4k+1}C．{a5k+1}D．{a6k+1}【分析】对于数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，可知：数列{a n}为周期数列．周期为12，并且数列{a n}前12项的值各异．经过验证：对于数列{a5k+1}，满足要求，而其他A，B，D不满足要求．解：对于数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，可知：数列{a n}为周期数列．周期为12，并且数列{a n}前12项的值各异．对于数列{a5k+1}，对于k＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11时，5k+1分别为：1，6，11，12+4，12+9，12×2+2，12×2+7，12×2+12，12×3+5，12×3+10，12×4+3，12×4+8．经过验证：而其他A，B，D不满足要求．故选：C．三.解答题19．已知函数f （x ）＝﹣a cos2x −√3a sin2x +2a +b （a ≠0），x ∈[0，π2]，值域为[﹣5，1]，求常数a 、b 的值．【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，其中利用分类讨论思想注意做到灵活应用．解：f （x ）＝﹣a cos2x −√3a sin2x +2a +b （a ≠0），＝﹣2a sin （2x +π6）+2a +b ，由于：x ∈[0，π2]，则：2x +π6∈[π6，7π6]， 得到：sin(2x +π6)∈[−12，1] 所以：当a ＞0时，3a +b ≥﹣2a sin （2x +π6）+2a +b ≥b ，由于函数的值域为[﹣5，1]，所以：{3a +b =1b =−5， 解得：a ＝2，b ＝﹣5，同理：当a ＜0时，解得：a ＝﹣2，b ＝1，故：a ＝2，b ＝﹣5或a ＝﹣2，b ＝1，20．在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了他们的工资标准：A 公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B 公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资分别是多少； （2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？【分析】（1）设该人在A 或B 公司连续工作n 年，第n 年的月收入分别为a n ，b n ，分别由等差数列与等比数列的通项公式可得a n ，b n ；（2）设该人在A 或B 公司连续工作10年，工资总收入S ，T ，分别利用等差数列与等比数列的求和公式求出S ，T ，由此推导出选择的公司．解：（1）设该人在A 或B 公司连续工作n 年，第n 年的月收入分别为a n ，b n ，∵A 公司允诺第一年月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元， B 公司允诺第一年月工资为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%， ∴a n ＝8000+500（n ﹣1）＝500n +7500，b n ＝8000×（1+5%）n ﹣1＝8000×1.05n ﹣1．（2）设该人在A 或B 公司连续工作10年，工资总收入S ，T ，则S ＝（8000×10+10×92×500）×12＝1230000（元）， T =8000(1−1.0510)1−1.05×12≈1205769（元）． ∵S ＞T ，∴选择A 公司．21．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC ，点P 在边AB 上，设∠MOD ＝θ；（1）若θ＝30°，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的三角形铁皮PMN 面积的最大值．【分析】（1）求出MN 和P 到MN 的距离，代入面积公式得出答案；（2）用θ表示出MN 和P 到MN 的距离，得出三角形的面积S 关于θ的函数，利用三角变换求出S 的最大值．解：（1）当∠MOD ＝θ＝30°时，MN ＝OM •sin θ+AB =32，∴P 到MN 的距离为OA +OM •cos θ＝1+√32． ∴△PMN 的面积为12×32×(1+√32)=6+3√38． （2）MN ＝1+sin θ，P 到直线MN 的距离为（1+cos θ），∴△PMN 的面积S =12×(1+sinθ)(1+cosθ)=12（1+sin θ+cos θ+sin θcos θ）（0≤θ＜π），设sin θ+cos θ＝t ，则sin θcos θ=t 2−12， ∴S =12（1+t +t 2−12）=t 24+t 2+14=14（t +1）2， ∵t =√2sin （θ+π4），0≤θ＜π，∴﹣1＜t ≤√2，∴当t =√2时，S 取得最大值3+2√24． 22．在xOy 平面上有一点列P 1（a 1，b 1）、P 2（a 2，b 2）、…、P n （a n ，b n ）、…，对每个正整数n ，点P n 位于函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）的图象上，且点P n 、点（n ，0）与点（n +1，0）构成一个以P n 为顶角顶点的等腰三角形；（1）求点P n 的纵坐标b n 的表达式；（2）若对每个自然数n ，以b n 、b n +1、b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围； （3）设B n ＝b 1b 2…b n （n ∈N *），若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{B n }的最大项的项数是多少？试说明理由．【分析】（1）由于三角形为等腰三角形，所以点P n （a n ，b n ）在两点（n ，0）与（n +1，0）连线的中垂线上，结合点P n （a n ，b n ）在函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）的图象上，可得结论．（2）根据函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）是单调递减，可得对每一个自然数n 有b n ＞b n +1＞b n +2，进而由b n ，b n +1，b n +2为边长能构成一个三角形，可得b n +2+b n +1＞b n ，由此可求a 的取值范围．（3）先确定数列{∁n }是一个递减的等差数列，再根据当∁n ≥0且C n +1＜0时，数列{∁n }的前n 项的和最大，即可得到结论．解：（1）由题意，∵点P n ，点（n ，0）与点（n +1，0）构成一个以P n 为顶点的等腰三角形，∴点P n （a n ，b n ）在两点（n ，0）与（n +1，0）连线的中垂线上，∴a n ＝n +12，∴b n ＝1000（a 6）m +0.5．… （2）∵函数y =1000(a 6)x （0＜a ＜6）递减，∴对每个自然数n ，有b n ＞b n +1＞b n +2，则以b n ，b n +1，b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2b n +1b n ，即（a 6）2+（a 6）﹣1＞0… 解得a ＜﹣﹣3﹣3√5，或a ＞3+3√5，综上：3√5−3＜a ＜6．…（3）∵3√5−3＜a ＜6，a 取（2）中确定的范围内的最小整数， ∴a ＝4，∴b n ＝1000（23）n+12，…∴数列{b n }是一个递减的正数数列，对每个自然数n ≥2，B n ＝b n B n ﹣1， 于是当b n ≥1时，B n ≥B n ﹣1，当b n ＜1时，B n ＜B n ﹣1，因此，数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1＜1． 由b n ＝1000（23）n+12≥1，∵b 16＞1，b 17＜1，∴B 16 最大．…（16分）23．设递增数列{a n }共有k 项，定义集合A k ＝{x |x ＝a i +a j ，1≤i ＜j ≤k }，将集合A k 中的数按从小到大排列得到数列{b n }；（1）若数列{a n }共有4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝6，写出数列{b n }的各项的值； （2）设{a n }是公比为2的等比数列，且0.5＜a 1＜2，若数列{b n }的所有项的和为4088，求a 1和k 的值；（3）若k ＝5，求证：{a n }为等差数列的充要条件是数列{b n }恰有7项．【分析】（1）由已知中数列{a n }共有4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝6，进而可得数列{b n }的各项的值；（2）设{a n }是公比为2的等比数列，则数列{b n }的所有项的和即a n 中的每一项重复加了k ﹣1次，进而得到答案；（3）若k ＝5，分别证明{a n }为等差数列的充要条件是数列{b n }恰有7项的充分性和必要性，综合可得答案．解：（1）∵集合A k ＝{x |x ＝a i +a j ，1≤i ＜j ≤k }，将集合A k 中的数按从小到大排列得到数列{b n }；若数列{a n }共有4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝6，则b 1＝a 1+a 2＝4，b 2＝a 1+a 3＝5，b 3＝a 1+a 4＝a 2+a 3＝7，b 4＝a 2+a 4＝9，b 5＝a 3+a 4＝10． （2）若{a n }是公比为2的等比数列，则数列{b n }的所有项的和即a n 中的每一项重复加了k ﹣1次，即4088＝（k﹣1）•（2k﹣1）a1，故a1为2的整数次幂，∵0.5＜a1＜2，∴a1＝1，（2k﹣1）（k﹣1）＝4088，k＝9，证明：（3）若k＝5，{a n}为等差数列，则d＞0则数列{b n}也是公差为d的等差数列，最小值为a1+a2＝2a1+d最大值为a4+a5＝2a1+7d，故数列{b n}恰有7项．若数列{b n}恰有7项．则由a1+a2＜a1+a3＜a2+a3＜a2+a4＜a3+a4＜a3+a5＜a4+a5得：{b n}的7项分别为：a1+a2，a1+a3，a2+a3，a2+a4，a3+a4，a3+a5，a4+a5；则由a1+a3＜a1+a4＜a3+a4得：a1+a4＝a2+a3，即a4﹣a3＝a2﹣a1，同理a5﹣a4＝a3﹣a2，a3﹣a2＝a2﹣a1，即{a n}为等差数列．综上可得：{a n}为等差数列的充要条件是数列{b n}恰有7项．。
高等数学考试试卷四套【上海交通大学】
（C） a 9 ， b 12 ；
（D） a 9 ， b 12 。
2. 设 x 0 时， ln cos x axk ，则常数 a 和 k 的值分别为
（）
（A） a 1 ， k 2 ； 2
（B） a 1 ， k 2； 2
（C） a 1 ， k 1； 2
（D） a 1 ， k 1。 2
11.
用极限定义证明：
lim
x1
2
arctan 1 x2
x
。
12.
求
lim
xln
ln ln
x1 x1
。
x0
13. 求 lim x0
1 x2 sin2 x tan2 x 。
x2 ln2 1 x
四、（每小题 8 分，共 16 分）
14. 已知 f x
e
x
,
1 2
x2
1
，求证：
（1）当 x 1,0 时， ex 1 x2 1 ；
2
（2）若函数 g x 在 R 上可导，且 g x f x ，则 g 0 1。
2
上海交通大学《高等数学》考试试卷 二
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是
[
x ] 是取整函数），
g
x
x, 0,
x 1， x 1
则方程 g( f (x)) 0 的解集为：___________________。
7. lim( 1 1 1 1 )
。
n n2 1 n2 2 n2 3
2016级高等数学(A)(下)期末试卷含答案
2016级高等数学（A ）（下）期末试卷一。
填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x = ，0y = ，0z = ；2．交换积分次序2111d (,)d x x f x y y --=⎰⎰；3．设{},,,x y z r ==r 3divr=r； 4．设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分22d d Cx y x xy y +=⎰ ；5.设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 ；6．设2()e xf x =，则(2)(0)n f= ；7. 设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π= ；8.设正向圆周:1C z =，则cos d Czz z=⎰； 9．函数1()cosf z z z=的孤立奇点0z =的类型是 （如为极点，应指明是几级极点），[]Res (),0f z = ；二．(本题共2小题，每小题8分，满分16分)11．判断级数1342n n nn ∞=-∑的敛散性. 12．求幂级数1121n n n n x n ∞+=+∑的收敛域与和函数. 三．(本题共2小题，每小题9分，满分18分)14．将函数21()43f z z z =-+ 在圆环域13z <<内展开为Laurent 级数.四．（15）(本题满分9分)验证表达式 22(cos 21)d (3)d x xy x x y y +++-+ 为某一函10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为 .13．将函数()f x x x =+ 在(1,1]-上展开为以2为周期的Fourier 级数.数的全微分，并求其原函数.五．（16）(本题满分9分)利用留数计算反常积分41d 1x x+∞+⎰. 六．（17）(本题满分10分) 已知流体的流速函数{}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面1z =z = 所围立体表面的外侧的流量.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰2016级高等数学（A ）（下）期末试卷一。
2016级 上海交通大学高数期中考试试卷解答答案
（10 分）
(1,e)
O
x
（12 分） 七、 （本题 8 分） 18. 已知函数 f ( x) 和 g (u ) 满足 D f [a, b] ， Dg R f [c, d ] 。又 f ( x) 连续且存在 反函数。证明： (1) f ( x) 仅在区间 [a, b] 的端点处取到最值； (2) 若函数 g ( f ( x)) 在 (a, b) 内不存在极大值，则 g (u ) 在 (c, d ) 内也不存在极大值。 证明 (1) 若 f (a) 既非最大值又非最小值，则存在 x1 , x2 (a, b] ，使得
14 证明 0 ， X max 8, 0 ， x ： x X 时，
（3 分）
6x 8 2 x2 7 x 14 2 ， 2 2 1 x 3x 4 x 3x 4 x x2 2
所以 lim
2 x2 2。 x x 2 3 x 5
（ B ）
4. 设 f ( x) 在区间 [a, b] 上具有连续的二阶导函数，且 x (a, b) ，满足
f ( x) f ( x) 0 ，则 f ( x) 在区间 (a, b) 上
（A）保号；
（B）单调；
（C）存在极值； （D）存在拐点。
5. 已知函数 f ( x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，对于两个命题 （I） f ( x) 在点 x0 可导当且仅当 cos( f ( x)) 在点 x0 可导； （II） f ( x) 在点 x0 可导当且仅当 arctan( f ( x)) 在点 x0 可导， 下列选项正确的是 （A）仅（I）正确； （C） （I）和（II）都正确； 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 严格单调增加， f 1 ( x) 是其反函数。若对于常数
2015-2016高等数学A(上)期末试卷A卷
上海海洋大学试卷（本答卷不准使用计算器）学年学期20 15 ~ 20 16 学年第一学期考核方式闭卷课程名称高等数学A（上）A/B卷（ A ）卷课程号学分 5 学时80题号一二三四五六七八九十总分分数阅卷人诚信考试承诺书本人郑重承诺：我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。
承诺人签名：日期：考生姓名：学号：专业班名：一、选择题()1．当时，函数是的（）无穷小A．高阶 B. 低阶 C. 同阶但非等价 D. 等价2．设，则下列说法中错误的是（）A．，都是的间断点. B．是的第二类间断点.C．是的第二类间断点.D．是的第一类可去间断点.3．设函数在内连续，其导数的图形如图所示，则有( )A．一个极小值点和两个极大值点B．两个极小值点和一个极大值点C．两个极小值点和两个极大值点D．三个极小值点和一个极大值点0 yx1 / 54.若，则（）二、填空题()1.微分方程在初始条件下的特解为2．若在上连续，在内可导,则至少存在一点, 使得成立3．若是的原函数，则=4．5．函数的极大值点为6.三、计算题（必须有解题过程，否则不给分）(本大题共60分)：1. （5分）2. （5分）3.（5分）4．（5分）2 / 55．设函数，问分别取何值，有：（1）函数在处连续；（3分）（2）函数在处可导；（3分）（3）函数在处导函数连续。
（4分）；（8分）6．设，求，7. 设的一个原函数为，求（8分）3 / 58. 已知, 求在内的表达.（8分）9．（6分）四、(7分)求由抛物线和所围图形的面积4 / 5五．(3分)若在上连续，在上可导，，证明：必使得：。
5 / 5。
上海交通大学_高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)
高等数学研究
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试题照登
上海交通大学·高等数学期末试题（! 卷）（附参考答案）
!""!年第一学期
一、选择题（每题#分，共$%分，每题选项仅有一项符合要求，把所选项前的字母填入括号内）
$&"（#）在$ 连续，且’#(!)$"（（##）**$"（）%$）+&""，其中 % 是偶数，则 …………………………（,）
!&$ 是"（#）的极大值点； ’&$ 是"（#）的极小值点；
(&$ 不是"（#）的极大值点； )&不能判别$ 是否"（#）的极值点&
!&"（#），*（#）均为恒不为零的可微函数，且"+（#）*（#）**+（#）"（#）""，则当#"$ 时，成立不
等式 …………………………………………………………………………………………………（-）
!
$ #& #1 #1-#!/# 0!!& "
$ 1&# !"时，##2(3##5/5是"#$ 的等价无穷小，则$ 0 1 " 0 "
# 1
&
!#
$ %&"（#）为连续函数，6（#）0 "（#.5）/5，则 6+（#）0#"（##）-"（#）& "
三、计算下列积分（$4分）
16级高数B(上)(A)试题解答
3．
首先，转化为求自然对数的极限
lim
x
ln
e
1
x3
1
1
x3
2
x3
1 2
。
所以，原极限
1
e2
。
4． ln y 1 1 ln x 1 ln cos x ， 2x 4 8
y y
1 2x2
1 4x
1 8 cos
x
( sin
x)
，
1
y
y
1 2x2
1 4x
1 8
tan
x
。
5.
原式
sin2 x cos2 x dx
A=
A* 2
1
3 1 1
2 1 0
1 1 。 1
若| A|=2，
3 2 1
A
1
1
1
。
1 0 1
六．
1．
0 x ， 0 tan x 1，所以
4 x tan xdx
4
xdx
2
。
4
0
0
32
2．
4
(x tan
x
tan
x)dx
8
(
x) tan xdx
0
8
08
0
n!
(2n 1)！ n
0
1 ! 1! n!
n！ n! 。
(2n 1)！
(依次消去对角线下方元素)
0!
n
D k! k 0
0
1 ! 1!
n！
n!
n
(k !)2 。
k 0
n！
2． xi ， 0 i k 1，
m0,0
上海交大函数试题答案
上海交大函数试题答案上海交通大学数学试题答案解析一、选择题1. 函数y = f(x)在点x=1处连续，且lim(x→1) [f(x) - f(1)] / (x - 1) = 2，根据极限定义，可以得出f'(1)等于多少？答案：根据题意，由于函数在x=1处连续，且给定的极限等于2，根据导数的定义，f'(1) = 2。
2. 设函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求g(x)的极值点。
答案：首先求导数g'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令g'(x) = 0，解得x = 1 ± sqrt(1/3)。
通过二阶导数测试，g''(x) = 6x - 6，可以得知x = 1 - sqrt(1/3)为极大值点，x = 1 + sqrt(1/3)为极小值点。
3. 已知函数h(x) = e^(-x^2)，求h(x)的拐点。
答案：求导得h'(x) = -e^(-x^2) * 2x，再求二阶导数得h''(x) = e^(-x^2) * (2 - 2x^2)。
令h''(x) = 0，解得x = ±sqrt(1)。
由于h''(x)在x = 0处由正变负，因此x = 0是h(x)的拐点。
二、填空题1. 已知函数k(x) = sin(x) + cos(x)，求k(π/4)的值。
答案：k(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = sqrt(2)/2 +sqrt(2)/2 = sqrt(2)2. 函数p(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1的零点为：答案：由于p(x)是完全对称的四次多项式，且p(1) = 0，因此x =1为其中一个零点。
通过因式分解，p(x) = (x - 1)^4，所以p(x)的四个零点均为x = 1。
三、计算题1. 求定积分∫(0 to 2π) sin(x) dx。
交大附中高二期末(2016.01)
lim
n
Mn
；
二. 选择题
15.
已知关于
x,
y
的二元一次线性方程组的增广矩阵为
a1 a2
b1 b2
c1 c2
，记三个非零向量
a (a1, a2 ) ，b (b1,b2 ) ，c (c1, c2 ) ，则此方程组有无穷多组解的充要条件是（ ）
A. a b c 0
B. a,b, c 两两平行
原点，求实数 k 的值；
3
23. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”；
如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的
相似比称为椭圆的相似比，已知椭圆 C1
:
x2 4
y2
1；
（1）若椭圆 C2
: x2 16
y2 4
1 ，判断 C2 与 C1 是否相似？如果相似，求出 C2 与 C1 的相似比；
22. 已知点 D(1,
2)
在双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0) 上，且双曲线的一条渐近线的
方程是 3x y 0 ；
（1）求双曲线 C 的方程； （2）若过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 有两个不同交点，求实数 k 的取值范围；
（3）设（2）中直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两个不同点，若以线段 AB 为直径的圆经过坐标
2
20. 如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22m ，要求通行车辆限高 4.5m ，隧道全
长 2.5km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状；
（1）若最大拱高 h 为 6m ，则隧道设计的拱宽 l 是多少？
上海交通大学历年概率统计试卷
上海交通大学概率论与数理统计试卷 2004—01姓名： 班级： 学号： 得分: 一．判断题（10分，每题2分）1。
在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 （ ） 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 （0,1) 分布，则Y X = （ ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( ）5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时， 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ） 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 。
(a ） r n r r n p p C ----)1(11； （b ） r n rr n p p C --)1(； (c ） 1111)1(+-----r n r r n p pC ; (d) r n r p p --)1(。
2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P 。
（ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； （ｂ） )()(11-+-k k x F x F ； （ｃ） )(11+-<<k k x X x P ； （ｄ） )()(1--k k x F x F 。
3。
设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ） 是连续函数； （ｂ) 恰好有一个间断点; （ｃ） 是阶梯函数； （ｄ) 至少有两个间断点。
4。
设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40; （ｂ） 34； （ｃ) 25.6； （ｄ） 17.6 5。
上海交通大学2016级第一学期《高等数学》期中考试试卷（A类）
上海交通⼤学2016级第⼀学期《⾼等数学》期中考试试卷（A类）2016级第⼀学期《⾼等数学》期中考试试卷 (A 类)⼀、单项选择题（每⼩题3分，共15分）1. 数列极限sin lim sin n n n n n→∞-+ （）（A ）不存在；（B ）等于1-；（C ）等于0；（D ）等于1。
2. 当0x →时，x α与21cos cos 2x e x x -是同价⽆穷⼩，则（）（A ）1α=；（B ）2α=；（C ）3α=；（D ）5α=。
3. 已知曲线C 由极坐标⽅程r θ=（02θ≤<π）所确定，P 是C 上对应于2θπ=的点。
那么C 在P 点处的切线⽅程为（）（A ）2r θπ=-；（B ）1y x =+；（C ）22y x π=-+π；（D ）12y x π=-+。
4. 设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的⼆阶导函数，且(,)x a b ?∈，满⾜()()0f x f x '''≥，则()f x 在区间(,)a b 上（）（A ）保号；（B ）单调；（C ）存在极值；（D ）存在拐点。
5. 已知函数()f x 在点0x 的某个邻域内有定义，对于两个命题（I ）()f x 在点0x 可导当且仅当cos(())f x 在点0x 可导；（II ）()f x 在点0x 可导当且仅当arctan(())f x 在点0x 可导，下列选项正确的是（）（A ）仅（I ）正确；（B ）仅（II ）正确；（C ）（I ）和（II ）都正确；（D ）（I ）和（II ）都错误。
⼆、填空题（每⼩题3分，共15分）6. 已知定义在R 上的函数()f x 严格单调增加，1()f x -是其反函数。
若对于常数a ，⽅程()f x x a +=有解1x ，1()f x x a -+=有解2x ，则12x x +=_______。
7. 已知2cos ,0()ln(1),0x x f x x x >?=?+≤?，则()f x '= 。
上海交通大学_2016-2016学年_高等数学（高数）_期末考试_试卷_（180学时）《精选资料》
2006级《高等数学》第二学期期末考试参考标准（180A ）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设xoy 平面上区域(){}22,|1,D x y x y y x =+≤≥，1D 是D 在第一象限的部分，则32(sin sin )D xy x y dxdy +⎰⎰等于 （ ）（A ）122sin sin D x ydxdy ⎰⎰； （B ）132D xy dxdy ⎰⎰；（C ）1324(sin sin )D xy x y dxdy +⎰⎰； （D ）0.2. 设(){}222,,|1x y z x y z Ω=++≤，则三重积分x e dv Ω=⎰⎰⎰ （ ）（A ）2π； （B ）π； （C ）32π； （D ）2π. 3. 设F yi zj xk =++ ,则 rot F = （ ）（A ）i j k ++ ； （B ）()i j k -++ ；（C ）i j k -+ ； （D ）i j k -+- . 4. 幂级数211n n x n ∞=-∑在收敛域[1,1)-上的和函数()s x = （ ） （A ）ln(1)x -； （B ）ln(1)x --； （C ）ln(1)x x--； （D ）ln(1)x x --. 5. 设函数1,02()45,2x f x x x ππππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩展开成正弦级数，其和函数 1()sin n n s x b nx ∞==∑，则9()2s π-= （ ） （A ）1-； （B ）2-； （C ）1； （D ）2.二、填空题（每小题3分，共15分）6.设u z =+则()div grad u = .7. 设()f x 是连续函数，2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，()F t '= .8. 设C 为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上对应于t 从0变到2的这段弧，则曲线积分2221C ds x y z=++⎰ .9. 全微分方程(1)()0y x y dx e x dy +-++=的通解为 .10.级数n ∞=∑ .三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）11. 设z 是方程zx y z e +-=所确定的,x y 的隐函数，求2z x y ∂∂∂.12. 计算曲面22z y x =-夹在圆柱面221x y +=和229x y +=之间部分的面积.四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13. 计算曲线积分sin 1()()2y Cx e dy y dx +--⎰，其中C 是位于第一象限中的直线1x y +=与位于第二象限中的圆弧221x y +=构成的曲线，方向从A (1,0)经过B (0,1)，再到C (1,0)-.14. 试求参数λ，使当曲线C 落在区域(){},|0D x y y =>时，曲线积分222222()()Cx x x y dx x y dy y y λλ+-+⎰ 与路径无关，并求2(,)22222(0,1)(,)()().x y x x u x y x y dx x y dy y yλλ=+-+⎰15. 求22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑为z =与z =所围立体表面的外侧.五、（本题10分）16. 将函数243()232x f x x x -=--展开为1x -的幂级数.六、（本题8分）17. 设()20(1)()(1)!nn n f x x n ∞=-=-∑，求()0(1)n n f ∞=∑.七、（本题8分）18. 设()f x 在(1,1)-内具有三阶连续导数，且(0)0f '''≠，证明：级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n∞='---∑ 绝对收敛.。
2015-2016高等数学A(上)期末试卷A卷
上海海洋大学试卷(本答卷不准使用计算器)诚信考试承诺书本人郑重承诺:我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则"和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”,承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理.承诺人签名:日 期：考生姓名： 学号： 专业班名:一、选择题（2143'=⨯'）1．当0→x 时，函数()csc cot f x x x =-是的（ )无穷小 A ．高阶 B.低阶 C 。
同阶但非等价 D 。
等价 2．设()2arcsin(1)x f x x x-=-，则下列说法中错误的是（ ）A ．0=x ，1=x 都是()x f 的间断点。
B ．1x =是()x f 的第二类间断点。
C ． 0x =是()x f 的第二类间断点.D ．1=x 是()x f 的第一类可去间断点. 3．设函数)(x f 在),(∞+-∞内连续，其导数的图形如图所示,A ．一个极小值点和两个极大值点 B ．两个极小值点和一个极大值点 C ．两个极小值点和两个极大值点 D ．三个极小值点和一个极大值点4。
若()xf x e-=，则(ln )f x dx x=⎰（) 11..ln ..ln A c B x c C c D x cxx++-+-+二、填空题(3618''⨯=）1.微分方程2x y y x =-'在初始条件(1)0y =下的特解为2．若)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ, 使得 =-)()(a f b f e e成立3．若是)(x f 的原函数，则(ln )xf x dx ⎰= 4．2212_______x x dx --=⎰5．函数220(1)x t yt e dt =-⎰的极大值点为6。
401xdx x +∞=+⎰三、计算题（必须有解题过程,否则不给分) (本大题共60分）：1.()4x x 012tan x x cosx lim3 ln 13x →++（5分）2. 220ln(1) lim arcsin x x t dtx x-→+⎰（5分)3.1lim(1)tan2x xx π→-(5分） 4．2211lim()sin x x x →-（5分）5．设函数()1sin ,0,0x x f x xx αβ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，问,αβ分别取何值，有: (1）函数()f x 在0x =处连续；(3分) （2）函数()f x 在0x =处可导;（3分） （3）函数()f x 在0x =处导函数连续.（4分）6．设()⎩⎨⎧=+-=t y t t x arctan 1ln 2，求dy dx ，22dx y d ；（8分)7。
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2016级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (A 类)
一、单项选择题（本题共15分，每小题3分）
1. 若3222lim 12
x ax bx x →∞++=+（其中,a b 为常数），则 （ ） （A ）0a =，b ∈R ； （B ）0a =，1b =；
（C ）a ∈R ，1b =； （D ）a ∈R ，b ∈R 。
2. 若函数()f x 的一个原函数是(2)e x x -，则'(1)f x += （ ）
（A ）e x x ； （B ）1e x x +； （C ）1(1)e x x ++； （D ）(1)e x x +。
3. 反常积分1
0ln[(1)]d x x x -⎰ （ ）
（A ）2=-； （B ）1=-； （C ）0=； （D ）发散。
4. 设OA a =和OB b =是两个不共线的非零向量，AOB ∠是向量a 与b 的夹角， 则AOB ∠的角平分线上的单位向量为 （ ） （A ）||||||||||||a b a b a a b b a a b b ---； （B ）||||||||||||a b a b a a b b a a b b
+++； （C ）||||||||||||b a a b b a a b b a a b ---； （D ）||||||||||||b a a b b a a b b a a b
+++。
5. 设函数()f x 为连续函数，对于两个命题：
（I ）若()00()(()())d d x u F x f t f t t u =--⎰⎰，则()F x 为奇函数；
（II ）若()f x 为奇函数，则()3
0()()d d x y x
G x f t t y =⎰⎰为奇函数， 下列选项正确的是 （ ）
（A ）（I ）和（II ）均正确； （B ）（I ）和（II ）均错误。
（C ）仅（I ）正确； （D ）仅（II ）正确；
二、填空题（每小题3分，共15分）
6. 已知函数()y f x =由参数方程3cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩
（0t <<π）所确定，则 ''()f x =___________________。
7. 一平面通过y 轴，且点)2,4,4(-到该平面的距离等于点)2,4,4(-到平面0z =的距离，则该平面方程是：_________________________。
8. 已知321e e x x y x =-，22e e x x y x =-，23e x y x =-是某二阶常系数非齐次线性微
分方程的3个解，则该方程的通解是y =___________________________。
9. 极限21123lim (sin 2sin 3sin sin )n n n n n n n n
→+∞++++=_____________________。
10. 设()(1)ln(2)f x x x =--，则)(x f 的最大值点是x =________。
三、（本题8分）
11. 已知平面π过直线2102210
x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩，且π与直线12111x y z +-==--的夹角为
arcsin ，求该平面π的方程。
四、计算积分（每小题8分，共16分）
12. 计算积分20171(1d 2
x +⎰。
13. 计算积分0d 1|cos |x x x π
+⎰。
五、应用题（本题8分）
14. 求曲线23(1)y x =-与x 轴围成的封闭图形绕直线3=y 旋转一周所得的旋转
体的体积。
六、（本题10分）
15. 已知常数0a >，求函数(1)e x y x =-在闭区间[,]a a -上的最值。
七、（第16题8分，第17题12分，共20分）
16. 求微分方程4d 11(3)0d 33
y y x y x ++-=的通解。
17. 设)(x f 具有二阶导数，且()'()sin f x f x x +π-=，()02
f π=。
（1）证明：''()'()cos f x f x x -π-=；
（2）求)(x f 的表达式。
八、（本题8分）
18. 设函数()f x 在闭区间[0,1]上具有连续导数，且(0)(1)0f f ==，求证：
()
()2112001()d ()d 45
xf x x f x x '≤⎰⎰， 等号当且仅当3()()f x A x x =-时成立，其中A 为常数。